第二章第6课时 用公式法求解一元二次方程(2)
2.3用公式法求解一元二次方程第2课时教案
一、教学内容
本节课为“2.3用公式法求解一元二次方程”第2课时教案，依据人教版数学八年级上册教材，教学内容主要包括以下三个方面：
1.掌握一元二次方程的求根公式，即：
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
2.学会运用求根公式解决实际问题，特别是当判别式\(b^2 - 4ac\)大于、等于或小于0时的情况讨论。
此外，小组讨论环节中，我发现有的学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是在小组中缺乏足够的发言机会。针对这个问题，我计划在组织小组讨论时，更多地关注每个学生的参与情况，鼓励那些比较内向或不确定的学生发表自己的观点，让每个人都有机会表达自己的想法。
最后，从学生的提问和作业完成情况来看，我感到他们在计算过程中仍存在一些粗心大意的现象。为了提高学生的计算准确性，我打算在接下来的课程中，增加一些针对性的计算训练，并教导学生如何进行自我检查和同伴互评，以提高解题的正确率。
其次，判别式的概念及其与方程解的关系是本节课的一个重点和难点。我发现有些学生在判断判别式符号时容易出错，这说明对这个概念的理解还不够深入。在以后的教学中，我可以通过更多的实例和练习，让学生反复练习判别式的判断，同时强调其在解题过程中的重要性。
在实践活动中，学生们的讨论和实验操作都比较积极，但我也观察到有些小组在解决问题时思路不够清晰。这提示我在未来的活动中，应该更加注重引导学生如何有效地进行问题分析和解决。我可以通过提问和指导，帮助学生理清思路，提高他们解决问题的能力。
3.能够熟练运用求根公式求解一元二次方程，并对方程的解进行验证。
本节课将通过具体例题的讲解和练习，使学生更好地理解和掌握一元二次方程的公式法解法，提高解题能力。
用公式法解一元二次方程学习目标1．使学生理解一元二次方程的求根
用公式法解一元二次方程学习目标1．使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。
2．引导学生熟记求根公式并理解公式中的条件3．使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程。
学习重点：1．掌握一元二次方程的求根公式。
2．熟练地运用求根公式解一元二次方程。
学习难点：求根公式的推导教学过程（一）复习引入我们学过了一元二次方程的两种解法，它们是1．直接开平方法：2．配方法：（提问步骤）（二）探索新知1.学生尝试用配方法推导一元二次方程的求根公式:2．交流讨论：分析公式的特点，记忆公式。
3．例题学习例1、解方程（学生自主解答，教师点拨）小结：方程满足一般式，确定、、后代入求根公式，即可求出方程的根。
例2、解方程（小组交流合作完成）小结：方程不是一般式，先化为一般形式后再求方程的根。
例3、解方程（自主完成，小组交流）小结：方程的二次项系数为负数，通常先把它化为正数，再求根较好，而且＜0可以用算术平方根的意义得到方程没有实数根。
4．反馈练习（1）（2）（3）（4）（学生先练习，老师后点评）（三）课堂总结：（1）要牢记一元二次方程的求根公式（2）利用求根公式求一元二次方程的根的步骤：①化方程为一般形式②确定方程中的、、的值③算出的值④代入求根公式求方程的根（3）求根公式是在时求方程的根，如果＜0时，则方程在实数范围内无解。
（四）拓展练习（1）用公式法解方程得到方程的根是。
（2）已知能使的值等于的值的值是。
（3）若代数式与的值是互为相反数，则的值为。
（4）关于的一元二次方程的常数项为0，则关于的一元二次方程的一般式为。
《第6课时解一元二次方程—公式法优秀获奖教案
按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。
2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。
从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。
本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
第6课时解一元二次方程—公式法预设目标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
教学重难点重点：求根公式的推导和公式法的应用。
难点：一元二次方程求根公式法的推导。
教具准备教法学法合作，探究，讨论教学过程一、自主学习感受新知【问题】用配方法解方程：⑴ (2)2x2-3x+5=0小结：配方法解一元二次方程的步骤。
二、自主交流探究新知【探究】用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）【分析】前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去。
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，•将a、b、c代入式子220x x--=.0:2=++acxabx解.2acxabx-=+.22222acababxabx-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛++.442222aacbabx-=⎪⎭⎫⎝⎛+,42时当≥-acb.2422aacbabx-±=+().04.2422≥--±-=∴acbaacbbxx=242b b aca-±-（b2-4ac≥0）就可求出方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．解：【说明】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的；（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x=242b b aca-±-（b2-4ac≥0）中，可求得方程的两个根；（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．【练习】教材P37练习题四、自主总结拓展新知1、求根公式的推导过程；2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a、b、c的值、再算．出b2-4ac的值、最后代．入求根公式求解．板书设计解一元二次方程——公式法求根公式例1（1）（2）（3）（4）求根公式的推导学生练习作业教材第42页：习题A组第4题教学反思[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
初中数学九年级上册第二章 一元二次方程用配方法求解一元二次方程
第二章一元二次方程２．用配方法求解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：初二上学期，学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。
学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。
二、教学任务分析在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。
