第二节 二重积分的计算法(一)..
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3
5 1
y
2
y x 1 2
D也为Y－型区 域
2 x yd 0 dy 0 D 2 1 y 2
x 2 ydx
o
1
x
1 15
X－型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点. Y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点. 3. 若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
y x o a
y 2 ( x) y 1 ( x)
D
D
D
a
y 1 ( x)
x o a b
y 1 ( x)
b
x b
z y
o
z a
z f ( x, y)
y 2 ( x) y 1 ( x)
f ( x , y )d
D
a A( x )dx
2 ( x )
3 6 1
o
y=x2 1x
1x x 1 2 3 6 0 12
2. Y－型积分区域D： 1(y)≤x≤2(y) , c ≤y≤d
x=1( y) y d y d y d
x=2( y)
D
x=1( y)
x=2( y)
x=1( y)
D
D
c o
x
c o
x
d
c o
f ( x , y )d c [ ( y ) f ( x , y )dx ]dy
1( x)
b
x x+dx b
x
z=f (x, y)
A( x)
D
f ( x , y )dy
A( x)
1(x)
y
f ( x , y )d
a [
b
b
2(x)
2 ( x )
1( x)
f ( x , y )dy]dx
a dx
2 ( x )
1( x)
f ( x , y )dy
a
f ( x , y )d V a A( x )dx
D
b
源自文库
x
b
x
一、 直角坐标系下的计算法.
1. X－型积分区域D: 特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边 界相交不多于两个交点.
1(x)≤y≤2(x) , a ≤x≤b
y o
y 2 ( x)
y
y 2 ( x)
第二节 二重积分的计算法
一、直角坐标系下的计算法 二、极坐标系下的计算法
基本思路：化为定积分
f ( x , y )d 的值等于以 D 为底，
D
以曲面 z f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
z
z f ( x, y)
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,
y
A( x )
例1’ 计算 xyd ,
D
其中D为y2 =x 和y =x2 所围的闭区域.
D也为Y－型区域 D 0 y 1, y 2 x y
y 1 x=y2
x y
xyd
D
0 dy y xydx
2
1
y
o
1 x
1 12
2 计算 x 例2 ydσ ,
其中D为由 x=0 和 y=0 及 y = 22x所围成闭域. 解: D为X－型区域
0 dx 0 f ( x, y )dy
y=x D x
1
1
x
f ( x , y )dxdy
D
0
0 dy y f ( x , y )dx
1
1
例5 改换二次积分 0 dy 0
1
2 y y2
f ( x , y )dx 的积分次序.
解： D : 0 x
2 y y ,0 y 1
x= y
1 x 1 2 dy y 3 1
2 3 y
y
1 2 1 1 ( y 5 )dy 3 y
x
1y 1 81 4 3 2 4 y 1 192
2
2
D也为X－型区域
若先对y再对x积分
x y 2 d D
y
2
x=y
D2
x2 x2 2 d 2 d D y D y
D
y
2
x yd 0 dx 0
2 D
1
2 2 x
x ydy
2
y = 2 2 x o
1
y 0 x dx 2 0 1 1 0 (4 x 2 8 x 3 4 x 4 )dx 2
1 2 2
2 2 x
x
1 4 x 4x 1 4 2x 2 3 5 0 15
1 2
D1
1 y x
o
2 x2 2 2x dx 2 dy 1 dx x 2 dy y y 1 1 2 2 1 x
1 1 2
2
x
81 192
例4 改换二次积分 0 dx 0 f ( x , y )dy 的积分次序. 解： D：0≤y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1
1
x
y
1
2
x 2 y y2 x 2 + ( y – 1 ) 2 = 1 y 1 1 x2 y 1 2 y y2 f ( x , y )dx 2 0 dy 0
y
D1
o
D2 D3
x
D
.
D1 D2 D3
x2 例3 计算 2 d , D y
其中D由y =2, y=x及xy=1所围闭区域
2 x2 2 yx y 2 d 1 dy 1 y 2 dx D y
解: D为Y－型区域
y 2 1 o • •
1 x y
D
1
2 ( y)
c dy
d
2 ( y)
1( y)
f ( x , y )dx
x=2( y) x
f ( x , y )d c dy
d
D
2 ( y)
1(
y)
f ( x , y )dx
D是Y 型区域，二重积分化为先对x，
后对y的二次积分。 关键：确定各积分变量的积分限。 后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线, 先交的为下限,后交的为上限。
D
其中D为y2 =x 和y =x2 所围的闭区域.
