2016版高考数学 第一章 集合与常用逻辑用语专题演练 理(含两年高考一年模拟)
江苏省2016届高考数学模拟试题按章节分类汇编——第1
目录（基础温习部份）第一章集合与简易逻辑.................................................. 错误!未定义书签。
第01课集合...................................................... 错误!未定义书签。
第02课逻辑联结词和四种命题...................................... 错误!未定义书签。
第03课充分条件与必要条件........................................ 错误!未定义书签。
第一章 集合与简易逻辑第01课 集合（苏州期初）1．已知集合},0,1{},1,0{-==B A 则=B A }1,1,0{- （苏州期中）1．设集合{}12A x x =-≤≤，{}04B x x =≤≤，则A B = ▲ ． {}|02x x ≤≤ （苏北四市摸底）1．已知集合{}11A x x =-≤≤，则AZ = ▲ ． {}1,0,1-（盐城三模）1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{1,3,5,7,9}B =，C AB =，则集合C 的子集的个数为▲ . 8 （苏锡常镇调研一）1。
已知集合{}/3,A x x x R =<∈，{}/1,B x x x R =>∈，则AB = . 答案：{}13x x <<解析：集合A ＝{}3x x <，集合B ＝{}1x x >，所以，A B ={}13x x <<【命题立意】本题旨在考查集合的概念和交集的运算．考查概念的理解和运算能力，难度较小．（苏锡常镇调研二）1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()U A B =▲ ．{125}，，（南通三模）1.已知集合M ＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，1，2}．若∁U A ＝ ▲ ．{}0 （苏北三市三模）1．已知集合A ={x |x =2k +1，k ∈Z }，B ={x |0<x <5}，则A ∩B = ▲ ．{1,3} （南京三模）1．已知全集U ＝{－1，2，3，a }，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为▲________．5（南通二调）２.设集合{}1,0,1A =-，11,B a a a ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭，{}0A B =，则实数a 的值为 ▲ ．１ （南京盐城二模）1．设集合A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则A ∪B ＝▲________．{x |－2＜x ＜1} (扬州期末)1．已知集合2{|20}A x x x =-<，{0,1,2}B =，则AB = ▲ ．{}1 （扬州期中）1．已知集合{|||2}A x x =≤，{|321}B x x =-≥，则AB = ▲ ． [1,2] (镇江期中) 1.设集合}0|{},3,2,1,0{2=-==x x x A U ，则=AC U {}2,3(盐城期中) 1．若集合(,]A m =-∞，{}22B x x =-<≤，且B A ⊆，则实数m 的取值范围是 ▲ . [2,)+∞(无锡期中) 1．已知集合{}02M x x =<<,{}1N x x =>，则MN = ▲ ．{}12x x << （无锡期末）一、已知集合{1,0,1},{0,,2}A B a =-=，若{1,0}A B =-，则a = －１（泰州期末）1．已知集合{}21A x x =≤，集合{}2,1,0,1,2B =--，则A B = ▲ ．}{1,0,1-（苏州期末）１.设全集U ＝｛x | x ≥2，x ∈N ｝，集合A ＝｛x | x 2≥5，x ∈N ｝，则U A ＝ ▲ ．{2} {0,1,A B =（南通调研一）一、已知集合A ＝{}{}|12,1,0,1x x B -<<=-，则AB ＝【答案】{}0,1． （南京期初）1．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2－1＞0}，则A ∩B ＝▲________．{2} （南京盐城一模）1．已知集合{}210A x x =-=，{}1,2,5B =-，则A B = ▲ . {}1-(常州期末) 二、设全集U ＝{}1,2,3,4，集合A ＝{}1,3，B ＝{}2,3，则U BC A ＝ {}2第02课 逻辑联结词和四种命题(扬州期中) 3．命题“,sin 1R θθ∀∈≤”的否定是 ▲ ． ,sin 1R θθ∃∈> (盐城期中) 2．命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ 命题.（填“真”或“假”）假 （泰州期末）8．若命题“存在20,4R x ax x a ∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．(2,)+∞1．命题：“∃x ∈Q ，x 2－8＝0”的否定是 ▲ ．∀x ∈Q ，x 2－8≠0第03课 充分条件与必要条件4．已知p ：0＜m ＜1，q ：椭圆x 2m＋y 2＝1的核心在y 轴上，则p 是q 的 ▲ 条件（用“充分没必要要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也没必要要”填空）．充要 (镇江期中)9.实系数一元二次方程02=++c bx ax ，则“0<ac ”是“该方程有实数根”的 条件（在“充分没必要要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又没必要要”当选择一个适合的填写）充分没必要要(盐城期中) 设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{}|||1B x x a =+<.（1）若3a =，求A B ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 解：（1）解不等式2230x x +-<，得31x -<<，即()3,1A =-， ..............2分 当3a =时，由31x +<，解得42x -<<-，即集合()4,2B =--， ..............4分 所以()4,1A B =-； ..............6分（2）因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. ...............8分 又集合()3,1A =-，(1,1)B a a =---+， ..............10分所以1311a a --≥-⎧⎨-+<⎩或1311a a -->-⎧⎨-+≤⎩， ..............12分 解得02a ≤≤，即实数a 的取值范围是02a ≤≤. ...............14分。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练(带答案)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练单选题1、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.2、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n−2与3p+1都是表示同一类数，6m−5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m−56,m∈Z}，x=m−56=6m−56=6(m−1)+16，对于集合N={x|x=n2−13,n∈Z}，x=n2−13=3n−26=3(n−1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n−1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m−1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m−1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M⊆N=P.故选：B.3、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.4、设a，b是实数，集合A={x||x−a|<1,x∈R}，B={x||x−b|>3,x∈R}，且A⊆B，则|a−b|的取值范围为（）A．[0,2]B．[0,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|〉3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D5、设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M答案：A分析：先写出集合M,然后逐项验证即可由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A6、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.7、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.8、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A分析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.多选题9、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.10、已知集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是（）A．x1x2∈A B．x2x3∈BC．x1+x2∈B D．x1+x2+x3∈A答案：ABC分析：本题首先可根据题意得出A表示奇数集，B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，然后依次对x1x2、x2x3、x1+x2、x1+x2+x3进行判断，即可得出结果.因为集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，所以集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，A项：因为两个奇数的积为奇数，所以x1x2∈A，A正确；B项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以x2x3∈B，B正确；C项：因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，C正确；D项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，D错误，故选：ABC.11、已知命题p:∃x∈R,ax2−4x−4=0，若p为真命题，则a的值可以为（）A．-2B．-1C．0D．3答案：BCD分析：根据给定条件求出p为真命题的a的取值范围即可判断作答，当a=0时，x=−1，p为真命题，则a=0，当a≠0时，若p为真命题，则Δ=16+16a≥0，解得a≥−1且a≠0，综上，p为真命题时，a的取值范围为a≥−1.故选：BCD12、已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B A时，则−6<a≤−3或a≥6答案：ABC分析：求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．A={x∈R|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，故A正确.a=−3时，A=B，故D不正确.若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确.当B=∅时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确.故选：ABC．13、已知集合P={1,2},Q={x|ax+2=0}，若P∪Q=P，则实数a的值可以是（）A．−2B．−1C．1D．0答案：ABD分析：由题得Q⊆P，再对a分两种情况讨论，结合集合的关系得解.因为P∪Q=P，所以Q⊆P.由ax+2=0得ax=−2，当a=0时，方程无实数解，所以Q=∅，满足已知；当a≠0时，x=−2a ，令−2a=1或2，所以a=−2或−1.综合得a=0或a=−2或a=−1.故选：ABD小提示：易错点睛：本题容易漏掉a=0. 根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以免漏解.填空题14、已知集合A={x|3≤x<7}，C={x|x>a}，若A⊆C，求实数a的取值范围_______.答案：(−∞,3)分析：根据集合的包含关系画出数轴即可计算.∵A⊆C，∴A和C如图：∴a＜3.所以答案是：(−∞,3).15、若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝∅，则m的取值范围是__．答案：m＞﹣4．解析：根据题意可得A是空集或A中的元素都是小于等于零的，然后再利用判别式以及韦达定理求解即可.解：A∩R+＝∅知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，若A＝∅，则Δ＝（m +2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0 ，①若A≠∅，则Δ＝（m +2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，又A中的元素都小于等于零∵两根之积为1，∴A中的元素都小于0，∴两根之和﹣（m+2）＜0，解得m＞﹣2∴m≥0，②由①②知，m＞﹣4，所以答案是：m＞﹣4．小提示：易错点点睛：本题考查利用交集的结果求参数，本题在求解中容易忽略A=∅的讨论，导致错解，同时本题也可以采取反面考虑结合补集思想求解.16、设集合A={−4，2m−1，m2}，B={9，m−5，1−m}，又A∩B={9}，求实数m=_____．答案：−3分析：根据A∩B={9}得出2m−1=9或m2=9，再分类讨论得出实数m的值.因为A∩B={9}，所以9∈A且9∈B，若2m−1=9，即m=5代入得A={−4，9，25}，B={9，0，−4}，∴A∩B={−4，9}不合题意；若m2=9，即m=±3．当m=3时，A={−4，5，9}，B={9，−2，−2}与集合元素的互异性矛盾；当m=−3时，A={−4，−7，9}，B={9，−8，4}，有A∩B={9}符合题意；综上所述，m=−3．所以答案是：−3解答题17、已知集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}，集合C={x|x2+2x−8=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．答案：(1)−3(2)−2分析：（1）求出集合B={2,3}，由A∩B={2}，得到2∈A，由此能求出a的值，再注意3∉A检验即可；（2）求出集合C={−4,2}，由A∩B≠∅，A∩C=∅，得3∈A，由此能求出a，最后同样要注意检验．（1）因为集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}={2,3}，且A∩B={2}，所以2∈A ，所以4−2a +a 2−19=0，即a 2−2a −15=0，解得a =−3或a =5．当a =−3时，A ={x |x 2+3x −10=0}={−5,2}，A ∩B ={2}，符合题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，A ∩B ={2,3}，不符合题意．综上，实数a 的值为−3．（2）因为A ={x |x 2−ax +a 2−19=0}，B ={2,3}，C ={x |x 2+2x −8=0}={−4,2}，且A ∩B ≠∅，A ∩C =∅，所以3∈A ，所以9−3a +a 2−19=0，即a 2−3a −10=0，解得a =−2或a =5．当a =−2时，A ={x |x 2+2x −15=0}={−5,3}，满足题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，不满足题意．综上，实数a 的值为−2．18、设α:m −1≤x ≤2m ，β:2≤x ≤4，m ∈R ，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：[2,3]分析：由题意可知α是β的必要不充分条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.由题意可知，α是β的必要不充分条件，所以，{x |m −1≤x ≤2m }{x |2≤x ≤4}，所以{m −1≤22m ≥4，解之得2≤m ≤3. 因此，实数m 的取值范围是[2,3].。
2016版高考数学第一章集合与常用逻辑用语专题演练理(含两年高考一年模拟)
∩B＝( ) A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4)2．(2015·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝ ( )A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]3．(2015·天津)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝( )A．{2，5} B．{3，6}C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}4．(2015·新课标全国Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝( )A．{－1，0} B．{0，1}C．{－1，0，1} D．{0，1，2}5．(2015·四川)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( )A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}6．(2015·浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q＝( )A．[0，1) B．(0，2]C．(1，2) D．[1，2]7．(2015·广东)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N ＝( )A．∅ B．{－1，－4}C．{0} D．{1，4}8．(2015·重庆)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则( )A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A9．(2014·湖北)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A ＝( )A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}10．(2014·湖北)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( )A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件11．(2014·浙江)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( ) A．∅ B．{2}C．{5} D．{2，5}12．(2014·北京)若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝( )A．{0，1，2，3，4} B．{0，4}C．{1，2} D．{3}13．(2014·广东)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝( )A．{0，1} B．{－1，0，2}C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}14．(2014·重庆)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B＝________．15．(2014·福建)若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．16．(2014·福建)已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．1.(2015·广州惠州模拟)若集合A ＝{x |≤1，x ∈R }，B ＝{x |y ＝x }，则A ∩B ＝( )A ．{x |0≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．∅2．(2015·山东日照一模)设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则∁U (A ∩B )等于( )A ．{2，3}B ．{1，4，5}C ．{4，5}D ．{1，5}3．(2015·福建泉州五校模拟)已知集合A ＝{cos 0°，sin 270°}，B ＝{x |x 2＋x ＝0}，则A ∩B 为( )A ．{0，－1}B ．{－1，1}C ．{－1}D ．{0}4．(2015·浙江嘉兴模拟)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，R 为实数，Z 为整数集，则(∁R A )∩Z ＝( )A ．{x |－3<x <1}B ．{x |－3≤x ≤1}C ．{－2，－1，0}D ．{－3，－2，－1，0，1}5．(2015·辽宁五校模拟)设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，则M ∪N ＝( )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |x <－1}D ．{x |x ≤－2}6．(2015·黑龙江大庆模拟)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，集合B ＝{x |log x 4＝2}，则A ∪B ＝( )A ．{－2，1，2}B ．{1，2}C ．{－2，2}D ．{2}7．(2015·湖南三市模拟)已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．38．(2015·河北邯郸模拟)已知集合A ＝{x |x 2－16<0}，B ＝{－5，0，1}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．B ⊆A C ．A ∩B ＝{0，1} D ．A ⊆B9．(2015·湖北荆门模拟)集合A ＝{x ∈N |x ≤6}，B ＝{x ∈R |x 2－3x >0}，则A ∩B ＝( ) A ．{3，4，5} B ．{4，5，6} C ．{x |3<x ≤6} D ．{x |3≤x <6}10．(2015·山东日照模拟) 设集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，B ＝{y ∈R |y ＝2x，x ∈R }，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(0，3)C ．[0，3)D ．(－1，3)11．(2015·福建厦门模拟)设集合A ＝{x |x ＋2>0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |y ＝13－x ，则A ∩B ＝( ) A ．{x |x >－2} B ．{x |x <3} C ．{x |x <－2或x >3} D ．{x |－2<x <3}12．(2015·杭州七校模拟)已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．2或 213．(2015·贵州七校模拟)已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }，则A ∩B 的真子集个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．814．(2015·重庆模拟)设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则(∁R M )∩N ＝________．15．(2015·湖北荆门模拟)已知：对于给定的q ∈N *及映射f ：A →B ，B ⊆N *，若集合C ⊆A ，且C 中所有元素在B 中对应的元素之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集．①对于q ＝2，A ＝{a ，b ，c }，映射f ：x →1，x ∈A ，那么集合A 的所有好子集的个数为________；②对于给定的q ，A ＝{1，2，3，4，5，6，π}，映射f ：A →B 的对应关系如下表：若当且仅当C 5个整数时，C 为集合A 的好子集，则所有满足条件的数组(q ，y ，z )为________．(x＋2)＜0”的( )1.(2015·重庆)“x＞1”是“log2A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．(2015·安徽)设p：1<x<2，q：2x>1，则p是q成立的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．(2015·湖北)设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2，则( )A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件5．(2015·湖南)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．(2015·新课标全国Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n7．(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．(2015·浙江)设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数，命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，( )A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立9．(2014·湖南)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④10．(2014·辽宁)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c ＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)11．(2014·重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A．p∧綈q B．綈p∧qC．綈p∧綈q D．p∧q12．(2014·重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．綈p∧綈qC．綈p∧q D．p∧綈q13．(2014·陕西)原命题为“若a n＋a n＋12＜a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，真，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假14．(2014·陕西)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假15．(2014·新课标全国Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件1．(2015·福建厦门模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0≥2，则綈p 是( )A ．∃x 0∈R ，sin x 0≤12B ．∃x 0∈R ，sin x 0<12C ．∀x ∈R ，sin x ≤12D ．∀x ∈R ，sin x <122．(2015·四川成都模拟)已知命题p ：“若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ”，则下列说法正确的是( )A ．命题p 的逆命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” B ．命题p 的逆命题是“若x <2ab ，则x <a 2＋b 2” C ．命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” D ．命题p 的否命题是“若x ≥a 2＋b 2”，则x <2ab3．(2015·广东惠州模拟)“a >b >0”是“a 2>b 2”成立的条件( ) A ．必要不充分 B ．充分不必要 C ．充要 D ．既不充分也不必要4．(2015·广东揭阳模拟)已知命题p ：四边形确定一个平面；命题q ：两两相交的三条直线确定一个平面．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．(綈p )∨qD ．p ∧(綈q )5．(2015·河北邯郸模拟)设a ，b 是两个非零向量，则“a ·b <0”是“a ，b 夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2015·四川乐山模拟)设x ∈R ，则“x >23”是“3x 2＋x －2>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．