导热理论-热传导原理

图4-3 温度梯度与傅里叶定律 第二节 热传导
热传导是由物质内部分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递现象。

热传导的机理非常复杂，简而言之，非金属固体内部的热传导是通过相邻分子在碰撞时传递振动能实现的；金属固体的导热主要通过自由电子的迁移传递热量；在流体特别是气体中，热传导则是由于分子不规则的热运动引起的。

4-2-1 傅里叶定律
一、温度场和等温面
任一瞬间物体或系统内各点温度分布的空间，称为温度场。

在同一瞬间，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。

因为空间内任一点不可能同时具有一个以上的不同温度，所以温度不同的等温面不能相交。

二、温度梯度
从任一点开始，沿等温面移动，如图4-3所示，因为在等温面上无温度变化，所以无热量传递；而沿和等温面相交的任何方向移动，都有温度变化，在与等温面垂直的方向上温度变化率最大。

将相邻两等温面之间的温度差△t 与两等温面之间的垂直距离△n 之比的极限称为温度梯度，其数学定义式为：
n t n t gradt ∂∂=∆∆=lim
(4-1) 温度梯度n
t ∂∂为向量，它的正方向指向温度增加的方向，如图4-3所示。

对稳定的一维温度场，温度梯度可表示为：
x
t gradt d d = （4-2） 三、傅里叶定律
导热的机理相当复杂，但其宏观规律可用傅里叶定律来描述，其数学表达式为：
n
t S
Q ∂∂∝d d 或 n t S Q ∂∂-=d d λ （4-3） 式中 n
t ∂∂——温度梯度，是向量，其方向指向温度增加方向，℃/m ； Q ——导热速率，W ；
S ——等温面的面积，m 2；
λ——比例系数，称为导热系数，W/（m ·℃）。

式4-3中的负号表示热流方向总是和温度梯度的方
向相反，如图4-3所示。

傅里叶定律表明：在热传导时，其传热速率与温度梯
度及传热面积成正比。

必须注意，λ作为导热系数是表示材料导热性能的一
个参数，λ越大，表明该材料导热越快。

和粘度μ一样，
导热系数λ也是分子微观运动的一种宏观表现。

4-2-2 导热系数
导热系数表征物质导热能力的大小，是物质的物理性质之一。

物体的导热系数与材料的组成、结构、温度、湿度、压强及聚集状态等许多因素有关。

一般说来，金属的导热系数最大，非金属次之，液体的较小，而气体的最小。

各种物质的导热系数通常用实验方法测定。

常见物质的导热系数可以从手册中查取。

各种物质导热系数的大致范围见表4-1所示。

表4-1 导热系数的大致范围
物质种类
纯金属 金属合金 液态金属 非金属固体 非金属液体 绝热材料 气体
导热系数/
W ·m -1·K -1 100～1400
50～500 30～300 0.05～50 0.5～5 0.05～1 0.005～0.5
一、固体的导热系数
固体材料的导热系数与温度有关，对于大多数均质固体，其λ值与温度大致成线性关系： ()t a '+=10λλ （4-4） 式中 λ——固体在t ℃时的导热系数，W/（m ·℃）；
λ0——物质在0℃时的导热系数，W/（m ·℃）；
图4-4 各种液体的导热系数
1—无水甘油；2—蚁酸；3—甲醇；4—乙醇；5—蓖麻油；6—苯胺；7—醋酸；8—丙酮；9—丁醇； 10—硝基苯；11—异丙醇；12—苯；13—甲苯；14—二甲苯；15—凡士林；16—水（用右面的比例尺） a '——温度系数，℃-1；对大多数金属材料a '为负值，而对大多数非金属材料a ' 为正值。

同种金属材料在不同温度下的导热系数可在化工手册中查到，当温度变化范围不大时，一般采用该温度范围内的平均值。

二、液体的导热系数
液态金属的导热系数比一般液体高，而且大多数液态金属的导热系数随温度的升高而减小。

在非金属液体中，水的导热系数最大。

除水和甘油外，绝大多数液体的导热系数随温度的升高而略有减小。

一般说来，纯液体的导热系数比其溶液的要大。

溶液的导热系数在缺乏数据时可按纯液体的λ值进行估算。

各种液体导热系数见图4-4。

三、气体的导热系数
气体的导热系数随温度升高而增大。

在相当大的压强范围内，气体的导热系数与压强几乎无关。

由于气体的导热系数太小，因而不利于导热，但有利于保温与绝热。

工业上所用的保温材料，例如玻璃棉等，就是因为其空隙中有气体，所以导热系数低，适用于保温隔热。

各种气体的导热系数见图4-5。

4-2-3 平壁热传导
一、单层平壁热传导
如图4-6所示，设有一宽度和高度均很大的平壁，壁边缘处的热损失可以忽略；平壁内的温度只沿垂直于壁面的x方向变化，而且温度分布不随时间而变化；平壁材料均匀，导热系数λ可视为常数（或取平均值）。

