(人教版)2019高考总复习文数课件：导数的应用
2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件文
(3)五种幂函数的性质
函数
特征
y＝x
y＝x2
性质
定义域
R
R
y＝x3 R
值域
R
[0，＋∞) R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
y＝x
1 2
y＝x－1
(－∞，
[0，＋∞) 0)∪(0，＋
∞)
(－∞，
[0，＋∞) 0)∪(0，＋
∞)
非奇非偶 函数
奇函数
单调性
x∈ [0，＋
x∈ (－
增
∞) 时，增 x∈ (－ ∞，0]
[自主练透型]
1．(2018·太原模拟)当
0<x<1
时，f(x)＝x2，g(x)＝x
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
，h(x)＝x－2，
则 f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是__h_(_x_)>__g_(x_)_>_f_(x_)___．
解析：分别作出 f(x)，g(x)，h(x)的图象，如图所示． 可知当 0＜x＜1 时，h(x)＞g(x)＞f(x)．
答案：A
4
3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知
a＝2
3
，b＝4
2 5
，c＝25
1 3
，则(
)
A．b<a<c B．a<b<c
C．b<c<a D．c<a<b
4
解析：因为
a＝2
3
＝16
1 3
，b＝4
2 5
＝16
1 5
，c＝25
1 3
，且幂函数
y＝x
1 3
在 R 上单调递增，指数函数 y＝16x 在 R 上单调递增，所以 b<a<c.
2019届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件文新人教A版【优质ppt版本】
考点1
考点2
-15-
考点 1
导数的运算
例 1 分别求下列函数的导数:
f(x)=logax(a>0,且 a≠1)
导函数
f '(x)=0 f'(x)= αxα-1 f'(x)= cos x f'(x)= -sin x f'(x)=axln a(a>0,且a≠1) f'(x)= ex
f'(x)= ������l1n������(a>0,且 a≠1)
f(x)=ln x
1
f'(x)= ������
例3设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若
曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )
A.ln 2
B.-ln 2
C.ln22
D.-ln22
思考已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?
关闭
函数 f(x)=ex+a·e-x 的导函数是 f'(x)=ex-a·e-x.又 f'(x)是奇函数,所以
-5-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数
(1)定义:称函数
y=f(x)在
x=x0
处的瞬时变化率 lim
Δ ������ →0
������ ������
《导数的应用》ppt课件
设 x 1 cos , y 1 sin ,由x,y为正实数得: 0 .
xy
1
(1
2
cos
)si n
.
2
设 f ( ) 1 (1 cos )sin .
2
f
(
)
1
[
s i n2
(1
cos
) co s
]
(cos
1)(cos
1 ).
2
2
令 f ( ) 0,得 cos 1,cos 1 ;又0 , .
从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
2
1
2 3
(1
x)3
成立.
令 Y
x6
3
0
1 2x
,得
4.
x
1.
当x<-1时, Y 0,则Y单调减小;当-1<x<0时, Y 0,则
Y单调增加;当0<x<1时,Y 0,则Y单调减小;当x>1
时,Y 0 ,则Y单调增加. 故当x 1时,Y有最小值5/6,此时点 (1, 1 )为所求.
3
例4: 如图,在二次函数f(x)=
2 ( x 1)3( x 3
0).
则
f
( x)
1 x
1 x2
( x 1)
2( x 1)2
(x
1)3
2x 1 x2 ,
令f (x) 0 ,结合x>0得x=1.
而0<x<1时, f (x) 0;x>1时,f (x) 0 ,所以x=1是f(x)的 极小值点.
所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.
令
S(
x)
0
高考数学导数的应用专题复习精品PPT课件
第3讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
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第3讲 │ │ 要点热点探究
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第3讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
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第3讲 │ 江苏真题剖析
江苏真题剖析
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End 演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
第3讲 │ 要点热点探究
第3讲 │ 要点热点探究
高三数学总复习 第二篇 第十节导数的应用课件 文科 新人教
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
函数的最值与导数 (2008年浙江高考)已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)． (1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切 线方程； (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值． 【思路点拨】 (1)由f′(1)＝3可求a值．求切线方程只需求斜 率k及点(1，f(1))的坐标．(2)可先判断f(x)的单调性及极值，再与 f(0)，f(2)比较，即可求出最大值． 【自主探究】 (1)f′(x)＝3x2－2ax， ∵f′(1)＝3－2a＝3，∴a＝0.,又∵当a＝0时，f(1)＝1， f′(1)＝3， ∴曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为,3x－y－2＝0.
