2017年全国普通高等学校高考数学二模试卷(理科)(衡水金卷)

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河北省衡水中学2017届高三高考押题2卷理数试题(解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅱ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则集合=.本题选择B选项.2.设复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得： .3.若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴∈（，），又因为，∴故sinα=sin[（）-]=sin（）cos-cos（）sin== ,故选A.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.4.已知直角坐标原点为椭圆：的中心，，为左、右焦点，在区间任取一个数，则事件“以为离心率的椭圆与圆：没有交点”的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】满足题意时，椭圆上的点到圆心的距离：，整理可得，据此有：，题中事件的概率 .本题选择A选项.5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，双曲线的渐近线为，则，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.本题选择D选项.6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：由题意：，据此可知：，，，它的表面积是.本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7.函数在区间的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.详解：设，当时，，当时，，即函数在上为单调递增函数，排除B；由当时，，排除D；因为，所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，且展开式中的第项的系数是第项的系数的倍，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则，二项式展开式的通项公式为：，由题意有：，整理可得： .本题选择D选项.点睛：二项式系数与展开式项的系数的异同一是在T r＋1＝a n－r b r中，是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．9.执行如图的程序框图，若输入的，，，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值，x=0,y=1,n=1 ，进入循环体：x=n y=1,y==1，时满足条件y2≥x，执行n=n+1=2 ，进入第二次循环，x=n y=2,y==,时满足条件y2≥x，执行n=n+1=3 ，进入第三次循环，x=n y=2,y==，时不满足条件y2≥x，输出 .10.已知数列，，且，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由递推公式可得：当为奇数时，，数列是首项为1，公差为4的等差数列，当为偶数时，，数列是首项为2，公差为0的等差数列，本题选择C选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11.已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线：平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则最小值为【答案】C【解析】由函数的最值可得，函数的周期，当时，，令可得，函数的解析式 .则：结合函数的解析式有，而，选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确.本题选择C选项.12.已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】很明显，由题意可得：，则由可得，由题意得不等式：，即：，综上可得的取值范围是.本题选择D选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．【答案】-8【解析】由题意可得：或，则：或 .14.在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点F，圆与轴相交于、两点．若为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：∵△PQM是锐角三角形，∴∴化为∴解得∴该椭圆离心率的取值范围是故答案为：15.设，满足约束条件，则的取值范围为__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，目标函数表示可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，目标函数在点处取得最大值，在点处取得最小值，则的取值范围为.点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．16.在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【详解】由题意可设：，则：，则：当时，面积有最大值；当时，面积有最小值；结合二次函数的性质可得：的取值范围为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前n项和为（1）求数列的通项公式；（2）记，求的前项和【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）首先利用S n与a n的关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n-S n-1；结合已知条件等式推出数列{a n}是等比数列，由此求得数列{a n}的通项公式；（2），利用裂项求和即可.试题解析：（1）当时，由及，得，即，解得．又由，① 可知，②②-①得，即．且时，适合上式，因此数列是以为首项，公比为的等比数列，故．（2）由（1）及，可知，所以，故．18.如图所示的几何体中，底面为菱形，，，与相交于点，四边形为直角梯形，，，，平面底面.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；（2）余弦值为.【解析】【分析】（1）先由菱形的性质以及面面垂直的性质证明平面，从而，再利用勾股定理证明,从而可得平面，进而可得结果；（2）取中点，可证明平面，又在菱形中，，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标，平面的法向量可取为，再利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）因为底面为菱形，所以，又平面底面，平面平面，因此平面，从而.又，所以平面,由，，，可知，，，，从而，故,又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取中点，由题可知，所以平面，又在菱形中，，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系（如图示），则，，，，.所以，，.由（1）可知平面，所以平面的法向量可取为,设平面的法向量为，则，即，即，令，得，所以.从而.由图可知，所求二面角的大小为锐角，故所求的二面角的余弦值为.法二：此题也可以连接，，即为所求的二面角的平面角.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级名学生中随机抽取名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级、、、、分别对应分、分、分、分、分，学校要求平均分达分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从、两种级别中，用分层抽样的方法抽取个学生样本，再从中任意选取个学生样本分析，求这个样本为级的个数的分布列与数学期望.【答案】(1) 等级为的概率为,成绩为的人数约有;(2)见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图估算该校高三年级学生获得成绩为的人数为448；(2)计算平均分可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)的可能值为0，1，2，3.由超几何分布的概率写出分布列，求得数学期望为 .试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，则该校高三年级学生获得成绩为的人数约有.（2）这100名学生成绩的平均分为，因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中级4个，级7个，从而任意选取3个，这3个为级的个数的可能值为0，1，2，3.则，，，.因此可得的分布列为：则.20.已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.【答案】(1);(2)2.【解析】试题分析：(1)由题意求得，，故所求的椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得为定值.试题解析：（1）由题意可知，所以，即，①又点在椭圆上，所以有，②由①②联立，解得，，故所求的椭圆方程为.（2）设，由，可知.联立方程组消去化简整理得，由，得，所以，，③又由题知，即，整理为.将③代入上式，得.化简整理得，从而得到.21.设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；②若时，函数单调递增；③若时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.(2)构造新函数，结合新函数的性质即可证得题中的不等式.试题解析：（1）由，可知.因为函数的定义域为，所以，①若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；②若时，当在内恒成立，函数单调递增；③若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.（2）证明：由题可知，所以.所以当时，；当时，；当时，.欲证，只需证，又，即单调递增，故只需证明. 设，是方程的两个不相等的实根，不妨设为，则两式相减并整理得，从而，故只需证明，即.因为，所以（*）式可化为，即.因为，所以，不妨令，所以得到，.记，，所以，当且仅当时，等号成立，因此在单调递增.又，因此，，故，得证，从而得证.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求.【答案】（1）的取值范围为；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线与化为直角坐标系中的普通方程为，；的取值范围是；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得.试题解析：（1）曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为. （2）当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.23.已知函数.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】（1）解集为；（2）见解析见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：（1）因为所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.（2）证明：由图可知函数的最小值为，即. 所以，从而，从而.当且仅当时，等号成立，即，时，有最小值，所以得。

