现代控制理论课件ch1(10级本1)

s n + a n −1 s n −1 + ...... + a1 s + a0
若选取：
x1 = x 2 x2 = x3 x3 = x 4
x n -1 = x n
xn = − a0 x1 − a1 x2 − a2 x3 −
⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎢x ⎥ ⎢ 0 ⎢ 2⎥ ⎢ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ xn−1 ⎥ ⎢ 0 ⎢ xn ⎥ ⎢−a0 ⎣ ⎦ ⎣ 1 0 0 1
按照矩阵的运算规则，有：
A B C D
n×n —— n × r —— l × n —— l × r
——
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具体的，
⎡ a11 a12 ⎢ ⎢ a21 a22 A=⎢ ⎢ ⎢ an1 an 2 ⎣
⎡ c11 c12 ⎢ ⎢ c21 c22 C=⎢ ⎢ ⎢ cl1 cl 2 ⎣
a1n ⎤ ⎥ a2 n ⎥ ⎥ ⎥ ann ⎥ n × n ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎡1 3 2⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ 由已知条件可得： ⎢ x2 ⎥ = ⎢0 2 0 ⎥ ⎢ x2 ⎥ + ⎢0⎥ u ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢0 1 3⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
对照标准方程得：
⎡1 3 2 ⎤ ⎡0⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎡0⎤ A = ⎢0 2 0 ⎥ , B = ⎢0⎥ , C = ⎢ , D=⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 2 0 ⎦ ⎣0⎦ ⎢0 1 3⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A——称为系统矩阵； C——称为输出矩阵；
B——称为输入矩阵或控制矩阵； D——称为（输入输出）直接传递矩阵
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例1.1
已知系统(A,B,C,D)的各系数矩阵如下
⎡1 2 3⎤ A = ⎢4 5 6⎥ ⎢ ⎥ ⎢7 8 9 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡1 2 ⎤ B = ⎢3 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢5 6 ⎥ ⎣ ⎦ c = [1 2 3] D = [ 4 5]
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第1章 线性系统的状态空间描述
1.1 引言 设系统有r个输入： u1 , u2 , , ur 设系统有l个输出： y1 , y2 , , yl
⎡ u1 (t ) ⎤ ⎢u (t ) ⎥ 2 ⎥ 记：u (t ) = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ur (t ) ⎥ ⎢ ⎣ ⎦
⎡ y1 (t ) ⎤ ⎢ y (t ) ⎥ 2 ⎥ 记：y (t ) = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ yl (t ) ⎥ ⎢ ⎣ ⎦
G ( s ) = bn +
β n −1 s n −1 + β n − 2 s n − 2 + ...... + β1 s + β 0
s n + a n −1 s n −1 + ...... + a1 s + a0
由I/O描述建立状态空间表达式 , 也即: 由传递函数中的各系数
bn , βi，ai (i = 0 → n − 1)
ui R L i C uo
解： 由图得
di uc = ui − iR − L dt du i=c c dt
⎧ du c 1 ⎪ dt = c i (t ) ⎪ ⎨ ⎪ di = − 1 u − R i + 1 u c i ⎪ dt L L L ⎩
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⎧ du c 1 ⎪ dt = c i (t ) ⎧ x1 = uc (t ) ⎪ 令：⎨ ⎨ di 1 R 1 ⎩ x2 = i (t ) ⎪ =− u − i+ u c i ⎪ dt L L L ⎩ ⎧ 1 ⎪x1 = c x2 ⎪ 则有： ⎪x = − 1 x − R x + 1 u ⎨2 1 2 i L L L ⎪ 1 ⎤ ⎪ y = x1 ⎡ 0 ⎥ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎪ ⎡ x1 ⎤ ⎢ C ⎩ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ 1 ⎥ ui ⎢x ⎥ = ⎢ 1 ⎢ ⎥ R x ⎣ 2 ⎦ ⎢− − ⎥⎣ 2⎦ ⎣L⎦ ⎢ L L⎥ ⎣ ⎦ 整理为向量——矩阵形式，有： ⎡x ⎤ y = u c (t ) = x 1 = [1 0 ]⎢ 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦
确定状态空间表达式中的系数矩阵 A，B，C，D 可以证明：对于SISO系统，无论如何选取状态变量，都有
D = bn
其中，D为直接传递矩阵 如何由β i 及 a i 确定系数矩阵 A , B , C 呢？ 以下的问题是：
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（1） 可控标准型实现
对于 G ( s ) = bn +
β n −1 s n −1 + β n − 2 s n − 2 + ...... + β1 s + β 0
给定 初始状态x1(t0)、x2(t0)……xn ( t0) 输入u(t), 其中t≥ t0, 及则系统在t≥ t0的状态由状态向量x(t)唯一确定。 从这个意义上，常把状态向量称为状态。
（4）状态空间—— 以n个状态变量作为坐标轴构成的n维空间。
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1.2
状态空间描述的一般概念
