高中数学第一章三角函数1.1.1任意角学案(含解析)新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.1.1任意角学案（含解析）新人教A

版必修4

考试标准

课标要点学考要求高考要求

任意角的概念 a a

终边相同的角的表示 b b

象限角的概念 b b

注：“a”表示“了解”，“b”表示“理解”，“c”表示“掌握”．

知识导图

学法指导

1.结合实例明确任意角的概念．

2．本节的重点是理解并掌握正角、负角、零角的概念，掌握用集合的形式表示终边相同的角，并会判断角的终边所在的象限.

1.角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

2．角的表示

顶点：用O表示；

始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；

终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．

状元随笔(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向．

(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”．

3．角的分类

类型定义图示

正角按逆时针方向旋转形成的角

负角按顺时针方向旋转形成的角

零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角

在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

5．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．状元随笔(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．

(2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)．

(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)角的始边、终边是确定的，角的大小是确定的．( )

(2)第一象限的角一定是锐角．( )

(3)终边相同的角是相等的角．( )

答案：(1)×(2)×(3)×

2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B.

答案：B

3．与30°角终边相同的角的集合是( ) A ．{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z } B ．{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z } C ．{α|α＝30°＋k ·180°，k ∈Z } D ．{α|α＝－30°＋k ·180°，k ∈Z }

解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋

k ·360°，k ∈Z }．

答案：A

4．2019°是第( )象限角( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四

解析：2019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°， ∴2019°是第三象限角． 答案：C

类型一 任意角的概念及应用

例1 (1)若角的顶点在原点，角的始边与x 轴的非负半轴重合，给出下列四个命题： ①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 (2)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．

【解析】 (1)①错误，0°角是象限界角；②③④正确．

(2)分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×22

3＝－960°.

【答案】 (1)C (2)－960°

按照象限分类，角可以分为象限角和象限界角；角的正负是由终边的旋转方向决定的． 分针1个小时转过的角度的绝对值是360 °. 方法归纳

与角的概念有关问题的解决方法

正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．

跟踪训练1 在下列说法中：

①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．

其中错误说法的序号为________．

解析：①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确． ②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确． ③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确．

④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确． 答案：①②④ 类型二 终边相同的角

例2 写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角．

【解析】 与75°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k ·360°＋75°，k ∈Z }． 当360°≤β<1 080°，即360°≤k ·360°＋75°<1 080°时，解得1924≤k <219

24.又k ∈Z ，

所以k ＝1或k ＝2.

当k ＝1时，β＝435°；当k ＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°～1 080°范围内的角为435°角和795°角.

根据与角α终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k·360 °＋α，k∈Z }，写出与75 °角终边相同的角的集合，再取适当的k 值，求出360 °～1 080 °范围内的角．

方法归纳

(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤

①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．

(2)终边相同角常用的三个结论

①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．

跟踪训练2 写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中满足－360°≤α<720°的元素写出来．

(1)α＝60°； (2)α＝－210°； (3)α＝364°13′.