数列的极限课件

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《数列极限》课件

性。
适用于任何收敛数列的证明。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$，则数列${a_n}$也收敛于$L$。通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的内容
微积分基本定理是微积分学中的重要定理，它建立了定积分与不定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的推导过程
通过极限理论、实数完备性等数学工具，可以推导出微积分基本定理。
03
微积分基本定理的应用
微积分基本定理是计算定积分的基石，可以用于解决面积、体积、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任意正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n, m > N$时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这样的$N$，可以证明数列的收敛

《数列的极限》课件

单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接近一个点，那么这个数列就是收敛的，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。

第三节数列的极限知识课件

a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
即当 n N 时 ,所有的点 x n 都落在 ( a ,a )内 ,只有有
限个 ( 至多只有 N 个 ) 落在其外 .
(2) 若把 (n, xn) 看成平面上的点, 在平面上取两直线
y = a –ε 和 y = a + ε ; 当n > N时, 所有点 (n, xn)都
例如,
数列 xn
n; n1
有界
数x 列 n2n. 无界
子列: 将数列 { xn } 在保持原有的顺序情况下, 任取其中无穷多项所构成的新数列成为数列 { xn } 的子数列, 简称子列.
如
x 1 ， x 3 ，， x 2n 1 ，
x2 ， x4 ，， x2n ，
均为数列 {xn} 的子列, 子数列一般记为{ x n k } .
例
已知 x n
(1)n (n 1)2
,
证明
lim
n
xn
0
.
证 (0,1),解不等式
xn0
(1)n (n 1)2
0
(n
1 1)2
1 n1
即 n1 1 . 取 N [11], 则当
nN时, 就有
xn 0
故
nl im xn nl im (n(11)n)2 0
也可由 xn0(n11)2 取 N11
证明 limn n 1 n
证对任意给定的 ε > 0, 要使不等式 n n 1 成立.
令unnn10 适当扩大 n ( 1 u n )n 1 n n u n (n 2 1 )u n 2 n (n 2 1 )u n 2
un 2n2 1un

《高数教学课件》第二节之一1.数列的极限

05
习题与解答
习题部分
02
01
03
判断下列数列哪些是收敛的，哪些是发散的数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 数列1, -1, 1, -1, 2, 3, 4, ...
02
数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
求下列数列的极限
03
习题部分
数列n的平方加3，n从1到无穷大
《高数教学课件》第二节之一 1.数列的极限
目
CONTENCT
录
• 数列极限的定义 • 极限的求解方法 • 极限的应用 • 数列极限的性质 • 习题与解答
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当数列的项数n趋于无穷大时，数列的项x_n趋于某一固定值A的性质。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序性、局部可加性和局部可乘性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛，其极限值称为该数列的极限。
发散
如果数列的极限不存在，则称该数列发散。
极限的四则运算
01
02
极限的四则运算法则是：加减乘除，先算括号内的，再从高阶到低阶依次计算。
加法法则：lim(x>a)[f(x)±g(x)]=lim(x>a)f(x)±lim(x->a)g(x)
数列n的平方减5，n从1到无穷大
数列n的平方，n从1到无穷大
01
03 02
答案及解析
对于第一个数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ...，这是一个收敛的数列，因为它的通项公式为1/n，当n 趋向于无穷大时，通项公式趋向于0。
对于第二个数列1, -1, 1, -1, ...，这是一个发散的数列，因为它的通项公式没有趋向于一个确定的数值。

数列的极限PPT教学课件

崖的半山腰是寝宫，寝宫的北边是飞石窟，
再上则北岳殿。
上负绝壁。
再向上就是北岳殿了。（北岳殿）上是绝壁。
飞石窟远眺
很高的
下临官廨，殿下云台阶级插
天，
下面挨着官署，殿下很高的台阶插向云天，
正房对面和两
庑侧门和上小屋下子，穹
高
碑
森
形容密
集立的子，样从殿
廊屋上下，高大的石碑密集地竖立着，从殿
1.数列的极限
一、概念的引入
割圆术：
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽
播放幻灯片 8
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
二、数列的极限
观察数列
xn
1 n
当n
时的变化趋势
洗过一样，
拄着，
策扶着杖
这里指恒山
登岳，面东而上，
我拄着拐杖开始攀登恒山，向东而上，
土冈浅阜，
登
无攀跻劳。
路上都是低矮的土山，没有爬山的劳累。
一里，转北，山皆煤炭，不深走了一里，转向北，山上都是煤炭，不需深
就
凿即可得，又一里，则
土
凿就可得到，又走了一里，就看到山上的土
红色
然而满山的荆棘茂密，参差不齐的树技和枯
只
踏
枝，但能钩衣刺领，攀践即断折，
枝，只是能钩刺衣服，抓住踩踏立即折断，
用力虽勤，
落
水流急的样
若堕洪涛，汩汩子
虽然不断地努力，却好像落入洪流中，水流