这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，为此，本节课的教学目标是：①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：探究析疑；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小测；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业。
第一环节：复习回顾活动内容：1、将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).（1）.x2+2x+________=(x+______)2（2）.x2-4x+________=(x-______)2（3）.x2+5x+________ =(x+______)2活动目的：回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。
为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。
实际效果：学生对口答题的积极抢答，调动了各自的思维，进入了积极学习的状态；教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，x2-6x-40=0 移项，得 x2-6x= 40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x2-6x+32=40+32即（x-3）2=49开平方，得 x-3 =±7即 x-3=7或x-3=-7所以 x1=10,x2=-4学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：移项，配方，开平方，求解及注意事项。
用公式法求解一元二次方程课件北师大版数学九年级上册
c=0
Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根
知2－讲
特别说明：(1)由Δ=b2－4ac 的符号可判定ax2＋bx＋c=
0(a ≠ 0)的根的情况. 反之，由ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的
情况也可得到Δ=b2－4ac 的符号.
(2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两
2k－1=0 的根的情况为(
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法判断
)
知2－练
思路导引：
解：∵ a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1，
∴ Δ =b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－
1)=8＋8k2>0.
当方程中的a，b，c含有字母时，求出
第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
1 课时讲授 用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
知识点 1 用公式法解一元二次方程
知1－讲
1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当
b2－4ac
≥ 0 时，它的根是x =
知1－练
(3)x2－2x＋3=0.
解：这里a=1，b=－2，c=3 .
∵ b2 －4ac=(－2)2 －4×1×3=－8<0，
∴方程无实数根.
知1－练
知1－练
1-1. 用公式法解下列方程：
(1)y2－2y－2=0；
解：这里 a＝1，b＝－2，c＝－2.
届九年级数学上册 23 用公式法求解一元二次方程第二课时教学设计 新版北师大版
用公式法求解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生已学习了一元一次方程、二元一次方程组等内容；已经经历将一些实际问题抽象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程；学习了用配方法解一元二次方程，掌握了数与代数的基本知识和基本技能和一定的运算技能。
这些为本节进一步用配方法解一元二次方程提供了基础。
学生活动经验基础：学生在七年级和八年级中有过方案设计的经历，经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，这些也构成了本课任务完成的活动经验基础。
二、教学任务分析体会方程是刻列出方程；课程标准对方程的要求是：能够根据具体问题中的数量关系，本节主要检验结果是否合理。
画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，因此设计了一个方案设计比较枯燥，为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，）通过一（1:活动，需要自行设计方案，因此需要适度的建模，为此制定本课时教学目标是巩固解一元体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，元二次方程的建模过程，通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际(2)二次方程的方法；问题的勇气、才能及个性。
三、教学过程分析整个教学过程共分七个环节进行。
第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入；第三环节：方案设计；第四环节：问题解答；第五环节：学以致用；第六环节：反思归纳；第七环节：布置作业。
第一环节：知识回顾活动内容：你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？活动目的： 1帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫。
第二环节：情境引入活动内容：师提出问题：现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？并使花园所占面积为荒要建造一个花园，，宽为１２m的矩形荒地上，在一块长为１６m 地面积的一半。
你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？活动目的：成为学生真正以同学生平等的身份提出问题，以情境引入课题，改变教师的权威地位，使学生真正成为意义上的合作者。
第6讲 一元二次方程及其求解(配方法公式法因式分解法)