河北省衡水2017届高三第二次摸底考试数学试题(理)有答案AlMAww

河北省衡水2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{A k =∈N |}N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B =I （） A ．{}6,9 B ．{}3,6,9 C ．{}1,6,9,10 D ．{}6,9,10 2. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（）A ．20B ．24C ．30D ．324.已知命题1:,ln 2xp x e x ⎛⎫∃>> ⎪⎝⎭；命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥则下列命题中为真命题的是（）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝ 5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（） A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π- 6. 若实数,x y 满足条件21025020x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432x z x y =+的最大值为（）A ．1B ．6415C.1619 D ．127.已知)221sin a x dx π-=⎰，则二项式922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）A ．158-B ．212- C.54- D ．1-8. 已知奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且MNE ∆是边长为1的正三角形，那么13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A．32π- B．12-C.14D．34π-9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．2843122++ B．3643122++C. 3642123++ D．44122+10. 执行如图所示的程序框图，输出S的值等于（）A．321tan9π-- B．25tan3922tan9ππ-C.2322tan9D．25tan3921tan9ππ--11.椭圆()222101yx bb+=<<的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若FAB∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x=-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．22⎛⎫⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.20,2⎛⎫⎪⎝⎭D．10,2⎛⎫⎪⎝⎭12. 已知()'f x是函数()f x的导函数，且对任意的实数x都有()()()'23(xf x e x f x e=++是自然对数的底数），()01f=，若不等式()0f x k-<的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是（）A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知4,5,(,a b c a b λμλμ===+∈r r r r r R)，若(),⊥⊥-r r r r r a b c b a ，则λμ= ．14.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，23B π=，若224a c ac +=，则()sin sin sin A C A C += ．15.已知点12,F F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12212,tan 4F F OP PF F =∠≥，则双曲线C 的焦点的取值范围为． 16.点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为92π，则动点M 的轨迹的长度为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足111,332,n n a a a n +=+=++∈N *. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设以2为公比的等比数列{}n b 满足2214log log 1211(n n n b b a n n +⋅=++∈N *），求数列{}2log n n b b -的前n 项和n S .18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留2天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,223,AB CD AB DC AC BD F ===I ，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为PAD ∆的重心.（1）求证：//GF 平面PDC ；（2）求平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .（1）若FA AD =，当点A 的横坐标为322+时，ADF ∆为等腰直角三角形，求C 的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围.21. 设函数()()2,1(xf x eg x kx k ==+∈R ）.（1）若直线()=y g x 和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t =⎧⎨=⎩为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 224πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当3a =P 到直线l 的距离的最大值；（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *，且()4f x <恒成立. （1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：4118αβ+≥.河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12：AC二、填空题13. 251615. 2,3⎛⎝⎦三、解答题17. 解：(1)由题知数列是以2为首项，2为公差的等差数列，()22212,43nn n a n=+-==-.(2)设等比数列{}n b的首项为1b，则112nnb b-=⨯，依题有()()()()1221212121214log log4log2log24log1logn nn nb b b b b n b n-+⋅=⨯⋅⨯=+-+()()2222121214log4log42log144128b b b n n n n=-+⨯-+=++，即()()212212142log1124log4log8bb b⨯-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得211log2,4b b==，故()1112422,log21n nn n nb b b n-++=⨯=-=-+Q，()()()2221221324222nnnn n n nS+-+++∴=-=--.18. 解：设iA表示事件“此人于3月i日到达该市”()1,2,...,14i=.依题意知，()114iP A=，且()i jA A i j=∅≠I.(1)设B为事件“此人停留2天空气质量都是重度污染”，则12121314B A A A A A=U U U U，所以()()()()()()12121314514P B P A P A P A P A P A ==U U U U ，即此人停留2天空气质量都是重度污染的概率为514. (2) 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，且()()()()()4894893014P X P A A A P A P A P A ===++=U U ，()()()()()21114211143214P X P A A A P A P A P A ===++=U U ，()()()()()11213112133314P X P A A A P A P A P A ===++=U U ， ()()()()333511023114141414P X P X P X P X ==-=-=-==---=，(或()()()()()()()3567103567105114P X P A A A A A P A P A P A P A P A ===++++=U U U U )，所以X 的分布列为X123P314514314314故X 的期望()3533100123141414147E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19. 解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心，21AG AF GH FC ∴==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC .(2)Q 平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，延长PG 交AD 的中点E ，连接,,,BE PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()()223,3,0,0,0,0,3,0,3,0,3,0,0,0,0,1AB DC A P B D G ==∴-Q ， ()()()3,0,1,3,3,0,3,0,3AG AB AP ∴=-=-=-u u u r u u u r u u u r，设()()()00000011,,,,3,,3,3,022C x y z DC AB x y z =∴=-u u u r u u u r Q ，可得000333,0,,0,,0222222x y z C AC ⎛⎫⎛⎫=-==∴-∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，设平面PAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r，由11111111113030n AB y x n AP z x ⎧⎧⎧⊥+==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⊥+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩u r u u u ru r u u u r ，令11z =，得)1,1n =u r ，同理可得平面AGC的一个法向量)1121212,cos ,n n n n n n n ⋅====u r u ru u r u r u u r Q u r u u r AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值为811. 20. 解：(1)由题知,0,3,422p p F FA FD ⎛⎫=+==+⎪⎝⎭，则4,0,22p D FD ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的中点坐标为(22,024p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则23+=+2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+>Q ，121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-u u u r u u u r，由题知//PE PA u u u r u u u r，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204P y yx x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即()122212114y y y y +=-，所以()21212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m x m x x +==-<，又因为012x ≥，所以011,2x d ≤<===，令()220224,2,2t t x t d t t t ⎛-=∈=-==- ⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭. 21. 解：(1)设切点的坐标为()2,tt e ，由()2x f x e =得()2'2xf x e =，所以切线方程为()222t t y e e x t -=-，即()2212tty e x t e =+-，由已知()22212tty e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，()222,121t t e k t e ∴=-=，令()()1x h x x e =-，则()'x h x xe =-，当(),0x ∈-∞时，()()'0,h x h x >单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，()()01h x h ∴≤=.当且仅当0x =时等号成立，0,2t k ∴==.（注明：若由函数()2x f x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图象相切于()0,1，得出022k e ==，得3分）(2) ①当2k >时，由（1）结合函数的图象知，存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2f x g x x ->，即()2210xk x e -+->，设()()()2221,'2x x t x k x e t x k x e =-+-=--，令()'0t x >得12ln22k x -<，令()'0t x <得12ln 22k x ->.若()()0121224ln 0,0,ln ,,2222k k k x t x --⎛⎫<≤≤⊆+∞∴ ⎪⎝⎭Q 在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，所以对任意的()00,x x ∈，都有()0t x <，与题设不符. 若()1212124,ln 0,0,ln ,ln ,222222k k k k t x ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在120,ln 22k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()00t =Q ，所以对任意的120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题设.此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.②当02k <≤时，由(1)结合函数的图象知()()22100,xex x -+≥>()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥Q ，对任意0x >都成立，()()2f x g x x ∴->等价于()2210x e k x -+->.设()()221x x e k x ϕ=-+-，则()()2'22x x e k ϕ=-+，由()'0x ϕ>，得()12ln 0,'022k x x ϕ+>><得()12ln ,22k x x ϕ+<∴在120,ln 22k +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，注意到()00ϕ=，所以对任意的120,ln22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0x ϕ<，不符合题设.综上所述，k 的取值范围为()4,+∞. 22. 解：(1)由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()cos sin 2ρθρθ-=-)2x y -=-l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l 的距离6d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当26t k ππ+=，即2,6t k k Z ππ=-∈时，max d ==，故点P 到直线l 的距离的最大值为(2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t ∴∀∈R ，cos 2sin 40-+>a t t 恒成立，即()4t ϕ+-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<a 取值范围为(.23. 解：（1）222x m x x m x m --≤--=Q ,要使24x m x --<恒成立，则2m <，解得22m -<<.又m ∈Q N *，1∴=m .（2）()()()()0,1,0,1,22223f f αβαβαβ∈∈∴+=-+-=Q ，即()141414,22525182βααβαβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4βααβ=，即11,36αβ==时取等号，故4118αβ+≥.。

河北省衡水中学2017届高三第二次模拟考试数学(理)试题(含答案)

2016～2017学年度下学期高三年级二模考试数学（理）试卷（答案）I 卷一、选择题（本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分.）A 卷：DBBABBAACB DB B 卷：BCCDA CBDDD AB二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.13.10082016C 14.)3,3(15.416.3510三、解答题:本大题共6题,,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.解：（1）由sin 3cos cos C A B =-可得sin()3cos cos A B A B +=-，即sin cos cos sin 3cos cos A B A B A B +=-，因为tan tan 1A B =-，所以A,B 2π≠，两边同时除以cos cos A B ，得到tan tan 3A B +=-，因为tan()tan()tan ,A B C C π+=-=-tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++==-所以tan C =，又0C π<<，所以3C π=。

根据正弦定理得sin sin sin 3a b c A B C ===，故,a A b B ==，sin sin sin sin 2220A B A B a b A B ++==+。

6分（2）由（1）及余弦定理可得222cos 32a b c abπ++=，因为c =，所以2210a b ab +-=，即2()210a b ab ab +--=，又由111a b+=，可得a b ab +=，故2()3100ab ab --=解得52()ab ab ==-或舍去，此时5a b ab +==，所以ABC ∆得周长为5+，ABC ∆的面积为15sin 234π⨯⨯=。

12分18.解：（1）由题意21x x <2221S S >。

2分（2）记选到的城市至多是一个“中国十佳宜居城市”为事件A，由已知既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个：深圳，惠州，信阳，烟台。