2.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点． (1)试确定常数a和b的值； (2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点， 并求相应极值． 【解析】
(2)x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
(0，1)
f′(x)
－
1 (1,2) 2 (2，＋∞)
第 • 二 篇
函 数 、 导 数 及 其 应 用
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3.函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实 数a的取值范围是( )
A.[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C.(－3，＋∞) D．(－∞，－3) 【解析】 ∵f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数， ∴f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立． 即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立． 又∵在(1，＋∞)上－3x2＜－3，∴a≥－3. 【答案】 B
第一讲：导数的应用(一)复习课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
3
f x在 2 a,0上单调递增 , 在 , 2 a 和0,上单调递减
3
3
题型2 由函数的单调区间求参数
-12
D
y log 1 (ax2 8x 15)在1，2上单调递增
2
ax2 8x 15 0在1，2上恒成立
又 y log 1 t在定义域上单调递减
2
x 2时有ax2 8x 15 4a 1 0
hx的大致函数图象如图所 示
hx 0的解集为x 3或0 x 3
课后作业
D
B
B
1y 3
2
2 当0 a 1时，f x在0，1上单调递减，在 1， 上单调递增 当1 a 2时，f x在a 1，1上单调递减，在 0, a 1和1， 上单调递增 当a 2时，f x在0， 上单调递增 当a 2时，f x在1, a 1上单调递减，在 0,1和a 1， 上单调递增
4 3
x02 x
x0
切点坐标为 2,4或 2, 4
3 切线方程分别为： 4x y 4 0或12x 3y 20 0
将点P2，4代入切线方程得：x03 3x02 4 0
化简得 x02 x0 2 x0 2 0
解得：x0 1或x0 2
专题二 利用导数求函数单调性
题型1 运用导数求函数的单调性
D
2当a 1时, f x x3 x2
x3 x2 xk ln x在0,上恒成立
k ln x x2 x在0,上恒成立
设gx ln x x2 xx 0
解：1 f x 3x2 2ax
令f
x
0得x1
0,
x2
2 3
a
当a 0时，f x 0恒成立
gx 1 2x 1 2x2 x 1
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§3.2 导数的应用
§3.2导数的应用考纲解读分析解读函数的单调性是函数的一条重要性质,也是高中阶段研究的重点.一是直接用导数研究函数的单调性、求函数的最值与极值,以及实际问题中的优化问题等,这是新课标的一个新要求.二是把导数与函数、方程、不等式、数列等知识相联系,综合考查函数的最值与参数的取值,常以解答题的形式出现.本节内容在高考中分值为17分左右,属难度较大题.1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2e2x-ae x-a2=(2e x+a)(e x-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上单调递增.②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.③若a<0,则由f '(x)=0得x=ln-.当x∈-∞-时, f '(x)<0;当x∈-∞时, f '(x)>0.故f(x)在-∞-上单调递减,在-∞上单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a,从而当且仅当-a2ln a≥0,即a≤1时, f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln-时, f(x)取得最小值,最小值为f-=a2--.从而当且仅当a2--≥0,即a≥-2, f(x)≥0.综上,a的取值范围是[-2,1].五年高考考点一利用导数研究函数的单调性1.(2017山东,10,5分)若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cos x答案A2.(2016课标全国Ⅰ,12,5分)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是()A.[-1,1]B.-C.-D.--答案C3.(2015课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是()A. B.-∞∪(1,+∞)C.-D.-∞-∪∞答案A4.(2014课标Ⅱ,11,5分)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)答案D5.(2017江苏,11,5分)已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.答案-6.(2017课标全国Ⅱ,21,12分)设函数f(x)=(1-x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时, f(x)≤ax+1,求a的取值范围.解析(1)f '(x)=(1-2x-x2)e x.令f '(x)=0,得x=-1-或x=-1+.当x∈(-∞,-1-)时, f '(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时, f '(x)>0;当x∈(-1+,+∞)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)上单调递减,在(-1-,-1+)上单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)e x.当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)e x,h'(x)=-xe x<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)上单调递减,而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.当0<a<1时,设函数g(x)=e x-x-1,g'(x)=e x-1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,而g(0)=0,故e x≥x+1.当0<x<1时, f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=-,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.当a≤0时,取x0=-,则x0∈(0,1), f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.综上,a的取值范围是[1,+∞).7.(2017课标全国Ⅲ,21,12分)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=+2ax+2a+1=.若a≥0,则当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a<0,则当x∈时, f '(x)>0;当x∈-∞时, f '(x)<0,故f(x)在上单调递增,在-∞上单调递减.(2)由(1)知,当a<0时, f(x)在x=-处取得最大值,最大值为f-=ln--1-.所以f(x)≤--2等价于ln--1-≤--2,即ln-++1≤0.设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)=-1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln-++1≤0,即f(x)≤--2.8.(2016课标全国Ⅲ,21,12分)设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x∈(1,+∞)时,1<-<x;(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x.解析(1)由题设知, f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=-1,令f '(x)=0,解得x=1.当0<x<1时, f '(x)>0, f(x)单调递增;当x>1时, f '(x)<0, f(x)单调递减.(4分) (2)证明:由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x≠1时,ln x<x-1.故当x∈(1,+∞)时,ln x<x-1,ln<-1,即1<-<x.(7分)(3)证明:由题设c>1,设g(x)=1+(c-1)x-c x,则g'(x)=c-1-c x ln c,令g'(x)=0,解得x0=-.当x<x0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>x0时,g'(x)<0,g(x)单调递减.(9分)由(2)知1<-<c,故0<x0<1.又g(0)=g(1)=0,故当0<x<1时,g(x)>0.所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x.(12分)教师用书专用(9—24)9.(2013浙江,8,5分)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f '(x)的图象如图所示,则该函数的图象是()答案B10.(2015四川,21,14分)已知函数f(x)=-2xln x+x2-2ax+a2,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.解析(1)由已知,得函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f '(x)=2(x-1-ln x-a),所以g'(x)=2-=-.当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.(2)证明:由f '(x)=2(x-1-ln x-a)=0,解得a=x-1-ln x.