22.1直接开平方法学案
人教版数学九年级上册22.2.1《直接开平方法》教学设计
人教版数学九年级上册22.2.1《直接开平方法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.1《直接开平方法》是初中数学的重要内容，主要介绍了实数的开平方运算。
这一节内容是在学生学习了实数、有理数、无理数等基础知识后进行的，是学习更高级数学知识的基础。
教材通过简单的实例引入直接开平方法，让学生了解并掌握开平方运算的法则，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数的概念和性质有一定的了解。
但是，学生在学习过程中可能对于抽象的开平方运算存在一定的困难，需要通过具体的实例和练习来加深理解。
三. 教学目标1.让学生了解直接开平方法的概念和意义。
2.让学生掌握直接开平方法的运算规则。
3.培养学生运用直接开平方法解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：直接开平方法的概念和运算规则。
2.难点：对于复杂数的开平方运算的理解和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题引导学生思考和探索。
2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来形象地展示开平方运算的过程。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和交流中共同解决问题。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关教学PPT。
3.练习题和学习资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出直接开平方法的概念，例如：“一块土地的面积是4平方米，它的长和宽各是多少？”让学生思考并尝试解答。
2.呈现（15分钟）讲解直接开平方法的概念和运算规则，通过PPT展示相关的动画和图形，让学生直观地理解开平方运算的过程。
3.操练（15分钟）让学生进行一些简单的练习题，巩固直接开平方法的应用。
教师可以设置一些问题，引导学生运用直接开平方法解决问题。
4.巩固（10分钟）让学生进行一些复杂的练习题，加深对直接开平方法的理解。
教师可以给予学生一定的提示和指导，帮助他们解决问题。
5.拓展（10分钟）引导学生思考和探索直接开平方法在实际问题中的应用，例如：“一个立方体的体积是64立方米，求它的棱长。
苏科版数学九年级上册《直接开平方法》教学设计
苏科版数学九年级上册《直接开平方法》教学设计一. 教材分析《直接开平方法》是苏科版数学九年级上册的一部分，主要介绍了直接开平方法的概念、性质和应用。
本节内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等知识的基础上进行教授的，旨在帮助学生理解并掌握直接开平方法，进一步培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、有理数、无理数等概念有一定的了解。
但是，学生对于直接开平方法的理解和应用还比较薄弱，需要通过本节课的学习来进一步巩固和提高。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解直接开平方法的概念和性质，能够运用直接开平方法解决相关问题。
2.过程与方法：通过实例分析和练习，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
四. 教学重难点1.重点：直接开平方法的概念和性质。
2.难点：运用直接开平方法解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解直接开平方法的概念和性质，使学生掌握相关知识。
2.案例分析法：通过实例分析，引导学生运用直接开平方法解决问题。
3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固学生的知识。
六. 教学准备1.课件：制作相关的课件，用于辅助教学。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾实数、有理数、无理数等知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解直接开平方法的概念和性质，结合实例进行讲解，让学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）让学生进行一些相关的练习题，巩固直接开平方法的知识。
4.巩固（10分钟）对学生的练习进行点评和讲解，解答学生的疑问，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生运用直接开平方法解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，让学生掌握直接开平方法的关键点。
直接开平方法--教学设计
22.2．1一元二次方程的解法——直接开平方法教学设计《直接开平方法解一元二次方程》教学设计一、内容和内容解析：1、内容：本节课选自华东师大版教材，九年级上册第22章第2节第1课时，直接开平方法解一元二次方程。
2、内容解析：本节课作为一元二次方程解法的起始课，以平方根的定义、性质及开平方运算为基础，以一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程的求解方法做铺垫进行的研究，这一方法的引入，也为后面学习解一元二次方程的方法以及研究二次函数与x轴交点等问题起到了铺垫作用。
因此本节课的学习不仅能够让学生掌握这一求解方法，还可以进一步体会类比、换元、转化这些重要的数学思想方法在解方程过程中的体现。
基于以上内容分析，确定本节课的教学重点：会用开平方法解形如2(0)=≥的一元二次方程。
