(通用版)2018年高考数学二轮复习第一部分专题四概率与统计教学案理

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2018年高考数学二轮复习考前回扣10 概率与统计讲学案理

回扣10 概率与统计1．牢记概念与公式 (1)概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数m基本事件总数n；②互斥事件的概率计算公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；③对立事件的概率计算公式P (A )＝1－P (A )；④几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(2)抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．①从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为n N；②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．(3)统计中四个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数； ③平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n(x 1＋x 2＋…x n )；④方差与标准差方差：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差：s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].(4)八组公式①离散型随机变量的分布列的两个性质(ⅰ)p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；(ⅱ)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. ②期望公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .③期望的性质(ⅰ)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； (ⅱ)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ； (ⅲ)若X 服从两点分布，则E (X )＝p . ④方差公式D (X )＝[x 1－E (X )]2·p 1＋[x 2－E (X )]2·p 2＋…＋[x n －E (X )]2·p n ，标准差为D (X ).⑤方差的性质(ⅰ)D (aX ＋b )＝a 2D (X )；(ⅱ)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )； (ⅲ)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． ⑥独立事件同时发生的概率计算公式P (AB )＝P (A )P (B )．⑦独立重复试验的概率计算公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k. ⑧条件概率公式P (B |A )＝P (AB )P (A ).2．活用定理与结论 (1)直方图的三个结论 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.(2)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定过样本点的中心(x ，y )．(3)利用随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K 2的观测值k 越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大． (4)如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．4．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．5．易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误．1．某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是( )A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法答案 D解析总体由男生和女生组成，比例为400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.2．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为( )A．62,62.5 B．65,62C ．65,63.5D ．65,65答案 D解析选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横坐标即为中位数．最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，则0.20.4×10＝5，所以中位数为60＋5＝65.故选D.3．同时投掷两枚硬币一次，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个正面朝上”，“都是反面朝上” B ．“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上” C ．“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上” D ．“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上” 答案 C解析同时投掷两枚硬币一次，在A 中，“至少有1个正面朝上”和“都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1个正面朝上”不发生时，“都是反面朝上”一定发生，故A 中两个事件是对立事件；在B 中，当两枚硬币恰好一枚正面朝上，一枚反面朝上时，“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上”能同时发生，故B 中两个事件不是互斥事件；在C 中，“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C 中的两个事件是互斥而不对立的两个事件；在D 中，当两枚硬币同时反面朝上时，“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上”能同时发生，故D 中两个事件不是互斥事件．故选C.4．采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试，，则所选5名学生的学号可能是( )A ．1,2,3,4,5B ．5,26,27,38,49C ．2,4,6,8,10D ．5,15,25,35,45 答案 D解析采用系统抽样的方法时，即将总体分成均衡的若干部分，分段的间隔要求相等，间隔一般为总体的个数除以样本容量，据此即可得到答案．采用系统抽样间隔为505＝10，只有D答案中的编号间隔为10.故选D.5．道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒，红灯47秒，黄灯5秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为( ) A ．0.95 B ．0.05C ．0.47D ．0.48 答案 D解析由题意得小张路过该路口不等待的概率为4848＋47＋5＝0.48.6．A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A ，B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( ) A.23 B.14 C.56 D.12 答案 A解析在圆上其他位置任取一点B ，设圆的半径为R ，则B 点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR ，其中满足条件AB 的长度大于等于半径长度的对应的弧长为23·2πR ，则弦AB的长度大于等于半径长度的概率P ＝23·2πR 2πR ＝23.故选A.7．有5张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( ) A.13B.23 C.710 D.310 答案 C解析从5张卡片中随机抽2张的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，2张卡片上的数字之积为偶数有7种，故所求概率P ＝710.8．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A.18B.38C.14D.78 答案 B解析设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮事件D ＝ABC ∪AB C ∪A B C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C ，A B C 互斥，所以P (D )＝P (ABC ∪AB C ∪A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝12×12×12＋12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38，故选B.9．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表根据上表可得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元 D ．12.2万元答案 B解析由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．10．设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线(随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )A ．6 038B ．6 587C ．7 028D ．7 539 答案 B解析由题意知，P (0<X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，则落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×(1－0.341 3)＝6 587.故选B.11．如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．答案2e2 解析由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，由e x＝e ，得x ＝1，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|1＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e2.12．样本容量为 1 000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6,14)内的频数为________．答案 680解析根据给定的频率分布直方图可知，4×(0.02＋0.08＋x ＋0.03＋0.03)＝1⇒x ＝0.09，则在[6,14)之间的频率为4×(0.08＋0.09)＝0.68，所以在[6,14)之间的频数为1 000×0.68＝680.13．已知x ，y 的取值如表所示.从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ^，则a ^＝________. 答案 2.6解析根据表中数据得x ＝2，y ＝4.5，又由线性回归方程知，其斜率为0.95，∴截距a ^＝4.5－0.95×2＝2.6.14．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的期望E (η)＞74，则p 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析由已知得P (η＝1)＝p ，P (η＝2)＝(1－p )p ，P (η＝3)＝(1－p )2，则E (η)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3＞74，解得p ＞52或p <12，又p ∈(0,1)，所以p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 15．某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1)按编号用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； (2)计算(1)中样本的平均值x 和方差s 2；(3)求这36名工人中年龄在(x －s ，x ＋s )内的人数所占的百分比．解 (1)根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人．由题意可知，抽取的样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34，对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由(1)，得x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40，s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009. (3)由(2)，得x ＝40，s ＝103，∴x －s ＝3623，x ＋s ＝4313，由表可知，这36名工人中年龄在(x －s ，x ＋s )内的共有23人，所占的百分比为2336×100%≈63.89%.16．某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响．(1)求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；(2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和期望．解 (1)由题意知，乙每局获胜的概率皆为1－23＝13.比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即前两局乙胜一局，3,4局连胜，则P ＝C 12·13·23·13·13＝481. (2)由题意知，ξ的取值为2,4,6，则P (ξ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59，P (ξ＝4)＝C 12·13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 12·13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝2081， P (ξ＝6)＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·13·232＝1681，所以随机变量ξ的分布列为则E (ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.。

高考数学二轮复习第一部分保分专题四概率与统计第2讲概率及应用课件文

8分
包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，
B3}，共 2 个，则所求事件的概率为 P＝29.
12 分
[规范解释] 列举事件空间．找出所研究的事件，求概率．列举总的事件．找出所研究事件，求概率．
求古典概型概率的方法正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数． (1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏． (2)当直接求解有困难时，可考虑求出所求事件的对立事件的概率．
其中数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有： (10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)共 6 组． ∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为164＝37.
考点考查题型已知两个变量的某些数据，求频率、求概率
考点应用方法利用频率求概率，利用古典概型求概率
个适花合坛题中意，的则只红有色2和种紫，色其的概花率不P在＝同23. 一花坛的概率是( C )
A.13
B.12
2
5
C.3
D.6
技法：无限元素用几何．一个变量为长度．二个变量是平行人在红灯亮起的 25 秒内到达该路口，即满足至少需要等待面．变量之比为概率． 15 秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知所求事件的概 (1)(2016·高考全国卷Ⅱ改编)某路口人行横道的信号灯为红灯和率绿P灯＝交2450替＝出58. 现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该
解析：(1)当 X＝8 时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是 8,8,9,10，故 x ＝8＋8＋49＋10＝345，s2＝14× 8－3452×2＋9－3452＋10－3452＝1116.

高三数学复习教案：概率统计

高三数学复习教案：概率统计一、教学目标1.理解概率统计的基本概念，掌握概率的计算方法。

2.能够运用概率统计的方法解决实际问题。

3.提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容1.概率的基本概念与计算方法2.离散型随机变量及其分布列3.连续型随机变量及其概率密度函数4.随机变量的期望和方差5.统计量的概念与计算方法6.假设检验与置信区间三、教学重点与难点1.教学重点：概率的基本概念与计算方法，离散型随机变量及其分布列，连续型随机变量及其概率密度函数，随机变量的期望和方差。

2.教学难点：离散型随机变量分布列的求解，连续型随机变量概率密度函数的应用，随机变量期望和方差的计算。

四、教学过程第一课时：概率的基本概念与计算方法1.引入同学们，大家好！今天我们开始复习概率统计这一模块。

让我们回顾一下概率的基本概念和计算方法。

2.概念讲解（1）概率的定义：在一定条件下，某个事件发生的可能性大小。

①0≤P(A)≤1②P(∅)=0，P(S)=1③对于任意可列个两两互斥的事件A1，A2，…，有P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…3.概率的计算方法（1）古典概型：若样本空间S中的每个基本事件等可能发生，则事件A的概率为：P(A)=A中基本事件数/样本空间S中基本事件数（2）条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。

根据条件概率的定义，有：P(A|B)=P(AB)/P(B)（3）乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)（4）全概率公式与贝叶斯公式4.例题讲解（1）古典概型：掷一枚硬币，求正面朝上的概率。

（2）条件概率与乘法公式：甲、乙两人比赛，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4。

若甲先赢一局，求甲最终获胜的概率。

（3）全概率公式与贝叶斯公式：某工厂有两个车间，第一车间生产的产品占60%，第二车间生产的产品占40%。

第一车间不合格率为0.01，第二车间不合格率为0.02。

从工厂中随机抽取一件产品，发现不合格，求这件产品来自第一车间的概率。

专题1-8 概率与统计教学案-备战2018高考高三二轮理数

一．考场传真1. 【2017课标1，理】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B2．【2017课标3，理3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A3．【2017课标II ，理13】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = .【答案】1.96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即()~100,002X B ，由二项分布的期望公式可得()11000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=.4．【2017课标1，理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得161116i i x x ===∑i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=0.09≈．5．【2017课标II ，理18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表()222006266343815.70510010096104K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于15.705 6.635>，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<，箱产量低于55kg 的直方图面积为()0.0040.0200.0440.06850.680.5+++⨯=>，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为()0.50.345052.350.068kg -+≈.6．【2017课标3，理18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？520元.二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求概率与统计（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式．（2）理解古典概型及其概率计算公式．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．（3）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．（4）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．（5）能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．（6）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．（7）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．（8）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．（9）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．独立性检验：了解独立性检验(只要求2*2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.回归解析：了解回归解析的基本思想、方法及其简单应用.2.命题规律：（1）随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查；（2）借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主；（3）以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容．新课标高考对几何概型的要求较低，常与积分结合起来出题.（4）考查样本的频率分布(分布表、直方图、茎叶图)中的有关计算，样本特征数(众数、中位数、平均数、标准差)的计算．（5）考查以样本的分布估计总体的分布（以样本的频率估计总体的频率、以样本的特征数估计总体的特征数）；（6）离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，以解答题为主，也有选择、填空题，属中档题，常与排列组合概率等知识综合命题．（7）概率与统计问题是每年高考必考内容，且本部分题多为中低档题.一般是一个选择题、一道解答题.选择题或填空题以中低档题为主，解答题中等难度，重点考查基本概念及运算，往往与统计问题综合在一起，如以直方图或茎叶图提供问题的背景信息，在同一个问题中同时考查概率与统计的知识，成为近年命题的一个明显趋势，而统计案例这二年有所加强. 3．学法导航1. 当试验结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．2. 事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件．在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件(即是否不可能同时发生)，然后判断这两个事件是不是对立事件(即是否必然有一个发生)．在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误． 3．反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数、中位数和方差等．由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．4. 在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值；回归直线过样本点的中心(x ，y )，应引起关注． 5．独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入公式求解K 2即可． 6．几种常见的分布列的求法()1取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.()2射击问题：若是一人连续射击，且限制在n 次射击中发生k 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.()3对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解. 7．解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件：独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.一．基础知识整合基础知识： 1．随机事件的概率（1）随机事件的概率范围：()01P A ≤≤；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0．（2）古典概型的概率：()m A P A n ==中所含的基本事件数基本事件总数；（3）几何概型的概率：()m A P A n ==构成事件的区域长度（面积或体积）试验全部结果所构成的区域长度（面积或体积）；（4）互斥事件的概率加法公式：()()()P A B P A P B =+；对立事件的概率减法公式：()()1P A P A =-；（5）相互独立事件的概率乘法公式：()()()P AB P A P B =⋅；（6）条件概率除法公式：()()()P AB P B A P A =．2．独立重复试验概率公式：()()1,1,2,3,,.n kk kn n P k C p p k n -=-=3．超几何分布的概率：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),1,2,3,,,,,,,,.k n k M N MnNC C P X k k m m M m n M N n M N N C -*-===≤≤≤∈此时称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M ，N ，n ． 4．离散型随机变量的均值与方差（1）均值：1122n n EX x p x p x p =+++；（2）方差：()()()2221122n n DX x EX p x EX p x EX p =-+-++-；（3）性质：()()E ax b aE x b +=+；()()2D ax b a D x +=．5．两点分布与二项分布的均值与方差：（1）若X 服从两点分布，则(),1EX p DX p p ==-；（2）若(),XB n p ，则(),1EX np DX np p ==-．6．正态分布的三个常用数据（1）()0.6826P X μσμσ-<≤+=；（2）()220.9544P X μσμσ-<≤+=；（3）()330.9974P X μσμσ-<≤+=． 7．直方图的三个常用结论（1）小长方形的面积=组距⨯频率组距=频率；（2）各长方形的面积和等于1；（3）小长方形的高=频率组距． 8．统计中的四个数据特征：（1）众数、中位数；（2）样本平均数；（3）样本方差；（4）样本标准差． 9．线性回归方程线性回归方程为y bx a =+， ∑∑∑∑=-=--=--=-Λ--=---=ni ni i ni ii ni ixn xy x n yx x xy y x xb 12211121)())((，-Λ-Λ-=x b y a ）.其中x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n∑i ＝1ny i ，一定经过样本中心点(),x y ．10.独立性检验：设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A ：A 1，A 2＝A 1；变量B ：B 1，B 2＝B1.2×2列联表构造一个随机变量2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++错误！未找到引用源。

