福建省西山高中高中数学《3.2.1几个常用函数的导数》学案 新人教版选修11

[自学目标]:

应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x

=的导数公式； [重点]:

四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1

y x =的导数公式及应用

[难点]:

四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1

y x =的导数公式

[教材助读]:

1．函数()y f x c ==的导数

根据导数定义，因为()()

0y f x x f x c c

x x x ∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x

x y

y ∆→∆→∆'===

2．函数()y f x x ==的导数

因为()()1y f x x f x x x x

x x x ∆+∆-+∆-

===∆∆∆

所以00lim lim11x x y y ∆→∆→∆'===

3．函数2()y f x x ==的导数

因为2

2

()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆

222

2()2x x x x x x x x +∆+∆-==+∆∆

所以00lim lim(2)2x x y

y x x x x ∆

→∆→∆'==+∆=∆

4．函数1()y f x x

==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x

-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x

-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y x

∆→∆→∆'==-=-∆ 限。

[预习自测]

1、0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .

若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态.

2、已知函数1y x

=，（1）求出曲线在点(1,1)

处的切线方程.

（2）求出曲线在点(1,2)处的切线方程.

（3）求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.

待课堂上与老师和

同学探究解决。

[合作探究 展示点评]

探究一：求导数

例1：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？

（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？

探究二：切线方程

例2:求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程。

[当堂检测]

1、()0f x =的导数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．不存在

D ．不确定

2、已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）

A ．0

B ．2x

C ．6

D ．9

3、 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为

4

π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)24

4、 过曲线1y x =上点1(2,)2

且与过这点的切线垂直的直线方程是 5.、物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .

[拓展提升]

1、 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '。

2、求曲线21y x =+在（1,2）处的切线方程。