2020年高考数学 第九章 第五节空间向量课件 精品
超实用高考数学重难点专题复习：空间向量与空间角(习题课件)
空间向量与空间角
[学习目标]
利用空间向量（建立空间直角坐标系） 求解异面直线所成角、直线与平面所成角、 二面角
距离高考还有一段时间，不少有经验的老师都会提醒考生，愈是临近高考， 能否咬紧牙关、学会自我调节，态度是否主动积极，安排是否科学合理，能不能 保持良好的心态、以饱满的情绪迎接挑战，其效果往往大不一样。以下是本人从 事10多年教学经验总结出的超实用新高考数学专题复习讲义希望可以帮助大家提 高答题的正确率，希望对你有所帮助，有志者事竟成！
θ 为锐角或直角时，cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n|n11|··n|n22||； θ 为钝角时，cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－||nn11|·|nn22||.
题型一：求两异面直线所成的角
[例1] 正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1D1， A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．
[活学活用]
如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是 CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC.求直线AB与平面 EBC所成角的大小．
空间向量及应用课件-2024届高三数学一轮复习
2
构成基底，排除D；C：若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a
＋(λ－μ)b，则a，b，c共面，与{a，b，c}为空间向量的一组基底相矛盾，故c，a
＋b，a－b可以构成空间向量的一组基底，C正确．故选C.
3．(教材改编)已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则x
＝________．
－4
解析：∵a∥b，
−4
2
x
∴ ＝ ＝ ，
2
−1 2
∴x＝－4.
4．(易错)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若
a，b，c三向量共面，则λ＝(
)
A．9
B．－9
C．－3
D．3
答案：B
解析：∵a，b，c三向量共面，
∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，
u1∥u2⇔∃λ∈R，使得
(a1________________
，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
u1⊥u2⇔u1·u2＝
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
0⇔________________
u⊥n⇔u·n＝
直线l的方向向量为u＝ l∥α(l⊄α)
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
0⇔__________________
方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α平面，取直线l的方向向量a，称向量a为
平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
6．空间位置关系的向量表示
位置关系
l1∥l2
直 线 l1 ， l2 的 方 向 向 量
分别为u1＝(a1，b1，c1)，
u2＝(a2，b2，c2)
高二数学空间向量PPT优秀课件
设 N 为 PA 上一点，则存在 x、y 使 D→N＝xD→P＋yD→A(其中 x、y∈R)，则 D→N＝x(0，－1,2)＋y(2 3， 3,0)＝(2 3y,3y－ x,2x)．
令 2 3y∶ 23＝2x∶32，得 3y－x＝0，① 又A→N∥A→P，且A→N＝(2 3y－2 3，－3,2x)， A→P＝(－2 3，－4,2)，
AD·n →
| AD||n|
1
＝ 12×
2
＝
1＋41＋14
36.
设二面角为
θ，即
cosθ＝
36，∴tanθ＝
2 2.
【名师点评】 此题所求的二面角是一个无 棱二面角，对于这种求无棱二面角的问题， 用空间向量求解时，无需作出二面角的平面 角，从而体现了空间向量的重要作用．
利用空间向量求距离
求点到平面的距离有三种方法：定义法、等体
例2 在底面是直角梯形的四棱锥 S－ ABCD 中，∠ABC＝90°，SA⊥面 ABCD，SA＝AB＝BC ＝1，AD＝12，求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角 的正切值．
【思路点拨】 可建立空间直角坐标系，求出 两个平面的法向量，通过法向量的夹角进行求 解．
【解】 建立如图所示空间直角坐标系，则 A(0,0,0)、 D(12，0,0)、C(1,1,0)、S(0,0,1)，面 SAB 的一个法向量是A→D＝ (12，0,0)．设 n＝(x，y，z)是面 SCD 的一个法向量，则 n⊥D→C，
n⊥D→S，即 n·D→C ＝0，n·D→S ＝0.