2018届高考数学文二轮复习课件：2.7.2 概率及其与统计的综合应用精品

解析：利用复数的几何意义可知|z|≤1 表示的区域为以(1,0)为圆心，1 为半径的圆及其内部，此区域内满足 y≥x 的点对应的区域如图中阴影部分所示，
故求概率 P＝14ππ－21＝14－21π，故选 C.
答案：C
3．(2016·新课标全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜
色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛
热点追踪
热点考向一几何概型
[典例 1] (2015·福建卷)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B
x＋1，x≥0，的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)＝－12x＋1，x<0 的图象
上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于
( A).16
[自主解答] (1)①当 x≤19 时，y＝3 800；当 x＞19 时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，
所以 y 与 x 的函数解析式为 y＝530800x0－，5x7≤001，9，x＞19 (x∈N)． ②由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故 n 的最小值为 19. ③若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3 800 元，20 台的费用为 4 300 元，10 台的费用为 4 800 元，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000 元．
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．

2018年高考数学二轮复习第一部分专题四概率与统计教学案理

专题四概率与统计[研高考·明考点]第一讲小题考法——排列、组合与二项式定理[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24B ．18C ．12D ．9(2)(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种(3)(2017·长春质检)某班主任准备请2018届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)[解析] (1)由题意可知从E 到F 有6条最短路径，从F 到G 有3条最短路径，由分步乘法计数原理知，共6×3＝18条最短路径，故选B.(2)因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C 24C 12C 11A 22＝6种，再分配给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．(3)若甲、乙同时参加，不同的发言顺序有2C 26A 22A 22＝120种；若甲、乙有一人参加，不同的发言顺序有C 12C 36A 44＝960种．由分类加法计数原理知，共有120＋960＝1 080种不同的发言顺序．[答案] (1)B (2)D (3)1 080[方法技巧]1．解答排列组合问题的4个角度解答排列组合问题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．2．解决分组分配问题的3种策略(1)不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．(2)整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数)，避免重复计数．(3)部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．[演练冲关]1．两个三口之家约定星期日乘“奥迪”、“奔驰”两辆轿车结伴郊游，他们共有4个大人，2个小孩，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数为( )A ．40B ．48C ．60D ．68解析：选B 由题意得，只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的乘坐奔驰车即可，需要分三类：若奥迪车上没有小孩，则有C 24＋C 34＝10种乘车方法；若有一个小孩，则有C 12×(C 14＋C 24＋C 34)＝28种乘车方法；若有两个小孩，则有C 14＋C 24＝10种乘车方法．故不同的乘车方法种数为10＋28＋10＝48.2．2名男生、1名男教师和3名女生站成一排，若男教师不站两端，任意两名女生都不相邻，则不同的排法种数为( )A．120 B．96C．84 D．36解析：选A 首先将2名男生和1名男教师安排好，有A33＝6种情况，排好后有4个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有A34＝24种情况，则2名男生、1名男教师和3名女生站成一排，任意两名女生都不相邻的排法有6×24＝144(种)．其中男教师站在两端的情况有2A22A33＝24(种)，则男教师不站两端，任意两名女生都不相邻的不同的排法种数为144－24＝120.3．(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C14C35A44＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A45＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．答案：1 0804．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) 解析：法一：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．答案：660[典例感悟][典例] (1)(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A．10 B．20 C．30 D．60(2)(2017·南昌模拟)在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，xy3项的系数为________．(3)(2015·全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.[解析] (1)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.(2)在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，通项为C r 6(2x )r ·C m 5y m，其中r ＝0,1，…，6，m ＝0,1，…，5.令r ＝1，m ＝3，得xy 3项的系数为C 16×2×C 35＝120.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，解得a ＝3.[答案] (1)C (2)120 (3)3[方法技巧]求解二项式定理相关问题的常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．[演练冲关]1．在二项式(1－2x )n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )A ．－960B ．960C ．1 120D ．1 680解析：选C 根据题意，2n －1＝128，解得n ＝8，则(1－2x )8的展开式的中间项为第5项，且T 5＝C 48(－2)4x 4＝1 120x 4，即展开式的中间项的系数为1 120.2．(2017·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35解析：选C (1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30.3．(2017·合肥质检)在⎝⎛⎭⎪⎫x －1x－14的展开式中，常数项为________．解析：易知⎝⎛⎭⎪⎫x －1x－14＝－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4的展开式的通项T r ＋1＝C r 4(－1)4－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x r .又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x r 的展开式的通项R m ＋1＝C m r xr －m(－x －1)m ＝C mr (－1)m xr －2m，∴T r ＋1＝C r 4(－1)4－r·C m r ·(－1)m xr －2m，令r －2m ＝0，得r ＝2m ，∵0≤r ≤4，∴0≤m ≤2，∴当m ＝0,1,2时，r ＝0,2,4，故常数项为T 1＋T 3＋T 5＝C 04(－1)4＋C 24(－1)2·C 12(－1)1＋C 44(－1)0·C 24(－1)2＝－5.答案：－5[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．排列、组合数公式 (1)排列数公式A mn ＝n (n －1)·…·(n －m ＋1)＝n ！n －m ！.(2)组合数公式 C m n＝A mn A m m＝nn －n －m ＋m ！＝n ！m ！n －m ！.2．二项式定理 (1)二项式定理 (a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n.(2)通项与二项式系数T k ＋1＝C k n a n －k b k，其中C k n (k ＝0,1,2，…，n )叫做二项式系数．(二) 二级结论要用好 1．各二项式系数之和 (1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n. (2)C 1n ＋C 3n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1.2．二项式系数的性质 (1)C rn ＝C n －rn ，C rn ＋C r －1n ＝C rn ＋1. (2)二项式系数最值问题当n 为偶数时，中间一项即第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项的二项式系数C n2n 最大；当n 为奇数时，中间两项即第n ＋12，n ＋32项的二项式系数Cn －12，Cn ＋12相等且最大．[针对练] 若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45解析：选B 依题意知n ＝10， ∴T r ＋1＝C r10(x )10－r·2x 2r＝C r 102r·x 5－52r ，令5－52r ＝0，得r ＝2，∴常数项为C 21022＝180.(三) 易错易混要明了二项式(a ＋b )n与(b ＋a )n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分．还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时要明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同．[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·云南统考)在⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 10的二项展开式中，x 4的系数为( )A ．－120B ．－60C ．60D ．120解析：选A ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式的通项T r ＋1＝C r 10x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 10x 10－2r，令10－2r ＝4，得r ＝3，所以该二项展开式中x 4的系数为－C 310＝－120.2．(2017·长沙调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r ·(－2y )r ＝C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ·(－2)r ·x 5－r ·y r，令r ＝3，得x 2y 3的系数为C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·(－2)3＝－20.3．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方案有( )A ．24种B ．18种C ．16种D ．10种解析：选D 若甲景区在最后一个体验，则有A 33种方案；若甲景区不在最后一个体验，则有A 12A 22种方案．所以小李旅游的方案共有A 33＋A 12A 22＝10(种)．4．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种解析：选B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法有C 34种；其次将获得同一道题目的2位教师选出，选法有C 24种；最后将选出的3道题目分配给3组教师，分配方式有A 33种．由分步乘法计数原理，知满足题意的情况共有C 34C 24A 33＝144(种)．5．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A ．30种B ．36种C ．60种D ．72种解析：选A 甲、乙两人从4门课程中各选修2门有C 24C 24＝36种选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有C 24＝6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30(种)．6．(x 2－2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x 5的展开式中x －1的系数为( )A ．60B ．50C ．40D ．20解析：选A 依题意，⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5·2r ·x －r ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 5的展开式中含x －1(当r ＝1时)，x －3(当r ＝3时)项的系数分别为2C 15，23C 35，所以(x 2－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 5的展开式中x－1的系数为23C 35－2×2C 15＝60.7.⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x －1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( )A ．－20B ．－10C ．10D ．20解析：选C 令x ＝1，可得a ＋1＝2，所以a ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x －1)5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x －1)5，则展开式中常数项为2C 45(－1)4＝10.8．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有( )A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种解析：选D 从9名同学中任选3名分别到A ，B ，C 三地进行社会调查有C 39A 33种安排方法，3名同学全是男生或全是女生有(C 35＋C 34)A 33种安排方法，故选出的同学中男女均有的不同安排方法有C 39A 33－(C 34＋C 35)A 33＝420(种)．9．已知(x ＋2)15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，则a 13的值为( ) A ．945 B ．－945 C ．1 024D ．－1 024解析：选B 由(x ＋2)15＝[3－(1－x )]15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，得a 13＝C 1315×32×(－1)13＝－945.10．(2017·合肥质检)已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64解析：选D 由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135，C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，令x ＝1，得(ax ＋b )6的展开式中所有项的系数之和为(a ＋b )6＝64，故选D.11．(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：选C 当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．484解析：选C 由题意，不考虑特殊情况，从16张卡片中任取3张共有C 316种取法，其中取出的这三张卡片是同一种颜色有4C 34种取法，取出2张红色卡片有C 24·C 112种取法，故所求的取法共有C 316－4C 34－C 24·C 112＝472(种)，故选C.二、填空题13．(2018届高三·湘中名校联考)设1＋x 5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 5(x －1)5，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.解析：令x ＝2，得1＋25＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝33. 答案：3314．(2017·浙江高考)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.解析：由题意知a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.答案：16 415．“污染治理”“延迟退休”“楼市新政”“共享单车”“中印对峙”成为现在社会关注的5个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“共享单车”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的调查顺序有________种．解析：先从“污染治理”“延迟退休”“楼市新政”“中印对峙”这4个热点中选出3个，有C 34种不同的选法，在调查时“共享单车”安排的顺序有A 13种可能情况，其余3个热点安排的顺序有A 33种可能情况，故有C 34A 13A 33＝72种不同的调查顺序．答案：7216.编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A 球不能放在4号，5号，B 球必须放在与A 球相邻的盒子中，则不同的放法的种数为________．解析：根据A 球所在的位置可分三类情况：①若A 球放在1号盒子内，则B 球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有A 33＝6种不同的放法；②若A 球放在3号盒子内，则B 球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有A 33＝6种不同的放法；③若A 球放在2号盒子内，则B 球可以放在1号，3号，4号中的任何一个盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有C 13·A 33＝18种不同的放法．综上可得不同的放法共有6＋6＋18＝30(种)．答案：30B 组——能力小题保分练1．若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x2 018，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C 令x ＝0，得a 0＝1. 令x ＝12，得1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝0.则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1. 2．(2017·武昌调研)若⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项为( )A ．－270B ．270C ．－90D ．90解析：选C ⎝⎛⎭⎪⎫3x －3x n 的展开式中所有项系数的绝对值之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n的展开式中所有项系数之和．令x ＝1，得4n＝1 024，∴n ＝5.则⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x 5，其通项T r ＋1＝C r 53x 5－r·(－3x )r ＝C r 5·35－r ·(－1)r·x r －52＋r 3，令r －52＋r 3＝0，解得r ＝3，∴该展开式中的常数项为T 4＝C 35·32·(－1)3＝－90，故选C.3．(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个解析：选C 由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1.不考虑限制条件“对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C 36＝20(种)，其中存在k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的情况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 14＝4(种)；②若 a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.4．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 5展开式中的常数项为－40，则a ＝________.解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 525－r x 5－2r ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x 2x ＋1x5的展开式中的常数项为－40，所以ax C 3522x －1＋1xC 2523x ＝－40，即40a ＋80＝－40，解得a ＝－3.答案：－35．福州大学的8名学生准备拼车去湘西凤凰古城旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分乘甲、乙两辆汽车．每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有________种．解析：可分两类：第一类，大一的孪生姐妹乘坐甲车，则可再分三步：第一步，从大二、大三、大四三个年级中任选两个年级，有C 23种不同的选法；第二步，从所选出的两个年级中各抽取一名同学，有C 12C 12种不同的选法；第三步，余下的4名同学乘乙车有C 44种不同的选法，根据分步乘法计数原理，可知有C 23C 12C 12C 44种不同的乘坐方式．第二类，大一的孪生姐妹乘坐乙车，则可再分三步：第一步，从大二、大三、大四三个年级中任选一个年级(此年级的2名同学乘甲车)，有C 13种不同的选法；第二步，余下的两个年级中各抽取一名同学，有C 12C 12种不同的选法；第三步，余下的2名同学乘乙车有C 22种不同的选法，根据分步乘法计数原理，可知有C 13C 12C 12C 22种不同的乘坐方式．根据分类加法计数原理，满足要求的乘坐方式种数为C23C12C12C44＋C13C12C12C22＝24.答案：246．(2017·陕西质检)从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．解析：依题意共有8类不同的和声，当有k(k＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C k10种不同的和声，则和声总数为C310＋C410＋C510＋…＋C1010＝210－C010－C110－C210＝1 024－1－10－45＝968.答案：968第二讲小题考法——概率、统计、统计案例[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(2)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④(3)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,10B ．200,10C ．100,20D ．200,20[解析] (1)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20℃的月份有2个，故D 错误．(2)∵x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x 甲<x 乙．又s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s 甲>s 乙．故可判断结论①④正确．(3)易知样本容量为(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200；抽取的高中生人数为2 000×2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40×50%＝20.[答案] (1)D (2)B (3)D[方法技巧]1．方差的计算与含义(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算． (2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大． 2．与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：选A 根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A 错误．由图可知，B 、C 、D 正确．2．(2017·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A ．3,5B ．5,5C ．3,7D ．5,7解析：选A 由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以15×[56＋62＋65＋74＋(70＋x )]＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x ＝3.3．某电子商务公司对10 000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a ＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a ＝3.(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000. 答案：(1)3 (2)6 000[典例感悟][典例] (1)(2017·兰州诊断)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( )A ．45B ．50C ．55D ．60(2)(2017·南昌模拟)设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg [解析] (1)x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m5.∵当x －＝5时，y －＝6.5×5＋17.5＝50， ∴190＋m5＝50，解得m ＝60. (2)因为回归直线方程y ^＝0.85x －85.71中x 的系数为0.85>0，因此y 与x 具有正线性相关关系，所以选项A 正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(x －，y －)，所以选项B 正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，所以若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ，所以选项C 正确，选项D 不正确．[答案] (1)D (2)D[方法技巧]求回归直线方程的关键及实际应用(1)求回归直线方程的关键是正确理解b ^，a ^的计算公式和准确地求解．(2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．[演练冲关]1．(2018届高三·湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如表所示(单位：万元)：由上表可得回归方程为y ＝10.2x ＋a ，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为( ) A ．101.2万元 B ．108.8万元 C ．111.2万元D ．118.2万元解析：选C 根据统计数据表，可得x －＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y －＝15×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ^＝10.2x ＋a ^经过样本点的中心(4,50)，∴50＝10.2×4＋a ^，解得a ^＝9.2，∴回归方程为y ^＝10.2x ＋9.2.当x ＝10时，y ＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.2．(2018届高三·湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >3.841，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．99.5%D ．95%解析：选D 由表中数据可得，当k >3.841时，有0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115 D.130(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4(3)(2018届高三·湖北五市十校联考)在矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2AD ，在CD 上任取一点P ，△ABP 的最大边是AB 的概率为( )A.22 B.32C.2－1D.3－1[解析] (1)∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.(2)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S 黑＝12S 圆＝π2，故此点取自黑色部分的概率P ＝π24＝π8.(3)分别以A ，B 为圆心，AB 的长为半径画弧，交CD 于P 1，P 2，则当P 在线段P 1P 2间运动时，能使得△ABP 的最大边是AB ，在Rt △P 2BC中，BP 2＝2，BC ＝1，故CP 2＝3，DP 2＝2－3，同理CP 1＝2－3，所以P1P2＝2－(2－3)×2＝23－2，所以P 1P 2CD＝3－1，即△ABP 的最大边是AB 的概率为3－1. [答案] (1)C (2)B (3)D[方法技巧]1．利用古典概型求概率的关键及注意点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识．(2)对于较复杂的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏． 2．几何概型的适用条件及求解关键(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．(2)求解关键是寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．[演练冲关]1．(2018届高三·湖北七市(州)联考)从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为( )A.225B.13125C.18125D.9125解析：选A 从5个数字中任意抽取3个数字组成一个三位数，并且允许有重复的数字，这样构成的数字有53＝125个．则各位数字之和等于12且没有重复数字，则该数只能含有3,4,5三个数字，可构成A 33＝6个三位数；若三位数的各位数字均重复，则该数为444；若三位数中有2个数字重复，则该数为552,525,255，有3个．因此，所求概率为P ＝6＋1＋3125＝225，故选A.2．(2017·长春质检)如图，扇形AOB 的圆心角为120°，点P 在弦AB上，且AP ＝13AB ，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为( )A.14B.13C.27D.38解析：选A 设OA ＝3，则AB ＝33，AP ＝3，由余弦定理可求得OP ＝3，则∠AOP ＝30°，所以扇形AOC 的面积为3π4，又扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为3π43π＝14.3．某班班会，准备从包括甲、乙两人的7名学生中选取4名学生发言，要求甲、乙两人至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为________．解析：若无限制条件则有A 47种情况；若甲、乙两人都不被选中则有A 45种情况，因此甲、乙两人至少有1人被选中有A 47－A 45种情况．甲、乙两人都被选中且发言时不相邻共有A 25·A 23种情况，故所求概率为P ＝A 25·A 23A 47－A 45＝120840－120＝16.答案：16[典例感悟][典例] (1)(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312(2)(2017·武昌调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29B.13C.49D.59(3)某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．[解析] (1)3次投篮投中2次的概率为P (X ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)＝0.432，投中3次的概率为P (X ＝3)＝0.63＝0.216，所以该同学通过测试的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.432＋0.216＝0.648.(2)小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，4个人去的景点不同有A 44＝。

