2.2.1综合法和分析法第一课时课件

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2.2.1综合法与分析法PPT课件

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1. 通过这些基本证明方法的学习,使学生 在以后的学习和生活中,能自觉、有意 识地运用这些方法进行数学证明,养成 言之有理、论证有据的习惯.
2. 培养学生观察、分析、归纳、总结的能 力.
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5
教学重难点
重点
结合已经学过的数学案例,了解直接证明 的两种基本方法——综合法和分析法;了解综 合法、分析法的思考过程、特点.
32
证明:
因 为 ( s i n 2 θ + c o s 2 θ )2 - 2 s i n θ c o s θ = 1 , 所 以 将 (1)(2)代 入 , 可 得
4 sin 2α - 2 sin 2β = 1 . 另一方面要证
1 - ta n 2α = 1 - ta n 2β , 1 + ta n 2α 2 (1 + ta n 2β ) 即证
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只需证 21<25.
因为21<25成立,所以 成立.
3+ 7<2 5,
反思
在本例中,如果我们从“21<25”出 发,逐步倒推回去,就可以用综合法证出 结论.但由于我们很难想到从“21<25”入 手,所以用综合法比较困难.
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请对综合法与分析法进行比较,说出 它们各自的特点.回顾以往的数学学习,说 说你对这两种证明方法的新认识.
B1
E1
C
E
A F
B
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39
D1
C1
A1





A
B
C
D
-
A
1B
1C
1
D

1

课件6:2.2.1 综合法与分析法

课件6:2.2.1 综合法与分析法
2.2.1 综合法与分析法
情景导入 夏天,在日本东京的新宿区 的一幢公寓内,发生了一宗凶杀 案,时间是下午 4 时左右.警方 经过三天的深入调查后,终于拘 捕到一个与案件有关的疑犯,但是他向警方做不在现 场证明时,说:“警察先生,事发当天,我一个人在箱 根游玩.
直至下午 4 时左右,我到芦之湖划船.当时适值雨后天 晴,我看到富士山旁西面的天空上,横挂着一条美丽的 彩虹,所以凶手是别人,不是我!”你知道疑犯的话露 出了什么破绽吗?警方是怎样证明他在说谎的呢?
由余弦定理,有 b2=c2+a2-2cacos60°, 得 c2+a2=ac+b2, 两边加 ab+bc 得 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 两边除以(a+b)(b+c)得a+c b+b+a c=1, ∴a+c b+1+b+a c+1=3,
即a+1 b+b+1 c=a+3b+c. ∴(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.
知识链接 1.合情推理所得到的结论是否一定正确? 2.演绎推理中经常使用的是哪种形式的推理? 【答案】1.合情推理所得到的结论不一定正确. 2.演绎推理经常使用的是由大前提、小前提和结论组 成的三段论推理.
教材预习 一、直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的 定义、公理、定理,直接推证结论的真实性.常用的直 接证明方法有综合法与分析法.
方法总结 (1)综合法和分析法各有优缺点.从寻求解题思路来看, 综合法由因导果,往往枝节横生,不容易奏效;分析法 执果索因,常常根底渐近,有希望成功.就表达证明过 程而论,综合法形式简洁,条理清晰;分析法叙述繁锁, 文辞冗长.也就是说分析法利于思考,综合法宜于表述.
a+
b成立,
只需证
a+ b
ba2≥(

课件8:2.2.1 综合法和分析法

课件8:2.2.1 综合法和分析法

要证 a2+b2≥ 22(a+b),
只需证(
a2+b2)2≥
22(a+b)2,
即证 a2+b2≥12(a2+b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab.
因为 a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立,
所以 a2+b2≥ 22(a+b)成立.
归纳升华 用分析法证明不等式时应注意: (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已 知的重要不等式和逻辑推理的基本理论; (2)分析法证明不等式的思路是从要证不等式出发,逐 步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式;
2.欲证 2- 3< 6- 7,只需证明( ) A.( 2- 3)2<( 6- 7)2 B.( 2- 6)2<( 3- 7)2 C.( 2+ 7)2<( 6+ 3)2 D.( 2- 3- 6)2<(- 7)2
【答案】C
3.在△ABC中,tan A·tan B>1,则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 【解析】因为tan A·tan B>1,所以A,B只能都是锐角, 所以tan A>0,tan B>0,1-tan A·tan B<0.
由已知 0<x<1,只需证明a+2 b·b+2 c·a+2 c>abc.
由基本不等式得a+2 b≥ ab>0,b+2 c≥ bc>0,
a+c 2≥
ac>0.又因为 a,b,c 是不全相等的正数,
所以a+2 b·b+2 c·a+2 c> a2b2c2=abc. 即a+2 b·b+2 c·a+2 c>abc 成立. 所以 logx a+2 b+logx b+2 c+logx a+2 c<logx a+logx b +logx c 成立.

