【新人教】2012年高考数学总复习专题训练集合的概念

第一章 集合与简易逻辑第1课 集合的概念【知识在线】１．Ｂ ２．Ｂ提示 仅（1）错误．3．Ｃ 4． 3≤a ≤4 5． 7法一 直接写出满足条件的X 有：｛1,2｝，｛1,2,3｝，{1,2,4}，｛1,2,5｝，｛1,2,3,4｝，｛1,2,3,5｝，｛1,2,4,5｝，共7个. 法二 依题意，即求从3,4,5三个元素中依次取0个，1个，2个的组合数的和，即0123337C C C ++=．【训练反馈】１．Ｄ ２．Ａ ３．Ａ 提示 A 中2nx =，B 中21()2n x n Z +=∈，故B A ，选A. ４． B５． m=0或1m =-或13m =提示 因为{}{}131A B x mx =-==，，，故由B ⊂≠A 知：{}{}13B φ=-或或，分别解得m=0或1m =-或13m =. 点评 本题若忽视B φ=的情形，将失去m=0这一解. ６．－ 1 提示：依题设，0,1,a a ≠≠只能0, 1.b a ==- ７．证明 因为,b A c A ∈∈，所以可设1212,22m m n n b c ==，其中1212,,,m m n n N +∈， 所以2112121212121222,2222m m m m m m m m n n n n n n b c bc ++⋅+⋅+=+==． 因为2112121222m m n n m m n n ⋅+⋅+、、均为正的自然数， 所以b c A +∈，bc A ∈ 8．解（Ⅰ）当a = 4时，原不等式可以化为04542<--x x 即0)2)(2)(45(4<+--x x x ，5(,2)(,2)4x ∴∈-∞-,故M 为5(,2)(,2)4-∞- （Ⅱ）由3∈M 得：03532<--aa ① 且50555:2≥--∉aa M 得② ．由①②得：5[1,)(9,25)3a ∈9．解 要使lg()xy 有意义，必须0.xy >{},0.0,,lg()0, 1.(),1,0.1.1, 1.x o y B A B A xy xy A x A B B y ∴≠≠∈=∴==*∴==∈=*=中只能即由知若则由()知x=1,此时与元素的互异性矛盾,故只能x若x=1,则由()*知，y=1,又与元素的互异性矛盾．∴只能 1.x =-进而由()*知 1.y =-说明 通过本题应进一步明确集合相等的意义及集合元素的互异性与无序性.１０．（1）证明 ()()()x A f x f f x x ∈∴==⎡⎤⎣⎦设，则x=f x ，,,x B ∴∈⊆从而A B .（2）解 {}()()11111,3,33933f p q p A q f p q -=-+=-⎧=-⎧⎪=-∴⇒⎨⎨=-=++=⎩⎪⎩ ， ()23f x x x ∴=--.()()()222333f f x x x x x x ∴=------=⎡⎤⎣⎦， 即()()223230x x x ---=. 1,3x ∴=-，从而{}B =-.第2课 集合的运算【知识在线】１． Ａ ２．Ｃ ３．Ｄ 提示 利用抽象推理分析或韦恩图直观分析. 4．1(,0)[,)2-∞+∞．5． 0或1 提示 集合P 中的元素是抛物线在两直线x=－2，x=5之间的点，集合Q 中的元素是垂直于x 轴的动直线上的点．当a <－2或a>5时，两点集无公共点，即集合P Q 是空集；当25a -≤≤时，两点集有1个公共点，即集合P Q 中含有一个元素，故P Q 中所含的元素个数为0或1．【训练反馈】１．Ｂ ２． D ３． Ｄ ４．Ａ ５． p ≥1 6．2m -≤≤．提示 利用数形结合与平几知识直观求解 ７．法一 当0,40A p φ=∆<-<<时，得；当A φ≠时，方程2(2)10x p x +++=有实根，但非正数，从而0∆≥，12120,0x x x x +≤≥，解得0p ≥，综上，则4p >-为所求. 1210x x =>．法二 求使A R φ+≠的p 的范围，注意到，应有120x x ∆≥⎧⎨+>⎩即4p ≤-，再在实数集R 内求补集得4p >-．说明 在求参数取值范围时，若反面情形较为简单，则可考虑使用“补集法”求解 ８．由题设，得{|22},{|16},{|24}A x x x B x x C x x =≥≤-=-<≤=-<<或．（1）{|26},A B x x A C R =≤≤=．（2）{|14},(){|14}I B C x x B C x x x =-<<∴=≤-≥或ð．于是(){|24}I A B C x x x =≤≥ð或．９．解 ∵q ＜0,∴ 在方程20x px q ++=中，240p q ∆=->，故方程20x px q ++=有两个不等实根，设二根为x 1、x 2，即12{,}A x x =．∵12,,AB x B x B =∅∴∉∉．又12,,,,A C A A C x C x C =∴⊆∴∈∈故x 1、x 2只能为－3,7．∴121212()(37)4,(3)74,(3)721p x x q x x q x x =-+=--+=-==-⋅=-==-⋅=-． ∴4,21p q =-=-为所求．第3课 逻辑联结词和四种命题【知识在线】１．