数字信号处理,第五讲DFT性质
数字信号处理-离散傅立叶变换(DFT)
N 1
* X ( k ) Y (k ) k 0
N 1
x ( n)
n 0
N 1
2
1 N
k 0
N 1
X (k )
2
表明序列时域、频域能量相等
33
六、圆周卷积和 圆周卷积A：设 F (k ) X (k )Y (k ) f (n) F (k )
则
f (n) [ x(m) y ((n m)) N ]RN (n)
22
求x n 的16点DFT N 16
X k X e j
N=4点的DFT？
2 k 16
2 k 3 2 sin 2 j k 16 2 16 e 1 2 sin k 2 16 sin k 3 j k 4 16 e sin k 16
理解频谱分析过程
3
知识回顾
1. Z变换的定义 2. Z变换的收敛域 3. Z变换的性质 4. Z反变换及其求法 5. Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 6. 序列的Fourier变换(DTFT)的定义 7. 序列的Fourier变换的主要性质 8. 序列的Fourier变换的对称性质 9. 离散系统的系统函数、系统的频率响应
其中
X (k ) RN (k ) X (k ) ；同理可证另一公式。
~
推论：
2 nl 1 DFT x(n)cos X ((k l )) N X ((k l )) N RN (k ) N 2
2 nl 1 DFT x(n)sin X ((k l )) N X ((k l )) N RN (k ) N 2 j
数字信号处理DFT性质
DFT
X2(K)
x1(n)长度是 N1， x2(n)长度是 N2， N≥[N1，N2]。 循环卷积之后序列的长度没有发生变化为N。
四、复共轭序列的DFT: 五、DFT的隐含周期性:
X(k+mN)=X(k)
周期性延拓
主值序列
六、DFT共轭对称性：
1、
x(n)=xr(n)+jxi(n)
2、
x(n)=xep(n)+xop(n) X(K)=XR(K)+jXZ(K)
误差
：
由FT可知，若时间有限则频谱无限宽；若信号的频谱有限 宽，则其持续时间必然为无限长。所以时间有限，频带有界 的信号是不存在的。所以用DFT必然存在误差。
误差分析及改进方法：
1 、截断效应：截取 T P 变成有限长，相应的频域会有一个卷 积 ，与原来的频谱必然有一定的差别，所以要选择合适的窗 函数截取，增加N也可以减弱截断效应。 2、混叠现象：前置预滤波器采样频率fs满足采样定理，否则 就会产生混叠现象，即fs/2≥fc,并使滤波器尽可能的接近理 想滤波器。
其中时域抽样有 N 个抽样点 , 时域截取 Tp=NT, 频域 抽样即在0--fs上采样N点，采样间隔F,F=fs/N。
1、F: 频率分辨率 F=1/Tp=1/NT=Fs/N
可见： Fs一定，T一定，当 N↑时，Tp↑，最终导致F↓， 分辨率升高。
2、谱分析范围:0--Fs/2
DFT的高分辨率频谱与高密度频谱之间的区别：
高分辨率频谱：仅取决于截取连续信号TP的长度，采
样频率不变时，通过改变采样点数 N 可以改变 DFT 的分辨率。(N↑,F↓,分辨率升高)
高密度频谱：信号的时间长度不变，在频域内提高采样频 率，尾部补零可以得到高密度频 谱，但不能改变分辨
dft 的时域卷积定理
dft 的时域卷积定理时域卷积定理是数字信号处理中的基本概念之一，它给出了在时域执行卷积运算的信号与在频域执行乘积运算的信号之间的关系。
它由离散傅里叶变换（DFT）引出，经常被用来在实际系统中进行操作。
本文将对DFT的时域卷积定理进行介绍和讲解。
一、DFT首先要了解DFT。
DFT是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）的缩写，通常将一个复数序列与另一个复数序列进行变换。
它可以将一个离散的信号分解成许多正弦波的和，这些正弦波的频率是成整数倍于同一个基本频率的。
具体而言，DFT使用复数序列作为输入，并计算出其频率分量的图像。
输入序列的长度必须是2的次幂，比如2、4、8、16、32等。
DFT的一个重要特点是：输入与输出具有相同的频域解析度。
二、时域卷积为了了解时域卷积定理，我们还需要知道时域卷积。
时域卷积就是两个信号的卷积积分在时域的计算。
具体而言，如果信号f(t)和g(t)的时域卷积为h(t)，则有：h(t) = f(t) * g(t)其中*表示卷积操作。
在数字信号处理中，相应的等式变为：x[n] = f[n] * g[n]其中n表示采样点。