高数课件数列的极限

注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2 数列是整标函数 xn f (n).
3 数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
播放
问题当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 , 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
例2. 已知
证明
证: xn 0
1 (n 1)2
1 n 1
(0,1), 欲使
只要
1 ,
n 1
即 n
1 1.
取
N [ 1 1] ,
2 有界性
定义对数列 xn, 若存在正数M , 使得一切自然数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn 有界,
否则, 称为无界.
例如,
数列 xn
n; n1
有界
数列 xn
2n.无界
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间 [ M , M ]上.
定理2 收敛的数列必定有界.
证: 设
取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
的项, xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn } .
例如 2,4,8,,2n ,;
1 2
,1 4,Fra bibliotek1 8
,,
1 2n
,;
{2n } 1
{2n }
1,1,1,,(1)n1 ,;
{(1)n1 }

《数列的极限》PPT课件

1．数列极限的定义
设{an}是一个无穷数列，如果当项数 n 无限增大时，项 an 无限地趋近于某个常数 a(即|an
－a|无限地接近于
0)，那么就说数列{an}以
a
为极限(或者说
a
是数列{an}的极限)，记作
lim n→∞
an＝a.
2．几个常用极限
(1)lim C＝C(C 为常数)； n→∞
(2)lim n→∞
答案：1000
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知识要点一：对数列极限的理解 1．数列{an}的极限是指当 n 无限增大时，an 无限趋近的那个常数．如果当 n 无限增大时， an 不趋近于任何一个常数，那么这个数列就没有极限．数列的极限是一个常数，这个常数与 n 无关，求数列的极限就是求这个常数． 2．一个数列如果有极限，那么这个数列的极限是唯一的，即一个数列不可能有两个或更多个极限．
知识要点二：几种常用数列的极限 1．常数数列的极限是这个常数本身，即n→lim∞C＝C(C 为常数)． 2．如果|a|＜1，那么n→lim∞an＝0；如果n→lim∞an＝0，那么|a|＜1；如果n→lim∞an 存在，那么－1＜a≤1.
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数列的极限解PPT课件

通过上面演示实验的观察:
当 n无限,增 xn1大 (1 n )时 n1无限1 接 . 近
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
xn1(1)n1
1 n
1 n
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给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只n 要 10 时 ,0有xn
目录上一页下一页退出
例4 设xn 0,且ln im xn a0, 求证 ln im xn a.
证任给 0, ln i m xna,
N 使 n 得 N 时当 x n 恒 a 1 ,有
从而 xn有 a
xna xn a
xn a a
1 a
故 ln i m xn a.
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收敛数列的有界性
如果数列xn 收敛,那么数列 xn 一定有界.
问题对于无限多项
.
2
正六边形的面积 A 1
正十二边形的面积 A 2
R
正62n1形的面积 A n
A 1 ,A 2 ,A 3 , ,A n , S
目录上一页下一页退出
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下
的杖 X1
长 1;为 2
第二天截下的为杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总和 21n;为
n
n
n
目录上一页下一页退出
例2 设 x n C ( C 为 )证常 , l n ix n 明 m 数 C .
证任给 0,对于一切自然数n,
xn C CC 0成立, 所以, ln im xnC.

02数列的极限PPT课件

•数列与函数
数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .
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铃
❖数列极限的通俗定义当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛a, 记为
例如
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结束
铃
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a, 则数列{xn}收敛a.
2. 数列1, -1, 1, -1, , (-1)N1, 的有界性与收敛如何？
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结束
铃Байду номын сангаас
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一.
❖定理2(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. ❖定理3(收敛数列的保号性)
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铃
❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
数e , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xn-a |<e
都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收敛于a, 记为
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, , xn , .
x1
xn x4 x3 x5 x2
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数列的极限讲解(课堂PPT)

函数与极限
2
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
函数与极限
R
目录上一页下一页退3出
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
函数与极限
目录上一页下一页退9出
定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数N ,使得对于n N 时的一切 xn,
不等式 xn a 都成立,那末就称常数a是数列
x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
令n a 1 n 0, 于是
a = (1 n )n 1 nn nn
1 nn nn
0, 为了使
n
a
1
λn
a n
ε,
λn
a n
只要使
n
a, ε
因此,
取N
a
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则当n > N 时,有
n
a
1
n
. 即
函数与极限
lim
n
n
a
1.
16
二、收敛数列的性质
1、有界性
定义: 对数列xn , 若存在正数M , 使得一切自然数n , 恒有 xn M 成立, 则称数列xn 有界,
动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .

