第2讲 圆周运动及其应用

第四章 第2讲
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
1．如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是
( )
A ．v A >v
B B ．ωA >ωB
C ．a A >a B
D ．压力F N A >F N B 【答案】 A
2．如图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是
( )
A ．从动轮做顺时针转动
B ．从动轮做逆时针转动
C ．从动轮的转速为r 1
r 2
n
D ．从动轮的转速为r 2
r 1
n
【解析】 本题考查的知识点是圆周运动，因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，选项A 错误B 正确；由于通过皮带转动，皮带与轮边缘接触处的速度相等，所以由2πnr 1＝2πn 2r 2，得从动轮的转速为n 2＝nr 1
r 2，选项C 正确D
错误．
【答案】 BC
3．如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G 的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g ，估算该女运动员
( )
A ．受到的拉力为3G
B ．受到的拉力为2G
C ．向心加速度为3g
D ．向心加速度为2g
【解析】女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动时受到重力G和拉力F的作用，合力沿
水平方向指向圆心，拉力F＝G
sin 30°＝2G，由mg cot 30°＝ma得向心加速度为a＝3g，故应选B、C.
【答案】BC
4．2008年8月，京津城际高速铁路开通．铁轨转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速度v有关．下列说法正确的是
() A．v一定时，r越小则要求h越大
B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越小则要求h越大
D．r一定时，v越大则要求h越大
【解析】设铁轨之间的距离为L，内外轨高度差为h，内外轨上表面与水平面夹角为θ，火车转弯时，若外轨、内轨对车轮均没有侧向压力，由牛顿第二定律得mg tan θ＝m v2/r，由
于θ很小，可认为tan θ＝sin θ＝h/L，联立解得v＝ghr
L.由此式可知，v一定时，r越小则
要求h越大，选项A正确，B错误；r一定时，v越大则要求h越大，选项C错误，D正确．【答案】AD
5．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为F f甲和F f乙．以下说法正确的是
() A．F f甲小于F f乙
B．F f甲等于F f乙
C．F f甲大于F f乙
D．F f甲和F f乙大小均与汽车速率无关
【解析】本题重点考查的是匀速圆周运动中向心力的知识．根据题中的条件可知，两车在水平面做匀速圆周运动，则地面对车的摩擦力来提供其做圆周运动的向心力，则F向＝F f，
又有向心力的表达式F向＝m v2
r，因为两车的质量相同，两车运行的速率相同，因此轨道半
径大的车的向心力小，即摩擦力小，A正确．
【答案】 A
6．如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下述分析正确的是
()
A ．螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡
B ．螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心
C ．此时手转动塑料管的角速度ω＝
mg μr
D ．若杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动
【解析】 由于螺丝帽做圆周运动过程中恰好不下滑，则竖直方向上重力与摩擦力平衡，杆对螺丝帽的弹力提供其做匀速圆周运动的向心力，选项A 正确、B 、C 错误；无论杆的转动速度增大多少，但竖直方向受力平衡，故选项D 错误． 【答案】 A
7．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如下图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看做是做半径为R 的圆周运动．设内外路面高度差为h ，路基的水平宽度为d ，路面的宽度为L .已知重力加速度为g .要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
A. gRh
L B. gRh
d C.
gRL
h
D.
gRd
h
【解析】 考查向心力公式．汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F 向＝mg tan θ.根据牛顿第二定律：F 向＝m v 2
R ，
tan θ＝h
d
，解得汽车转弯时的车速v ＝
gRh
d
，B 对． 【答案】 B
8．(2009年衡水模拟)如图所示，在竖直的转动轴上，a 、b 两点间距为40 cm ，细线ac 长50 cm ，bc 长30 cm ，在c 点系一质量为m 的小球，在转动轴带着小球转动过程中，下列说法不正确的是
( )
A ．转速小时，ac 受拉力，bc 松弛
B ．bc 刚好拉直时ac 中拉力为1.25mg
C ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力不变
D ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力增大 【答案】 D
9．如图甲所示，一根细线上端固定在S 点，下端连一小铁球A ，让小铁球在水平面内做匀速圆周运动，此装置构成一圆锥摆(不计空气阻力)．下列说法中正确的是 ( )
A ．小球做匀速圆周运动时，受到重力、绳子的拉力和向心力作用
B ．小球做匀速圆周运动时的角速度一定大于
g
l
(l 为摆长) C ．另有一个圆锥摆，摆长更大一点，两者悬点相同，如上图乙所示，如果改变两小球的角速度，使两者恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，则B 球的角速度大于A 球的角速度 D ．如果两个小球的质量相等，则在图乙中两条细线受到的拉力相等
【解析】 如图所示，小铁球做匀速圆周运动时，只受到重力和绳子的拉力，
而向心力是由重力和拉力的合力提供的，故A 项错误．根据牛顿第二定律和向心力公式可得：mg tan θ＝mlω2sin θ，即ω＝g /l cos θ.当小铁球做匀速圆周运动时，θ一定大于零，即cos θ一定小于1，因此，当小铁球做匀速圆周运
动时角速度一定大于g /l ，故B 项正确．设点S 到点O 的距离为h ，则mg tan
θ＝mhω2tan θ，即ω＝g /h ，若两圆锥摆的悬点相同，且两者恰好在同一水平面内做匀速圆周运动时，它们的角速度大小一定相等，即C 项错误．如上图所示，细线受到的拉力大小为F T ＝mg
cos θ，当两个小球的质量相等时，由于θA ＜θB ，即cos θA ＞cos θB ，所示A 球受到的
拉力小于B 球受到的拉力，进而可以判断两条细线受到的拉力大小不相等，故D 项错误． 【答案】 B
10．如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO ′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R 和H ，筒内壁A 点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m 的小物块随圆锥筒一起做匀速转动，则下列说法正确的是 ( )
A ．小物块所受合外力指向O 点
B ．当转动角速度ω＝2gH
R
时，小物块不受摩擦力作用 C ．当转动角速度ω>
2gH
R
时，小物块受摩擦力沿AO 方向
D ．当转动角速度ω<
2gH
R
时，小物块受摩擦力沿AO 方向 【解析】 匀速圆周运动的物体所受合外力提供向心力，指向物体圆周运动轨迹的圆心，A 项错；当小物块在A 点随圆锥筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，小物块在筒壁A 点时受到重力和支持力的作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω，有：mg tan θ＝mω2·R 2，由几何关系得：tan θ＝H R ，联立以上各式解得ω＝2gH R ，B 项正确；当角速度
变大时，小物块所需向心力增大，故摩擦力沿AO 方向，其水平方向分力提供部分向心力，
C 项正确；当角速度变小时，小物块所需向心力减小，故摩擦力沿OA 方向，抵消部分支持力的水平分力，
D 项错． 【答案】 BC
11．如图所示，一个水平放置的圆桶绕轴OO ′匀速转动，转动角速度ω＝2.5π rad/s ，桶壁上P 处有一圆孔，桶壁很薄，桶的半径R ＝2 m ．当圆孔运动到桶的上方时，在圆孔的正上方h ＝3.2 m 处有一个小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径．试通过计算判断小球是否和圆桶碰撞(不考虑空气阻力，g 取10 m/s 2)．
【解析】 设小球下落h 所用时间t 1，经过圆桶所用时间为t 2，则h ＝1
2gt 21
解得t 1＝0.8 s h ＋2R ＝1
2g (t 1＋t 2)2
解得t 2＝0.4 s
圆桶的运动周期为T ＝2πω＝2π
2.5π
s ＝0.8 s.
由于t 1＝T ，小球到达圆桶时，圆桶正好转一周，圆孔又回到圆桶上方，小球可以进入圆桶内，不会相碰；
又因为t 2＝T /2，小球进入圆桶后，圆桶转半周，圆孔转到圆桶正下方时，小球也正好到达圆桶的正下方，小球可以从圆桶中出来，不会相碰； 由以上分析可知，小球和圆桶不会相碰． 【答案】 不会相碰
12．如图所示，半径为r ＝20 cm 的两圆柱体A 和B ，靠电动机带动按相同方向均以角速度ω＝8 rad/s 转动，两圆柱体的转动轴互相平行且在同一平面内，转动方向已在图中标出，质量均匀的木棒水平放置其上，重心在刚开始运动时恰在B 的正上方，棒和圆柱间动摩擦因数μ＝0.16，两圆柱体中心间的距离x ＝1.6 m ，棒长l ＞2 m ，重力加速度取10 m/s 2，求从棒开始运动到重心恰在A 正上方需多长时间？
【解析】 棒开始与A 、B 两轮有相对滑动，棒受向左摩擦力作用，做匀加速运动，末速度 v ＝ωr ＝8×0.2 m/s ＝1.6 m/s ，
加速度a ＝μg ＝1.6 m/s. 时间t 1＝v
a
＝1 s.
此时间内棒运动位移x 1＝1
2at 21
＝0.8 m.
此后棒与A 、B 无相对运动，棒以v ＝ωr 做匀速运动，再运动x 2＝AB －x 1＝0.8 m ，重心到A 正上方时间t 2＝x 2
v ＝0.5 s ，故所求时间t ＝t 1＋t 2＝1.5 s. 【答案】 1.5 s。