统考版2024高考数学二轮专题复习专题四统计与概率第1讲统计统计案例课件理

——准确计算，数据分析
考点三回归分析的实际应用——准确计算，数据分析
线性回归方程
෠
෠
方程ොy＝bx＋ො
a称为线性回归方程，其中 b＝
෠ x；(തx，തy)称为样本中心点．
·四川省成都市石室中学模拟]某企业为了了解年广告费 x（单位：
万元）对年销售额 y（单位：万元）的影响，统计了近 7 年的年广告费 xi 和年
体由差异明显的几部分组成．
例 1 (1)某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先
将700个零件进行编号001、002、…、699、700.从中抽取70个样本，
下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读
取数据，则得到的第5个样本编号是(
)
3321183429 7864560732 5242064438 1223435677 3578905642
支持结论“X与Y有关系”．
对点训练
[2021·全国甲卷]甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一
级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生
产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
甲机床
销售额 yi（i＝1，2，3，4，5，6，7）的数据，得到下面的表格：
年广告费 x
2
3
4
5
6
7
8
年销售额 y 25 41 50 58 64 78 89
由表中数据，可判定变量 x，y 的线性相关关系较强．
（1）建立 y 关于 x 的线性回归方程；
（2）已知该企业的年利润 z 与 x，y 的关系为 z＝2 y －x，根据（1）的
界人口变化情况的三幅统计图：
下列结论中错误的是（

2018年高考数学(理)二轮复习讲学案：概率与统计第1讲排列、组合、二项式定理(含答案解析)