数学分析课件之第二章数列极限

02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性，即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以推导和证明一系列数学定理和公式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态

数列极限ppt课件

lim
n
xn
A,
或
xn
A(n ),
此时也称{ xn }的极限存在.
否则称{ xn }的极限不存在,或称{ xn } 发散.
5
定义5 设{ xn }是一个数列, A是一个常数,若对任给的 0, 存在正整数 N,使得当 n N时,都有| xn A | ,则称 A是
数列{ xn }的极限,或称{ xn }收敛于A,记作
特别地,若 xn
0
(或 xn
0
),则lim
n
xn
0
(或 lim
n
xn
0).
9
注:在推论2中即使是xn
yn
,也只能推出lim
n
xn
lim
n
yn .
定理4(夹逼定理)设数列{ xn },{ yn },{zn}满足xn yn zn (当
n
N时),且 lim
n
xn
lim
n
z
a
,则 lim
n
yn
a.
例2
lim
n
yn ,则存在正整数
N,当n
N 时,有xn
yn .
推论1(保号性定理)设 {
xn
}的极限存在,且lim
n
xn
0
(或
lim
n
xn
0),则存在正整数N,当n
N
时,有xn
0(或
xn
0).
推论2 设{ xn },{ yn }的极限存在,若 xn yn (当n N 时),则
lim
n
xn
lim
n
yn .
lim
n
xn
A,

高数数列的极限ppt课件

{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2 数列是整标函数 xn f (n).
6
3 数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
28
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数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 . 19
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注意有界性是数列收敛的必要条件. 推论无界数列必定发散.
20
3. 收敛数列的保号性.
若
且
时, 有
( 0).
证: 对 a > 0 , 取
( 0),
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
21
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n
xn
a
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在 .
几何解释
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
11
注意数列极限的定义未给出求极限的方法.
证法一:
设
lim
n
xn
a,又 lim n
xn
b, 由定义,
0, N1 , N2 .使得
当n
N
时恒有
1
xn
a
;
当n
N
时恒有

高等数学第二章课件.ppt

x x0
x x0
左极限和右极限统称为单侧极限．
lim f (x) A 成立的充分必要条件是
x x0
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
2）自变量趋于无穷大时函数的极限
设函数 f (x) 当 x 大于某一正数时有定义，如
果在 x 的过程中，对应的函数值 f (x) 无限接
也趋于零,即 lim y x0
lim [
x0
f
(x0
x)
f
(x0 )]
0 ，那么
称函数 f (x) 在点 x0 处连续, x0 叫做函数 f (x) 的连
续点．
函数在点 x0 连续必须满足下面三个条件：（1）在点 x0 的某个邻域内有定义；（2）极限 lim f (x) 存在；
x x0
（3）极限
xx0 (x)
穷小，特别地，当 k 1 时，称 (x) 与(x) 等价无穷小，记作 (x) ~ (x), (x x0 ) ．
常用的等价无穷小如下：当 x 0 时，
sin x ~ x ， tan x ~ x ，
1
c os x
~
1 2
x2
， ln(1
x)
~
x
，
ex 1 ~ x ，n 1 x 1~ 1 x． n
几何解释：函数的增量表示当自变量从 x0 变化到 x0 x 时,曲线上对应点的纵坐标的增量.
2）函数的连续性
设函数 y f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定
义，如果当自变量 x 在 x0 处的增量 x 趋于零时,
函数 y f (x) 相应的增量 y f (x0 x) f (x0 )