这个等式可以转化为如下的形式：x[n] = sum(f[i]g[n-i])其中i从0到n-1。
卷积是无论是信号处理还是通信领域中都非常重要的操作。
它可以在时域中执行，也可以在频域中执行。
如果我们希望在频域中执行卷积，则需要DFT。
三、DFT的时域卷积定理DFT的时域卷积定理指出，在计算两个信号的卷积时，可以将这两个信号同时进行DFT，然后将得到的频域信号相乘，最后再将相乘后的频域信号进行IDFT（逆离散傅里叶变换），即可得到两个信号的卷积。
具体而言，设f[n]和g[n]是两个离散信号，它们的DFT为F[m]和G[m]。
则它们的卷积的DFT为：H[m] = F[m] * G[m]其中*表示的是复数的乘法。
为了将H[m]转化成时域序列，我们需对其进行IDFT：h[n] = IDFT{H[m]}其中IDFT表示逆离散傅里叶变换。
5离散傅立叶变换(DFT)的性质_数字信号处理
N−1 = ∑x1(m)x2 ((n − m))N RN (n) = x1(n)N x2(n) m=0
N−1 = ∑x2 (m)x1 ((n − m))N RN (n) = x2 (n)N x1(n) m=0
ɶ ɶ ɶ 证：由周期卷积和，若Y (k) = X1(k) ⋅ X2 (k)， ɶ ɶ 则 y(n) = IDFS[Y (k)]
共轭对称
共轭反对称
共轭对称与共轭反对称序列示意图
x(n) = xep (n) + xop (n)
1 * xep (n) = [ x(n) + x ( N − n)] 2 1 xop (n) = [ x( n) − x* ( N − n)] 2
N −1
循环卷积过程： 循环卷积过程：
m=0
补零(当两序列不等长时) 1）补零(当两序列不等长时) 2）周期延拓 3）翻褶 4）取主值序列 5）循环移位 6）相乘相加
以N=8 x2 (m) x2 ((m))N → 延拓
x2 ((− m)) N →
取主值 → x2 ((−m)) N i RN (n)
结论：有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移 圆周移位导致频谱线性相移， 结论：有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而 对频谱幅度无影响。 对频谱幅度无影响。
4. 频域循环移位定理
如果X (k) = DFT[x(n)],0 ≤ k ≤ N −1
Y(k) = X ((k + l))N iRN (k)
x1 ( n) = R5 ( n)
x1(n)
x 2 ( n ) = n + 1 ( 0 ≤ n ≤ 2)
1 0 1 2 3 4 5 x2(n) 3 2 1 0 1 2 3 4 5 n n
DFT 变换的性质及应用
任务1、用三种不同的DFT 程序计算x(n ) (0.9)n (n = 0,1,2,…,7)的傅立叶变换X(k)，并比较三种程序的计算机运行时间。
步骤：a.用for 循环语句编制函数文件，实现循环计算X(k)；b.编写矩阵运算的函数文件，实现矩阵计算X(k)；c.调用FFT 函数直接计算X(K)任务2、给定x(n) = nR16 (n) ，h(n) = R8 (n) 利用DFT 实现两序列的线性卷积运算，并研究DFT 的点数与混叠的关系，并用stem(n,y)画出相应的图形。
任务3、讨论序列补零及增加数据长度对信号频谱的影响(1)求出序列x(n)=cos(0.48 n)+cos(0.52 n)基于有限个样点n=10 的频谱；(2)求n=100 时,取x(n)的前10 个,后90 个设为零，得到x(n)的频谱;(3) 增加x(n)有效的样点数，取100 个样点得到x(n)的频谱n=[0:1:99];x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);subplot(2,1,1);stem(n,x);title('signal x(n),0<=n<=99');xlabel('n') axis([0,100,-2.5,2.5])X=fft(x);magX=abs(X(1:1:51));k=0:1:50;w=2*pi/100*k;subplot(2,1,2);stem(w/pi,magX);title('100点DFT');xlabel('(w/pi)') axis([0,1,0,60])测试记录分析结论一、任务1a.用for 循环语句编制函数文件，实现循环计算X(k)；b.编写矩阵运算的函数文件，实现矩阵计算X(k)；c.调用FFT 函数直接计算X(K) 三种程序的计算机运行时间二、任务 2051015202530350102030405060708090100小结本次实验总共包括三个任务。