x a a二、目标和目标解析1.目标：（1）经历课前自学、问题情境探究归纳的过程，理解直接开平方法解一元二次方程的思路；（2）通过自主研究、合作交流，深化对新知的理解；（3）通过解方程的过程，感悟类比、转化等重要的数学思想方法。
2.目标解析：（1）学生通过“问题提纲”进行课前自学，课上小组梳理问题答案的过程发现新知，在已有平方根的定义、性质及开平方运算等知识的基础上，感悟开平方法所适应方程的形式，进行小组讨论深化新知，体验成功的喜悦。
（2）教师通过层层递进的相关问题，启发引导，让学生通过小组合作探究、进行成果展示、开展组间活动等形式的讨论，理解形式较为复杂的一元二次方程如何用直接开平方法求解。
（3）教师提出合适问题引发学生通过小组讨论，进行深入思考。
进而得出解一元二次方程的核心思想为降次，解方程及方程组的核心思想为转化（划归），即都转为为一元一次方程。
三、教学支持及条件分析：1、教学方式：采用自主探究，合作交流的学习方式，与问题式教学相结合的教学方式；2、教学支持：教师提供“问题提纲”，将6-8人分为一组，借助幻灯片、展台等电子设备辅助教学；3、教学思路：本节课以“问题提纲”为主线，由浅入深，从易到难，通过归纳、类比，进一步理解数学，把握数学。
九年级数学(学案)直接开平方法
2020-2021学年22.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s•的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，•P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？BCAQ P 老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ·2x=8 x 2=8根据平方根的意义，得x=±即x 1，x 2可以验证，12x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．二、探索新知上面我们已经讲了x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±，如果x 换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±即，方程的两根为t 1-12，t 212例1：解方程：x 2+4x+4=1 分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x 1=-1，x 2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2 解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10（1+x ）2=14.4（1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去．。
(完整版)直接开平方法教案
3、x+16=0;4、x=0。
（1、Xi=12,X2=—12;2、xi=3,X2=—3；3、无解负数没有平
方根；4、x=00有一个平方根，它是0本身）。
例2解方程：（x+3）2=2。
说明与分析：此例要求解出方程的根，同时通过此例的学习也为进一步 解公式法作准备。实际上，我们将用此例以及类似的题目推导出一元二 次方程的另一解法一一配方法。
［复习提问］
1、什么样的方程叫做一元一次方程？什么样的方程叫做一元二次方
程？（在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最咼次数是1,
这样的方程叫做一元一次方程；在整式方程中，只含一个未知数，并且
未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程。）
2、说明
兀一次方程与一兀二次方程的相同点和不同点？（都是整式
集体备课课时计划
第 周 星期第节年 月曰执教者:
课题
§12.2
一元二次方程的解法（1） 直接开平方法
教学
使学生掌握直接开平方法，并会解某些一元二次方程；使学生会解（x-
-a)
目标
2=b（b>0）型的方程，为进一步学习公式法作好准备。
教材
重点
掌握直接开平方法，并会解某些一兀二次方程。
分析
难点
会解（x—a）2=b（b>0）型的方程。
方程，并且都含有一个未知数，这是它们的相同点；它们的不同点是未
知数的次数，一个是一次，一个是二次。）
意
3、一兀二
【次方程的一般形式是什么？其中a应具备什么条件？（一元
见
二次方程的一般形式是：ax+bx+c=0,其中a应不等于零。因为a=0,
或
教
【说课稿】直接开平方法——教案、学案、说课稿资料文档
1.1 教学目标(1) 知识与技能：理解直接开方法的概念，掌握其解题步骤，能够运用直接开方法解决实际问题。
(2) 过程与方法：通过小组合作、讨论交流，培养学生的合作意识与团队精神，提高学生解决问题的能力。
(3) 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生探索数学问题的热情，培养学生的自信心。
1.2 教学内容本节课主要讲解直接开方法的概念、解题步骤及应用。
1.3 教学重点与难点(1) 重点：直接开方法的概念和解题步骤。
(2) 难点：如何运用直接开方法解决实际问题。
1.4 教学策略采用问题驱动的教学方法，通过引入实例，引导学生探索、讨论，从而掌握直接开方法。
1.5 教学过程(1) 导入：引入实例，让学生尝试解决，感受直接开方法的魅力。
(2) 新课讲解：讲解直接开方法的概念、解题步骤。
(3) 案例分析：分析具体案例，让学生理解直接开方法在实际问题中的应用。
(4) 小组讨论：让学生分组讨论，探索直接开方法的其他应用。
(5) 总结提高：总结本节课所学内容，引导学生思考如何运用直接开方法解决实二、学案2.1 学习目标(1) 知识与技能：理解直接开方法的概念，掌握其解题步骤，能够运用直接开方法解决实际问题。
(2) 过程与方法：通过小组合作、讨论交流，培养学生的合作意识与团队精神，提高学生解决问题的能力。
(3) 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生探索数学问题的热情，培养学生的自信心。
