2018版高中数学北师大版必修三学案：第三章 概率 2.1 古典概型的特征和概率计算公式
高中数学(北师大版)必修3 第三章 概 率 §2 2.1 古典概型的特征和概率计算公式 2.2 建立概率模型
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第三章
概ห้องสมุดไป่ตู้
率
2．古典概型的概率计算公式
几个基本事件 对于古典概型，通常试验中的某一事件 A 是由______________ 所有可能结果 (基本事件)数为 n，随机事 组成，如果试验的______________ 基本事件数 为 m， 件 A 包含的____________ 那么事件 A 的概率规定为 P(A) m 事件A包含的可能结果数 n ． ＝ ＝_____ 试验的所有可能结果数
解析：选 C.根据古典概型的两个特征进行判断．A 中两个基本 事件不是等可能的，B 中基本事件的个数是无限的，D 中“中 靶”与“不中靶”不是等可能的， C 符合古典概型的两个特征， 故选 C.
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概
率
从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率 为( 1 A. 2 2 C. 3 ) 1 B. 3 D.1
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概
率
基本事件的三种探求方法 (1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较 为简单的试验问题． (2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以 弄清基本事件的总数， 以及要求的事件所包含的基本事件数． 列 表法适用于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合 用列表法．
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基本事件的计数问题 做投掷 2 颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中 x 表 示第一颗骰子出现的点数，y 表示第 2 颗骰子出现的点数．写 出： (1)试验的基本事件； (2)事件“出现点数之和大于 8”包含的基本事件．
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解：(1)这个试验的基本事件共有 36 个，如下：(1，1)，(1，2)， (1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2， 4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)， (3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5， 1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)， (6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)． (2)事件“出现点数之和大于 8”包含以下 10 个基本事件：(3， 6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)， (6，5)，(6，6)．
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古典概型说课稿（第一小点）1、教材的地位及作用《古典概型》是高中数学人教A版必修3第三章概率3.2的内容，教学安排是2课时，本节是第一课时。
古典概型是一种特殊的数学模型，他的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率精确值，同时古典概型，也是后面学习条件概率的基础，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。
（第二小点）2、教学目标根据新教材新理念,以教材为背景，根据具体学情，设计了本节课的教学目标。
知识与技能目标：（1）正确理解基本事件的概念，准确求出基本事件及其个数；（2）在数学建模的过程中，正确理解古典概型的两个特点；（3）推导和掌握古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发生的概率，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。
过程与方法目标：（1）进一步发展学生类比、归纳、猜想等合情推理能力；（2）通过对各种不同的实际情况的分析、判断、探索，培养学生的应用能力.情感、态度与价值观目标：（1）通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想；（2）通过参与探究活动，领会理论与实践对立统一的辨证思想；（3）结合问题的现实意义，培养学生的合作精神.（第三小点）3、教学的重点和难点这节课是在没有学习排列组合的基础上学习古典概型及其概率公式，所以教学重点不是“如何计算”而是让学生通过生活中的实例与数学模型理解古典概型的两个特征，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型。
所以设计了这节课的重点为重点：理解古典概型的含义及其概率的计算公式。
难点：如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。
二、教法与学法分析根据这节课的特点和学生的认知水平，我设计了本节课的教法与学法。
为了培养学生的自主学习能力，激发学习兴趣，借鉴布鲁纳的发现学习理论，在教学中采取引导发现法，结合问题式教学，利用多媒体等手段构建数学模型，引导学生进行观察讨论、归纳总结。
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（3）让学生进一步体会化归的数学思想，应用分类讨论的数学方法
3.情感态度与价值观
（1）引导学生树立从具体到抽象，从特殊到一般的辩证唯物主义观点
（2）鼓励学生通过观察类比提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度
3.2.1古典概型的特征和概率计算公式 教学设计
古典概型的特征和概率计算公式
课时
1
普通高中一年级
教材版本
北师大版
作者
学校
一、学习目标
1.知识与技能
（1）理解古典概型及其概率计算公式
（2）会用列举法计算一些随机事件包含的基本事件数
（3）会求古典概型中某些事件发生的概率
2.过程与方法
（1）通过模拟试验，让学生理解古典概型的特征
3．合作探究
从三个简单例子入手，让学生观察其共同特征。
（设计意图；帮助学生简化问题，从简单问题入手进行研究）
4．归纳概括
对以上三个简单例子中观察得到的共同特征进行归纳概括，进而得到古典概型和基本事件的概念。同时通过两个非古典概型的例子对概念予以识错强化。最后归纳总结பைடு நூலகம்古典概型的概率计算公式。
（设计意图：让学生体会从特殊到一般的数学思想方法，强化解决数学问题的一般方法，提高归纳总结的能力）
二、导学重难点
重点：1.理解古典概型的概念
2.利用古典概型求解随机事件的概率
难点：1.判断一个试验是否为古典概型
2.弄清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件个数和试验中基本事件的总数
三、学情分析
学生在前面两节课已经学习过随机事件、频率、概率等有关概念，也已经认识了生活中有关概率的实例，并在判断游戏公平性的过程中初步使用了列举法求一些简单事例的概率。本节课仍然是以特殊事例做引，让学生观察其特性，进而归纳出古典概型的概念和概率公式。有了前面的知识和方法基础，预测教学过程中突破重难点应当较为轻松。
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古典概型的特征和概率计算公式一、教学目标：知识目标：通过实例，理解古典概型的两个基本特征能力目标：掌握古典概型的概率计算公式重点知识：学会用列举法来列出古典概型的所有可能结果，进行概率计算二、教学过程：1654年，有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题：梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人谁先赢满3局谁就得到全部赌注。
在游戏进行了一会儿后，梅勒赢了2局，他的朋友赢了1局。
这时候，梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。
他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡，这居然也难住了帕斯卡，因为当时并没有相关知识来解决此类问题，而且两人说的似乎都有道理.帕斯卡又写信告诉了费马。
于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中,他们最终正确地解决了这个问题。
三年后,也就是1657年,荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形下,试图总结出更一般的规律，结果写成了《论掷骰子游戏中的计算》一书,这就是最早的概率论著作。
1）基本概念试验1：掷一枚质地均匀的硬币一次，观察出现哪几种结果？试验2：掷一颗均匀的骰子一次，观察出现的点数有哪几种结果？问题1：1）在一次试验中，会同时出现1点与2点？2）事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件？例1 .从字母a、b、c、d任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？问题2：以下每个基本事件出现的概率是多少？正面向问题3：观察对比，找出试验1和试验2的共同特点：试验中所有可能出现的基本事件的个数只有有限个每个基本事件出现的可能性相等我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型问题4：：向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？问题5：某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果有：“命中10环”、“命中9环”、“命中8环”、“命中7环”、“命中6环”、“命中5环”和“不中环”。
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《古典概型》教学设计《古典概型》教学设计【教材分析】《古典概型》是人教版高中数学必修3第三章概率第二节的第一课时。
本节课是在学生已经学习了随机事件的概率，知道了概率的意义、概率的基本性质的基础上进一步学习的一种最基本的概率模型。
古典概型的引入避免了大量的重复试验，得到概率的准确值，同时古典概型也是后面学习几何概型、条件概率的基础。
因此古典概型在教材中有着承上启下的作用，在概率论中占有重要的地位。
【学情分析】我从四点进行阐述。
1．心理特征：高一学生对自己感兴趣的问题特别关注，尤其对实际生活中和概率有关知识充满热情，有一定的学习兴趣。
2．学习能力：具备一定的思考能力、分析解决问题的能力、归纳猜想能力；有较强的求知欲。
3．已有的知识经验：小学初中已经体验过事件发生的等可能性，会求简单事件的概率；本章前两节掌握了概率的基本性质；有了这些知识做铺垫，学生接受本节课的知识会轻松很多。
4．学习障碍：总结、概括、猜想的意识不强，能力稍有欠缺。
【教学目标设计】基于新课标的要求，结合本节课的地位，我提出如下教学目标：知识与技能目标：1、理解并掌握古典概型的概念及其概率计算公式；2、会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件个数。
过程与方法目标：1、经历古典概型概率公式的归纳过程，体验从特殊到一般的化归思想。
2、通过现实生活中实际问题的探究，感知应用数学知识解决实际问题的方法。
情感、态度与价值观目标：1、用生活中的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
2、通过合作探究学习，使学生感受与他人合作的重要性。
教学重难点：1.重点: 古典概型的概念及其概率计算公式的应用；2.难点：如何判断一个试验是否是古典概型以及基本事件个数的确定.【教法学法设计】教法分析：针对本节课教学目标，以及学生的知识能力，我采用“问题探究”教学模式，始终坚持以学生为主体，教师为主导的新课标理念，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，以问题为驱动，引导学生积极探究；使教师总是站在学生思维的最近发展区上，启发学生思考问题、理解问题、从而解决问题。
数学北师大版必修3教案：3.2.1古典概型的特征和概率计算公式 Word版含解析