(2015·安徽淮北模拟)已知X ＝log m n ，则mn >1是X >1的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．(2015·北京西城模拟)设函数f (x )＝3x ＋b cos x ，x ∈R ，则“b ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．(2015·陕西安康模拟)函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( )A ．b ≥0B ．b >0C ．b <0D ．b ≤010．(2015·山东德州模拟)已知命题p ：∀x >0，x ＋4x≥4：命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0＝12.则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题11．(2015·山东潍坊模拟)下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件 C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题 D ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0 12．(2015·福建福州模拟)已知AB ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．(2015·湖北八校模拟)“a ≠5且b ≠－5”是“a ＋b ≠0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件14．(2015·四川成都模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝log 3(x ＋1)．若关于x 的不等式f [x 2＋a (a ＋2)]≤f (2ax ＋2x )的解集为A ，函数f (x )在[－8，8]上的值域为B ，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．15．(2015·山东菏泽模拟)下列4个命题： ①“如果x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题 ②“如果x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题③在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件④“函数f (x )＝tan (x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )” 其中真命题的序号是________．参考答案第一章集合与常用逻辑用语考点1 集合【两年高考真题演练】1．C [∵A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|(x－1)(x－3)}＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2，3)．]2．A [由题意得M＝{0，1}，N＝(0，1]，故M∪N＝[0，1]，故选A.]3．A [由题意知，∁U B＝{2，5，8}，则A∩∁U B＝{2，5}，选A.]4．A [由A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1}，得A∩B ＝{－1，0}，故选A.]5．A [∵A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}．]6．C [∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁R P＝{x|0＜x＜2}，∴(∁R P)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.7．A [因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}＝{1，4}，所以M∩N＝∅，故选A.]8．D [由于2∈A，2∈B，3∈A，3∈B，1∈A，1∉B，故A，B，C均错，D是正确的，选D.]9．C [由题意知∁U A＝{2，4，7}，选C.]10．C [“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”⇔“A∩B＝∅”，选C.]11．B12．C [因为集合A，B中的公共元素为1，2，所以A∩B＝{1，2}，应选C.]13．C [M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1，0，1，2}，选C.]14．{7，9} [依题意得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∁U A＝{4，6，7，9，10}，(∁U A)∩B＝{7，9}．]15．6 [根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，其中a＝1与b＝1矛盾，条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，则a＝3符合条件的有序数组为(3，1，2，4)；(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．所以共有6个．故答案为6.]16．201 [可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1或b ＝c ＝0或a ＝c ＝0与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201.]【一年模拟试题精练】1．A [由|x |≤1得－1≤x ≤1，∴A ＝{x |－1≤x ≤1}；由y ＝x 得x ≥0，∴B ＝{x |x ≥0}．∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．故选A.]2．B [A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，∴A ∩B ＝{2，3}，又∵U ＝{1，2，3，4，5}，∴∁U (A ∩B )＝{1，4，5}．]3．C [∵A ＝{1，－1}，B ＝{0，－1}，∴A ∩B ＝{－1}，选C.]4．D [集合A ＝{x |x <－3或x >1}，所以∁R A ＝{x |－3≤x ≤1}，所以(∁R A )∩Z ＝{－3，－2，－1，0，1}，故选D.]5．A [M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4＝{x |x ≥－2}，则M ∪N＝{x |x ≥－2}，故选A.]6．B [A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，B ＝{x |log x 4＝2}＝{2}，则A ∪B ＝{1，2}，故选B.]7．C [B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }＝{0，2，4，6} ，则A ∩B ＝{0，2}，故选C.]8．C [A ＝{x |x 2－16<0}＝{x |－4<x <4}，所以A ∩B ＝{0，1}故选C.]9．B [A ＝{x ∈N |x ≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{x ∈R |x 2－3x >0}＝{x |x >3或x <0}，则A ∩B ＝{4，5，6}，故选B.]10．C [A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x |－1<x <3}，B ＝{y |y ≥0}，则A ∩B ＝[0，3)，故选C.]11．D [A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x <3}，则A ∩B ＝{x |－2<x <3}，故选D.]12．A [因为A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }＝{2}且A ⊆B ，故m ＝2，故选A.]13．C [B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }＝{0，1，2，3，2}，则A ∩B ＝{0，1，2}故其真子集的个数为7个，故选C.]14．{x |1<x ≤2} [由M 中不等式解得：x <－2或x >2，即M ＝{x |x <－2或x >2}，∴∁R M ＝{x |－2≤x ≤2}，由N 中不等式变形得：x －3x －1≤0，解得：1<x ≤3，即N ＝{x |1<x ≤3}， 则(∁R M )∩N ＝{x |1<x ≤2}．故答案为：{x |1<x ≤2}．]15．①4 ②(5，1，3)考点2 常用逻辑用语【两年高考真题演练】1．B [由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件．因此选B. ]2．B [m ⊂α，m ∥β⇒/α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件．]3．A [当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q ⇒/p ，故选A.]4．A [柯西不等式“(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )≥(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2”等号成立的条件是“a 1a 2＝a 2a 3＝…＝a n －1a n(即a 1，a 2，…，a n ，成等比数列)”或“a 2＝a 3＝…＝a n ＝0”，故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．故选A.]5．C [由A ∩B ＝A 可知，A ⊆B ；反过来A ⊆B ，则A ∩B ＝A ，故选C.]6．C [将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”．]7．A [∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A.]8．A [∵A ≠B ⇒card(A ∪B )＞card(A ∩B )，即d (A ，B )＞0，若A ＝B ⇒d (A ，B )＝0，则由d (A ，B )≠0⇒A ≠B ，即d (A ，B )＞0⇒A ≠B ，∴命题①成立；由韦恩图知，命题②也成立，故选A.]9．C [由题易知命题p 为真，命题q 为假，则綈p 为假，綈q 为真．故p ∧q 为假，p ∨q 为真，p ∧(綈q )为真，(綈p )∨q 为假．故选C.]10．A11．A [命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题，选A.]12．D [依题意，命题p 是真命题．由x >2⇒x >1，而x >1D /⇒x >2，因此“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故命题q 是假命题，则綈q 是真命题，p ∧綈q 是真命题，选D.]13．A [从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.]14．B [因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z 1|＝|z 2|，当z 1＝1，z 2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.]15．C [设f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但是f (x )是单调增函数，在x ＝0处不存在极值，故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题．故选C.]【一年模拟试题精练】1．D [特称命题的否定是全称命题故选D.]2．C [原命题为若綈p 则綈q 的形式，则否命题为若綈p 则綈q 的形式，故选C.]3．B [由不等式的性质知，当a >b >0时，a 2>b 2成立；反之，例如取a ＝－3，b ＝1，显然a 2>b 2，而a >b >0不成立．故选B.]4．C [命题p ，q 均为假命题，则綈p 为真命题，所以(綈p )∨q 为真命题，故选C.]5．B [a ·b <0得到a ，b 夹角为钝角或π，反之成立，故选B.]6．A [由3x 2＋x －2>0得x >23或x <－1，故由“x >23”能推出“3x 2＋x －2>0”，反之则不能，故选A.]7．D [mn >1时X >1不一定成立，反之也不一定成立，故选D.]8．C [当b ＝0时，函数f (x )为奇函数，反之也成立，故选C.]9．A [函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数需满足－b 2≤0，则b ≥0，故选A.] 10．C [命题p 为真命题，命题q 为假命题，则p ∧(綈q )是真命题，故选C.]11．C [根据原命题与其逆否命题等价，具有共同的真假性，故选C.]12．A [因为A B ，则集合A 中的元素是集合B 中的元素，而集合B 中的元素不一定是集合A 中的元素，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件．]13．D [a ≠5，b ≠－5推不出a ＋b ≠0，例如a ＝2，b ＝－2时，a ＋b ＝0，a ＋b ≠0也推不出a ≠5且b ≠－5，所以“a ≠5且b ≠－5”是“a ＋b ≠0”既不充分条件也不必要条件，所以选D.]14．[－2，0] [∵f (x )是奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝log 3(x ＋1)为增函数，∴f (x )在[－8，8]上也为增函数，且f (8)＝log 3(8＋1)＝log 3 9＝2，即函数f (x )在[－8，8]上的值域为B ＝[－2，2]，由f [x 2＋a (a ＋2)]≤f (2ax ＋2x )得x 2＋a (a ＋2)≤2ax ＋2x ，即x 2－2(a ＋1)x ＋a (a ＋2)≤0，则(x －a )[x －(a ＋2)]≤0，即a ≤x ≤a ＋2，即A ＝[a ，a ＋2]，∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，∴A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a ＋2≤2，解得－2≤a ≤0，故答案为：[－2，0]．] 15．①② [③“A >30°”是“sin A >12”的既不充分也不必要条件，不正确；④φ＝k π(k ∈Z )是函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数的充分不必要条件，不正确．]。
2016届高考数学理命题猜想专题01集合与常用逻辑用语(解析版)
命题猜想一集合与常用逻辑用语【考向解读】集合与常用逻辑用语在高考中是以选择题或填空题的形式进行考查的，属于容易题．但命题真假的判断，这一点综合性较强，联系到更多的知识点，属于中挡题．预测2016年高考会以集合的运算和充要条件作为考查的重点．【命题热点突破一】集合的关系及运算集合是高考每年必考内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度大多数为最低档，有时候在填空题中以创新题型出现，难度稍高．在复习中，本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用．同时注意研究有关集合的创新问题，研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用．1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．例1、(1)已知集合A＝{x|f(x)＝lg(x2－2x)}，B＝{x|－5<x<5}，则() A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B(2)对于非空集合A，B，定义运算：A B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M＝{x|a<x<b}，N＝{x|c<x<d}，其中a、b、c、d满足a＋b＝c＋d，ab<cd<0，则M N等于() A．(a，d)∪(b，c) B．(c，a]∪[b，d)C．(a，c]∪[d，b) D．(c，a)∪(d，b)【答案】(1)B(2)C【解析】(1)∵A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－5<x<5}，A∪B＝R，故选B.【感悟提升】(1)集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后可借助Venn图或数轴求解．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．【变式探究】(1)(2015·山东)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B等于()A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4)(2)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.【答案】(1)C(2)C(3)4【解析】(1)∵A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|(x－1)(x－3)}＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2,3)．(2)若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，则可以推出A∩B＝∅；点评(1)弄清集合中所含元素的性质是集合运算的关键，这主要看代表元素，即“|”前面的表述．(2)当集合之间的关系不易确定时，可借助Venn图或列举实例．【命题热点突破二】四种命题与充要条件逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主．在复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用．这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查．1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．例2、(1)下列叙述中正确的是()A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β(2)已知p：m－1<x<m＋1，q：(x－2)(x－6)<0，且q是p的必要不充分条件，则m的取值范围是()A．3<m<5 B．3≤m≤5C．m>5或m<3 D．m≥5或m≤3【答案】(1)D(2)B【解析】(1)由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，A错；因为ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，B错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，C错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，D正确．【感悟提升】充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．【变式探究】(1)(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】 m ⊂α，m ∥β⇒/α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，所以m ∥β是α∥β的必要而不充分条件．(2)给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；②a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；③在△ABC 中，sin A >sin B 的充要条件为A >B ；④在△ABC 中，设命题p ：△ABC 是等边三角形，命题q ：a ∶b ∶c ＝sin B ∶sin C ∶sin A ，那么命题p 是命题q 的充分不必要条件．其中正确的命题为________．(把你认为正确的命题序号都填上)【答案】①③点评判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)准确转化：若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，那么p是q的充要条件．【命题热点突破三】逻辑联结词、量词1．命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p 和p为真假对立的命题．2．命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．3．“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．例3、(1)已知命题p：在△ABC中，“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件；命题q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是()A．p真q假B．p假q真C．“p∧q”为假D．“p∧q”为真(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．a≤－2或a＝1 B．a≤2或1≤a≤2C．a>1 D．－2≤a≤1【答案】(1)C(2)C【解析】【感悟提升】(1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．【变式探究】(1)(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面(2)(2014·湖南)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】(1)D(2)C【解析】(1)对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．点评利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法．在解答时要有意识地去练习．【高考真题解读】1．(2015·天津)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁U B)等于()A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}【答案】 A【解析】由题意知，∁U B＝{2,5,8}，则A∩(∁U B)＝{2,5}，选A.2．(2014·安徽)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】∵ln(x＋1)<0，∴0<x＋1<1，∴－1<x<0.∵x<0是－1<x<0的必要不充分条件，故选B.3．(2015·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N等于()A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]【答案】 A【解析】由题意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1]，故选A.4．(2014·山东)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B等于()A．[0,2] B．(1,3)C．[1,3) D．(1,4)【答案】 C【解析】由|x－1|<2，解得－1<x<3，由y＝2x，x∈[0,2]，解得1≤y≤4，∴A∩B＝(－1,3)∩[1,4]＝[1,3)．5．(2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y ∈Z}，定义集合A B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A B中元素的个数为() A．77B．49C．45D．30【答案】 C【解析】6．(2015·浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q等于()A．[0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2]【答案】 C【解析】∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁R P＝{x|0＜x＜2}，∴(∁R P)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.7．(2015·湖北)设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：(a21＋a22＋…＋a2n－1)·(a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2，则()A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【解析】8．(2015·课标全国Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为() A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n【解析】将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”．9．(2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q是充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】 C【解析】10．(2014·陕西)原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假【答案】 A【解析】a n＋a n＋12<a n⇔a n＋1<a n⇔{a n}为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.11．(2015·山东)若m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是() A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0【答案】 D【解析】。
高考数学《1.1集合与常用逻辑用语》
关闭
关闭
解析 答案
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-13-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
5.(教材例题改编P8例5)设集合A={x|(x+1)·(x-2)<0},集合 B={x|1<x<3},则A∩B=( )
A.(-1,3) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)
A.{1,2,3} B.{1,2,4}
C.{1,3,4} D.{2,3,4}
解析 ∵A={1,4},B={2,4}, ∴A∩B={4}. 又U={x∈N*|x≤4}={1,2,3,4}, A∴∁U(A∩B)={1,2,3}
关闭
关闭
解析 答案
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-12-
12345
2.集合间的基本关系
关系 自然语言
符号语言
集合 A 中所有元素都在 子集 集合 B 中(即若 x∈A,则 x A⊆B(或B⊇A)
∈B)
真子 集
相等
集合 A 是集合 B 的子集, 且集合 B 中至少有一个 元素不在集合 A 中
集合 A,B 中元素相同或 集合 A,B 互为子集
A⫋B(或B⫌A) A=B
-5-
Venn 图 或
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-6-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B
={x|x∈A或x∈B}
三年高考两年模拟高考数学专题汇编第一章集合与常用逻辑用语3文