河北省衡水市2017高三数学二模试卷理科

年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．．1．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}2．已知i是虚数单位，（1+2i）z1=﹣1+3i，，z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B，则|AB|=（）A．31 B．33 C． D．3．下列命题，真命题是（）A．a﹣b=0的充要条件是=1 B．∀x∈R，e x＞x eC．∃x0∈R，|x0|≤0 D．若p∧q为假，则p∨q为假4．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x5．已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图中标出的尺寸（图中大正方形边长为2a），可得这个几何体的体积是（）A．B．7a3C．D．5a36．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．4 D．57．给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=﹣，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=，则P（ξ≤﹣2）=；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．669．若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）10．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A．[1，3]B．[]C．[，]D．[，3]11．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π12．已知a，b∈R，且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．e3B．e3C．e3D．e3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线的左、右焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为．14．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2=（x12+x22+x32﹣12），则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为．15．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有种．（以数字作答）16．已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列{a n}的通项a n=（n∈N+），则数列{a n}的前n项和=．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．18．2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）乘公共汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元6公里至12公里（含）4元12公里至22公里（含）5元22公里至32公里（含）6元32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且B1A=B1C=B1B=AC=2．（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥底面ABC；（Ⅱ）求B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）若E，F分别是线段A 1C1，C1C的中点，问在线段B1F上是否存在点P，使得EP∥平面ABB1A1．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x ﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O 为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．21．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．2017年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．．1．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}【考点】元素与集合关系的判断．【分析】先求出m的值，从而判断出m属于结合A．【解答】解：∵m=elne=e，∴m∈A，故选：C．2．已知i是虚数单位，（1+2i）z1=﹣1+3i，，z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B，则|AB|=（）A．31 B．33 C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z1，z2，求出z1、z2在复平面上对应的点的坐标A、B，则答案可求．【解答】解：∵（1+2i）z1=﹣1+3i，∴z1===1+i，∵，∴z2=1+（2i）5=1+32i，∴z1、z2在复平面上对应的点的坐标分别为A（1，1）、B（1，32），则|AB|=．故选：A．3．下列命题，真命题是（）A．a﹣b=0的充要条件是=1 B．∀x∈R，e x＞x eC．∃x0∈R，|x0|≤0 D．若p∧q为假，则p∨q为假【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．由=1⇒a﹣b=0，反之不成立（b=0时），即可判断出正误；B．取x=e时，e x=x e，即可判断出正误；C．取x0=0，则|x0|≤0成立，即可判断出正误；D．若p∧q为假，则p与q至少有一个为假命题，因此p∨q不一定为假，即可判断出正误．【解答】解：A．由=1⇒a﹣b=0，反之不成立（b=0时），因此a﹣b=0是=1的必要不充分条件；B．取x=e时，e x=x e，因此不正确；C．取x0=0，则|x0|≤0成立，正确；D．若p∧q为假，则p与q至少有一个为假命题，因此p∨q不一定为假，不正确．故选：C．4．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．【分析】利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +，把线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10代入可得P值，然后求解抛物线方程．【解答】解：设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +=（x1+x2）+p，线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|=10，∴10=6+p，可得p=4∴抛物线方程为y2=8x．故选：C．5．已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图中标出的尺寸（图中大正方形边长为2a），可得这个几何体的体积是（）A．B．7a3C．D．5a3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，求出每个角的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，每个角都是三条侧棱两两垂直且长度为a的棱锥，故组合体的体积V=（2a）3﹣8×（×a2×a）=，故选：A6．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．4 D．5【考点】等差数列的前n项和．【分析】首先利用等差数列的通项公式求出首相和公差的关系，进一步对等差数列的前n项和公式进行应用．【解答】解：等差数列{a n}中，设首相为a1，公差为d，由于：，则：，解得：，=，故选：D7．给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=﹣，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=，则P（ξ≤﹣2）=；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】两个变量的线性相关；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，|CD|=|CB|，∠C=30°，所以∠CBD=75°，所以E点落在线段CD上的概率是=，故不正确；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=﹣，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加，正确；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力，正确；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），图象关于x=1对称，因为P（ξ≤4）=，则P（ξ≤﹣2）=，正确；故正确结论的个数为3，故选：C．8．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66【考点】循环结构．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．9．若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，先解出点A的坐标，再结合图象写出实数m 的取值范围即可．【解答】解：由题意作出其平面区域，结合图象可得，，解得，A（﹣1，﹣3）；故m＞﹣1；故选A．10．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A．[1，3]B．[]C．[，]D．[，3]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答本题．【解答】解：因为•=0，且|﹣|+|﹣2|=，设单位向量=（1，0），=（0，1），=（x，y），则=（x﹣1，y），=（x，y﹣2），则，即（x，y）到A（1，0）和B（0，2）的距离和为，即表示点（1，0）和（0，2）之间的线段，|+2|=表示（﹣2，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（﹣2，0）到直线2x+y﹣2=0的距离所以|+2|min=，最大值为（﹣2，0）到（1，0）的距离是3，所以|+2|的取值范围是[，3]；故选：D．11．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【考点】球内接多面体．【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O 1的半径为r=1，∴△ABC的边长为2，∴圆锥的底面半径为，高为3，∴V=．故选：C．12．已知a，b∈R，且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．e3B．e3C．e3D．e3【考点】函数恒成立问题．【分析】分a＜0、a=0、a＞0三种情况讨论，而a＜0、a=0两种情况容易验证是否恒成立，在当a＞0时，构造函数f（x）=ae x+1﹣a2x来研究不等式e x+1≥ax+b 恒成立的问题，求导易得．【解答】解：若a＜0，由于一次函数y=ax+b单调递减，不能满足且e x+1≥ax+b 对x∈R恒成立，则a≥0．若a=0，则ab=0．若a＞0，由e x+1≥ax+b得b≤e x+1﹣ax，则ab≤ae x+1﹣a2x．设函数f（x）=ae x+1﹣a2x，∴f′（x）=ae x+1﹣a2=a（e x+1﹣a），令f′（x）=0得e x+1﹣a=0，解得x=lna﹣1，∵x＜lna﹣1时，x+1＜lna，则e x+1＜a，则e x+1﹣a＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f （x）递减；同理，x＞lna﹣1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）递增；∴当x=lna﹣1时，函数取最小值，f（x）的最小值为f（lna﹣1）=2a2﹣a2lna．设g（a）=2a2﹣a2lna（a＞0），g′（a）=a（3﹣2lna）（a＞0），由g′（a）=0得a=，不难得到时，g′（a）＞0；时，g′（a）＜0；∴函数g（a）先增后减，∴g（a）的最大值为，即ab的最大值是，此时．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线的左、右焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线与双曲线的交点坐标，代入双曲线方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，可得交点坐标为：（c，2c），代入双曲线方程可得：，可得e2﹣1=，e＞1，可得e2﹣1=2e，解得e=．故答案为：；14．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2=（x12+x22+x32﹣12），则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为3．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据方差的公式求得原数据的平均数后，求得新数据的平均数即可．【解答】解：由方差的计算公式可得：S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]= [x12+x22+…+x n2﹣2（x1+x2+…+x n）•+n2]= [x12+x22+…+x n2﹣2n2+n2]= [x12+x22+…+x n2]﹣2=（x12++x32﹣12）可得平均数=2．对于数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数是2+1=3，故答案为：3．15．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有40种．（以数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C51=5种情况，剩余4人，平均分成2组，有=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A22=2种情况，此时一共有5×3×2=30种方案；②、Grace参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace一起搜寻近处投掷点的食物，有C52=10种情况，而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况，则此时一共有10×1=10种方案；则一共有30+10=40种符合题意的分配方案；故答案为：40．16．已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列{a n}的通项a n=（n∈N+），则数列{a n}的前n项和=4n．【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，可得f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），利用等比数列的通项公式可得f（n），即可得出a n及其前n项和．【解答】解：∵函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，∴f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），∴数列{f（n）}是等比数列，首项为2，公比为2．∴f（n）=2n．∴数列{a n}的通项a n===4．∴数列{a n}的前n项和=4n．故答案为：4n．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，于是，即可得出；（II）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，sinA≠0，∴，得，∵C∈（0，π），∴．（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a （1）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，（2）由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．18．2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）乘公共汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元6公里至12公里（含）4元12公里至22公里（含）5元22公里至32公里（含）6元32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据统计图求出对应的人数和频率即可得到结论．（Ⅱ）求出随机变量以及对应的概率，即可得到结论．（Ⅲ）根据条件直接写出结论．【解答】解：（Ⅰ）设事件A：“此人乘坐地铁的票价小于5 元”，由统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的人数分别为60，40，20人，所以票价小于5的有60+40=100人，故此人乘坐地铁的票价小于5 元的频率为=则乘坐地铁的票价小于5 元的概率P（A）=；（Ⅱ）X的可能值为6，7，8，9，10．统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的频率分别为=，=，=，以频率当概率，则P（X=6）==，P（X=7）=，P（X=8）==，P（X=9）==，P（X=10）==，则X的分布列为：X 6 7 8 9 10P则EX=6×+7×=．（Ⅲ）s∈（20，22]．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且B1A=B1C=B1B=AC=2．（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥底面ABC；（Ⅱ）求B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）若E，F分别是线段A1C1，C1C的中点，问在线段B1F上是否存在点P，使得EP∥平面ABB1A1．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连结B1O，BO，则△B1OA≌△B1OB，从而B1O⊥OB，进而B1O⊥平面ABC，由此能证明平面B1AC⊥底面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，O为AC中点，得BO⊥AC，以OB、OC、OB 1分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值．（Ⅲ）求出A1C1中点E（﹣1，0，），CC1中点F（﹣，1，），设=，求出P（﹣，λ，﹣），由=0，能求出当P是线段B1F中点时，EP∥平面ABB1A1．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连结B1O，BO，∵AB⊥BC，∴OB=OA=OC，∵AB1=B1C，∴B1O⊥AC，又∵B1B=AB1，∴△B1OA≌△B1OB，∴B1O⊥OB，∵AC∩OB=O，∴B1O⊥平面ABC，又∵B1O⊂平面B1AC，∴平面B1AC⊥底面ABC．（Ⅱ）解：由已知得AB=BC，O为AC中点，∴BO⊥AC，以OB、OC、OB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），B1（0，0，），C（0，1，0），A（0，﹣1，0），=（1，1，0），=（﹣1，0，），=（0，1，﹣），设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设B1C与平面ABB1A1所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|==．∴B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：===（﹣1，1，），∴C1（﹣1，1，），同理得A（﹣1，﹣1，），∴A1C1中点E（﹣1，0，），CC1中点F（﹣，1，），设=，则=λ（﹣），∴P（﹣，λ，﹣），∴=（﹣，λ，﹣），∵==0，∴，∴当P是线段B1F中点时，EP∥平面ABB1A1．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x ﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O 为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=3，再由点到直线的距离公式即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（2）①设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；②运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．【解答】（1）解：由已知可得K（﹣，0），圆C：（x﹣2）2+y2=1的圆心C（2，0），半径r=1．设MN与x轴交于R，由圆的对称性可得|MR|=，于是|CR|===，即有|CK|====3，即有2+=3，解得p=2，则抛物线E的方程为y2=4x；（2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，=，即有（）2+y1y2=，解得y1y2=﹣18或2（舍去），即﹣4t=﹣18，解得t=．则有AB恒过定点Q（，0）；②解：由①可得|AB|=|y2﹣y1|=•，同理|GD|=|y2﹣y1|=•，则四边形AGBD面积S=|AB|•|GD|=•••=4，令m2+=μ（μ≥2），则S=4是关于μ的增函数，则当μ=2时，S取得最小值，且为88．当且仅当m=±1时，四边形AGBD面积的最小值为88．21．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线方程可得切点和切线的斜率，解方程可得a=b=1；（Ⅱ）f（x）=，即有f（2x）＜⇔ [xe x﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x﹣（e2x﹣1）（x∈R），求出导数，对k讨论，①设k≤0，②设k≥1，③设0＜k＜1，分析导数的符号，判断函数的单调性，即可得到k的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，由函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0，知1+（e﹣1）2 f（1）﹣e=0，即f（1）==，f′（1）===﹣．解得a=b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=，所以f（2x）＜⇔＜⇔﹣＜0，⇔ [xe x﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x﹣（e2x﹣1）（x∈R），则g′（x）=e x+xe x﹣（1﹣k）e2x=e x（1+x﹣（1﹣k）e x）．①设k≤0，当x≠0时，由y=1+x﹣（1﹣k）e x．求得导数y′=1﹣（1﹣k）e x，求得最大值，可得y＜0，即有1+x＜（1﹣k）e x，即有g′（x）＜0，g（x）在R单调递减．而g（0）=0，故当x∈（﹣∞，0）时，g（x）＞0，可得g（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0，可得g（x）＜0，从而x≠0时，f（2x）＜．②设k≥1，存在x0＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）单调递增．而g（0）=0，当x＞0时，g（x）＞0，可得g （x）＞0，与题设矛盾，③设0＜k＜1，存在x1＜0＜x2，当x1＜x＜x2时，g′（x）＞0，g（x）在（x1，x2）单调递增，而g（0）=0，故当0＜x＜x2时，g（x）＞0，可得g（x）＞0，与题设矛盾．综上可得，k的取值范围是（﹣∞，0]．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（1）由切割线定理得AB2=AD•AE，从而AD•AE=AC2，进而△ADC∽△ACE，由此能证明FG∥AC．（2）由题意可得：G，E，D，F四点共圆，从而△CGF∽△CDE，由此能求出．【解答】（1）证明：∵AB为切线，AC为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AC=AB，∴AD•AE=AC2．∴，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．（2）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．∴△CGF∽△CDE，∴=．又∵CG=1，CD=4，∴=4．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=0，求得函数f（x）的解析式，根据解析式分别求得f（x）≥0的解集；（2）u（x）=|x+1|﹣|x|，做出y=u（x）和y=x的图象，方程f（x）=x恰有三个不同的实根，转化成y=u（x）与y=x的图象始终有3个交点，根据函数图象即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，，所以当x＜﹣1时，f（x）=﹣1＜0，不合题意；当﹣1≤x＜0时，f（x）=2x+1≥0，解得；当x≥0时，f（x）=1＞0，符合题意．综上可得，f（x）≥0的解集为．（2）设u（x）=|x+1|﹣|x|，y=u（x）的图象和y=x的图象如图所示．易知y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），与y=x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．所以实数a的取值范围为（﹣1，0）．2017年4月10日。