又D→C＝(12，1,0)，D→S＝(－12，0,1)， ∴12x＋y＝0，且－12x＋z＝0， ∴y＝－12x，且 z＝12x，∴n＝(x，－x2，x2)，
取 x＝1，得 n＝(1，－12，12)．
高考数学总复习教材复习课“空间向量”相关基础知识课件理
解析：对于选项 B，设 b＝(1，－1,0)．a· b＝(1,0，－1)· (1， －1,0)＝1，且|a|＝|b|＝ 2， a· b 1 1 ∴cos〈a，b〉＝ ＝ ＝ ，又 0°≤〈a，b〉≤180°， |a||b| 2· 2 2 ∴向量 a 与向量(1，－1,0)的夹角为 60°. 答案：B
a· b＝0 (a，b 为非零向量)； (2)a⊥b⇔__________
2 a (3)|a| ＝___，|a|＝ x2＋y2＋z2.
2
2．向量的坐标运算
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 向量差 数量积 共线 垂直 夹角 公式
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a＋b＝_______________________
a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 2 2 2 2 a ＋ a ＋ a b ＋ b ＋ b 1 2 3 1 2 3 cos〈a，b〉＝______________________
[小题速通]
1．已知 a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若 a⊥(a－λb)，则实数 λ 的 值为 A．－2 14 C． 5 14 B．－ 3 D．2 ( )
解析：由题意得 c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)， t＝33， 7 17 μ ＝ ， ∴ 7 65 λ＝ . 7
7＝2t－μ， ∴5＝－t＋4μ， λ＝3t－2μ. 答案：D
数量积及坐标运算
[过双基] 1．两个向量的数量积 (1)a· b＝|a||b|cos〈a，b〉 ；
向量法证明平行与垂直
[过双基]
1．两个重要向量 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量， 一 条直线的方向向量有 无数个． (2)平面的法向量 直线 l⊥平面 α， 取直线 l 的方向向量， 则这个向量叫做平面 α 的法向量．显然一个平面的法向量有无数 个，它们是共线向量．
高考理科数学总复习《空间向量及运算》课件
第12页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
2.在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，B→A＋B→C＋D→D1＝(
)
→ A.D1B1
→ C.DB1
→ B.D1B
→ D.BD1
第13页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
答案 D 解析 B→A＋B→C＋D→D1＝C→D＋B→C＋D→D1＝B→D＋D→D1＝B→D1， 故选 D.
第14页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
3．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量D→1A，D→1C，A→1C1 是( )
第6页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
两个向量的数量积 (1)非零向量 a，b 的数量积：a·b＝|a||b|cos a，b ． (2)向量的数量积的性质： ①a·e＝|a|cos a，e e 为单位向量； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③|a|2＝a·a． (3)向量的数量积满足如下运算律： ①(λ·a)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
第8页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(4)a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)或ba11＝ab22＝ ab33(b1·b2·b3≠0)；
(5)a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0)； (6)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， A→B＝O→B－O→A＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1， z2－z1)．
利用空间向量研究角度问题-高考数学复习课件
在△ C 1 BP 中， cos
2 ＋
2 ＋12 −12
3
∠ C 1 BP ＝
＝ ，
2·1
2
π
π
∴∠ PBC 1＝ ，即直线 PB 与 AD 1所成的角为 .
6
6
2
2
2
＝
6
a.
2
法二：以 D 为原点， DA ， DC ， DD 1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴
2
A. 30°
由于 cos<
B. 60°
C. 120°
A )
D. 150°
1
m ， n >＝－ ，所以< m ， n >＝120°，所以直线 l 与平面α
2
所成的角为30°.
3. 平面α的一个法向量为 m ＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为 n ＝
(2，2，1)，则平 C 为原点， CA ， CB 所在直线分别为 x ， y 轴，建立如图所示的空间
3
π
，∴直线 PB 与 AD 1所成的角为 .
2
6
方法总结
向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点
1. 两种方法：
(1)基向量法：利用线性运算；
(2)坐标法：利用坐标运算.
2. 一个注意点：
注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围.
跟踪训练
1. 在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1中，∠ BCA ＝90°， M ， N 分别是 A 1 B 1，
.