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·湖北，3)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－12.(2014·湖南，1)设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为( )A．∃x0∈R，x20＋1＞0 B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤03.(2014·安徽，2)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2＜0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20＜0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥04.(2014·湖北，3)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x5.(2014·福建，5)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x＜0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0＜0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥06.(2014·天津，3)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则綈p为( )e x≤1A．∃x0≤0，使得(x0＋1)0e x≤1B．∃x0＞0，使得(x0＋1)0C．∀x＞0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤17.(2014·重庆，6)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；命题q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A．p∧綈q B．綈p∧qC．綈p∧綈q D．p∧q8.(2014·辽宁，5)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川资阳模拟)下列命题，为真命题的是( ) A.∃x ∈R ，x 2≤x －2 B.∀x ∈R ，2x>2－x 2C.函数f (x )＝1x是定义域上的减函数D.“被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个被2整除的整数不是偶数” 2.(2016·河南适应性模拟练习)已知命题p ：∀x ＞0，x ＋4x ≥4：命题q ：∃x 0∈R ＋，2x 0＝12.则下列判断正确的是( ) A.p 是假命题 B.q 是真命题C.p ∧(綈q )是真命题D.( 綈p )∧q 是真命题3.(2016·长春四校联考)下列命题错误的是( )A.命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B.命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则綈p ：对任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 C.若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D.“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件4.(2016·广东茂名第二次模拟)已知命题綈p ：存在x ∈(1，2)使得e x－a >0，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，e) B.(－∞，e] C.(e 2，＋∞)D.[e 2，＋∞)5.(2015·北京西城区高三期末)设命题p ：∀x ＞0，2x ＞log 2x ，则綈p 为( ) A.∀x ＞0，2x＜log 2x B.∃x ＞0，2x≤log 2x C.∃x ＞0，2x ＜log 2xD.∃x ＞0，2x≥log 2x6.(2015·广东湛江二模)下列四个命题中，假命题为( ) A.存在x ∈R ，使lg x ＞0 B.存在x ∈R ，使12x ＝2 C.对于任意x ∈R ，2x＞0D.对于任意x ∈R ，x 2＋3x ＋1＞07.(2015·玉溪一中高三统考)已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1(a ≠0)在(0，1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a在(0，＋∞)上是减函数.若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.(1，2]C.(－∞，2]D.(－∞，1]∪(2，＋∞)8.(2015·泰安一模)已知命题p：∃x∈R，x2＋1＜2x；命题q：若mx2－mx－1＜0恒成立，则－4＜m≤0，那么( )A.“綈p”是假命题B.“綈q”是真命题C.“p∧q”为真命题D.“p∨q”为真命题9.(2015·浙江金华二模)已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R，16x2－16(a－1)x＋1≠0”.若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析特称性命题的否定是全称性命题，且注意否定结论，故原命题的否定是：“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”．故选A.答案 A2.解析命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题，选A.答案 A3.解析对于命题p：因为a·b＝0，b·c＝0，所以a，b与b，c的夹角都为90°，但a，c的夹角可以为0°或180°，故a·c≠0，所以命题p是假命题；对于命题q：a∥b，b∥c 说明a，b与b，c都共线，可以得到a，c的方向相同或相反，故a∥c，所以命题q是真命题．选项A中，p∨q是真命题，故A正确；选项B中，p∧q是假命题，故B错误；选项C中，綈p是真命题，綈q是假命题，所以(綈p)∧(綈q)是假命题，所以C错误；选项D中，p∨(綈q)是假命题，所以D错误．故选A.答案 A4.解析全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p 的否定为“∃x0∈R，x20＋1≤0”，故选B.答案 B5.解析命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20＜0”，故选C.答案 C6.解析全称命题的否定是特称命题：∃x∈R，x2＝x，故选D.答案 D7.解析把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定，故选C.答案 C8.解析 全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x＞1的否定是 綈p ：∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x0≤1. 答案 BB 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 x 2－x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74>0，即x 2>x －2，故A 错；当x ＝0时，20<2－02，故B 错；函数f (x )＝1x在其定义域上不是单调函数，故C 错，只有D 正确.答案 D2.解析 当x ＞0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4，故p 为真命题，当x ＞0时，2x ＞20＝1，故命题q 为假命题，故选C.答案 C3.解析 p ∧q 为假命题，表示p 与q 不全为真命题. 答案 C4.解析 因为p 是真命题，所以∀x (1，2)，有e x －a ≤0，即a ≥e x ，又y ＝e x 在(1，2)有y <e 2，所以a ≥e 2. 答案 D5.解析 全称命题的否定为特称命题，故选B. 答案 B6.解析 注意“存在”和“任意”的意义，易知A 、B 、C 均正确. 而对于D 中，取x ＝－1，则x 2＋3x ＋1＝－1＜0，故D 不正确. 答案 D7.解析 由题意，命题p ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1＋8a ＞0，f （0）·f （1）＝（－1）·（2a －2）＜0，解得a ＞1.命题q ：2－a ＜0，得a ＞2，∴綈q ：a ≤2，故由p 且綈q 为真命题，得1＜a ≤2，故选B. 答案 B8.解析 对于命题p ，x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，即对任意的x ∈R ，都有x 2＋1≥2x ，因此命题p 是假命题.对于命题q ，若mx 2－mx －1＜0恒成立，则当m ＝0时，mx 2－mx －1＜0恒成立， 当m ≠0时，由mx2－mx －1＜0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，即－4＜m ＜0. 因此若mx 2－mx －1＜0恒成立，则－4＜m ≤0，故命题q 是真命题.因此，“綈p ”是真命题，“綈q ”是假命题， “p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，选D. 答案 D9.解 若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，∴0<a ≤1.若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32.∵命题“p ∧q ”为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，12<a <32，∴12<a ≤1.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.。
第一章 集合与常用逻辑用语【章节复习专项训练】(原卷版)
第一章集合与常用逻辑用语【章节复习专项训练】【考点1】：集合的概念例题1．下列几组对象可以构成集合的是（）A ．充分接近π的实数的全体B ．善良的人C ．世界著名的科学家D ．某单位所有身高在1.7m 以上的人【变式1】下列判断正确的个数为（）（1）所有的等腰三角形构成一个集合；（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；（3）质数的全体构成一个集合；（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．A ．1B ．2C ．3D ．4【变式2】下列描述正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}2y y x =与(){}2,x y y x =集合是同一个集合；（3）3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；（4）偶数集可以表示为{}2,x x k k Z =∈.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式3】已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，y ﹣x ∈A }，则集合B 中的元素的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【变式4】下列命题中正确的（）①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示．A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上语句都不对【考点2】：集合间的基本关系例题1．设集合{|10}P m m =-<≤，2{|440}Q m R mx mx =∈+-<对任意实数x 恒成立，则下列关系中成立的是（）A ．P 是Q 的真子集B ．Q 是P 的真子集C ．P Q=D ．P 与Q 无关【变式1】设集合2{|54}A x x a a a N +==-+∈，，集合2{|22}B y y a a a N +==++∈，，则下列关系正确最准确的是（）A ．A B⊆B ．B A⊆C ．A ÛBD ．B ÛA【变式2】已知集合{}2|1M y y x ==-+，{}|21P x y x ==+，则集合M 与P 的关系是（）A ．M P =B ．P M∈C ．P M ÜD ．M PÜ【变式3】已知集合{|2,},{|22}A x x k k Z B x x ==∈=-≤≤，则A B =（）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．{0,2}D ．{2,0,2}-【变式4】集合12 1M xx Z N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭∣，，则M 的非空真子集的个数是（）A ．30个B ．32个C ．62个D ．64个【考点3】：集合的基本运算例题1．设全集{|}2U x x ∈≤Z ＝，{|10,}A x x x U =+≤∈，{}2,0,2B =-，则()U A B =ð（）A ．{}1B ．{}0,2C ．{2,0,1,2}-D ．(1,2]{2}-⋃-【变式1】设集合U ={0，1，2，3，4}，A ={1，2}，B ={2，3}，则()()U U A B ⋂=痧（）A ．{0，4}B ．{4}C ．{1，2，3}D ．⌀【变式2】已知U =R ，{}2M x x =≤，{}11N x x =-≤≤，则U M N =ð（）A ．{1x x <-或}12x <≤B ．{}12x x <≤C ．{1x x ≤-或}12x ≤≤D ．{}12x x ≤≤【变式3】设全集为U ，定义集合M 与N 的运算：{()*|M N x x M N =∈⋃且()}x M N ∉⋂，则()**N N M =A ．M B ．N C ．U M NI ðD ．U N MI ð【变式4】已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（）A ．{}62,x x k k Z =+∈B ．{}42,x x k k Z =+∈C ．{}21,x x k k Z =+∈D ．∅【考点4】：充分条件与必要条件整式的乘法例题1．已知a R ∈，则“1a >”是“11a<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式1】设P ､Q 是非空集合，命题甲为：P ∩Q =P ∪Q ；命题乙为：P ⊆Q ，那么甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式2】若a 、b 为实数，则“1ab >”是“1b a>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3】设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要【变式4】设x ∈R ，则“210x -<”是“31x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点5】：全称量词命题与存在量词命题例题1．下列说法中，正确的个数是（）①存在一个实数x 0，使－220x ＋x 0－4＝0；②所有的素数都是奇数；③至少存在一个正整数，能被5和7整除．A ．0B ．1C ．2D ．3【变式1】对下列命题的否定说法错误的是（）A ．p ：能被2整除的数是偶数；￢p ：存在一个能被2整除的数不是偶数B ．p ：有些矩形是正方形；￢p ：所有的矩形都不是正方形C ．p ：有的三角形为正三角形；￢p ：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃n 0∈N ，02100n ≤；￢p ：∀n ∈N ，2n >100.【变式2】命题“1x ∃>，使2230x x --≤”的否定形式为（）A ．1x ∃≤使2230x x -->B ．1x ∀>均有2230x x -->C ．1x ∀≤均有2230x x -->D ．1x ∃≤使2230x x --≤【变式3】下列存在量词命题的否定中真命题的个数是（）（1）x ∃∈R ，0x ≤；（2）至少有一个整数，它既不是合数，又不是素数；（3）x ∃∈Z ，使345x +=．A ．0B ．1C ．2D ．3【变式4】关于命题“当[]1,2m ∈时，方程220x x m -+=没有实数解”，下列说法正确的是A ．是全称量词命题，假命题B ．是全称量词命题，真命题C ．是存在量词命题，假命题D ．是存在量词命题，真命题。
2016届山东省济宁市高考数学理讲练练习第1讲集合与常用逻辑用语1(新人教A版)
第一讲集合与常用逻辑用语1．[2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于( )A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}1．.A [解析] 把集合P＝{x|2≤x<4}与Q＝{x|x≥3}在数轴上表示出来，得P∩Q＝{x|3≤x<4}，故选A（2011）2.设集合M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =（A）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]【答案】A【解析】因为，所以，故选A.（2012山东）3、已知全集，集合，，则为(A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}【解析】,所以,选C.【答案】C4、[2014·江西卷] 设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝( )A．(－3，0) B．(－3，－1)C．(－3，－1] D．(－3，3)C [解析] ∵A＝(－3，3)，∁R B＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)，∴A∩(∁R B)＝(－3，－1]．5.[2014·辽宁卷] 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}D [解析] 由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝x|0<x<1}．6、(2012江西)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为A．5 B．4C．3 D．2解析：当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z ＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共3个元素．7、[2014·北京卷] 设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件D [解析] 当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．8、[2014·江西卷] 下列叙述中正确的是( )A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βD [解析] 对于选项A ，a >0，且b 2－4ac ≤0时，才可得到ax 2＋bx ＋c ≥0成立，所以A 错．对于选项B ，a >c ，且b ≠0时，才可得到ab 2>cb 2成立，所以B 错．对于选项C ，命题的否定为“存在x ∈R ，有x 2<0”， 所以C 错．对于选项D ，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以D 正确．9、[2014·安徽卷] 命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否．定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0C [解析] 易知该命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”．10、（2012湖南）命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．答案：C11、（2011北京）若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．非p 是真命题 D ．非q 是真命题解析：只有非q 是真命题． 答案：D12．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得：x 2＋x ＋1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1＜0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题【解析】 对于选项A ，命题的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 错； 对于选项B ，x ＝－1⇒x 2－5x －6＝0但x 2－5x －6＝0 x ＝－1，故B 错； 对于选项C ，命题的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，故C 错；对于选项D ，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，从而其逆否命题也是真命题，故D正确．。
2016年高考数学理试题分类汇编：集合与常用逻辑用语
2016年高考数学理试题分类汇编集合与常用逻辑用语一、集合1、（2016年北京高考）已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B = （ ）A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}-D.{1,0,1,2}-【答案】C2、（2016年山东高考）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B = （A ）(1,1)-（B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞ 【答案】C3、（2016年上海高考）（2016年浙江高考）已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ðA ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞【答案】B4、（2016年四川高考）设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C5、（2016年天津高考）已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{1,4}【答案】D6、（2016年全国I 高考）设集合2{|430}A x x x =-+< ，{|230}B x x =->，则A B =（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2 （D ）3(,3)2【答案】D7、（2016年全国II 高考）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C8、（2016年全国III 高考）设集合S ={}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S I T =(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞）(C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞）【答案】D9、(2016江苏省高考)已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B ________▲________.【答案】{}1,2-二、常用逻辑用语1、（2016年北京高考）设a ，b 是向量，则“||||a b = ”是“||||a b a b +=- ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D2、（2016年山东高考）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A3、（2016年上海高考）设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件【答案】A4、（2016年四川高考）设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A5、（2016年天津高考）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C6、（2016年浙江高考） 命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的定义形式是A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D。
【最高考系列】(教师用书)2016届高考数学一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语课堂过关 理
第一章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1～2页)1. (必修1P 10第5题改编)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m}，若3∈A，则m ＝________．答案：－32解析：因为3∈A，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3满足题意．所以m ＝－32.2. (必修1P 7第4题改编)已知集合A ＝{(x ，y)|－1≤x≤1，0≤y<2，x 、y∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________．答案：{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}解析：集合A 表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤1，x ∈Z ，0≤y<2，y ∈Z 确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A 为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．3. (必修1P 17第6题改编)已知集合A ＝[1，4)，B ＝(－∞，a)，A Í B ，则a∈________． 答案：[4，＋∞)解析：在数轴上画出A 、B 集合，根据图象可知．4. (原创)若集合A ＝{x|y ＝x ＋1，x ∈R }，B ＝{y|y ＝x 2－1，x ∈R }，则集合A 、B 的关系是________．答案：A ＝B解析：由集合A 、B 的意义得A ＝{x|x≥－1}，B ＝{y|y≥－1}，所以A ＝B. 5. (必修1P 9练习1改编)设M 为非空的数集，M {0，1，2，3}，且M 中至少含有一个偶数元素，则这样的集合M 共有________个．答案：12解析：集合{0，1，2，3}的所有子集共有24＝16(个)，只含有奇数的集合{1，3}的所有子集共有22＝4(个)，故满足要求的集合M 共有16－4＝12(个)．1. 集合的含义及其表示 (1) 集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn 图法．(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N ；正整数集记作N或N ＋；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R ；复数集记作C ．2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．(2) 集合与集合之间的关系① 包含关系：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A Ê B 或B Ê A ，读作“集合A 包含于集合B”或“集合B 包含集合A”．② 真包含关系：如果A Í B ，并且A≠B，那么集合A 称为集合B 的真子集，记为AB 或BA ，读作“集合A 真包含于集合B”或“集合B 真包含集合A”．③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素，则称这两个集合相等．(3) 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个，真子集共有2n －1个，非空子集共有2n－1个，非空真子集有2n－2个．题型1 集合的基本概念例1 已知集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1) 若A 是空集，求a 的取值范围；(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并将这个元素写出来； (3) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解： (1) 若A 是空集，则Δ＝9－8a ＜0，解得a ＞98.(2) 若A 中只有一个元素，则Δ＝9－8a ＝0或a ＝0，解得a ＝98或a ＝0；当a ＝98时，这个元素是43；当a ＝0时，这个元素是23.(3) 由(1)(2)知，当A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是a≥98或a ＝0.备选变式（教师专享）已知a≤1时，集合[a ，2－a]中有且只有3个整数，则a 的取值范围是________． 答案：－1<a≤0解析：因为a≤1，所以2－a≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a ＝0，集合中有0，1，2三个整数，所以a ＝0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2<2－2a<4，解得－1<a<0，此时，集合中有0，1，2三个整数，－1<a<0适合题意．综上，a 的取值范围是－1<a≤0.变式训练设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝{x|x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则M________N. 