网络流最大流算法ppt课件

– 注：此处的s-t流不单指图中特定的s-t路
• s-t流的值：源点s的流出量；
– 2、s-t割：即点集S指向点集T（此处T=V(G)\X）的边 集，其中s∈S且t∈T
• 割的容量：各边容量之和 • 最小s-t割：在G中关于u具有最小容量的s-t割
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Maximum Flow-Minimum Cut Theorem
– 注：此处的路径P不一定是可扩路
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Ford–Fulkerson algorithm
• 输入：网络（G、u、s、t）及各边容量
• 输出：一条最大值的s-t流f
• 算法描述：
– 1、初始时令所有边的流量f=0；
– 2、求出剩余图(residual graph) ，并在 中找一条可扩路(the augmenting path)P。若 无可扩路，则终止；
Network Flow
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Network Flow
• 基本性质：
– 对于网络(G,u,s,t)
• 1、容量限制(Capacity Constraints):F(x,y) <= C(x,y) • 2、流量守恒(Flow Conservation):ΣF(v,x) = ΣF(x,u) • 3、斜对称性(Skew Symmetry): F(x,y) = -F(y,x)
• 设F为最大流，K为最小割，则value(f) <= value(F) <= cap(K) <= cap(K')
• 故f即为最大流，K'即为最小割
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• Ford–Fulkerson算法的劣势：
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Edmonds–Karp algorithm
-最大流问题的第一个多项式时间算法
• 3、设F为网络的最大流，K为最小割，
– 则value(F) <= cap(K) – s∈S，t∈T；其中，令S = {v∈V(G)|从源s到v有f可扩路}∪{s}； – 则t∉S（否则存在s-t可扩路，可得到更大的流），从而K' = (S,T)是网络
中的一个割，故cap(K') >= cap(K); – 又可证(S,T)中每条边的f都饱和，而(T,S)中每条边的f都为零，故
value(F) = cap(K') >= cap(K) – 综上，value(F) = cap(K)
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Theorem
• 网络N(G,u,s,t)中的可行流f是N的最大流当 且仅当N中不存在f可扩路
– 必要性：若有可扩路P，沿P使f扩大即可
– 充分性：设网络中不存在可扩路
• 令S = {v∈V(G)|从源s到v有f可扩路}∪{s}，则与最 大流最小割定理同样可证K' = (S,T)是网络中的一个 割，且value(f) = cap(K')
– 与Ford–Fulkerson算法相比，改进之处在于第二步中P路 径的选择，与其任选，不如选最短（边数最少）
• 算法步骤：
– 1、令所有边的流量f=0； – 2、在 中找条最短可扩路P，若无，则止； – 3、算出P路中各边剩余容量的最小值r，并沿P
使f扩充r，转2；
• 复杂度：
• Edmonds–Karp可在O(m*m*n)内得解
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Ford–Fulkerson algorithm
• Definition：
– 3、一条f可扩路(the augmenting path)：剩余 图中的一条s-t路
– 4、给定一个流f及剩余图中的一条路(或圈)P， 沿P使f扩充r：对每一个e∈E(P)
• 若e∈E(G)，则令f(e)增加r； • 设e0∈E(G)，若e为e0的反向边，则令f(e0)减小r
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Dinic's algorithm
• 算法步骤：
– 1、令所有边的流量f=0； – 2、构造剩余图的分层图(level graph) – 3、在分层图中求一个阻塞的s-t流(the
blocking flow)f'，若f'=0，则止 – 4、用f'对f扩充，转2
• 复杂度：在一定基础上可达O(mn log n)， 其中，n为点数、m为边数（详见课本153）
– 3、算出P路中各边剩余容量的最小值r，并沿P 使f扩充r，转2；
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Maximum Flow-Minimum Cut
Theorem
• Definition：
– 1、s-t流：指满足如下条件的流：
• a、源点流出量>0 • b、除s、t点外，图G中的所有点流量守恒
• Definition：
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9Байду номын сангаас
Maximum Flow-Minimum Cut
Theorem
• 任一个网络(G,u,s,t)中，最大流的流量等于最小 割的容量
– 证明：
• 1、任意一个流小于等于任意一个割(S,T)，即value(F) <= cap(S,T)
• 2、s∈S，t∈T当且仅当(S,T)中每条边的f都饱和，而(T,S)中每 条边的f都为零时上式取等
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• Dinic算法的Example
• 讨论的前提：
– G为简单有向图 – 网络(G,u,s,t)中所有容量均为整数
• 最大流(max-flow)问题，就是求在满足网络流性质 的情况下，源点 s 到汇点 t 的最大流量。
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Ford–Fulkerson algorithm
• Definition：
– 1、剩余图(residual graph)： – 2、剩余容量(residual capacity)：
– Edmonds–Karp算法中无论边容量多大，最多增流m*n/2 次（m为边数，n为点数）
– 每次增流用BFS最大为O(m)
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Dinic's algorithm
• Definition：
– 分层图(level graph)
• 首先，分层图是基于剩余图的
• 其次，分层图会对所有顶点标号（与s的距离）
• 最后，分层图中只存在这样的剩余边(u,v)： dist(v)=dist(u)+1，不符合这一规律的边全部删去
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Dinic's algorithm
• Definition：
– 阻塞流(blocking flow)：
• 网络(G,u,s,t)对应的分层图中所有可扩路的并，即 为阻塞流
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