第1讲排列、组合、二项式定理1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查．2．二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注．热点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘．例1 (1)(2017·东北三省三校联合)在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有( )A．20种B．21种C．22种D．24种答案 B解析分类讨论．当广告牌没有蓝色时，有1种结果；当广告牌有1块蓝色时，有C16＝6(种)结果；当广告牌有2块蓝色时，先排4块红色，形成5个位置，插入2块蓝色，有C25＝10(种)结果；当广告牌有3块蓝色时，先排3块红色，形成4个位置，插入3块蓝色，有C34＝4(种)结果；由于相邻广告牌不能同为蓝色，所以不可能有4块蓝色广告牌．根据分类加法计数原理有1＋6＋10＋4＝21(种)结果．故选B.(2)(2016·全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18C．12 D．9答案 B解析从E到F的最短路径有6条，从F到G的最短路径有3条，所以从E到G的最短路径为6×3＝18(条)，故选B.思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．跟踪演练1 (1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A．18种B．24种C．36种D．48种答案 C解析若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12(种)，若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12(种)，若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C23＝6(种)，若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A23＝6(种)，根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种．故选C.(2)(2017·江西省五市八校联考)某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同的安排方法种数是( )A．24 B．32C．48 D．84答案 A解析首先安排文科学生，文科两个班的学生有A23种安排方法，然后安排理科学生，理科的学生有A12×A22种安排方法，利用分步乘法计数原理可得，不同的安排方法种数为A23×A12×A22＝24(种)．故选A.热点二排列与组合例2 (1)(2017届四川省广元市三诊)某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置)，其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A．18种B．24种C．36种D．48种答案 B解析若A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车，即剩下的两个小孩来自其他的3个家庭，有C23·22＝12(种)方法，若A户家庭的孪生姐妹乘坐乙车，那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个，有C13·22＝12(种)，所以共有12＋12＝24(种)方法，故选B.(2)(2017·天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)答案 1 080解析①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35·C14·A44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．思维升华求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．解答计数问题多利用分类讨论思想．分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”．跟踪演练2 (1)(2017·兰州模拟)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( ) A ．A 1818种 B ．A 2020种 C ．A 23A 318A 1010种 D ．A 22A 1818种答案 D解析先排美、俄两国领导人，方法有A 22种，剩下18人任意排有A 1818种，故共有A 22·A 1818种不同的站法．(2)(2017·广东省韶关市模拟)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有( ) A ．25种 B ．60种 C ．90种 D ．150种答案 D解析因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两种方法：一，一个单位1名，其他两个单位各2名，有C 15C 24A 22×A 33＝90(种)分配方法；二，一个单位3名，其他两个单位各1名，有C 35×A 33＝60(种)分配方法，共有90＋60＝150(种)分法，故选D. 热点三二项式定理 (a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n ，其中各项的系数C kn (k ＝0,1，…，n )叫做二项式系数；展开式中共有n ＋1项，其中第k ＋1项T k ＋1＝C k n an －k b k(其中0≤k ≤n ，k ∈N ，n ∈N *)称为二项展开式的通项公式．例3 (1)(2017·河南省普通高中质量监测)(3－2x －x 4)·(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．600 B ．360 C ．－600 D ．－360答案 C解析依题意，由排列组合知识可知，展开式中x 3项的系数为3×C 3623(－1)3－2×C 4622(－1)4＝－600.故选C. (2)(2017届湖北省黄冈市质量检测)已知(1－2x )2 017＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 2 016(x －1)2 016＋a 2 017(x －1)2017(x ∈R )，则a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋…－2 016a 2 016＋2 017a 2 017等于( )A ．2 017B ．4 034C ．－4 034D ．0答案 C解析因为(1－2x )2 017＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 2 016(x －1)2 016＋a 2 017(x －1)2 017(x ∈R )，两边同时求导可得－2×2 017(1－2x )2 016＝a 1＋2a 2(x －1)＋…＋2 016a 2 016(x －1)2 015＋2 017a 2 017(x －1)2 016(x ∈R )，令x ＝0，则－2×2 017＝a 1－2a 2＋…－2 016a 2 016＋2 017a 2 017 (x ∈R )＝－4 034，故选C. 思维升华 (1)在应用通项公式时，要注意以下几点①它表示二项展开式的任意项，只要n 与k 确定，该项就随之确定； ②T k ＋1是展开式中的第k ＋1项，而不是第k 项；③公式中，a ，b 的指数和为n ，且a ，b 不能随便颠倒位置；④对二项式(a －b )n的展开式的通项公式要特别注意符号问题．(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．跟踪演练3 (1)(2017·全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35答案 C解析因为(1＋x )6的通项为C k 6x k ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6的展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x2·C 46x 4.因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为30.故选C.(2)(2017·吉林调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，若A B＝32，则n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 A解析令x ＝1，得各项系数之和为A ＝4n，二项式系数之和为B ＝2n，故A B ＝4n2n ＝32，解得n ＝5，故选A.真题体验1．(2017·全国Ⅱ改编)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种．答案 36解析由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．2．(2016·上海)在⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x n的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．答案 112解析 2n＝256，n ＝8，通项C k 8·83k x-·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝C k 8(－2)k·843k x -，令k ＝2，则常数项为C 28(－2)2＝112.3．(2017·浙江)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.答案16 4解析a4是x项的系数，由二项式的展开式得a4＝C33·C12·2＋C23·C22·22＝16.a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C33·C22·22＝4.4．(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．押题预测1．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A．8种 B．16种C．18种 D．24种押题依据两个计数原理是解决排列、组合问题的基础，也是高考考查的热点．答案 A解析可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A12种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A12种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A22种．根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有A12A12A22＝8(种)．故选A.2．为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为( )A．60 B．120C．240 D．360押题依据排列、组合的综合问题是常见的考查形式，解决问题的关键是先把问题正确分类．答案 D解析6名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种情况，由于王教练不去甲校，王教练自己去一个学校有C12种，其余5名分成一人组和四人组有C45A22种，共C45A22C12＝20(种)；王教练分配到四人组且该组不去甲校有C35C12A22＝40(种)，则第一种情况共有20＋40＝60(种)．(2)对于第二种情况，王教练分配到一人组有C35C22A22C12＝40(种)，王教练分配到三人组有C25C23C12A22＝120(种)，王教练分配到两人组有C15C12C34A22＝80(种)，所以第二种情况共有40＋80＋120＝240(种)．(3)对于第三种情况，共有C15C12C24C22＝60(种)．综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)分配方案．3．设(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，则代数式a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＋7a7的值为( )A ．－14B ．－7C ．7D ．14押题依据二项式定理作为选择题或填空题设计，属于必考试题，一般试题难度有所控制，考查常数项、指定项的系数、最值、系数和等类型，本题设问角度新颖、典型，有代表性．答案 A解析对已知等式的两边求导，得－14(1－2x )6＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4＋6a 6x 5＋7a 7x 6，令x ＝1，有a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6＋7a 7＝－14. 故选A.4．(1＋2x )10的展开式中系数最大的项是________．押题依据二项展开式中的系数是历年高考的热门考题，常考常新，本题通过求解系数最大的项，考查考生的运算求解能力．答案 15 360x 7解析设第k ＋1项的系数最大，由通项公式T k ＋1＝C k 102k x k，依题意知T k ＋1项的系数不小于T k 项及T k ＋2项的系数，即⎩⎪⎨⎪⎧C k102k≥C k －1102k －1，C k 102k ≥C k ＋1102k ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧2(11－k )≥k ，k ＋1≥2(10－k ).所以193≤k ≤223，即k ＝7.故最大的项为T 8＝C 71027x 7＝15 360x 7.A 组专题通关1．在(x －2－1x )n的二项展开式中，若第四项的系数为－7，则n 等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6答案 B解析 T 3＋1＝C 3n ·(x )n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 23＝－18×C 3n ·32n x+，－18C 3n ＝－7，C 3n ＝56⇒n (n －1)(n －2)1×2×3＝56，解得n ＝8，故选B.2．5名学生进行知识竞赛．笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是( ) A ．54 B ．72 C ．78 D ．96答案 C解析由题得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，乙得第一，有A 44＝24(种)，乙没得第一有3种，再排甲也有3种，余下的有A 33＝6(种)，故有6×3×3＝54(种)，所以一共有24＋54＝78(种)．3．(2017届四川省成都市九校模拟)某公司有五个不同的部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为( ) A ．60 B ．40 C ．120 D ．240答案 A解析由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有C 24C 22A 22＝3(种)不同的分法；再将两组安排在其中的两个部门，共有3×A 25＝60(种)不同的安排方法，故选A.4．(2017届江西省重点中学盟校联考)将A ，B ，C ，D ，E 这5名同学从左至右排成一排，则A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有一名同学的排法有( ) A ．18种 B ．20种 C ．21种 D ．22种答案 B解析当A ，C 之间为B 时，看成一个整体进行排列，共有A 22·A 33＝12(种)，当A ，C 之间不是B 时，先在A ，C 之间插入D ，E 中的任意一个，然后B 在A 之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有C 12·A 22·A 22＝8(种)，所以共有20种不同的排法．5．(2017·全国Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80答案 C解析因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40，x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80.所以x 3y 3的系数为80－40＝40. 故选C.6．(2017届河北省唐山市模拟)若(1－x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|等于( ) A ．1 B ．513 C ．512 D ．511答案 D解析令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.7．(2017·浙江省台州市一模)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x 5的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为( )A ．270x －1B ．270xC ．405x 3D ．243x 5答案 B解析令x ＝1 ，(a －1)5＝32，解得a ＝3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x 5 中共有6项，其中奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，所以比较奇数项的系数，奇数项分别为C 05(3x )5＝243x 5， C 25(3x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝270x ，C 45(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＝15x3 ，所以系数最大的项为270x ，故选B.8．(2017届安徽省黄山市模拟)《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有( ) A ．144种 B ．288种 C ．360种 D ．720种答案 A解析《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词进行全排列共有A 44种排法，满足《将进酒》排在《望岳》的前面的排法共有A 44A 22种，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在4个空里(最后一个空不排)，有A 24种排法，《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有A 44A 22×A 24＝144(种)，故选A.9．(2017·黑龙江省虎林市模拟)2017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案有________种．答案 65解析根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3＝81(种)情况，若哈西站没人去，即四位同学选择了城乡路和哈尔滨大街．每人有2种选择方法，则4人一共有2×2×2×2＝16(种)情况，故哈西站一定要有人去的游览方案有81－16＝65(种)．10．(2017届云南省曲靖市第一中学月考)若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x2 017(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为________．答案－1解析令等式中的x ＝0，得a 0＝1；再令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝－a 0＝－1.11．(2017·浙江省杭州市二模)若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中所有二项式系数和为64，则n ＝________；展开式中的常数项是________．答案 6 240解析由二项式定理性质可知，二项式系数和为2n＝64，所以n ＝6，则原式为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x26，根据二项展开式可知通项公式为T k ＋1＝C k 6(2x )6－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2k ＝C k6(－1)k 26－k x 6－3k，令k ＝2，则T 3＝C 2624＝240，所以展开式中的常数项为240.12．(2017·湖北省六校联考)把编号为1,2,3,4,5,6,7的7张电影票分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，每人至少一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________．答案 1 200解析 (1＋2＋3＋4)A 55＝1 200(种)．B 组能力提高13.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x ＋2x 6的展开式中，x 6的系数为( )A ．240B ．241C ．－239D ．－240答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x ＋2x 6＝x 6⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x x－16，所以x 6的系数为C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x x 0×(－1)6＋C 16C 25x 3⎝⎛⎭⎪⎫2x x 2(－1)1＝－239.故选C. 14．(2017届河北省衡水中学押题卷)为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为( ) A ．720 B ．768 C ．810 D ．816答案 B解析由题知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有C 14A 44＝96(种)情况，其中甲、乙相邻的有C 14A 22A 33＝48(种)情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻的有96－48＝48(种)情况； (2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有C 34C 13A 44＝288(种)情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有C 24C 23A 44＝432(种)情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288＋432＋48＝768(种)情况，故选B.15．(2017·浙江省湖州、衢州、丽水三市联考)6个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中，正视图如图所示，若随机从一头取出一个乒乓球，分6次取完，并依次排成一行，则不同的排法种数是________．(用数字作答)11答案 32解析排成一行的6个球，第一个球可从左边取，也可从右边取，有2种可能，同样第二个球也有2种可能，…，第五个球也有2种可能，第六个球只有1种可能，因此不同的排法种数为25＝32.16．(2017届江西省赣州市模拟)若(1＋y 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2y n(n ∈N *)的展开式中存在常数项，则常数项为________．答案－84解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2y n展开式的通项为C k n x n －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2y k＝C kn (－1)k x n －3ky －k ，(1＋y 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2y n 展开式的通项为C k n (－1)k x n －3k y －k和y 3C k n (－1)k x n －3k y －k ＝C k n (－1)k x n －3k y 3－k，若存在常数项则有⎩⎪⎨⎪⎧ n －3k ＝0，－k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ n －3k ＝0，3－k ＝0，解得k ＝3，n ＝9，常数项为C 39(－1)3＝－84.。