§2古典概型2．1 古典概型的特征和概率计算公式整体设计教学分析本节课是高中数学(必修3)第三章“概率”的第二节“古典概型”的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的．古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位．学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神．三维目标1．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，正确理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观点来理性地理解世界，使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神．2．鼓励学生通过观察、类比，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，归纳总结出古典概型的概率计算公式，掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P(A)＝事件A包含的可能结果数的使用条件——古典概型，体现了化归的重要思想．掌握列举法，试验的所有可能结果数学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．重点难点教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率．教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(1)掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件．(2)一个盒子中有10个完全相同的球，分别标有号码1,2,3，...，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1,2,3， (10)思考讨论根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？为此我们学习古典概型，教师板书课题．思路2.将扑克牌(52张)反扣在桌上，先从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率有多大？是否一定要进行大量的重复试验，用“出现红心”这一事件的频率估计概率？这样工作量较大且不够准确．有更好地解决方法吗？把“抽到红心”记为事件B，那么事件B 相当于“抽到红心1”“抽到红心2”……“抽到红心K”这13种情况，而同样抽到其他牌的共有39种情况；由于是任意抽取的，可以认为这52种情况的可能性是相等的．所以，当出现红心是“抽到红心1”“抽到红心2”……“抽到红心K”这13种情形之一时，事件B就发生，于是P (B )＝1352＝14.为此我们学习古典概型． 推进新课新知探究提出问题 试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成20次(最好是整十数)，最后由课代表汇总；试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成60次(最好是整十数)，最后由课代表汇总．1．用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？2．根据以前的学习，上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？3．什么是基本事件？基本事件具有什么特点？4．什么是古典概型？它具有什么特点？5．对于古典概型，应怎样计算事件的概率？活动：学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受，讨论可能出现的情况，最后师生共同汇总方法、结果和感受．讨论结果：1.用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率不好，因为需要进行大量的试验，同时我们只是把随机事件出现的频率近似地认为随机事件的概率，存在一定的误差．2．上述试验一的两个结果是“正面朝上”和“反面朝上”，它们都是随机事件，出现的概率是相等的，都是0.5.上述试验二的6个结果是“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”，它们也都是随机事件，出现的概率是相等的，都是16. 3．根据以前的学习，上述试验一的两个结果“正面朝上”和“反面朝上”，它们都是随机事件；上述试验二的6个结果“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”，它们都是随机事件，像这类随机事件我们称为基本事件(elementary event)；它是试验的每一个可能结果．基本事件具有如下的两个特点：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．4．在一个试验中，如果：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(有限性)(2)每个基本事件出现的可能性相等．(等可能性)我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型(classical models of probability)，简称古典概型．如图1，向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？图1因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件．如图2，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？图2不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件．5．古典概型，随机事件的概率计算对于试验一，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即P (“正面朝上”)＝P (“反面朝上”)，由概率的加法公式，得P (“正面朝上”)＋P (“反面朝上”)＝P (必然事件)＝1.因此P (“正面朝上”)＝P (“反面朝上”)＝12， 即P (“出现正面朝上”)＝12＝“出现正面朝上”所包含的基本事件的个数基本事件的总数. 试验二中，出现各个点的概率相等，即P (“1点”)＝P (“2点”)＝P (“3点”)＝P (“4点”)＝P (“5点”)＝P (“6点”)． 反复利用概率的加法公式，我们有P (“1点”)＋P (“2点”)＋P (“3点”)＋P (“4点”)＋P (“5点”)＋P (“6点”)＝P (必然事件)＝1，所以P (“1点”)＝P (“2点”)＝P (“3点”)＝P (“4点”)＝P (“5点”)＝P (“6点”)＝16. 进一步，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，P (“出现偶数点”)＝P (“2点”)＋P (“4点”)＋P (“6点”)＝16＋16＋16＝36＝12， 即P (“出现偶数点”)＝36＝“出现偶数点”所包含的基本事件的个数基本事件的总数. 因此根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数. 在使用古典概型的概率公式时，应该注意：①要判断该概率模型是不是古典概型；②要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．下面我们看它们的应用．应用示例思路1例1 在一个健身房里，用拉力器进行锻炼时，需要选取2个质量盘装在拉力器上．有2个装质量盘的箱子，每个箱子中都装有4个不同的质量盘：2.5 kg,5 kg,10 kg 和20 kg ，每次都随机地从2个箱子中各取1个质量盘装在拉力器上后，再拉动这个拉力器．(1)随机地从2个箱子中各取1个质量盘，共有多少种可能的结果？用表格列出所有可能的结果．(2)计算选取的2个质量盘的总质量分别是下列质量的概率：①20 kg ；②30 kg ；③不超过10 kg ；④超过10 kg.(3)如果一个人不能拉动超过22 kg 的质量，那么他不能拉开拉力器的概率是多少？ 解：(1)第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘都可以从4种不同的质量盘中任意选取．我们可以用一个“有序实数对”来表示随机选取的结果．例如，我们用(10,20)来表示： 在一次随机的选取中，从第一个箱子取的质量盘是10 kg ，从第二个箱子取的质量盘是20 kg.下表列出了所有可能结果．从表中可以看出，随机地从2个箱子中各取1个质量盘的所有可能结果共有16种．由于选取质量盘是随机的，因此这16种结果出现的可能性是相同的，这个试验属于古典概型． (2)①用A 表示事件“选取的2个质量盘的总质量是20 kg”，因为总质量为20 kg 的所有可能结果只有1种，因此，事件A 的概率P (A )＝116＝0.062 5. ②用B 表示事件“选取的2个质量盘的总质量是30 kg”，从表中可以看出，总质量为30 kg 的所有可能结果共有2种，因此，事件B 的概率P (B )＝216＝18＝0.125. ③用C 表示事件“选取的2个质量盘的总质量不超过10 kg”．总质量不超过10 kg ，即总质量为5 kg,7.5 kg,10 kg 之一，从表中容易看出，所有可能结果共有4种，因此，事件C 的概率P (C )＝416＝14＝0.25. ④用D 表示事件“选取的2个质量盘的总质量超过10 kg”．总质量超过10 kg ，即总质量为12.5 kg,15 kg,20 kg,22.5 kg,25 kg, 30 kg,40 kg 之一，从表中可以看出，所有可能结果共有12种，因此，事件D 的概率P (D )＝1216＝34＝0.75. (3)用E 表示事件“不能拉开拉力器”，即总质量超过了22 kg.总质量超过22 kg 是指总质量为22.5 kg,25 kg,30 kg,40 kg 之一，从表中可以看出，这样的可能结果共有7种，因此，不能拉开拉力器的概率P (E )＝716≈0.44. 点评：在这个例子中，我们用列表的方法列出了所有可能的结果．在计算古典概率时，只要所有可能结果的数量不是很多，列举法是我们常用的一种方法．例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A ，B ，C ，D 四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？活动：学生阅读题目，搜集信息，交流讨论，教师引导，解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型．如果学生掌握或者掌握了部分考查内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定学生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可以化为古典概型．解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A 、选择B 、选择C 、选择D ，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是A ，B ，C ，D 的可能性是相等的．从而由古典概型的概率计算公式，得P (“答对”)＝“答对”所包含的基本事件的个数基本事件的总数＝14＝0.25.点评：古典概型解题步骤：(1)阅读题目，搜集信息；(2)判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；(3)求出基本事件总数n 和事件A 所包含的结果数m ；(4)用公式P (A )＝m n求出概率并下结论.变式训练1．抛掷两枚均匀硬币，求出现两个正面朝上的概率．解：试验的所有可能结果为：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．这里四个基本事件是等可能发生的，故属古典概型．故出现两个正面朝上的概率为14. 2．一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率．解法一：设A 表示“出现点数之和为奇数”，用(i ，j )记“第一颗骰子出现i 点，第二颗骰子出现j 点”，i ，j ＝1,2，…，6.显然出现的36个基本事件的概率是相等的，其中A包含的基本事件个数为k ＝3×3＋3×3＝18，故P (A )＝12. 解法二：若把一次试验的所有可能结果取为：(奇，奇)，(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)，则它们发生的概率相等．基本事件总数n ＝4，A 包含的基本事件个数k ＝2，故P (A )＝12. 解法三：若把一次试验的所有可能结果取为：{点数和为奇数}，{点数和为偶数}，两者发生的概率也相等，基本事件总数n ＝2，A 所包含基本事件数为1，故P (A )＝12. 点评：找出所有的基本事件，必须是等概率的．解法二中倘若解为：(两个奇)，(一奇一偶)，(两个偶)当作基本事件组成样本空间，则得出P (A )＝13，错的原因就是它不是等概率的．例如P (两个奇)＝14，而P (一奇一偶)＝12.本例又告诉我们，同一问题可取不同的基本事件解答.例3 同时掷两个骰子，计算：(1)一共有多少种不同的结果？(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种？(3)向上的点数之和是5的概率是多少？解：(1)掷一个骰子的结果有6种．我们把两个骰子标上记号1,2以便区分，由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，组成同时掷两个骰子的一个结果，因此同时掷两个骰子的结果共有36种．(2)在上面的所有结果中，向上的点数之和为5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果．(3)由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果(记为事件A )有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得P (A )＝436＝19. 例4 假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1，2，…，9十个数字中的任意一个．假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？图3解：一个密码相当于一个基本事件，总共有10 000个基本事件，它们分别是0000,0001,0002，…，9998,9999.随机地试密码，相当于试到任何一个密码的可能性都是相等的，所以这是一个古典概型．事件“试一次密码就能取到钱”由1个基本事件构成，所以P (“试一次密码就能取到钱”)＝110 000. 发生概率为110 000的事件是小概率事件，通常我们认为这样的事件在一次试验中是几乎不可能发生的，也就是通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率是很小的．但我们知道，如果试验很多次，比如100 000次，那么这个小概率事件是可能发生的．所以，为了安全，自动取款机一般允许取款人最多试3次密码，如果第4次输入的号码仍是错误的，那么取款机将“没收”储蓄卡．另外，为了使通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率更小，现在储蓄卡可以使用6位数字作密码．