答案：真属于题型2 集合间的基本关系例2 (2014·兴化期中)已知集合A ＝{x|4－2k<x<2k －8}, B ＝{x|－k<x<k}, 若AB, 则实数k 的取值范围是____________．答案：(0, 4] 解析：由A 真属于B 知，B ≠Æ，－k<k ，即k>0.若A ＝Æ，则还需4－2k≥2k－8，∴ 0<k≤3.若A≠Æ，则⎩⎪⎨⎪⎧4－2k<2k －8，－k≤4－2k ，2k －8≤k，∴ 3<k ≤4.综上，实数k 的取值范围是(0, 4] .备选变式（教师专享）(2014·启东中学期中)已知集合M ＝{x|5－|2x －3|∈N *}，则M 的所有非空真子集的个数是________．答案：254解析：∵ 5－|2x －3|∈N *，∴ |2x －3|＝1，2，3，4，∴ x ＝－12，0，12，1，2，52，3，72，即M ＝{－12，0，12，1，2，52，3，72}，故M 中共有8个元素，因此M 的所有非空真子集的个数是28－2＝254.变式训练集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，集合B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，求a 2 014＋b 2 015的值．解：由于a≠0，由b a＝0，得b ＝0，则A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2，a ，0}．由A ＝B ，可得a 2＝1.又a 2≠a ，则a≠1，则a ＝－1.所以a 2 014＋b 2 015＝1.题型3 根据集合的关系求参数的取值范围例3 集合A ＝{x|－2≤x≤5}，集合B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}． (1) 若B ÍA ，求实数m 的取值范围；(2) 当x∈R 时，没有元素x 使x∈A 与x∈B 同时成立，求实数m 的取值范围． 解：(1) 当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝Æ满足B ÍA ；当m ＋1≤2m－1即m≥2时，要使B ÍA 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m≤3.综上所述，当m≤3时有B Í A. (2) 因为x∈R ，且A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x 使x∈A 与x∈B 同时成立，则① 若B ＝Æ，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件；② 若B≠Æ，则要满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m－1，m ＋1＞5，解得m ＞4；或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m－1，2m －1＜－2，无解． 综上所述，实数m 的取值范围为m ＜2或m ＞4. 备选变式（教师专享）已知集合A ＝{y|y ＝－2x ，x ∈[2，3]}，B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a>0}．若A ÍB ，求实数a 的取值范围．解：由题意有A ＝[－8，－4]，B ＝{x|(x －a)(x ＋a ＋3)>0}．① 当a ＝－32时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x∈R ，x ≠－32，所以A ÍB 恒成立；② 当a<－32时，B ＝{x|x<a 或x>－a －3}．因为A ÍB ，所以a>－4或－a －3<－8，解得a>－4或a>5(舍去)，所以－4<a<－32；③ 当a>－32时，B ＝{x|x<－a －3或x>a}．因为A ÍB ，所以－a －3>－4或a<－8(舍去)，解得－32<a<1.综上，当A ÍB 时，实数a 的取值范围是(－4，1)．1. 已知全集S ＝{1，2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a}，∁S A ＝{3}，则实数a 等于________． 答案：2解析：由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.2. (2014·潍坊模拟改)设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，C ＝{x|x ＝b －a ，a ∈A ，b ∈B}，则C 中元素的个数是________．答案：4解析：∵ A＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，∴ C ＝{x|x ＝b －a ，a ∈A ，b ∈B}＝{1，2，3，4}，∴ C 中共有4个元素．3. 若x∈A，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.4. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|－2≤x－1≤2}和N ＝{x|x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．答案：2解析：由题图示可以看出阴影部分表示集合M 和N 的交集，所以由M ＝{x|－1≤x≤3}，得M∩N＝{1，3}，有2个．5. (2014·全国交流卷改)已知集合A ＝{a 1，a 2，…，a n }，其中a k >0(k ＝1，2，…，n ，n ∈N *)，集合B ＝{(a ，b )|a∈A，b ∈A ，a －b∈A}，则集合B 的元素至多有________个．答案：（n －1）n 2解析：集合B 的元素至多有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝（1＋n －1）（n －1）2＝n （n －1）2个．1. (2014·郑州质检改)已知集合A ＝{x|x ＞2}，B ＝{x|x ＜2m}，且A Í (∁R B)，则m 的值可以是________．答案：1解析：易知∁R B ＝{x|x≥2m}，要使A Í (∁R B)，则2m≤2，∴ m ≤1.2. (2014·宁波模拟)已知集合M ＝{1，m}，N ＝{n ，log 2n}．若M ＝N ，则(m －n)2 015＝________．答案：－1或0解析：因为M ＝N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝2.故(m －n)2 015＝－1或0.3. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A，3ÏA ，则实数a 的取值范围是________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2，3] 解析：因为2∈A，所以2a －12－a ＜0，即(2a －1)(a －2)＞0，解得a ＞2或a ＜12.①若3∈A，则3a －13－a ＜0，即(3a －1)(a －3)＞0，解得a ＞3或a ＜13，所以3ÏA 时，13≤a≤3.②由①②可知，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2，3]． 4. (2014·福建)已知集合{a ，b ，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：① a≠2；② b ＝2；③ c≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________．答案：201解析： 若①正确，则②③不正确，由③不正确得c ＝0，由①正确得a ＝1，所以b ＝2，与②不正确矛盾，故①不正确；若②正确，则①③不正确，由①不正确得a ＝2，与②正确矛盾，故②不正确；若③正确，则①②不正确，由①不正确得a ＝2，由②不正确及③正确得b ＝0，c ＝1，故③正确．故100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201.1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y ＝f(x)}、{(x ，y)|y ＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ÍB ，则需考虑A ＝Æ和A≠Æ两种可能的情况．3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．请使用课时训练(A )第1课时(见活页)．第2课时 集合的基本运算(对应学生用书(文)、(理)3～4页)1. (必修1P 14习题10改编)已知全集U ＝{x|x<4，且x∈N }，集合A ＝{0，1}，B ＝{1，2，3}，则(∁U A )∩B＝________．答案：{2，3} 解析：全集U ＝{0，1，2，3}，A ＝{0，1}，∴ ∁U A ＝{2，3}．又B ＝{1，2，3}，∴ (∁U A )∩B ＝{2，3}．2. (必修1P 17第13题改编)A 、B 是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且x A ∩B}．若A ＝{x|y ＝x 2－3x}，B ＝{y|y ＝3x}，则A×B＝________．答案：(－∞，3)解析：A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B ＝(0，＋∞)．A∪B＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)．所以A ×B ＝(－∞，3)．3. (必修1P 14习题10改编)已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝[3，＋∞)，则图中阴影部分所表示的集合为________．答案：{1，2}解析：由题意，阴影部分表示A∩(∁U B)．因为∁U B ＝{x|x<3}，所以A∩(∁U B)＝{1，2}． 4. (必修1P 12例2改编)某班有50名学生报名参加A、B 两项比赛，参加A 项的有30人，参加B 项的有33人，且A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A 项、没有参加B 项的学生有________人．答案：9解析：设A 、B 都参加的有x 人，都不参加的有y 人，如图所示．则⎩⎪⎨⎪⎧30－x ＋x ＋33－x ＋y ＝50，y ＝13x ＋1，解得x ＝21.故只参加A 项，没有参加B 项的同学有30－21＝9(人)．5. (必修1P 17第6题改编)已知A ＝{1，2，3}，B ＝{x∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A}，则A∩B ＝B 时，a ＝________．答案：1或2解析：验证a ＝1时B ＝ 满足条件；验证a ＝2时B ＝{1}也满足条件．1. 集合的运算 (1) 交集：由属于A 且属于B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A 且x∈B}．(2) 并集：由属于A 或属于B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A 或x∈B}．(3) 全集：如果集合S 含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U 来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集．(4) 补集：集合A 是集合S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做A 的补集(或余集)，记作∁S A ，即∁S A ＝{x|x∈S，但x ÏA}．2. 常用运算性质及一些重要结论(1) A∩A＝A ，A ∩Æ＝Æ，A ∩B ＝B∩A； (2) A∪A＝A ，A ∪Æ＝A ，A ∪B ＝B∪A； (3) A∩(∁U A)＝Æ，A ∪(∁U A)＝U ；(4) A∩B＝A Û A Í B ，A ∪B ＝A Û B ÍA ； (5) ∁U (A∩B)＝(∁U A )∪(∁U B)，∁U (A∪B)＝(∁U A )∩(∁U B)．题型1 集合的运算例1 已知U ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x －1，x ∈Z ，M ＝{x||x －4|≤1, x ∈Z }，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫6x ∈Z ， x ∈N ，则M∩(∁U N)＝________．答案：{4，5}解析：集合U 为函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x －1的定义域内的整数集，由9x －1>0，即9－x x >0，解得0<x<9，又x∈Z ，所以x 可取1，2，3，4，5，6，7，8，故U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}．集合M 为满足不等式|x －4|≤1的整数集，解|x －4|≤1，得3≤x≤5，又x∈Z ，所以x 可取3，4，5，故M ＝{3，4，5}．集合N 是使6x 为整数的自然数集合，显然当x ＝1时，6x ＝6；当x ＝2时，6x＝3；当x ＝3时，6x ＝2；当x ＝6时，6x ＝1.所以N ＝{1，2，3，6}．所以M∩(∁U N)＝{4，5}．变式训练设集合A ＝{x 2，2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x ，9}，若A∩B＝{9}，求A∪B.解：由9∈A，可得x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或x ＝5.当x ＝3时，A ＝{9，5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，B 中元素重复，故舍去；当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4，9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A∪B＝{－8，－7，－4，4，9}；当x ＝5时，A ＝{25，9，－4}，B ＝{0，－4，9}， 此时A∩B＝{－4，9}与A∩B＝{9}矛盾，故舍去． 综上所述，A ∪B ＝{－8，－7，－4，4，9}． 题型2 根据集合的运算求参数的取值范围例2 (2014·启东检测)已知集合A ＝{x|x 2－2x －3>0}，B ＝{x|x 2－4x ＋a ＝0，a ∈R }．(1) 存在x∈B，使得A∩B≠Æ，求a 的取值范围； (2) 若A∩B＝B ，求a 的取值范围．解：(1) 由题意得B≠Æ，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.①令f(x)＝x 2－4x ＋a ＝(x －2)2＋a －4，对称轴为x ＝2, ∵ A ∩B ≠ ，又A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞), ∴ f(3)<0，解得a<3. ②由①②得a 的取值范围为(－∞，3)． (2) ∵ A∩B＝B ，∴ B Í A.当Δ＝16－4a<0，即a>4时，B 是空集，这时满足A ∩B ＝B ； 当Δ＝16－4a≥0，即a≤4. ③令f(x)＝x 2－4x ＋a ，对称轴为x ＝2， ∵ A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)≠Æ， ∴ f(－1)<0，解得a<－5.④ 由③④得a<－5.综上得a 的取值范围为(－∞，－5)∪(4，＋∞)． 备选变式（教师专享）(2014·兴化期中)已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|0≤ax ＋1≤3}．若A∪B＝B ，求实数a 的取值组成的集合．解：∵ A∪B＝B ，∴ A ÍB ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧0≤a＋1≤3，0≤2a ＋1≤3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a≤2，－12≤a≤1.∴ －12≤a ≤1.∴ 实数a 的取值组成的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 变式训练已知A ＝{x|ax －1>0}，B ＝{x|x 2－3x ＋2>0}． (1) 若A∩B＝A ，求实数a 的取值范围； (2) 若A∩∁R B ≠Æ，求实数a 的取值范围．解：(1) 由于A∩B＝A 得A ÍB ，由题意知B ＝{x|x>2或x<1}．若a>0，则x>1a≥2，得0＜a≤12；若a ＝0，则A ＝Æ，成立；若a ＜0，则x ＜1a ＜1，根据数轴可知均成立．综上所述，a ≤12.(2) ∁R B ＝{x|1≤x≤2}，若a ＝0，则A ＝Æ，不成立；若a ＜0，则x ＜1a＜1，不成立；若a ＞0，则x ＞1a ，由1a ＜2得a ＞12.综上所述，a ＞12.题型3 集合的综合应用例3 (2014·南通期中)已知集合M ＝{(x ，y)|x －3≤y ≤x －1}，N ＝{P|PA≥2PB ，A(－1，0)，B(1，0)}，则表示M∩N 的图形面积等于________．答案：23＋83π解析：设P(x ，y)，由PA 2≥2PB 2，知(x ＋1)2＋y 2≥2(x －1)2＋2y 2.整理得(x －3)2＋y 2≤8，则集合M∩N 示意图如下：∴ S M ∩N ＝S △HGN ＋2S 扇GNF .又N(3，0)到HG 距离d ＝2，从而△HGN 为等边三角形，∴ S △HGN ＝34×(22)2＝23，2S 扇GNF ＝2×12lr ＝lr ＝r 2θ＝8×π3＝83π.综上知M ∩N 的图形面积为S △HGN ＋ 2S 扇GNF ＝23＋83π.备选变式（教师专享）(2014·湖北八市联考)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y)|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M∩N＝Æ，则a ＝________．答案：－6或－2解析：易知集合M 中的元素表示的是过点(2，3)且斜率为3的直线上除点(2，3)外的所有点．要使M∩N＝Æ，则N 中的元素表示的是斜率为3且不过点(2，3)的直线，或过点(2，3)且斜率不为3的直线，∴ －a2＝3或2a ＋6＋a ＝0，∴ a ＝－6或a ＝－2.题型4 集合运算有关的新定义问题例4(2014·青岛模拟改)用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C （A ）－C （B ），C （A ）≥C（B ），C （B ）－C （A ），C （A ）<C （B ），若A ＝{1，2}，B ＝{x|(x 2＋ax)(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A*B ＝1，设实数a 的所有可能取值构成的集合是S ，则C(S)＝________．答案：3解析：由A ＝{1，2}，得C(A)＝2. 由A*B ＝1，得C(B)＝1或C(B)＝3.由(x 2＋ax)(x 2＋ax ＋2)＝0，得x 2＋ax ＝0或x 2＋ax ＋2＝0.当C(B)＝1时，方程(x 2＋ax)·(x 2＋ax ＋2)＝0只有实根x ＝0，这时a ＝0.当C(B)＝3时，必有a≠0，这时x 2＋ax ＝0有两个不相等的实根x 1＝0，x 2＝－a ，方程x 2＋ax ＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x 1＝0，x 2＝－a ，由Δ＝a 2－8＝0，得a ＝±22，可验证均满足题意．故S ＝{－22，0，22}，C(S)＝3.备选变式（教师专享）(必修1P 14习题13改编)对任意两个集合M 、N ，定义：M －N ＝{x|x∈M 且x ÏN}，M*N ＝(M －N)∪(N－M)，设M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y|y ＝3sinx ，x ∈R }，则M*N ＝________．答案：{y|y>3或－3≤y<0}解析：∵ M＝{y|y ＝x 2，x ∈R }＝{y|y≥0}，N ＝{y|y ＝3sinx ，x ∈R }＝{y|－3≤y≤3}，∴ M －N ＝{y|y>3}，N －M ＝{y|－3≤y<0}，∴ M*N ＝(M －N)∪(N－M)＝{y|y>3}∪{y|－3≤y<0}＝{y|y>3或－3≤y<0}．1. (2014·盐城中学期中)若集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{y|y ＝cos(πx)，x ∈A}，则A∩B ＝________．答案：{－1，1}解析：由题意，B ＝{－1，1}，所以A∩B＝{－1，1}．2. (2014·山东卷改)设集合A ＝{x||x －1|＜2}，B ＝{y|y ＝2x，x ∈[0，2]}，则∁R (A∪B)＝________．答案：(－∞，－1]∪(4，＋∞)解析：由题意，集合A ＝{x|－1＜x ＜3}，B ＝{y|1≤y≤4}，所以A∪B＝{x|－1<x≤4}，∁R (A∪B)＝(－∞，－1]∪(4，＋∞)．3. 如图，已知U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A ＝{2，3，4，5，6，8}，B ＝{1，3，4，5，7}，C ＝{2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．答案：{2，8}解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩(∁U B)＝{2，8}．4. (2014·日照模拟)设集合A ＝{x|x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x|x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 解析：A ＝{x|x 2＋2x －3＞0}＝{x|x ＞1或x ＜－3}，因为函数y ＝f(x)＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，f(－3)＝6a ＋8＞0，根据对称性可知，要使A∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)≤0且f(3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a≥34，a ＜43，即34≤a ＜43.5. 设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x|x∈P，且x ÏQ}，如果P ＝{x|log 2x<1}，Q ＝{x||x －2|<1}，那么P －Q ＝________．答案：{x|0<x≤1}解析：由log 2x<1，得0<x<2，所以P ＝{x|0<x<2}；由|x －2|<1，得1<x<3，所以Q ＝{x|1<x<3}．由题意，得P －Q ＝{x|0<x ≤1}．1. (2014·通州中学期中)已知集合A ＝{x|x ＞2，或x ＜－1}，B ＝{x|a≤x≤b}．若A∪B＝R ，A ∩B ＝{x|2<x≤4}，则ba＝________．答案：－4解析：由题意得B ＝{x|－1≤x≤4}，∴ a ＝－1，b ＝4，故ba＝－4.2. 设全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥2，B ＝{y|y ＝lg(x 2＋1)}，则(∁U A )∩B＝________．答案：{x|x≥0}解析：由于A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥2＝{x|x≤－1}，B ＝{y|y ＝lg(x 2＋1)}＝{y|y≥0}，所以(∁U A )∩B＝{x|x>－1}∩{y|y ≥0}＝{x|x≥0}．3. 设全集I ＝R ，已知集合M ＝{}x |（x ＋3）2≤0，N ＝{x|x 2＋x －6＝0}． (1) 求(∁I M )∩N；(2) 记集合A ＝(∁I M )∩N，已知集合B ＝{x|a －1≤x≤5－a ，a ∈R }，若B∪A＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1) ∵ M＝{x|(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x|x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}， ∴ ∁I M ＝{x|x∈R 且x≠－3}， ∴ (∁I M )∩N＝{2}． (2) A ＝(∁I M )∩N＝{2}， ∵ A ∪B ＝A ， ∴ B A ，∴ B ＝Æ或B ＝{2}， 当B ＝Æ时，a －1>5－a ， ∴ a>3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3.综上所述，所求a 的取值范围为{a|a≥3}．4. 已知A 、B 均为集合U ＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B )∩A＝{1}，(∁U A )∩(∁U B)＝{2，4}，则B ∩(∁U A)＝________．答案：{5，6}解析：依题意及韦恩图得B∩(∁U A)＝{5，6}．1. 集合的运算结果仍然是集合．进行集合运算时应当注意： (1) 勿忘对空集情形的讨论； (2) 勿忘集合中元素的互异性；(3) 对于集合A 的补集运算，勿忘A 必须是全集的子集； (4) 已知两集合间的关系求参数或参数范围问题时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．还要注意“回代检验”，从而对所求数值进行合理取舍．2. 在集合运算过程中应力求做到“三化”(1) 意义化：首先明确集合的元素的意义，它是怎样的类型的对象(数集、点集，图形等)？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？(2) 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．(3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．请使用课时训练(B )第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(对应学生用书(文)、(理)5～6页)1. 命题“$x ∈R ，|x|≤0”的否定是“________________”． 答案："x ∈R ，|x|>0解析：根据“$x ∈M ，p (x)”的否定为“"x ∈M ，Øp(x)”可直接写出答案． 2. 若命题p 的否命题为q ，命题q 的逆否命题为r ，则p 与r 的关系是__________． 答案：互为逆命题3. 已知p 、q 是r 的充分条件，r 是s 的充分条件，则s 是p 的__________条件． 答案：必要不充分4. (原创)写出命题“若x ＋y ＝5，则x ＝3且y ＝2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．答案：逆命题：若x ＝3且y ＝2，则x ＋y ＝5.是真命题． 否命题：若x ＋y≠5，则x≠3或y≠2.是真命题． 逆否命题：若x≠3或y≠2，则x ＋y≠5.是假命题．5. 设函数f(x)＝log 2x ，则“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案：必要不充分解析：因为f(x)＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a>b>0时，f(a)>f(b)；反之，当f(a)>f(b)时，a>b.故“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的必要不充分条件．6. (课本习题综合改编)已知命题p ："a ∈R ，且a>0，a ＋1a ≥2，命题q ：$x 0∈R ，sinx 0＋cosx 0＝ 3. 给出下列判断：① p 是假命题；② q 是真命题；③ p 且(Øq)是真命题；④ (Øp)且q 是真命题．其中正确的判断有________．(填序号)答案：③解析：依题意可知，命题p为真，命题q为假，由真值表知，正确的命题只有③.1. 四种命题及其关系(1) 四种命题(2)(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2. 充分条件与必要条件(1) 如果pÞq，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 如果pÞq，且qÞp，那么称p是q的充要条件，记作pÛq.(3) 如果pÞq，q /p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果qÞp，p /q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果pÞ/ q，且qÞ/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3. 简单的逻辑联结词(1) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(2) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(3) 一个命题p的否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．(4) 命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“ x”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“ x”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．