第二节数列的极限课件

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例3. 证明数列证: 用反证法. 假设数列
是发散的.
xn 收敛 ,
2
则有唯一极限 a 存在 .
取 1 , 则存在 N , 使当 n > N 时 , 有 2
a 1 xn a 1
但因
2
xn 交替取值 1 与－1 ,
2
而此二数不可能同时落在
( 0) . (用反证法证明)
4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 证: 设数列若是数列
的任一子数列 .
时, 有
则 0 , N , 当
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk nK N
*********************
xN
N
从而有 x n a , 由此证明 lim x nk a . k
所以xn 单调递增 .
18
例6
证明数列 xn 3 3
n
3
(n重根式)
的极限存在并求 . lim xn
(2)再证 xn 的有界性
x1 3 3,
xn 有上界;
lim x n 存在.
n
假定 xk 3,
x k 1 3 x k 3 3 3,
(1) n 1 0 故 lim xn lim x 0 也可由 2 n n n ( n 1) ( n 1) 2 说明: N 与有关, 但不唯一. 取 N 1 1 不一定取最小的 N . 1] 故也可取 N [
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xn (1) n1 趋势不定
机动目录上页
散
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数列的极限课件_PPT课件

n
例题讲解
例3 计算：
2 （1）lim 7 n n 3n 4 （2） lim n n n12n1 （3） lim n 6n2
知识讲解
四、关于n的多项式比多项式形状的极限
3n 4 l i m lim 3 2 n n 6 n n ①若分子最高次＝分母的最高次，那么极限值为
分子最高次项系数分母最高次项系数
n 1 2 n 1
2 2 n 3 n 11 l i m 2 n 6 3 n
知识讲解
四、关于n的多项式比多项式形状的极限
2n3 3n 1 lim n 6n2
②若分子最高次>分母的最高次，那么极限值不存在
①“项”随n的增大而小 ②但都大于0
③当n无限增大时， n 可以“无限趋于”常数0
2
1
知识讲解
1 1 1 1 举例2： , 2 , 3 , , n , 1 01 0 1 0 1 0
1 lim n 0 n 10
①“项”随n的增大而减小 ②但都大于0
1 ③当n无限增大时，1 0
n
可以“无限趋于”常数0
n 个
问题思考
思考：用什么体现这种无限接近的过程？
知识讲解
1 1 举例7： 1 , , , , , 2 3 n 1
n
lim
n
1
n
n
0
①“项”正负交错排列，并且随n的增大其绝对值减小
②当n无限增大时，
1
n
n
可以“无限趋于”常数0
知识讲解
举例7： a n
n
l i m a A , l i m b B n n

《数列极限的性质》课件

不存在的情况
如果极限不存在，例如 $lim_{n to infty} (frac{1}{n})$，则不能直接应用四则运算性质。
03
单调有界定理
定理内容
定理
如果数列${ a_{n}}$是单调增加（或减少）的，并且存在一个正数$M$，使得对于所有$n$，都有$a_{n} leq M$（或$a_{n} geq M$），则数列${ a_{n}}$ 收敛。
举例说明
解：根据极限的四则运算性质，我们有
• $\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = 2 - 3 = 1$
• $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = 2 + 3 = 5$
举例说明
01
• $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = 2 \cdot 3 = 6$
04
柯西收敛准则
柯西收敛准则的内容
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得对于所有的$n>N$，都有$|a_n a|<varepsilon$，则称数列${a_n}$收敛于$a$。
柯西收敛准则的数学表达
如果对于任意正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|a_{n+1}-a_n|<varepsilon$，则数列${a_n}$收敛。
极限的四则运算性质
极限的加法性质
若$lim_{n to infty} a_n = A$且$lim_{n to infty} b_n = B$，则$lim_{n to infty} (a_n + b_n) = A + B$。