理解DFT
理解DFT离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是数字信号处理（DSP）领域中一种重要的数学工具，它可以将一个离散序列转换为一组复数系数，表示了这个序列在频域上的频率成分。
DFT的基本原理是将一个长度为N的离散序列进行周期延拓，并将其分解成N个基频为1/N的正弦和余弦函数。
它可以看作是连续傅里叶变换（CFT）的一个离散化版本，将连续信号在时域上采样得到的离散信号在频域上进行分析。
DFT的数学表达式为：X(k) = Σ(x(n) * exp(-j * 2π * nk / N))其中X(k)为频域上的复数系数，表示了信号在不同频率分量上的幅度和相位；x(n)为时域上的离散信号；k为频域上的频率索引，取值范围为0到N-1；N为序列的长度。
通过计算DFT，可以得到信号在频域上不同频率分量的幅度和相位信息。
DFT的输出是一个复数序列，其中实部表示对应频率上的幅度，虚部表示对应频率上的相位。
可以用幅度谱和相位谱来表示信号在频域上的性质。
DFT的应用十分广泛，特别是在信号分析、通信系统、图像处理和音频处理等领域。
以下是DFT的几个常见应用：1.频谱分析：通过计算DFT，可以将信号从时域转换到频域，从而得到信号的频谱信息。
频谱分析可以用于信号的特征提取、频率成分的识别和滤波器的设计等方面。
2.信号压缩：DFT可以将信号从时域转换到频域，在频域上对信号进行压缩处理，去除一些频率成分上的冗余信息。
这样可以实现信号的压缩存储和传输，提高对信号的处理效率。
3.图像处理：图像可以看作是一个二维离散信号，通过对图像的每个像素进行DFT计算，可以将图像从空域转换到频域上进行处理。
在图像处理中，DFT经常用于图像滤波、图像压缩和图像增强等应用。
4.音频处理：声音可以看作是一个一维离散信号，在音频处理中，通常通过对声音信号进行DFT计算，得到声音的频谱信息，可以用于音频的降噪、声音特征提取、声音合成等方面。
离散傅里叶变换DFT的性质
讨论DFT的性质有何意义呢？
1.加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT 的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在 联系。
2.这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取， 降低计算的复杂性。例如后面重点学习的FFT算法 就利用了DFT的周期性和对称性。
仔细看书中的性质列表，与DTFT性质表进行对比
N1
[XR(k)cos
k0
2kn
N
Xl
(k)sin
2kn]
N
(2)实偶序列
x(n)x(Nn) 0nN1XI(k)0
N1
2kn
X(k) x(n)cos
n0
N
0kN1
XI(k)0x(n)N 1N k01X(k)cos2Nkn
0nN1
DFT: XR(k)Nn01xR(n)cos2NknxI(n)sin2Nkn XI (k)Nn01xR(n)sin2NknxI(n)cos2Nkn
x'(n)=x(nk,对N求余) x((nk))N
当 k 2和 N 4 x (n ) x ((n 2 )) 4 x (0 ) x (( 2 )) 4 x (2 ) x (1 ) x (( 1 )) 4 x (3 ) x (2 ) x ((0 )) 4 x (0 ) x (3 ) x ((1 )) 4 x (1 )
加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。
1 7、序列的圆周时域移位
j
x[n] X (e )e d 这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取，降低计算的复杂性。
jn
3 DFT的隐含周期性、线性、对称性
2
2 加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。
DFT性质
离散傅里叶变换的性质
4. 序列的循环卷积
定义
x1[k ]
N
N 1 x2 [k ] x1[(n) N ]x2 [(k n) N ]N [k ] n 0
DFT性质
例:试计算如图所示序列N=4循环卷积
x[k],N=4
3 2 1