5. 含有一个量词的命题的否定[备课札记]题型1充分、必要关系例1 (2014·黄冈中学改)下面四个命题：①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．其中正确的命题是________．(填序号)答案：②④解析：由立体几何知识知“直线a∥直线b”是“a平行于b所在的平面”的既不充分也不必要条件，①错误；“直线a、b为异面直线”是“直线a、b不相交” 的充分不必要条件，③错误；由线面垂直的定义知，②正确；由α内不共线三点可能在β的同侧或异侧知，④正确．备选变式（教师专享）把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题．(1) 正三角形的三个内角相等；(2) 已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.解：(1) 原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等．逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形．否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形．(2) 原命题：已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.逆命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b且c＝d.否命题：已知a、b、c、d是实数，若a与b，c与d不都相等，则a＋c≠b＋d.逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b，c与d不都相等．题型2命题及其关系例2 (2014·苏州中学调研)已知命题p：“若a＝b，则|a|＝|b|”，则命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是________.答案：2解析：由向量知识可知原命题为真，逆命题为假，由互为逆否命题等价知，p的否命题为假，逆否命题为真，故正确命题的个数为2.变式训练(2014·上海考前调研改)下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题．答案：④解析：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sinx ＝siny ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．题型3 逻辑联结词及真假性判断例3 (2014·阜宁中学调研)已知命题p ：指数函数f(x)＝(2a －6)x在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围．解：由p 真得0<2a －6<1，即3<a<72；由q 真得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4（2a 2＋1）≥0，3a2>3，9－9a ＋2a 2＋1>0，解得a>52；若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧3<a<72，a ≤52.解集为Æ；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤3或a≥72，a>52，解得52<a ≤3或a≥72.综上所述52<a ≤3或a≥72.备选变式（教师专享）已知命题p ：不等式|x －1|>m 的解集是R ，命题q ：f(x)＝2－mx在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p 或q”为真，命题“p 且q”为假，求实数m 的取值范围．解：当p 真时，m<0，当q 真时，2－m>0, 即m<2；由命题“p 或q”为真，命题“p 且q”为假可得p 真q 假或p 假q 真，故⎩⎪⎨⎪⎧m<0，m ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧m≥0，m<2.所以0≤m<2.所以实数m 的取值范围是0≤m<2. 题型4 全称命题与存在命题例4 若命题“$x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：∵$x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1＜0是真命题，∴ Δ＝(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4，∴ a －1＞2或a －1＜－2，∴ a ＞3或a ＜－1. 备选变式（教师专享）(2014·泗阳中学检测)已知实数a>0，命题p ：$ x ∈R ，|sinx|>a 有解；命题q ：" x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，sin 2x ＋asinx －1≥0.(1) 写出Øq ；(2) 若p 且q 为真， 求实数a 的取值范围．解：(1) Øq ： x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，sin 2x ＋asinx －1<0；(2) p 且q 为真，则p 、q 同时为真，由于实数a>0，则 p ：0<a<1；q ：x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，sinx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则由sin 2x ＋asinx －1≥0得a≥1sinx －sinx ，令t ＝sinx ，则t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，函数f(t)＝1t －t 在区间(0，＋∞)上为减函数，则当t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1时，f(t)＝1t －t≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22， 要使a≥1sinx －sinx 在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上恒成立，则a≥22.综上可知，22≤a<1.1. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是________________________________________________________________________________________________．答案：存在一个能被2整除的数不是偶数2. (2014·南京、盐城一模)“p∨q 为真命题”是“Øp 为假命题”成立的________条件.答案：必要不充分解析：“p∨q 为真命题”就是p 、q 中至少有一个为真；“Øp 为假命题”即得p 为真命题，可见“Øp 为假命题”可推出“p∨q 为真命题”，而“p∨q 为真命题”不能推出“綈p 为假命题”，故“p∨q 为真命题”是“Øp 为假命题”成立的必要不充分条件．3. “若a ＋b 为偶数，则a 、b 必定同为奇数或偶数”的逆否命题为______________________________．答案：若a 、b 不同为奇数且不同为偶数，则a ＋b 不是偶数4．已知命题p 1：函数y ＝ln(x ＋1＋x 2)是奇函数，p 2：函数y ＝x 12为偶函数，则下列四个命题：① p 1∨p 2；② p 1∧p 2；③ (Øp 1)∨p 2；④ p 1∧(Øp 2)．其中，真命题是________．(填序号)答案：①④解析：由函数的奇偶性可得命题p 1为真命题，命题p 2为假命题，再由命题的真值表可得②③为假，①④为真．5．(2014·海门调研)给出如下命题：① 若“p 且q”为假命题，则p 、q 均为假命题；② 命题“若a>b ，则2a >2b －1”的否命题为“若a≤b，则2a ≤2b－1”；③ 命题“$x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是“"x ∈R ，2x>0”；④ “a≥5” 是 “"x ∈[1，2]，x 2－a≤0恒成立”的充要条件． 其中所有正确的命题是________. (填序号) 答案：②③1. (2014·启东检测)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则p 是q 的________．(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”)答案：否命题解析：根据四种命题的关系知，“正数a 的平方不等于0”的否命题是“若a 不是正数，则它的平方等于0”．故填“否命题”．2. (2014·海门调研)已知f(x)＝x 2－2x ＋3，g(x)＝kx －1，则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”的________(填“充分不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：若f(x)≥g(x)在R 上恒成立，即x 2－(2＋k)x ＋4≥0恒成立，等价于(2＋k)2－16≤0，即k∈[－6，2]．由{k||k|≤2} [－6，2]知，“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”的充分不必要条件．3. (2014·江西师大三模改)下列命题正确的个数是________．① 命题“$x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“"x ∈R ，x 2＋1≤3x”；② “函数f(x)＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件；③ x 2＋2x≥ax 在x∈[1，2]上恒成立 (x 2＋2x)min ≥(ax)max 在x∈[1，2]上恒成立； ④ “平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a ·b <0”． 答案：2解析：根据存在性命题的否定是全称命题，∴ ①正确；f(x)＝1＋cos2ax 2－1－cos2ax2＝cos2ax ，最小正周期是2π|2a|＝πÞ a ＝±1，∴ ②正确；当a ＝2时，x 2＋2x≥2x 在x∈[1，2]上恒成立，而(x 2＋2x)min ＝3＜2x max ＝4，∴ ③不正确；∵ a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉，当〈a ，b 〉＝π时a·b <0，∴ ④错误．故命题正确的个数是2.4. 设数列{a n }、{b n }、{c n }满足：b n ＝a n －a n ＋2，c n ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2(n ＝1，2，3，…)，求证：{a n }为等差数列的充分必要条件是{c n }为等差数列且b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)．证明：必要性：设{a n }是公差为d 1的等差数列，则 b n ＋1－b n ＝(a n ＋1－a n ＋3) － (a n －a n ＋2)＝ (a n ＋1－a n ) － (a n ＋3－a n ＋2)＝ d 1－ d 1＝0， 所以b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)成立．又c n ＋1－c n ＝(a n ＋1－a n )＋2(a n ＋2－a n ＋1)＋3(a n ＋3－a n ＋2)＝ d 1＋2d 1 ＋3d 1 ＝6d 1(常数)(n ＝1，2，3，…)，所以数列{c n }为等差数列． 充分性：设数列{c n }是公差为d 2的等差数列，且b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)． ∵ c n ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2， ① ∴ c n ＋2＝a n ＋2＋2a n ＋3＋3a n ＋4， ②①－②，得c n －c n ＋2＝(a n －a n ＋2)＋2 (a n ＋1－a n ＋3)＋3 (a n ＋2－a n ＋4)＝b n ＋2b n ＋1＋3b n ＋2. ∵ c n －c n ＋2＝(c n －c n ＋1)＋(c n ＋1－c n ＋2)＝ －2d 2， ∴ b n ＋2b n ＋1＋3b n ＋2＝－2d 2， ③从而有b n ＋1＋2b n ＋2＋3b n ＋3＝－2d 2， ④④－③，得(b n ＋1－b n )＋2 (b n ＋2－b n ＋1)＋3 (b n ＋3－b n ＋2)＝0.⑤ ∵ b n ＋1－b n ≥0，b n ＋2－b n ＋1≥0，b n ＋3－b n ＋2≥0， ∴ 由⑤得b n ＋1－b n ＝0(n ＝1，2，3，…)．由此不妨设b n ＝d 3 (n ＝1，2，3，…)，则a n －a n ＋2＝d 3(常数)． 由此c n ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2 c n ＝4a n ＋2a n ＋1－3d 3， 从而c n ＋1＝4a n ＋1＋2a n ＋2－5d 3，两式相减得c n ＋1－c n ＝2(a n ＋1－a n ) －2d 3，因此a n ＋1－a n ＝12(c n ＋1－c n )＋d 3＝12d 2＋d 3(常数) (n ＝1，2，3，…)，∴ 数列{a n }为等差数列．1. 在判断四个命题间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性与等价性，判断四种命题真假的关键是熟悉四种命题的概念与互为逆否命题是等价的，即“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”，而互逆命题、互否命题是不等价的，当一个命题直接判断不易进行时，通常可转化为判断其等价命题的真假；而判断一个命题为假命题只需举出反例即可．2. 充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据pÞq，qÞp进行判断；(2) 集合法：根据p、q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．3. 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2) 要注意区间端点值的检验．4. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1) p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；(2) p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；(3) 綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．5. 要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．判定全称命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立．请使用课时训练(A)第3课时(见活页)．[备课札记]。
上海市2016届高考数学专题突破训练集合与常用逻辑用语理
上海市2016届高三数学理专题突破训练集合与常用逻辑用语一、集合 1、（2015年上海高考）全集U=R ．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁U Β= {1，4} ．2、（2014年上海高考）已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b += .3、（2013年上海高考）设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）(A) (,2)-∞(B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞(D) [2,)+∞4、（普陀区2015届高三二模）集合{{}2,4,R A x y B x y x x ====∈，则AB[]0,1 .5、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）已知集合1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，集合{}2=|,B y y x x A =∈，则A B = ．6、（长宁、嘉定区2015届高三二模）已知集合},2||{R ∈≤=x x x A ，},01{2R ∈≥-=x x x B ，则=B A ________．7、（奉贤区2015届高三上期末）已知全集U R =，集合{|21}P x x =-≥，则=P . 8、（金山区2015届高三上期末）若集合M={5|2+-=x y y ，x ∈R }，N={2|+=x y y ，x≥–2}，则M ∩N = ▲ ．9、（静安区2015届高三上期末）已知集合{}0,2>==x x y y M ，{})2lg(2x x y x N -==，则=N M .10、（普陀区2015届高三上期末）若集合}1lg |{<=x x A ，∈==x x y y B ,sin |{R }，则=B A .11、（杨浦区2015届高三上期末）设{}13A x x =≤≤，{}124,B x m x m m R =+≤≤+∈，A B ⊆，则m 的取值范围是________.12、（崇明县2015届高三上期末）若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ： ①{},{},{},{,,}a c a b c τ=∅； ②{},{},{},{,},{,,}b c b c a b c τ=∅；③{},{},{,},{,}a a b a c τ=∅； ④{},{,},{,},{},{,,}a c b c c a b c τ=∅．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 ．（写出所有集合X 上的拓扑的集合τ的序号）13、（崇明县2015届高三第二次高考模拟）若集合{}{}22,30M x x N x x x ==-=≤，则M N =∩ ．二、常用逻辑用语 1、（2015年上海高考）设z 1，z 2∈C ，则“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ． 必要非充分条件C ．充要条件D ． 既非充分又非必要条件 2、（2014年上海高考）设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的 （ ）(A) 充分条件. (B) 必要条件.(C) 充分必要条件.(D) 既非充分又非必要条件.3、（2013年上海高考）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 4、（浦东新区2015届高三二模）已知,a b 都是实数,那么“0a b <<”是“11a b>”的 （ A ）)(A 充分不必要条件)(B 必要不充分条件 )(C 充分必要条件)(D 既不充分也不必要条件5、（普陀区2015届高三二模）.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ A ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件6、（长宁、嘉定区2015届高三二模）在△ABC 中，“21sin =A ”是“6π=A ”的……………………………………（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件7（普陀区2015届高三上期末）“点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程02=+y x ”的…………………………（ ）B)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件8、（青浦区2015届高三上期末）设,a b 为正实数，则“a b <”是“11a b a b-<-”成立的………………（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 9、（松江区2015届高三上期末）已知R q p ∈,，则“0<<p q ”是“1pq<”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10、（徐汇区2015届高三上期末）“14a ≥”是“实系数一元二次方程20x x a ++=有虚数根”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件11、（闸北区2015届高三上期末）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意A a ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：R =A ，运算“⊕”为普通乘法；存在R 1∈，使得对任意R ∈a ，都有11a a a ⨯=⨯=，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①R =A ，运算“⊕”为普通减法；②A ={m n m n A A ⨯⨯表示m n ⨯阶矩阵，**∈∈N ,N n m }，运算“⊕”为矩阵加法； ③{}A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为 【 】A ．①②；B ．①③；C ．①②③；D ．②③．12、（奉贤区2015届高三4月调研测试（二模））已知8321,...,,,a a a a 为各项都大于零的数列，则“5481a a a a +<+”是“1238,,,...,a a a a 不是等比数列”的（ ） A ．充分且必要条件 B ．充分但非必要条件 C ．必要但非充分条件 D ．既不充分也不必要条件 13、（黄浦区2015届高三4月模拟考试（二模））设实数1212,,,a a b b 均不为0，则“1122a b a b =成立”是“关于x 的不等式110a x b +>与220a x b +>的解集相同”的[答] ( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件15、（上海市十三校2015届高三第二次（3月）联考）若非空集合 A 中的元素具有命题的性质，集合B 中的元素具有命题的性质，若 AB ，则命题是命题的__________条件.A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要16、上海市十三校2015届高三第二次（3月）联考）用反证法证明命题：“已知a 、b，如果ab 可被 5 整除，那么a 、b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为__________. A. a 、b 都能被5 整除 B. a 、b 都不能被5 整除 C. a 、b 不都能被5 整除 D. a 不能被5 整除参考答案 一、集合1、解：∵全集U=R ，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}， ∴（∁U B ）={x|x ＞3或x ＜2}，∴A∩（∁U B ）={1，4}， 故答案为：{1，4}．2、【解析】：第一种情况：22,a a b b ==，∵0ab ≠，∴1a b ==，与已知条件矛盾，不符； 第二种情况：22,a b b a ==，∴431a a a =⇒=，∴210a a ++=，即1a b +=-；3、【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a ≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．4、[]0,15、{}16、12{-≤≤-x x 或}21≤≤x7、(][)+∞∞-,31,8、[0, 5]9、)2,0(10、)10,1[- 11、1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12、②④ 13、{}0二、常用逻辑用语1、解：设z 1=1+i ，z 2=i ，满足z 1、z 2中至少有一个数是虚数，则z 1﹣z 2=1是实数，则z 1﹣z 2是虚数不成立，若z 1、z 2都是实数，则z 1﹣z 2一定不是虚数，因此当z 1﹣z 2是虚数时， 则z 1、z 2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的必要不充分条件， 故选：B ． 2、B3、【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．4、A5、A6、B7、B8、C9、A 10、B11、D 12、B 13、B 14、A 15、B。
2016届高考数学大一轮复习精品讲义第一章集合与常用逻辑用语(含解析)
一、重视教材习题的母题功能你知道高考题是怎样命制的吗？看完本讲内容，洞晓了高考命题的5大常用手段，你就明白了教材经典题目的重要性．你还会陷入“高考高于天，教材放一边”的备考误区吗？编写本讲的目的，我们旨在提醒您：一轮复习要“抓纲靠本”，“纲”就是考纲，“本”就是课本．要重拾起被遗忘忽视的课本，重温基础知识，重做典型题目，重视教材“母题”的引领作用，发挥教材母题做一当十的功效．在此，仅以2014年新课标全国卷两套试题为例进行说明，以佐证教材习题的重要性．教材这样练《人教A 版·必修4》P119 B 组第1题第(4)小题．已知D ，E ，F 分别是△ABC的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则①EF ＝12c －12b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0中正确的等式的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )A ．AD B.12ADC ．BC D.12BC教材这样练《人教A 版·选修2－1》P69例4.斜率为1的直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 3教材这样练《人教B版·必修5》P30练习A. 写出下面数列{a n}的前5项：1．a1＝2，a n＝12a n－1(n＝2,3,4，…)；2．a1＝3，a n＝a n－1＋2(n＝2,3,4，…)；3．a1＝1，a n＝a n－1＋1a n－1(n＝2,3,4，…)．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅱ)数列{a n}满足a n＋1＝11－a n，a8＝2，则a1＝________.教材这样练《人教A版·必修5》P14例5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1 m)．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.教材这样练《人教A版·必修1》P39B 组第3题．已知函数f(x)是偶函数，而且在(0，＋∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．总之，教材中的例题、习题是经过精心挑选而设计的，它蕴藏着丰富的思想方法和研究资源．不少试题所涉及的思想方法，都源于教材．高考数学一轮复习中，要做到对教材中的经典题目能够熟练地求解，掌握它的通性通法、答题规范、思路分析及知识内涵．研读教材、汲取营养，充分发挥例题、习题潜在的功能，发挥教材“母本”的作用．为减少考生翻阅教材、查找典型题目之苦，充分发挥我们编者占有广泛教学资源的优势，我们在人教A版、人教B版、北师大版等教材中优中选优地筛选了一些经典题目，做为课前自检基础知识使用，就是充分发挥教材母题的引领带动作用．二、重视经典题目的发散思维本讲内容是上一讲内容的顺承和拓展，其主旨还是让学生在做题的过程中学会多思考和多领悟．如果说上一讲是教给学生“做什么”的问题，那么这一讲是教给学生“怎么做”的问题．在平时的复习备考中，做海量试题必不可少，但绝非上策．应当充分发挥典型试题的带动作用和举一反三的功能，注意培养多题一解、一题多解和一题多变思维能力的养成．多题一解有利于培养学生的求同思维，一题多解有利于培养学生的求异思维，一题多变有利于培养学生思维的灵活性与深刻性．多题一解和一题多解主要靠学生在平时做题的过程中，发挥主观能动性，多思考，多总结，而一题多解则需要教师多找一些典型题目多拓展，多发散，帮学生举一反三、悟通练透．本书在“一题多变”上主要做了以下两方面的尝试：(一)经典“题根”的发散茫茫题海，寻根是岸．木有本，水有源，题有根．在平时的训练中，可将一些经典的题目做为“题根”，在题目发散中，要学会演变题目条件、背景，变换设问，在不断变换的过程中，将此类问题厘清弄透，从一个个小问题中获取大知识，让其“枝繁叶茂”、“生机盎然”，从而彻底打通各知识点间的关节．示例：利用基本不等式求最值(二)考查角度的发散高考中的一些热门考点，虽知年年必考，但学生往往却在这类考点上失分，究其原因，主要是此类考点考查灵活、角度多变．为将这类考点练深练透，有必要对这类考点进行多维探究．备考不留死角，高考不留遗憾！角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小若本题条件变为：已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________. 本题的条件变为：已知a ＞0，b＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________. 