河北衡水2017高三二摸数学试题(理)(word版含答案)

河北省衡水2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{A k =∈N |}N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B = （）A ．{}6,9B ．{}3,6,9C ．{}1,6,9,10D ．{}6,9,10 2. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（）A ．20B ．24C ．30D ．324.已知命题1:,ln 2xp x e x ⎛⎫∃>> ⎪⎝⎭；命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（） A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π-6. 若实数,x y 满足条件21025020x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432x z x y =+的最大值为（）A ．1B ．6415C.1619 D ．127. 已知)221sin a x dx π-=⎰，则二项式922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）A ．158-B ．212- C.54- D ．1-8. 已知奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且MNE ∆是边长为1的正三角形，那么13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．．12-C.14 D ．34π- 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．28+．36+C. 36+．44+10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于（）A．21tan9π-- B．25tan922tan9ππ-C. 22tan9- D．25tan 921tan9ππ- 11.椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.0,2⎛ ⎝⎭D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ 12. 已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23(x f x e x f x e =++是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（） A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知4,5,(,a b c a b λμλμ===+∈ R)，若(),⊥⊥- a b c b a ，则λμ= ．14.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，23B π=，若224a c ac +=，则()sin sin sin A C A C+= ．15.已知点12,F F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在双曲线C 的右支上，且满足12212,tan 4F F OP PF F =∠≥，则双曲线C 的焦点的取值范围为．16.点M 为正方体1111ABCD A BC D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为，则动点M 的轨迹的长度为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足12,a n ==∈N *.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设以2为公比的等比数列{}n b 满足2214log log 1211(n n n b b a n n +⋅=++∈N *），求数列{}2log n n b b -的前n 项和n S .18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留2天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,2AB CD AB DC AC BD F === ，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为PAD ∆的重心.（1）求证：//GF 平面PDC ；（2）求平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .（1）若FA AD =，当点A 的横坐标为3+ADF ∆为等腰直角三角形，求C 的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB的距离d 的取值范围.21. 设函数()()2,1(x f x e g x kx k ==+∈R ）.（1）若直线()=y g x 和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t =⎧⎨=⎩为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值；（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *，且()4f x <恒成立.（1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：4118αβ+≥.河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12：AC二、填空题13.2516 15. ⎛ ⎝⎦ 三、解答题17. 解：(1) 由题知数列是以2为首项，2为公差的等差数列，()22212,43n n n a n =+-==-.(2)设等比数列{}n b 的首项为1b ，则112n n b b -=⨯，依题有()()()()1221212121214log log 4log 2log 24log 1log n n n n b b b b b n b n -+⋅=⨯⋅⨯=+-+()()2222121214log 4log 42log 144128b b b n n n n =-+⨯-+=++，即()()212212142log 1124log 4log 8b b b ⨯-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得211log 2,4b b ==，故()1112422,log 21n n n n n b b b n -++=⨯=-=-+ ，()()()2221221324222n n n n n n n S +-+++∴=-=--. 18. 解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”()1,2,...,14i =.依题意知，()114i P A =，且()i j A A i j =∅≠ .(1)设B 为事件“此人停留2天空气质量都是重度污染” ，则12121314B A A A A A = ，所以()()()()()()12121314514P B P A P A P A P A P A == ，即此人停留2天空气质量都是重度污染的概率为514. (2) 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，且()()()()()4894893014P X P A A A P A P A P A ===++=，()()()()()21114211143214P X P A A A P A P A P A ===++= ，()()()()()11213112133314P X P A A A P A P A P A ===++= ，()()()()333511023114141414P X P X P X P X ==-=-=-==---=，(或()()()()()()()3567103567105114P X P A A A A A P A P A P A P A P A ===++++=)，所以X 的分布列为故X 的期望()3100123141414147E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19. 解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心，21AG AF GH FC ∴==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC.(2) 平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，延长PG 交AD 的中点E ，连接,,,BE PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()()2,0,0,3,0,3,0,,0,0,1AB DC A P B D G == ，()()(),,AG AB AP ∴===，设()()()00000011,,,,,22C x y z DC AB x y z =∴+=，可得000333,0,,0,,0222222x y z C AC ⎛⎫⎛⎫=-==∴-∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11111111113030n AB y x n AP z x ⎧⎧⎧⊥+==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⊥+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩，令11z =，得)1n =，同理可得平面AGC的一个法向量)1121212,cos ,n n n n n n n ⋅====，所以平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值为811. 20. 解：(1)由题知,0,3,4222p p F FA FD FA ⎛⎫=+==+⎪⎝⎭，则4,0,22p D FD ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的中点坐标为(22,024p ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，则(22324p ++=+2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，由204y xx my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+> ，121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-，由题知//PE PA ，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即()122212114y y y y +=-，所以()21212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m x m x x +==-<，又因为012x ≥，所以011,2x d ≤<===，令()220224,2,2t t x t d t t t ⎛-=∈=-==- ⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭. 21. 解：(1)设切点的坐标为()2,t t e ，由()2x f x e =得()2'2xf x e =，所以切线方程为()222t t y e e x t -=-，即()2212t t y e x t e =+-，由已知()22212t ty e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，()222,121tte k t e ∴=-=，令()()1x h x x e =-，则()'xh x xe =-，当(),0x ∈-∞时，()()'0,h x h x >单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，()()01h x h ∴≤=.当且仅当0x =时等号成立，0,2t k ∴==.（注明：若由函数()2x f x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图象相切于()0,1，得出022k e ==，得3分）(2) ①当2k >时，由（1）结合函数的图象知，存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2f x g x x ->，即()2210x k x e -+->，设()()()2221,'2x x t x k x e t x k x e =-+-=--，令()'0t x >得12ln 22k x -<，令()'0t x <得12ln 22k x ->.若()()0121224ln 0,0,ln ,,2222k k k x t x --⎛⎫<≤≤⊆+∞∴ ⎪⎝⎭在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，所以对任意的()00,x x ∈，都有()0t x <，与题设不符. 若()1212124,ln 0,0,ln ,ln ,222222k k k k t x ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在120,ln 22k -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ()00t = ，所以对任意的120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题设.此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.②当02k <≤时，由(1)结合函数的图象知()()22100,x e x x -+≥>()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥ ，对任意0x >都成立，()()2f x g x x ∴->等价于()2210xek x -+->.设()()221x x e k x ϕ=-+-，则()()2'22x x e k ϕ=-+，由()'0x ϕ>，得()12ln0,'022k x x ϕ+>><得()12ln ,22k x x ϕ+<∴在120,ln 22k +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，注意到()00ϕ=，所以对任意的120,ln 22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0x ϕ<，不符合题设.综上所述，k 的取值范围为()4,+∞.22. 解：(1)由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭)cos sin 2ρθρθ-=-)x y -=-l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l 的距离6d tπ⎛⎫===+⎪⎝⎭，当26t kππ+=，即2,6t k k Zππ=-∈时，maxd==，故点P到直线l的距离的最大值为(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，t∴∀∈R，cos2sin40-+>a t t恒成立，()4tϕ+-（其中2tanaϕ=）恒成立，4<，又0a>，解得0a<<a取值范围为(.23. 解：（1）222x m x x m x m--≤--=,要使24x m x--<恒成立，则2m<，解得22m-<<.又m∈N*，1∴=m.（2）()()()()0,1,0,1,22223f fαβαβαβ∈∈∴+=-+-=，即()141414,22525182βααβαβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=∴+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4βααβ=，即11,36αβ==时取等号，故4118αβ+≥.。