高考数学二轮复习第二层提升篇专题四统计与概率第2讲概率讲义-人教版高三全册数学教案

第2讲概率[全国卷3年考情分析](1)对概率的考查是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择题(或填空题)和一道解答题.(2)选择题或填空题常出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查古典概型、几何概型，难度一般.(3)概率、统计的解答题多在第17、18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与概率交汇考查，二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等.[例1] (1)(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23 B.35 C.25D.15(2)某教师让学生从3.1415926的小数点之后的七个数字1，4，1，5，9，2，6中随机选取两个数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为( )3121C.2231D.1721[解析] (1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.(2)从1，4，1，5，9，2，6这7位数字中任选两位数字的不同情况有：14，11，15，19，12，16，41，45，49，42，46，59，52，56，92，96，26，51，91，21，61，54，94，24，64，95，25，65，29，69，62，共31种，其中使得到的数字不大于3.14的情况有3种，故所得到的数字大于3.14的概率P ＝1－331＝2831.[答案] (1)B (2)A [解题方略]1.求古典概型概率的两个关键点(1)会利用枚举法、列表法等，求样本空间所含的基本事件数n 以及事件A 所含的基本事件数m ；(2)会运用古典概型的概率计算公式P (A )＝m n求事件A 发生的概率. 2.互斥事件、对立事件概率的求法解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算.其方法有直接法和间接法.[跟踪训练]1.已知a ∈{－2，0，1，2，3}，b ∈{3，5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x＋b 为减函数的概率是( )A.310B.3555解析：选C 函数f (x )＝(a 2－2)e x＋b 为减函数，则a 2－2<0，－2＜a ＜2，且与b 无关.又a ∈{－2，0，1，2，3}，故只有a ＝0，a ＝1满足题意，所以函数f (x )＝(a 2－2)e x＋b 为减函数的概率是25.故选C.2.如图是由1个圆、1个三角形和1个长方形构成的组合体，现用红、蓝2种颜色为其涂色，每个图形只能涂1种颜色，则3个图形颜色不全相同的概率为________.解析：设事件M 为“3个图形颜色不全相同”，则其对立事件M 为“3个图形颜色全相同”，用红、蓝2种颜色为3个图形涂色，每个图形有2种选择，共有2×2×2＝8种情况.其中颜色全部相同的有2种，即全部用红色或蓝色，所以P (M )＝28＝14，所以P (M )＝1－P (M )＝1－14＝34.答案：343.某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相等.(1)求被选中的4名同学中恰有2名文科生的概率； (2)求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率.解：将2名文科生和4名理科生依次编号为1，2，3，4，5，6，从2名文科生和4名理科生中选出4名同学记为(a ，b ，c ，d )，其结果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，(1，3，4，5)，(1，3，4，6)，(1，3，5，6)，(1，4，5，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，(2，3，5，6)，(2，4，5，6)，(3，4，5，6)，共15种.(1)被选中的4名同学中恰有2名文科生的结果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，共6种.记“被选中的4名同学中恰有2名文科生”为事件A ，则P (A )＝615＝25.(2)记“被选中的4名同学中至少有1名文科生”为事件B ，则事件B 包含有1名文科生或者2名文科生这两种情况.其对立事件为“被选中的4名同学中没有文科生”，只有一种结果(3，4，5，6).所以P (B )＝115，所以P (B )＝1－P (B )＝1－115＝1415.[例2] (1)设集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫14＜2x ＜16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，从集合A 中任取一个元素，则这个元素也是集合B 中元素的概率是________.(2)(2019·江淮十校联考)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块小正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的大正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.[解析] (1)因为集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪14＜2x ＜16＝(－2，4)，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，所以A ∩B ＝{x |3＜x ＜4或－2＜x ＜0}，所以所求事件的概率是4－3＋0＋24＋2＝12.(2)设大正方形的边长为2，则该正方形的面积为4，阴影部分的面积为12×1×2＋1×12＝32，所以在大正方形中任取一点，此点取自阴影部分的概率为324＝38. [答案] (1)12 (2)38[解题方略] 公式法求解几何概型的关键(1)定型，即判断事件的属性——等可能性与无限性，确定所求概率模型为几何概型. (2)定类，即确定所求事件的几何属性及其度量方式，确定其度量的类别——长度、角度、面积或体积等.(3)求量，根据平面几何、立体几何的相关知识求出基本事件空间Ω度量及事件A 的几何度量.(4)求值，把所求的两个几何度量值代入几何概型的计算公式求值.[跟踪训练]1.(2019·福建五校第二次联考)在区间[0，2]上随机取一个数x ，使sin π2x ≥32的概率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选A 当x ∈[0，2]时，0≤π2x ≤π，所以sin π2x ≥32⇔π3≤π2x ≤2π3⇔23≤x≤43.故由几何概型的知识可知所求概率P ＝43－232＝13.故选A. 2.(2019·湖南省五市十校联考)一只蚂蚁在三边长分别为6，8，10的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为( )A.π24 B.π48C.112D.18解析：选 B 由题意，可得三角形为直角三角形，其面积为12×6×8＝24，三角形内距离三角形的任意一个顶点的距离不大于1的区域如图中阴影部分所示，它的面积为半径为1的半圆面积，即S ＝12π×12＝π2，所以所求概率P ＝π224＝π48，故选B.3.已知在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O ABCD 的体积不小于23的概率为________.解析：当四棱锥O ABCD 的体积为23时，设O 到平面ABCD 的距离为h ，则有13×22×h ＝23，解得h ＝12.如图所示，在四棱锥P ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝2，所以PH PA ＝34，又四棱锥P ABCD 与四棱锥P EFGH 相似，所以四棱锥O ABCD 的体积不小于23的概率为P ＝V 四棱锥P EFGH V 四棱锥P ABCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PH PA 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764.答案：2764考点三概率与统计的综合问题题型一概率与频率分布直方图的综合应用[例3] (2019·东北四市联合体模拟(一))某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人.为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人.甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位：min)进行统计，按照[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]进行分组，得到下列统计图.(1)分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min 的人数.(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？(3)从第一组生产时间少于75min 的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中至少1人生产时间少于65min 的概率.[解] (1)由题意得，第一组工人20人，其中在75min 内(不含75min)生产完成一件产品的有6人，∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75min 的人数约为6×10＝60.第二组工人40人，其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30(人)，∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数约为30×10＝300.(2)第一组工人生产一件产品的平均时间为x甲＝60×2＋70×4＋80×10＋90×420＝78(min)，第二组工人生产一件产品的平均时间为x乙＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5(min)，∴x甲＞x乙，∴乙车间工人的生产效率更高.(3)由题意得，第一组生产时间少于75min的工人有6人，其中生产时间少于65min的有2人，分别用A1，A2代表，生产时间不少于65min的有4人，分别用B1，B2，B3，B4代表.抽取2人的基本事件空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15个，设事件A＝“抽取的2人中至少1人生产时间少于65min”，则事件A＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共6个，∴P(A)＝1－P(A)＝1－615＝35.[解题方略]破解频率分布直方图与概率相交汇问题的步骤题型二概率与茎叶图的综合应用[例4] 某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图所示.(1)求甲在比赛中得分的均值和方差的大小；(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率.[解] (1)甲在比赛中得分的均值x ＝18×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，方差s 2＝18×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.(2)甲比赛得分在20分以下的分数为： 7，8，10，15，17，19.从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：(7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，(10，15)，(10，17)，(10，19)，(15，17)，(15，19)，(17，19)，共15种，其中抽到2场都不超过均值的情形是：(7，8)，(7，10)，(7，15)，(8，10)，(8，15)，(10，15)，共6种，所以所求概率P ＝615＝25.[解题方略] 破解茎叶图与概率问题需过“两关”(1)“看图读数据关”，即看懂茎叶图，并能读出其中的数据；(2)“公式应用关”，即会利用平均数、方差的计算公式求平均数与方差，能利用古典概型的概率计算公式求概率.题型三概率、统计与其他知识的综合[例5] 某高校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三2000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图所示的直方图：(1)若直方图中前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和1951～2000名的学生进行了调查，得到如下数据：年级名次 1～501951～2000根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？附表：参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(n ＝a ＋b ＋c ＋d ).[解] (1)设各组的频率为f i (i ＝1，2，3，4，5，6)，由前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，可得前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，因为f 1＝0.15×0.2＝0.03，f 2＝0.45×0.2＝0.09，所以f 3＝f 22f 1＝0.27，又（f 3＋f 6）·42＝1－(0.03＋0.09)，解得f 6＝0.17，1－f 6＝1－0.17＝0.83.故全年级视力在5.0以下的人数约为2000×0.83＝1660. (2)因为K 2＝100×（41×18－32×9）250×50×73×27＝30073≈4.110＞3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. [解题方略] 解决概率、统计与其他知识的综合[跟踪训练]1.某市爱心人士举办宠物领养活动，为流浪猫、狗寻找归宿，共有560人参加了此次活动，该市宠物收留中心统计了其中70名参加活动的市民的领养意愿，得到如下的统计表.其中n 1∶n 2＝1∶3.(1)求出n 1，n 2的值，并以此样本的频率估计总体的概率，试估计此次参加活动的人中两种流浪宠物都愿意领养的人数；(2)在此次参加活动并有领养意愿的市民中，按分层抽样的方法选取6名市民，在这6名市民中随机抽取2名当场讲解宠物饲养经验，求抽取的2人恰为仅愿意领养一种流浪宠物的市民的概率.解：(1)由题意可得，n 1＋n 2＝40，结合已知条件n 1∶n 2＝1∶3，可得n 1＝10，n 2＝30.用样本的频率估计总体的概率，可知两种流浪宠物都愿意领养的人数为3070×560＝240.(2)由(1)可知，n 1∶20∶n 2＝1∶2∶3，由分层抽样的方法可得，6名市民中仅愿意领养流浪狗的市民有6×11＋2＋3＝1(名)，仅愿意领养流浪猫的市民有6×21＋2＋3＝2(名)，两种流浪宠物都愿意领养的市民有6×31＋2＋3＝3(名).这6名市民中，仅愿意领养流浪狗的1名市民记为A ，仅愿意领养流浪猫的2名市民分别记为B ，C ，两种流浪宠物都愿意领养的3名市民分别记为D ，E ，F .从这6名市民中随机抽取2名的结果有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种，其中恰为仅愿意领养一种浪流宠物的情况有AB ，AC ，BC ，共3种，故所求的概率为315＝15.2.(2019·广州市调研测试)某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每千克10元处理完.根据以往的销售情况，按[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x (同一组中的数据用该组区间中点值代表)；(2)该经销商某天购进了250千克该种蔬果，假设当天的需求量为x 千克(0≤x ≤500)，利润为y 元.求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.