2.2.1综合法和分析法PPT课件

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()
❖ A.既不充分也不必要条件
❖ B.充要条件
❖ C.充分条件
❖ D.必要条件
❖ [答案] D
❖ [解析] ∵②⇒①,但①不一定推出②.故•18 应选D.
2.若 a,b,c∈R,且 ab+bc+ac=1,则下列不等
式成立的是
()
A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3 C.1a+1b+1c≥2 3 D.abc(a+b+c)≤13 ❖ [答案] B
步反推,寻找使当前命题成立的充分条件,
即用分析法证明.
[证明] ∵a>0,b>0,要证
a+ b
b≥ a
a+
b成立,
只需证
a+ b
ba2≥(
a+
b)2 成立,
即证ab2+ba2+2 ab≥a+b+2 ab成立.
•5
即证a3a+bb3≥a+b.
也就是证(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b)成立.
要证a+1 b+b+1 c=a+3b+c,
即证a+a+b+b c+a+b+b+c c=3,
也就是a+c b+b+a c=1,
❖ 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
❖ 需证c2+a2=ac+b2,
❖ 又△ABC三内角A、B、C成等差数列,故B
=60°,
•11
❖ 由余弦定理,有 ❖ b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac, ❖ 故c2+a2=ac+b2得证. ❖ 综合法: ❖ 证明:∵△ABC三内角A、B、C成等差数列, ❖ ∴B=60°. ❖ 由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos60°, ❖ 得c2+a2=ac+b2, ❖ 等式两边同时加上ab+bc得 ❖ c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),

课件6:2.2.1 综合法与分析法

课件6:2.2.1 综合法与分析法

问题探究 探究点一 综合法 问题 1 证明下面的问题,总结证明方法有什么特点? 已知 a,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 证明 因为 b2+c2≥2bc,a>0,所以 a(b2+c2)≥2abc. 又因为 c2+a2≥2ac,b>0,所以 b(c2+a2)≥2abc. 因此 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 特点:从已知条件出发,经过逐步的推理达到待证结论.
(C)
【解析】 根据不等式性质,a>b>0 时,才有 a2>b2, ∴只需证: 2+ 7< 6+ 3, 只需证:( 2+ 7)2<( 3+ 6)2.
3.求证:log1519+log2319+log3219<2. 解 因为log1ba=logab,
所以左边=log195+2log193+3log192=log195+log1932 +log1923=log19(5×32×23)=log19360.
即证 3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α], 即证 3[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α] =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α, 化简得 sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α.
这就是①式. 所以,命题成立.
课堂检测
1.下列表述:
因为 log19360<log19361=2, 所以log1519+log2319+log3219<2.
4.已知12- +ttaann αα=1,求证:cos α-sin α=3(cos α+sin α).
证明 要证 cos α-sin α=3(cos α+sin α),
只需证cos cos

课件4:2.2.1综合法与分析法

课件4:2.2.1综合法与分析法

2 + 2 − 2
cos =
2
2 − 2

2
2
=1−
22

=1−
( + )

=1−
+
因为, , 为△ABC三边
所以 + >

1−
>0
+
所以 >
因此
∠ < 90°
+
≥ ( > , > )的证明.
2
分析基本不等式:
证明:
因为 + ≥ , >
所以( + ) ≥ .
又因为
+



, >
所以( + ) ≥ .
因此( + ) + ( + ) ≥ .
练: 已知、、为不全相等的正数,
+− +− +−
+

2
证明:要证
只需证
+ ≥ 2
+ − 2 ≥ 0
只需证
只需证
因为
所以


+
2
2

2
≥0
≥ 0 成立
成立
分析基本不等式:
+

≥ ( > , > )的证明.
证明:要证: +

2
只需证:
+ ≥ 2
{}是首项为3,公差为1的等差数列.
(1)求与的解析式;

(2)试比较与 ( ∈ ),的大小.

课件9:2.2.1 综合法和分析法

课件9:2.2.1 综合法和分析法

(3)思路方法:分析法证明不等式的思路是从要证的不 等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到 的充分条件是已知(或已证)的不等式; (4)应用技巧:用分析法证明数学命题时,一定要恰当 地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语.
命题方向3:综合法和分析法的综合应用
例 3:已知 a、b、c 是不全相等的正数,且 0<x<1. 求证:logxa+2 b+logxb+2 c+logxa+2 c<logxa+logxb+logxc.
又∵a、b、c 是不全相等的正数,
∴a+2 b·b+2 c·a+2 c> a2b2c2=abc.
即a+2 b·b+2 c·a+2 c>abc 成立.