2017届高三第二次教学质量检测数学理试题(12页有答案)

-1012}012}01}-101}-1012} 23B．5A．4C．D．3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，，，，，B={x|-2<x≤2}，则A B=A．{-1，，，B．{-1，，C．{-2，，，D．{-2，，，，2.复数2-i1+i对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x)，若a⋅b=3，则x=A．3B．4C．5D．64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为457445.已知条件p：x-4≤6；条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A．(-∞,-1]B．(-∞,9]C．1,9]D．[9，∞)6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=A．14B．30C．62D．1268.已知α,β是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是A．πA．332D．27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是xA．56B．35C．－56D．－35．．．A．若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB．若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC．若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β,，则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值可以是πππB．C．D．263410.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B(点A在x轴下方)，点A与1点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A B的斜率为12B．3C．12.下列结论中，正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根；2②已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为π6；③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数；④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)，左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A,B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S，且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______．⎪x+y≤6②若a∈(0,1)，则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.5,a+a=，则S=__________．n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16.下列命题正确是．(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4，则函数f(x)的图象关于(2,0)对称；③函数f(x)=ln；三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2．， 20 40 60 80 ，（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 A + sin C 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧棱 AA ⊥ 平面 ABC ， ∆ABC 为等腰直角三角形，1 1 1 1∠BAC = 90 ，且 AA = AB ， E , F 分别是 C C , BC 的中点．1 1（1）求证：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ；1（2）求二面角 B - AE - F 的余弦值．119.（本小题满分 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0 100]，样本数据分组为第一组[0， )，第二组[20， )，第三组 [40， )，第四组 [60， )，第五组 [80 100]．（1）求直方图中 x 的值；（2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200 家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选 4 家，这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ，离心率 e = ，直线 l 的方程为 220．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 的任一直线（不经过点 P ）与椭圆交于两点 A ， B ，设直线 AB 与l 相交于点 M ，记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ，问：是否存在常数 λ ，使得1 2 3k + k = λ k ？若存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．12321.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax + ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数．（1）当 a = -1 时，求 f ( x ) 的最大值；（2）若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ，求 a 的值；（3）设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ，1 2 1 2证明： 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) ．1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用⎪⎪ 5⎩17．解：（1）∵ B = A + ， ∴ A = B -， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数)，以原点 O 为极点， x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ ．（1）若 a = 2 ，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ，且 f ( x ) ≥ m 恒成立．（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15． 61 16．①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ，所以由正弦定理得，sin Asin B34所以， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ，两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ，3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ，所以 cos B = ± ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ，所以 cos B = - ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4（2）∵ cos B = - ，∴ sin B = ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) ， A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2，∴ 2 A = 2 B - π ，∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ，∴ C = 3π 2- 2 B ，7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = ．∴ sin 2 A + sin C = ． (12)25 25 25 25分18．解答：（1）证明：∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点，∴ AF ⊥ BC ．又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ，11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C ， AF ⊥ B 1F ．…3 分设 AB = AA = 1 ，则1，EF= ，．∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ，∴ B F ⊥ EF ．.......... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ，∴ B F ⊥平面 AEF ．…1而 B F ⊂ 面 AB F ，故：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11（2）解：以 F 为坐标原点， FA ， FB 分别为 x ， y 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB = AA = 1 ，12 2 1,0,0) ， B (0, - ,1) ， E (0, - , ) ，12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) ．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由（1）知， B F ⊥平面 AEF ，取平面 AEF 的法向量：12m = FB = (0, ,1) ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，1由取 x = 3 ，得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ，1则 cos θ=|cos ＜＞|=| |= ．由图可知θ 为锐角，∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119．解答：解：（I ）由直方图可得： 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分（II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 ， ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 ．∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（III ） X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ．由（I ）可得：某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1． ....12 分25664 64 64 25620．解：（1）由点 P (2, 2) 在椭圆上得， 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4（2）假设存在常数 λ ，使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中，令 x = 4 得， M (4,2 k ) ，从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线，则有 k = k AF = k BF ，即有y当 a = -1 时， f ( x ) = - x + ln x ， f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ，则 f ' ( x ) ≥ 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数，y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ，又 k = k - 32 2 ，所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解：（1）易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ，1 - x= ，x x令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 0 < x < 1 时， f ' ( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f ' ( x ) < 0 ． (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数，在 (1,+∞) 上是减函数．f ( x )max= f (1) = -1．∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（2）∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) ．x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ，不合题意． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ，则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ，即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ，即 - < x ≤ e ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数，在 (- （3）法一：即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ，则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ，即 a = -e 2．∵ e ，∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面，不妨设 x < x ，构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ，而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 ， k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续， 1x + x故 k ( x ) < 0 ，即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二： g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数，不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 ，故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 ，知 x > x 时， h ( x ) > 0112(2)圆 C ： x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以，原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 ，即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ；直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ，直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ，∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ，11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时，函数有最小值 6 ，所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解：∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时，原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ，或 ⎨，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。

(完整版)2017全国二卷理科数学高考真题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2B ．3C ．4D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．23310.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）输出S K=K+1a =a S =S +a ∙K 是否输入a S =0,K =1结束K ≤6开始ABCD11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.1 12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（） A.2- B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三-月考模拟理科数学(2017衡水2模)