令φ(x)=-2xln x+x2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2=(1+ln x)2-2xln x,则φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0.于是,存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令a0=x0-1-ln x0=u(x0),其中u(x)=x-1-ln x(x≥1).由u'(x)=1-≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1.即a0∈(0,1).当a=a0时,有f '(x0)=0, f(x0)=φ(x0)=0.再由(1)知, f '(x)在区间(1,+∞)上单调递增,当x∈(1,x0)时, f '(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时, f '(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0;又当x∈(0,1]时, f(x)=(x-a0)2-2xln x>0.故x∈(0,+∞)时, f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.11.(2015天津,20,14分)已知函数f(x)=4x-x4,x∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的实数x,都有f(x)≤g(x);(3)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1,x2,且x1<x2,求证:x2-x1≤-+.解析(1)由f(x)=4x-x4,可得f '(x)=4-4x3.当f '(x)>0,即x<1时,函数f(x)单调递增;当f '(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减.所以, f(x)的单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=, f '(x0)=-12.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f '(x0)(x-x0),即g(x)=f '(x0)(x-x0).令函数F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f '(x0)(x-x0),则F'(x)=f '(x)-f '(x0).由于f '(x)=-4x3+4在(-∞,+∞)上单调递减,故F'(x)在(-∞,+∞)上单调递减.又因为F'(x0)=0,所以当x∈(-∞,x0)时,F'(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,F'(x)<0,所以F(x)在(-∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以对于任意的实数x,F(x)≤F(x0)=0,即对于任意的实数x,都有f(x)≤g(x).(3)证明:由(2)知g(x)=-12(x-).设方程g(x)=a的根为x2',可得x2'=-+.因为g(x)在(-∞,+∞)上单调递减,又由(2)知g(x2)≥f(x2)=a=g(x2'),因此x2≤x2'.类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=4x.对于任意的x∈(-∞,+∞),有f(x)-h(x)=-x4≤0,即f(x)≤h(x).设方程h(x)=a的根为x1',可得x1'=.因为h(x)=4x在(-∞,+∞)上单调递增,且h(x1')=a=f(x1)≤h(x1),因此x1'≤x1.由此可得x2-x1≤x2'-x1'=-+.12.(2015福建,22,14分)已知函数f(x)=ln x--.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明:当x>1时, f(x)<x-1;(3)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k(x-1).解析(1)f '(x)=-x+1=-,x∈(0,+∞).由f '(x)>0得-解得0<x<.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明:令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞).则有F'(x)=.当x∈(1,+∞)时,F'(x)<0,所以F(x)在[1,+∞)上单调递减,故当x>1时,F(x)<F(1)=0,即当x>1时, f(x)<x-1.(3)由(2)知,当k=1时,不存在x0>1满足题意.当k>1时,对于x>1,有f(x)<x-1<k(x-1),则f(x)<k(x-1),从而不存在x0>1满足题意.当k<1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞),则有G'(x)=-x+1-k=-. 由G'(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0.解得x1=--<0,x2=->1.当x∈(1,x2)时,G'(x)>0,故G(x)在[1,x2)内单调递增.从而当x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,即f(x)>k(x-1),综上,k的取值范围是(-∞,1).13.(2015重庆,19,12分)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)e x,讨论g(x)的单调性.解析(1)对f(x)求导得f '(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得极值,所以f '-=0,即3a·+2·-=-=0,解得a=.(2)由(1)得g(x)=e x,故g'(x)=e x+e x=e x=x(x+1)(x+4)e x.令g'(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x<-4时,g'(x)<0,故g(x)为减函数;当-4<x<-1时,g'(x)>0,故g(x)为增函数;当-1<x<0时,g'(x)<0,故g(x)为减函数;当x>0时,g'(x)>0,故g(x)为增函数.综上,知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.14.(2014安徽,20,13分)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.解析(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=1+a-2x-3x2.令f '(x)=0,得x1=--,x2=-,x1<x2,所以f '(x)=-3(x-x1)(x-x2).当x<x1或x>x2时, f '(x)<0;当x1<x<x2时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在[x1,x2]内单调递增.(2)因为a>0,所以x1<0,x2>0.(i)当a≥4时,x2≥1,由(1)知, f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.(ii)当0<a<4时,x2<1.由(1)知, f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减,因此f(x)在x=x2=-处取得最大值.又f(0)=1, f(1)=a,所以当0<a<1时, f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时, f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;当1<a<4时, f(x)在x=0处取得最小值.15.(2014重庆,19,12分)已知函数f(x)=+-ln x-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线y=x.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解析(1)对f(x)求导得f '(x)=--,由f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线y=x知f '(1)=--a=-2,解得a=.(2)由(1)知f(x)=+-ln x-,则f '(x)=--,令f '(x)=0,解得x=-1或x=5.因x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.当x∈(0,5)时, f '(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数;当x∈(5,+∞)时, f '(x)>0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数.由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln 5.16.(2014湖北,21,14分)π为圆周率,e=2.718 28…为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=的单调区间;(2)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).因为f(x)=,所以f '(x)=.当f '(x)>0,即0<x<e时,函数f(x)单调递增;当f '(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).(2)因为e<3<π,所以eln 3<eln π,πln e<πln 3,即ln 3e<ln πe,ln eπ<ln 3π.于是根据函数y=ln x,y=e x,y=πx在定义域上单调递增,可得3e<πe<π3,e3<eπ<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e与e3之中.由e<3<π及(1)的结论,得f(π)<f(3)<f(e),即<<.由<,得ln π3<ln 3π,所以3π>π3;由<,得ln 3e<ln e3,所以3e<e3.综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e.17.(2014湖南,21,13分)已知函数f(x)=xcos x-sin x+1(x>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)记x i为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点,证明:对一切n∈N*,有++…+<.