本题的条件和结论互换，即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝4，则a ＋b的最小值为________.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1,则1a ＋1b的最小值为________．[解析] ∵a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝1, ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4,即1a ＋1b的最小值为4,当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.[答案] 4已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．本题的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________.利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立． (2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.角度三：解函数不等式 ⇑角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2,都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立,则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 由单调性求参数范[类题通法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．第一章集合与常用逻辑用语第一节集__合对应学生用书P5基础盘查一元素与集合(一)循纲忆知1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(二)小题查验1．判断正误(1)一个集合中可以找到两个相同的元素( )(2)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合( )(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A( )(4)零不属于自然数集( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．(人教A版教材练习)选择适当的方法表示下列集合：(1)由小于8的所有素数组成的集合；(2)不等式4x－5<3的解集．答案：(1){2,3,5,7} (2){x|x<2}基础盘查二集合间的基本关系(一)循纲忆知1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2．在具体情境中，了解全集与空集的含义．(二)小题查验1．判断正误(1)若A＝B，则A⊆B( )(2)若A B，则A⊆B且A≠B( )(3)N*N Z( )(4)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．(人教A版教材例题改编)集合{a，b}的所有子集为________________．答案：{a}，{b}，{a，b}，∅基础盘查三集合的基本运算(一)循纲忆知1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．3．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．(二)小题查验1．判断正误(1)若A∩B＝A∩C，则B＝C( )(2)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素( )(3)并集定义中的“或”能改为“和”()(4)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．(人教A版教材习题改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁U B)＝________.答案：{2,4}3．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________________.答案：{x|x≤2或x≥10}对应学生用书P6考点一集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉. (3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图． 2．常见数集及其表示符号自然数集用N 表示，正整数集用N *或N ＋表示，整数集用Z 表示，有理数集用Q 表示，实数集用R 表示．[提醒] 解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[题组练透]1．(2015·洛阳统考)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9解析：选D 集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．2．现有三个实数的集合，既可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，也可以表示为{a 2，a ＋b,0}，则a2 015＋b2 015＝________.解析：由已知，得b a＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 015＋b2 015＝(－1)2 015＝－1.答案：－13．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－32[类题通法]1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．考点二 集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[必备知识](1)子集：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B (或B ⊇A )； (2)真子集：若集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，则A B (或B A )；(3)性质：∅⊆A ；A ⊆A ；A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)集合相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B . [提醒] 写集合的子集时不要忘了空集和它本身．[典题例析]1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数． 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， ∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 2．已知集合A ＝{x |x 2－2 015x ＋2 014＜0}，B ＝{x |x ＜m }，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________．解析：由x 2－2 015x ＋2 014＜0，解得1＜x ＜2 014，故A ＝{x |1＜x ＜2 014}． 而B ＝{x |x ＜m }，由于A ⊆B ，如图所示，则m ≥2 014.答案：[2 014，＋∞)[类题通法](1)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．(2)当题目中有条件B ⊆A 时，不要忽略B ＝∅的情况！[演练冲关]1．(2015·中原名校联盟一模)设A ＝{1,4,2x }，若B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x ＝________. 解析：由B ⊆A ，则x 2＝4或x 2＝2x .当x 2＝4时，x ＝±2，但x ＝2时，2x ＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x 2＝2x 时，x ＝0或x ＝2，但x ＝2时，2x ＝4，这与集合元素的互异性相矛盾．综上所述，x ＝－2或x ＝0.答案：0或－22．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1， 则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4. 答案：(－∞，4]考点三 集合的基本运算(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]1．集合的并、交、补运算： 并集：A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }； 交集：A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }；补集：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }；U 为全集，∁U A 表示集合A 相对于全集U 的补集． 2．集合的运算性质(1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (3)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；(4)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .[提醒] Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．[一题多变][典型母题]已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }，则A ∩B ＝ .[解析] y ＝x 2－2x ＝x －2－1≥－1，y ＝－x 2＋2x ＋6＝－x －2＋7≤7，∴A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}， 故A ∩B ＝{y |－1≤y ≤7}. [答案] {y |－1≤y ≤7}[题点发散1] 若集合A 变为A ＝{x |y ＝x 2－2x ，x ∈R }，其他条件不变，求A ∩B . 解：因A 中元素是函数自变量，则A ＝R ， 而B ＝{y |y ≤7}，则A ∩B ＝{y |y ≤7}．[题点发散2] 若集合A 、B 中元素都为整数，求A ∩B . 解：A ∩B ⊆{y |－1≤y ≤7}，又因为y ∈Z ， 故A ∩B ＝{－1，0,1,2,3,4,5,6,7}．[题点发散3] 若集合A 、B 不变，试求∁R A ∪∁R B . 解：∵A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}， ∴∁R A ＝{y |y ＜－1}，∁R B ＝{y |y ＞7}， 故∁R A ∪∁R B ＝{y |y ＜－1或y ＞7}．[题点发散4] 若集合A 、B 变为：A ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }，求A ∩B .解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x ，y ＝－x 2＋2x ＋6⇒x 2－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1.于是，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，故A ∩B ＝{(3,3)，(－1,3)}．[类题通法]解集合运算问题应注意以下三点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．考点四 集合的新定义问题(重点保分型考点——师生共研)[典题例析]1．如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x，x >0}，则A B 为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以A B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.2.已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1解析：选B 由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确，由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确，由“权集”的定义可知a ja i需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C ，D 错误，选B.[类题通法]解决集合创新型问题的方法(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．[演练冲关]1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.2．对于任意两个正整数m ，n ，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m ⊕n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊕n ＝m ×n .例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M ＝{(a ，b )|a ⊕b ＝12，a ，b ∈N *}的元素有________个．解析：m ，n 同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m ，n 一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)，所以集合M 的元素共有15个．答案：15对应A 本课时跟踪检测一一、选择题1．(2015·广州测试)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C ∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4，故选C.2．(2014·江西高考)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁RB )＝( )A ．(－3,0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3,3)解析：选C 由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}，∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 3．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：选B 由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2}，∴A ＝{x |－1≤x ≤1}，∴B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，∴B A ，故选B.4．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)解析：选D 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2＞0}＝{x |－1＜x ＜1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]， 所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)，选D.5．(2015·西安一模)设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y ＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2，故选C.6．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 因为2 014＝402×5＋4，又因为[4]＝{5n ＋4|n ∈Z }，所以2 014∈[4]，故①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；因为所有的整数Z 除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；若a ，b 属于同一‘类’，则有a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ，所以a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]，反过来，如果a －b ∈[0]，也可以得到a ，b 属于同一“类”，故④正确．故有3个结论正确．二、填空题7．已知A ＝{0，m,2}，B ＝{x |x 3－4x ＝0}，若A ＝B ，则m ＝________. 解析：由题知B ＝{0，－2,2}，A ＝{0，m,2}，若A ＝B ，则m ＝－2. 答案：－28．(2014·重庆高考)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________.解析：由题意，得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故∁U A ＝{4,6,7,9,10}，所以(∁U A )∩B ＝{7,9}．答案：{7,9}9．(2015·昆明二模)若集合A ＝{x |x 2－9x ＜0，x ∈N *}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪4y∈N *，y ∈N *，则A ∩B中元素的个数为________．解析：解不等式x 2－9x ＜0可得0＜x ＜9，所以A ＝{x |0＜x ＜9，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又4y∈N *，y ∈N *，所以y 可以为1,2,4，所以B ＝{1,2,4}，所以A ∩B＝B ，A ∩B 中元素的个数为3.答案：310．(2015·南充调研)已知集合A ＝{x |4≤2x≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2] 三、解答题11．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝3或a ＝－3.当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}， 所以a ＝5或a ＝－3.(2)由(1)可知，当a ＝5时，A ∩B ＝{－4,9}，不合题意， 当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}． 所以a ＝－3.12．(2015·福州一模)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件对应学生用书P8基础盘查一 四种命题及其关系 (一)循纲忆知 1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(二)小题查验 1．判断正误(1)“x 2＋2x －3<0”是命题( ) (2)“sin 45°＝1”是真命题( )(3)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”( )(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(人教A 版教材习题)已知命题：若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根．则其逆否命题为____________________________________．答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0基础盘查二充分条件与必要条件(一)循纲忆知理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(二)小题查验1．判断正误(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件( )(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立( )(3)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立( )答案：(1)√(2)√(3)√2．(人教A版教材练习)在下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．答案：(1)必要(2)充分(3)充要对应学生用书P8考点一命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．[提醒] 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．[题组练透]1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故选C.2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④[类题通法]1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．2．命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．充分条件与必要条件的相关概念(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇒/q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分又不必要条件．2．从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{p(x)}，B＝{q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．[提醒] 充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．[典题例析]1．(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD.当四边形ABCD 中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．2．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 由q⇒綈p且綈p⇒/q可得p⇒綈q且綈q⇒/p，所以p是綈q的充分不必要条件．[类题通法]充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．[提醒] 区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．[演练冲关]1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0或x ≤－1}＝B ，∵AB ，∴p 是q 的充分不必要条件．2．(2015·石家庄第一次模拟)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.考点三 充分必要条件的应用(题点多变型考点——全面发掘)[一题多变][典型母题]已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3].[题点发散1] 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[题点发散2] 本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/ P . ∴[－－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[类题通法]利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q ，且q ⇒p ； (3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q .对应B 本课时跟踪检测二一、选择题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2014·陕西高考)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选B 原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.3．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．4．(2014·湖北高考)设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C 是A ∩B ≠∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件解析：选C 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．5．命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5解析：选C 命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.6．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1与l 2平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.二、填空题7．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：38．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围。
2016届高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 简单的逻辑联结词、
綈 p：有的菱形的对角线不垂直． (显4)綈然綈p：p∀为x假∈命N，题x．2－2x＋1>0. 显然当 x＝1 时，x2－2x＋1>0 不成立， 故綈 p 是假命题．
第十四页，编辑于星期五：二十一点 五十分。
[类题通法]
全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别， 否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写 为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而 一般命题的否定只需直接否定结论即可．
[解] 由关于 x 的不等式 ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x ＜0}，知 0＜a＜1；
由函数 y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为 R，
第二十二页，编辑于星期五：二十一点 五十分。
知不等式 ax2－x＋a＞0 的解集为 R，
则aΔ＞＝01，－4a2＜0， 解得 a＞12. 因为 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，
解：由命题 q∨(p∧q)真、綈 p 真知 p 假，q 真， p 假，a≤0 或 a≥1；q 真，a＞12. ∴实数 a 的取值范围为1，＋∞.
第二十五页，编辑于星期五：二十一点 五十分。
[题点发散 3] 若本例条件变为：已知命题 p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”； 命题 q：“∃x0∈R，使得 x02＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是 真命题，求实数 a 的取值范围．
所以 p 和 q 一真一假，即“p 假 q 真”或“p 真 q 假”，
a≤0或a≥1， 0＜a＜1，
故a＞12
或a≤12，
解得 a≥1 或 0<a≤12，
故实数 a 的取值范围是0，12∪[1，＋∞).
第二十三页，编辑于星期五：二十一点 五十分。
2016届高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合
[题点发散 1] 已知集合 A＝{xy|y＝x2－2x，x∈R} ，B＝{y|y＝
－x2＋2x＋6，x∈R}，求 A∩B.
解：因 A 中元素是函数自变量，则 A＝R， 而 B＝{y|y≤7}，则 A∩B＝{y|y≤7}．
第二十五页，编辑于星期五：二十一点 五十分。
第五页，编辑于星期五：二十一点 五十分。
基础盘查二 集合间的基本关系 (一)循纲忆知 1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 2．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
第六页，编辑于星期五：二十一点 五十分。
(二)小题查验 1．判断正误
(1)若 A＝B，则 A⊆B
(√ )
(2)若 A B，则 A⊆B 且 A≠B
[题点发散 2] 已知集合 A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝－x2 ＋2x＋6，x∈R}，若集合 A、B 中元素都为整数，求 A∩B.