对于此种稳定的一维平壁热传导，导热速率Q和传热面积S都为常量，式4-3可简化为
图4-5 各种气体的导热系数 图4-6 单层平壁的热传导
1—水蒸气；2—氧；3—CO 2；
4—空气；5—氮；6—氩
dx dt S Q λ-= （4-5） 当x =0时，t =t 1；x =b 时，t =t 2；且t 1＞t 2。

将式（4-5）积分后，可得：
()21t t S b Q -=λ
（4-6）
或 R
t S
b t t Q ∆λ=-=21 （4-7） 式中 b ——平壁厚度，m ；
Δt ——温度差，导热推动力，℃；
R ——导热热阻，℃/W 。

当导热系数λ为常量时，平壁内温度分布为直线；当导热系数λ随温度变化时，平壁内温度分布为曲线。

式4-7可归纳为自然界中传递过程的普遍关系式：
过程的阻力
过程的推动力过程传递速率= 必须强调指出，应用热阻的概念，对传热过程的分析和计算都是十分有用的。

【例4-1】 某平壁厚度b =0.37m ，内表面温度t 1=1650℃，外表面温度t 2=300℃，平壁材料导热系数λ=0.815+0.00076t ，W/（m ·℃）。

若将导热系数分别按常量（取平均导热系数）和变量计算，试求平壁的温度分布关系式和导热热通量。

解：
（1）导热系数按常量计算
平壁的平均温度9752
3001650221=+=+=
t t t m ℃ 平壁材料的平均导热系数
556.197500076.0815.0=⨯+=m λW/（m ·℃）
导热热通量为：
图4-7 三层平壁的热传导
()()5677300165037
.0556.121=-=-=t t b q λ
W/m 2 设壁厚x 处的温度为t ，则由式4-6可得
()t t x q -=1λ
故 x x qx t t 36491650556
.1567716501-=-=-=λ 上式即为平壁的温度分布关系式，表示平壁距离x 和等温表面的温度呈直线关系。

（2）导热系数按变量计算，由式4-5得
()()x
t t ..x t t a x t q d d 007608150d d d d 0+-='+-=-=λλ 或 －q d x =（0.815+0.0076t ）d t 积分 ()⎰⎰+=-b t t t t ..x q 02
1d 0007608150d
得 ()()212212200076.0815.0t t t t qb -+
-=- （a ） ()()5677300165037
.0200076.0300165037.0815.022=-⨯+-=q W/m 2 当b =x 时，t 2=t ，代入式（a ），可得
()()221650200076.01650815.05677-+
-=-t t x 整理上式得
01650200076.01650815.0567700076.0200076.0815.0222=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯-+⨯+x t t 解得 x t 761049.11041.71072⨯-++-=
上式即为当λ随t 呈线性变化时单层平壁的温度分布关系式，此时温度分布为曲线。

计算结果表明，将导热系数按常量或变量计算时，所得的导热通量是相同的，而温度分布则不同，前者为直线，后者为曲线。

二、多层平壁的热传导
以三层平壁为例，如图4-7所示。

各层的壁厚分别为b 1、b 2和b 3，导热系数分别为λ1、λ2和λ3。

假设层与层之间接触良好，即相接触的两表面温度相同。

各表面温度分别为t 1、t 2、t 3和t 4，且t 1＞t 2＞t 3＞t 4。

在稳定导热时，通过各层的导热速率必相等，即Q =Q 1=Q 2=Q 3。

()
()()343323221211b t t S b t t S b t t S Q -=-=-=λλλ
由上式可得
S
b Q t t t 11211λ∆=-= （4-8） S
b Q t t t 22322λ∆=-= （4-9）
S b Q t t t 33433λ∆=-= （4-10） Δt 1∶Δt 2∶Δt 3=S b 11λ∶S b 22λ∶S
b 33λ=R 1∶R 2∶R 3 （4-11） 可见，各层的温差与热阻成正比。

将式（4-8）、（4-9）、（4-10）相加，并整理得
S
b S b S b t t S b S b S b t t t Q 33221141332211321λλλλλλ∆∆∆++-=++++= （4-12） 式4-12即为三层平壁的热传导速率方程式。

对n 层平壁，热传导速率方程式为
总热阻总推动力==-=∑∑∑=+R t S
b t t Q n i i i n ∆λ111 （4-13）
可见，多层平壁热传导的总推动力为各层温度差之和，即总温度差，总热阻为各层热阻之和。