解：(1)x ＝50×0.0010×100＋150×0.0020×100＋250×0.0030×100＋350×0.0025×100＋450×0.0015×100＝265.故该种蔬果日需求量的平均数为265千克.(2)当日需求量不低于250千克时，利润y ＝(25－15)×250＝2500(元)，当日需求量低于250千克时，利润y ＝(25－15)x －(250－x )×5＝15x －1250(元)，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧15x －1250，0≤x ＜250，2500，250≤x ≤500，由y ≥1750，得200≤x ≤500，所以P (y ≥1750)＝P (200≤x ≤500)＝0.0030×100＋0.0025×100＋0.0015×100＝0.7.故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7.数据分析——概率与统计综合问题的求解[典例] 某高中学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见图表.规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中原始成绩在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；(2)在选取的样本中，从A ，D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调查，求至少有1名学生是A 等级的概率.[解] (1)由题意可知，样本容量n ＝60.012×10＝50，x ＝250×10＝0.004， y ＝1－0.04－0.1－0.12－0.5610＝0.018.因为成绩是合格等级的人数为(1－0.1)×50＝45，所以抽取的50人中成绩是合格等级的频率为910，依据样本估计总体的思想，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率是910.(2)由茎叶图知，A 等级学生共有3名，由频率分布直方图知D 等级学生共有0.1×50＝5名，记A 等级学生分别为A 1，A 2，A 3，D 等级学生分别为D 1，D 2，D 3，D 4，D 5，则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为A 1A 2，A 1A 3，A 1D 1，A 1D 2，A 1D 3，A 1D 4，A 1D 5，A 2A 3，A 2D 1，A 2D 2，A 2D 3，A 2D 4，A 2D 5，A 3D 1，A 3D 2，A 3D 3，A 3D 4，A 3D 5，D 1D 2，D 1D 3，D 1D 4，D 1D 5，D 2D 3，D 2D 4，D 2D 5，D 3D 4，D 3D 5，D 4D 5，共28个基本事件.记“至少有1名学生是A 等级”为事件E ，则其对立事件E 的可能结果为D 1D 2，D 1D 3，D 1D 4，D 1D 5，D 2D 3，D 2D 4，D 2D 5，D 3D 4，D 3D 5，D 4D 5，共10种.所以P (E )＝1－P (E )＝1－1028＝914.[素养通路]数据分析是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论.本题分析频率分布直方图和茎叶图中数据得n ＝50，x ＝0.004，结合频率之和为1得y ＝0.018，从而求出样本中成绩是合格等级的频率，由样本估计总体的思想得结果；再分析茎叶图中数据分别求出A ，D 等级的学生数，用列举法求出基本事件数，利用古典概型计算公式求解.考查了数据分析这一核心素养.[思维流程——找突破口][典例] 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)[快审题] 第(1)问第(2)问第(3)问[稳解题](1)频率分布直方图如图所示.(2)根据频率分布直方图知，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x1＝150×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x2＝150×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).[题后悟道](1)求概率的关键：定型——定性——定数量(几何量)——求概率.(2)求解统计案例问题的关键：作图(列表格)——计算——得结论.[针对训练]从一批螺钉和螺母中分别抽取20个作为质检样品，测量其直径后得到如下条形统计图：(1)请估计这批螺钉的平均直径(结果保留到0.1mm)；(2)现在需要用一个螺钉和一个螺母组装一种零件，为保证零件的质量，规定：只有直径完全相同的一对螺钉和螺母才能正常配合.以标准尺寸10mm配合的零件为一等品，每个一等品盈利10元；以偏离标准尺寸0.1mm配合的零件为二等品，每个二等品盈利9元；以偏离标准尺寸0.2mm 配合的零件为三等品，每个三等品盈利8元；无法配合的螺钉、螺母只能报废，每对亏损5元.某公司购买这批螺钉、螺母各10000个，试估计能盈利多少元.解：(1)样品中螺钉的平均直径为2×9.8＋3×9.9＋9×10.0＋4×10.1＋2×10.220≈10.0(mm)，所以估计这批螺钉的平均直径是10.0mm.(2)在样品中，能以标准尺寸10mm配合的螺钉、螺母有8对，故样品中盈利10元的概率为820＝25；能以9.9mm配合的螺钉、螺母有3对，能以10.1mm配合的螺钉、螺母有4对，故样品中盈利9元的概率为3＋420＝720；能以10.2mm 配合的螺钉、螺母有2对，能以9.8mm 配合的螺钉、螺母有2对，故样品中盈利8元的概率为2＋220＝15；报废品一对，故样品中损失5元的概率为120.故盈利约为10000×⎝ ⎛⎭⎪⎫10×25＋9×720＋8×15－5×120＝85000(元). [总结升华]概率与统计问题的求解关键是辨别它的模型，只要找到模型，问题便迎刃而解.而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途.另外，还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复合事件.[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )A.16 B.14 C.13D.12解析：选D 设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.故选D.2.已知定义在区间[－3，3]上的函数f (x )＝2x＋m 满足f (2)＝6，在[－3，3]上任取一个实数x ，则使得f (x )的值不小于4的概率为( )A.16B.13C.12D.23解析：选B ∵f (2)＝6，∴22＋m ＝6，解得m ＝2. 由f (x )≥4，得2x＋2≥4，即x ≥1，而x ∈[－3，3]，故根据几何概型的概率计算公式，得f (x )的值不小于4的概率P ＝3－13－（－3）＝13.故选B.3.(2019·广东六校第一次联考)在区间[－π，π]上随机取两个实数a ，b ，记向量m ＝(a ，4b )，n ＝(4a ，b )，则m ·n ≥4π2的概率为( )A.1－π8B.1－π4C.1－π5D.1－π6解析：选 B 在区间[－π，π]上随机取两个实数a ，b ，则点(a ，b )在如图所示的正方形内部及其边界上.因为m ·n ＝4a 2＋4b 2≥4π2，所以a2＋b 2≥π2，满足条件的点(a ，b )在以原点为圆心，π为半径的圆外部(含边界)，且在正方形内(含边界)，如图中阴影部分所示，所以m ·n ≥4π2的概率P ＝4π2－π34π2＝1－π4，故选B.4.(2019·成都第一次诊断性检测)齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为( )A.49B.59C.23D.79解析：选C 将齐王的上等、中等、下等马分别记为a 1，a 2，a 3，田忌的上等、中等、下等马分别记为b 1，b 2，b 3，则从双方的马匹中随机各选一匹进行比赛，其对阵情况有a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，共9种，其中齐王的马获胜的对阵情况有a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 2b 2，a 2b 3，a 3b 3，共6种，所以齐王的马获胜的概率P ＝69＝23，故选C.5.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人中女生人数不超过1的概率是( )A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2解析：选A 设事件Q 为“所选3人中女生人数不超过1”，事件M 为“所选3人中女生人数为1”，事件N 为“所选3人中女生人数为0”，则事件M ，N 是互斥事件.4名男生分别记为1，2，3，4；2名女生分别记为a ，b .从4名男生和2名女生中任选3人有20种不同的结果，分别为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，a }，{1，2，b }，{1，3，4}，{1，3，a }，{1，3，b }，{1，4，a }，{1，4，b }，{1，a ，b }，{2，3，4}，{2，3，a }，{2，3，b }，{2，4，a }，{2，4，b }，{2，a ，b }，{3，4，a }，{3，4，b }，{3，a ，b }，{4，a ，b }.事件M 所含的基本事件分别为{1，2，a }，{1，2，b }，{1，3，a }，{1，3，b }，{1，4，a }，{1，4，b }，{2，3，a }，{2，3，b }，{2，4，a }，{2，4，b }，{3，4，a }，{3，4，b }，共12个，所以P (M )＝1220＝35；事件N 所含的基本事件分别为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，共4个，所以P (N )＝420＝15；所以事件Q 的概率为P (Q )＝P (M )＋P (N )＝35＋15＝0.8，故选A.6.如图(1)所示的风车是一种用纸折成的玩具.它用高粱秆、胶泥瓣儿和彩纸制成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图(2)是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.14B.13C.12D.23解析：选B 设白色的等腰直角三角形的斜边长为2，则白色的等腰直角三角形直角边的长为2，所以白色部分的面积为S 1＝4×12×2×2＝4，易知阴影部分中的等腰直角三角形的腰长为1，所以阴影部分的面积为S 2＝4×12×1×1＝2，由几何概型的概率公式，可得此点取自阴影部分的概率为P ＝S 2S 1＋S 2＝24＋2＝13. 二、填空题7.一个三位自然数的百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当其中两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等).若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________.解析：由1，2，3组成的三位自然数可能为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有6＋6＋6＋6＝24个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为1224＝12. 答案：128.甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x 甲，x 乙，则x 甲＞x 乙的概率是________.解析：设被污损的数字为x ，由茎叶图知x 乙＝90，x 甲＝89＋x5，污损处可取数字0，1，2，…，9，共10种，而x 甲＞x 乙时，89＋x5＞90，x ∈N ，污损处对应的数字有6，7，8，9，共4种，故x 甲＞x 乙的概率为410＝25.答案：259.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，在正方体内随机取一点M ，则点M 落在三棱锥B 1A 1BC 1内的概率为________.解析：因为正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，所以三棱锥B 1A 1BC 1的体积13·12·a ·a ·a ＝16a 3，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为a 3，所以在正方体内随机取一点M ，则点M 落在三棱锥B 1A 1BC 1内的概率为16a 3a 3＝16.答案：16三、解答题10.(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率.解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种.②由表格知，符合题意的所有结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种.所以事件M 发生的概率P (M )＝1115.11.(2019·安徽五校联盟第二次质检)一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆. (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法从C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数x i (1≤i ≤8，i ∈N )，设样本平均数为x ，求|x i －x |≤0.5的概率.解：(1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2000，则z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001000＝a5，得a ＝2，所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.用A 1，A 2分别表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3分别表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车”.从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个，其中事件E 包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个.故P (E )＝710，即所求的概率为710.(3)样本平均数x ＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数x i (1≤i ≤8，i ∈N )，|x i －x |≤0.5”，则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个.所以P (D )＝68＝34，即所求的概率为34.12.已知二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋2.(1)任取a ∈{1，2，3}，b ∈{－1，1，2，3，4}，记“f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数”为事件A ，求A 发生的概率.(2)任取(a ，b )∈{(a ，b )|a ＋4b －6≤0，a >0，b >0}，记“关于x 的方程f (x )＝0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B ，求B 发生的概率.解：(1)因为a 有3种取法，b 有5种取法，则对应的函数有3×5＝15个. 因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2b a 对称，若事件A 发生，则a >0且2ba≤1.数对(a ，b )的取值为(1，－1)，(2，－1)，(2，1)，(3，－1)，(3，1)共5种. 所以P (A )＝515＝13.(2)集合{(a ，b )|a ＋4b －6≤0，a >0，b >0}对应的平面区域为Rt △AOB ，如图，其中点A (6，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则△AOB 的面积为12×32×6＝92.。

