MATLAB在数学教学中的应用

MATLAB在数学教学中的应用张兴元1．MATLAB简介1.1 简介MATLAB是Matrix Laboratory（矩阵实验室）的缩写，是由美国MathWorks公司开发的集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体的、功能强大的、操作简单的语言，是国际公认的优秀数学应用软件之一。

其产品Logo为，目前该产品已经发展到R2009版。

Cleve B.Mole是其创始者和首席科学家，他曾任密歇根大学、斯坦福大学和新墨西哥大学的数学系或计算机系教授，也曾在Intel和Ardent Computers公司工作过，他还是矩阵计算软件包LINPACK和EISPACK的作者之一，撰写过两本MATLAB方面的著作：Numerical Computing with MATLAB，Experiments in MATLAB。

MATLAB现在已经发展成为适合多学科的大型软件，在世界许多高校，它已经成为线性代数、数值分析、数理统计、自动控制、数字信号处理、动态系统仿真等课程的基本教学工具。

一年一度的全国大学生数学建模竞赛活动，使得它在国内很快普及。

【演示例子】：分形蕨[1]。

【程序】：【Fern.m】。

1.2 软件学习使用方法学习的方法：●一本基础的MATLAB使用教程；●运行并学习Demo;●借助帮助系统使用；●相互交流。

2．MATLAB 在数学课程教学中的应用类型MATLAB 在数学课程教学中的应用可以包含数学计算即解数学题、数学概念的几何形象化、数学规律的形象化理解等。

（纯属个人观点） 2.1 数学计算利用MATLAB 具有符号演算和数值计算功能，但很多教师、工程师和研究人员把主要它作为主要的数值计算和图形演示工具。

2.1.1 符号演算MATLAB 的符号演算功能是通过调用数学软件MAPLE 的符号处理内核来完成。

其使用方法，可以采用如下形式：Step1：定义符号变量和表达式； Step2：调用符号运算函数完成演算； Step3：借助图形函数展示演算结果。

【例1】微积分计算（1）lim n →∞【程序】：syms x;syms n; f2=n^(1/n);v2=limit(f2,n,inf,'left')（2）31lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x x x→∞+-+；【程序】：syms x;f6=x*(sin(log(1+3/x))-sin(log(1+1/x))); v6=limit(f6,x,inf,'left')（3）求函数5433354()21=--+f x x x x 的极值； 【程序】：【Step1】：绘制函数的图形：hold on; grid on;fplot('3/5*x^5-3/4*x^4-2*x^3+1',[-2 2.5]); fplot('0*x',[-2,2.5])hold off;【Step2】求出函数的驻点syms x;f=3/5*x^5-3/4*x^4-2*x^3+1; df1=diff(f,x); df1=factor(df1) x0=solve(df1,x)【Step3】判断驻点是否为极值点df2=diff(f,x,2) x20=subs(df2,x,0) x22=subs(df2,x,2) x21=subs(df2,x,-1) y0=subs(f,x,0) y2=subs(f,x,2) y1=subs(f,x,-1)（4）计算定积分：① 3410tan I xdx π=⎰；② 120I =⎰；③ 2140xI e dx -=⎰【程序】：syms x;I1=int(tan(x)^3,0,pi/4)I2=int(1/((3+6*x-x^2)^(1/2)),0,1) I3=int(exp(-x^2),0,1) I1D=double(I1) I2D=double(I2) I3D=double(I3)（5）求方程组()()0,()4()0x t y t y t x t ''''+=-=满足条件(0)(0)0x y ==，(0)1,(0)2x y ''==的特解。

【程序】：syms x y;f='D2x+y=0,D2y-4*x=0';S=dsolve(f,'x(0)=0,Dx(0)=1,y(0)=0,Dy(0)=2');[S.x;S.y]ezplot(S.x,S.y,[-10,10])【例2】线性代数计算（1）设211212111A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，计算110det,(),,A Tr A A A-。

【程序】：A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1];d=det(A) % 计算行列式tr=trace(A) %计算A的迹：a11+a22+...+anninvA=inv(A) %计算A的逆矩阵mA=A^10 %计算A的10次幂（2）求线性方程组26767971411725979 361625225x y z wx y z wx y z wx y z w+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩的通解。

【程序】：S=solve('x+2*y+6*z+7*w=67','x+9*y+7*z+14*w=117','x+2*y+5*z+9 *w=79','3*x+6*y+16*z+25*w=225');[S.x;S.y;S.z;S.w]（3）计算方阵的特征值与特征向量：1123 213 336A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2323111414A-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

【程序】：% 第一小题clear;clc;A1=[1 2 3;2 1 3;3 3 6];[V1,D1]=eig(sym(A1))% 第二小题A2=[-3 2 3;-1 1 1;-4 1 4];[V2,D2]=eig(sym(A2))2.1.2 数值计算与模拟MATLAB 的数值计算功能非常强大，既可以完成数值代数、数值逼近和微分方程数值解等传统内容，也可以借助编程完成如统计计算、分形与混沌研究等，还可以借助Simulink 完成系统模拟等任务。