2.2 学习内容本节课主要学习直接开方法的概念、解题步骤及应用。
2.3 自主学习(1) 预习直接开方法的相关知识。
(2) 分析实例，理解直接开方法的应用。
2.4 合作学习(1) 分组讨论，探索直接开方法的其他应用。
(2) 分享学习心得，互相交流。
2.5 练习与巩固完成课后练习，巩固所学知识。
三、说课稿3.1 说课内容3.2 说课重点与难点(1) 重点：直接开方法的概念和解题步骤。
(2) 难点：如何运用直接开方法解决实际问题。
人教版数学九年级上册21.2.1《直接开平方法》教学设计
人教版数学九年级上册21.2.1《直接开平方法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册21.2.1《直接开平方法》是初中数学的重要内容，主要介绍了实数的开平方运算。
这一节内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上进行讲解的，旨在让学生掌握开平方运算的方法，进一步理解无理数的概念。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和运算能力，对于实数、有理数、无理数等概念已经有了初步的认识。
但是，学生对于无理数的理解仍然存在一定的困难，尤其是对于无理数的运算，因此，在教学过程中，需要引导学生理解无理数的概念，并通过实例让学生感受无理数的存在。
三. 教学目标1.让学生掌握直接开平方法，能够正确进行开平方运算。
2.引导学生理解无理数的概念，能够正确识别无理数。
3.培养学生的运算能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：直接开平方法，无理数的概念。
2.难点：无理数的识别和运算。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决问题来掌握开平方运算的方法。
2.采用实例教学法，通过具体的例子让学生理解无理数的概念。
3.采用小组合作学习法，让学生在小组内进行讨论和交流，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括开平方运算的步骤和实例。
2.准备一些有关无理数的实际问题，用于课堂讨论。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如测量物体长度、计算物体面积等，引导学生思考这些问题与开平方运算的关系。
2.呈现（15分钟）介绍直接开平方法的具体步骤，并通过PPT展示相关的实例，让学生理解开平方运算的方法。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些开平方运算的练习题，教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结开平方运算的规律和方法，并分享各自的经验和心得。
5.拓展（10分钟）介绍无理数的概念，并通过实例让学生识别无理数。
人教版九年级数学上册教案：21.2.1 直接开平方法
21.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．BCAQ P 老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x ，BQ=2xx 2=8根据平方根的意义，得x=±即x 1，x 2所以秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．二、探索新知（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±即，方程的两根为t 1-12，t 2-12例1：解方程：x 2+4x+4=1分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x 1=-1，x 2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10（1+x ）2=14.4（1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材练习．四、应用拓展分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31把（1+x ）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56 x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6 方程的根为x 1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=六、布置作业1．教材复习巩固1、2．2．选用作业设计:一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=23x2D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-13二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．答案:一、1．B 2．D 3．B二、12．9或-3 3．-8三、1．当n≥0时，x+m=x1，x2-m．当n<0时，无解2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，依题意，得：x（40-2x）=180整理，•得：•x2-20x+90=0，x1x2同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．3．因要制矩形方框，面积尽可能大，所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．。
第1课时 直接开平方法(教案)