人们为了方便记忆，通常用自己的生日作为储蓄卡的密码．当钱包里既有身份证又有储蓄卡时，密码泄密的概率很大．因此用身份证上的号码作密码是不安全的．思路2例1 一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，问：(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？活动：可用枚举法找出所有的等可能基本事件．解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件〔摸到1,2号球用(1,2)表示〕：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．因此，共有10个基本事件．(2)上述10个基本事件发生的可能性是相同的，且只有3个基本事件是摸到两个白球(记为事件A )，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P (A )＝310. 即共有10个基本事件，摸到两个白球的概率为310. 变式训练将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：(1)共有多少种不同的结果？(2)两数的和是3的倍数的结果有多少种？(3)两数的和是3的倍数的概率是多少？分析：(1)将骰子抛掷1次，它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6种结果．先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又有6种可能的结果，于是一共有6×6＝36种不同的结果．(2)第1次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数(例如：第一次向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数)，于是共有6×2＝12种不同的结果．(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件A ，则事件A 的结果有12种，因为抛两次得到的36种结果是等可能出现的，所以所求的概率为P (A )＝1236＝13. 解：(1)先后抛掷2次，共有36种不同的结果；(2)两数的和是3的倍数的结果有12种；(3)两数的和是3的倍数的概率为13. 点评：也可以利用图表来数基本事件的个数(如图4)：图4例2 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．活动：学生思考或交流，教师引导，每次取出一个，取后不放回，其一切可能的结果组成的基本事件是等可能发生的，因此可用古典概型解决．解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)和(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A 由(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)这4个基本事件组成，因而P (A )＝46＝23. 思考在上例中，把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余条件不变，求取出的两件中恰好有一件次品的概率.有放回地连续取出两件，其一切可能的结果有：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，由9个基本事件组成，由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B 包含了(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)这4个基本事件．因而P (B )＝49. 点评：(1)在连续两次取出过程中，(a 1，b 1)与(b 1，a 1)不是同一个基本事件，因为先后顺序不同．(2)无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的. 变式训练现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品．(1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．分析：(1)为有放回抽样；(2)为不放回抽样.解：(1)有放回地抽取3次，按抽取顺序(x ，y ，z )记录结果，则x ，y ，z 都有10种可能，所以试验结果有10×10×10＝103种；设事件A 为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8＝83种，因此，P (A )＝83103＝0.512. (2)方法一：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(x ，y ，z )，则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8＝720种．设事件B 为“3件都是正品”，则事件B 包含的基本事件总数为8×7×6＝336，所以P (B )＝336720≈0.467. 方法二：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x ，y ，z )记录结果，则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，但(x ，y ，z )，(x ，z ，y )，(y ，x ，z )，(y ，z ，x )，(z ，x ，y )，(z ，y ，x )是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6＝120，按同样的方法，事件B 包含的基本事件个数为8×7×6÷6＝56，因此P (B )＝56120≈0.467. 点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.知能训练本节练习1,2,3.拓展提升一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1 000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：(1)有一面涂有色彩的概率；(2)有两面涂有色彩的概率；(3)有三面涂有色彩的概率．解：在1 000个小正方体中，一面涂有色彩的有82×6个，两面涂有色彩的有8×12个，三面涂有色彩的有8个，故(1)有一面涂有色彩的概率为P 1＝3841 000＝0.384；(2)有两面涂有色彩的概率为P 2＝961 000＝0.096；(3)有三面涂有色彩的概率为P 3＝81 000＝0.008. 答：(1)一面涂有色彩的概率为0.384；(2)有两面涂有色彩的概率为0.096；(3)有三面涂有色彩的概率为0.008.课堂小结1．古典概型我们将具有(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(有限性)(2)每个基本事件出现的可能性相等．(等可能性)这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型．2．古典概型计算任何事件的概率计算公式P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数. 3．求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数的常用方法是列举法(画树状图和列表)，应做到不重不漏．作业本节练习4.设计感想本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式．这一过程能够培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．在解决概率的计算上，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑．由此，整个教学设计可以在教师的期盼中实施．备课资料一、备选习题1．在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )．A.3040B.1240C.1230D ．以上都不对 解析：在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为1240. 答案：B2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )．A.15B.14C.45D.110解析：从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁钉(记为事件A )包含8个基本事件，所以，所求概率为P (A )＝810＝45. 答案：C3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是________．解析：记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：(红1，红2)，(红1，白1)，(红1，白2)，(红1，白3)，(红2，白1)，(红2，白2)，(红2，白3)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为710. 答案：7104．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率．解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1,2以便区分，由于1,2号骰子分别有6种不同的结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6＝36种，在所有结果中，向上的点数之和为8的结果有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)5种，所以，所求事件的概率为536. 5．豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D ，决定矮的基因记为d ，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd ，若第二子代的D ，d 基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率(只要有基因D 则其就是高茎，只有两个基因全是d 时，才显现矮茎)．解：由于第二子代的D ，d 基因的遗传是等可能的，可以将各种可能的遗传情形都枚举出来．Dd 与Dd 的搭配方式共有4种：DD ，Dd ，dD ，dd ，其中只有第四种表现为矮茎，故第二子代为高茎的概率为34＝0.75. 答：第二子代为高茎的概率为0.75.思考：第三子代高茎的概率呢？二、古典概型经典案例分析如果说你们班里有50人，那么我愿意和你打赌，你们班里至少有一对生日相同的人，你愿意站在我的反面和我打赌吗？如果说你能够清楚地找到基本事件，分析好复杂事件包含了多少个基本事件，就能够通过有理数的除法计算出概率，当然，分析清楚基本事件不可缺少的就是一种顺序的观点，可能有时候，用顺序的观点看问题会产生一些不必要的麻烦，但是往往在你忽略了顺序的时候，产生了一种错觉，于是就使你的先进的思想在这里因为你的大意退化到了中世纪以前的水平．那么充分小心的你，可能也会犯错误，甚至会感到头疼，因为记数也是一门技术，不一定都很简单．好了言归正传，我们仍然讨论这个关于生日的赌局．我看起来是有着十分的把握(或者说接近十分的把握，因为十分就成了必然事件，显然，你看得出这个不是一个必然的事件，严格地说我有接近十分的把握)，如果你曾经了解过一些关于这个问题的结论，你也可能不。
高中数学第三章概率3.2.1古典概型的特征和概率计算公式2.2建立概率模型学案含解析北师大版必修3
2 古典概型2．1古典概型的特征和概率计算公式2．2建立概率模型考纲定位重难突破1.通过实例理解古典概型的两个特征及古典概型的定义.2.掌握古典概型的概率计算公式.3.理解概率模型的特点及应用.重点：古典概型的概念及其概率公式的应用条件.难点：古典概型的概率的计算.授课提示：对应学生用书第43页[自主梳理]1．古典概型2．古典概型的概率计算公式对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的．如果试验的所有可能结果为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝事件A包含的所有可能结果数试验的所有可能结果数＝mn.3．建立古典概率模型的要求(1)在建立概率模型时，如果每次试验有且只有一个基本事件出现．(2)基本事件的个数是有限的．(3)并且它们的发生是等可能的．满足上述三个条件的概率模型就是一个古典概型．4．古典概率模型的解决方案从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单．[双基自测]1．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，下列事件不是基本事件的是()A．{正好2个红球}B．{正好2个黑球}C．{正好2个白球} D．{至少1个红球}解析：至少1个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球．答案：D2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的基本事件的个数共有()A．7个B．8个C．9个D．10个解析：符合要求的基本事件是(－9，0)，(－7，0)，(－5，0)，(－3，0)，(－1，0)，(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0)．答案：C3．下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________．解析：①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．答案：③授课提示：对应学生用书第44页探究一基本事件的计数问题[典例1]做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数．