理科数学衡水市2017年高三第二次模拟考试理科数学考试时间：____分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。

）1.若复数的实部为1，且，则复数的虚部是( )A.B.C.D.2.设函数，集合，则右图中中阴影部分表示的集合为( )A.B.C.D.3.命题“函数是偶函数”的否定是( )A.B.C.D.4.已知，则（）A.B.C.D.5.实数满足条件，则的最小值为（）A. 16B. 4C. 1D.6.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于( )A.B.C.D.7.已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为（）A. 127B. 255C. 511D. 10238.已知函数的定义在R上的奇函数，当时，满足，则在区间内（）A. 没有零点B. 恰有一个零点C. 至少一个零点D. 至多一个零点9.定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为（）A.B. 2C.D.10.如图，正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）A.B.C.D.11.当时，某函数满足：①；②；③对任意有，则可以是下列函数中的（）A.B.C.D.12.在平面直角坐标系中，点，对于某个正实数，存在函数，使得为常数），这里点的坐标分别为，则的取值范围是（）A.B.C.D.填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）13.设，函数的导函数为，且是奇函数，则14.点P是函数的图象的最高点，M、N与点P相邻的该图象与轴的两个交点，且，若，则的值为15.设锐角的内角对边分别为，若，则的取值范围是16.三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆的面积为，则该三棱锥的高的最大值为简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。

）已知分别是的三个内角的对边，.17.求A的大小.18.当时，求的取值范围.已知数列的前n项和为，且，数列满足，且.19.求数列，的通项公式；20.设，求数列的前2n项的和设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.21.求数列的通项公式（用表示）22.设为实数，对满足且的任意正整数，不等式都成立，求的最大值.已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，侧棱与底面所成角为，点在底面上射影D落在BC上.23.求证：平面；24.若点D恰为BC的中点，且，求的大小；25.若，且当时，求二面角的大小.如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证赛道运动员的安全，限定.26.求的值和两点间的距离；27.应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？已知函数，点.28.若，求函数在点处的切线方程；29.当时，若不等式对任意的正实数恒成立，求的取值范围；30.若，函数在和处取得极值，且直线OA与直线OB垂直（是坐标原点），求的最小值.答案单选题1. B2. D3. A4. C5. D6. B7. B8. B9. C 10. A 11. D 12. A填空题13.-114.15.16.8简答题17.18.19.20..21.22.23.见解析24.25.26.27.当角28.29.30.解析单选题1.由题意设，可得解得，故选 B.2.由得，故从而,阴影部分表示在内且不在内的元素构成的集合，故答案 D.3.如果函数（）是偶函数，则，所以命题的否定是，故答案 A4.解得故故答案 C. 5.设z=x-y，即y=x-z，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当直线y=x-z过点A（0，1）时，直线y=x-z的截距最大，此时z最小，此时z=0-1=-1，故的最小值为，答案 D.6.由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，如图，棱柱的高为5；底面为直角三角形且两直角边长分别为3,4，几何体的体积,故答案 B.7.∵等比数列{a n}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，∴2a1?25=2a1?23+48，解得a1=1，∴{a n}的前8项和S8＝，故答案 B.8.当时，两边同乘以得即，则，令，则是增函数，当时，>0,，∵是奇函数，当时，因为所以在只有一个零点.故答案 B.9.,∵2n2-（n+1）2=（n-1）2-2，当n≥3时，（n-1）2-2＞0，∴当n≥3时a n+1＞a n；当n＜3时，（n-1）2-2＜0，所以当n＜3时a n+1＜a n．∴当n=3时a n取到最小值为f（3）=,故答案 C.10.如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=2，AA1=则∠A1AE=同理,所以,故弧EF的长为：2×,而这样的弧共有三条．在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上,此时，小圆的圆心为B，半径为1，∠FBG=,所以弧FG的长为：1×,于是所得的曲线长为：,故选：A．11.排除法，符合的函数图形是凹图像，对于A不满足②；B不满足③，C不满足②，故答案 D.12.由题设知，点P（1，a），Q（k，ak2），A（5，0），(为常数），，两式相除得且.故答案选A.填空题13.求导数可得f′（x）==（e x）′-a（e-x）′=e x+，∵是奇函数，∴f′（0）=1+a=0，解得a=-1，故答案-1.14.由题意可得△PMN为等腰直角三角形，斜边上的高等于2，故斜边长等于4，再根据N（3，0），可得M（-1，0），∴P（1，2），解得，再由五点法作图可得，故答案.15.锐角△ABC中，由于A=2B，∴0°＜2B＜90°，2B+B＞，∴30°＜B＜45°，由正弦定理可得,,故答案.16.如图，设球的半径为R，由球的体积公式得：,又设小圆半径为r，则=16π，∴r=4．显然，当三棱锥的高过球心O时，取得最大值；由,所以高.故答案8.简答题17.△ABC中，，由正弦定理得：，即，故【解题思路】先利用正弦定理将边换成角，去分母，再利用两角和的正弦公式化简得到，再在中，考虑角的范围求角.18.由正弦定理得,=,19.∵S n=2a n-2，∴n=1时，a1=2a1-2，解得a1=2，n≥2时，a n=S n-S n-1=（2a n-2）-（2a n-1-2）=2a n-2a n-1，∴a n=2a n-1，∴{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n＝2n．∵数列满足b1=1，且,∴是首项为1，公差为2的等差数列，.20.，=.21.由题意知：化简得：,当时，适合的情形，故.22.恒成立.又且，故,即的最大值为.23.证明：∵点B1在底面上的射影D落在BC上，∴B1D⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴B1D⊥AC，又∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，B1D∩BC=D，∴AC⊥平面BB1C1C．24.∵B1D⊥面ABC，∴B1D⊥AC，又∵AC⊥BC，∴AC⊥面BB1C1C．∵AB1⊥BC1，∴由三垂线定理可知，B1C⊥BC1，即平行四边形BB1C1C为菱形，又∵B1D⊥BC，且D为BC的中点，∴B1C=B1B，即△BB1C为正三角形，∴∠B1BC=60°，∵B1D⊥面ABC，且点D落在BC上，∴∠B1BC即为侧棱与底面所成的角，∴60°．25.以C点为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则平面ABC的法向量，设平面的法向量为由得，二面角大小是锐二面角，二面角的大小是.26.因为图像的最高点为所以,由图知的周期为所以，所以，所以27.在△MNP中，故，由正弦定理得，设使折线段赛道MNP为L,则=所以当角时L的最大值是.28.由题意知所以又，所求的切线方程为29.当时，，即，令，则由得由上表知的最小值，所以.30.假设,即，故又由为的两根可得，，从而，，即当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为.公司档案管理制度一、总则1、为加强本公司档案工作，充分发挥档案作用，全面提高档案管理水平，有效地保护及利用档案，为公司发展服务，特制定本制度。