21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法第1课时直接开平方法【知识与技能】1.会利用开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法.3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.【过程与方法】通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.【情感态度】在成功解决实际问题过程中，体验成功的快乐，增强数学学习的信心和乐趣.【教学重点】解形如x2=p(p≥0)的方程.【教学难点】把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式.一、情境导入，初步认识问题我们知道，42=16,(-4)2=16，如果有x2=16，你知道x的值是多少吗？说说你的想法.如果3x2=18呢？【教学说明】让学生通过回顾平方根的意义初步感受利用开平方法求简单一元二次方程的思路，引入新课.教学时，教师提出问题后，让学生相互交流，在类比的基础上感受新知.解：如果x2=16，则x=±4;若3x2=18,则x=6.二、思考探究，获取新知探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？思考1 设一个盒子的棱长为xdm，则它的外表面面积为，10个这种盒子的外表面面积的和为，由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？解：6x2,10×6x2,10×6x2=1500，整理得x2=25,根据平方根的意义，得x=±5,可以验证，5和-5是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm,故x=5dm.【教学说明】学生通过自主探究，尝试用开平方法解决一元二次方程，体验成功的快乐.教师应关注学生的思考是否正确，是否注意到实际问题的解与对应的一元二次方程的解之间的关系，帮助学生获取新知.【归纳结论】一般地，对于方程x2=p,（Ⅰ）（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根x1p,x2p(2)当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0,所以方程（Ⅰ）无实数根.思考2对上面题解方程（Ⅰ）的过程，你认为应该怎样解方程（x+3）2=5?学生通过比较它们与方程x2=25异同，从而获得解一元二次方程的思路.在解方程（Ⅰ）时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：由方程（x+3）2=5,②得x+3=5,即55③于是，方程（x+3）2=5的两个根为x1525【教学说明】教学时，就让学生独立尝试给出解答过程，最后教师再给出规范解答，既帮助学生形成用直接开平方法解一元二次方程的方法，同时为以后学配方法作好铺垫，让学生体会到类比、转化、降次的数学思想方法.【归纳结论】上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.【教学说明】上述归纳结论应由师生共同探讨获得，教师要让学生知道解一元二次方程的实质是转化.三、典例精析，掌握新知例解下列方程：（教材第6页练习）(1)2x2-8=0; (2)9x2-5=3;(3)(x+6)2-9=0; (4)3(x-1)2-6=0;(5)x2-4x+4=5; (6)9x2+5=1.解：(1)原方程整理，得2x2=8,即x2=4,根据平方根的意义，得x=±2,即x1=2,x2=-2.（2）原方程可化为9x2=8,即x2=8/9.两边开平方，得x=±23,即x1=23,x2=-23.(3)原方程整理，得（x+6）2=9，根据平方根的意义,得x+6=±3,即x1=-3,x2=-9.（4）原方程可化为（x-1）2=2,两边开平方，得x-1=2，∴x12,x22（5）原方程可化为（x-2）2=5,两边开平方，得x-2=5,∴x1525（6）原方程可化为9x2=-4,x2=-4/9.由前面结论知，当p<0时，对任意实数x,都有x2≥0，所以这个方程无实根.【教学说明】本例可选派六位同学上黑板演算，其余同学自主探究，独立完成.教师巡视全场，发现问题及时予以纠正，帮助学生深化理解，最后师生共同给出评析，完善认知.特别要强调用直接开平方法开方时什么情况下是无实根的.四、运用新知，深化理解1.若8x2-16=0，则x的值是.2.若方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是.3.如果实数a、b满足3a+4+b2-12b+36=0,则ab的值为.4.解关于x的方程：(1)(x+m)2=n(n≥0);(2)2x2+4x+2=5.5.已知方程（x-2）2=m2-1的一个根是x=4,求m的值和另一个根.【教学说明】让学生独立完成，加深对本节知识的理解和掌握.五、师生互动，课堂小结教师可以向学生这样提问：(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.【教学说明】教师可引导学生提炼本节知识及方法，感受解一元二次方程的降次思想方法.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2. 完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分..1.本课时通过创设问题情景，激发学生探索新知的欲望.2.本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.3.教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解析问题的能力.。
【说课稿】直接开平方法——教案、学案、说课稿资料文档
一、教案1.1 教学目标：（1）理解直接开平方法的概念和意义；（2）掌握直接开平方法的操作步骤和应用；（3）能够运用直接开平方法解决实际问题。
1.2 教学内容：（1）直接开平方法的定义和原理；（2）直接开平方法的操作步骤；（3）直接开平方法的应用实例。
1.3 教学重点与难点：（1）直接开平方法的定义和原理；（2）直接开平方法的操作步骤；（3）直接开平方法在实际问题中的应用。