解：A∩B⊆{y|－1≤y≤7}，又因为 y∈Z， 故 A∩B＝{－1，0,1,2,3,4,5,6,7}．
第二十六页，编辑于星期五：二十一点 五十分。
第二十二页，编辑于星期五：二十一点 五十分。
2．集合的运算性质 (1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B； (2)A∩A＝A，A∩∅＝∅； (3)A∪A＝A，A∪∅＝A； (4)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. [提醒] Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补 运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还 是空心．
第二十九页，编辑于星期五：二十一点 五十分。
考点四 集合的新定义问题 (重点保分型考点——师生共研) [典题例析]
【最高考系列】(教师用书)2016届高考数学1轮总复习 第1章 集合与常用逻辑用语课时训练 理
第|一章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念1. (2021·南通一模)集合A ＝{x|x≥3}∪{x|x＜－1} ,那么∁R A ＝________． 答案：[－1 ,3)解析：∁R A ＝[－1 ,3)．2. (2021·苏北三市期末)集合A ＝{2＋ a ,a} ,B ＝{－1 ,1 ,3} ,且A B ,那么实数a 的值是________．答案：1解析：由题设a ＝1 ,2＋a ＝3 ,从而a ＝1.3. 集合A ＝{－1 ,1} ,B ＝{m|m ＝x ＋y ,x ∈A ,y ∈A} ,那么集合B ＝________． 答案：{－2 ,0 ,2}解析：因为x∈A ,y ∈A ,所以x ＋y ＝－2 ,0或2 ,所以集合B ＝{－2 ,0 ,2}．4. A ＝{x|x 2－2x －3≤0} ,假设实数a∈A ,那么a 的取值范围是________． 答案：[－1 ,3]解析：由条件知a 2－2a －3≤0 ,从而a ∈[－1 ,3]．5. A ＝{1 ,2 ,3} ,B ＝{x∈R |x 2－ax ＋1＝0 ,a ∈A} ,那么B A 时 ,a ＝________． 答案：1或2解析：验证a ＝1时B ＝满足条件；验证a ＝2时B ＝{1}也满足条件．6. 集合A ＝{x|x 2＋mx ＋1＝0} ,假设A 只有一个子集 ,那么实数m 的取值范围是____________．答案：[0 ,4)解析：由题意 ,A ＝ ,∴ Δ＝(m)2－4＜0 ,∴ 0≤m ＜4. 7. 假设集合{x|ax 2＋2x ＋1＝0}与集合{x 2－1＝0}的元素个数相同 ,那么实数a 的取值集合为__________．答案：{0 ,1}解析：∵ 集合{x 2－1＝0}的元素个数为1 ,∴ 方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个实数解．∴ a＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a≠0Δ＝0 即a ＝0或1.8. 集合A ＝{x|log 2x ≤2} ,B ＝(－∞ ,a) ,假设A B ,那么实数a 的取值范围是(c ,＋∞) ,其中c ＝________．答案：4解析：A ＝{x|0<x≤4} ,B ＝(－∞ ,a) ,A B ,故c ＝4.9. (2021·江苏检测)集合A ＝{x|x 2－3x －10≤0} ,集合B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1} ,且B A ,那么实数m 的取值范围是____________．答案：m≤3解析：由 ,集合A ＝{x|－2≤x≤5} ,因为B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1} ,且B A ,所以当B ＝时 ,有m ＋1>2m －1 ,即m<2时 ,符合题意；当B≠时 ,⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m－1 －2≤m＋1 2m －1≤5解得2≤m≤3.综上得实数m 的取值范围是m≤3.10. (2021·宁夏月考改)设集合S n ＝{1 ,2 ,3 ,… ,n} ,假设x 是S n 的子集 ,把x 中的所有数的乘积称为x 的容量(假设x 中只有一个元素 ,那么该元素的数值即为它的容量 ,规定空集的容量为0)．假设x 的容量为奇(偶)数 ,那么称x 为S n 的奇(偶)子集．假设n ＝4 ,求S n 的所有奇子集的容量之和．解：由奇子集的定义可知：奇子集一定是S n 中为奇数的元素构成的子集．由题意可知 ,假设n ＝4 ,S n 中为奇数的元素只有1 ,3 ,所有奇子集只有3个 ,分别是{1} ,{3} ,{1 ,3} ,那么它们的容量之和为1＋3＋1×3＝7.11. (2021·如皋中学期中)集合A ＝{x|1－x x －7＞0} ,B ＝{x|x 2－2x －a 2－2a ＜0}．(1) 当a ＝4时 ,求A∩B；(2) 假设A B ,求实数a 的取值范围． 解：(1) A ＝{x|1<x<7} ,当a ＝4时 ,B ＝{x|x 2－2x －24＜0}＝{x|－4＜x ＜6} , ∴ A ∩B ＝(1 ,6)．(2) B ＝{x|(x ＋a)(x －a －2)<0} ,① 当a ＝－1时 ,B ＝ ,∴ A B 不成立；② 当a ＋2>－a ,即a>－1时 ,B ＝(－a ,a ＋2) ,∵ A B ,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－a≤1a ＋2≥7 解得a≥5；③ 当a ＋2<－a ,即a<－1时 ,B ＝(a ＋2 ,－a) , ∵ A B ,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤1－a≥7 解得a≤－7.综上 ,实数a 的取值范围是(－∞ ,－7]∪[5 ,＋∞)．第2课时 集合的根本运算1. (2021·南师附中冲刺)设集合A ＝{x|－1＜x ＜2} ,B ＝{x|0＜x ＜4 ,x ∈N } ,那么A∩B＝________．答案：{1}解析：A 、B 的公共元素是1 ,∴ A ∩B ＝{1}．2. 集合P ＝{－1 ,m} ,Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x<34.假设P∩Q≠ ,那么整数m ＝________．答案：0解析：m∈Q ,即－1<m<34,而m∈Z ,∴ m ＝0.3. (2021·苏锡常镇一模)集合A ＝{1 ,2 ,3 ,4} ,B ＝{m ,4 ,7}．假设A∩B＝{1 ,4} ,那么A∪B＝________．答案：{1 ,2 ,3 ,4 ,7}解析：由A∩B＝{1 ,4} ,知m ＝1 ,从而A∪B＝{1 ,2 ,3 ,4 ,7}．4. 集合A ＝{(0 ,1) ,(1 ,1) ,(－1 ,2)} ,B ＝{(x ,y)|x ＋y －1＝0 ,x 、y∈Z } ,那么A∩B＝________．答案：{(0 ,1) ,(－1 ,2)} 解析：A 、B 都表示点集 ,A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合 ,代入验证即可．5. 集合A ＝{1 ,3 ,m} ,B ＝{1 ,m} ,A ∪B ＝A ,那么m ＝________． 答案：0或3解析：∵ A∪B＝A ,∴ B A.又A ＝{1 ,3 ,m} ,B ＝{1 ,m} ,∴ m ＝3或m ＝m.由m ＝m 得m ＝0或m ＝1.但m ＝1不符合集合中元素的互异性 ,故舍去 ,故m ＝0或m ＝3.6. (原创)集合A ＝{x|k π＋π4≤x ≤k π＋π ,k ∈Z } ,B ＝{x|－2≤x≤2} ,那么集合A∩B＝________．答案：[－2 ,0]∪⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4 2解析：由集合A ＝…∪[－π＋π4 ,－π＋π]∪[π4 ,π]∪[π＋π4,π＋π]∪… ,B＝{x|－2≤x≤2} ,利用数轴表示易得A ∩B ＝[－2 ,0]∪[π4,2]．7. 集合A ＝{y|y ＝－x 2＋2x} ,B ＝{x||x －m|<2 015} ,假设A∩B＝A ,那么m 的取值范围是________．答案：(－2 014 ,2 015)解析：集合A 表示函数y ＝－x 2＋2x 的值域 ,由t ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1 ,可得0≤y≤1 ,故A ＝[0 ,1]．集合B 是不等式|x －m|<2 015的解集 ,解得m －2 015<x<m ＋2 015 ,所以B ＝(m －2 015 ,m ＋2 015)．因为A∩B＝A ,所以A B.如图 ,由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧m －2 015<0m ＋2 015>1解得－2 014<m<2 015.8. 给定集合A ,假设对于任意a 、b∈A ,有a ＋b∈A ,且a －b∈A ,那么称集合A 为闭集合 ,给出如下三个结论：① 集合A ＝{－4 ,－2 ,0 ,2 ,4}为闭集合； ② 集合A ＝{n|n ＝3k ,k ∈Z }为闭集合；③ 假设集合A 1、A 2为闭集合 ,那么A 1∪A 2为闭集合． 其中正确的结论是________．(填序号) 答案：②解析：－4＋(－2)＝－6 A ,所以①不正确；设n 1、n 2∈A ,n 1＝3k 1 ,n 2＝3k 2 ,k 1、k 2∈Z ,那么n 1＋n 2∈A ,n 1－n 2∈A ,所以②正确；令A 1＝{x|x ＝2k ,k ∈Z } ,A 2＝{x|x ＝3k ,k ∈Z } ,那么A 1、A 2为闭集合 ,但A 1∪A 2不是闭集合 ,所以③不正确．9. (2021·济南模拟)集合A ＝{－1 ,1} ,B ＝{x|ax ＋1＝0} ,假设B A ,那么实数a 的所有可能取值组成的集合为______________．答案：{－1 ,0 ,1}解析：假设a ＝0 ,B ＝ ,满足B A ；假设a≠0 ,B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ,∵ B A ,∴ －1a ＝－1或－1a＝1 ,∴ a ＝1或a ＝－1.∴ a＝0或a ＝1或a ＝－1组成的集合为{－1 ,0 ,1}．10. (2021·启东检测)集合A ＝{x|x 2－2x －3>0} ,B ＝{x|x 2－4x ＋a ＝0 ,a ∈R }． (1) 存在x∈B ,使得A∩B≠ ,求a 的取值范围； (2) 假设A∩B＝B ,求a 的取值范围．解：(1) 由题意得B≠ ,故Δ＝16－4a≥0 ,解得a≤4. ①令f(x)＝x 2－4x ＋a ＝(x －2)2＋a －4 ,对称轴为x ＝2 , ∵ A ∩B ≠ ,又A ＝(－∞ ,－1)∪(3 ,＋∞) , ∴ f(3)<0 ,解得a<3. ②由①②得a 的取值范围为(－∞ ,3)． (2) ∵ A∩B＝B ,∴ B A.当Δ＝16－4a<0 ,即a>4时 ,B 是空集 ,这时满足A∩B＝B ； 当Δ＝16－4a≥0时 ,a ≤4. ③令f(x)＝x 2－4x ＋a ,对称轴为x ＝2 , ∵ A ＝(－∞ ,－1)∪(3 ,＋∞)≠ , ∴ f(－1)<0 ,解得a<－5. ④ 由③④得a<－5.综上得a 的取值范围为(－∞ ,－5)∪(4 ,＋∞)．11. 集合A ＝{y|y ＝－2x ,x ∈[2 ,3]} ,B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a ＞0}． (1) 当a ＝4时 ,求A∩B；(2) 假设A∩(∁R B)＝ ,求实数a 的取值范围．解：(1) A ＝[－8 ,－4] ,当a ＝4时 ,B ＝(－∞ ,－7)∪(4 ,＋∞)．由数轴图得A∩B ＝[－8 ,－7)．(2) ∵ A∩(∁R B)＝ ,∴ A B.又方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ,－a －3 ,① 当a ＝－a －3时 ,即a ＝－32时 ,B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ －32∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32 ＋∞ ,满足A B ；② 当a<－32时 ,a<－a －3 ,B ＝(－∞ ,a )∪(－a －3 ,＋∞) ,那么a>－4或－a －3<－8 ,得－4<a<－32 ,满足A B ；③ 当a>－32时 ,a>－a －3 ,B ＝(－∞ ,－a －3)∪(a ,＋∞) ,那么a<－8或－a －3>－4 ,得－32<a<1 ,满足A B.综上所述 ,实数a 的取值范围是(－4 ,1)．第3课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1. (2021·南京调研)命题 "x ∈R ,x 2－2x ＋2＞0”的否认是______________．答案：x ∈R ,x 2－2x ＋2≤0解析：根据全称命题的否认是存在性命题可得答案．2. (2021·九江一模改)命题 "假设x 2＞y 2,那么x>y 〞的逆否命题是______________．答案： "假设x≤y ,那么x 2≤y 2”解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题 "假设x 2>y 2,那么x>y 〞的逆否命题是 "假设x≤y ,那么x 2≤y 2”．3. 方程x 2k ＋1＋y2k －5＝1表示双曲线的充要条件是k∈____________．答案：(－1 ,5)解析：方程x 2k ＋1＋y2k －5＝1表示双曲线的充要条件是(k ＋1)(k －5)＜0 ,解得－1<k<5.4. (2021·南京、盐城一模)设函数f(x)＝cos(2x ＋φ) ,那么 "f(x)为奇函数〞是 "φ＝π2〞的__________(填 "充分不必要〞 "必要不充分〞 "充要〞或 "既不充分也不必要〞)条件．答案：必要不充分解析：必要性 ,当φ＝π2时 ,f(x)＝cos(2x ＋φ)可化为f(x)＝－sin2x ,它为奇函数；而当φ＝π2＋2π时 ,f(x)＝cos(2x ＋φ)可化为f(x)＝－sin2x ,也是奇函数 ,所以充分性不成立 ,故应填必要不充分．5. 命题p ：假设实数x 、y 满足x 2＋y 2＝0 ,那么x 、y 全为零．命题q ：假设a>b ,那么1a <1b.．(填序号) 答案：②④解析：命题p 为真命题．假设a ＝2>b ＝－1 ,而1a ＝12>1b＝－1 ,命题q 为假命题．由真值表可知 , p 或q 、非q 为真命题．6. (2021·中华中学调研)命题p ： x ∈R ,使sinx ＝52；命题q ：x ∈R ,都有x2＋x ＋1＞0.给出以下命题：① 命题 "p∧q〞是真命题；② 命题 "p∧(q)〞是假命题； ③ 命题 "(p)∨q〞是真命题；④ 命题 "(p)∨(q)〞是假命题． 其中正确的选项是__________．(填序号) 答案：②③解析：由 ,p 假q 真 ,由真值表知 ,正确命题为②③.7. (2021·扬州中学月考)设f(x)＝x 3＋lg(x ＋x 2＋1) ,那么对任意实数a 、b , "a ＋b≥0”是 "f(a)＋f(b)≥0”的____________(填 "充分不必要〞 "必要不充分〞 "充要〞或 "既不充分也不必要〞)条件．答案：充要解析：∵ f(x)＝x 3＋lg(x ＋x 2＋1) ,∴ f(－x)＝－x 3＋lg(－x ＋x 2＋1)＝－x 3＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 2＋1＝－x 3－lg(x ＋x 2＋1)＝－f(x) ,∴ f(x)是奇函数．又可证f(x)＝x 3＋lg(x ＋x 2＋1)是增函数 ,由a ＋b≥0得a≥－b ,∴ f (a)≥f(－b) ,即f(a)≥－f(b) ,∴ f(a)＋f(b)≥0 ,反之也成立．故 "a ＋b≥0”是 "f(a)＋f(b)≥0”的充要条件．8. 假设存在实数x ,使得x 2－4bx ＋3b<0成立 ,那么b 的取值范围是________．答案：(－∞ ,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34 ＋∞解析：由题意知只需满足相应方程x 2－4bx ＋3b ＝0的判别式Δ>0 ,那么4b 2－3b>0 ,解得b<0或b>34.9. 写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题 ,并判断其真假． (1) 全等三角形一定相似；(2) 末位数字是零的自然数能被5整除．解：(1) 逆命题：假设两个三角形相似 ,那么它们全等 ,为假命题；否命题：假设两个三角形不全等 ,那么它们不相似 ,为假命题；逆否命题：假设两个三角形不相似 ,那么它们不全等 ,为真命题．(2) 逆命题：能被5整除的自然数末位数字是零 ,为假命题；否命题：末位数字不是零的自然数不能被5整除 ,为假命题；逆否命题：不能被5整除的自然数末位数字不是零 ,为真命题.10. 设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0 ,条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0 ,假设綈p 是綈q的充分不必要条件 ,求实数a 的取值范围．解：条件p 为12≤x ≤1 ,条件q 为a≤x≤a＋1. p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x>1或x<12 ,q 对应的集合B ＝{x|x>a ＋1或x<a}．∵ p 是q 的充分不必要条件 ,∴ B 真属于A ,∴ a ＋1>1且a≤12或a ＋1≥1且a<12.∴ 0≤a ≤12.故a 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 12.11. 集合A ＝{x|x 2－3x ＋2≤0} ,集合B 为函数y ＝x 2－2x ＋a 的值域 ,集合C ＝{x|x 2－ax －4≤0} ,命题p ：A ∩B ≠；命题q ：A C.(1) 假设命题p 为假命题 ,求实数a 的取值范围； (2) 假设命题p∧q 为真命题 ,求实数a 的取值范围．解：(1) A ＝[1 ,2] ,B ＝[a －1 ,＋∞) ,假设p 为假命题 ,那么A∩B＝ ,故a －1>2 ,即a>3.故a 的取值范围为(3 ,＋∞)．(2) 假设命题p∧q 为真命题 ,那么p 和q 都为真命题．命题p 为真 , ,即转化为当x∈[1 ,2]时 ,f(x)＝x 2－ax －4≤0恒成立．(解法1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (1 )＝1－a －4≤0f (2 )＝4－2a －4≤0 解得a≥0.(解法2)当x∈[1 ,2]时 ,a ≥x －4x 恒成立 ,而x －4x 在[1 ,2]上单调递增 ,故a≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x max＝0. 综上 ,a 的取值范围为[0 ,3]．。
【福建省】2016届高考数学(理科)-集合与常用逻辑用语-专题练习-答案
福建省2016届高考数学（理科）专题练习集合与常用逻辑用语答 案一、选择题．1~5．ACBBD 6．C二、填空题．7．[]2,+∞8．19．若1x ≠-且2y ≠，则2)10()(x y +-≠10．10三、解答题．11．解：（1）由102x x +≥-得，12x x ≤->或，∴{|12}A x x x =≤->或， 由22(21)0x a x a a -+++>得，1x a x a <>+或，∴{|1}B x x a x a =<>+或（2）A B A ⋂=得，A B ⊆，所以112a a >-⎧⎨+≤⎩，即11a -<≤，所以实数a 的取值范围是(]1,1-． 12．解：（1）若p 为真则);23(log )126(log 222++≥+x x x 得22612032061232x x x x x x +>⎧⎪++>⎨⎪+≥++⎩即2232061232x x x x x ⎧++>⎪⎨+≥++⎪⎩，解得：15x -<≤． 若非q 为真，则23222,x x -≥得232,x x -≥∴13,x x ≤-≥或所以()p q ∧⌝为真命题，则x 的取值范围为[]3,5．（2）因为()p q ∧⌝为真命题是不等式2240x ax a -+->成立的充分条件所以[3,5]x ∈时不等式2240x ax a -+->恒成立．∵2240,x ax a -+->∴2(2)4,a x x -<-又[3,5],x ∈∴20,x ->即2,a x <+又∵2[5,7],x +∈∴5a <．13．解：∵2{|0},A x x ax b =++>2{|430,R}B x kx x k k =+++≥∈，()R A B B ⋂=，ð∴R B A ⊆ð，又23(){|}R A B x x -⋃=≤≤ð，∴{|23}R x x A =-≤≤ð，∴{|23}A x x x =<->或即不等式02>++b ax x 的解集为}32|{>-<x x x 或，∴1,6a b =-=-．由R B B A ≠∅⊆且可得ð，方程2()430F x kx x k =+++=的两根都在[]2,3-内， ∴00(2)0(3)0223k F F k ⎧⎪<⎪∆≥⎪⎪-≤⎨⎪≤⎪⎪-≤-≤⎪⎩解得243k -≤≤- 故6,1-=-=b a ，2[4,]3k ∈--．福建省2016届高考数学（理科）专题练习集合与常用逻辑用语一、选择题。
高考数学(文科)习题 第一章 集合与常用逻辑用语 课时撬分练1-2 word版含答案
………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.下列命题中，真命题是( ) A ．∃x ∈R ，e x≤0 B ．∀x ∈R,2x>x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件 答案 D解析 ∵∀x ∈R ，e x >0，∴A 错；∵函数y ＝2x 与y ＝x 2有交点，如点(2,2)，此时2x＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；a >1，b >1，由不等式的性质可知ab >1，∴D 正确，故选D.2．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠b B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b 答案 D解析 若p 则q 的逆命题是若q 则p ，故选D.3．有下列命题：①“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全是0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④答案 D解析 ①否命题为“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全是0”，为真．②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．③逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ，则m ≥1”． ∵当m ＝0时，解集不是R ， ∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1.∴其逆命题是假命题．④原命题为真，逆否命题也为真．4．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．5．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析ab＝0⇒/a＝0，但a＝0⇒ab＝0，即ab≠0⇒a≠0，因此，p是q的必要不充分条件，故选B.6. 已知命题p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，命题q：函数g(x)＝log a(x＋1)(a>0且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p是q的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析由p成立，得a≤1，由q成立，得a>1，所以綈p成立时a>1，则綈p是q的充要条件．故选C.7．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b ⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析先证“α⊥β⇒a⊥b”，∵α⊥β，α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，∴b⊥α.又∵a ⊂α，∴b⊥a，再证a⊥b⇒/α⊥β，举反例，当a∥m时，由b⊥m满足a⊥b，此时二面角α－m －β可以为(0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β，故选A.8．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0且b ≠0，故ab ＝0，必要性成立；但b ＝0时，a －b i 为实数，充分性不成立，故选B.9．设等比数列{a n }的公比为q ，则“0<q <1”是“{a n }是递减数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 a n ＋1－a n ＝a 1q n－a 1qn －1＝a 1qn －1(q －1)，而a 1的正负性未定，故无法判断数列{a n }的单调性，因此“0<q <1”是“{a n }是递减数列”的既不充分也不必要条件．10．有三个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； (2)“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题； (3)“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题． 其中真命题的个数为________． 答案 1解析 (1)真，(2)原命题假，所以其逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假．11．若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________． 答案 －1解析 由x 2>1，得x <－1或x >1. 又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件， 知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立， 所以a ≤－1，即a 的最大值为－1. 12．给出下面三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数； ②奇函数的图象一定过原点；③“若0<log a b <1，则a >b >1”的逆命题． 其中是真命题的是________．(填序号) 答案 ③解析 ①是假命题，举反例：x ＝2π＋π6和π4，tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝33，tan π4＝1,2π＋π6>π4，但tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6<tan π4.②是假命题，反例：y ＝1x 是奇函数，但不过原点．③的逆命题是“若a >b >1，则0<log a b <1”，由对数函数的图象及单调性可知是真命题．能力组13.给出下列命题：①若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝32； ②α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件； ③已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝79.其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 对于①，由(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5得a 1<0，a 2>0，a 3<0，a 4>0，a 5<0，取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(1＋1)5＝25，再取x ＝0得a 0＝(1－0)5＝1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝31，即①不正确；对于②，如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，但平面ABB 1A 1与平面ADD 1A 1不平行，所以②不正确；对于③，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，所以③正确．14．已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④綈p是綈s的必要不充分条件；⑤r是s的充分不必要条件．则正确命题的序号是( )A．①④⑤B．①②④C．②③⑤D．②④⑤答案 B解析∵q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．∴q，r，s互为充要条件．又p是r的充分不必要条件，∴①s是q的充要条件正确；②p是q的充分不必要条件正确；③r是q的必要不充分条件错误；④綈p是綈s的必要不充分条件正确；⑤r是s的充分不必要条件错误，故选B.15．