h[(1n)N]
4
h[(n)N]
1 0 1 1 2 3
数字信号处理
(Digital Signal Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
离散傅里叶变换(DFT)
有限长序列的傅里叶分析
离散傅里叶变换的性质
利用DFT计算线性卷积 利用DFT分析信号的频谱
离散傅里叶变换的性质
1. 线性
DFTax1[k ] bx2 [k ] aDFTx1[k ] bDFTx2 [k ]
需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT
DFT性质
符号(k)N ： 表示对k进行模运算
k k1 k 2 N , k1 0,1,, N 1, k 2 Z
(k ) N k1
例：N=3，k= 3, 2,
x[(k) N ]
1,
0,
1,
2,
3,
4
x[0] x[1] x[2] x[0] x[1]
长度N=4的实序列x[k] 长度N=5的实序列x[k]
k 0 1 2 3 0 1 2 3 4
k
离散傅里叶变换的性质
3. 对称性 (symmetry)
DFT{ x [ k ]} X [( m ) N ] RN [ m ]
DFT{ x [( k ) N ]RN [ k ]} X [ m ]
数字信号处理：离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散
傅里叶变换为:
N为变换区间的长 度，N≥M
… N 1 N 1
X (k ) XD(kF) T [DxF(Tn[)x](n)] x(nx)(Wn)WNknNk,n,kk==00,, 1, &&,,NN-1-1(3(.13..11).1)
单位圆上的Z 变换,Z=ejw
3.1 离散傅里叶变换的定义
[例1]：若N=5， x(n)=R4(n)，画出x((n))N图形。
x(n) 1
01234 n x((n))5
1
n -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3.1 离散傅里叶变换的定义
[例2]：已知长度为N的一个有限长序列x(n)，其N点DFT为X(k)。 另一个长度为2N的序列 y(n) 定义为：
)
= DDFFSS[[x~x~((nn))]]=DNnNF01SXX~[kx~x((((ekn()jn)=e)))NDXjX2]N(FF((keSTnk[)j[)x~x~N)((nn))F]]NT[N2x~N1(nk)x~](n)2eNX~
(
j2 k
n0
N 1
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n x(n)WNkn X (k)
n0
n0
N 1
(3) 序列x(n)隐含的周 期性x(周n)W期Nk为n NX)(k)
n0
x(n+mN)=x(n)
3.1 离散傅里叶变换的定义
~
任何周期为N的周期序列 x(n) 都 x可(n以)N看作长(度3.1为.7N)的有限长序列 ~
DFT性质
(Digital Signal Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
离散傅里叶变换(DFT)
有限长序列的傅里叶分析
离散傅里叶变换的性质
利用DFT计算线性卷积 利用DFT分析信号的频谱
离散傅里叶变换的性质
1. 线性
DFTax1[k ] bx2 [k ] aDFTx1[k ] bDFTx2 [k ]
j 2 N m
N 1 k 0
x[ k ] z
k z e
j
2π N
m
N 1 k 0
x[ k ]e
-j
2π N
X [m]
km
x[k]的X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样
Im(z)
2 m N j
z 平面
2 N
-1
0
1 2 ( N 1) N
Re(z)
单位圆 -j
需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT
DFT性质
符号(k)N ： 表示对k进行模运算
k k1 k 2 N , k1 0,1,, N 1, k 2 Z
(k ) N k1
例：N=3，k= 3, 2,
x[(k) N ]
1,
0,
1,
2,
3,
4
x[0] x[1] x[2] x[0] x[1]
DFT性质
卷积定理
时域卷积定理:
DFTx1[k ] N x2 [k ] X1[m] X 2 [m]
时域的卷积对应频域的乘积