6
方法总结
利用平面的法向量求线面角的两个注意点
2020年高考人教A版理科数学一轮复习(全册PPT课件 1520张)
2020版高考 全册精品 PPT课件
第1章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第2章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 第二节 函数的单调性与最值 第三节 函数的奇偶性与周期性 第四节 二次函数与幂函数 第五节 指数与指数函数 第六节 对数与对数函数 第七节 函数的图象
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
23 答案
2 ． ( 教 材 改 编 ) 若 集 合 A ＝ D [由题意知 A＝{0,1,2}，由 a＝ {x∈N|x≤2 2}，a＝ 2，则下列结 2，知 a∉A.] 论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
解2析4 答案
22
[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )
第8章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 第二节 两条直线的位置关系 第三节 圆的方程 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第五节 椭 圆
第1课时 椭圆的定义、标准方程及其性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系
第六节 双曲线 第七节 抛物线 第八节 曲线与方程 第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题 高考大题增分课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
第9章 算法初步、统计与统计案例 第一节 算法与程序框图 第二节 随机抽样 第三节 用样本估计总体 第四节 变量间的相关关系与统计案例
高考数学专题复习《空间向量及其运算》PPT课件
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有 大小
又有 方向
(2)向量的模(或长度):向量的 大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用 有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向 相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向 相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1
高考数学总复习 94空间向量及其运算课件
解析： 以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y、z轴，线段HA的长为 单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，则A(1,0,0)，B(0,1,0)．
(1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，
(12分)(2010·安徽卷)如图， 在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是 正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF ，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中 点．
(1)求证：FH∥平面EDB； (2)求证：AC⊥平面EDB； (3)求二面角B－DE－C的大小．
规范解答： (1)证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC. ∵EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC. ∴EF⊥FH，∴AB⊥FH. 又BF＝FC，H为BC的中点， ∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面ABC.
want to be _______.
A. anybody; myself
B. somebody; myself
C. everybody; me
D. anybody; me
13. Don’t be kidding! I think you should take the question
___D___ .
A3演示文稿设计与制作 信息技术2.0 高考数学总复习 9.4空间向量及其运算课件 微能力认证作业
.第4课时 空间向量及其运算(9B)
1．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存 在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共 面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习9.5空间直角坐标系、空间向量及其运算课件理新人教A版
(2)中点公式:
设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则
x
=
x1
+ 2
x2
,
y
=
y1
+ y2 2
,
z
=
z1
+ 2
z2
.
__________
3.空间向量的有关概念
名称 空间向量 相等向量 相反向量
共线向量 (或平行向 量) 共面向量
定义 在空间中,具有_大__小__和_方__向__的量 方向_相__同__且模_相__等__的向量 方向_相__反__且模_相__等__的向量
3
2
32
322
2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若
AB a, AD b, AA1 c, 则下列向量中与 MB1 相等的向量 是( )
A.- 1 a+ 1 b+c
22
C. 1
2
a-
1 2
b+c
B. 1 a+ 1 b+c
22
D.- 1 a- 1 b+c
22
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c_不__共__面__, 那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得 _p_=_x_a_+_y_b_+_z_c_.其中, _{_a_,_b_,_c_}_叫做空间的一个基底.
【常用结论】 1.零向量不可以作为基向量. 2.基底选定后,空间的所有向量都可由基底唯一表示. 3.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量 的线性运算和数量积运算.