【例4-2】 某平壁燃烧炉是由一层耐火砖与一层普通砖砌成，两层的厚度均为100mm ，其导热系数分别为0.9W/（m ·℃）及0.7W/（m ·℃）。

待操作稳定后，测得炉膛的内表面温度为700℃，外表面温度为130℃。

为了减少燃烧炉的热损失，在普通砖外表面增加一层厚度为40mm 、导热系数为0.06W/（m ·℃）的保温材料。

操作稳定后，又测得炉内表面温度为740℃，外表面温度为90℃。

设两层砖的导热系数不变，试计算加保温层后炉壁的热损失比原来的减少百分之几？ 解：加保温层前单位面积炉壁的热损失为1
S Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛ 此时为双层平壁的热传导，其导热速率方程为：
22447
.01.09.01.01307002211311=+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛λλb b t t S Q W/m 2 加保温层后单位面积炉壁的热损失为2
⎪⎭⎫ ⎝⎛S Q 此时为三层平壁的热传导，其导热速率方程为：
2332211412W/m 70606
00407010901090740=++-=++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛......b b b t t S Q λλλ 故加保温层后热损失比原来减少的百分数为：
%.%%S Q S Q S Q 568100224470622441001
21=⨯-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
4-2-4 圆筒壁的热传导
化工生产中通过圆筒壁的导热十分普遍，如圆筒形容器、管道和设备的热传导。

它与平壁热传导的不同之处在于圆筒壁的传热面积随半径而变，温度也随半径而变。

一、单层圆筒壁的热传导
如图4-8所示，设圆筒的内、外半径分别为r 1和r 2，内外表面分别维持恒定的温度t 1和t 2，管长L 足够长，则圆筒壁内的传热属—维稳定导热。

若在半径r 处沿半径方向取一厚度为d r 的薄壁圆筒，则其传热面积可视为定值，即2πrL 。

根据傅里叶定律：
()r
t rL r t S Q d d 2d d πλλ-=-= （4-14） 分离变量后积分，整理得：
()1
221ln 2r r t t L Q -=λπ （4-15） 或 ()()()()b t t r L r r r r r r t t L Q m 21121
212212ln 2-=-⋅-⋅-=λπλπ ()R
t t S b t t b t t S m
m 212121-=-=-=λλ （4-16） 式中 b =r 2－r 1——圆筒壁厚度，m ；
S m =2πLr m ——圆筒壁的对数平均面积，m 2；
1
2
12ln r r r r r m
-=——对数平均半径，m 。

当r 2/r 1＜2时，可采用算术平均值2
21r r r m +=
代替对数平均值进行计算。

二、多层圆筒壁的热传导 对层与层之间接触良好的多层圆筒壁，如图4-9所示（以三层为例）。

假设各层的导热系数分别为λ1、λ2和λ3，厚度分别为b 1、b 2和b 3。

仿照多层平壁的热传导公式，则三层圆筒壁的导热速率方程为：
321413
33
22211141R R R t t S b S b S b t t Q m m m ++-=++-=λλλ
3
34223
1124
12ln 2ln 2ln λπλπλπL r r L r r L r r t t ++-= （4-17）
图4-8 单层圆筒壁的热传导图 4-9 多层圆筒壁热传导
应当注意，在多层圆筒壁导热速率计算式中，计算各层热阻所用的传热面积不相等，应采用各自的对数平均面积。

在稳定传热时，通过各层的导热速率相同，但热通量却并不相等。

【例4-3】 在外径为140mm 的蒸气管道外包扎保温材料，以减少热损失。

蒸气管外壁温度为390℃，保温层外表面温度不大于40℃。

保温材料的λ与t 的关系为λ=0.1+0.0002t （t 的单位为℃，λ的单位为W/（m ·℃））。

若要求每米管长的热损失Q/L 不大于450W/m ，试求保温层的厚度以及保温层中温度分布。

解：此题为圆筒壁热传导问题，已知：r 2=0.07m t 2=390℃ t 3=40℃
先求保温层在平均温度下的导热系数，即
143.024********.01.0=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=λW/（m ·℃） （1）保温层温度 将式（4-15）改写为
()L
Q t t r r /2ln 3223-=πλ ()07.0ln 450
40390143.02ln 3+-⨯=πr 得 r 3=0.141m
故保温层厚度为
b =r 3－r 2=0.141－0.07=0.071m=71mm
（2）保温层中温度分布 设保温层半径r 处的温度为t ，代入式（4-15）可得
()45007
.0ln 390143.02=-⨯r t π 解上式并整理得t =－501ln r －942
计算结果表明，即使导热系数为常数，圆筒壁内的温度分布也不是直线而是曲线。