【例3】生日问题[2]。

美国数学家柏格米尼曾经做过一个别开生面的试验：在一个盛况空前的人山人海的世界杯足球赛赛场上，它随机地在某看台上请23个球迷分别写下了自己的生日，结果竞发现其中的两个人生日相同。

怎么会这么凑巧呢？请用概率的知识加以说明。

【理论推导】：设随机选取(365)s ≤个人，记A={至少有两个人的生日相同}，则A ={所有人生日全不相同}，则365()1()1365s sP P A P A =-=-因此，随着选取人数(365)s ≤的增加，概率()P A 接近于1；当365s >时，就成为一个必然事件。

【计算机模拟演示】：下面通过计算机程序模拟生日问题，即从1，2，…，365个整数中随机产生s(用户自己输入)个可重复的整数来模拟实验结果。

步骤如下：Step1：产生s 个随机数，统计结果；Step2：重复Step1多次，统计试验结果，并计算出现相同值的频率； Step3：改变s ，重复Step1和Step2，每一种情况下的频率； Step4：绘制频率图和频率累计图并与理论结果比较。

【程序】：【BirthdayProb.m 】 【例4】微分方程数值解求解初值问题3()()4()()()3()(0)1,(0)8x t x t x t y t y t x t x y '⎧=---⎪'=⎨⎪==-⎩，并绘制斜率场及解曲线。

【步骤】：【Step1】：单独定义微分方程；【Step2】：利用ode 函数求解微分方程； 【Step3】：绘制解曲线。

【程序】：【微分方程1】：Exam05Demo03Prob2.m ； 【求解并绘图】：【DifEq.m 】。

2.2 数学概念的形象化可以借助编程实现很多数学概念如连续与可微、定积分、行列式、线性变换、矩阵的秩、特征值、特征向量等的几何直观解释。

【例5】微积分【项目1】连续函数、可微函数观察选定两个函数f x g x (),()，如x x x f x g x x x 1sin ,0(),()sin 0,0≠⎧==⎨=⎩，在点x 0(0)=处f x ()连续，而g x ()连续可微，观察它们在点x 0附近的图像的区别。

【方法】：分别作出函数f x g x (),()在包含x 0的一系列区间上的图像，并进行对比。

【程序】：【Continuity_Differentiability.m 】。

【项目2】 处处连续处处不可微的函数例子---魏尔斯特拉斯曲线[3]魏尔斯特拉斯函数是n n n f x b a x x b a ab 0()cos(),,01,0,1π∞==-∞<<+∞<<>>∑（1）级数（1）在x -∞<<+∞中一致收敛，所以f x ()在x -∞<<+∞上连续，它是无穷多个余弦曲线叠加而成的，记第n+1条曲线为n n n y T x b a x ()cos()π==其周期为n a2，振幅为n b 。

余弦曲线的斜率（按绝对值计算）的最大值出现在它的零点处，我们用这个最大值来刻画它陡峭的程度，故不妨称为n T x ()的陡度，即得n T x ()的陡度就是n n dT x ab dx()max()π= 现令 1a >为一整数，且1ab >，所以n T x 1()+的陡度又比n T x ()的陡度大（ab ）倍，所以构成函数（1）的正弦波就越来越窄，越来越陡，其振幅也越来越小。

图1就b=1/2，a=5画出了级数（1）的三个部分和（程序参见Exm16Demo02_1.m ）。

短划线是部分和：S x T x x 00()()cos()π==；虚线是部分和：S x T x T x x x 1011()()()cos()cos(5)2ππ=+=+；实线：S x T x T x T x x x x 201311()()()()cos()cos(5)cos(25)24πππ=++=++。

【程序】：【程序1】：Weierstrass0.m 【程序2】：Weierstrass100.m观察图像，我们可以想象由无穷多项余弦波叠加而成的函数f x ()的图像会成为一条“毛茸茸“的曲线，而有可能是一个不可求导的函数的图像。

事实上可以从理论上证明它在任一点处均不可微[]。

【项目3】定积分定义的几何演示定积分0sin x e xdx π⎰与其积分和的关系。

【原理】：依据定积分的定义：01sin lim sin ,max{}→==∆=∆∑⎰i nx i i i i e xdx e x x πξλξλ【步骤】：【Step 1】：将区间[0,pi]分成n 等份即取i nx π∆=，取每个区间右端点为i ξ，并计算积分和1()sin inii S n e nξπξ==∑；【Step 2】：画出被积函数()sin x f x e x =的图形和S(n)所表示的面积； 【Step 3】：改变n ，重复Step1和Step2。