1.4 教学方法：（1）采用讲授法，讲解直接开平方法的定义、原理和操作步骤；（2）采用案例分析法，分析直接开平方法在实际问题中的应用；（3）采用练习法，让学生通过练习巩固所学知识。
二、学案2.1 学习目标：（1）理解直接开平方法的概念和意义；（2）掌握直接开平方法的操作步骤和应用；（3）能够运用直接开平方法解决实际问题。
2.2 学习内容：（1）直接开平方法的定义和原理；（2）直接开平方法的操作步骤；（3）直接开平方法的应用实例。
2.3 学习重点与难点：（1）直接开平方法的定义和原理；（2）直接开平方法的操作步骤；（3）直接开平方法在实际问题中的应用。
2.4 学习方法：（1）认真听讲，积极参与课堂讨论；（2）通过案例分析，理解直接开平方法的应用；（3）加强练习，巩固所学知识。
三、说课稿3.1 说课目标：（1）让学生理解直接开平方法的概念和意义；（2）让学生掌握直接开平方法的操作步骤和应用；（3）培养学生运用直接开平方法解决实际问题的能力。
3.2 说课内容：（1）直接开平方法的定义和原理；（2）直接开平方法的操作步骤；（3）直接开平方法的应用实例。
3.3 说课重点与难点：（1）直接开平方法的定义和原理；（2）直接开平方法的操作步骤；（3）直接开平方法在实际问题中的应用。
3.4 说课方法：（1）采用讲授法，讲解直接开平方法的定义、原理和操作步骤；（2）采用案例分析法，分析直接开平方法在实际问题中的应用；（3）采用练习法，让学生通过练习巩固所学知识。
秋九年级数学上册 21.2.1 直接开平方法教学设计 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上
直接开平方法教学目标：1、知识与技能①会用直接开平方法解形如的一元二次方程；②理解配方法的思想，掌握用配方法解形如的一元二次方程;③能利用方程解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力。
2、数学思考通过利用平方根的意义解形如的方程，进而迁移到解形如的方程．3、情感态度与价值观：培养学生积极参与﹑主动探究的精神与意识，让学生体念到通过自身努力，学会运用数学知识解决实际问题后的成功喜悦与乐趣。
教学重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
教学难点：通过平方根的意义解形如的方程，进而迁移到形如的方程。
教学关键：理解一元二次方程求解的策略是“降次──转化”的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。
教学过程内容教学方式与师生活动过程反思一．温故而知新你能想出下列方程的根呢？在引导学生复习了方程的相关知识，学生能根据平方根的意义，可以得到方程的解。
它们一边是一个完全平方式，另一边是一个非负学生通过自主学习教材内容，尝试解决求方程，给学教师归纳：一般地,对于形如： 的方程,根据平方根的定义,可解得 ， 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。
二、巩固练习：1.（1）方程4x 2－36=0 的根是。
（2）方程(3x －4)2=25的根是 。
（3）方程(x －3)2=7的根是。
三、合作探究能否把方程x 2－6x ＋2＝0变形为（）2=a 的形式（ａ为非负常数）？ 四、阶段汇总 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
呈现过程让学生感受：配方是为了降次（二数， 形如：通过两边开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
学生通过比较，分析它们与方程x 2的异同，从而获得求解一元二次方程的思路策略。
利用类比思想解方程(3x －4)2=25和(x －3)2=7。
通过实际方程的演练，让学生感受到配方法的存在。
在教师的引导下，学生总结出配方法的定义。
利用前面的例题再次认识配方法的实际效果（降次）。
【说课稿】直接开平方法——教案、学案、说课稿资料文档
【说课稿】直接开平方法——教案、学案、说课稿资料文档一、教学目标：1. 让学生掌握直接开平方法的概念和步骤。
2. 培养学生运用直接开平方法解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的精神。
二、教学内容：1. 直接开平方法的概念及步骤。
2. 直接开平方法在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：直接开平方法的概念、步骤及应用。
2. 教学难点：理解并掌握直接开平方法的步骤，能够灵活运用解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究直接开平方法。
2. 利用案例分析法，让学生直观地理解直接开平方法在实际问题中的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作意识。
五、教学过程：1. 导入新课：通过一个实际问题，引发学生对直接开平方法的好奇心，激发学生的学习兴趣。
2. 自主学习：学生通过教材、学案等资料，自主学习直接开平方法的概念和步骤。
3. 课堂讲解：教师针对学生自主学习中的疑问，讲解直接开平方法的概念、步骤及应用。
4. 案例分析：教师展示一系列实际问题，引导学生运用直接开平方法解决问题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自解决问题的过程和方法，培养合作精神。
6. 课堂练习：学生独立完成练习题，检验对直接开平方法的理解和掌握程度。
8. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识，提高学生运用直接开平方法解决问题的能力。
10. 教学评价：通过对学生的课堂表现、作业完成情况等进行评价，了解学生对直接开平方法的学习效果。
六、教学准备：1. 教材或教学资料：直接开平方法的相关内容。
2. 课件或黑板：用于展示直接开平方法的概念和步骤。