第6讲一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）目标导航课程标准1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.4．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；5．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；6．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 7．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；8．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；9．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．知识精讲知识点01 一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念通过化简后，只含有未知数(一元)，并且未知数的最高次数是(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3．一元二次方程的解使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4．一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.知识点02 一元二次方程的解法（一）直接开方法解一元二次方程1．直接开方法解一元二次方程：利用直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2．直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3．能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.注意：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.（二）配方法解一元二次方程：1．配方法解一元二次方程将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.2．配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 注意：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 4．配方法的应用（1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.（2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 注意：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． （三）公式法解一元二次方程 1．一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当 时，2．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式： ． ①当时，原方程有两个不等的实数根 ； ②当时，原方程有两个相等的实数根 ； ③当时，原方程 实数根.3．用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.注意：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. （四）因式分解法解一元二次方程 1．用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为 ；（2）将方程左边分解为两个一次式的 ；（3）令这两个一次式分别为 ，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2．常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 注意：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考法01 关于一元二次方程的判定【典例1】下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316xx +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练】若()2230aa x x --+= 是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（ ） A ．2-B ．2C ．1D ．2±考法02 一元二次方程的一般形式、各项系数的确定能力拓展【典例2】将方程2x 2＝5x －1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ） A ．－5、1B ．5、1C ．5、－1D ．－5、－1【即学即练】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是3的方程是（ ） A ．2234x x +=B ．2234x x -=C ．2243x x +=D ．2243x x -=考法03 一元二次方程的解（根）【典例3】若2x =是关于x 的一元二次方程20ax x b --=的一个根，则282a b +-的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6【即学即练】若一元二次方程()221310k x x k -++-=有一个解为0x =，则k 为（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．0考法04 用直接开平方法解一元二次方程【典例4】方程()219x +=的解为（ ） A ．2x =，4x =-B ．2,4x x =-=C ．4,2x x ==D ．2,4x x =-=-【即学即练】一元二次方程()2116x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是14x +=，则另一个一元一次方程是（ ） A ．14x -=-B ．14x -=C ．14x +=D ．14x +=-考法05 用配方法解一元二次方程【典例5】用配方法解一元二次方程 x 2-10x ＋11＝0，此方程可化为（ ） A ．（x －5）2＝14B ．（x ＋5）2＝14C ．（x －5）2 ＝36D ．（x ＋5）2 ＝36【即学即练】慧慧将方程2x 2+4x ﹣7＝0通过配方转化为（x +n ）2＝p 的形式，则p 的值为（ ） A ．7B ．8C ．3.5D ．4.5考法06 配方法在代数中的应用【典例6】已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ） A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【即学即练】已知方程264x x -+=，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A ．6B ．9C ．2D ．2-考法07 公式法解一元二次方程【典例7】已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），下列命题是真命题的有（ ）①若a ＋2b ＋4c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有实数根；②若b ＝3a ＋2，c ＝2a ＋2，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实根； ③若c 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则一定有ac ＋b ＋1＝0成立； ④若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2at ＋b ）2． A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【即学即练】x = ）A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=考法08 因式分解法解一元二次方程【典例8】一元二次方程2560x x -+=的根是（ ） A ．