logx
a+b 2

logx
b+2 c+
logx
a+c 2

logxa
+logxb

logxc

立.
方法规律总结:综合法推理清晰,易于书写,分析 法从结论入手,易于寻找解题思路.在实际解决问 题中,分析法与综合法往往结合起来使用,先分析 由条件能产生什么结论,再分析要得出需要的结论 需要什么条件,逐步探求两者之间的联系,寻找解 答突破口,确定解题步骤 用_____P___表示已知条件、已有的定义、定理、公理等, ___Q_____表示所要证明的结论,则综合法的推理形式为
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q 其逻辑依据是三段论式演绎推理.
知识点2:分析法证明不等式 新知导学
4.分析法定义 从要证明的___结__论___出发,逐步寻求使它成立的__充__分____ 条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成 立的条件(已知条件、定理、定义、公理等),这种证明方 法叫做分析法

课件10:2.2.1 综合法与分析法

课件10:2.2.1 综合法与分析法

只需证
a2+a12≥ 22a+1a,
只需证 a2+a12≥12a2+a12+2,
即证 a2+a12≥2,即a-1a2≥0,显然成立,所以原不等式成立.
题型三 综合法与分析法的综合应用 例 3 △ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,其角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,求证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1. [证明] 法一:(分析法)要证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1 成立, 即证a+1 b+b+1 c=a+3b+c成立, 即a+a+b+b c+a+b+b+c c=3, 化简,得a+c b+b+a c=1,
课堂小结
1.分析法解题方向较为明确,有利于寻找解题思路;综合法 条理清晰,宜于表述,因此,在实际解题时,通常以分析法为 主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述过程. 2.综合法和分析法是证明数学问题的基本方法.在解决问题 时既能单独运用也可以交替运用.
当堂检测
1.直接证明中最基本的两种证明方法是( )
方法归纳
分析法证明数学问题的方法
跟踪训练 若 a>0,证明 a2+a12- 2≥a+1a-2. 证明:要证 a2+a12- 2≥a+1a-2,
只需证 a2+a12+2≥a+1a+ 2.
只需证
a2+a12+22≥a+1a+
22,
即证 a2+a12+4+4 a2+a12≥a2+a12+2+2+2 2a+1a,
方法归纳
综合法证明问题的步骤
跟踪训练 已知 a、b、c 是不全相等的正数,求证:
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
证明:因为 a、b、c 是正数,所以 b2+c2≥2bc,

2.2.1综合法和分析法

2.2.1综合法和分析法


求n :3 - 5 < 5 - 7
分析:
要证 3 5 5 7 (1)

只需证
3
2
5
2
5 7 (2)
综合法和分析法是直接证明中最基本的两 种方法,也是解决数学问题时常用的思维方式, 常把它们结合起来使用.即当遇到较难的新命题 时,应当先用分析法来探求解法,然后将找到 的解法用综合法叙述出来.
2.分析法 (1)证明的特点: 分析法又叫逆推证法或 执果索因 法,是从要证明的不等 式出发,逐步寻找使它成立的 充分 条件.直到最后把要证 明的不等式转化为判定一个已知或明显成立的不等式为止. (2)证明过程的框图表示: 用 Q 表示要证明的不等式,则分析法可用框图表示为 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P1⇐P3 →……→ 得到一个明显成立的条件
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1综合法与分析法
直接证明是从命题的条件或结论出发,根据 已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真 实性.
常用的直接证明的方法有综合法与分析法.
问题1
观察基本不等式:a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.这两种证明方法的
出发点有何不同?
证明1:
证明2:要证a
+ 2
推理,最后达到待证的结论.
综合法
证法2是从待证的结论出发,一步一步 寻求结论成立的充分条件,最后达到题设 的已知条件或已被证明的事实. 分析法
1.综合法 (1)证明的特点: 综合法又叫顺推证法或 由因导果法,是由 已知条件 和 某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的 推理论证 , 最后推出所要证明的结论成立. (2)证明的框图表示: 用 P 表示已知条件或已有的不等式,用 Q 表示所要证 明的结论,则综合法可用框图表示为
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≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc.
又因为c2+b2
≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
所以a(b2+c2)+b(c2、定理 等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定 理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
选修2—1
复习
推 理
合情推理
(或然性推理)
演绎推理 (必然性推理) 三段论 (一般到特殊)
归纳
(特殊到一般)
类比 (特殊到特殊)
演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合 情推理.
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明:因为b2+c2
(3 m) Sn 2man m 3(n N * ) ,其中m 为常
数且m 3 an 是等比数列; (1)求证:
b1 a1 , (2)若数列an 的公比,数列bn 满足,
3 bn f (bn 1 ), n 2, 求证: bn 是等差数列. 2
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3

Qn Q
例2:.已知a、b、c为不全相等的正数, b+c-a c+a-b a+b-c 求证: + + > 3. a b c
例3:在△ABC中,三个内角A、B、C对 应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等 差数列,a、b、c成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.
例4:在三角形ABC中,设 CB a, CA b
求证: SABC
1 2
a b a b
2 2
2
练习1
2
在 ABC 中,三边 a , b, c 成等比数列,求证:
C 3 2 A a cos c cos b 2 2 2
练习2 设数列 an 的前n项和为Sn ,且
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