3. 实际问题案例：用于引导学生运用直接开平方法解决问题。
4. 练习题：用于巩固学生对直接开平方法的理解和掌握。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生完成作业的质量，评估学生对直接开平方法的理解程度。
(九年级数学教案)直接开平方法导学案
直接开平方法导学案九年级数学教案●一、学习目标了解形如的一元二次方程的解法——直接开平方法;能够熟练而准确的运用开平方法求一元二次方程的解.●二、知识回顾1.什么叫做平方根?平方根有哪些性质?平方根的定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根.用式子表示:若x2=a,则x叫做a的平方根.记作x= ,即x= 或x= .如:9的平方根是; 的平方根是.平方根的性质:(1)一个正数有两个平方根,这两个平方根是互为相反数的;(2)0的平方根是0;(3)负数没有平方根.2.x2=4,则x=±2.想一想:求x2=4的解的过程,就相当于求什么的过程?●三、新知讲解直接开平方法解一元二次方程一般地,运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.对结构形如的一元二次方程来说,因为,所以在方程两边直接开平方,可得,进而求得.注:(1)直接开平方法是解一元二次方程最基本的方法,它主要针对形如的一元二次方程,它的理论依据就是平方根的定义.(2)利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果取“正、负”.(3)当时,方程没有实数根.●四、典例探究1.用直接开平方法求一元二次方程的解【例1】解方程:(1)2x2﹣8=0;(2)(2x﹣3)2=25.总结:运用直接开平方法解一元二次方程,首先要将一元二次方程的左边化为含有未知数的完全平方式,右边化为非负数的形式,然后直接用开平方的方法求解.练1.(2015?____(省、市、区、县)校级模拟)解方程:(2x+3)2﹣25=0练2.(2014秋?昆明校级期中)解方程:9(x+1)2=4(x﹣2)2.2.用直接开平方法判断方程中字母参数的取值范围【例2】(2015春?____(省、市、区、县)期末)若关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根,则( )A.k<0B.k>0C.k≥0D.k≤0总结:先把方程化为“左平方,右常数”的形式,且把系数化为1,再根据一元二次方程有无解来求方程中字母参数的取值范围.练3.(2015春?利辛县校级月考)已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0,n≠0),若方程有解,则必须( )A.n=0B.m,n同号C.n是m的整数倍D.m,n异号练4.(2015?岳阳模拟)如果关于x的方程mx2=3有两个实数根,那么m的取值范围是。
直接开平方法》学案 北京课改版
直接开平方法》学案北京课改版17、2、1一元二次方程的解法-直接开平方法学科数学班级任课教师课题课型新授日期学习目标：1、认识形如x=a(a≥0)或（ax+b）=c(c≥0,a,b,c为常数)的方程。
2、会用直接开平方法届一元二次方程。
3、渗透转化的思想方法。
学习重点用直接开平方法届一元二次方程学习难点用直接开平方法届一元二次方程教具学具多媒体课件教学方法探究法发现法教学过程教师活动学生活动[复习引入]1、什么叫做平方根？平方根有什么性质？2、一元二次方程的一般形式是_____________________、3、方程2x2+4x-3=5x-3化成一般形式为 _______________、二次项系数为___, 一次项系数为___, 常数项为____、[探索新知]想一想：我们怎样求出下列方程的解？（1）(m+8)=144;(2)x(40-x)=375;(3)a-4=0、可以看到，方程a-4=0可以转化为a=4，方程的解就是4的平方根；对于方程(m+8)=144，如果把m+8看作一个整体，它就是144的平方根。
所以只需直接开平方，就能求出这两个方程的解。
（1）解方程a-4=0。
解：方程转化为：a=4，直接开平方，得a=2 所以，这个方程的解是：a=2或a=-2（2）解方程(m+8)=144解：直接开平方得：m+8=12 由m+8=12得 m=4 由m+8=-12得 m=-20、所以，这个方程的解为：m=4 或 m=-20、结论：凡是形如x=m(m≥0)的方程都可以用开平方法求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
思考，并回答结果。
说出这些方程中，那些方程能根据已经学过的知识可以求出解来？说说你的解法。
理解解题格式和过程根据两个解题过程，归纳解题规律。
教学过程教师活动学生活动直接开平方法的依据：平方根的定义。
直接开平方法的适用范围：形如(x+a)=b(b≥0)的方程。
例1：解方程9x-16=0例2：解方程：（x+3）=2例3：解方程：（2-x）=81例4：解方程：（x+3）/2=4例5：解方程：（x-2）=（2x+3）[课堂练习课本111页1、2题[课堂小结]1、要清楚运用直接开平方法解一元二次方程的依据是-----------------------平方根的定义和性质2、注意直接开平方法的适用范围是------形如(x+a)=b(b≥0)的方程或可化为(x+a)=b(b≥0)的方程规范的书写每一个题目的解题过程布置作业新课改87页板书设计：17、2 一元二次方程的解法---直接开平方法（1）解方程a-4=0。
21.2.1直接开平方法-初中数学人教版九年级上册第21章教案
上课时间
年月日
21.2.1 直接开平方法 教 知识与技能：1.理解一元二次方程“降次”的转化思想．
2.根据平方根的意义解形如 x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p 学 （p≥0）型的一元二次方程． 目 3.把一般形式的一元二次方程（二次项系数是 1，一次项系数是偶数）与左边是含有 标 未知数的完全平方式右边是非负常数的一元二次方程对比，引入配方法，并掌握
老师的指导下,每个小组做题,讨论，得出结果.