解析(1)f '(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.令f '(x)=0,得x=kπ(k∈N*).当x∈(2kπ,(2k+1)π)(k∈N)时,sin x>0,此时f '(x)<0;当x∈((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N)时,sin x<0,此时f '(x)>0,故f(x)的单调递减区间为(2kπ,(2k+1)π)(k∈N),单调递增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N).(2)由(1)知, f(x)在区间(0,π)上单调递减,又f=0,故x1=,当n∈N*时,因为f(nπ)f((n+1)π)=[(-1)n nπ+1]·[(-1)n+1(n+1)n+1]<0,且函数f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)在区间(nπ,(n+1)π)内至少存在一个零点.又f(x)在区间(nπ,(n+1)π)上是单调的,故nπ<x n+1<(n+1)π. 因此当n=1时,=<;当n=2时,+<(4+1)<;当n≥3时,++…+<-<--=----<<.=-综上所述,对一切n∈N*,++…+<.18.(2014江西,18,12分)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.解析(1)f(x)的定义域为[0,+∞).当a=-4时,由f '(x)==0得x=或x=2,由f '(x)>0得x∈或x∈(2,+∞),故函数f(x)的单调递增区间为和(2,+∞).(2)f '(x)=,a<0,由f '(x)=0得x=-或x=-.当x∈时,f(x)单调递增;当x∈--时,f(x)单调递减;当x∈-∞时,f(x)单调递增.易知 f(x)=(2x+a)2≥0,且f-=0.①当-≤1,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=±2-2,均不符合题意.②当1<-≤4,即-8≤a<-2时, f(x)在[1,4]上的最小值为f-=0,不符合题意.③当->4,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4处取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去),当a=-10时,f(x)在(1,4)上单调递减, f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意.综上,a=-10.19.(2013课标全国Ⅰ,20,12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.解析(1)f '(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4, f '(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,f '(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)-.令f '(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时, f '(x)>0;当x∈(-2,-ln 2)时, f '(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).20.(2013大纲全国,21,12分)已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1.(1)当a=-时,讨论f(x)的单调性;(2)若x∈[2,+∞)时, f(x)≥0,求a的取值范围.解析(1)当a=-时, f(x)=x3-3x2+3x+1,f '(x)=3x 2-6 x+3.令f '(x)=0,得x 1= -1,x 2= +1.(3分)当x ∈(-∞, -1)时, f '(x)>0, f(x)在(-∞, -1)上是增函数; 当x ∈( -1, +1)时, f '(x)<0, f(x)在( -1, +1)上是减函数; 当x ∈( 时, f '(x)>0, f(x)在( +1,+∞)上是增函数.(6分) (2)由f(2)≥0得a ≥-.(8分) 当a ≥-,x ∈(2,+∞)时,f '(x)=3(x 2+2ax+1)≥3 - =3 -(x-2)>0,所以f(x)在(2,+∞)上是增函数,于是当x ∈[2,+∞)时,f(x)≥f(2)≥0. 综上,a 的取值范围是 -∞ .(12分)21.(2013山东,21,12分)已知函数f(x)=ax 2+bx-ln x(a,b ∈R). (1)设a ≥0,求f(x)的单调区间;(2)设a>0,且对任意x>0, f(x)≥f(1).试比较ln a 与-2b 的大小.解析 (1)由f(x)=ax 2+bx-ln x,x ∈(0,+∞), 得f '(x)=-. ①当a=0时, f '(x)=-. (i)若b ≤0,当x>0时, f '(x)<0恒成立, 所以函数f(x)的单调递减区间是(0,+∞).(ii)若b>0,当0<x< 时, f '(x)<0,函数f(x)单调递减, 当x>时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间是 ,单调递增区间是∞ . ②当a>0时,令f '(x)=0,得2ax 2+bx-1=0. 由Δ=b 2+8a>0得x 1=- -,x 2=-.显然,x 1<0,x 2>0.当0<x<x 2时, f '(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x>x 2时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增. 所以函数f(x)的单调递减区间是-,单调递增区间是-∞ .综上所述,当a=0,b ≤0时,函数f(x)的单调递减区间是(0,+∞);当a=0,b>0时,函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是∞ ;当a>0时,函数f(x)的单调递减区间是-,单调递增区间是-∞ .(2)由题意,函数f(x)在x=1处取得最小值, 由(1)知-是f(x)的唯一极小值点,故-=1,整理得2a+b=1,即b=1-2a.令g(x)=2-4x+ln x. 则g'(x)=. 令g'(x)=0,得x= .当0<x<时,g'(x)>0,g(x)单调递增; 当x> 时,g'(x)<0,g(x)单调递减. 因此g(x)≤g=1+ln=1-ln 4<0.故g(a)<0,即2-4a+ln a=2b+ln a<0,即ln a<-2b.22.(2013天津,20,14分)设a ∈[-2,0],已知函数f(x)= --(1)证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;(2)设曲线y=f(x)在点P i (x i , f(x i ))(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x 1x 2x 3≠0.证明x 1+x 2+x 3>-. 证明 (1)设函数f 1(x)=x 3-(a+5)x(x ≤0),f 2(x)=x 3-x 2+ax(x ≥0), ① f '1(x)=3x 2-(a+5),由a ∈[-2,0],从而当-1<x<0时,f '1(x)=3x 2-(a+5)<3-a-5≤0,所以函数f 1(x)在区间(-1,0]内单调递减.② f '2(x)=3x 2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a ∈[-2,0],所以当0<x<1时, f '2(x)<0;当x>1时, f '2(x)>0. 即函数f 2(x)在区间[0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.综合①,②及f 1(0)=f 2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知f '(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间内单调递减, 在区间∞ 内单调递增. 因为曲线y=f(x)在点P i (x i , f(x i ))(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x 1,x 2,x 3互不相等,且f '(x 1)=f '(x 2)=f '(x 3).不妨设x 1<0<x 2<x 3,由3 -(a+5)=3 -(a+3)x 2+a=3-(a+3)x 3+a,可得3 -3 -(a+3)(x 2-x 3)=0,解得x 2+x 3=,从而0<x 2<<x 3. 设g(x)=3x 2-(a+3)x+a,则g<g(x 2)<g(0)=a.由3-(a+5)=g(x2)<a,解得-<x1<0,所以x1+x2+x3>-+,设t=,则a=-,因为a∈[-2,0],所以t∈,故x1+x2+x3>-t+=(t-1)2-≥-,即x1+x2+x3>-.23.(2013湖北,21,13分)设a>0,b>0,已知函数f(x)=.(1)当a≠b时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当x>0时,称f(x)为a、b关于x的加权平均数.(i)判断f(1),f ,f 是否成等比数列,并证明f ≤f ;(ii)a、b的几何平均数记为G.称为a、b的调和平均数,记为H.若H≤f(x)≤G,求x的取值范围. 解析(1)f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),f '(x)==-.当a>b时, f '(x)>0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递增;当a<b时, f '(x)<0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递减.(2)(i)计算得f(1)=>0, f=>0,f =>0,故f(1)f=·=ab=,即f(1)f=.①所以f(1),f ,f 成等比数列.因为≥,所以f(1)≥f .由①得f ≤f .(ii)由(i)知f =H,f =G.故由H≤f(x)≤G,得f ≤f(x)≤f .②当a=b时,f =f(x)=f =a.这时,x的取值范围为(0,+∞);当a>b时,0<<1,从而<,由f(x)在(0,+∞)上单调递增与②式,得≤x≤,即x的取值范围为;当a<b时,>1,从而>,由f(x)在(0,+∞)上单调递减与②式,得≤x≤,即x的取值范围为.24.(2013江苏,20,16分)设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=e x-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.