12x =，23x =B ．12x =-，23x =C ．12x =，23x =-D ．12x =-，23x =-【即学即练】一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程216550x x -+=的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（ ） A ．11B ．27C ．5或11D ．21或27题组A 基础过关练1．把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是（ ） A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=2．若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2m =±B ．m ＝2C ．2m ≠-D ．2m ≠±3．用配方法解方程2410x x -+=时，结果正确的是（ ） A ．()225x -= B ．()223x -= C ．()225x +=D ．()223x +=4．若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ≥－1B ．k ＞－1C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠05．方程22240x x --=的根是（ ） A ．16x =，24x = B ．16x =，24x =- C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-6．已知关于x 的一元二次方程(x +1)2+m ＝0可以用直接开平方法求解，则m 的取值范围是________． 7．若一元二次方程240x x k -+=无实数根，则k 的取值范围是_______．分层提分8．关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则这两个相等的根是x 1＝x 2＝__________________．题组B 能力提升练1．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m 的值是（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-2．用配方法解方程2210x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(1)2x -=B ．2(1)0x -=C ．2(1)1x -=D ．2(1)2x +=3．有关于x 的两个方程：ax 2+bx +c =0与ax 2-bx +c =0，其中abc ＞0，下列判断正确的是（ ） A ．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C ．若两个方程都有实数根，则必有一根相等D ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成的大正方形ABCD 如图所示．连结CF ，并延长交AB 于点N ．若35AB =，3EF =，则FN 的长为（ ）A ．2B 5C ．22D ．35．已知实数a 、b 满足()()2222220a b a b +-+-=，则22a b +=________．6．如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________． 7．已知方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ． (1)求2a +b 的值；(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解． 8．先阅读，后解题．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=．∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0，∴()210m +=且()230n -=，∴1m =-，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ．题组C 培优拔尖练1．若方程22432mx x x +-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．0m >B ．0m ≠C ．2m ≠D ．2m ≠-2．若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义a bc d＝ad －bc ，按照定义，若11x x +- 23x x -＝0，则x 的值为（ ） A ．3B ．3-C ．3D ．3±3．对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；②若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+其中正确的（ ） A ．只有①②④B ．只有①②③C ．①②③④D ．只有①②4．如图，在矩形ABCD 中，AB =14，BC =7，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，P 、Q 均为CD 边上的动点（点Q 在点P 左侧），点G 为MN 上一点，且PQ =NG =5，则当MP +GQ =13时，满足条件的点P 有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）． 6．若x m =时，代数式223x x --的为0，则代数式243m m --=________． 7．已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x ＋3k ﹣3＝0 (1)求证：无论k 取何值，方程都有实根； (2)若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．8．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x 2＋x ＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x 2﹣5x ﹣6＝0； ②x 25＋1＝0；(2)已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“差1方程”，求m 的值；(3)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差1方程”，设t ＝10a ﹣b 2，求t 的最大值．。
用公式法解一元二次方程说课稿
2.3用公式法解一元二次方程说课稿今天我说课的内容是北师大版九年级数学上册第二章《2.3用公式法解一元二次方程》。