河北省衡水中学2017届全国高三2月大联考(全国卷)理科数学试题参考答案

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【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期第二次调研考试理数试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位），则z =（）A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i - 【答案】D 【解析】试题分析：设,z a bi z a bi =+=-，依题意有22,22a b =-=，故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．2.已知向量a 与b 的夹角为60,2,5a b ==，则2a b -在a 方向上的投影为（）A ．32 B ．2 C ．52D ．3 【答案】A 【解析】试题分析：投影为()222cos 6085322a b a a a b aa-⋅--===. 考点：向量概念及运算．3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（）A ． 12日B ．16日C ． 8日D ．9日【答案】D 【解析】试题分析：设n 日相逢，()()111103139711252222n n n n n n --⎛⎫+⋅++⋅-=⋅ ⎪⎝⎭，解得9n =. 考点：实际应用问题，相遇问题，数列求和． 4.已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为（） A ． 4 B ．16 C ． 9 D ．3 【答案】B 【解析】5.动点(),P x y 满足1253y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，点Q 为()1,1,O -为原点，OQ OP OQ λ=，则λ的最大值是（）A ．1-B ．1C ．2D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：依题意2x yλ-=，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()3,1取得最大值为2.考点：向量，线性规划．6.如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（）A ． 105+B ． 102+C ．6226++D ．626++ 【答案】CABCED考点：三视图．7.已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（） A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到 D ．可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到【答案】C 【解析】考点：三角函数图象变换． 8.ABC ∆中，若()sin 3cos sin cos C A A B =+，则（）A ．3B π=B ．2b a c =+C ．ABC ∆是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+ 【答案】D 【解析】试题分析：由三角形内角和定理，得()()sin 3cos sin cos A B A A B +=+，化简得cos sin 03A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以是cos 0,2A A π==直角三角形或者0,,233B B B AC ππ-===+.考点：解三角形．9.已知数列{}n a 满足()111,2nn n a a a n N a *+==∈+，若()()11121,n n b n n N b a λλ*+⎛⎫=-+∈=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是单调递增数列，則实数λ的取值范围是（） A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 【答案】C 【解析】试题分析：12n n n a a a +=+取倒数，得11111121,121n n n n a a a a ++⎛⎫=⋅++=⋅+ ⎪⎝⎭，故112n n a +=，故()122n n b n λ+=-⋅，()22212,3b λλλ=->-<. 考点：数列与不等式．10.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（）A ．43 B ．53 C ．158D ．2 【答案】B 【解析】考点：向量运算． 11.已知函数()3212f x ax x =+，在1x =-处取得极大值，记()()1'g x f x =,程序框图如图所示，若输出的结果20142015S >，则判断框中可以填人的关于n 的判断条件是（）A ．2014n ≤？B ．2015n ≤？C ．2014n >？D ．2015n >？【答案】B 【解析】试题分析：()()()()()'111111310,,,3111fa a g x g n x x n n n n -=-=====-+++，程序框图的作用是求其前n 项和，由于201512014120152015S =-=，故再循环一次就满足20142015S >，故填2015n ≤. 考点：算法与程序框图．【思路点晴】本题考查裂项相消法，把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.12.已知{}n a 满足()211112311,,44...44nn n n n n a a a n N S a a a a *-+⎛⎫=+=∈=++++ ⎪⎝⎭，则54n n n S a -=（）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n 【答案】B 【解析】考点：数列求和．【思路点晴】本题可用特殊值法迅速得到答案.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．若n n n a b c =⋅，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.数列{}n a 满足：11a =，且对任意的,m n N *∈都有：n m n m a a a nm +=++，则100a = ．【答案】5050 【解析】试题分析：令1m n ==，211113a a a =++⋅=，令2,1m n ==，321125a a a =++⋅=，故991991981199298991001299121005050a a a a a a +=++=+++==++++=+++=.考点：数列的基本概念，合情推理与演绎推理． 14.在ABC ∆中，111,2,4,,,2224A AB AC AF AB CE CA BD BC π∠======，则DE DF 的值为．【答案】14- 【解析】DEFCAB考点：向量运算．15.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos 23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为．【答案】52【解析】试题分析：5cos23C =，21cos 2cos 129C C =-=，45sin 9C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为952sin 10c R C ==，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有95110x x ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭，解得52x =，故最大面积为1552222S =⋅⋅=. E OABCC'F考点：解三角形．16.已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，則实数a 的取值范围是．【答案】20,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：定义域为{}0x ≠，令()23ln 2f x x ax =-+，这是一个偶函数，我们只需研究0x >上的零点即可，此时()()22'3112ln ,22ax f x x ax f x ax x x-=-+=-=，当0a ≤时，函数单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当0a >时，函数在区间10,2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调增，在区间1,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调减，要有两个零点，只需11131ln ln 1022222f a a a a a ⎛⎫=-⋅+=+< ⎪ ⎪⎝⎭，解得20,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.考点：函数图象与性质，零点问题．【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，函数图象与性质，函数的奇偶性，函数的单调性，数形结合的数学思想方法，分类讨论的数学思想方法.此类题目有两种方法，一种是分离参数，但是本题分离参数法处理起来很麻烦，可以直接讨论，也就是先根据奇偶性，简化题目，然后根据导数画出函数的草图，讨论之后可得到a 的范围.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且()3cos 23cos a C b c A =-.（1）求角A 的大小；（2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围.【答案】（1）6A π=；（2）32,312⎛⎤+-- ⎥ ⎝⎦. 【解析】试题解析：（1）由正弦定理可得，3sin cos 2sin cos 3sin cos A C B A C A =-,从而可得()3sin 2sin cos ,3sin 2sin cos A C B A B B A +==,又B 为三角形的内角, 所以sin 0B ≠,于是3co s 2A =,又A 为三角形的内角, 因此6A π=. （2）255cos 2sin sin cos 1sin cos 1226C B B C B B ππ⎛⎫⎛⎫--=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5533sin coscos sin sin 1sin cos 13sin 166226B B B B B B πππ⎛⎫=++-=--=-- ⎪⎝⎭,由6A π=可知,520,,,6663B B ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,从而1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,因此323sin 1,3162B π⎛⎤+⎛⎫--∈-- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围为32,312⎛⎤+-- ⎥ ⎝⎦. 考点：解三角形．18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 和为n S ，()211,22n n a S na n n n N*==-+∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列, 并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式；（2）是否存在自然数n ,使得321...2112423n n S S S S n+++++=？若存在,求出n 的值; 若不存在, 请说明理由；（3）设()()()1232,...7n n n n c n N T c c c c n N n a **=∈=++++∈+,若不等式()32n mT m Z >∈,对 n N *∈恒成立, 求m 的最大值.【答案】（1）证明见解析，243,2n n a n S n n =-=-；（2）10n =；（3）7.【解析】试题解析：（1）由()222n n S na n n n N *=-+∈,得()()()()211121212n n S n a n n n --=---+-≥,相减得()()()()()111144114142n n n n n n n a na n a n n a n a n a a n ---=---+⇒---=-⇒-=≥.故数列{}n a 是以1为首项, 以4公差的等差数列.()()()()1211443,22n n n n a a a n n n N S n n n N **+∴=+-⨯=-∈==-∈. （2）由（1）知()21nS n n N n*=-∈, ()()2321121...2135 (21222232)n nn n n n n S S S S n n n +-⎡⎤⎣⎦∴+++++=++++-+=+=+,由 221124n n +=,得10n =,即存在满足条件的自然数10n =.（3）故符合条件m 的最大值为7.考点：数列的基本概念，数列求和，不等式．19.（本小题满分12分）如图, 以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴交于点A ,点,B P 在单位圆上, 且525,,55B AOB α⎛⎫-∠= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求4cos 3sin 5cos 3sin αααα-+的值；（2）若四边形OAQP 是平行四边形.①当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； ②设()02POA θθπ∠=≤≤,点(),Q m n ,且()3f m n θ=+,求关于θ的函数()f θ的解析式, 并求其单调增区间.【答案】（1）10-；（2）①()2211x y -+=；②()2sin 16f πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）由三角函数定义得tan 2α=-，由齐次方程可计算的结果为10-；（2）①设PA 中点为H ,()()11,,,P x y Q x y ,则22111111,,22x y x y H +⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又111,,22x x x y H y y =-⎧⎛⎫∴⎨ ⎪=⎝⎭⎩,代入上式得点Q 的轨迹方程()2211x y -+=；②依题意得11cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，又由①知111x m y n =-⎧⎨=⎩，cos 1sin m n θθ=+⎧⎨=⎩，()2sin 16f πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，代入正弦的单调区间，求得增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.试题解析：（1）由三角函数定义得tan 2α=-,所以4cos 3sin 43tan 10105cos 3sin 53tan 1αααααα--===-++-.（2）四边形OAQP 是平行四边形, 所以PA 与OQ 互相平分.①设PA 中点为H ,()()11,,,P x y Q x y ,则22111111,,22x y x y H +⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又111,,22x x x y H y y =-⎧⎛⎫∴⎨ ⎪=⎝⎭⎩,代入上式得点Q 的轨迹方程()2211x y -+=.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：解三角形，轨迹方程，参数方程，三角恒等变换． 20.（本小题满分12分）已知函数()()1ln f x x a x a R x=-+∈. （1）若函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）已知()()()()()211321,,22g x x m x m h x f x g x x =+-+≤-=+,当1a =时, ()h x 有两个扱值点12,x x ,且12x x <,求()()12h x h x -的最小值. 【答案】（1）2a ≥-；（2）3ln 24-. 【解析】试题分析：（1）由已知可得()'0f x ≥在[]1,+∞上恒成立,分离参数得21x a x --≥，求右边函数的最大值为2-，故2a ≥-；（2）()21ln 2h x x x mx =++，求导得()211'x mx h x x m x x ++=++=，写出根与系数关系1212,,1x x m x x +=-=.化简()()121122121ln 2x x x h x h x x x x ⎛⎫-=--+⎪⎝⎭，令12x t x =换元后，利用导数可求得其最小值为3ln 24-. 试题解析：()()221211122211ln ln 22h x h x x x mx x x mx ⎛⎫⎛⎫∴-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121ln ln 2x x m x x x x =-+-+-()()()()222211212121212211ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x =--+-+-=--+1212121ln 2x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.令()()2222112121229,0,1,22x t t x x x x x x m x =∴∈+=++-≥, 2222121212122155151,,,0,2222x x x x x x t t x x x x t +⎛⎫∴+≥∴=+≥+≥∴∈ ⎪⎝⎭,()()()()()2122111ln ,'222t h x h x t t t t t ϕϕ-⎛⎫∴-=--=∴=-⎪⎝⎭,()t ϕ∴单调递减, ()min 13ln 224t ϕϕ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭.考点：函数导数与不等式．21.（本小题满分12分）在单调递增数列{}n a 中, 122,4a a ==,且21221,,n n n a a a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列，1,2,3,...n =. （1）①求证：数列{}2n a 为等差数列；②求数列{}n a 通项公式；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,证明:()4,33nn S n N n *>∈+. 【答案】（1）①证明见解析；②当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134nn n a ++=；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）①根据等差中项和等比中项有222121212222,2n n n n n n a a a a a a -+++=+=，化简得222222n n n a a a -+=+，所以数列{}2n a 为等差数列；②由①得{}2n a 首项为2公差为1，所以21n a n =+，即()221n a n =+，结合221222n n n a a a --=可得()211n a n n -=+,因此,当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134n n n a ++=；（2）()()()2131120444n n n +++-=>，另外，()()()22312044n n n ++-+>，故()()234n n n a ++<，所以()()14112323n a n n n n >=-++++，利用裂项求和法求得()433n nS n >+.试题解析：（1）①因为数列{}n a 单调递增数列,()120,0n a a n N *=>∴>∈, 由题意 21221,,n n n a a a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列1,2,3,.n =得. 222121212222,2n n n n n n a a a a a a -+++=+=,于是222222222n n n n n a a a a a -+=+, 化简得222222n n n a a a -+=+ , 所以数列{}2n a 为等差数列.②又233214226,9a a a a a a =-===,所以数列{}2n a 的首项为22a =,公差为4221,1n d a a a n =-=∴=+,从而()221n a n =+.结合221222n n n a a a --=可得()211n a n n -=+,因此,当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134n n n a ++=. （2）求数列{}n a 通项公式为:()()()()()()2121327111111,11,242448nn n n n n n a n n +++++-⎡⎤⎡⎤=+-++-=++⎣⎦⎣⎦, 因为()()()22711111234844nn a n n n n n n +-=++≤++<++,所以()()14112323n a n n n n ⎛⎫>=- ⎪++++⎝⎭,则有123111111111111...4...34451223n n S a a a a n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++>-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 考点：数列与不等式．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,A B 是圆O 上两点, 延长AB 至点C ,满足22AB BC ==,过C 作直线CD 与圆O 相切于点,D ADB ∠的平分线交AB 于点E .（1）证明:CD CE =；（2）求ADBD的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3.试题解析：（1）由题可,,,,CDB DAB EDA EDB CED DAE EDA EDC EDB BDC ∠=∠∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠, 故CED EDC ∠=∠,故CD CE =.（2）因为CD 与CA 分别为圆O 的切线和割线, 所以2,3CD CB CA ==,得3CD =,又因为直线CD 与圆O 相切于点D ,则CDB DAC ∠=∠,则CDB CAD ∆=∆,则33BD CD AD AC ==,故3ADBD=. 考点：几何证明选讲．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C 上的点()2,3M 对应的参数,34ππϕθ==与曲线2C 交于点2,4D π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求曲线1C ,2C 的普通方程；（2）()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点, 求221211ρρ+的值.【答案】（1）221164x y +=，()2211x y -+=；（2）516. 【解析】试题解析：（1）将()2,3m 及时对应的参数,,34ππϕθ==, 代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩得2cos43,23sin3a a b b ππ⎧=⎪=⎧⎪∴⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩, 所以1C 的方程为221164x y +=,设圆2C 的半径R ,则圆2C 的方程为2cos R ρθ=(或()222x R y R -+=),将点2,4D π⎛⎫⎪⎝⎭代入得:1,R ∴=∴ 圆2C 的方程为:2cos ρθ=( 或()2211x y -+=).（2）设曲线1C 的方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=,将()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=,222222cos sin 221164ππρθρθ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,所以2222221211cos sin sin cos 11516416416416θθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 考点：极坐标与参数方程．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()2122f x x x x =-++++. （1）求证:()5f x ≥；（2）若对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）2a ≠±. 【解析】试题分析：（1）利用零点分段法，按2,1,2--三个零点分段去掉绝对值，可求得()f x 最小值为5，得证；（2）由（1）知:()152f x - 的最大值等于5,()()222222999112115111a a a a a a +=++-≥+⨯-=+++,“=” 成立,()22911a a ⇔+=+, 即2,a =±∴当2a =±时,2291a a ++ 取得最小值5,当2a ≠±时,22951a a +>+, 又因为对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 所以2a ≠±,a ∴的取值范围2a ≠±. 考点：不等式选讲．。