表示空间向量的有向线段所在的直线 互相_平__行__或__重__合__的向量
第05讲 空间向量及其应用 (讲)(原卷版)-2023年高考数学一轮复习
第05讲 空间向量及其应用 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析题型一：空间向量的线性运算 题型二：共线、共面向量定理的应用 题型三：空间向量的数量积及其应用角度1：求空间向量的数量积 角度2：利用数量积求长度 角度3：利用数量积求夹角 角度4：利用向量解决平行和垂直问题角度5：向量的投影和投影向量 题型四：利用空间向量证明平行与垂直第四部分：高考真题感悟知识点一：空间向量的有关概念1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．2、几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量 模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量1、共线向量定理：对空间任意两个向量,(0)a b b ≠，a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．（1）共线向量定理推论：如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线,那么对于空间任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP OA ta =+①，若在l 上取AB a =，则①可以化作：OP OA t AB =+（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点O ，空间中三点,,P A B 共线的充要条件是OP OA AB λμ=+，其中1λμ+=2、共面向量定理如果两个向量,a b 不共线，那么向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)x y ，使p xa yb =+（1）空间共面向量的表示如图空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(,)x y ，使AP xAB y AC =+．或者等价于：对空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内（,,,P A B C 四点共面）的充要条件是存在有序实数对(,)x y ，使OP OA xAB y AC =++，该式称为空间平面ABC 的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． （2）拓展对于空间任意一点O ，四点,,,P C A B 共面（其中,,C A B 不共线）的充要条件是OP xOC yOA zOB =++（其中1x y z ++=）．3、空间向量基本定理如果向量三个向量,,,a b c 不共面，那么对空间任意向量,p 存在有序实数组{},,,x y z 使得.p xa yb zc =++知识点三：空间向量的数量积1、空间两个向量的夹角（1）定义：如图已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作 OA a =，OB b =，则么AOB ∠叫做向量,a b 的夹角，记,a b <>.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）（2）范围：[],0,a b π<>∈． 特别地，（1）如果,2a b π<>=，那么向量,a b 互相垂直，记作a b ⊥．(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π，故a,b 0<>=(或a,b π<>=)//a b ⇔(,a b 为非零向量)．(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a 都是共线的，即0a ．两非零向量的夹角是唯一确定的．（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）若两个向量,a b 所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为θ， (1)向量夹角的范围是0<<,a b ><π，异面直线的夹角θ的范围是0<θ<2π， (2)当两向量的夹角为锐角时，,a b θ=<>；当两向量的夹角为2π时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，,a b θπ=-<>. 2、空间向量的数量积定义：已知两个非零向量a ，b ，则||||cos ,a b a b <>叫做a ，b 的数量积，记作a b ⋅；即||||cos ,a b a b a b ⋅=<>．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.3、向量a 的投影3.1．如图(1)，在空间，向量a 向向量b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，||cos ,||bca ab b =<>向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．类似地，可以将向量a 向直线l 投影(如图(2))．3.2．如图(3)，向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A '，B '，得到A B ''，向量A B ''称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A B ''的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．4、空间向量数量积的几何意义：向量a ，b 的数量积等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos ,b a b <>的乘积或等于b 的长度||b 与a 在b 方向上的投影||cos ,a a b <>的乘积.5、数量积的运算：（1）()()a b a b λλ⋅=⋅，R λ∈. （2）a b b a ⋅=⋅(交换律)．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律).