我主要从教材分析、教法分析、过程分析、板书设计四个方面对本节课作如下说明.一、教材分析（一）教材的地位和作用“一元二次方程的解法”是初中代数的方程中的一个重要内容之一，是在学完一元一次方程、因式分解、数的开方、以及前三种因式分解法、直接开方法、配方法解一元二次方程的基础上，掌握用求根公式解一元二次方程，是配方法和开平方两个知识的综合运用和升华。
通过本节课的教学使学生明确配方法是解方程的通法，同时会根据题目选择合适的方法解一元二次方程。
一元二次方程的解法也是今后学习二次函数和一元二次不等式的基础。
（二）教学目标知识技能方面：理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法解一元二次方程。
数学思考方面：通过求根公式的推导过程进一步使学生熟练掌握配方法，培养学生数学推理的严密性和逻辑性以及由特殊到一般的数学思想。
解决问题方面：结合用公式法解一元二次方程的练习，培养学生快速准确的运算能力和运用公式解决实际问题的能力。
情感态度方面：让学生体验到所有的方程都可以用公式法解决，感受到公式的对称美、简洁美，渗透分类的思想；公式的引入培养学生寻求简便方法的探索精神和创新意识。
（三）教学重、难点重点：掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤；会熟练用公式法解一元二次方程。
难点：理解求根公式的推导过程和判别式二、教学法分析教法：本节课采用引导发现式的自主探究式与交流讨论结合的方法；在教学中由旧知识引导探究一般化问题的形式展开，利用学生已有的知识、多交流、主动参与到教学活动中来。
学法：让学生学会善于观察、分析讨论和分类归纳的方法，提出问题后，鼓励学生通过分析、探索、尝试解决问题的方法，铜锁亲自尝试，使学生的思维能力得到培养。
三、过程分析本节课的教学设计成以下六个环节：复习导入——呈现问题——例题讲解——巩固练习——课时小结——布置作业。
【用公式法解一元二次方程_(2)
2、求出 b 4ac 的值，
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无实数解
b b2 4ac 3、代入求根公式 : x 2a x2 4、写出方程的解： x1、
课堂练习 用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0
（2）16x2+8x=3
能力提升
• 例1解方程（1）(x+1)(3x-1)=1
(2)
x 3 2 3x
2
课堂练习
• 解方程（1）(x-2)(3x-5)=1 (2)x2+3=2√2x (3)x24√3x+12=0 思考 并讨论： 你 发现上面三个方程的解有什么不同？不同 情况的解是有什么决定的？ -
x1、 x2
归纳总结
• 一元二次方程的解分三种情况：
•当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； •当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； •当b2-4ac<0时，方程没有实数根；
课堂总结
• （1）在用公式法解一元二次方程是必须先 化为一般形式，再确定a,b,c的值。 （2）求出 b2-4ac 的值，（特别注意:当 b2-4ac＜0时 方程无实数解） 2 b b 4ac : x （3）代入求根公式 2a （4）写出方程的解：
用公式法求解一元二次方程ppt课件
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
《用公式法求解一元二次方程》课件 2022年北师大版九上数学PPT
心动 不如行动 公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:a 2,b 9, c 8. 1.变形:化方程为一般
b2 4ac 92 428 17 0. 形式;
图 20.3.1
如图，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四 边形．
图 20.3.2
和你的同伴交换一下，看看是否成了一个菱形．
由此可以得到判定菱形的一种方法：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直， 我们可以证明： 四边形ABCD是菱形．
证明
∵ 四边形ABCD是平行四边形
解: 设这三个连续偶数中间的一个为x,根据题意得
x2 x 22 x 22.
B
即x2 8x 0.
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意,舍去). A
C
x 2 6, x 2 10.
答: 三角形的三条边长分别为6,8,10.
我最棒
,解题大师——标准正确!
解以下方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝8； (3). (2x-1)(x-2) =-1;
心动 不如行动 公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : x2 9 x 4 0. 2
x2 9 x 4.
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2
9
2 x
9
2
9
2
北师大版九年级数学上册2.6应用一元二次方程 教 案
第二章一元二次方程2. 6 应用一元二次方程本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务.但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力.因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成.显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力.1.通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程.2.经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；3.在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力.【教学重点】能够利用一元二次方程解决有关实际问题.【教学难点】分析和建模的过程.课件.一、复习回顾（一）回忆：用配方法解一元二次方程的步骤:1. 化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系数）;2. 移项:把常数项移到方程的右边;3. 配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;◆教学重难点◆◆教学目标◆教材分析◆课前准备◆◆教学过程4. 变形:方程左边配方,右边合并同类项;5. 开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6. 求解:解一元一次方程;7. 定解:写出原方程的解.（二）一般地,对于一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）240,:b ac -≥当时它的根是)2402b x b ac a -±=-≥。