写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”包含的基本事件．[解析](1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．(2)事件“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．基本事件的两个探求方法：(1)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以清楚地看出基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法．(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目．1．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面：(1)写出这个试验的所有基本事件；(2)求这个试验的基本事件的总数；(3)记A＝“恰有两枚正面向上”这一事件，则事件A包含哪几个基本事件？解析：(1)作树状图如图．故所有基本事件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)． (2)基本事件的总数是8.(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．探究二 古典概型概率问题的求法[典例2] 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)事件A ：取出的两球都是白球；(2)事件B ：取出的两球一个是白球，另一个是红球．[解析] 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数，即是从4个白球中任取两个的取法总数，共有6种，为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．所以取出的两球都是白球的概率为P (A )＝615＝25.(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)共8种．所以取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P (B )＝815.求古典概型概率的计算步骤： (1)求出基本事件的总个数n .(2)求出事件A 包含的基本事件的个数m . (3)求出事件A 的概率P (A )＝事件A 所包含的基本事件数试验的基本事件总数＝m n .2．盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．(1)从中取出1只，然后放回，再取出1只，求连续2只取出的都是正品的概率； (2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．解析：(1)将灯泡中2只正品记为a 1，a 2，1只次品记为b 1，画出树状图如图．基本事件总数为9，连续2次取得正品的基本事件数是4，9(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3，即a 1a 2，a 1b 1，a 2b 1(a 1a 2表示一次取出正品a 1，a 2)，“2只都是正品”的基本事件数是1，所以其概率是P ＝13.探究三 与古典概型有关的综合问题[典例3] 设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率． [解析] 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”． 当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的条件为a ≥b .基本事件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件，为(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(1)注意放回与不放回的区别．(2)在古典概型下，当基本事件总数为n 时，每个基本事件发生的概率均为1n ，要求事件A 的概率，关键是求出基本事件总数n 和事件A 所包含的基本事件数m ，再由古典概型概率公式P (A )＝mn 求事件A 的概率．3．编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号 A 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：区间 10～20 20～30 30～40 人数(2)从得分在20～30①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2人得分之和大于50的概率．解析：(1)由得分记录表，从左到右应填4，6，6.(2)①得分在20～30内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 10)，(A 3，A 11)，(A 3，A 13)，(A 4，A 5)，(A 4，A 10)，(A 4，A 11)，(A 4，A 13)，(A 5，A 10)，(A 5，A 11)，(A 5，A 13)，(A 10，A 11)，(A 10，A 13)，(A 11，A 13)，共15种．②从得分在20～30内的运动员中随机抽取2人，将“这2人得分之和大于50”记为事件B ，则事件B 的所有可能结果有：(A 4，A 5)，(A 4，A 10)，(A 4，A 11)，(A 5，A 10)，(A 10，A 11)，共5种，153树形图的应用[典例]某盒子中有红、黄、蓝、黑色彩笔各1支，这4支笔除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从盒中抽出1支，求基本事件总数．[解析]把这4支笔分别编号为1，2，3，4，则4个人按顺序依次从盒中抽取1支彩笔的所有可能结果用树状图直观地表示如图所示．由树状图知共有24个基本事件．[感悟提高]利用树形图(表格)寻找基本事件的个数形象直观且不易出错.[随堂训练]对应学生用书第45页1．下列有关古典概型的四种说法：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④已知基本事件总数为n，若随机事件A包含k个基本事件，则事件A发生的概率P(A)＝kn. 其中所有正确说法的序号是()A．①②④B．①③C．③④D．①③④解析：②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．故选D. 答案：D2．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( ) A.12 B.13 C.23D ．1 解析：列举基本事件，从甲、乙、丙三人中任选两名代表可能的结果是(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种；甲被选中的可能结果是(甲，乙)，(甲，丙)，共2种，所以P (“甲被选中”)＝23.答案：C3．从集合A ＝{2，3，－4}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2，－3，4}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限的概率为________．解析：依题意k 和b 的所有可能的取法有(2，－2)，(2，－3)，(2，4)，(3，－2)，(3，－3)，(3，4)，(－4，－2)，(－4，－3)，(－4，4)，共9种，当直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限时，应有k >0，b <0，满足条件的取法有(2，－2)，(2，－3)，(3，－2)，(3，－3)，共4种，所以所求概率为49.答案：494．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已有不同编号的3个黑球，从中任意摸出2个球． (1)共有多少个不同的基本事件，这样的基本事件是否为等可能的？该试验是古典概型吗？ (2)摸出的两个球都是黑球记为事件A ，问事件A 包含几个基本事件？ (3)计算事件A 的概率．解析：(1)任意摸出两球，共有{白球和黑球1}，{白球和黑球2}，{白球和黑球3}，{黑球1和黑球2}，{黑球1和黑球3}，{黑球2和黑球3}，6个基本事件．因为4个球的大小相同，所以摸出每个球是等可能的，故6个基本事件都是等可能事件．由古典概型定义知，这个试验是古典概型．(2)摸出2个黑球包含3个基本事件．故事件A 包含3个基本事件． (3)因为试验中基本事件总数n ＝6，而事件A 包含的基本事件数m ＝3.所以P (A )＝m n ＝36＝12.。
2017-2018版高中数学第三章概率2.1古典概型的特征和概率计算公式学案北师大版必修3
2．1 古典概型的特征和概率计算公式[学习目标] 1.了解基本事件的特点.2.理解古典概型的定义.3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题．知识点一 基本事件 1．基本事件的定义试验的每一个可能结果称为基本事件，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件． 一次试验中只能出现一个基本事件．如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个结果，这就是这一随机试验的6个基本事件． 2．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，随机事件“出现奇数点”可以由基本事件“出现1点”“出现3点”“出现5点”共同组成．思考 “抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件吗？答 不是．“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是基本事件． 知识点二 古典概型 1．古典概型的定义(1)试验的所有可能结果只有有限个每次试验只出现其中的一个结果； (2)每一个试验结果出现的可能性相同．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典模型(古典的概率模型)． 2．古典概型的特点(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件． (2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的． 3．古典概型的概率公式对于任何事件A ，P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.思考 若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？ 答 不是，还必须满足每一个试验结果出现的可能性相等．题型一基本事件的定义及特点例1 一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．(1)共有多少个基本事件？(2)2个都是白球包含几个基本事件？解方法一(1)采用列举法．分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号)．(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个基本事件．方法二(1)采用列表法．设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：故共有10个基本事件．(2)“2个都是白球”包含(a，b)，(b，c)，(c，a)三个基本事件．反思与感悟 1.求基本事件的基本方法是列举法．基本事件具有以下特点：(1)不可能再分为更小的随机事件；(2)两个基本事件不可能同时发生．2．当基本事件个数较多时还可应用列表法或树形图法求解．跟踪训练1 做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和等于7”．解(1)这个试验的基本事件共有36个，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)． (4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．题型二 利用古典概型公式求概率例2 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率： (1)事件A ＝{三个数字中不含1和5 }； (2)事件B ＝{三个数字中含1或5}．解 这个试验的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数n ＝10. (1)因为事件A ＝{(2,3,4)}， 所以事件A 包含的事件数m ＝1.所以P (A )＝m n ＝110.(2)因为事件B ＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件B 包含的基本事件数m ＝9.所以P (B )＝m n ＝910.反思与感悟 1.古典概型概率求法步骤： (1)确定等可能基本事件总数n ； (2)确定所求事件包含基本事件数m ； (3)P (A )＝m n.2．使用古典概型概率公式应注意：(1)首先确定是否为古典概型；(2)事件A 是什么，包含的基本事件有哪些．跟踪训练2 抛掷两枚骰子，求： (1)点数之和是4的倍数的概率； (2)点数之和大于5小于10的概率．解 如图，基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A ，从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共有9个，即(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)． 所以P (A )＝14.(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B ，从图中可以看出，事件B 包含的基本事件共有20个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P (B )＝59.