Ｃ 提示 简单命题是不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题，选择支A 、B 、D 中分别含有逻辑连结词“或”、“且”、“非”． ２．Ｂ ３．Ｂ 提示 ②、③为真命题． ４．Ｂ 提示 结合命题的等价关系进行判断． ５．提示 此题是开放性题，答案不唯一，可以是“侧棱与底面所成角相等”；或“侧面与底面所成角相等；……． 【训练反馈】 1．Ｄ 提示 Ｍ中涉及逻辑联结词“或”，Ｎ中涉及逻辑联结词“且”． ２．Ｃ ３． B 提示： 由4种命题的相互关系，可知否命题与逆命题是逆否命题． ４．Ｂ ５． Ｂ ６．② 7．①④⑤⑥ 8.提示 设使p 的解集为(,)-∞+∞　的a 的集合为A ，使()f x 在(,)-∞+∞　内是增函数的a 的集合为B ，则本题即求,AB 答案为11(,)(,)23-∞-+∞．９．证明 （用反证法）假设a 、b 、c 都不大于0，即0a ≤，0,0b c ≤≤，则有0a b c ++≤．而222222236a b c x y y z z x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()222222x x y y z z π=-+-+-+()()()()2221113x y z π=-+-+-+-,所以 0a b c ++>，此与0a b c ++≤矛盾． 故假设错误，从而原命题正确．说明 本题亦可直接转化为证明等价命题：0a b c ++>．第4课 充分条件和必要条件【知识在线】１．Ｃ ２．Ｄ ３．Ａ ４．Ｂ ５．Ｃ ６． 充分而不必要 提示 1-=a 时二直线垂直；反之，当二直线垂直时，1-=a 或0a =． 【训练反馈】１．Ｄ ２．Ａ ３．Ａ提示 若a ＝1，则22cos sin cos2,y x x x T π=-==，故充分性具备；反之，由22cos sin cos2y ax ax ax =-=知周期22||||T a a ππ==，由T ＝π得1a =±，故不是必要条件． ４．Ａ ５．Ｃ ６．（1） 充分非必要（2）非充分也非必要（3） 充分非必要 ７．（１） 充要（２）1q =- ８．提示 （1）“x M ∈或x P ∈”⇒x R ∈， ()x MP ∈⇒(2,3x ∈，因为“x M ∈或x P ∈”⇒()x MP ∈，但()x M P ∈x M x P ⇒∈∈或， 故 “x M ∈或x P ∈”是“()x MP ∈”的必要不充分条件．（2）0m ≠时,不等式24210mx mx --<恒成立 ⇔2404160m m m <⎧⎨∆=+<⎩⇔40m -<<．又0m =时，不等式24210mx mx --<对x R ∈恒成立．故使不等式24210mx mx --<恒成立的充要条件是40m -<≤． ９． 分析 易知MN φ≠的充要条件是方程组()22229y xx a y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩至少有一个实数解，且0x ≥，即()222190x a x a +-+-=至少有一个非负根．由05a ∆≥≤得，在此前提下，以下若顺向思维，则情形较繁；若变通思维角度，考虑至少有一个非负根的反面是有两个负根（只有一种情形），则易知其充要条件是12120,00.x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪>⎩，解得3a <-．从而使M N φ≠的充要条件为35a -≤≤．《集合与简易逻辑》单元测试题一、选择题： 1．C 2.B 提示 函数()y f x =的图象与y 轴至多有1个公共点 3.B 法一 由题意知：,,A B M N φφφ∈∈=又，故A B 中无其它元素，即A B φ=．法二 （特例法） 令M ＝｛1,2｝，N ＝｛3,4｝，则{},{1},{2},{1,2}A φ=，{},{3},{4},{3,4}B φ=，∴A B φ=． 4．Ｃ提示 依题设有，AB ＝A ，∴B A ．∴2x A ∈，但21,1x x ≠≠±即，∴只能x 2=3或2x x =，∴ （ x =1时与元素的互异性矛盾，故舍去）． 5．C 提示 若1M ∈，则5M ∈，{}1,5M ∴=符合要求；同理：{}{}{}{}{}{}2,4,3,1,5,2,4,1,5,3,2,3,4,1,2,3,4,5也都满足题设． 6．A 法一 赋值验证，分别令1,0,1,2,k =-得≠⊂357,,,,,44444M πππππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，35,,,,,4244N πππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，可知 M N ． 法二 图示分析法:M ：4种终边（象限角分线） N ：8种终边（轴线角及象限角分线） 法三 特例排除法.7．Ｃ 提示①的逆命题为假命题；②的否命题为真命题；③为真命题，故其逆否命题也为真命题． 8.B 9.C 提示：利用菱形的性质． 10．Ｄ 提示：x R ∈时，()()()()f x g x f x g x >⇔≤的解集为φ． 11．Ａ 12． Ａ 法一 结合图示，易知选A ．