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.二、合作交流，探究新知（一）认识黄金分割如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果,AC BC AB AC=那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比称为黄金比.其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊线段AB,AC 和BC.其中线段AC 是线段AB 和线段BC 的比例中项,也可写成AC 2=AB ·BC.,20.6181AC BC AB AC ==≈学习一元二次方程之后我们可以求得如何求得黄金分割？2:,AC CB AC AB CB AB AC==⋅解由得 1,,1AB AC x CB x ===-设则()211,x x ∴=⨯-210x x +-=即,解这个方程得12x -±∴=1215215(,)x x -+∴=--=不合题意舍去 150.618AC AB -+∴=≈黄金比。
《用公式法求解一元二次方程》第2课时示范课教学设计【数学九年级上册北师大】
《用公式法求解一元二次方程》教学设计第2课时一、教学目标1.通过对学校荒地改造方案的设计，体会用一元二次方程解决实际问题的重要性.2.学会建立一元二次方程模型解决有关面积的问题.3.在解决问题的过程中进一步熟练用公式法解一元二次方程.4.能从题意中分析具体问题情境，发展学生逻辑推理核心素养能力.二、教学重难点重点：分析各图形面积之间的关系，找出等量关系，建立方程模型.难点：能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，对方程的解进行恰当的取舍.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计想一想，你会怎么设计这片荒地？看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？小明的设计方案：如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.解：设小路的宽为x m, 根据题意得：即x2- 14x + 24 = 0.解方程得x1 = 2 , x2 = 12.将x =12 不符合题意舍去.所以小路的宽为2m.结论：小明的这样设计是可行的，但是结果不能取小路的宽为12m.小亮的设计方案：如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？解：设扇形半径为 x m, 根据题意得：216122x ⨯π=， 即 πx 2= 96.解方程得 x 1 =96 5.5≈π，x 2 =96-π(舍去). 所以扇形半径约为5.5m. 结论：小亮的设计方案是可行的. 小颖的设计方案：如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.问题：你能帮小颖计算一下图中x 吗？ 解：设小路的宽为 x m, 根据题意得：()()161216122x x ⨯--= 即x 2 - 28x + 96 = 0. 解方程得x 1 = 4 , x 2 = 24, x =24 不符合题意舍去. 所以小路的宽为4m.结论：小颖的设计方案是可行的. 【延伸】思考：你还有其他的设计方案吗？ 预设：其他的设计方案：其他的设计方案不止这4种，可以充分调动学生的参与性，只要合理即可.并让学生试着自己验证这些方案的合理性？【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例如图,在一块长为92m ,宽为60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为885m2的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？分析：动画演示：设水渠宽为x m，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为(92 – 2x )m, 宽(60 -x)m.解：设水渠的宽应挖x m .(92-2x)(60 -x)= 6×885教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.在一幅长90 cm、宽40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？2.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25 m)，另三边用木栏围成，木栏长40 m.(1)鸡场的面积能达到180 m2吗？能达到200 m2吗？(2)鸡场的面积能达到250 m2吗？3.如图，圆柱的高为 15 cm ，全面积(也称表面积) 为 200 π cm 2，那么圆柱底面半径为多少？答案：1.解:设金色纸边的宽度是 x cm ．()()409090240272%x x ⨯=++ 解得x 1＝-70(舍去)，x 2＝5 所以，金色纸边的宽度是 5cm ． 2.解: (1)设鸡场的宽为x m ．由题意，得40 - 2x > 0，40 - 2x ≤ 25， 解得：7.5 ≤ x ＜ 20．当鸡场的面积为180 m 2时，列方程得：x (40-2x )＝180， 解得()121010,1010x x =+=-舍去， 即鸡场宽为 (1010+) m 时，鸡场面积达到 180 m 2．当鸡场的面积为200 m 2时，列方程得： x (40-2x )＝200，解得 x 1＝x 2＝10．即鸡场宽为 10 m 时，鸡场面积达到 200 m 2． (2)当鸡场的面积为250 m 2时，列方程得：x (40-2x )＝250，方程无解． 即鸡场面积达不到 250 m 2． 3.解: 设圆柱底面半径为 r cm ．2πr 2＋15×2πr ＝ 200π 解得 r 1＝-20(舍去)，r 2＝5． 所以，圆柱底面半径为 5 cm ．思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第45页题2.6 第4题。
第6课时用因式分解法解一元二次方程
第6课时 用因式分解法解一二次方程
例 3 教材补充例题 选择合适的方法解下面的方程： (1)3x2－1＝6x； (2)(3x－2)2＝(2x－3)2； (3)y2－2y－399＝0.
解：(1)将原方程整理，得 3x2－6x－1＝0.
∵a＝3，b＝－6，c＝－1，b2－4ac＝36＋12＝48，
❖
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。16:20:3816:20:3816:209/9/2021 4:20:38 PM
❖
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.916:20:3816:20Sep-219-Sep-21
3 ＝2这个根．
正解：移项，得(2x－3)2－3(2x－3)＝0. 因式分解，得(2x－3)(2x－3－3)＝0，
3 ∴2x－3＝0 或 2x－6＝0，∴x1＝2，x2＝3.
6± 48 3±2 3
3＋2 3
3－2 3
∴x＝ 6 ＝ 3 ，即 x1＝ 3 ，x2＝ 3 .
第6课时 用因式分解法解一元二次方程
(2)将原方程整理，得(3x－2)2－(2x－3)2＝0. (3x－2＋2x－3)(3x－2－2x＋3)＝0， (5x－5)(x＋1)＝0，5x－5＝0 或 x＋1＝0， ∴x1＝1，x2＝－1. (3)y2－2y＝399，y2－2y＋1＝400，(y－1)2＝400，y－1＝±20， ∴y1＝21，y2＝－19.