频域卷积定理:
1 DFTx1[k ]x2 [k ] X1[m] N X 2 [m] N
《数字信号处理》-张旭dft性质及dft应用的研究
DFT性质及DFT应用的研究李庚生物医学工程专业2013级本科指导老师耿新玲张旭摘要：通过使用MATLAB，进行dft的编程，并且调试成功。
在dft函数的基础上，观察和分析dfs应用中存在的混叠，泄露，栅栏效应等问题以及这一类问题的改善途径，方法。
了解dft实部，虚部之间的对应关系，并通过自己的理解，对dft以及dfs的一些性质进行验证。
关键词：DFTDFS混叠效应泄露效应栅栏效应Abstract：Through the use of MATLAB and DFT of programming and debugging success. In the DFT function based on the observation and analysis of application of DFS in the presence of aliasing, leakage and fence effect and the problem of the method of improving methods. Understanding DFT, virtual between the corresponding relationship and through their own understanding, of DFT and DFS some properties is verified. Keywords: DFT DFS Aliasing effectLeak effect Picket fence effect1 前言本次实验我们运用自己对于DFT与DFS的理解，对它进行编程，并且自行对其进行调试。
并且在调试成功后，我们运用我们自己编写的程序对DFT的一些性质进行了验证，并且还对DFT的一些效应进行了验证，实践，和改善。
2 理论和方法2.1 理论2.1.1DFT的基本概念DFT 是数字信号处理中重要的数学工具之一，其实质是对有限长序列频谱的离散化，即通过 DFT 使时域有限长序列与频域有限长序列相对应，从而可在频率域用计算机进行信号处理。
数字信号处理快速傅里叶变换知识总结
数字信号处理快速傅里叶变换知识总结数字信号处理中的快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。
以下是关于快速傅里叶变换的一些重要知识点总结：1.基本概念：o傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，或反之。
o离散傅里叶变换（DFT）：对有限长度的离散时间信号进行傅里叶变换。
2.快速傅里叶变换（FFT）：o是一种算法，用于高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。
o基于“分治”策略，将大问题分解为小问题，从而显著降低了计算复杂性。
3.FFT的种类：o按长度分类：长度为2的幂的FFT（如N=2^n，n为整数）和任意长度的FFT。
o按算法结构分类：基于蝶形运算的基本FFT算法，以及各种改进和优化版本（如Cooley-Tukey、Radix-2、Radix-4等）。
4.FFT的数学表达式：对于长度为N的输入信号x[n]，其DFT可以表示为X[k] =∑_{n=0}^{N-1} x[n] * W_N^kn，其中W_N = e^(-j2π/N)。
快速傅里叶变换则是基于这个公式的高效计算方法。
5.FFT的应用：o频谱分析：通过FFT，可以快速得到信号的频域表示，从而分析信号的频率成分。
o通信系统：用于信号调制、解调和多路复用等。
o图像处理：在图像处理中，FFT常用于频域滤波和图像压缩。
6.FFT的优点和局限性：o优点：计算速度快，适合于实时处理和大数据量处理。
o局限性：对于非2的幂的长度信号，FFT的效率会降低。
此外，FFT无法处理无限或无限长的信号。
7.FFT的Python实现：Python中常用的库如numpy和scipy都提供了FFT的实现。
例如，numpy的fft模块提供了fft函数用于计算一维离散傅里叶变换，scipy.fftpack模块也提供了类似的功能。
8.其他扩展：针对特定应用和需求，还有许多FFT的变种和改进算法，例如线性调频Z变换（CZT）、混合基数FFT、对称性FFT等。
数字信号处理实验五用DFT(FFT)对信号进行频谱分析