(通用版)高考数学二轮复习第一部分专题四概率与统计教学案文-人教版高三全册数学教学案

专题四概率与统计[研高考·明考点][析考情·明重点]第一讲小题考法——概率、统计、统计案例考点(一) 主要考查用统计图表估计总体以及利用样本的数字特征估计总体，且以统计图表的考查为主.用样本估计总体[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面表达不正确的选项是( )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(2)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如下图的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④(3)某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，那么样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,10B ．200,10C ．100,20D ．200,20[解析] (1)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20℃的月份有2个，故D 错误．(2)∵x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x 甲<x 乙．又s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s 甲>s 乙．故可判断结论①④正确．(3)易知样本容量为(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200；抽取的高中生人数为2 000×2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40×50%＝20.[答案] (1)D (2)B (3)D[方法技巧]1．方差的计算与含义(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算． (2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大． 2．与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据．(2)频率分布直方图，求某个X 围内的数据．可利用图形及某X 围结合求解．[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，以下结论错误的选项是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：选A 根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A 错误．由图可知，B 、C 、D 正确．2．(2017·某某高考)如下图的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．假设这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，那么x 和y 的值分别为( )A ．3,5B ．5,5C ．3,7D ．5,7解析：选A 由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以15×[56＋62＋65＋74＋(70＋x )]＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x ＝3.3．某电子商务公司对10 000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如下图．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a ＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a ＝3.(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000. 答案：(1)3 (2)6 000[典例感悟][典例] (1)(2017·某某诊断)某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，那么表中m 的值为( )A ．45B ．50C ．55D ．60(2)(2017·某某模拟)设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，那么以下结论中不正确的选项是( )A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．假设该中学某高中女生身高增加1 cm ，那么其体重约增加0.85 kgD ．假设该中学某高中女生身高为160 cm ，那么可断定其体重必为50.29 kg [解析] (1)x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m5.∵当x －＝5时，y －＝6.5×5＋17.5＝50， ∴190＋m5＝50，解得m ＝60.(2)因为回归直线方程y ^＝0.85x －85.71中x 的系数为0.85>0，因此y 与x 具有正线性相关关系，所以选项A 正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(x －，y －)，所以选项B 正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，所以假设该中学某高中女生身高增加1 cm ，那么其体重约增加0.85 kg ，所以选项C 正确，选项D 不正确．[答案] (1)D (2)D[方法技巧]求回归直线方程的关键及实际应用(1)求回归直线方程的关键是正确理解b ^，a ^的计算公式和准确地求解．(2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，假设具有线性相关关系，那么可通过线性回归方程估计和预测变量的值．[演练冲关]1．(2018届高三·某某七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如表所示(单位：万元)：由上表可得回归方程为y ＝10.2x ＋a ，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为( ) A ．101.2万元 B ．108.8万元 C ．111.2万元D ．118.2万元解析：选C 根据统计数据表，可得x －＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y －＝15×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ^＝10.2x ＋a ^经过样本点的中心(4,50)，∴50＝10.2×4＋a ^，解得a ^＝9.2，∴回归方程为y ^＝10.2x ＋9.2.当x ＝10时，y ＝10.2×10＋9.2＝111.2，应选C.2．(2018届高三·湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系〞的可信度．如果k >3.841，那么有把握认为“X 和Y 有关系〞的百分比为( )8A.5% B．75%C．99.5% D．95%解析：选D 由表中数据可得，当k>3.841时，有0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，应选D.考点(三)主要考查古典概型及几何概型概率公式的应用.古典概型与几何概型[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开某某码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，那么小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815 B.18C.115D.130(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4(3)(2018届高三·某某五市十校联考)在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2AD，在CD上任取一点P，△ABP的最大边是AB的概率为( )A.22B.32C.2－1D.3－1[解析] (1)∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开某某码只有1种，∴P ＝115.(2)不妨设正方形的边长为2，那么正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S 黑＝12S 圆＝π2，故此点取自黑色部分的概率P ＝π24＝π8.(3)分别以A ，B 为圆心，AB 的长为半径画弧，交CD 于P 1，P 2，那么当P 在线段P 1P 2间运动时，能使得△ABP 的最大边是AB ，在Rt △P 2BC中，BP 2＝2，BC ＝1，故CP 2＝3，DP 2＝2－3，同理CP 1＝2－3，所以P 1P 2＝2－(2－3)×2＝23－2，所以P 1P 2CD＝3－1，即△ABP 的最大边是AB 的概率为3－1. [答案] (1)C (2)B (3)D[方法技巧]1．利用古典概型求概率的关键及注意点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数． (2)对于较复杂的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏． 2．几何概型的适用条件及求解关键(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．(2)求解关键是寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．[演练冲关]1．(2018届高三·湘中名校联考)从集合A ＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a ，从集合B ＝{－1,1,3}中随机选取一个数记为b ，那么直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为( )A.29B.13C.49D.14解析：选A 从集合A ，B 中随机选取一个数后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9对，要使直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限，那么需a ≥0，b ≥0，共有2对满足，所以所求概率P ＝29，应选A.2．(2017·某某质检)如图，扇形AOB 的圆心角为120°，点P 在弦AB 上，且AP ＝13AB ，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，那么该点落在扇形AOC 内的概率为( )A.14B.13C.27D.38解析：选A 设OA ＝3，那么AB ＝33，AP ＝3，由余弦定理可求得OP ＝3，那么∠AOP ＝30°，所以扇形AOC 的面积为3π4，又扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为3π43π＝14.3．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5X 卡片中随机抽取1X ，放回后再随机抽取1X ，那么抽得的第一X 卡片上的数大于第二X 卡片上的数的概率为( )A.110 B.15 C.310 D.25解析：选D 记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，那么一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a ＞b 的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P ＝1025＝25.4．(2017·某某高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，那么取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.15解析：选C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P ＝410＝25.5．(2017·某某高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，那么x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，那么D ＝[－2,3]，那么所求概率P ＝3－－25－－4＝59. 答案：59[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．概率的计算公式 (1)古典概型的概率计算公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数m基本事件总数n；(2)互斥事件的概率计算公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；(3)对立事件的概率计算公式P (A )＝1－P (A )；(4)几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.2．抽样方法(1)三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用X 围简单随机抽样是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的机会(概率)相等从总体中逐个抽取总体中的个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规那么，在各部分抽取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个数比较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时，采用简单随机抽样或者系统抽样总体由差异明显的几部分组成(2)分层抽样中公式的运用①抽样比＝样本容量个体总量＝各层样本容量各层个体数量；②层1的数量∶层2的数量∶层3的数量＝样本1的容量∶样本2的容量∶样本3的容量． 3．用样本数字特征估计总体 (1)众数、中位数、平均数定义特点众数在一组数据中出现次数最多的数据表达了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响，而且不唯一中位数将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)中位数不受极端值的影响，仅利用了排在中间数据的信息，只有一个平均数样本数据的算术平均数与每一个样本数据有关，只有一个(2)方差和标准差方差和标准差反映了数据波动程度的大小． ①方差：s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]；②标准差：s ＝1n[x 1－x－2＋x 2－x－2＋…＋x n －x－2] .(二) 二级结论要用好 1．频率分布直方图的3个结论 (1)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于1.(3)小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.2．与平均数和方差有关的4个结论(1)假设x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数为m x －＋a ； (2)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x ′1＝x 1＋a ，x ′2＝x 2＋a ，…，x ′n ＝x n ＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)假设x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2；(4)s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2＝1n ∑i ＝1nx 2i －x －2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．求s 2时，可根据题目的具体情况，结合题目给出的参考数据，灵活选用公式形式． 3．线性回归方程线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定过样本点的中心(x ，y )．[针对练1] (2018届高三·某某调研)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)：由最小二乘法求得回归方程y ＝0.67x ＋a ，那么a 的值为________．解析：因为x －＝10＋20＋30＋40＋505＝30，y －＝62＋68＋75＋81＋895＝75，所以回归直线一定过样本点的中心(30,75)，将其代入y ^＝0.67x ＋a ^，可得75＝0.67×30＋a ^，解得a ^＝54.9. 答案：54.9(三) 易错易混要明了1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥〞是“对立〞的必要不充分条件．3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．4．在求解几何概型的概率时，要注意分清几何概型的类别(体积型、面积型、长度型、角度型等)．[针对练2] 一种小型电子游戏的主界面是半径为r 的圆，点击圆周上的点A 后，该点在圆周上随机转动，最后落在点B 处，当线段AB 的长不小于3r 时自动播放音乐，那么一次转动能播放音乐的概率为________．解析：如图，当|AB |≥3r ，即点B 落在劣弧CC ′上时才能播放音乐．又劣弧CC ′所对应的圆心角为2π3，所以一次转动能播放音乐的概率为2π32π＝13. 答案：13[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·某某模拟)某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中，抽取81人进行问卷调查．高二被抽取的人数为30，那么n ＝( )A ．860B ．720C ．1 020D ．1 040解析：选D 根据分层抽样方法，得 1 2001 000＋1 200＋n×81＝30，解得n ＝1 040.2．(2018届高三·某某八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，那么选出的第6个个体是( )(注：下表为随机数表的第8行和第9行)⎭⎪⎬⎪⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎪⎬⎪⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行 A ．07 B ．25 C ．42D ．52解析：选D 依题意得，依次选出的个体分别为12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52，应选D.3．(2017·某某质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，那么该样本中三等品的件数为( )A ．5B ．7C ．10D ．50解析：选D 根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50，应选D.4．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，那么用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n m B.2nmC.4m nD.2m n解析：选C 因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，如下图．假设两数的平方和小于1，那么对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n ，所以π＝4mn. 5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，假设所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，那么这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12D ．1解析：选D 因为所有样本点都在直线y ＝12x ＋1上，所以这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1.6．甲、乙两位歌手在“中国新歌声〞选拔赛中，5次得分情况如下图．记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲，x 乙，那么以下判断正确的选项是( )A.x 甲＜x 乙，甲比乙成绩稳定B.x 甲＜x 乙，乙比甲成绩稳定C.x 甲＞x 乙，甲比乙成绩稳定D.x 甲＞x 乙，乙比甲成绩稳定解析：选B x 甲＝76＋77＋88＋90＋945＝85，x 乙＝75＋88＋86＋88＋935＝86，s 2甲＝15[(76－85)2＋(77－85)2＋(88－85)2＋(90－85)2＋(94－85)2]＝52，s 2乙＝15[(75－86)2＋(88－86)2＋(86－86)2＋(88－86)2＋(93－86)2]＝35.6，所以x 甲＜x 乙，s 2甲＞s 2乙，故乙比甲成绩稳定，应选B.7．(2017·某某统考)假设θ∈[0，π]，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3>12成立的概率为( )A.13B.12C.23D ．1 解析：选B 依题意，当θ∈[0，π]时，θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3>12得π3≤θ＋π3<5π6，即0≤θ<π2.因此，所求的概率为π2π＝12. 8．将一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m ，n ，m 为2或4时，m ＋n >5的概率为( )A.227 B.29 C.13 D.23解析：选D 依题意得，先后抛掷两次骰子所得的点数对(m ，n )为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，…，(6,5)，(6,6)，共有36组，其中当m ＝2或4时，相应的点数对(m ，n )共有12组．当m ＝2时，满足m ＋n >5，即n >3的点数对(m ，n )共有3组；当m ＝4时，满足m ＋n >5，即n >1的点数对(m ，n )共有5组，因此所求的概率为3＋512＝23.9．(2017·某某调研)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，那么田忌的马获胜的概率为( )A.13B.14C.15D.16解析：选A 设田忌的上、中、下三个等次的马分别为A ，B ，C ，齐王的上、中、下三个等次的马分别为a ，b ，c ，从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的所有可能结果有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，共9种，田忌马获胜有Ab ，Ac ，Bc ，共3种，所以田忌的马获胜的概率为13.10．(2018届高三·某某八校联考)在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，那么点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A.34B.23C.12D.14解析：选D 依题意得，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，1≤y ≤2表示的平面区域为如下图的正方形ABCD 的内部(含边界)，其面积为1×1＝1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，1≤y ≤2，y ≤2x表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)，其面积为12×12×1＝14，因此所求的概率为14.11．(2018届高三·某某五校联考)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( )A.12B.13C.24D.23解析：选C 假设直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交，那么圆心到直线的距离d ＝|3k |1＋k2<1，解得－24<k <24，故在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为P ＝222＝24.12．样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )，假设样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝a x ＋(1－a )y ，其中0<a <12，那么n ，m 的大小关系为( )A ．n <mB ．n >mC ．n ＝mD ．不能确定解析：选A 由题意可得，x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn，y ＝y 1＋y 2＋…＋y mm，那么z ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y m n ＋m ＝n n ＋m ·x 1＋x 2＋…＋x n n ＋m n ＋m ·y 1＋y 2＋…＋y mm＝n n ＋m·x ＋m n ＋m ·y ＝a x ＋(1－a )y ，所以nn ＋m＝a ，mn ＋m ＝1－a ，又0<a <12，所以0<n n ＋m <12<mn ＋m，故n <m .二、填空题13．(2017·某某质检)设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，假设y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，那么y 1，y 2，…，y 2 017的方差为________．解析：设样本数据的平均数为x －，那么y i ＝2x i －1的平均数为2x －－1，那么y 1，y 2，…，y 2 017的方差为12 017[(2x 1－1－2x －＋1)2＋(2x 2－1－2x －＋1)2＋…＋(2x 2 017－1－2x －＋1)2]＝4×12 017[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 2 017－x －)2]＝4×4＝16.答案：1614．(2018届高三·某某三市联考)函数f (x )＝log a x ＋log 1a 8(a >0，且a ≠1)，在集合14，13，12，3,4,5，6,7中任取一个数a ，那么f (3a ＋1)>f (2a )>0的概率为________．解析：∵3a ＋1>2a ，f (3a ＋1)>f (2a )，f (x )＝log a x －log a 8，∴a >1.又f (2a )>0，∴2a >8，即a >4，符合条件的a 的值为5,6,7，故所求概率为38.答案：3815．(2017·某某模拟)在区间[0，π]上随机取一个数θ，那么使2≤2sin θ＋2cosθ≤2成立的概率为________．解析：由2≤2sin θ＋2cos θ≤2，得22≤sin θ＋π4≤1，结合θ∈[0，π]，得满足条件的θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴使2≤2sin θ＋2cos θ≤2成立的概率为π2π＝12.答案：1216．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如下图，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x －甲，x －乙，那么x －甲>x －乙的概率是________．解析：设污损处的数字为m ，由15(84＋85＋87＋90＋m ＋99)＝15(86＋87＋91＋92＋94)，得m＝5，即当m ＝5时，甲、乙两人的平均成绩相等．m 的取值有0,1,2,3，…，9，共10种可能，其中，当m ＝6,7,8,9时，x －甲>x －乙，故所求概率为410＝25.答案：25B 组——能力小题保分练1．(2017·某某模拟)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，假设15分钟后还未见面便离开．那么这两位同学能够见面的概率是( )A.1136 B.14 C.12 D.34解析：选D 如下图，以5：30作为原点O ，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x ，y ，设事件A 表示两位同学能够见面，所构成的区域为A ＝{(x ，y )||x －y |≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P (A )＝30×30－2×12×15×1530×30＝34.2．(2017·某某模拟)四个人围坐在一X 圆桌旁，每个人面前放着一枚完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币．假设硬币正面朝上，那么这个人站起来；假设硬币正面朝下，那么这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )A.14B.716C.12D.916解析：选B 四个人按顺序围成一桌，同时抛出自己的硬币抛出的硬币正面记为0，反面记为1，那么总的基本事件为(0,0,0,0)，(0,0,0,1)，(0,0,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,0,0)，(0,1,0,1)，(0,1,1,0)，(0,1,1,1)，(1,0,0,0)，(1,0,0,1)，(1,0,1,0)，(1,0,1,1)，(1,1,0,0)(1,1,0,1)，(1,1,1,0)，(1,1,1,1)，共有16种情况．假设四个人同时坐着，有1种情况；假设三个人坐着，一个人站着，有4种情况；假设两个人坐着，两个人站着，此时没有相邻的两个人站起来有2种情况．所以没有相邻的两个人站起来的情况共有1＋4＋2＝7种，故所求概率为716.3．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，假设a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，那么此样本的平均数和中位数分别是( )A ．13,12B ．13,13C ．12,13D ．13,14解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，即(8－2d )(8＋4d )＝64，又d ≠0，所以d ＝2，故样本数据为：4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，平均数为S 1010＝4＋22×510＝13，中位数为12＋142＝13.4．根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7y4.0a －5.4 －0.50.5b －0.6得到的回归方程为y ＝bx ＋a .假设样本点的中心为(5,0.9)，那么当x 每增加1个单位时，y 就( )A ．增加1.4个单位B ．减少1.4个单位C ．增加7.9个单位D ．减少7.9个单位解析：选B 依题意得，4.0＋a －5.4－0.5＋0.5＋b －0.65＝0.9，故a ＋b ＝6.5；①又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b ＋a ，②联立①②，解得b ＝－1.4，a ＝7.9，那么y ^＝－1.4x ＋7.9，所以当x 每增加1个单位时，y 就减少1.4个单位．5．正六边形ABCDEF 的边长为1，在正六边形内随机取点M ，那么使△MAB 的面积大于34的概率为________．解析：如下图，作出正六边形ABCDEF ，其中心为O ，过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，那么OG 的长为中心O 到AB 边的距离．易知∠AOB ＝360°6＝60°，且OA ＝OB ，所以△AOB 是等边三角形，所以OA ＝OB ＝AB ＝1，OG＝OA ·sin 60°＝1×32＝32，即对角线CF 上的点到AB 的距离都为32. 设△MAB 中AB 边上的高为h ，那么由S △MAB ＝12×1×h >34，解得h >32.所以要使△MAB 的面积大于34，只需满足h >32，即需使M 位于CF 的上方．故由几何概型得，△MAB 的面积大于34的概率P ＝S 梯形CDEF S 正六边形ABCDEF ＝12. 答案：126．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，假设分别采用系统抽样法和分层抽样法，那么都不用剔除个体；当样本容量为n ＋1时，假设采用系统抽样法，那么需要剔除1个个体，那么样本容量n 为________．解析：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意可知，系统抽样的抽样距为36n，分层抽样的抽样比是n 36，那么采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×n 36＝n6，篮球运动员人数为12×n 36＝n 3，足球运动员人数为18×n 36＝n2，可知n 应是6的倍数，36的约数，故n ＝6,12,18.当样本容量为n ＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n 为6.答案：6第二讲大题考法——概率与统计题型(一)主要考查随机事件的概率、古典概型、频率分布直方图、茎叶图等的应用.概率与用样本估计总体的交汇问题[典例感悟][典例1] (2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，那么每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．(1)假设n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)假设要求“需更换的易损零件数不大于n 〞的频率不小于0.5，求n 的最小值； (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？[解] (1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x ＞19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700，所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x ＞19，(x ∈N)．(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(3)假设每台机器在购机同时都购买19个易损零件，那么这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800(元)，20台的费用为4 300(元)，10台的费用为4 800(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4000(元)．假设每台机器在购机同时都购买20个易损零件，那么这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000(元)，10台的费用为4 500(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．[备课札记][方法技巧]解决概率与用样本估计总体交汇问题的方法[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40) 天数21636257 4。