法二 由211y x y x bx =+⎧⎨=++⎩消去y 得2(1)10x b x c +-+-=.令Δ＞0，得22452442c b b c b b -<-⇒-<-；反之，24420c b b -<-⇒∆>，故选 A ．二、填空题：13．I 211,2n A x x n N +-⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭ð 注 若写成I 211,2n A x x n N ++⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭ð便错． 14．6 提示: 23－2=6 ． 15.必要不充分 16． x 或y 提示 x 为平面时，y 、z 为直线，符合；y为平面时，x 、z 为直线；z 为平面时，x 、y 为直线，不合．∴答案为x 或y ．注 答出其中一个即算正确． 三、解答题：17．（1） 解 ∵2A ∈，∴由已知得1112A =-∈-．又由1A -∈得111(1)2A =∈--， 再由12A ∈，得12112A =∈-，故11,,22A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. （2）证明 假设A 是单元素集，则必有a=,11a-即 2a －a ＋1=0． 而△=－3< 0，故此方程无实数解，假设不成立，从而A 不可能是单元素集． 18．解 （1）这个命题是“非p ”形式，p:()A AB ⊆，∵ p 为真， ∴ 非p 是假命题． （2）这个命题是“p 且q ”形式，p ：菱形对角线互相垂直；q ：菱形对角线互相平分．因≠⊂x为p 真q 真，所以“p 且q ”为真命题．19．解 2{|60}{32}A x x x =+-==-，， ∵B A ，∴ B φ=或{3}B =-或{2}B =． 当B φ=时，m =0； 当{3}B =-时，13103m m -+==，； 当{2}B =时，12102m m +==-，． ∴ m =0或13m =或12m =-． 故B A 的一个充分不必要条件是取上述m 的一个值或两个值．例如可回答为m =0；13m =；m =0或13m =；13m =或12m =-等． 20．解 B ＝｛2,3｝，C ＝｛－4,2｝，∵A B φ ，∴A B 非空． 又A C φ=，∴3A ∈．将x ＝3代入22190x ax a -+-=，得a ＝－2或a ＝5． 当a ＝5时，A ＝｛2,3｝．与{2}A C φ=≠，矛盾，舍去；当a ＝－2时，A ＝｛3，－5｝，符合要求，故所求a 值应为a ＝－2． 21．解 由题设，{}123B y y a =-≤≤+，且2a ≥-.1°当20a -≤≤时，{}24C z a z =≤≤，由数轴知：C B ⊆不可能成立，无解； 2°当02a <≤时，{}04,C z z C B =≤≤⊆,∴结合数轴知：02423a a <≤⎧⎨≤+⎩解得122a ≤≤；3°当a ＞2时，{}20,C z z a C B =≤≤⊆，且24a >,∴结合数轴知：2423a a <≤+，解得23a <≤．综合1°、2°、3°可得，所求a 的范围是11223322a a a a a ⎧⎫⎧⎫≤≤<≤=≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或．22．解 （1）正确．在等差数列{}n a 中，12(),2n n a a S +=则11(),2n n S a a n =+这表明点(,)n n S a n 的坐标适合方程11()2y x a =+，于是点(,)n n S a n 均在直线11122y x a =+上．（2）正确．设(,)x y A B ∈,则（x ，y ）中的坐标x ，y 应是方程组1221122114y x a x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解．由≠⊃方程组消去y 得：21124(*)a x a +=-，当a 1＝0时，方程（*）无解，此时AB φ≠；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解21142a x a --=，此时，方程组也只有一个解2112114244a x a a y a ⎧--=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故上述方程组至多有一解．∴A B 至多有一个元素．（3）不正确．取a 1=1,d =1，对一切的*,x N ∈有1(1)0,0nn S a a n d n n=+-=>>，这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于110a =≠．如果A B φ≠，那么由（2）知A B 中至多有一个元素00(,)x y ，而21010014530,02224a x a x y a +--==-<==-<，这样的00(,)x y A ∉，矛盾，故a 1＝1，d＝1时A B φ=，所以a 1≠0时，一定有A B φ≠是不正确的．。