第二节 二重积分的计算法(2)

二重积分的计算法( 第二节 二重积分的计算法(２)
一、利用极坐标计算二重积分 二、小结 思考题
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一、极坐标系下二重积分的计算
1 1 2 2 ∆σ i = ( ri + ∆ri ) ⋅ ∆θ i − ri ⋅ ∆θ i 2 2 1 r = ri + ∆ri 2 = ri ∆ ri ∆ θ i + ( ∆ ri ) ∆ θ i r = ri 2 当( ∆ri , ∆θ i ) → ( 0,0)时,
D
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观察练习］ ［观察练习］ 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切 的变化范围是什么? 于原点,试 于原点 试问θ 的变化范围是什么? (1)
y
r = ϕ(θ )
(2) y
r = ϕ(θ )
D
D
o x
(2) −
x
o
答: (1) 0 ≤ θ ≤ π ;
π
2
≤θ ≤
dσ = rdrdθ
又由点的极坐标与直角坐标之间的关系， 又由点的极坐标与直角坐标之间的关系，
x = r cos θ , y = r sin θ ∴ f ( x , y ) = f ( r cos θ , r sin θ )
故在极坐标下， 故在极坐标下，二重积分化为
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ )rdrdθ .
x2 + y2 = 1
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫0 dθ ∫
2
π
1
D
1 sin θ + cosθ
f ( ρ cosθ , ρ sinθ ) ρdρ .
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【例 2 】计算 ∫∫ e
D
− x2 − y2
dxdy
，其中 D 是由中心在
原点， 的圆周所围成的闭区域. 原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
区域特征如图 π 0 ≤ θ ≤ 2π,
0 ≤ ρ ≤ ϕ (θ ).
D
ρ = ϕ (θ )
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ D
= ∫ dθ ∫
0 2π
o
A
（2）的特例 ）
ϕ (θ )
0
f ( ρ cosθ , ρ sinθ ) ρdρ .
3. 极坐标系下区域的面积
σ = ∫∫ ρdρdθ .
ϕ (θ ) β = ∫α dθ ∫0 f ( ρ cosθ , ρ sinθ ) ρdρ . 2π = dθ ϕ (θ ) f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) ρdρ .
α ϕ1 (θ )
= ∫ dθ ∫
β
ϕ 2 (θ )
f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρ .
2 2 2 2 2 2
( x + y ) = 2a ( x − y ) ⇒ ρ = a 2 cos 2θ ,
2 2 2 2 2 2
ρ = a 2 cos 2θ , 由 ρ =a
所求面积σ =
D
π 得交点 A = ( a, ) , 6
D1 a 2 cos 2θ
D1
∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdy
π
6
= 4 ∫ dθ ∫
0
a
π ρdρ = a ( 3 − ). 3
2
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【例6】（课本 90例6） 】 课本P ）
求球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4a 2 被圆柱面 x 2 + y 2 = 2ax ( a > 0) 所截得的（含在圆柱面 内的部分）立体的体积 所截得的（ 内的部分）
V = 4 ∫∫ 4a − ρ ρdρdθ = 4 ∫ dθ ∫ 0
2 2
2 0
4a 2 − ρ 2 ρdρ
D
32 3 2 32 3 π 2 3 = a ∫ (1 − sin θ )dθ = a ( − ) 0 3 3 2 3
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π
二、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ D
π
2
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【例 1】写出积分 ∫∫ f ( x , y )dxdy 的极坐标二次 】
D
积分形式， 积分形式，其中积分区域
D = {( x , y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
【解】 在极坐标系下 x = ρ cosθ y = ρ sin θ 所以圆方程为 ρ = 1, 1 , 直线方程为 ρ = sinθ + cosθ
【解】 在极坐标系下
D： 0 ≤ ρ ≤ a ， 0 ≤ θ ≤ 2 π .
y
∫∫ e
D
− x2 − y2
dxdy= ∫ dθ ∫ e
0 0
2π
a
−ρ 2
ρdρ
o
= π(1 − e
− x2
−a
2
x
).
【注】1.由于 e 由于
的原函数不是初等函数 ,故本题无法
用直角坐标计算. 用直角坐标计算.
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β
o
α
A
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ D
= ∫ dθ ∫
α β ϕ 2 (θ ) ϕ 1 (θ )
f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) ρdρ .
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恰在区域D的边界曲线之上时 （2）极点 恰在区域 的边界曲线之上时 ）极点O恰在区域
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【思考题解答】 思考题解答】
π π − ≤θ ≤ D: 2 2 , 0 ≤ ρ ≤ a cosθ
I = ∫ dρ ∫
0 a arccos
y
θ = arccos
D
ρ
a ρ = a cosθ
a x
o
ρ
a
− arccos
ρ
a
f ( ρ ,θ )dθ .
θ = − arccos
D D′
其中 D ′表示区域 D 的极坐标表示 .