计算：用直接开平方法解下列方程：
（1）x2=8
（2）(2x-1)2=5
（3）4m2-9=0 （4）3(x-1)2-9=108
解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一
元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．
归纳：如果方程能化成
2 用配方法解二次项是 1，一次项系数是偶数的一元二次方程
教学难点：掌握把一般形式的一元二次方程配成完全平方式的方法.
教学方法：观察法,问答法,引导法,合作学习法,分组讨论法.
教学准备：多媒体课件.
课时安排：1 课时
教学 一、 复习引入 【教师活动】 教师展示多媒体课件,引导学生.
过程
导语：已经学习了一元二次方程的概念，本节课开始学习其解法,首
21.2.1 直接开平方法
问题 1：
板书设计
计题：
归纳： 1.根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p ≥0）的一元二次方程.
2.用配方法解二次项系数是 1，一次项系 数是偶数的一元二次方程，特别地，移项后方程两边同加一次项系数的一 半的平方.
3.在用方程解决实际问题时，方程的根一 定全实际是问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根.
直接开平方法
离石一中2016—2017学年度第一学期九年级数学导学案
20.2.1 直接开平方法
主备课人 解宝珠
【学习目标】
1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。
2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程02=+c ax ，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解0)(2=++c f ex a 型的一元二次方程。
．
【学习重点】运用开平方法解形如n m x =+2)(（n ≥0）的方程；领会降次──转化的数
学思想。
【学习难点】通过根据平方根的意义解形如n x =2，知识迁移到根据平方根的意义解形
如n m x =+2)(（n ≥0）的方程；
【学习过程】
一、 自主学习
自学P30问题1、及思考完成下列各题：
解下列方程：
（1）x 2－2＝0; （2）16x 2－25＝0.
（3）（x ＋1）2－4＝0； （4）12（2－x ）2－9＝0.
总结归纳：
如果方程能化成2x =p 或（mx+n ）2=p(p ≥ 0)形式，那么可得
二、巩固练习
解下列方程：
（1）x 2＝169； （2）45－x 2＝0；
（3）x 2-12=0 （4）x 2-21
4=0
（5）2x 2-3=0 （6）3x 2-16
3=0
（7）22)23()5(+=-x x （8）（t －2）（t +1）=0；
（9）x 2+2x+1=0 （10）x 2+4x+4=0
（11）x 2-6x+9=0 （12）x 2+x+1
4=0
三、 课堂小结：学会解方程2x =p 或（mx+n ）2=p ；。
最新人教版九年级数学上册《直接开平方法》精品教案
21．2.1 配方法第1课时直接开平方法1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程：(1)4x2＝9；(2)(x＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x2＝a(a≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x＋3)2＝2，则x＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x2＝9，得x2＝94，两边直接开平方，得x＝±32，∴原方程的解是x1＝32，x2＝－32.(2)移项，得(x＋3)2＝2.两边直接开平方，得x＋3＝± 2.∴x＋3＝2或x＋3＝－ 2.∴原方程的解是x1＝2－3，x2＝－2－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x1＝a，x2＝－ a.【类型二】直接开平方法的应用(2014·山东济宁中考)若一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则ba＝________.解析：∵ax2＝b，∴x＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴ba＝2，∴ba＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________．解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为xcm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．三、板书设计教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.教师寄语同学们，生活让人快乐，学习让人更快乐。
2022年人教版《直接开平方法(导学案)》精品学案
第1课时直接开平方法一、导学1.导入课题：情景：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长.问题1：本题的等量关系是什么？问题2：设正方体的棱长为x dm，请列出方程并化简.问题3：根据平方根的意义解方程x2=25.由此导入并板书课题直接开平方法.2.学习目标：(1)能根据平方根的意义解形如x2=p及a x2+c=0的一元二次方程.(2)能运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.(3)体会“降次”的数学思想.3.学习重、难点：重点：运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.难点：降次的数学思想.4.自学指导：(1)自学内容：教材第5页到第6页“练习”之前的内容.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①根据平方根的意义，解方程：x2=36；2x2-4=0；3x2-4=8.x=±6，x2=2，x2=4，x1=6，x2= -6. x=±2，x2=±2，x1=，x2= -. x1=2，x2= -2.②当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根x1= -x2=.当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0.当p<0时，方程x2=p无实数根.