题型三 较复杂的古典概型的概率计算例3 有A 、B 、C 、D 四位贵宾，应分别坐在a 、b 、c 、d 四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐．(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率； (3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．解 将A 、B 、C 、D 四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个．(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A 只包含1个基本事件，所以P (A )＝124.(2)设事件B 为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B 包含9个基本事件，所以P (B )＝924＝38. (3)设事件C 为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C 包含8个基本事件，所以P (C )＝824＝13.跟踪训练3 用三种不同的颜色给如图所示的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色．(1)求3个矩形颜色都相同的概率； (2)求3个矩形颜色都不相同的概率； (3)求3个矩形颜色不都相同的概率．解 设3个矩形从左到右依次为矩形1、矩形2、矩形3.用三种不同的颜色给题目中所示的3个矩形随机涂色，可能的结果如图所示． 由图知基本事件共有27个．(1)记“3个矩形颜色都相同”为事件A ，由图，知事件A 的基本事件有3个，故P (A )＝327＝19. (2)记“3个矩形颜色都不相同”为事件B ，由图，知事件B 的基本事件有6个，故P (B )＝627＝29. (3)记“3个矩形颜色不都相同”为事件C . 方法一 由图，知事件C 的基本事件有24个， 故P (C )＝2427＝89.方法二 事件C 与事件A 互为对立事件，故P (C )＝1－P (A )＝1－19＝89.古典概型的应用例4 (12分)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率．审题指导 (1)要求2名教师性别相同的概率，应先写出所有可能的结果，可以采用列举法求解．(2)要求选出的2名教师来自同一所学校的概率，应先求出2名教师来自同一所学校的基本事件．规范解答 (1)甲校2名男教师分别用A ，B 表示，1名女教师用C 表示；乙校1名男教师用D 表示，2名女教师分别用E ，F 表示．………………………………………1分 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：共9种．…………………………………………………3分 从中选出2名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，………………5分 所以选出的2名教师性别相同的概率为P ＝49.……6分(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为：共15种．…………………………………………………8分从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，……10分1．抛掷一枚骰子，出现偶数的基本事件个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析因为抛掷一枚骰子出现数字的基本事件有6个，它们分别是1,2,3,4,5,6，故出现偶数的基本事件是3个．2．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为( )A.16B.13C.12D.23答案 B解析用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有：(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有：(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝26＝13.3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，则这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )A.15B.25C.310D.710答案 B解析可看作分成两次抽取，第一次任取一张有5种方法，第二次从剩下的4张中再任取一张有4种方法，因为(B ，C )与(C ，B )是一样的，故试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是按字母顺序相邻的有(A ，B )，(B ，C )，(C ，D )，(D ，E )4种，故两字母恰好是按字母顺序相邻的概率为P ＝410＝25.4．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A.815 B.18C.115D.130答案 C解析 第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为115，故选C.5．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________． 答案 0.2解析 两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，所以P ＝210＝0.2.1.古典概型是一种最基本的概型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P (A )＝m n时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，从而求出m 、n .2．求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．3．对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，再求所求概率．。
高中数学 第三章 概率 3.2 古典概型 3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式学案 北师大版必修3
3.2.1古典概型的特征和概率计算公式【学习目标】1.能说出古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；2.会应用古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A 3.会叙述求古典概型的步骤；【学习过程】前置测评1.两个事件之间的关系包括包含事件、相等事件、互斥事件、对立事件，事件之间的运算包括和事件、积事件，这些概念的含义分别如何？ 21世纪教育网若事件A 发生时事件B 一定发生，则 .若事件A 发生时事件B 一定发生，反之亦然，则A=B.若事件A 与事件B 不同时发生，则A 与B 互斥.若事件A 与事件B 有且只有一个发生，则A 与B 相互对立.2。
概率的加法公式是什么？对立事件的概率有什么关系？若事件A 与事件B 互斥，则 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）.若事件A 与事件B 相互对立，则 P （A ）+P （B ）=1.3.通过试验和观察的方法，可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，操作不方便，并且有些事件是难以组织试验的.因此，我们希望在某些特殊条件下，有一个计算事件概率的通用方法.新知探究我们再来分析事件的构成，考察两个试验：(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验。
(2)掷一枚质地均匀的骰子的试验。
有哪几种可能结果？在试验（1）中结果只有两个，即“正面朝上”或“反面朝上”它们都是随机的；在试验（2）中所有可能的试验结果只有6个，即出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”它们也都是随机事件。
我们把这类随机事件称为基本事件综上分析，基本事件有哪两个特征？（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.例1：从字母a ，b ，c ，d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？分析：为了得到基本事件，我们可以按照某种顺序，把所有可能的结果都列出来。
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古典概型的特征和概率计算公式教学设计教学目标：1、知识与技能(1)理解古典概型及其概率计算公式．(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过试验特点让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性．观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题．3、情感、态度与价值观树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观点来理性的理解世界，使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神．鼓励学生通过观察类比提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．教学重点： 1、理解古典概型的概念、两个基本特征2、利用古典概型求解随机事件的概率。
教学难点：判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.教学方法：启发探究式教学过程：一、创设情境，引入新课利用大家熟悉的“赌神”引入，他可以连掷十次骰子都是6点向上，如果是你来掷骰子，掷一次出现6点的概率有多大？你需要做大量重复的试验通过频率来估计概率吗？学生回答为否，从而指出某些随机事件可以提前预知其概率，引入新课。
目的：通过影视人物引起学生兴趣，从而提出相关问题，由学生认知的矛盾回答为否，自然引入新课。
教师同时板书课题，教学很自然地过渡到下一环节。
二、自主探究，得出新知1、从大家熟悉的三个试验入手，得出新知（1）掷硬币试验：抛掷一枚质地均匀的硬币，试验的结果有多少个？出现“正面朝上”的概率与出现“反面朝上”的概率是否相等？（2）掷骰子试验：掷一粒质地均匀的骰子，试验结果有多少个？出现“点数1”，···，“点数6”的概率是否相等？（3）转盘试验：转8等分标记的转盘，试验结果有多少个？出现“箭头指向4”的概率等于多少？针对上面的问题很多同学会直接得出结论，此时教师提出问题：上述三个试验有什么特点？目的：以问题的形式出示任务，使学生对新知识的学习有了期待，激发了学生的学习兴趣和求知欲望，为顺利完成学习任务做了思想上的准备。
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3.2.1古典概型的特征和概率计算公式一、教材分析《3.2.1古典概型的特征和概率计算公式》是普通高中数学北师大版《必修3》第三章第二节第一课时的内容，是在随机事件的概率之后,几何概型之前,尚未学习排列组合的情况下教学的.古典概型是一种特殊的数学模型,也是一种最基本的概率模型,在概率论中占有相当重要的地位.学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础,同时有利于理解概率的概念,有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题.二、教学目标1.知识与技能：理解古典概型的两个特征及古典概型的定义；掌握古典概型的概率计算公式。
2.过程与方法：鼓励学生通过观察、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,归纳总结出古典概型的概率计算公式。
3.情感态度与价值观：树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点；体现了化归的重要思想。
学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题,增强学生数学思维情趣,形成学习数学知识的积极态度。
三、教学重难点重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率.难点：如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.四、教学方法讨论教学法五、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图（一）创设情境引入新知（4分钟）1.概率论起源于赌博，意大利有位数学家卡当曾致力于研究赌博不会输的办法，他曾参加过这样一次赌博:掷一红一蓝两粒均匀的骰子,以两粒骰子朝上的点数之和作为打赌的内容,你认为卡当把赌注下在几点最有利?请说明理由。
2.要想说明下在“4点”或者“6点”最有利，就要说明“点数之和为4”的什么是最大的？3.那么现在的问题是，“点数之和为4”的概率要怎么计算？4.相信经过这节课的学习，同学们心中会有一个明朗的答案。
引出课题：古典概型的特征概率计算公式（板书）1.学生思考2.学生猜测预答：4点，5点，6点，7点3.学生回答：概率以数学史和数学故事作为引入，让学生体会数学来源于生活，同时激发学生的学习兴趣。
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北师大版高中数学必修3§2.1古典概型的特征和概率计算公式教学设计§2.1古典概型的特征和概率计算公式一、教材分析本节课是高中数学北师大版（必修3）第三章（概率）第二节（古典概型）的第一课时，是在学习随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。
