大连理工大学信号3_信号与系统的频域分析

• 再做逆DTFT变换，有：
h[n] anu[n]
2015/10/11 大连理工大学 15
• 【例3.5】
– 已知线性时不变系统为： y[n] – 试求其单位脉冲响应 h[n] ：
3 1 y[n 1] y[n 2] 2 x[n] 4 8
• 【解】：对上式两端做DTFT，经整理有传递函数为：
M
2015/10/11
10
• 【例3.1】
– 已知一稳定线性时不变系统：
dy (t ) ay (t ) x (t ), dt
a0
– 试求其传递函数 H j 和单位冲激响应 h(t ) ：
• 【解】：对微分方程两端做傅里叶变换，有：
1 H j a j
• 再做傅里叶逆变换，有： h(t ) e at u(t )
2015/10/11 大连理工大学 24
• 考虑其时间特性： –单位冲激响应：
t 1 RC 1 t h(t ) e u(t ) e u(t ), ( RC ) RC
–单位阶跃响应：
s(t ) [1 e ]u (t ) –【讨论】：
• RC增加导致带宽减小，带宽减小导致过渡时间 增长（一般情况下 4 系统稳定）；
大连理工大学
6
• 2.信号的频域分析
ak
k
)
FT

连续、非周期
DFS
ak
X (e j )
k
x[n ]
DTFT
离散、周期

连续、‘周期
时域
2015/10/11 大连理工大学
频域
7
• 3.频域（频谱）分析的作用
– 可以从 x (t ) 或 x[n] 的频谱中找到信源的某些特征。
14
M
k 0 N
2015/10/11
大连理工大学
• 【例3.4】
– 已知线性时不变系统为：
y[n] ay[n 1] x[n]
a 1
– 试求其传递函数 H e j 和单位冲激响应 h[n] ：
• 【解】：对上式两端做DTFT，经整理有传递函数为：
j Y (e ) 1 j H e j X (e ) 1 ae j
k
N
1 x[n 1] x[n] x[n 1] 3
M 1 – M+N+1点平均滤波器： y[n] x[n k ] N M 1 k N
– 单位脉冲响应与传递函数：
M 1 1 j jk h[n] , H (e ) e N M 1 N M 1 k N
H e
j


2 3 1 1 e j e 2 j 4 8
1 1 j 1 j 1 e 1 e 2 4
4 2 1 1 1 e j 1 e j 2 4
• 再做逆DTFT变换，有：
2015/10/11
11 1 h[n] u[n] 2 u[n] 4 2 4
16
n
n
大连理工大学
§3.3 滤波器的概念
2015/10/11
大连理工大学
17
• 1.滤波器的概念
–概念：Change the relative amplitude of the frequency components in a signal or perhaps eliminate some frequency component, entirely. –两类常用的滤波器：
–高通滤波器； –带通滤波器； –带阻滤波器； –全通滤波器；
–对于离散时间系统，
滤波器的特性类似，不 过， H e j 是周期性的。
2015/10/11 大连理工大学 20
• 滤波器的几个术语
– 截止频率：
– 通带： – 阻带： – 过渡带：
2015/10/11
大连理工大学
21
+ vr ( t )
H j j 2 j 2 1/ 2 1/ 2 ( j)2 4( j) 3 j 1 j 3 j 1 j 3
• 再做傅里叶逆变换，有： h t 1 e t u(t ) 1 e 3t u(t ) 2 2
2015/10/11 大连理工大学 12
k 0 k k 0 k
N
M
– 对上述方程两端求离散时间傅里叶变换（DTFT）：
j j k j j k a Y (e )e b X (e )e k k k 0 k 0 N M
– 系统传递函数：
j Y (e ) j H e j X (e )
j k b e k j k a e k k 0
• 再做傅里叶逆变换，有：
1 t 1 t 1 3t y (t ) e te e u(t ) 2 4 4
2015/10/11 大连理工大学 13
• 2.离散时间系统的差分方程表示
– 离散时间LTI系统，可用差分方程描述为：
a y[n k ] b x[n k ]
aH (e j )e j( n1) e jn
–则滤波器的传递函数：
1 H (e ) 1 ae j
j
2015/10/11 大连理工大学 27
• 非递归滤波器举例
– FIR滤波器的一般形式： y[n]
– 三点平滑滤波器：
y[n]
k N
b x[n k ]
•
2015/10/11