③探究方程(x+3)2=5的根：因为(x+3)2=5，所以x+3是5的平方根,所以x+3等于5或-5.即x+3=,或x+3= -.解x+3=,得x1=-3；解x+3=-,得x2= --3.于是，方程(x+3)2=5的根为x1=-3, x2= --3.解方程(x+3)2=5的过程实质上是把一个一元二次方程降次,转化为两个一元一次方程,再解两个一元一次方程即得原方程的解.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：看学生能否顺利解决所给问题，注意书写格式方面存在的问题.(2)差异指导：注意帮助学困生复习平方根等知识，紧扣平方根讨论p的符号与方程的解的个数的关系.2.生助生：同桌之间互相批改，相互讨论改正错误.四、强化1.教师示范：解方程x2+4x+4=1.分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.解：由已知，得：(x+2)2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1或x+2=-1所以，方程的两根为x1= -1，x2= -3.2.练习：解下列方程：x2=p或(m x+n)2=p(p≥0)的形式，那么可由“降次”得到x=±或m x+n=±p≥0)求解.4.以师生对话的形式讨论(m x+n)2=p的解的个数问题.五、评价(围绕三维目标)：你会解哪些形式的一元二次方程？怎样解？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、方法、积极性及存在的不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.(教学反思)：(1)本课时通过创设问题情景，激发学生探究新知的欲望.(2)本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.(3)教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解决问题的能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是(D)A. x-6= -4B. x-6=4C. x+6=4D. x+6= -42.(10分)方程3x2+9=0的根为(D)A. 3B. －3C. ±3D. 无实数根3.(10分)若8x2-16=0，则x的值是±2.4.(10分)已知方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是x1=9,x2= -3.5.(40分)解下列方程:(1) 4x2=81；(2) (x＋6)2－9=0；解：由已知，得：x2=，解：由已知，得：(x+6)2=9，直接开平方，得x=±，直接开平方，得x+6=±3，所以方程的两根为x1=，x2= -. 所以方程的两根为x1= -3, x2= -9.(3) x2+2x+1=4；(4) 9x2+6x+1=4.解：由已知，得：(x+1)2=4，解：由已知，得：(3x+1)2=4，直接开平方，得x+1=±2，直接开平方，得3x+1=±2，所以方程的两根为x1=1, x2= -3. 所以方程的两根为x1= -1, x2=.二、综合应用(10分)6.(10分)如果x=3是一元二次方程a x2=c的一个根，则方程的另一根是(B)A. 3B. -3C. 0D. 1三、拓展延伸(10分)7.(10分)解关于x的方程(x+m)2=n.解：①x+m=±，方程的两根为x1=-m,x2= --m.②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得x+m=0,方程的两根为x1=x2= -m.③当n<0时，因为对任意实数x，都有(x+m)2≥0，所以方程无实数根.角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法、角平分线的性质1．（二）能力训练要求1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神． 教学重点利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．教学难点角的平分线的性质1 教学方法引导发现、讲练结合法． 教具准备多媒体课件 教学过程一．提出问题，创设情境问题：图中哪条线段的长可以表示点P 到直线l 的距离 ？ 导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？二．合作交流 探究新知 探究1想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC 的方法． 学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．[生3]我们看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△ADC （SSS ）． 所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．试一试：老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性） 讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．点拨：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．探究2：做一做1[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对． [师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．做一做2角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．[生甲]噢，对，我知道了．[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：（出示）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．学生通过讨论作出下列概括：∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、用一用:1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．巩固所学及时点拨四．丰收乐园学生充分交流、各抒己见教后反思：本节知识的应用主要存在以下问题：1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证一3、采用角平分线性质解题强调三个条件。