解析(1)令f '(x)=-a=<0,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞),故a>0,进而解得x>a-1,即f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数.同理, f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞)⊆(a-1,+∞),从而a-1≤1,即a≥1.令g'(x)=e x-a=0,得x=ln a.当x<ln a时,g'(x)<0;当x>ln a时,g'(x)>0.又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以ln a>1,即a>e.综上,有a∈(e,+∞).(2)当a≤0时,g(x)必为单调增函数;当a>0时,令g'(x)=e x-a>0,解得a<e x,即x>ln a,因为g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,类似(1)有ln a≤-1,即0<a≤e-1.结合上述两种情况,有a≤e-1. (i)当a=0时,由f(1)=0以及f '(x)=>0,得f(x)存在唯一的零点.(ii)当a<0时,由于f(e a)=a-ae a=a(1-e a)<0, f(1)=-a>0,且函数f(x)在[e a,1]上的图象不间断,所以f(x)在(e a,1)上存在零点. 另外,当x>0时, f '(x)=-a>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点.(iii)当0<a≤e-1时,令f '(x)=-a=0,解得x=a-1.当0<x<a-1时, f '(x)>0,当x>a-1时, f '(x)<0,所以,x=a-1是f(x)的最大值点,且最大值为f(a-1)=-ln a-1.①当-ln a-1=0,即a=e-1时, f(x)有一个零点x=e.②当-ln a-1>0,即0<a<e-1时, f(x)有两个零点.实际上,对于0<a<e-1,由于f(e-1)=-1-ae-1<0, f(a-1)>0,且函数f(x)在[e-1,a-1]上的图象不间断,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零点.另外,当x∈(0,a-1)时, f '(x)=-a>0,故f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a-1)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(a-1,+∞)上的情况.先证f(e a-1)=a(a-2-e a-1)<0.为此,我们要证明:当x>e时,e x>x2.设h(x)=e x-x2,则h'(x)=e x-2x,再设l(x)=h'(x)=e x-2x,则l'(x)=e x-2.当x>1时,l'(x)=e x-2>e-2>0,所以l(x)=h'(x)在(1,+∞)上是单调增函数.故当x>2时,h'(x)=e x-2x>h'(2)=e2-4>0,从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数,进而当x>e时,h(x)=e x-x2>h(e)=e e-e2>0.即当x>e时,e x>x2.当0<a<e-1,即a-1>e时, f(e a-1)=a-1-ae a-1=a(a-2-e a-1)<0,又f(a-1)>0,且函数f(x)在[a-1,e a-1]上的图象不间断,所以f(x)在(a-1,e a-1)上存在零点.又当x>a-1时, f '(x)=-a<0,故f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数,所以f(x)在(a-1,+∞)上只有一个零点.综合(i),(ii),(iii),当a≤0或a=e-1时, f(x)的零点个数为1,当0<a<e-1时,f(x)的零点个数为2.考点二利用导数研究函数的极值与最值1.(2016四川,6,5分)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2答案D2.(2014辽宁,12,5分)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[-5,-3]B.--C.[-6,-2]D.[-4,-3]答案C3.(2015陕西,15,5分)函数y=xe x在其极值点处的切线方程为 . 答案 y=-4.(2017北京,20,13分)已知函数f(x)=e xcos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.解析 (1)因为f(x)=e xcos x-x,所以f '(x)=e x(cos x-sin x)-1, f '(0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=e x(cos x-sin x)-1,则h'(x)=e x (cos x-sin x-sin x-cos x)=-2e xsin x. 当x ∈时,h'(x)<0,所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x ∈,有h(x)<h(0)=0,即f '(x)<0. 所以函数f(x)在区间上单调递减.因此f(x)在区间 上的最大值为f(0)=1,最小值为f =- .5.(2017江苏,20,16分)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+1(a>0,b ∈R)有极值,且导函数f '(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b 2>3a;(3)若f(x), f '(x)这两个函数的所有极值之和不小于- ,求a 的取值范围. 解析 (1)由f(x)=x 3+ax 2+bx+1,得f '(x)=3x 2+2ax+b=3 +b-.当x=-时, f '(x)有极小值b-. 因为f '(x)的极值点是f(x)的零点, 所以f -=- + -+1=0,又a>0,故b=+. 因为f(x)有极值,故f '(x)=0有实根,从而b- =(27-a 3)≤0,即a ≥3. 当a=3时, f '(x)>0(x ≠-1),故f(x)在R 上是增函数, f(x)没有极值; 当a>3时, f '(x)=0有两个相异的实根x 1=- - -,x 2=- -.列表如下:x (-∞,x 1) x 1 (x 1,x 2) x 2 (x 2,+∞) f '(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗故f(x)的极值点是x 1,x 2. 从而a>3. 因此b=+,定义域为(3,+∞). (2)证明:由(1)知,=+. 设g(t)= +,则g'(t)= - =-.当t∈∞时,g'(t)>0,从而g(t)在∞上单调递增.因为a>3,所以a>3故g(a )>g(3)=,即>因此b2>3a.(3)由(1)知, f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-a,+=-.从而f(x1)+f(x2)=+a+bx1+1++a+bx2+1=(3+2ax1+b)+(3+2ax2+b)+a(+)+b(x1+x2)+2=--+2=0.记f(x), f '(x)所有极值之和为h(a),因为f '(x)的极值为b-=-a2+,所以h(a)=-a2+,a>3.因为h'(a)=-a-<0,于是h(a)在(3,+∞)上单调递减.因为h(6)=-,于是h(a)≥h(6),故a≤6.因此a的取值范围为(3,6].6.(2015安徽,21,13分)已知函数f(x)=(a>0,r>0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若=400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.解析(1)由题意知x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).f(x)==,f '(x)=-=-,所以当x<-r或x>r时,f '(x)<0,当-r<x<r时,f '(x)>0,因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知f '(r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+∞)上单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点,所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)====100.教师用书专用(7—15)7.(2013福建,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.∀x∈R, f(x)≤f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点答案D8.(2016天津,20,14分)设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于···.解析(1)由f(x)=x3-ax-b,可得f '(x)=3x2-a.下面分两种情况讨论:①当a≤0时,有f '(x)=3x2-a≥0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).②当a>0时,令f '(x)=0,解得x=,或x=-.当x变化时, f '(x), f(x)x∞-∞f '(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为-,单调递增区间为-∞-,∞.(2)证明:因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a>0,且x0≠0.由题意,得f '(x0)=3-a=0,即=,进而f(x0)=-ax0-b=-x0-b.又f(-2x0)=-8+2ax0-b=-x0+2ax0-b=-x0-b=f(x0),且-2x0≠x0,由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足 f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=-2x0.所以x1+2x0=0.(3)证明:设g(x)在区间[-1,1]上的最大值为M,max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:①当a≥3时,-≤-1<1≤,由(1)知, f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(1), f(-1)],因此M=max{|f(1)|,|f(-1)|}=max{|1-a-b|,|-1+a-b|}=max{|a-1+b|,|a-1-b|}=---所以M=a-1+|b|≥2.