开课学院及实验室：电子楼3172018年 4月 29 日3()x n ：用14()()x n R n =以8为周期进行周期性延拓形成地周期序列.(1> 分别以变换区间N ＝8,16,32,对14()()x n R n =进行DFT(FFT>,画出相应地幅频特性曲线；(2> 分别以变换区间N ＝4,8,16,对x 2(n >分别进行DFT(FFT>,画出相应地幅频特性曲线； (3> 对x 3(n >进行频谱分析,并选择变换区间,画出幅频特性曲线.<二）连续信号 1. 实验信号：1()()x t R t τ=选择 1.5ms τ=,式中()R t τ地波形以及幅度特性如图7.1所示.2()sin(2/8)x t ft ππ=+式中频率f 自己选择.3()cos8cos16cos 20x t t t t πππ=++2. 分别对三种模拟信号选择采样频率和采样点数.对1()x t ()R t τ=,选择采样频率4s f kHz =,8kHz ,16kHz ,采样点数用τ.s f 计算.对2()sin(2/8)x t ft ππ=+,周期1/T f =,频率f 自己选择,采样频率4s f f =,观测时间0.5p T T =,T ,2T ,采样点数用p s T f 计算.图5.1 R(t>地波形及其幅度特性对3()cos8cos16cos 20x t t t t πππ=++,选择采用频率64s f Hz =,采样点数为16,32,64. 3. 分别对它们转换成序列,按顺序用123(),(),()x n x n x n 表示.4. 分别对它们进行FFT.如果采样点数不满足2地整数幂,可以通过序列尾部加0满足.5. 计算幅度特性并进行打印.五、实验过程原始记录<数据、图表、计算等）(一> 离散信号%14()()x n R n = n=0:1:10。
数字信号处理--实验五-用DFT(FFT)对信号进行频谱分析
学生实验报告开课学院及实验室：电子楼3172013年4月29日、实验目的学习DFT 的基本性质及对时域离散信号进行频谱分析的方法，进一步加深对频域概念和数字频率的理解，掌握 MATLAB 函数中FFT 函数的应用。
二、实验原理离散傅里叶变换(DFT)对有限长时域离散信号的频谱进行等间隔采样，频域函数被离散化了, 便于信号的计算机处理。
设x(n)是一个长度为 M 的有限长序列，x(n)的N 点傅立叶变换:X(k)N 1j 三 knDFT[x(n)]N x(n)e N0 k N 1n 0其中WNe.2 jN，它的反变换定义为:1X(n)NkN 1nkX(k)W N0 令z W N k，X(zz WN k则有:N 1x( n)Wj kn 0可以得到，X(k)X(Z)Z WN kZ W N*是Z 平面单位圆上幅角为2kN 的点，就是将单位圆进行N 等分以后第 K 个点。
所以, X(K)是Z 变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅立叶变换的等距采样。
时域采样在满足Nyquist 定理时，就不会发生频谱混叠。
DFT 是对序列傅立叶变换的等距采样，因此可以用于序列的频谱分析。
如果用FFT 对模拟信号进行谱分析，首先要把模拟信号转换成数字信号，转换时要求知道模拟 信号的最高截至频率，以便选择满足采样定理的采样频率。
般选择采样频率是模拟信号中最高频率的3~4倍。
另外要选择对模拟信号的观测时间，如果采样频率和观测时间确定，则采样点数也确定 了。
这里观测时间和对模拟信号进行谱分析的分辨率有关,最小的观测时间和分辨率成倒数关系。
最小的采样点数用教材相关公式确定。
要求选择的采样点数和观测时间大于它的最小值。
如果要进行谱分析的模拟信号是周期信号,最好选择观测时间是信号周期的整数倍。
如果不知道■ 厂1*1IE向i1A I1f Ii i 0r 1 疋0Jfb-4W0 70000图5.1 R(t)的波形及其幅度特性xn=[on es(1,4),zeros(1,7)];%输入时域序列向量 xn=R4( n)%计算xn 的8点DFTXk16=fft(x n,16);%计算xn 的16点DFTXk32=fft(x n,32); %计算xn 的32点DFTk=0:7;wk=2*k/8;对 x 3(t) cos8 t cos16 t cos20 t ，选择采用频率 f s 64Hz ，采样点数为 16 , 32 , 64。
清华大学数字信号处理课件DFT