知识点四：空间向量的坐标表示及其应用设123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，空间向量的坐标运算法则如下表所示：数量积 a b a b a b a b ⋅=112233＋＋共线（平行）(0)a b b ≠()112233a b a b a b R a bλλλλλ=⎧⎪⇔=⇔=∈⎨⎪=⎩垂直 a b ⊥⇔11223300a b a b a b a b ⋅=⇔++=（,a b 均非零向量）模22222||||a a a a a a ===++123，即222||a a a a =++123夹角cos ,a b <>=112233222222123123a b |a ||b |a b a b a b a a a b b b ++⋅=++++1、直线的方向向量如图①,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB a =,设P 是直线l 上的任意一点,则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP ta =，即AP t AB =2、平面法向量的概念如图，若直线 l α⊥ ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a 为平面α的法向量；过点A 且以a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {|0}P a AP ⋅=．3、平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面α的法向量为(,,)n x y z = 选向量：选取两不共线向量,AB AC 列方程组：由00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩列出方程组解方程组：解方程组0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1) 得结论：得到平面的一个法向量.知识点六：空间位置关系的向量表示1、空间中直线、平面的平行设直线1l ,2l 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为n ，m ，则 线线平行12l l ⇔a b ⇔a b λ=(R λ∈)线面平行 1l α⇔a n ⊥⇔0a n ⋅=面面平行αβ⇔n m ⇔n m λ=设直线1l 的方向向量为111(,,)a a b c =，直线2l 的方向向量为222(,,)b a b c =，平面α的法向量111(,,)n x y z =，平面β的法向量为222(,,)m x y z =，则 线线垂直12l l ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120a a b b c c ++=线面垂直1l α⊥⇔a n ⇔a n λ=⇔111111a x b y c zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩面面垂直 αβ⊥⇔n m ⊥⇔0n m ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=1．（2022·全国·高二课时练习）若平面α，β的一个法向量分别为11,,163m ⎛⎫⎪⎝=-⎭-，1,1,32n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则( )A ．αβ∥B ．αβ⊥C ．α与β相交但不垂直D ．αβ∥或α与β重合2．（2022·全国·高二课时练习）设平面α法向量为(1,2,2)-，平面β的法向量为(2,4,)k --，若αβ∥，则k 等于( )A ．2B ．4-C ．4D ．2-3．（2022·全国·高二单元测试）若直线l 的方向向量(2,2,1)a =-，平面α的法向量(6,8,4)u =-，则直线l 与平面α的位置关系是__________________．4．（2022·全国·高二课时练习）已知51,2,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,,2b x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭分别是直线12,l l 的一个方向向量．若12l l ∥，则( ) A ．153,2x y ==B ．315,24x y ==C ．3,15x y ==D ．153,4x y ==5．（2022·全国·高二课时练习）若(2,3,1)n =-是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0,3,1)-B ．(2,0,1)C ．(2,3,1)--D ．(2,3,1)--题型一：空间向量的线性运算典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，给出下列各式： ①()AB BC +1CC +．②()111AA A D +11D C +．③()1AB DD +11BC +．④()1AD CB +AC +．其中运算结果为向量1AC 的共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例题2．（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））如图，设OA a =，OB b =，OC c =，若AN NB =，2BM MC =，则MN =（ ）A ．112263a b c +-B ．112263a b c --+C ．111263a b c --D ．111263a bc -++题型归类练1．（2022·全国·高二期末）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN CA =，则向量MN 可表示为（ ）A ．12a b c ++B ．1144a b c ++C ．131484a b c --D ．313444a b c +-2．（2022·全国·高二单元测试）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111AC B D F =，若1AF xAB yAD zAA =++，则x y z ++=___________.3．（2022·全国·高二开学考试）如图，在三棱锥P —ABC 中， M 是侧棱PC 的中点，且BM x AB y AC z AP =++，则x ＋y ＋z 的值为______．题型二：共线、共面向量定理的应用典型例题例题1．（2022·天津·南开中学高一期末）如图，在ABC 中，13AD DC =，P 是线段BD 上一点，若15AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．23C ．2D ．15例题2．（2022·山西太原·高一期中）在ABC 中，点D 在BC 上，且2BD DC =，过D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，记AM AB λ=，AN AC μ=，若23λ=，则μ=（ ） A ．53B ．32C ．43D ．54例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P M ，为空间任意两点，如果有1111764PM PB BA AA A D =++-，那么点M 必在平面_________内.例题4．（2022·全国·高二课时练习）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：623OP OA OB OC =++，则（ ） A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面 D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面题型归类练1．