②当≤a<3时,-≤-1<-<<1≤,由(1)和(2)知f(-1)≥f -=f , f(1)≤f =f -,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为 f , f -,因此M=max,-=max---=max-=+|b|≥××=.③当0<a<时,-1<-<<1,由(1)和(2)知f(-1)<f -=f , f(1)>f =f -,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(-1), f(1)],因此M=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|-1+a-b|,|1-a-b|}=max{|1-a+b|,|1-a-b|}=1-a+|b|>.综上所述,当a>0时,g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于.9.(2014天津,19,14分)已知函数f(x)=x2-ax3(a>0),x∈R.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1.求a的取值范围.解析(1)由已知,有f '(x)=2x-2ax2(a>0).令f '(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表x(-∞,0)0∞f '(x)-0+0-f(x)↘0↗↘所以, f(x)的单调递增区间是;单调递减区间是(-∞,0),∞.当x=0时, f(x)有极小值,且极小值f(0)=0;当x=时,f(x)有极大值,且极大值f=.(2)由f(0)=f=0及(1)知,当x∈时, f(x)>0;当x∈∞时, f(x)<0.设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B=∈∞≠.则“对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1”等价于A⊆B.显然,0∉B.下面分三种情况讨论:①当>2,即0<a<时,由f=0可知,0∈A,而0∉B,所以A不是B的子集.②当1≤≤2,即≤a≤时,有f(2)≤0,且此时f(x)在(2,+∞)上单调递减,故A=(-∞, f(2)),因而A⊆(-∞,0);由f(1)≥0,有f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(-∞,0),则(-∞,0)⊆B.所以,A⊆B.③当<1,即a>时,有f(1)<0,且此时f(x)在(1,+∞)上单调递减,故B=,A=(-∞,f(2)),所以A不是B的子集.综上,a的取值范围是.10.(2014浙江,21,15分)已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a>0).若f(x)在[-1,1]上的最小值记为g(a).(1)求g(a);(2)证明:当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.解析(1)因为a>0,-1≤x≤1,所以(i)当0<a<1时,若x∈[-1,a],则f(x)=x3-3x+3a, f '(x)=3x2-3<0,故f(x)在(-1,a)上是减函数;若x∈[a,1],则f(x)=x3+3x-3a, f '(x)=3x2+3>0,故f(x)在(a,1)上是增函数.所以g(a)=f(a)=a3.(ii)当a≥1时,有x≤a,则f(x)=x3-3x+3a, f '(x)=3x2-3<0,故f(x)在(-1,1)上是减函数,所以g(a)=f(1)=-2+3a.综上,g(a)=-(2)令h(x)=f(x)-g(a),(i)当0<a<1时,g(a)=a3,若x∈[a,1],h(x)=x3+3x-3a-a3,得h'(x)=3x2+3,则h(x)在(a,1)上是增函数,所以,h(x)在[a,1]上的最大值是h(1)=4-3a-a3,且0<a<1,所以h(1)≤4. 故f(x)≤g(a)+4;若x∈[-1,a],h(x)=x3-3x+3a-a3,得h'(x)=3x2-3,则h(x)在(-1,a)上是减函数,所以,h(x)在[-1,a]上的最大值是h(-1)=2+3a-a3.令t(a)=2+3a-a3,则t'(a)=3-3a2>0,知t(a)在(0,1)上是增函数,所以,t(a)<t(1)=4,即h(-1)<4.故f(x)≤g(a)+4.(ii)当a≥1时,g(a)=-2+3a,故h(x)=x3-3x+2,得h'(x)=3x2-3,此时h(x)在(-1,1)上是减函数,因此h(x)在[-1,1]上的最大值是h(-1)=4.故f(x)≤g(a)+4.综上,当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.11.(2014四川,21,14分)已知函数f(x)=e x-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2<a<1.解析(1)由f(x)=e x-ax2-bx-1,有g(x)=f '(x)=e x-2ax-b,所以g'(x)=e x-2a.当x∈[0,1]时,g'(x)∈[1-2a,e-2a],当a≤时,g'(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上单调递增,因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;当a≥时,g'(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减.因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b;当<a<时,令g'(x)=0,得x=ln(2a)∈(0,1).所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.于是,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.综上所述,当a≤时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;当<a<时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b;当a≥时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由f(0)=f(x0)=0可知f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理,g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a≤时,g(x)在[0,1]上单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点.当a≥时,g(x)在[0,1]上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点,所以<a<.此时g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增,因此x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0.由f(1)=0有a+b=e-1<2,有g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0,解得e-2<a<1.所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点时,e-2<a<1.12.(2014陕西,21,14分)设函数f(x)=ln x+,m∈R.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(2)讨论函数g(x)=f '(x)-零点的个数;<1恒成立,求m的取值范围.(3)若对任意b>a>0,--解析(1)当m=e时, f(x)=ln x+,则 f '(x)=-,∴当x∈(0,e)时, f '(x)<0, f(x)在(0,e)上单调递减;当x∈(e,+∞)时, f '(x)>0, f(x)在(e,+∞)上单调递增.∴当x=e时, f(x)取得极小值f(e)=ln e+=2,∴f(x)的极小值为2.(2)由题设知,g(x)=f '(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x≥0),则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,∴φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,∴φ(x)在(1,+∞)上单调递减.∴x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点, ∴φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象(如图),可知①当m>时,函数g(x)无零点;②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点.<1恒成立,(3)对任意的b>a>0,--等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立.(*)设h(x)=f(x)-x=ln x+-x(x>0),∴(*)等价于h(x)在(0,+∞)上单调递减.由h'(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,得m≥-x2+x=--+(x>0)恒成立,∴m≥对仅在时成立,∴m的取值范围是∞.13.(2013广东,21,14分)设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.解析 f '(x)=3x2-2kx+1.(1)当k=1时, f '(x)=3x2-2x+1,Δ=4-12=-8<0,∴f '(x)>0, f(x)在R上单调递增.(2)当k<0时, f '(x)=3x2-2kx+1,其图象开口向上,对称轴为直线x=,且过(0,1).(i)当Δ=4k2-12=4(k+)(k-)≤0,即-≤k<0时, f '(x)≥0, f(x)在[k,-k]上单调递增,从而当x=k时, f(x)取得最小值m=f(k)=k,当x=-k时, f(x)取得最大值M=f(-k)=-k3-k3-k=-2k3-k.(ii)当Δ=4k2-12=4(k+)(k-)>0,即k<-时,令f '(x)=3x2-2kx+1=0,解得x1=-,x2=--,注意到k<x2<x1<0,∴m=min{f(k),f(x1)},M=max{f(-k), f(x2)}.∵f(x1)-f(k)=-k+x1-k=(x1-k)(+1)>0,∴f(x)的最小值m=f(k)=k.∵f(x2)-f(-k)=-k+x2-(-k3-k·k2-k)=(x2+k)[(x2-k)2+k2+1]<0,∴f(x)的最大值M=f(-k)=-2k3-k.综上所述,当k<0时, f(x)的最小值m=f(k)=k,最大值M=f(-k)=-2k3-k.14.