第6课时 用因式分解法解一元二次方程
目标突破
目标一 会用因式分解法解一元二次方程
例 1 教材补充例题 下面四个方程：(1)x2－25＝0；(2)y2＝ 3 y；(3)(x＋1)2－4(x＋1)＋4＝0；(4)x2＋2x＋1＝0.其中能用因式分 解法求解的个数是( D )
公式法解一元二次方程说课稿2
《公式法解一元二次方程》说课稿迳口中学黄桂英各位评委，各位老师：大家好！我是来自花东镇迳口中学的数学教师黄桂英，今天我说课的内容是人教版数学九年级上册第22章一元二次方程中《公式法解一元二次方程》。
一、教材分析1、教材的地位和作用用求根公式解一元二次方程是在学完直接开方法、配方法的基础上学习的又一种重要的解法，它不但方便于解较复杂的一元二次方程，而且适用于解所有的一元二次方程，因此学习用公式法解一元二次方程是很有必要的，是不可缺少的一个重要内容。
它为进一步学习一元二次方程的解法及简单应用、二次函数等知识起到铺垫作用。
本节课的学习培养了学生由特殊到一般的解题思想。
2、教学目标知识目标：理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练运用公式法解一元二次方程。
能力目标：在教师的指导下，经历观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结的能力，同时通过使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生准确快速的计算能力。
情感目标：通过求根公式的推导，培养了学生由特殊到一般的解题思想、探索精神、独立思考的习惯及合作交流的意识。
3、重点与难点重点：正确、熟练地用一元二次方程的求根公式法解一元二次方程。
难点：求根公式推导及b2-4ac对一元二次方程的影响。
二、教法分析教法上采用启发引导，讲练结合的授课方式。
充分体现了“类比——探究——归纳“的模式”。
在教学中我通过新旧知识的类比来启发诱导学生深入思考，并通过合作交流推导出求根公式，这种教学方式有利于培养学生由特殊到一般的解题思想，探索精神，也充分发挥教师的主导作用，体现了学生主体地位，三、学法分析学习本节课以前，学生已学过用开平方法、配方法解一元二次方程，对解方程的基本思路已经比较熟悉。
依照学生的认知规律引导学生从简单的问题中发现规律，突出本节课的重点。
在训练内容的选择上考虑到学生接受新旧知识结合的能力：一是采用层层递进的方式，二是以基本技能为主，而不追求繁难的一元二次方程的解题特殊技巧。
北师大版九年级上册数学《用公式法求解一元二次方程》一元二次方程说课教学课件
典型例题
例 解方程. (1) x2 -7x-18 = 0
(2) 4x2 +1=4x
解： (2) 将原方程化为一般形式，得
4x2-4x + 1 = 0.
这里 a = 4，b = -4，c = 1.
∵ b2 - 4ac = (-4)2 -4×4×1 = 0，
∴
x
=
-(-4) 24
0
=
1， 2
即
x1
=
x2
典型例题
例 解方程. (1) x2 -7x-18 = 0；
(2) 4x2 +1=4x.
解：(1) 这里a = 1，b = -7，c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7)2-4×1×(-18) = 121 > 0，
∴ x = 7 121 = 7 11，
21
2
即
x1 = 9，x2 =-2.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
配方，得 x2 b x + ( b )2 ( b )2 + c 0， a 2a 2a a
(x
+
b )2 2a
b2 4ac 4a 2
0
.
移项，得
( x + b )2 b2 4ac . 能直接开方吗？
2a
4a 2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)， 请用配方法解此方程.