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解：由计算器可算得
0.991000 4.3 105 0.995000 1.5 1022 0.9910000 2.2 1044 0.9920000 5.1 1088
lim 0.99n 0 由此猜想
n
一般地，如果
| a | 1 ，
lim a 0. 那么 n
1
1
2 3
2
2
1 4
2
1 2
x
数列极限的描述性定义一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷数列 an 的项 an 无限地趋近于某个常数 a ，(即 an a 无限地接近0), 那么就说数列a 以 a 为极限，或者说 a n 是数列a n 的极限
lim an a
n
读作 “当n 趋向于无穷大时， a n的极限等于a ” 或 “limit n 当n 趋向于 a 无穷大时等于a ”
2.刘徽割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”
直径为1的圆：
正三角形
正六边形
正十二边形
分析当n无限增大时，下列数列的项 a n 的变化趋势及共同特征: 1 1 1 1 无限趋近， 2 ， 3 ，， n ， ... ... 0 （1）递减
10 10 10 10 1 2 3 n ... ... (2) 2 ，，，， 1， 3 4 n
观察下面三个数列：分析当n无限
增大时，下列数列的项的变化趋势
形式：分组讨论后找同学回答
1 1 ,…， 1 …， ① 1, , 2n 2 4
0
1 8
1 4
1 2
1
x
② 0.9，0.99，0.999，0.9999，……
0 .9
0.99 0.999 0.9999
1
x
1 2 1 (1) n 1 ③ 1， 2 ，，2 …，2 n ，… 2 4 3
例2、求常数数列-1，-1，-1，·，-1，·的极限． · · · ·
解：这个无穷数列的各项都是-1，当项数n 无限增大时，数列的项 a n 始终保持同一个值-1，因此
lim ( 1) 1.
n
一般地，任何一个常数数列的极限都是这个常数本身，即
lim C C
n
（C 是常数）
例3、用计算器计算 0.991000 , 0.995000 , 0.9910000 , 0.9920000 , {0.99n } 的极限（保留两位有效数字）．由此猜想数列
n
探究2： lim a n ? 1：若a=1时，则 n
2：若a=-1时，则 lim a ? n
n
lim a n ? 3：若a>1时，则
n
4：若a<-1时，则 lim a n ?
一Байду номын сангаас地，如果
| a | 1 ，
n
lim a 0. 那么 n
n
课本练习（口答）
1 解：（1）数列 3 的项随n 的增大而减小，但大于0，且 n 1 1 当n 无限增大时， 3 无限地趋近于0，因此，数列 3 的极限 n n 是0．
[课堂练习]：
0
1 lim n 0 n 2
1
n lim 1 n n 1
0
(1) n lim 0 n n
• 课本82页1，2，3，4 • 84页1，2
探索开放问题：
试说出满足
lim a
n
n
n
=2 的
几个数列。a 2
n
1 a 2 n 1 n an 2 ( ) 2 ……
小结：
• 1：数列极限的定义，记法，读法 • 2：数列的三种趋向方式和数列极限的存在性 • 3：常用数列的极限
明知不可企及我们却锲而不舍历经各种磨难终近我们理想彼岸我希望即将步入高三的你们再逢此关键时机去勇敢挑战极限
极限极限极限
谢谢大家配合，再见
一尺之棰日取其半万世不竭
的《庄子天下篇》引用过一句话
·
战国时代哲学家庄周所著
.
:
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.
三国时的刘徽提出的的方法.他把圆周分 “割圆求周” 成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、· 这样继续 · · 分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.
n 趋向于无穷大（1）（2）
an 是无穷数列
n 无限增大时，an 不是一般地趋近于 a ，而是
a “无限”地趋近于（3）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的
趋向与某个常数a
例题讲解例1、考察下面的数列，写出它们的极限： 1 1 1 ，，，，；（1）1， 3 8 27 n 5 6.95 6.995 7 n ，； 7 （2） 6.5，，，， 10 1 1 1 1 , , , n , ； , （3） 0 2 4 8 ( 2)
作业布置：
1：课本84页习题2.2的1，2，3题 2：课外阅读课本69页
近年来，世界上兴起了许多运动：如 “蹦极” “攀岩” “登山”等。之所以受到欢迎，就是由于蕴含了一种极限精神:挑战自己精神、胆量、勇气、耐力的极限。在挑战的同时，挑战者也享受到了挑战带来的刺激和快乐。高三的学习何尝不是对自己精神和耐力极限的一种挑战呢？最后我有几句话送给大家。
探究问题1:是否每个无穷数列都有极限？
可以举反例。（形式：小组讨论）
① 2，4，6，8，…，2n, … ② -1 ，-2 ，-3 ， …，-n ， … ③-1 ，1 ，-1 ，1 ， …，(-1)n ， … 结论：并不是所有的无穷数列都有极限
自主学习：时间5分钟
课本83页例2，例3
阅读提示：1.常数列的极限？ n 2.数列 {0.99 }的极限？ 3.例3告诉我们什么结论？
递增
摆动
无限趋近
1
0
-1
.
1 1 (1) n ， ... ， .... （3） 1 ，，，２ 3 n

无限趋近
. . .... ... .. . 1
3
0
. 1
2
共同特性：不论这些变化趋势如何，随着项数 n 的无限增大，数列的项 a n无限地趋近于常数 a （即 an a 无限地接近于0）．