(2013浙江,21,15分)已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.解析(1)当a=1时, f '(x)=6x2-12x+6,所以f '(2)=6.又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.f '(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).令f '(x)=0,得到x1=1,x2=a.当a>1时,x0(0,1)1(1,a)a(a,2a)2af '(x)+0-0+f(x)0单调递增极大值3a-1单调递减极小值a2(3-a)单调递增4a3比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得g(a)=-当a<-1时,x0(0,1)1(1,-2a)-2af '(x)-0+f(x)0单调递减极小值3a-1单调递增-28a3-24a2得g(a)=3a-1.综上所述, f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为g(a)=--15.(2013重庆,20,12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解析(1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh=200πrh元,底面的建造成本为160πr2元,所以蓄水池的总建造成本为(200πrh+160πr2)元.所以200πrh+160πr2=12 000π,所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).因为r>0,h>0,所以0<r<5,故函数V(r)的定义域为(0,5).(2)因为V(r)=(300r-4r3),故V'(r)=(300-12r2).令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(r2=-5不在定义域内,舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.考点三导数的综合应用1.(2015安徽,10,5分)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>0,b<0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<0,c>0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0答案A2.(2014课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)答案C3.(2017山东,20,13分)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3, f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析(1)由题意得f '(x)=x2-ax,所以当a=2时, f(3)=0, f '(x)=x2-2x,所以f '(3)=3,因此,当a=2时,曲线y=f(x)在点(3, f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,所以g'(x)=f '(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x),令h(x)=x-sin x,则h'(x)=1-cos x≥0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0;当x<0时,h(x)<0.①当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x),当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-a3-sin a,当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.②当a=0时,g'(x)=x(x-sin x),当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增;所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.③当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x),当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-a3-sin a.综上所述:当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=-a3-sin a,极小值是g(0)=-a;当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-a3-sina.4.(2017天津,19,14分)设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=e x f(x).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知函数y=g(x)和y=e x的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;(ii)若关于x的不等式g(x)≤e x在区间[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.解析(1)由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f '(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)].令f '(x)=0,解得x=a,或x=4-a.由|a|≤1,得a<4-a.当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:x(-∞,a)(a,4-a)(4-a,+∞)f '(x)+-+f(x)↗↘↗所以, f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(4-a,+∞),单调递减区间为(a,4-a).(2)(i)证明:因为g'(x)=e x[f(x)+f '(x)],由题意知所以解得所以, f(x)在x=x0处的导数等于0.。
高三数学总复习 函数 导数及其应用课件 文 新人教
即
∴x≥1且x≠2且x≠4或x≤－1且x≠－2.
故函数的定义域为{x|x＜－2或－2＜x≤－1或
1≤x＜2或2＜x＜4或x＞4}．
(2)依题意得：－1≤x2－3＜1，
∴2≤x2＜4，
∴－2＜x≤
≤x＜2，
∴y＝f(x2－3)的定义域为
{x|－2＜x≤
≤x＜2}．
【方法点评】 1.确定函数定义域的原则： (1)当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格 中实数x的集合． (2)当函数y＝f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象 在x轴上的投影所覆盖的实数的集合． (3)当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解 析式有意义的实数的集合． (4)当函数y＝f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际 问题的意义确定．
5．(2009年浙江高考)某地区居民生活用电分为高峰和低谷 两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
方法二： ∵
∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (3)把题目中的x换成
联立方程
【方法点评】 函数解析式的求法： (1)待定系数法．若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)， 可用待定系数法． (2)换元法．已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时 要注意变量的取值范围． (3)解方程组法．已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未 知量外，还出现其他未知量，如f(－x)、f( )等，必须根据已知 等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
•
函数的定义域
(1)求函数f(x)＝
＋(x－4)0的定义域．
(2)若函数y＝f(x)的定义域为[－1,1)，求y＝f(x2－3)的定
义域．
【思路点拨】 (1)求f(x)的定义域，只需使解析式有意义，
高考数学总复习 12.5导数的应用课件 人教版
值．
(3)根据《考试大纲》的规定，有关函数最大值、最小值 的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题 中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么不与端点值比 较，就可以知道这一点就是最大(小)值点．
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(
)
A．(－∞，2)
C．(1,4)
B．(0,3)
－ax2－2bx＋a 【自主解答】(1)证明：f′(x)＝ . x2＋12 令 f′(x)＝0，得 ax2＋2bx－a＝0，① ∵Δ＝4b2＋4a2＞0， ∴方程①有两个不相等的实根，记为x1、x2x1＜x2，则 －ax－x1x－x2 f′x＝ . 2 2 x ＋1
f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
由于 1＜a＜5，故 g′(x)＞0，即 g(x)在(0，＋∞)上单 调递增，从而当 0＜x2＜x1 时， 有 g(x1)－g(x2)＞0，即 f(x1)－f(x2)＋x1－x2＞0， fx1－fx2 故 ＞－1； x1－x2 fx1－fx2 fx2－fx1 当 0＜x1＜x2 时，有 ＝ ＞－1. x1－x2 x2－x1
【题后总结】(1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数 大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二 次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0 的根的情况下，根的大小是分类的标准；(2)利用导数解决不
等式问题的主要方法就是构造函数，通过函数研究函数的性
质进而解决不等式问题.