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专题四概率与统计[研高考²明考点]第一讲小题考法——排列、组合与二项式定理[典例感悟][典例] (1)(2016²全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24B ．18C ．12D ．9(2)(2017²全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种(3)(2017²长春质检)某班主任准备请2018届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)[解析] (1)由题意可知从E 到F 有6条最短路径，从F 到G 有3条最短路径，由分步乘法计数原理知，共6³3＝18条最短路径，故选B.(2)因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C 24C 12C 11A 22＝6种，再分配给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6³6＝36(种)．(3)若甲、乙同时参加，不同的发言顺序有2C 26A 22A 22＝120种；若甲、乙有一人参加，不同的发言顺序有C 12C 36A 44＝960种．由分类加法计数原理知，共有120＋960＝1 080种不同的发言顺序．[答案] (1)B (2)D (3)1 080[方法技巧]1．解答排列组合问题的4个角度解答排列组合问题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．2．解决分组分配问题的3种策略(1)不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．(2)整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数)，避免重复计数．(3)部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．[演练冲关]1．两个三口之家约定星期日乘“奥迪”、“奔驰”两辆轿车结伴郊游，他们共有4个大人，2个小孩，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数为( )A ．40B ．48C ．60D ．68解析：选B 由题意得，只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的乘坐奔驰车即可，需要分三类：若奥迪车上没有小孩，则有C 24＋C 34＝10种乘车方法；若有一个小孩，则有C 12³(C 14＋C 24＋C 34)＝28种乘车方法；若有两个小孩，则有C 14＋C 24＝10种乘车方法．故不同的乘车方法种数为10＋28＋10＝48.2．2名男生、1名男教师和3名女生站成一排，若男教师不站两端，任意两名女生都不相邻，则不同的排法种数为( )A．120 B．96C．84 D．36解析：选A 首先将2名男生和1名男教师安排好，有A33＝6种情况，排好后有4个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有A34＝24种情况，则2名男生、1名男教师和3名女生站成一排，任意两名女生都不相邻的排法有6³24＝144(种)．其中男教师站在两端的情况有2A22A33＝24(种)，则男教师不站两端，任意两名女生都不相邻的不同的排法种数为144－24＝120.3．(2017²天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C14C35A44＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A45＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．答案：1 0804．(2017²浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) 解析：法一：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55³12＝660种不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．答案：660[典例感悟][典例] (1)(2015²全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A．10 B．20 C．30 D．60(2)(2017²南昌模拟)在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，xy3项的系数为________．(3)(2015²全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.[解析] (1)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3²y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4²x＝C13x5.所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.(2)在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，通项为C r 6(2x )r ²C m 5y m，其中r ＝0,1，…，6，m ＝0,1，…，5.令r ＝1，m ＝3，得xy 3项的系数为C 16³2³C 35＝120.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)³24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2³32，解得a ＝3.[答案] (1)C (2)120 (3)3[方法技巧]求解二项式定理相关问题的常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．[演练冲关]1．在二项式(1－2x )n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )A ．－960B ．960C ．1 120D ．1 680解析：选C 根据题意，2n －1＝128，解得n ＝8，则(1－2x )8的展开式的中间项为第5项，且T 5＝C 48(－2)4x 4＝1 120x 4，即展开式的中间项的系数为1 120.2．(2017²全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35解析：选C (1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1³C 26＋1³C 46＝30.3．(2017²合肥质检)在⎝⎛⎭⎪⎫x －1x－14的展开式中，常数项为________．解析：易知⎝⎛⎭⎪⎫x －1x－14＝－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4的展开式的通项T r ＋1＝C r 4(－1)4－r²⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x r .又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x r 的展开式的通项R m ＋1＝C m r xr －m(－x －1)m ＝C mr (－1)m xr －2m，∴T r ＋1＝C r 4(－1)4－r²C m r ²(－1)m xr －2m，令r －2m ＝0，得r ＝2m ，∵0≤r ≤4，∴0≤m ≤2，∴当m ＝0,1,2时，r ＝0,2,4，故常数项为T 1＋T 3＋T 5＝C 04(－1)4＋C 24(－1)2²C 12(－1)1＋C 44(－1)0²C 24(－1)2＝－5.答案：－5[必备知能²自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．排列、组合数公式 (1)排列数公式A mn ＝n (n －1)²…²(n －m ＋1)＝n ！ n －m ！.(2)组合数公式C m n＝A mn A m m ＝n n －1 ²…² n －m ＋1 m ！＝n ！m ！ n －m ！.2．二项式定理 (1)二项式定理 (a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n.(2)通项与二项式系数T k ＋1＝C k n a n －k b k，其中C k n (k ＝0,1,2，…，n )叫做二项式系数．(二) 二级结论要用好 1．各二项式系数之和 (1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n. (2)C 1n ＋C 3n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1.2．二项式系数的性质 (1)C rn ＝C n －rn ，C rn ＋C r －1n ＝C rn ＋1. (2)二项式系数最值问题当n 为偶数时，中间一项即第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项的二项式系数C n2n 最大；当n 为奇数时，中间两项即第n ＋12，n ＋32项的二项式系数Cn －12，Cn ＋12相等且最大．[针对练] 若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45解析：选B 依题意知n ＝10， ∴T r ＋1＝C r10(x )10－r²2x 2r＝C r 102r²x 5－52r ，令5－52r ＝0，得r ＝2，∴常数项为C 21022＝180.(三) 易错易混要明了二项式(a ＋b )n与(b ＋a )n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分．还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时要明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同．[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017²云南统考)在⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 10的二项展开式中，x 4的系数为( )A ．－120B ．－60C ．60D ．120解析：选A ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式的通项T r ＋1＝C r 10x 10－r ²⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 10x 10－2r，令10－2r ＝4，得r ＝3，所以该二项展开式中x 4的系数为－C 310＝－120.2．(2017²长沙调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r ²(－2y )r ＝C r 5²⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ²(－2)r ²x 5－r ²y r，令r ＝3，得x 2y 3的系数为C 35²⎝ ⎛⎭⎪⎫122²(－2)3＝－20.3．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方案有( )A ．24种B ．18种C ．16种D ．10种解析：选D 若甲景区在最后一个体验，则有A 33种方案；若甲景区不在最后一个体验，则有A 12A 22种方案．所以小李旅游的方案共有A 33＋A 12A 22＝10(种)．4．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种解析：选B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法有C 34种；其次将获得同一道题目的2位教师选出，选法有C 24种；最后将选出的3道题目分配给3组教师，分配方式有A 33种．由分步乘法计数原理，知满足题意的情况共有C 34C 24A 33＝144(种)．5．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A ．30种B ．36种C ．60种D ．72种解析：选A 甲、乙两人从4门课程中各选修2门有C 24C 24＝36种选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有C 24＝6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30(种)．6．(x 2－2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x 5的展开式中x －1的系数为( )A ．60B ．50C ．40D ．20解析：选A 依题意，⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5²2r ²x －r ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 5的展开式中含x －1(当r ＝1时)，x －3(当r ＝3时)项的系数分别为2C 15，23C 35，所以(x 2－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 5的展开式中x－1的系数为23C 35－2³2C 15＝60.7.⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x －1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( )A ．－20B ．－10C ．10D ．20解析：选C 令x ＝1，可得a ＋1＝2，所以a ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x －1)5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x －1)5，则展开式中常数项为2C 45(－1)4＝10.8．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有( )A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种解析：选D 从9名同学中任选3名分别到A ，B ，C 三地进行社会调查有C 39A 33种安排方法，3名同学全是男生或全是女生有(C 35＋C 34)A 33种安排方法，故选出的同学中男女均有的不同安排方法有C 39A 33－(C 34＋C 35)A 33＝420(种)．9．已知(x ＋2)15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，则a 13的值为( ) A ．945 B ．－945 C ．1 024D ．－1 024解析：选B 由(x ＋2)15＝[3－(1－x )]15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，得a 13＝C 1315³32³(－1)13＝－945.10．(2017²合肥质检)已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64解析：选D 由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135，C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，令x ＝1，得(ax ＋b )6的展开式中所有项的系数之和为(a ＋b )6＝64，故选D.11．(2017²全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：选C 当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25³23－C 35³22＝10³(8－4)＝40.12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．484解析：选C 由题意，不考虑特殊情况，从16张卡片中任取3张共有C 316种取法，其中取出的这三张卡片是同一种颜色有4C 34种取法，取出2张红色卡片有C 24²C 112种取法，故所求的取法共有C 316－4C 34－C 24²C 112＝472(种)，故选C.二、填空题13．(2018届高三²湘中名校联考)设1＋x 5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 5(x －1)5，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.解析：令x ＝2，得1＋25＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝33. 答案：3314．(2017²浙江高考)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.解析：由题意知a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23³12³C 22³22＋C 33³13³C 12³2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33³13³C 22³22＝4.答案：16 415．“污染治理”“延迟退休”“楼市新政”“共享单车”“中印对峙”成为现在社会关注的5个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“共享单车”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的调查顺序有________种．解析：先从“污染治理”“延迟退休”“楼市新政”“中印对峙”这4个热点中选出3个，有C 34种不同的选法，在调查时“共享单车”安排的顺序有A 13种可能情况，其余3个热点安排的顺序有A 33种可能情况，故有C 34A 13A 33＝72种不同的调查顺序．答案：7216.编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A 球不能放在4号，5号，B 球必须放在与A 球相邻的盒子中，则不同的放法的种数为________．解析：根据A 球所在的位置可分三类情况：①若A 球放在1号盒子内，则B 球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有A 33＝6种不同的放法；②若A 球放在3号盒子内，则B 球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有A 33＝6种不同的放法；③若A 球放在2号盒子内，则B 球可以放在1号，3号，4号中的任何一个盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有C 13²A 33＝18种不同的放法．综上可得不同的放法共有6＋6＋18＝30(种)．答案：30B 组——能力小题保分练1．若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x2 018，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C 令x ＝0，得a 0＝1. 令x ＝12，得1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝0.则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1. 2．(2017²武昌调研)若⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项为( )A ．－270B ．270C ．－90D ．90解析：选C ⎝⎛⎭⎪⎫3x －3x n 的展开式中所有项系数的绝对值之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n的展开式中所有项系数之和．令x ＝1，得4n＝1 024，∴n ＝5.则⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x 5，其通项T r ＋1＝C r 53x 5－r²(－3x )r ＝C r 5²35－r ²(－1)r²x r －52＋r 3，令r －52＋r 3＝0，解得r ＝3，∴该展开式中的常数项为T 4＝C 35²32²(－1)3＝－90，故选C.3．(2016²全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个解析：选C 由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1.不考虑限制条件“对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C 36＝20(种)，其中存在k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的情况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 14＝4(种)；②若 a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.4．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 5展开式中的常数项为－40，则a ＝________.解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r²⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 525－r x 5－2r ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x 2x ＋1x5的展开式中的常数项为－40，所以ax C 3522x －1＋1xC 2523x ＝－40，即40a ＋80＝－40，解得a ＝－3.答案：－35．福州大学的8名学生准备拼车去湘西凤凰古城旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分乘甲、乙两辆汽车．每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有________种．解析：可分两类：第一类，大一的孪生姐妹乘坐甲车，则可再分三步：第一步，从大二、大三、大四三个年级中任选两个年级，有C 23种不同的选法；第二步，从所选出的两个年级中各抽取一名同学，有C 12C 12种不同的选法；第三步，余下的4名同学乘乙车有C 44种不同的选法，根据分步乘法计数原理，可知有C 23C 12C 12C 44种不同的乘坐方式．第二类，大一的孪生姐妹乘坐乙车，则可再分三步：第一步，从大二、大三、大四三个年级中任选一个年级(此年级的2名同学乘甲车)，有C 13种不同的选法；第二步，余下的两个年级中各抽取一名同学，有C 12C 12种不同的选法；第三步，余下的2名同学乘乙车有C 22种不同的选法，根据分步乘法计数原理，可知有C 13C 12C 12C 22种不同的乘坐方式．根据分类加法计数原理，满足要求的乘坐方式种数为C23C12C12C44＋C13C12C12C22＝24.答案：246．(2017²陕西质检)从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．解析：依题意共有8类不同的和声，当有k(k＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C k10种不同的和声，则和声总数为C310＋C410＋C510＋…＋C1010＝210－C010－C110－C210＝1 024－1－10－45＝968.答案：968第二讲小题考法——概率、统计、统计案例[典例感悟][典例] (1)(2016²全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(2)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④(3)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,10B ．200,10C ．100,20D ．200,20[解析] (1)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20℃的月份有2个，故D 错误．(2)∵x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x 甲<x 乙．又s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s 甲>s 乙．故可判断结论①④正确．(3)易知样本容量为(3 500＋4 500＋2 000)³2%＝200；抽取的高中生人数为2 000³2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40³50%＝20.[答案] (1)D (2)B (3)D[方法技巧]1．方差的计算与含义(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算． (2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大． 2．与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．[演练冲关]1．(2017²全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：选A 根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A 错误．由图可知，B 、C 、D 正确．2．(2017²山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A ．3,5B ．5,5C ．3,7D ．5,7解析：选A 由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以15³[56＋62＋65＋74＋(70＋x )]＝15³(59＋61＋67＋65＋78)，解得x ＝3.3．某电子商务公司对10 000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．解析：(1)由0.1³1.5＋0.1³2.5＋0.1a ＋0.1³2.0＋0.1³0.8＋0.1³0.2＝1，解得a ＝3.(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1³1.5＋0.1³2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6³10 000＝6 000. 答案：(1)3 (2)6 000[典例感悟][典例] (1)(2017²兰州诊断)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( )A ．45B ．50C ．55D ．60(2)(2017²南昌模拟)设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg [解析] (1)x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m5.∵当x －＝5时，y －＝6.5³5＋17.5＝50， ∴190＋m5＝50，解得m ＝60. (2)因为回归直线方程y ^＝0.85x －85.71中x 的系数为0.85>0，因此y 与x 具有正线性相关关系，所以选项A 正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(x －，y －)，所以选项B 正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，所以若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ，所以选项C 正确，选项D 不正确．[答案] (1)D (2)D[方法技巧]求回归直线方程的关键及实际应用(1)求回归直线方程的关键是正确理解b ^，a ^的计算公式和准确地求解．(2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．[演练冲关]1．(2018届高三²湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如表所示(单位：万元)：由上表可得回归方程为y ＝10.2x ＋a ，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为( ) A ．101.2万元 B ．108.8万元 C ．111.2万元D ．118.2万元解析：选C 根据统计数据表，可得x －＝15³(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y －＝15³(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ^＝10.2x ＋a ^经过样本点的中心(4,50)，∴50＝10.2³4＋a ^，解得a ^＝9.2，∴回归方程为y ^＝10.2x ＋9.2.当x ＝10时，y ＝10.2³10＋9.2＝111.2，故选C.2．(2018届高三²湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >3.841，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．99.5%D ．95%解析：选D 由表中数据可得，当k >3.841时，有0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.[典例感悟][典例] (1)(2016²全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115 D.130(2)(2017²全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4(3)(2018届高三²湖北五市十校联考)在矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2AD ，在CD 上任取一点P ，△ABP 的最大边是AB 的概率为( )A.22 B.32C.2－1D.3－1[解析] (1)∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.(2)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S 黑＝12S 圆＝π2，故此点取自黑色部分的概率P ＝π24＝π8.(3)分别以A ，B 为圆心，AB 的长为半径画弧，交CD 于P 1，P 2，则当P 在线段P 1P 2间运动时，能使得△ABP 的最大边是AB ，在Rt △P 2BC中，BP 2＝2，BC ＝1，故CP 2＝3，DP 2＝2－3，同理CP 1＝2－3，所以P1P2＝2－(2－3)³2＝23－2，所以P 1P 2CD＝3－1，即△ABP 的最大边是AB 的概率为3－1. [答案] (1)C (2)B (3)D[方法技巧]1．利用古典概型求概率的关键及注意点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识．(2)对于较复杂的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏． 2．几何概型的适用条件及求解关键(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．(2)求解关键是寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．[演练冲关]1．(2018届高三²湖北七市(州)联考)从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为( )A.225B.13125C.18125D.9125解析：选A 从5个数字中任意抽取3个数字组成一个三位数，并且允许有重复的数字，这样构成的数字有53＝125个．则各位数字之和等于12且没有重复数字，则该数只能含有3,4,5三个数字，可构成A 33＝6个三位数；若三位数的各位数字均重复，则该数为444；若三位数中有2个数字重复，则该数为552,525,255，有3个．因此，所求概率为P ＝6＋1＋3125＝225，故选A.2．(2017²长春质检)如图，扇形AOB 的圆心角为120°，点P 在弦AB上，且AP ＝13AB ，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为( )A.14B.13C.27D.38解析：选A 设OA ＝3，则AB ＝33，AP ＝3，由余弦定理可求得OP ＝3，则∠AOP ＝30°，所以扇形AOC 的面积为3π4，又扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为3π43π＝14.3．某班班会，准备从包括甲、乙两人的7名学生中选取4名学生发言，要求甲、乙两人至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为________．解析：若无限制条件则有A 47种情况；若甲、乙两人都不被选中则有A 45种情况，因此甲、乙两人至少有1人被选中有A 47－A 45种情况．甲、乙两人都被选中且发言时不相邻共有A 25²A 23种情况，故所求概率为P ＝A 25²A 23A 47－A 45＝120840－120＝16.答案：16[典例感悟][典例] (1)(2015²全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312(2)(2017²武昌调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29B.13C.49D.59(3)某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．[解析] (1)3次投篮投中2次的概率为P (X ＝2)＝C 23³0.62³(1－0.6)＝0.432，投中3次的概率为P (X ＝3)＝0.63＝0.216，所以该同学通过测试的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.432＋0.216＝0.648.(2)小赵独自去一个景点共有4³3³3³3＝108种情况，4个人去的景点不同有A 44＝。

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