（2022·全国·高二）已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若54BD PA PB PC λ=-+，则λ=（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-2．（2022·江苏·高二课时练习）A ，B ，C 三点不共线，对空间内任意一点O ，若311488OA OB O OC P →→→→=++，则P ，A ，B ，C 四点（ ）A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面3．（2022·全国·高二）若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP mOA nOB =+，其中m ＋n ＝1，则（ ） A ．P ∈ABB ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期中）在△ABC 中，点M 是BC 上一点，且3BC BM =，P为AM 上一点，向量(0,0)BP BA BC λμλμ=+>>，则31λμ+的最小值为（ ）A ．16B ．12C ．8D ．4题型三：空间向量的数量积及其应用角度1：求空间向量的数量积典型例题例题1．（2022·全国·高二）已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10例题2．（2022·上海长宁·二模）已知OA AB ⊥，若()1,1,0OA =，则OA OB ⋅=_________． 例题3．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））在三棱锥P ABC -中，1PB PC ==，90APB APC ∠=∠=︒，60BPC ∠=︒，则AB PC ⋅=（ ）A ．12B 3C ．1D 2例题4．（2022·福建·莆田第二十五中学高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（ ）A ．12B ．8C ．6D ．4题型归类练1．（2022·广东·高三阶段练习）已知正四面体ABCD 的棱长为1，且2BE EC =，则AE CD ⋅=（ ） A ．16B ．16-C ．13-D ．132．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥P ABC -中，,,AP AB AC 两两垂直，2,1,AP AB AC M ===为PC 的中点，则AC BM ⋅的值为（ ）A ．1B ．13C ．14D ．12 3．（2022·全国·高二单元测试）已知MN 是长方体外接球的一条直径，点P 在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，17，则PM PN ⋅的取值范围为（ ）A ．3-2-4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．7-04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．73--44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．[]-20，4．（2022·湖北·高二阶段练习）已知平面α内有两点()1,1,2M -，(),3,3N a ，平面α的一个法向量为()6,3,6n =-，则=a （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 5．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知向量()()2,3,1,1,2,4a b →→=-=-，则a b →→⋅=（ ）A ．0B ．4C ．4-D ．-5 6．（2022·吉林·长春市第二十九中学高二阶段练习）已知()()()1,1,0,0,1,1,1,0,1,,2a b c p a b q a b c ====-=+-，则p q ⋅=________.角度2：利用数量积求长度典型例题例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，空间四边形OABC 中，2OA OB OC ===，2AOC BOC π∠=∠=，π3AOB ∠=，点M ，N 分别在OA ，BC 上，且2OM MA =，BN CN =，则MN =（ ）A 22B 46C 34D 21例题2．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点E 是线段AB 的中点，点M 是底面ABCD 内的动点，且满足11A M C E ⊥，则线段AM 的长的最小值为（ ）A 5B 25C ．1D 5 例题3．（2022·江苏常州·高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，112AM MC =，点N 为1BB 的中点，则||MN =___________.例题4．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,0,2)A -，(0,1,1)B -，点,C D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD →的最小值是______. 题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为（ ）．A ．6B 6C ．3D 32．（2022·河南平顶山·高二期末（理））在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB BC BB ===，11ABB ABC B BC ∠=∠=∠3π=，12AE BD =，则1||B E =（ ）A 33B ．5C ．32D ．33．（2022·江苏连云港·高二期中）已知空间中非零向量a ，b ，且2a =，3b =，,60a b ︒<>=，则23a b -的值为（ ）．A 97B ．97C 61D ．614．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，1112,45,60AA BAA DAA BAD ∠∠∠===，则1AC =（ ）A ．1B 3C ．9D ．35．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））在空间直角坐标系中，已知点A (1,2,1),(4,11,4),(1,1,1)B D ，若点P 满足2AP PB =，则||PD =_______．6．（2022·浙江·玉环市玉城中学高二期中）若()()2,3,5,3,1,4a b ==-， 则2a b -=__________________4．（2022·全国·高二）设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．角度3：利用数量积求夹角典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知向量()()1,2,3,2,4,6,14a b c ==---=，若()7a b c +⋅=，则a 与c 的夹角为______________.