ax＋b 设 a＞0，函数 f(x)＝ 2 ，b 为常数． x ＋1 (1)证明：函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个； (2)若函数 f(x)的极大值为 1，极小值为－1，试求 a 的 值．
答案：(－1,0)
高三数学章节总复习课件——导数及其应用优秀课件 人教版
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
(2)取近似求和:任取xi[xi1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用 y 高为f(x )而宽为x的小矩形面积
i
f(xi)x近似之。
y =f ( x)
n
取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值： S
n
f (x )x
y f (x )
a
b
x
02.04.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
积分上限
lim f ( x ) x f ( x ) dx I i i a 0 i 1
b
n
积分下限
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
02.04.2019
/
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 线,则它必有最大值和最小值.
f(x1) y
f(x3)
f(b)
g
a x1
02.04.2019
x2
0
x4 x3 b x
g
f(a)
f(x2江西省赣州一中刘利剑 ) 整理 heishu800101@
?怎样求单调区间,极值,最值?
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，
(2)
f(x)dx - f (x)dx b a
b
a
02.04.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
(2)定积分的几何意义：
b
f (b )
f '( x )
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念．
(3)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 f(x)在区间(a， b)上单调递增， 那么在区间(a， b)上一定有 f′(x)＞0.( 1 2 (2)函数 y＝2x －ln x 的单调减区间为(－1,1)．( ) ) )
看
观
谢
谢
(2)函数极大值的概念
①函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大；
②f′(b)＝0； f′(x)>0 f′(x)<0 ③在点x＝b附近的左侧___________ ， 右侧___________.
极大值点 ，f(b)叫作函数y＝f(x)的__________. 极大值 则点x＝b叫作函数y＝f(x)的____________
第三章 导数及其应用
第二节
导数的应用
考点
高考试题
考查内容
核心素养
2017·全国卷Ⅰ·T21·12分 讨论函数的单调性及求参数的范围 导数的 2016·全国卷Ⅲ·T21·12分 应用 求单调区间 逻辑推理 数学运算
2015·全国卷Ⅰ·T21·12分 函数零点个数的判断及证明不等式
2014·全国卷Ⅰ·T21·12分 导数的几何意义及极大值
ln(1＋x2)无极值．
6．(2018·大同模拟)函数y＝xex的最小值是________.
解析：y′＝ex＋x· ex，令 y′＝0，则 x＝－1，∵x<－1 时， y′<0, x>－1 时，y′>0, ∴x＝－1 是函数的唯一极小值点，即为最小值点，∴x 1 ＝－1 时，ymin＝－ e. 1 答案：－e
的是(
A)
A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数
解析：当 x∈( － 3,0) 时， f′(x)<0, 则 f(x) 在 ( － 3,0) 上是减函数．其他判断均不正
C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R
e 解析：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋x>0，故单调增区间是(0，＋∞)．
5．(2017·芜湖模拟)已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是( D )
A．有极小值 C．既有极大值又有极小值 B．有极大值 D．无极值
2 x － 1 1 2 x 2 解析：x∈R，y′＝1－ 2(1＋x )′＝1－ 2＝ 2 ≥0，所以函数 y＝x－ 1＋x 1＋x 1＋x
命题分 本节内容为每年高考必考内容，分值12分，重点考查利用导数研究函数的 析 单调性，极值与最值，不等式及函数零点等问题.
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1．函数的单调性 > 可导 ，若 f′(x)________0 (1) 设函数 y ＝ f(x) 在某个区间内 ________ ，则 f(x) 为增函数； < ，则f(x)为减函数． 若f′(x)________0 (2)求可导函数f(x)单调区间的步骤： 定义域 ①确定f(x)的___________ ； ②求导数f′(x)； ③令f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围； f′(x)<0 f′(x)>0 ④当__________ 时，f(x)在相应区间上是增函数，当__________ 时，f(x)在相应 区间上是减函数．
确．
3．(教材习题改编)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( A．先增后减 B．先减后增
D)
C．增函数
D．减函数
解析：因为f′(x)＝－sin x－1＜0，所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D．
4．(2018·日照模拟)函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为( A ) A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
极值点 ，极小值与极大值统称为________. 极值 极小值点与极大值点统称为________
3．函数的最值与导数
求函数y＝f(x)在闭区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤：
极值 ； (1)求y＝f(x)在(a, b)内的________ 最大 的一 (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中________
最小 的一个为最小值． 个为最大值， ________
提醒：
1．辨明导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0(或<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件． (3)由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或≤0)在该区间恒成 立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少． 2．辨明三个易误点 (1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点． (2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概
(3)在函数 y＝f(x)中，若 f′(x0)＝0，则 x＝x0 一定是函数 y＝f(x)的极值．( (4)函数的极大值不一定比极小值大．( ) )
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(
Байду номын сангаас
答案：(1)× (2)×
(3)× (4)√ (5)√
2．(教材习题改编)如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象， 则下列判断中正确
2．函数的极值与导数
(1)函数极小值的概念 ①函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小； ②f′(a)＝0； f′(x)<0 f′(x)>0 ③在点x＝a附近的左侧__________ ， 右侧__________.
极小值点 ， f(a)叫作函数y＝f(x)的__________. 极小值 则点x＝a叫作函数y＝f(x)的___________