古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。
学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念,有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。
根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性。
观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。
概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。
适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。
使得学生在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。
二、教学目标1．知识与技能(1) 通过实例，理解古典概型及其概率计算公式；(2)理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性；(3)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
2．过程与方法根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。
3．情感态度与价值观概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。
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古典概型的特征和概率计算公式教学设计一、教材分析：《古典概型的特征和概率计算公式》是北师大版普通高中课程标准试验教科书数学必修3第三章第二节第一小节的内容。
本节课内容是在学生已经学习了随机事件概率的概念基础上的延续和拓展。
古典概型是一种特殊的数学模型，它的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率的精确值。
它也为后面学习几何概型在思路上做了一个铺垫，在教材中起着承前启后的作用。
同时，学习本节课的内容，能够大大激发学生学习数学、应用数学的兴趣。
因此本节知识在概率论中占有相当重要的地位。
二．教学目标：1.知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：a、实验中所有可能出现的基本事件只有有限个；b、每个事件出现的可能性都相等。
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=A包含的基本事件个数／总的基本事件个数2、过程与方法：（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过列举，感知应用数学解决问题的方法，自觉养成动手动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源与事件并应用于实践的辩证唯物主义观点。
三、重点、难点重点：（1）理解古典概型的两个特征；（2）归纳出古典概型概率计算公式。
难点：简单应用古典概型概率计算公式。
四．学法与教法：1.共同与学生探讨、交流，应用数学解决现实问题。
2.感知用数学解决问题的方法，自觉养成动手动脑的良好习惯。
五．教学过程：1、问题导入：口袋里有2个白球和2个黑球（除颜色外完全相同），白球代表奖品，4个人按顺序摸球估计每个人摸到白球的概率.概括：先抓的人和后抓的人中奖的概率是一样，即摸奖的顺序不影响中奖率。
那么，从理论上如何计算摸到白球的概率?这就是我们这节课要学习的内容——古典概型的特征和概率计算公式2、探究新知前面，我们都是通过大量实验来估计某件事发生的概率，但这种方法费时、费力，而对于某一类特殊的随机试验，我么可以根据实验结果的对称性来估计及概率。
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3.2古典概型(1)（教学设计）3.2.1古典概型的特征和概率的计算公式一、教学目标：1、知识与技能（1）正确理解古典概型的两大特点；（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数学解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯.3、情感与价值观通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二、教学重点、难点：正确理解掌握古典概型及其概率公式.三、教学过程：（一）创设情景、导入课题1、通过抛硬币掷筛子等实验来引入本节课的内容2、概率有哪些基本性质？3、通过试验和观察的方法，我们可以得到一些事件的概率估计值.但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值，并且有些事件是难以组织试验的. 在某些特殊条件下，我们可以构造出计算事件概率的通用方法.（板书课题）（二）师生互动、探究新知考察两个试验：⑴掷一枚质地均匀的硬币的实验；⑵掷一枚质地均匀的骰子的实验.在试验⑴中，结果只有2个，即“正面朝上”和“反面朝上”，它们都是随机事件；在试验⑵中，所有可能的试验结果只有6个，即出现“1点” “2点” “3点” “4点” “5点” “6点” ，它们也都是随机事件；我们把这类随机事件称为“基本事件”.“基本事件”有哪些特点呢？综上分析，基本事件有如下特征：（1）任何两个基本事件是不会同时发生的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.在抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪些基本事件？解：基本事件有4个：A=（正，正），B=（正，反）,C=（反，正），D=（反，反）；思考：每个基本事件出现的可能性相等吗？思考1：每个基本事件出现的可能性相等吗？思考2：在这个试验中，随机事件“出现一次正面和一次反面”，分别由哪些基本事件组成？上述问题的共同特点是：⑴试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，⑵且每个基本事件出现的可能性相等.我们称具有这两个特点的概率模型为古典概率模型.思考：随机抛掷一枚质地均匀的骰子是古典概型吗？每个基本事件出现的概率是多少？你能根据古典概型和基本事件的概念，检验你的结论的正确性吗？随机抛掷一枚质地均匀的骰子是古典概型P（“1点”）= P（“2点”）= P（“3点”）= P（“4点”）=P（“5点”）= P（“6点”）P（“1点”）+P（“2点”）+ P（“3点”）+ P（“4点”）+P（“5点”）+ P（“6点”）=1.每个基本事件出现的概率是1/6一般地，如果一个古典概型共有n个基本事件，那么每个基本事件在一次试验中发生的概率为：思考：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，利用基本事件的概率值和概率加法公式，“出现偶数点”的概率如何计算？“出现不小于2点” 的概率如何计算？P（“出现偶数点”）=“出现偶数点”所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数；P（“出现不小于2点”）=“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数。
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《古典概型》第一课时教学设计《古典概型》选自高中数学人教A版必修3第三章第2节第1课时。
在当代高中数学新课改的背景下，数学教育要把“数学育人”作为根本目标，要将“德育”渗透到教育教学的各个环节中去。
通过引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流等多种活动形式来理解和掌握基本的数学方法和数学技能。
要鼓励学生的创新思考，加强学生的数学实践，培养学生的理性精神，从而激发学生的学习兴趣。
在数学教学过程中，学生成为课堂学习的主体，教师成为学生活动的组织者、引导者、合作者。
下面我将以此为指导思想从：教学内容解析→教学目标设置→学生学情分析→教学策略分析→教学过程等几个方面向各位评委老师说明我的构思与设想。
一、教学内容分析：1、教材分析：（1）教材将本节课内容安排在随机事件概率之后，几何概型之前，古典概型是一种特殊的概率模型，也是一种最基本的概率模型，它的引入避免了大量的重复实验，而且得到的是概率准确值，同时古典概型也为后面学习其他概率的基础。
在教材中起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。
（2）本节课学生将感知认识与理性认识相结合，并且利用生活中大量实例来归纳总结相关的数学概念。
能用系统的眼光看待以前已经接触的知识，通过本节课的探究确定古典概型的定义及计算公式，所以本节课对学生构建数学模型能力和方法有所提升。
（3）本节课渗透了数形结合的思想，分类讨论的思想以及变式化归的思想，树立学生从具体到抽象，从特殊到一般的数学思想，并且利用列举法(树状图、列表)来寻找基本事件，有利于培养学生良好的数学思维。
2、教材处理：依据新教材和新大纲的要求，本节课是《古典概型》第1课时，重点是古典概型的定义和古典概型的计算公式，为了让学生更好地掌握本节课的内容，在紧扣书上例题的同时，对例题做适当的变式、调整与补充。
二、教学目标设置：根据上述教材结构和内容分析，以及对学生认知水平的考察，我制定如下教学目标。
1，知识与技能：掌握基本事件的概念，正确理解古典概型的两个特点；并能归纳总结出古典概型的概率计算公式。
[配套K12]2018版高中数学 第三章 概率 3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式学案 北师大版必修3
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3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式1．能记住古典概型的概念、两个基本特征及计算公式．(重点)2．掌握求基本事件总数的常用方法：列举法、树状图法、列表法等．(重点)3．会选择恰当的方法求古典概率模型的概率．(难点)[基础·初探]教材整理 古典概型阅读教材P 130～P 132“例1”以上部分，完成下列问题．古典概率模型的特征1．(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性相同． 我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型．2．试验的每一个可能结果称为基本事件．3．古典概型的概率公式对于古典概型，通常试验中的某一事件A 是由几个基本事件组成的．如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n ，随机事件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率规定为P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n .判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)掷一粒正方体骰子一次，观察其朝上的点数的试验为古典概型．( )(2)从[0,10]上任取一个不大于5的实数的试验为古典概型．( )(3)在古典概型中，试验中的基本事件都是有限的，且事件的发生都是等可能的．( )【解析】 (1)√，根据古典概型的定义可得．(2)×，可能结果有无限个．(3)√，根据古典概型的特征知正确．【答案】 (1)√ (2)× (3)√[小组合作型](1)从字母a，b，c中任意取出两个字母的试验；(2)从装有形状、大小完全一样且分别标有1,2,3,4,5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验．【精彩点拨】根据基本事件的定义探求各试验的所有基本事件．【自主解答】(1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事件．分别是A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{b，c}，共3个．(2)从袋中取两个球的等可能结果为球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，球3和球5，球4和球5.故共有10个基本事件．确定基本事件空间的方法：随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定基本事件空间必须明确事件发生的条件，根据题意，按一定的次序列出问题的答案.求基本事件时，一定要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.[再练一题]1．袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的球各一个，按下列要求分别进行试验：①从中任取一个球，观察其颜色；②从中任取两个球，观察其颜色；③一先一后取两个球，观察其颜色．分别写出上面试验的基本事件，并指出基本事件总数.【解】①试验“从中任取一个球，观察其颜色”的基本事件空间Ω＝{红、白、黄、黑}，基本事件总数为4.②试验“从中任取两个球，观察其颜色”的基本事件空间Ω＝{(红、白)，(红，黄)，(黄，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(红，黑)}，基本事件总数为6.③试验“一先一后取两个球，观察其颜色”的基本事件空间Ω＝{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(白，黄)，(黄，白)，(白，黑)，(黑，白)，(红，黑)，(黑，红)}，基本事件总数为12.下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取得偶数的概率．【精彩点拨】根据直观印象判断两个试验的基本事件数是否有限，每个基本事件是否等可能发生即可．