例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知()1,0,0A 、()0,1,1B -、()0,0,0O ，OA OB λ+与OB 的夹角为120 ，则实数λ=______．例题3．（2022·江苏宿迁·高二期中）若向量(1,2,2)a =-，(2,4,4)b =--，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．0B ．2πC ．23πD ．π题型归类练1．（2022·全国·高二）已知(1,0,1)a =，(,1,2)b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．60︒ B ．120︒ C ．30 D ．150︒2．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足113DP DD =，则直线AP 与直线1D B 所成角的余弦值为（ ）A ．230B 230C 30D 303．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，则向量a b +与a b -的夹角为（ ）A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°4．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在空间直角坐标系O xyz -中，若()1,,2a λ=--，()2,1,1b =-，a 与b 的夹角为120︒，则λ的值为（ ）A ．1B ．17-C ．1-或17-D ．17或1- 5．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知空间向量()1,0,1a =，()1,1,b n =，且3a b ⋅=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6角度4：利用向量解决平行和垂直问题典型例题例题1．（2022·四川雅安·高二期末（理））向量a ，b 分别是直线1l ，2l 的方向向量，且()1,3,5a =，(),,2b x y =，若12l l ∥，则（ ） A ．15x =，35y = B ．3x =，15y = C ．25x =，65y = D ．32x =，152y = 例题2．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量()()1,,3,,2,6m x n y =-=，若//m n ，则x y +的值为（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-例题3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知向量(1,1,2)a k =，(1,0,1)b =--，(0,2,1)c =，且向量2a b -与c 互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ．2-C ．4-D ．0例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(1,3,2)a =-，(2,,4)b m =--，若//a b ，则实数m 的值是________.若a b ⊥，则实数m 的值是________.题型归类练1．（2022·江苏徐州·高二期中）已知向量()2,1,3a =-，(),2,6b x =-，若a b ∥，则实数x 的值为（ ）A ．2B ．4C ．4-D ．2-2．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知(3,2,1),(2,,0)a b m =--=，若a b ⊥，则m 的值为（ ）A ．3B ．4-C ．3-D ．43．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，2c a b λ=+，若b c ⊥，则实数λ=（ ）A ．－2B ．2C ．1D ．－14．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学高二期中（理））已知向量(1,1,0),(1,0,2)a b ==-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1-B ．43C ．53D ．755．（2022·全国·高二课时练习）如果(1,5,2)A -，(2,4,2)B ，(,3,2)C a b +三点在同一直线上，那么=a __________，b =__________．角度5：向量的投影和投影向量典型例题例题1．（2022·全国·高二）已知空间三点(1,1,1)A --，(1,2,2)B --，(2,1,1)C ，则AB 在AC 上的投影向量的模是______.例题2．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知()2,0,1a =，()3,2,5b =-，则向量b 在向量a 上的投影向量是（ ）A ．()153,2,5-B ．()3,1382,5-C ．()152,0,1D ．()1382,0,1 题型归类练1．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知()()0,1,1,0,0,1a b ==，则a 在b 上的投影向量为（ ）A ．()1,0,0B ．()0,0,1C ．()0,1,0D ．110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2．（2022·广东惠州·高二期末）已知()0,1,1a =，()0,1,0b =，则a 在b 上的投影向量为（ ） A ．1 B 2 C ．()0,1,0 D ．110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．（2022·全国·高一）已知,,i j k 为标准正交基底，23a i j k =++，则a 在i 方向上的投影为（ ）A ．1B ．－1C 14D 144．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量(2,1,2)a =-，(1,2,1)b =-，则向量b 在向量a 上的投影向量是（ ）A ．424(,,)333-B ．(2,1,2)-C ．242(,,)333-D ．(1,2,1)-5．（2022·全国·高二课时练习）已知向量(1,22)(2,11)a b ==-,,,，则向量b 在向量a 上的投影向量为（ ）A ．244,,999⎛⎫--- ⎪⎝⎭B ．244,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．211,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．（2022·全国·高二课时练习）已知向量()1,2,1a =-，()2,2,0b =-，则a 在b 的方向上的数量投影为（ ）A ．