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则
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ . D D
二重积分极坐标表达式 二重积分极坐标表达式 表达
【注意】极坐标系下的面积元素为 注意】
dσ = ρd ρdθ
π
sin( π x 2 + y 2 ) dxdy , 【例 4】计算二重积分 ∫∫ 2 2 x +y D 2 2 其中积分区域为 D = {( x , y ) | 1 ≤ x + y ≤ 4}.
【解】 由对称性，可只考虑第一象限部分， 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D = 4D1
［注意］被积函数要有奇偶性,积分区 注意］被积函数要有奇偶性, 域同时要有对称性. 域同时要有对称性.
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【例 3】 计算 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy ，其中 D 为由圆
x 2 + y 2 = 2 y ， x 2 + y 2 = 4 y 及直线 x − 3 y = 0 ， y − 3x = 0 所围成的平面闭区域. 所围成的平面闭区域. y 4 2 2 【解】 x + y = 2 y ⇒ r = 2sinθ
∫0
∫0
在积分中注意使用对称性 对称性） （在积分中注意使用对称性）
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【思考题】 思考题】
交换积分次序: 交换积分次序:
I = ∫ π dθ ∫
2 − 2
π
a cos θ
0
f ( ρ ,θ )dρ
( a ≥ 0).
即
由先 ρ 后 θ 的二次积分化为 先 θ 后 ρ 的二次积分
ρ
aБайду номын сангаас
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θ = θ i + ∆θ i
∆σ i
D
( ∆ri ) 2 ∆θ i 是比 ∆ri ∆θ i 更 高阶的无穷小量， 高阶的无穷小量，若 o 1 略去 ( ∆ri ) 2 ∆θ i , 则得 2
θ = θi
A
∆σ i ≈ ri ∆ri ∆θ i ,
2
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从而得极坐标系下的面积元素为
区别 直角坐标系下的面积元素为
dσ = dxdy
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2.二重积分化为二次积分的公式 .
在区域D的边界曲线之外时 （1）极点 在区域 的边界曲线之外时 ）极点O在区域
ρ = ϕ1(θ )
ρ = ϕ2 (θ )
区域特征如图
α ≤θ ≤ β,
D
ϕ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ϕ 2 (θ ).
D1
sin( π x 2 + y 2 ) sin( π x 2 + y 2 ) ∫∫ x 2 + y 2 dxdy = 4 ∫∫ x 2 + y 2 dxdy D1 D
= 4 ∫ dθ ∫
2
π
2
sin πρ
0
1
ρ
ρdρ = −4.
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【例 5】 求曲线 ( x + y ) = 2a ( x − y ) 所围成的图形的面积. 和 x 2 + y 2 ≥ a 2 所围成的图形的面积. 【解】 根据对称性有 D = 4D1 2 2 2 在极坐标系下 x + y = a ⇒ ρ = a ,
β
o
α
A
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ D
= ∫ dθ ∫
α β ϕ 2 (θ ) ϕ1 (θ )
f ( ρ cosθ , ρ sinθ ) ρdρ .
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特别地 若区域特征如图
ρ = ϕ1(θ )
D
α ≤θ ≤ β,
ρ = ϕ2 (θ )
ϕ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ϕ 2 (θ ).
【注】2.利用例2可得到一个在概率论与数理统计中 注 利用例 可得到一个在概率论与数理统计中
以及工程上非常有用的反常积分公式 以及工程上非常有用的反常积分公式 反常
∫0
+∞ − x2
e
dx =
π
2
①
事实上, 当D 为 R2 时, 事实上
利用例2的结果 得 利用例 的结果, 的结果
=π
故①式成立 .
ρ = ϕ (θ )
区域特征如图
α ≤θ ≤ β,
0 ≤ ρ ≤ ϕ (θ ).
β
o
D
（1）的特例 ）
A
α
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ D
= ∫ dθ ∫
α β ϕ (θ )
0
f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) ρdρ .
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（3）极点O在区域 的边界曲线之内时 ）极点 在区域D的边界曲线之内时 在区域
x2 + y2 = 4 y ⇒ r = 4sinθ
D
y − 3x = 0 ⇒θ2 = x − 3y = 0 ⇒θ1 =
π
π
2
π
3
6
4sinθ
o
x
∴∫∫ ( x + y )d x d y= ∫π dθ
2 2
3
D
6
r 2 ⋅ r dr = 15 ( − 3) ∫2sinθ 2
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【解】 由对称性 V = 4V1 其中
z
.
V1 = ∫∫ 4a 2 − x 2 − y 2 dxdy
D
2a
D
2a
y
x
D : x 轴与 y = 2ax − x 2 所围
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用极坐标表示
π 0 ≤ θ ≤ D : 2 0 ≤ ρ ≤ 2a cosθ
于是
π
2 a cosθ