t
的大小需要折中考虑。
大连理工大学 25
• 4.离散时间滤波器的差分方程表示
（本节内容留待本课程第III部分一并讲解）
–两个概念 • 递归滤波器（常与IIR相联系）：表示滤波器对 [n] 的响应持续时间是无限的，需用反馈结构来实现。 • 非递归滤波器（常与FIR相联系）：表示滤波器对 的响应持续时间是有限的，无需反馈结构。
dvc (t ) vs (t ) RC vc ( t ) dt
– 若系统是初始松弛的（即初值为0），则系统是线性时 不变的。设系统输入为 vs (t ) e jt ，则输出为： –
2015/10/11
vc (t ) H ( j)e jt
大连理工大学
（特征函数特征值）
22
• 附：特征函数与特征值
• 频率成形滤波器：用于改变频谱形状的滤波器。例 如在音响中，让听众可以改变声音中高低频分量的 相对大小； • 频率选择滤波器：显著地衰减或消除一些频率的 滤 波器：
2015/10/11 大连理工大学 18
• 频率成形滤波器举例
2015/10/11
大连理工大学
19
• 频率选择滤波器的分类：
–低通滤波器；
滤波器若干问题
2015/10/11
大连理工大学
2
§3.1 频谱与信号的频域分析
2015/10/11
大连理工大学
3
• 1.频谱的概念
–频谱：是频率的分布曲线，复杂振荡分解为振幅不同 和频率不同的谐振荡（谐波），这些谐振荡的幅值按频 率排列的图形叫做频谱。 – 广泛应用在声学、光学和无线电技术等方面，把对信号 的研究从时域引到频域，依赖于傅里叶变换。 – 无线电的频谱资源也称为频率资源，通常 指长波、中波、短波、超短波和微波。一般 指9KHz－3000GHz频率范围内发射无线电 波的无线电频率的总称。无线电频率以Hz
• 【例3.3】
– 设上例的输入信号为： x(t ) et u(t ) – 试求输出信号 y (t ) 。
• 【解】：对微分方程两端做傅里叶变换，有：
Y ( j ) H ( j ) X ( j ) j 2 1 j 2 ( j 1)( j 3) j 1 ( j 1) 2 ( j 3) 1/ 4 1/ 2 1/ 4 j 1 ( j 1)2 j 3
2015/10/11 大连理工大学 11
• 【例3.2】
– 已知一稳定线性时不变系统：
d 2 y (t ) dy (t ) dx(t ) 4 3 y (t ) 2 x(t ) 2 dt dt dt
– 试求其传递函数 H j 和单位冲激响应 h(t ) ：
• 【解】：对微分方程两端做傅里叶变换，有：
–验证：
x (t ) e st y (t ) h(t ) * x(t ) h( )e
s ( t )
d e
st



h( )e s d
H ( s)e st
2015/10/11 大连理工大学 23
• 则：
d j t j t j t RC H ( j ) e H ( j )e e dt
–设LTI系统（含连续与离散两类）
x (t )
△
h(t )
y (t )
□△
–若输入信号为 △ 时，输出信号为 □△，则： – △ 为系统的特征函数， □ 为系统的特征值。 –对于连续时间LTI系统， x(t ) est 为系统的特征函数； –对于离散时间LTI系统，x(n) n 为系统的特征函数；
• 2.一个简单的RC低通滤波器
– 一RC电路如图：
– 由欧姆定律和基尔霍夫定律，有：
i (t ) C
+
vs ( t )
R C
+
vc ( t )

dvc (t ) , v s ( t ) v R ( t ) vc ( t ) i (t ) R v c (t ) dt
– 所以：
大连理工大学硕士研究生校管课程
信号处理与数据分析
第3章
信号与系统的频域分析