第二章离散傅立叶变换（DFT）•首先讨论傅立叶级数（DFS），由此引出DFT•也可以由矢量空间基的完备性直接引出DFT •DFT存在快速算法（FFT）•DFT是实际进行频谱分析的主要工具•DFT也可以作为系统实现的工具，在一定条件下提高系统运算效率•DFT的应用领域非常广泛，但也存在局限性，理解这些局限性，对于正确应用DFT有帮助参考：Oppenheim第8章,应第2章DFT 的矩阵表示[]NN ijN W ==⨯x X :DFT H N N W W 有：令：[][]TT N x x x N X X X ]1[,],1[],0[]1[,],1[],0[-=-== x X Xx :IDFT NW2.3DFT 的性质][][))((0,][0,]0[][))((]1,0[n N x n R n x n n N x n x n R n x N N N N N -=⎩⎨⎧≠-==-－以上性质简记为：－有限长序列的反转性质注意：在区间{}][][))(())((DFS n N x DFT k N X k X n x N N -=-⇔取一个周期有：－－：由反转性质,0][))((][][))(()()(m n R m n x k X Wn R m n x k X n x N N km NN N <-⇔-⇔围，循环移入尾部左移，头部数据移出范当是循环位移注意：循环位移性质][))((][,0k R r k X n x W m N N rn N+⇔>对偶关系围，循环移入头部右移，尾部数据移出范当][][][))((][][][][][21102121n x n x n x m n x m x n x k X k X k X N m NΘ=-=⇔=∑-=记为：循环卷积][][][1][][][][][][*][][212121n R rN n x n x P L n x L n x P n x m n x m x n x n x n x N r LLm L⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-+-==∑∑∞+-∞=∞-∞=且：长：，长为，长注意：当设：关系循环卷积和线性卷积之循环卷积等于线性卷积＝显然有及循环卷积做上例用例][][][][,DFT ,1.2n x n R rN n x n x P L N L N r L ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-+≥∑∞+-∞={}10][][][)4(10][][][)3(11~][)2(11~][1DFT 2121-≤≤==-≤≤=-+≥--+≥-N n k X IDFT n x n x N k k X k X k X DFTP L N N L n x DFTP L N N P n x L 补零，做在补零，做在）（做线性卷积：用2.4有限长和无限长序列的线性卷积重叠相加法例,01~],[][~0:][1~0:][.1othersL rL rL n n x n x n x P n h r ⎩⎨⎧-+==∞-重叠部分相加各范围不为零，在注意：有：进行卷积和的－＋做与每一段][2~][][][*][][IDFT DFT 1][][00n y P L rL rL n y n y n h n x n y P L N n h n x r r r r r r r -++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==∑∑∞+=∞+=重叠保留法依据的原理是：L和P长序列，用N=L点DFT做卷积，前P-1点是混迭，后L-P+1点是正确的线性卷积结果，为使各段结果无缝地拼接成正确的输出序列，输入各段重叠窗函数的频谱例（窗长64）两个正弦信号和加窗后的DTFT两个正弦信号和加窗后的DTFT－例2DFT做频谱分析的泄漏现象和栅栏现象泄漏现象()()()()非零为零的点，在对应，由于加窗作用，采样，得到对k X e X k X e X j j 111ωω栅栏现象()()()率能提高频谱分析的分辨补栅栏现象，但补零不通过补零，可以有效弥度，降低谐波的频率估计精的极值点，可能不在采样，对ωωj j e X k X e X 111此例：增加DFT点数，可改善栅栏效应对此例，如果补零，做128点DFT反倒增加了泄漏窗函数与加窗⎧⎩⎨⎧<≤=otherwise Mn n w Bartlett 001][窗矩形窗⎩⎨⎧≤≤-=⎪⎩⎪⎨<<-≤≤=otherwise Mn M n n w Hanning otherwise M n M M n M n Mn n w 00/2cos 5.05.0][02//222/0/2][π窗。
DFT(离散傅里叶变换).