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案 A解析对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y, 是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．16．若A：log2a<1，B：关于x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则A是B的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析解法一：由log2a<1，解得0<a<2；而方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零的充要条件是a－2<0，解得a<2.因为命题“若0<a<2，则a<2”是真命题，而命题“若a<2，则0<a<2”是假命题，所以“0<a<2”是“a<2”的充分不必要条件，所以A是B的充分不必要条件，选A.解法二：由解法一可知，满足条件A的参数a的取值集合为M＝{a|0<a<2}，满足条件B 的参数a的取值集合为N＝{a|a<2}，显然M N，所以A是B的充分不必要条件，选A.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∩B＝( ) A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4)2．(2015²陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝ ( )A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]3．(2015²天津)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝( )A．{2，5} B．{3，6}C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}4．(2015²新课标全国Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝( )A．{－1，0} B．{0，1}C．{－1，0，1} D．{0，1，2}5．(2015²四川)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( )A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}6．(2015²浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q＝( )A．[0，1) B．(0，2]C．(1，2) D．[1，2]7．(2015²广东)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N ＝( )A．∅ B．{－1，－4}C．{0} D．{1，4}8．(2015²重庆)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则( )A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A9．(2014²湖北)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A ＝( )A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}10．(2014²湖北)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( )A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件11．(2014²浙江)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( ) A．∅ B．{2}C．{5} D．{2，5}12．(2014²北京)若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝( )A．{0，1，2，3，4} B．{0，4}C．{1，2} D．{3}13．(2014²广东)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝( )A．{0，1} B．{－1，0，2}C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}14．(2014²重庆)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B＝________．15．(2014²福建)若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．16．(2014²福建)已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．1.(2015²广州惠州模拟)若集合A ＝{x |≤1，x ∈R }，B ＝{x |y ＝x }，则A ∩B ＝( )A ．{x |0≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．∅2．(2015²山东日照一模)设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则∁U (A ∩B )等于( )A ．{2，3}B ．{1，4，5}C ．{4，5}D ．{1，5}3．(2015²福建泉州五校模拟)已知集合A ＝{cos 0°，sin 270°}，B ＝{x |x 2＋x ＝0}，则A ∩B 为( )A ．{0，－1}B ．{－1，1}C ．{－1}D ．{0}4．(2015²浙江嘉兴模拟)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，R 为实数，Z 为整数集，则(∁R A )∩Z ＝( )A ．{x |－3<x <1}B ．{x |－3≤x ≤1}C ．{－2，－1，0}D ．{－3，－2，－1，0，1}5．(2015²辽宁五校模拟)设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，则M ∪N ＝( )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |x <－1}D ．{x |x ≤－2}6．(2015²黑龙江大庆模拟)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，集合B ＝{x |log x 4＝2}，则A ∪B ＝( )A ．{－2，1，2}B ．{1，2}C ．{－2，2}D ．{2}7．(2015²湖南三市模拟)已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．38．(2015²河北邯郸模拟)已知集合A ＝{x |x 2－16<0}，B ＝{－5，0，1}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．B ⊆A C ．A ∩B ＝{0，1} D ．A ⊆B9．(2015²湖北荆门模拟)集合A ＝{x ∈N |x ≤6}，B ＝{x ∈R |x 2－3x >0}，则A ∩B ＝( ) A ．{3，4，5} B ．{4，5，6} C ．{x |3<x ≤6} D ．{x |3≤x <6}10．(2015²山东日照模拟) 设集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，B ＝{y ∈R |y ＝2x，x ∈R }，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(0，3)C ．[0，3)D ．(－1，3)11．(2015²福建厦门模拟)设集合A ＝{x |x ＋2>0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |y ＝13－x ，则A ∩B ＝( ) A ．{x |x >－2} B ．{x |x <3} C ．{x |x <－2或x >3} D ．{x |－2<x <3}12．(2015²杭州七校模拟)已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．2或 213．(2015²贵州七校模拟)已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }，则A ∩B 的真子集个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．814．(2015²重庆模拟)设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则(∁R M )∩N ＝________．15．(2015²湖北荆门模拟)已知：对于给定的q ∈N *及映射f ：A →B ，B ⊆N *，若集合C ⊆A ，且C 中所有元素在B 中对应的元素之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集．①对于q ＝2，A ＝{a ，b ，c }，映射f ：x →1，x ∈A ，那么集合A 的所有好子集的个数为________；②对于给定的q ，A ＝{1，2，3，4，5，6，π}，映射f ：A →B 的对应关系如下表：若当且仅当C 5个整数时，C 为集合A 的好子集，则所有满足条件的数组(q ，y ，z )为________．(x＋2)＜0”的( )1.(2015²重庆)“x＞1”是“log2A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．(2015²北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．(2015²安徽)设p：1<x<2，q：2x>1，则p是q成立的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．(2015²湖北)设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2，则( )A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件5．(2015²湖南)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．(2015²新课标全国Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n7．(2015²陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．(2015²浙江)设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数，命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，( )A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立9．(2014²湖南)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④10．(2014²辽宁)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a²b＝0，b²c＝0，则a²c ＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)11．(2014²重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A．p∧綈q B．綈p∧qC．綈p∧綈q D．p∧q12．(2014²重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．綈p∧綈qC．綈p∧q D．p∧綈q13．(2014²陕西)原命题为“若a n＋a n＋12＜a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，真，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假14．(2014²陕西)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假15．(2014²新课标全国Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件1．(2015²福建厦门模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0≥2，则綈p 是( )A ．∃x 0∈R ，sin x 0≤12B ．∃x 0∈R ，sin x 0<12C ．∀x ∈R ，sin x ≤12D ．∀x ∈R ，sin x <122．(2015²四川成都模拟)已知命题p ：“若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ”，则下列说法正确的是( )A ．命题p 的逆命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” B ．命题p 的逆命题是“若x <2ab ，则x <a 2＋b 2” C ．命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” D ．命题p 的否命题是“若x ≥a 2＋b 2”，则x <2ab3．(2015²广东惠州模拟)“a >b >0”是“a 2>b 2”成立的条件( ) A ．必要不充分 B ．充分不必要 C ．充要 D ．既不充分也不必要4．(2015²广东揭阳模拟)已知命题p ：四边形确定一个平面；命题q ：两两相交的三条直线确定一个平面．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．(綈p )∨qD ．p ∧(綈q )5．(2015²河北邯郸模拟)设a ，b 是两个非零向量，则“a ²b <0”是“a ，b 夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2015²四川乐山模拟)设x ∈R ，则“x >23”是“3x 2＋x －2>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．(2015²安徽淮北模拟)已知X ＝log m n ，则mn >1是X >1的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．(2015²北京西城模拟)设函数f (x )＝3x ＋b cos x ，x ∈R ，则“b ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．(2015²陕西安康模拟)函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( )A ．b ≥0B ．b >0C ．b <0D ．b ≤010．(2015²山东德州模拟)已知命题p ：∀x >0，x ＋4x≥4：命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0＝12.则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题11．(2015²山东潍坊模拟)下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件 C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题 D ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0 12．(2015²福建福州模拟)已知A B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件13．(2015²湖北八校模拟)“a ≠5且b ≠－5”是“a ＋b ≠0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件14．(2015²四川成都模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝log 3(x ＋1)．若关于x 的不等式f [x 2＋a (a ＋2)]≤f (2ax ＋2x )的解集为A ，函数f (x )在[－8，8]上的值域为B ，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．15．(2015²山东菏泽模拟)下列4个命题： ①“如果x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题 ②“如果x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题③在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件④“函数f (x )＝tan (x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )” 其中真命题的序号是________．参考答案第一章集合与常用逻辑用语考点1 集合【两年高考真题演练】1．C [∵A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|(x－1)(x－3)}＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2，3)．]2．A [由题意得M＝{0，1}，N＝(0，1]，故M∪N＝[0，1]，故选A.]3．A [由题意知，∁U B＝{2，5，8}，则A∩∁U B＝{2，5}，选A.]4．A [由A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1}，得A∩B ＝{－1，0}，故选A.]5．A [∵A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}．]6．C [∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁R P＝{x|0＜x＜2}，∴(∁R P)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.7．A [因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)²(x－1)＝0}＝{1，4}，所以M∩N＝∅，故选A.]8．D [由于2∈A，2∈B，3∈A，3∈B，1∈A，1∉B，故A，B，C均错，D是正确的，选D.]9．C [由题意知∁U A＝{2，4，7}，选C.]10．C [“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”⇔“A∩B＝∅”，选C.]11．B12．C [因为集合A，B中的公共元素为1，2，所以A∩B＝{1，2}，应选C.]13．C [M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1，0，1，2}，选C.]14．{7，9} [依题意得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∁U A＝{4，6，7，9，10}，(∁U A)∩B＝{7，9}．]15．6 [根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，其中a＝1与b＝1矛盾，条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，则a＝3符合条件的有序数组为(3，1，2，4)；(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．所以共有6个．故答案为6.]16．201 [可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1或b ＝c ＝0或a ＝c ＝0与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100³2＋10³0＋1＝201.]【一年模拟试题精练】1．A [由|x |≤1得－1≤x ≤1，∴A ＝{x |－1≤x ≤1}；由y ＝x 得x ≥0，∴B ＝{x |x ≥0}．∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．故选A.]2．B [A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，∴A ∩B ＝{2，3}，又∵U ＝{1，2，3，4，5}，∴∁U (A ∩B )＝{1，4，5}．]3．C [∵A ＝{1，－1}，B ＝{0，－1}，∴A ∩B ＝{－1}，选C.]4．D [集合A ＝{x |x <－3或x >1}，所以∁R A ＝{x |－3≤x ≤1}，所以(∁R A )∩Z ＝{－3，－2，－1，0，1}，故选D.]5．A [M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4＝{x |x ≥－2}，则M ∪N＝{x |x ≥－2}，故选A.]6．B [A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，B ＝{x |log x 4＝2}＝{2}，则A ∪B ＝{1，2}，故选B.]7．C [B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }＝{0，2，4，6} ，则A ∩B ＝{0，2}，故选C.]8．C [A ＝{x |x 2－16<0}＝{x |－4<x <4}，所以A ∩B ＝{0，1}故选C.]9．B [A ＝{x ∈N |x ≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{x ∈R |x 2－3x >0}＝{x |x >3或x <0}，则A ∩B ＝{4，5，6}，故选B.]10．C [A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x |－1<x <3}，B ＝{y |y ≥0}，则A ∩B ＝[0，3)，故选C.]11．D [A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x <3}，则A ∩B ＝{x |－2<x <3}，故选D.]12．A [因为A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }＝{2}且A ⊆B ，故m ＝2，故选A.]13．C [B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }＝{0，1，2，3，2}，则A ∩B ＝{0，1，2}故其真子集的个数为7个，故选C.]14．{x |1<x ≤2} [由M 中不等式解得：x <－2或x >2，即M ＝{x |x <－2或x >2}，∴∁R M ＝{x |－2≤x ≤2}，由N 中不等式变形得：x －3x －1≤0，解得：1<x ≤3，即N ＝{x |1<x ≤3}， 则(∁R M )∩N ＝{x |1<x ≤2}．故答案为：{x |1<x ≤2}．]15．①4 ②(5，1，3)考点2 常用逻辑用语【两年高考真题演练】1．B [由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件．因此选B. ]2．B [m ⊂α，m ∥β⇒/α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件．]3．A [当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q ⇒/p ，故选A.]4．A [柯西不等式“(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )≥(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2”等号成立的条件是“a 1a 2＝a 2a 3＝…＝a n －1a n(即a 1，a 2，…，a n ，成等比数列)”或“a 2＝a 3＝…＝a n ＝0”，故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．故选A.]5．C [由A ∩B ＝A 可知，A ⊆B ；反过来A ⊆B ，则A ∩B ＝A ，故选C.]6．C [将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”．]7．A [∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A.]8．A [∵A ≠B ⇒card(A ∪B )＞card(A ∩B )，即d (A ，B )＞0，若A ＝B ⇒d (A ，B )＝0，则由d (A ，B )≠0⇒A ≠B ，即d (A ，B )＞0⇒A ≠B ，∴命题①成立；由韦恩图知，命题②也成立，故选A.]9．C [由题易知命题p 为真，命题q 为假，则綈p 为假，綈q 为真．故p ∧q 为假，p ∨q 为真，p ∧(綈q )为真，(綈p )∨q 为假．故选C.]10．A11．A [命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题，选A.]12．D [依题意，命题p 是真命题．由x >2⇒x >1，而x >1D /⇒x >2，因此“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故命题q 是假命题，则綈q 是真命题，p ∧綈q 是真命题，选D.]13．A [从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.]14．B [因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z 1|＝|z 2|，当z 1＝1，z 2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.]15．C [设f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但是f (x )是单调增函数，在x ＝0处不存在极值，故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题．故选C.]【一年模拟试题精练】1．D [特称命题的否定是全称命题故选D.]2．C [原命题为若綈p 则綈q 的形式，则否命题为若綈p 则綈q 的形式，故选C.]3．B [由不等式的性质知，当a >b >0时，a 2>b 2成立；反之，例如取a ＝－3，b ＝1，显然a 2>b 2，而a >b >0不成立．故选B.]4．C [命题p ，q 均为假命题，则綈p 为真命题，所以(綈p )∨q 为真命题，故选C.]5．B [a ²b <0得到a ，b 夹角为钝角或π，反之成立，故选B.]6．A [由3x 2＋x －2>0得x >23或x <－1，故由“x >23”能推出“3x 2＋x －2>0”，反之则不能，故选A.]7．D [mn >1时X >1不一定成立，反之也不一定成立，故选D.]8．C [当b ＝0时，函数f (x )为奇函数，反之也成立，故选C.]9．A [函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数需满足－b 2≤0，则b ≥0，故选A.] 10．C [命题p 为真命题，命题q 为假命题，则p ∧(綈q )是真命题，故选C.]11．C [根据原命题与其逆否命题等价，具有共同的真假性，故选C.]12．A [因为A B ，则集合A 中的元素是集合B 中的元素，而集合B 中的元素不一定是集合A 中的元素，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件．]13．D [a ≠5，b ≠－5推不出a ＋b ≠0，例如a ＝2，b ＝－2时，a ＋b ＝0，a ＋b ≠0也推不出a ≠5且b ≠－5，所以“a ≠5且b ≠－5”是“a ＋b ≠0”既不充分条件也不必要条件，所以选D.]14．[－2，0] [∵f (x )是奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝log 3(x ＋1)为增函数，∴f (x )在[－8，8]上也为增函数，且f (8)＝log 3(8＋1)＝log 3 9＝2，即函数f (x )在[－8，8]上的值域为B ＝[－2，2]，由f [x 2＋a (a ＋2)]≤f (2ax ＋2x )得x 2＋a (a ＋2)≤2ax ＋2x ，即x 2－2(a ＋1)x ＋a (a ＋2)≤0，则(x －a )[x －(a ＋2)]≤0，即a ≤x ≤a ＋2，即A ＝[a ，a ＋2]，∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，∴A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a ＋2≤2，解得－2≤a ≤0，故答案为：[－2，0]．] 15．①② [③“A >30°”是“sin A >12”的既不充分也不必要条件，不正确；④φ＝k π(k ∈Z )是函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数的充分不必要条件，不正确．]。