状态方程 输出方程
状态空间描述（状态空间表达式）
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例1.2
已知系统的状态空间表达式如下，试确定其系数矩阵
⎧ x1 = x1 + 3 x 2 + 2 x3 ⎪ ⎨ x2 = 2 x2 ⎪ x = x + 3x + u 2 3 ⎩ 3 ⎧ y1 = x1 ⎨ ⎩ y 2 = 2 x2
解： n = 3
r =1
l=2
⎡ x1 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ y=⎢ ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎣0 2 0 ⎦ ⎢ x ⎥ ⎣ 3⎦
c1n ⎤ ⎥ c2 n ⎥ ⎥ ⎥ cln ⎥ l × n ⎦
⎡b11 b12 ⎢ ⎢b21 b22 B=⎢ ⎢ ⎢bn1 bn 2 ⎣
⎡d11 d12 ⎢ ⎢d21 d22 D=⎢ ⎢ ⎢dl1 dl 2 ⎣
b1r ⎤ ⎥ b2 r ⎥ ⎥ ⎥ bnr ⎥ n × r ⎦
d1r ⎤ ⎥ d2 r ⎥ ⎥ ⎥ dlr ⎥ l × r ⎦
y(n) + an−1 y(n−1) + an−2 y(n−2) + + a1 y + a0 y = bnu(n) + bn−1u(n−1) + + bu + b0u 1
Y ( s ) bn s n + bn −1s n −1 + ...... + b1s + b0 = n G(s) = U ( s ) s + an −1s n −1 + ...... + a1s + a0
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系统方框图（结构图）
由
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
可得如下方框图（结构图）：
+ +
图中双线表示向量。
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1.3
状态空间表达式的建立
有三种主要途径： 由实际系统出发；由I/O描述出发；由系统结构图出发。 在每一条途径中，又可以分为自选状态变量和给定状态变量两种形式。 1.3.1 由实际系统出发建立状态空间表达式 例1.3 图示RLC网络。 设：ui为输入变量； uo=uc为输出变量， 试以uc和i为状态变量，建立RLC网络的状态空间表达式。
思考： 取：x1
= uc (t ), x2 = uc (t ), 状态空间表达式又如何？
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理解状态变量选取的非唯一性。
1.3.2 由系统I/O描述出发建立状态空间表达式 由输入输出描述确定状态空间表达式的过程称为“实现”。 对于同一传递函数可以有多种实现方式。 设单输入单输出（SISO）n 阶系统的微分方程：
经典控制原理与现代控制理论的比较
经典控制理论 数学基础 数学模型 研究对象 数学描述 稳定性 综合方法 控制方式 积分变换、复变函数 微分方程、传递函数 SISO系统 外部描述（I/O描述） Routh、Nyquist判据 以频域法为主 以反馈控制为主 现代控制理论 线性代数、矩阵理论 状态空间表达式 MIMO系统 内部描述 Liyapunov方法 时域法 最优控制、自适应控制
对于n阶系统，其内部每个时刻的状态由 x1 , x2 , , xn 来描述， ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎢ x (t ) ⎥ 2 ⎥ 称x为系统的状态（向量） 记：x(t ) = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ xn (t ) ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ 2
引入系统状态的概念以后，对系统的描述更为充分： 被 x1 输 y1 u1 控 y2 x2 出 u2 过 y3 x3 u3 装 程 置
试写出用方程组表示的状态方程和输出方程。 解： r = 2
l =1
n=3
状态方程 x = Ax + Bu
⎡ x1 ⎤ ⎡1 2 3⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1 2⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢4 5 6⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢3 4⎥ ⎡ u1 ⎤ ⎥ ⎢u ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎢ x3 ⎥ ⎢7 8 9⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢5 6⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣
. . .
− an −1 xn + u
0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ 0 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢0⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥ u ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢ xn−1 ⎥ ⎢0⎥ −an−1 ⎥ ⎢ xn ⎥ ⎢1 ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎧ x1 = x1 + 2 x2 + 3 x3 + u1 + 2u2 ⎪ 展开为方程组得， ⎨ x2 = 4 x1 + 5 x2 + 6 x3 + 3u1 + 4u2 ⎪ x = 7 x + 8 x + 9 x + 5u + 6u 1 2 3 1 2 ⎩ 3
⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ + [4 5]⎡ u1 ⎤ y = [1 2 3]⎢ 2 ⎥ 输出方程 y = Cx + Du ⎢u ⎥ ⎣ 2⎦ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦ 展开为方程（组）得， y = x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4u1 + 5u 2