【自主解答】(1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．判断一个事件是否是古典概型，关键看该事件是否具备古典概型的两大特征：(1)有限性：在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．[再练一题]2．(1)在数轴上0～3之间任取一点，求此点的坐标小于1的概率．此试验是否为古典概型？为什么？(2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数，求所取两数之一是2的概率，此试验是古典概型吗？试说明理由．【解】(1)在数轴上0～3之间任取一点，此点可以在0～3之间的任一位置，且在每个位置上的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型试验结果的有限性．因此不属于古典概型．(2)此试验是古典概型，因为此试验的所有基本事件共有6个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型．[探究共研型]探究1 掷一枚骰子共有多少种不同的结果？【提示】 共有6种不同的结果．探究2 掷一枚骰子，落地时向上的点数为偶数，包含几种结果？【提示】 2,4,6共三种结果．探究3 掷一枚均匀的骰子，落地时向上的点数为偶数的概率怎样求？【提示】 记事件A 为落地时向上的点数为偶数．则P (A )＝A 中包含的基本事件数基本事件总数.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．【精彩点拨】 用列举法列出试验的所有可能结果以及事件所包含的可能结果，然后利用公式求解．【自主解答】 (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6，任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P (A )＝615＝25. (2)基本事件同(1)．用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )＝815.古典概型问题的解题方法与步骤：判断所求概率的问题是否属于古典概型；利用列举法、列表法或树状图法列举出所有可能出现的基本事件，计算其总数n ； 从所列出的基本事件中查出所求概率的事件A 包含的基本事件数m ；,利用公式P A ＝m n求解.[再练一题]3．先后掷两枚大小相同的骰子，求点数之和能被3整除的概率．【解】 先后抛掷两枚大小相同的骰子，结果如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种不同的结果．记“点数之和能被3整除”为事件A ，则事件A 包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P (A )＝1236＝13.1．下列不是古典概型的是( )A ．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B ．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率【解析】 C 中每种结果出现的可能性不相等，故选C.【答案】 C2．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 基本事件共有{计算机、数学}、{计算机、航空模型}、{数学、航空模型}三个．【答案】 C3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率为________．【解析】 基本事件总数为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，其中甲站在中间的为乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为26＝13. 【答案】 134．广州亚运会要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1名，其中有3人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为________．【解析】 8名懂外文的志愿者中随机选1名有8个基本事件，“选到懂日文的志愿者”包含3个基本事件，因此所求概率为38.【答案】3 85．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是多少？【解】总的事件数为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种，其中和为5的一共有(1,4)，(2,3)，所以P＝210＝0.2.。
2018版高中数学北师大版必修三学案：第三章 2-1 古典
2．1古典概型的特征和概率计算公式学习目标 1.理解基本事件的概念并会罗列某一事件包含的所有基本事件.2.理解古典概型的概念及特点.3.会应用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．知识点一基本事件思考一枚硬币抛一次，可能出现的结果有哪些？梳理(1)基本事件在完全相同的条件下，事件出现的结果往往是不同的，我们把________________，叫作进行一次试验．试验的________________称为基本事件．(2)基本事件的特点①任何两个基本事件是________的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的____．知识点二古典概型思考一枚矿泉水瓶盖抛一次，出现正面向上与反面向上的概率相同吗？梳理 (1)试验的所有可能结果____________，每次试验________________________； (2)每一个试验结果出现的______________．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)． 知识点三 古典概型的概率公式思考 在抛掷硬币试验中，如何求正面朝上及反面朝上的概率？梳理 如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n ，随机事件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率规定为P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n.类型一 基本事件的罗列方法例1 从字母a 、b 、c 、d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 事件“取到字母a ”是哪些基本事件的和？反思与感悟 罗列基本事件时首先要考虑元素间排列有无顺序，其次罗列时不能毫无规律，而要按照某种规律罗列，比如树状图．跟踪训练1 做投掷2颗骰子的试验，用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数．写出： (1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和等于7”．类型二古典概型的判定例2某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、…、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？反思与感悟判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．跟踪训练2从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？类型三古典概型概率的计算例3单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？反思与感悟 解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出． 跟踪训练3 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列不是古典概型的是( )A ．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B ．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A.16 B.12 C.13 D.234．用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是( ) A.16 B.12 C.13 D.235．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表， 甲被选中的概率是( ) A.16 B.12 C.13 D.231．古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P (A )＝mn时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，从而求出m 、n .2．求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．答案精析问题导学 知识点一思考 有2个：正面向上，反面向上． 梳理(1)条件每实现一次 每一个可能结果 (2)①互斥 ②和 知识点二思考 因为瓶盖重心的原因，正面向上和反面向上的可能性是不一样的．由此可以看出基本事件不一定等可能． 梳理(1)只有有限个 只出现其中的一个结果 (2)可能性相同 知识点三思考 一枚硬币抛掷一次，基本事件共 2个：“正面朝上”和“反面朝上”．且2个基本事件等可能，故“正面朝上”与“反面朝上”的概率都是12.题型探究例1 解 所求的基本事件有6个， A ＝{a ，b }，B ＝{a ，c }，C ＝{a ，d }, D ＝{b ，c }，E ＝{b ，d }，F ＝{c ，d };“取到字母a ”是基本事件A 、B 、C 的和，即A ＋B ＋C .跟踪训练1 解 (1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)． (4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)． 例2 解 不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、…、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件. 跟踪训练2 解 不是，因为基本事件是无数个.例3 解 由于考生随机地选择一个答案，所以他选择A ，B ，C ，D 哪一个选项都有可能，因此基本事件总数为4，设答对为随机事件A ，由于正确答案是唯一的，所以事件A 只包含一个基本事件，所以P (A )＝14.跟踪训练3 解 只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则6听中选2听的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．有1听不合格的有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种；有2听不合格的有(5,6)，共1种，所以检测出不合格产品的概率为8＋115＝35.当堂训练1．C 2.C 3.C 4.C 5.B。
2017-2018学年高中数学北师大版3教学案：第三章§22.1 古典概型的特征和概率计算公式含解析
2．1古典概型的特征和概率计算公式预习课本P130～133，思考并完成以下问题(1)古典概型的定义是什么?(2)古典概型的概率公式是什么?错误!1．古典概型的定义如果一个试验满足:(1）试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果;(2)每一个试验结果出现的可能性相同．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型（古典的概率模型)．2．古典概型的概率公式对于古典概型，如果试验的所有可能结果(基本事件数)为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P（A)＝m n。
[点睛］在一次试验中可能出现的每一个结果称为基本事件，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件．例如，掷一枚骰子，出现“1点”“2点”“3点"“4点”“5点”“6点”共6个结果,就是该随机试验的6个基本事件．错误!1．一个家庭有两个小孩,则所有的基本事件是（）A．（男，女），(男，男)，(女，女)B．(男，女）,(女，男)C．（男，男）,(男，女），(女，男),（女，女）D．（男，男)，(女，女)解析：选C 用坐标法表示：将第一个小孩的性别放在横坐标位置，第二个小孩的性别放在纵坐标位置,可得4个基本事件(男，男),（男,女），(女，男),（女，女)．2．下列试验是古典概型的为( )①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率；A．①②B．②④C．①②④D．③④解析:选C ①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响．3．从100台电脑中任抽5台进行质量检测，每台电脑被抽到的概率是( ）A。
错误!B。
错误!C。
16D.错误!解析：选D 每台电脑被抽到的概率为错误!＝错误!.4．从1,2,3，4中随机取出两个数,则其和为奇数的概率为________．解析：不同的取法包括(1，2），(1，3），(1，4），(2，3)，(2,4），(3，4），共6个基本事件，每个基本事件发生的可能性相同,因此是古典概型．和为奇数包括(1，2），（1,4）,(2，3),（3，4），共4个基本事件，故所求概率为错误!＝错误!。
2017_2018学年高中数学第3章概率2第1课时古典概型的特点和概率计算公式教学案北师大版必修3
【解题高手】【易错题】
有1号、2号、3号3个信箱和A、B、C、D4封信，假设4封信能够任意投入信箱，投完为止，其中A恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？
[错解] 每封信投入1号信箱的机遇均等，而且所有结果数为4，故A投入1号或2号信箱的概率为 ＝ .