6-B ．a -C ．32D ．34-b题型四：利用空间向量证明平行与垂直典型例题例题1．（2022·福建莆田·高二期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD 且22PD =122AB BC AD ===，90BAD ∠=，//BC AD ，点M 为棱PC 的中点．(1)证明：PA DM ⊥；例题2．（2022·江西抚州·高二期末（理））如图在边长是2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，1A C 的中点.(1)证明：平面1EAC ⊥平面1DA C ；例题3．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）在如图所示的五面体ABCDFE 中，面ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥面ABCD ，//DF AE ，且112DF AE ==，N 为BE 的中点，N 为CD 中点.(1)求证：//FN 平面ABCD ；例题4．（2022·全国·高一单元测试）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中//AD BC ，AB AD ⊥，4PA =，122AB AD BC ===，E 为棱BC 上的点，且14BE BC =.(1)求证：DE ⊥平面PAC ；题型归类练1．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===.(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；2．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）如图，三棱柱11ABC AB C -中侧棱与底面垂直，且AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，AB ⊥AC ，M ，N ，P ，D 分别为CC 1，BC ，AB ，11B C 的中点．(1)求证：PN ∥面ACC 1A 1；3．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高二阶段练习）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC BB ===，AB BC ⊥，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的一点．(1)证明：BF DE ⊥；4．（2022·江西赣州·高二期中（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，1AB =，3AD =，2CD =，2ADC π∠=，平面PBC ⊥平面ABCD ，且PB PC =，E为BC的中点.(1)证明：平面PAE⊥平面PBD.-中，底面ABCD为正方形，CD⊥5．（2022·黑龙江·大庆中学高二期中）已知四棱锥P ABCD平面PAD，PD FD⊥，2==，E、F分别为AP、AB的中点.PD AD(1)求证：DF EC⊥；1．（2022·全国·高考真题（文））在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（ ）A ．平面1B EF ⊥平面1BDDB ．平面1B EF ⊥平面1A BDC ．平面1//B EF 平面1A ACD ．平面1//B EF 平面11AC D2．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；3．（2021·全国·高考真题（理））已知直三棱柱111ABC A B C-中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；。
空间向量的应用课件-2025届高三数学一轮复习
= ,则, , .
证明： = −, − , ， = −, , − ,
因为 ⋅ = − = ，所以 ⊥ ,即 ⊥ .
（2）设点在棱上， = ,若//平面，求 的值.
解： 由题意知， = , , , = , , , = , , − ,
= −, , − .
因为 = ,所以 = −, , − ,
= + = , , + −, , − = −, , − .
2025届高考数学一轮复习讲义
立体几何与空间向量之空间向量的应用
1.直线的方向向量与平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线
平行或共线，则称此向量为直线的方向向量.
（2）平面的法向量：直线 ⊥ ，取直线的方向向量,则向量为平面
的法向量.
（3）方向向量和法向量均是非零向量且不唯一.
假设在线段上存在点，使得 ⊥ ,
设 = = −, , ，其中 ≤ ≤ ，则 − , , ，故
= − , , .
因为 ⊥ ，所以 ⋅ = − + = ,解得 = ,
所以在线段上存在点，使得 ⊥ ,此时点与点重合.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
//
൫ // ⇔ = ሺ
∈ ሻ
൯ ⋅ =
⊥
⋅=
⊥ ⇔ ①___________
直线的方向向量为，
//
⊥ ⇔ ②__________
平面 的法向量为
⊥
// ⇔ = ∈
= ,则,, 两两垂直.如图，以为坐标原点，
新高考数学空间向量及其运算和空间位置关系精品课件
索引:忽略向量共线与共面的区别;使用向量的数量积公式出错;忽视向量夹角与其余弦值的对应关系.4.给出下列命题:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;③已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc;④若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0.其中为真命题的是 .(填序号)
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果=+7 +6-4,那么点M一定( )A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内
[解析] 因为=+7+6-4=++6-4=+ +6-4=+6(-)-4(-)=11-6-4,所以M,B,A1,D1四点共面.故选C.
向量和
a+b=
向量差
a-b=
数量积
a·b=
共线
a∥b⇒ (λ∈R,b≠0)
垂直
a⊥b⇔
距离公式
已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=
夹角公式
课前基础巩固
④
课前基础巩固
[解析] 若a与b共线,则a,b所在的直线可能平行也可能重合,故①为假命题;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故②为假命题;只有当a,b,c不共面时,空间任意一个向量p才一定能表示为p=xa+yb+zc,故③为假命题;根据向量的运算法则可知④为真命题.故填④.