考研数学三(微积分)模拟试卷196

考研数学三（微积分）模拟试卷196

(总分：56.00，做题时间：90分钟)

一、选择题(总题数：5，分数：10.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：

2.00）

__________________________________________________________________________________________ 解析：

2.设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，则｜f(x)｜在x=a处( )．

（分数：2.00）

A.可导√

B.不可导

C.不一定可导

D.不连续

解析：解析：不妨设f(a)＞0，因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，于是存在δ＞0，当｜x

－a｜＜δ时，有f(x)＞0=f'(a)，即｜f(x)｜在x=a处可导，同理当f(a)＜0时，｜f(x)｜在x=a处也可导，选A．

3.设f(x)可导，则下列正确的是( )

（分数：2.00）

A.

B.

C. √

D.

解析：解析：令f(x)=x，显然A不对，同理B也不对；令f(x)=x 2，D不对；若，则对任意的M＞0，存在X 0＞0，当x≥X 0时，有f'(x)＞M，于是当x≥X 0时，f(x)－f(X 0 )=f'(ξ)(x

－X 0 )，其中ξ∈(X 0，x)，即f(x)≥f(X 0 )+M(x－X 0 )，根据极限的保号性，有，选C．4.设F(x)=∫ x x+2x e sint sintdt，则F(x)( )．

（分数：2.00）

A.为正常数√

B.为负常数

C.为零

D.取值与x有关

解析：解析：由周期函数的平移性质，F(x)=∫ x x+2π e sint sintdt=∫ －ππ e sint sintdt，冉由对称区间积分性质得F(x)=∫ 0π (e sint－e －sint sint)dt=∫ 0π (e sint－e －sint )sintdt，又(e sint－e －sint )sint 连续、非负、不恒为零，所以F(x)＞0，选A．

5.f(x，y)在(0，0)处( )．

（分数：2.00）

A.连续但不可偏导

B.可偏导但不连续

C.可微√

D.一阶连续可偏导

解析：解析：因为=0=f(0，0)，所以f(x，y)在(0，0)处连续；因为所以f' x (0，0)=0根

据对称性，f' y (0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导；由得f(x，y)在(0，0)处可微；当(x，

y)≠(0，0)时，因为不存在，所以f' x (x，y)在点(0，0)处不连续，同理f' y (x，y)在点(0，0)处也不连续，选C．

二、填空题(总题数：7，分数：14.00)

6.设－∞a te t dt，则a= 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）

解析：解析：－∞a te t dt=∫ －∞a td(e t )=te t｜－∞a－∫ －∞a e t dt=ae a－e a由e a =ae a－e a得a=2．

7.当x→0时，1～cos 2 x－1，则a= 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－3）

解析：解析：因为cos 2 x－1=(cosx+1)(cosx－1)～－x 2，且1～cos 2 x－1，所以a=－3．

8.设f(x)．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e 2）

解析：解析：由得f(0)=0，f'(0)=0

9.．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

11.设D为xOy．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：在D 1 ={(x，y)｜－∞＜x＜+∞，0≤y≤1}上，f(y)=y；在D 2：0≤x+y≤1上，f(x+y)=x+y，则在D 0 =D 1∩D 2 ={(x，y)｜－y≤x≤1－y，0≤y≤1)

上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以）

解析：

12.p的取值范围是 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：因为

三、解答题(总题数：15，分数：32.00)

13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

__________________________________________________________________________________________ 解析：

14.

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：()

解析：

15.设函数f(x)可导且(k＞0)，对任意的x n，作x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，…)，证明：

存在且满足方程f(x)=x．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x n+1－x n =f(x n )－f(x n－1 )=f'(ξn )(x n－x n－1 )，因为f'(x)≥0，所以x

n+1－ x n与x n－x n－1同号，故{X n }单调．｜x n｜=｜f(x n－1 )｜=｜f(x n)+∫ xn x

n－1 f'(x)dx｜≤｜

f(x n )｜+｜∫ xn x n－1 f'(x)dx｜≤｜f(x n )｜+∫ －∞∞dx=｜f(x n )｜+πk，即{x n }有界，于是

存在，根据f(x)的可导性得f(x)处处连续，等式x n+1 =f(x n )两边令n→∞，得原命题得证．)

解析：

16.f(x)的极值．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为f' －(0)≠f' +(0)，所以f(x)在x=0处不可导．于是令f'(x)=0得x=－1或当x＜－1时，f'(x)＜0；当－1＜x＜0时，f'(x)＞0；当0＜x＜时，f'(x)＜0；当时，f'(x)＞0．故x=－1为极小值点，极小值f(－1)=1－x=0为极大值点，极大值f(0)=1；

)

解析：

17.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(6)=0，且f' + (a)＞0．证明：存在ξ∈(a，

b)，使得f''(ξ)＜0．

（分数：2.00）