西安交大第二学期末高数考试题

C
dy ； dx
( D)
x[1 y sin 2 ( x 2 y 2 )]d ，其中(D)是由 y x 3 , y 1, x 1 所围
（1）求满足条件 (0) 2, (0) 0 的函数 ( y ), ( y ) ； （2）计算
( 0, 0 ) (1,1)
f ( x, y )dxdy 0 ，
( D)
xyf ( x, y )dxdy 1 ，证明存在
( , ) D ，使 f ( , )
1 ； A
2
1 2 sin 2t 1 x d x1 cos t 1 2 （ 1 ） 验 证 微 分 方 程 组 的 通 解 为 x 2 dt x2 1 sin 2t 1 2 sin t 2
et cos t sin t x C1 C 2 cos t , t R ； et sin t
高等数学(I II)期末考试题 A 卷 一、计算下列各题(每小题 6 分，共 60 分）
201wk.baidu.com 年 6 月 20 日
x2 1．在曲面 z y 2 上求一点，使曲面在该点处的切平面平行于平面 2 x 2 y z 0 ; 2
2．设 f ( x, y ) 是连续函数，交换积分次序 dx 1
(2) 验证 y1 e x , y2 e x ln x , 是微分方程 xy (2 x 1) y ( x 1) y 0 的解，并求其通解. 6．计算三重积分 zdv ，其中 V 是由不等式 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 确定的空间区域；
4 1 8 dx A x 的通解,其中 A 4 7 4 。 （1）求微分方程组 dt 1 4 8
(2) 已知函数 y e2 x ( x 1)e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y ay by ce x 的一
部分； 9．计算第二型曲线积分 ye y dx ( xe y 2 xy 2 e y )dy ，其中 L 为 y 3 x 上从 O(0,0) 到
2 2 2
L
A(1,1) 的曲线段；
10.求 div[ grad ( x 2 y 2 z 2 )] ； 二、(8 分)工科分析做（1） ，其他做(2)） 。
6 2 2 x x 2 1
f ( x, y )dy ；
2
3．求微分方程 x 3x 2 x e2t 的通解。 4．已知曲线 L : y x 2 (0 x 1) 上任意一点处的线密度在数值上与该点的横坐标相同， 求曲线的质量； 5．（工科分析做（1） ，其他做(2)）
2[ x ( y ) ( y )]dx [ x 2 ( y ) 2 xy 2 2 x ( y )]dy ；
六、 （8 分）设 D ( x, y ) 0 x 2, 0 y 2， （1）计算
( D)
xy 1 dxdy ；
( D)
（2）设 f ( x, y ) 在 D 上连续，且
1
个特解，试确定常数 a, b, c，并求该方程的通解。 三、 （8 分）设 y f ( x, t ) ，而 t 是由方程 F ( x, y, t ) 0 所确定的 x, y 的函数，其中 f , F 都 具有一阶连续的导数，求 四、 （8 分）计算积分 成的区域； 五、 （8 分）设函数 ( y ), ( y ) 具有连续的导数，对平面内的任意分段光滑简单闭曲线 C, 有曲线积分 2[ x ( y ) ( y )]dx [ x 2 ( y ) 2 xy 2 2 x ( y )]dy 0
V
7．求向量场 A z x 2 , x, z 2 3 y穿过曲面设力场 : z x 2 y 2 (0 z 1) ，下侧的通
量； 8．计算第一型面积分 ( x 2 y 2 )dS ，其中 是曲面 z
()
x 2 y 2 介于 0 z 1 之间的