2017全国二卷理科数学高考真题及答案

32017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国2卷）12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目面直线 1与 C 1所成角的余弦值为（）一、选择题：本题共要求的。

3 i 八1 iA . 1 2iB. 1 2iC . 2 2.设集合1,2,4 ,x 2 x 4x m 0 .若D . 2 i1 ，则（）A .1, 3 B .1,0 C .1,3D .1,53•我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A . 1 盏 B . 3 盏C. 5 盏D . 9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A . 90B . 632x C. 42 3y 3 0 D . 365.设 x , y 满足约束条件2x 3y 3 0，则 z 2x y 的最小值是（）y 3 0A . 15B .9C. 1D . 91人完成，则不同的安排方式共有（）A . 12 种B . 18 种C. 24 种D . 36 种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩•老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（） A .乙可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的 aA . 2B . 3C. 4B . 丁可以知道四人的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩1，则输出的S （）D . 52 29.若双曲线C ：字話 1 （ a 0, b 0）的一条渐近线被圆 2 2x 2 y 24所截得的弦长为2,则C 的离心率为（） A . 2B .3 C . - 2D .10•已知直三棱柱C 1 1C 1中， C 120o,2, C CC 1 1，则异a= aK=K+ 1I* 输出S结束6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由输入a S=0,K=1S=S+a?<A .B. fC.卫 D .仝255311 若X 2是函数f (x) (x 2ax 1）e x 1的极值点，贝Uf （x ）的极小值为（）A. 1B. 2e 3C.5e 3D.1uuu uuu uuu12. 已知 ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，贝U PA （PB PC ）的最小值是（）3 4 ’A. 2B.C.D. 123二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。

【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试理数试题解析(解析版)

河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，或，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。

2. 若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】因为，所以该复数在复平面内对于的点位于第三象限，应选答案C。

3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意抽取比例为故总人数为所以高三被抽取的人数为4. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为6. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意画出可行域：=，所以目标函数最值问题转化为可行域中的点与原点连线斜率的问题，可知取点F，G时目标函数取到最值，F(2，1),G(1，3),所以最大值将点F代入即可得最大值为17. 已知，则二项式的展开式中的常数项为（）...A. B. C. D.【答案】B【解析】=2，所以的展开式中的常数项为：，令r=3得常数项为8. 已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由奇函数，是边长为的正三角形，可得，是最高点且，得A=,所以9. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】从题设所提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是底面分别是腰长为的等腰直角三角形，高为4的柱体，如图，其全面积，应选答案B。

河北省衡水2017届高三第二次摸底考试数学试题(理)含答案

【衡水金卷】2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷(二)理综试题扫描版含答案

32.(12分，除标注外，每空2分)
(1) 的性状分离比为9：3：4(9：3：3：1).是由3：1乘以3：1得来
(2)AABB、aabb
(3)2(1分) 1/16(1分) 1/3
(4)①让该黑兔与白兔杂交
②如果后代中没有出现白兔说明该黑兔为纯合子；如果后代中出现了白兔，说明该黑免为杂合子
33.（1）BCE
(2) (I)设活塞到达气缸右端口时.封闭气体的压强为，由于被封气休做等温变化.由玻意
耳定律得 (2分)
活塞平衡时由得F=600 N (3分)
(ii)保持拉力F=500 N不变将活塞从缸中拉出.
缸内气体压强满足即 (2分)
以缸内气体为研究对，由状态方程得 (2分)
欲将活塞从气虹中拉出气体温度至少要升至t=102℃(1分)
(5)
（6） b
28.（1）（2）、、气体的密度（任写两个，其他合理的答案也可以给分）
（3） > > 100 AB
29. (10分，除标注外,每空2分)
(1)类囊体薄膜(1分)细胞乎吸(1分)ATP中活跃的化学能和热能
(2)增多先增加,后保持相对稳定。
(3)黑暗(或“无光”)
30.（8分.每空1分）
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
B
C
D
A
D
B
A
D
D
B
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
答案
A