[错因] 应该考虑A投入各个信箱的概率，而不能考虑成四封信投入某一信箱的概率．
解析：所有的大体事件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8组．设“恰好显现1次正面向上”为事件A，那么A包括(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，共3个大体事件，因此P(A)＝ .
答案：
三、解答题
(1)从袋中的6个球中任取两球，所取的两球满是白球的取法总数，即为从4个白球中任取两球的方式总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
因此P(A)＝ ＝ ；
(2)从袋中的6个球中任取两球，其中一个是白球，另一个是红球的取法有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．
讲一讲
1.以下实验中是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观看它是不是发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向正方形ABCD内随机抛掷一点，该点落在正方形内任意一点都是等可能的
D．在区间[0,6]上任取一点，求此点小于2的概率
[尝试解答]
选项
分析
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根意味着Δ＝(2a)2－4b2≥0，即a≥b.
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2．1 古典概型的特征和概率计算公式[学习目标] 1.了解基本事件的特点.2.理解古典概型的定义.3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题．知识点一 基本事件1．基本事件的定义试验的每一个可能结果称为基本事件，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件．一次试验中只能出现一个基本事件．如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个结果，这就是这一随机试验的6个基本事件．2．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，随机事件“出现奇数点”可以由基本事件“出现1点”“出现3点”“出现5点”共同组成．思考 “抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件吗？答 不是．“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是基本事件．知识点二 古典概型1．古典概型的定义(1)试验的所有可能结果只有有限个每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性相同．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典模型(古典的概率模型)．2．古典概型的特点(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的．3．古典概型的概率公式对于任何事件A ，P (A )＝.事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数思考 若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？答 不是，还必须满足每一个试验结果出现的可能性相等．题型一 基本事件的定义及特点例1 一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．(1)共有多少个基本事件？(2)2个都是白球包含几个基本事件？解 方法一 (1)采用列举法．分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号)．(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个基本事件．方法二 (1)采用列表法．设5个球的编号为a ，b ，c ，d ，e ，其中a ，b ，c 为白球，d ，e 为黑球．列表如下：ab c d e a (a ，b )(a ，c )(a ，d )(a ，e )b (b ，a )(b ，c )(b ，d )(b ，e )c (c ，a )(c ，b )(c ，d )(c ，e )d (d ，a )(d ，b )(d ，c )(d ，e )e(e ，a )(e ，b )(e ，c )(e ，d )由于每次取2个球，因此每次所得的2个球不相同，而事件(b ，a )与(a ，b )是相同的事件，故共有10个基本事件．(2)“2个都是白球”包含(a ，b )，(b ，c )，(c ，a )三个基本事件．反思与感悟 1.求基本事件的基本方法是列举法．基本事件具有以下特点：(1)不可能再分为更小的随机事件；(2)两个基本事件不可能同时发生．2．当基本事件个数较多时还可应用列表法或树形图法求解．跟踪训练1 做投掷2颗骰子的试验，用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数．写出：(1)试验的基本事件； (2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和等于7”．解 (1)这个试验的基本事件共有36个，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．题型二 利用古典概型公式求概率例2 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：(1)事件A ＝{三个数字中不含1和5 }；(2)事件B ＝{三个数字中含1或5}．解 这个试验的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数n ＝10.(1)因为事件A ＝{(2,3,4)}，所以事件A 包含的事件数m ＝1.所以P (A )＝＝.mn 110(2)因为事件B ＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件B 包含的基本事件数m ＝9.所以P (B )＝＝.mn 910反思与感悟 1.古典概型概率求法步骤：(1)确定等可能基本事件总数n ；(2)确定所求事件包含基本事件数m ；(3)P (A )＝.mn 2．使用古典概型概率公式应注意：(1)首先确定是否为古典概型；(2)事件A 是什么，包含的基本事件有哪些．跟踪训练2 抛掷两枚骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率．解 如图，基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A ，从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共有9个，即(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)．所以P (A )＝.14(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B ，从图中可以看出，事件B 包含的基本事件共有20个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P (B )＝.59题型三 较复杂的古典概型的概率计算例3 有A 、B 、C 、D 四位贵宾，应分别坐在a 、b 、c 、d 四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐．(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．解 将A 、B 、C 、D 四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个．(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A 只包含1个基本事件，所以P (A )＝.124(2)设事件B 为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B 包含9个基本事件，所以P (B )＝＝.92438(3)设事件C 为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C 包含8个基本事件，所以P (C )＝＝.82413跟踪训练3 用三种不同的颜色给如图所示的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色．(1)求3个矩形颜色都相同的概率；(2)求3个矩形颜色都不相同的概率；(3)求3个矩形颜色不都相同的概率．解 设3个矩形从左到右依次为矩形1、矩形2、矩形3.用三种不同的颜色给题目中所示的3个矩形随机涂色，可能的结果如图所示．由图知基本事件共有27个．(1)记“3个矩形颜色都相同”为事件A ，由图，知事件A 的基本事件有3个，故P (A )＝＝.32719(2)记“3个矩形颜色都不相同”为事件B ，由图，知事件B 的基本事件有6个，故P (B )＝＝.62729(3)记“3个矩形颜色不都相同”为事件C .方法一 由图，知事件C 的基本事件有24个，故P (C )＝＝.242789方法二 事件C 与事件A 互为对立事件，故P (C )＝1－P (A )＝1－＝.1989古典概型的应用例4 (12分)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率．审题指导 (1)要求2名教师性别相同的概率，应先写出所有可能的结果，可以采用列举法求解．(2)要求选出的2名教师来自同一所学校的概率，应先求出2名教师来自同一所学校的基本事件．规范解答 (1)甲校2名男教师分别用A ，B 表示，1名女教师用C 表示；乙校1名男教师用D 表示，2名女教师分别用E ，F 表示．………………………………………1分从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：共9种．…………………………………………………3分从中选出2名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，………………5分所以选出的2名教师性别相同的概率为P ＝.……6分49(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为：共15种．…………………………………………………8分从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种，……10分1．抛掷一枚骰子，出现偶数的基本事件个数为( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 因为抛掷一枚骰子出现数字的基本事件有6个，它们分别是1,2,3,4,5,6，故出现偶数的基本事件是3个．2．在国庆阅兵中，某兵种A ，B ，C 三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B 先于A ，C 通过的概率为( )A. B. 1613C. D.1223答案 B解析 用(A ，B ，C )表示A ，B ，C 通过主席台的次序，则所有可能的次序有：(A ，B ，C )，(A ，C ，B )，(B ，A ，C )，(B ，C ，A )，(C ，A ，B )，(C ，B ，A )，共6种，其中B 先于A ，C通过的有：(B ，C ，A )和(B ，A ，C )，共2种，故所求概率P ＝＝.26133．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，则这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )A. B. 1525C. D.310710答案 B解析 可看作分成两次抽取，第一次任取一张有5种方法，第二次从剩下的4张中再任取一张有4种方法，因为(B ，C )与(C ，B )是一样的，故试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是按字母顺序相邻的有(A ，B )，(B ，C )，(C ，D )，(D ，E )4种，故两字母恰好是按字母顺序相邻的概率为P ＝＝.410254．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A. B.C.D.81518115130答案 C解析 第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为，故选C.1155．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________．答案 0.2解析 两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，所以P ＝＝0.2.210 1.古典概型是一种最基本的概型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P (A )＝时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，从而求出mn m 、n .2．求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．3．对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，再求所求概率．。