=
1 2
.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
议一议
(1) 你能解一元二次方程 x2 -2x + 3 = 0 吗？
一元二次方程公式法求解例题
一元二次方程公式法求解例题一元二次方程是咱们中学数学里的重要知识点，这其中公式法求解那可是相当关键。
那咱就直接上例题，好好瞅瞅这公式法的神奇之处！先来说说一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0），而公式法求解的公式就是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a) 。
咱们来看个具体的例子：比如方程 2x² + 5x - 3 = 0 ，这里 a = 2，b = 5，c = -3 。
先算一下判别式Δ = b² - 4ac ，也就是 5² - 4×2×(-3) = 25 +24 = 49 。
因为Δ > 0 ，所以方程有两个不同的实数根。
接下来代入公式：x = [-5 ± √49] / (2×2) ，也就是 x = [-5 ± 7] / 4 。
所以 x₁ = (-5 + 7) / 4 = 1/2 ，x₂ = (-5 - 7) / 4 = -3 。
我记得我当年上中学的时候，有一次数学考试，就考到了一元二次方程的公式法求解。
当时有道题是 3x² - 6x + 2 = 0 ，我按照步骤，先算a = 3，b = -6，c = 2 ，判别式Δ = (-6)² - 4×3×2 = 36 - 24 = 12 。
然后代入公式，算出x = [6 ± √12] / 6 ，化简一下，x = [6 ± 2√3] / 6 ，最后得出 x₁ = (3 + √3) / 3 ，x₂ = (3 - √3) / 3 。
那次考试因为这道题，我的分数还不错呢！再来看个稍微复杂点的例子，比如 5x² + 8x + 1 = 0 ，这里 a = 5，b= 8，c = 1 ，判别式Δ = 8² - 4×5×1 = 64 - 20 = 44 。
人教版九年级数学上册《解一元二次方程(第6课时)》示范教学课件
解一元二次方程的基本思想是“降次”，即通过配方、因式分解等，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 具体地，根据平方根的意义，可得出方程x2＝p和(x＋n)2＝p的解；通过配方，可将一元二次方程转化为(x＋n)2＝p的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)配方后得出的．若能将ax2＋bx＋c分解为两个一次因式的乘积，则可令每个因式为0来解．
解：（1）原方程可化为(x－1)2－[2(x＋2)]2＝0．因式分解，得[(x－1)＋2(x＋2)][(x－1)－2(x＋2)]＝0．整理，得3(x＋1)· (－x－5)＝0，于是得x＋1＝0或－x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝－5．
解：（2）整理，得3(x－4)2－(16－x2)＝0，即3(x－4)2＋(x2－16)＝0．因式分解，得3(x－4)2＋(x＋4)(x－4)＝0，即(x－4)[3(x－4)＋(x＋4)]＝0．整理，得(x－4)(4x－8)＝0，于是得x－4＝0或4x－8＝0，所以x1＝4，x2＝2．
归纳
类型二、配方法解方程
2．用配方法解方程：2x2－5x＋3＝0．
总结
3．用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 x2－4x＋12的值总不小于8．
证明：因为x2－4x＋12＝(x2－4x＋4)＋8＝(x－ 2)2＋8，且(x－2)2≥0，所以(x－2)2＋8≥8，即x2－4x＋12≥8．所以不论 x 取何值，代数式x2－4x＋12的值总不小于8．
类型一、直接开平方法解方程
1．用直接开平方法解下列方程：（1）x2－9＝0； （2）3x2－54＝0；
类型一、直接开平方法解方程
1．用直接开平方法解下列方程：（3）(x＋2)2＝9； （4）(2y＋3)2＝16；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
作业本
3．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数 根，则k的非负整数值是（ B ） A．1 B．0，1 C．1，2 D．1，2，3
4
作业本
4．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解， 则a的取值范围是 a＜﹣1 ．
5
作业本
5.用公式法解方程：x2﹣3x+1=0. 解：这里a=1，b=﹣3，c=1， ∴b2﹣4ac=（-3）2－4×1×1＝5， ∴x=
.
9
6
作业本
6.用公式法解方程:9x2＋6x＋1＝0. 解：这里a＝9, b＝6, c＝1, ∴b2－4ac＝62－4×9×1＝0， ∴x＝
7
作业本
7.用公式法解方程：2x2+3x=1. 解：这里a=2，b=3，c=﹣1， ∴b2﹣4ac =9+8=17， ∴x=
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
作业本
8.已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个 相等的实数根，求m的值． 解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数 根， ∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0， 解得m=﹣ 或m= ．
第二章 一元二次方程
第6课时 用公式法求解一元二次方程（2）
1
作业本
1．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a 的取值范围是（ C ） A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1
2
作业本
2．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为 （ B） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根