解: D为X－型区域
D 0 x 1, x
1
2
y x
x
xyd 0 dx x xydy
2
D
y 1
y x
y 0 x dx 2 x
1 2
2
x
1 1 2 5 0 ( x x )dx 2
f ( x , y )d a dx ( x ) f ( x , y )dy D
1
b
2 ( x )
D是X型区域，二重积分化为先对y，
后对x的二次积分。 关键：确定各积分变量的积分限。 后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线, 先交的为下限,后交的为上限。
例1 计算 xyd ,
5 1
y
2
y x 1 2
D也为Y－型区 域
2 x yd 0 dy 0 D 2 1 y 2
x 2 ydx
o
1
x
1 15
X－型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点. Y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点. 3. 若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
y x o a
y 2 ( x) y 1 ( x)
D
D
D
a
y 1 ( x)
x o a b
y 1 ( x)
b
x b
z y
o
z a
z f ( x, y)
y 2 ( x) y 1 ( x)
f ( x , y )d
D
a A( x )dx
2 ( x )
3 6 1
o
y=x2 1x
1x x 1 2 3 6 0 12
2. Y－型积分区域D： 1(y)≤x≤2(y) , c ≤y≤d
x=1( y) y d y d y d
x=2( y)
D
x=1( y)
x=2( y)
x=1( y)
D
D
c o
x
c o
x
d
c o
f ( x , y )d c [ ( y ) f ( x , y )dx ]dy
1( x)
b
x x+dx b
x
z=f (x, y)
A( x)
D
f ( x , y )dy
A( x)
1(x)
y
f ( x , y )d
a [
b
b
2(x)
2 ( x )
1( x)
f ( x , y )dy]dx
a dx
2 ( x )
1( x)
f ( x , y )dy
a
f ( x , y )d V a A( x )dx
D
b
源自文库
x
b
x
一、 直角坐标系下的计算法.
1. X－型积分区域D: 特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边 界相交不多于两个交点.
1(x)≤y≤2(x) , a ≤x≤b
y o
y 2 ( x)
y
y 2 ( x)
第二节 二重积分的计算法
一、直角坐标系下的计算法 二、极坐标系下的计算法
基本思路：化为定积分
f ( x , y )d 的值等于以 D 为底，
D
以曲面 z f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
z
z f ( x, y)
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,
y
A( x )
例1’ 计算 xyd ,
D
其中D为y2 =x 和y =x2 所围的闭区域.
D也为Y－型区域 D 0 y 1, y 2 x y
y 1 x=y2
x y
xyd
D
0 dy y xydx
2
1
y
o
1 x
1 12
2 计算 x 例2 ydσ ,
其中D为由 x=0 和 y=0 及 y = 22x所围成闭域. 解: D为X－型区域
0 dx 0 f ( x, y )dy
y=x D x
1
1
x
f ( x , y )dxdy
D
0
0 dy y f ( x , y )dx
1
1
例5 改换二次积分 0 dy 0
1
2 y y2
f ( x , y )dx 的积分次序.
解： D : 0 x
2 y y ,0 y 1
x= y
1 x 1 2 dy y 3 1
2 3 y
y
1 2 1 1 ( y 5 )dy 3 y
x
1y 1 81 4 3 2 4 y 1 192
2
2
D也为X－型区域
若先对y再对x积分
x y 2 d D
y
2
x=y
D2
x2 x2 2 d 2 d D y D y
D
y
2
x yd 0 dx 0
2 D
1
2 2 x
x ydy
2
y = 2 2 x o
1
y 0 x dx 2 0 1 1 0 (4 x 2 8 x 3 4 x 4 )dx 2
1 2 2
2 2 x
x
1 4 x 4x 1 4 2x 2 3 5 0 15
1 2
D1
1 y x
o
2 x2 2 2x dx 2 dy 1 dx x 2 dy y y 1 1 2 2 1 x
1 1 2
2
x
81 192
例4 改换二次积分 0 dx 0 f ( x , y )dy 的积分次序. 解： D：0≤y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1
1
x
y
1
2
x 2 y y2 x 2 + ( y – 1 ) 2 = 1 y 1 1 x2 y 1 2 y y2 f ( x , y )dx 2 0 dy 0
y
D1
o
D2 D3
x
D
.
D1 D2 D3
x2 例3 计算 2 d , D y
其中D由y =2, y=x及xy=1所围闭区域
2 x2 2 yx y 2 d 1 dy 1 y 2 dx D y
解: D为Y－型区域
y 2 1 o • •
1 x y
D
1
2 ( y)
c dy
d
2 ( y)
1( y)
f ( x , y )dx
x=2( y) x
f ( x , y )d c dy
d
D
2 ( y)
1(
y)
f ( x , y )dx
D是Y 型区域，二重积分化为先对x，
后对y的二次积分。 关键：确定各积分变量的积分限。 后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线, 先交的为下限,后交的为上限。
D
其中D为y2 =x 和y =x2 所围的闭区域.
解: D为X－型区域
D 0 x 1, x
1
2
y x
x
xyd 0 dx x xydy
2
D
y 1
y x
y 0 x dx 2 x
1 2
2
x
1 1 2 5 0 ( x x )dx 2
f ( x , y )d a dx ( x ) f ( x , y )dy D
1
b
2 ( x )
D是X型区域，二重积分化为先对y，
后对x的二次积分。 关键：确定各积分变量的积分限。 后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线, 先交的为下限,后交的为上限。
例1 计算 xyd ,