X(k) = XR(k) + XI(k)
18
证明：
N 1
X * (k) x * (n)W nk
n0
N 1
[ x(n)W nk ]*
n0
N 1
[ x(n)W n( N k ) ]* n0
= X*(N k)
由线性性质
X(k) = XR(k) + XI(k) X*(k) = XR(k) XI(k) XR(k) = [ X(k) + X*(N k)]/2 XI(k) = [ X(k) X*(N k)]/2
W 6 X (2)
W
9
X
(3)
1 1 1 1 4 1
1 1 j 1 j 0 1 4 1 1 1 1 0 1
1 j 1
j
0
1
8
3.5.2 DFT与DTFT的关系
通常把信号的傅里叶变换称为信号的频谱，那么有 限长序列的离散傅里叶变换是否就是它的频谱呢？
有限长序列作为非周期序列，它的频谱即它的傅里 叶变换DTFT---- X(e j)，是一个连续的周期性的频谱； 而有限长序列的DFT---- X(k)却是离散的频谱，两者显然 不是等同的。但两者也不是截然无关的，相反，存在着 相当重要的联系，这就是有限长序列的离散傅里叶变换 X(k)正是此序列的傅里叶变换X(e j)的抽样值。
时移特性1圆周移位22我们看到当序列xn向右移m位时超出n1以外的m个样值又从左边依次填补了空位因此可以想象序列xn排成在一个n等分的圆周上n个样点首尾相接圆周移m个单位表示xn在圆周上旋转m位
3.5 DFT（离散傅里叶变换）
---------Discrete Fourier Transform 3.5.1 DFT定义式
DFT的定义和性质
4 DFT 总结DFT 的定义是针对任意的离散序列)(nTs x 中的有限个离散抽样)0(N n <≤的，它并不要求该序列具有周期性。
由DFT 求出的离散谱)()(Z k NT k H H k H S k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∆是离散的周期函数，周期为s s s f T NT N T N Nf ====1/00、离散间隔为0011f T N f NT s s ===。
离散谱关于变元k 的周期为N 。
如果称离散谱经过IDFT 所得到的序列为重建信号，))(('Z n nTs x ∈，则重建信号是离散的周期函数，周期为001f T NT s ==(对应离散谱的离散间隔的倒数)、离散间隔为001/Nf N T N NT T s s ===(对应离散谱周期的倒数)。
经IDFT 重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为S NT T f 1100==。
实序列的离散谱关于原点和2N (如果N 是偶数)是共轭对称和幅度对称的。
因此，真正有用的频谱信息可以从0~12-N 范围获得，从低频到高频。
在时域和频域N ~0范围内的N 点分别是各自的主值区间或主值周期。
5 DFT 性质线性性：对任意常数m a (M m ≤≤1)，有[]∑∑==⇔⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡M m m m M m m m n x DFT a n x a DFT 11)()( 奇偶虚实性：DFT 的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。
DFT 有如下的奇偶虚实特性：奇⇔奇；偶⇔偶；实偶⇔实偶；实奇⇔虚奇；实 ⇔(实偶) + j(实奇)；实 ⇔(实偶)·EXP(实奇)。
反褶和共轭性：对偶性：)()(k Nx n X -⇔把离散谱序列当成时域序列进行DFT ，结果是原时域序列反褶的N 倍；如果原序列具有偶对称性，则DFT 结果是原时域序列的N 倍。
时移性：km N W k X m n x )()(⇔-。
数字信号处理05-课件 第一节_1：DFT引入及定义_31
2π
...
m
N
0
N
有限长序列傅里叶分析
x[k] x[k]
k k
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
N 1
j2π mk
DFS x[k] X [m] x[k]e N
k 0
有限长的序列与周期序列在分析方法上能否等同对待？
离散傅里叶变换
DFS DFT
N 1
j 2π mk
k 0,1,2, , N 1
符号表示：
X[m] DFT{x[k]} x[k] IDFT{X[m]}
x[k]DFTX [m]
离散傅里叶变换
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来源 于多种媒体及同事和同行的交流，难以一一注明出处，特此说明 并表示感谢！
j2π mk
X [m]e N
N m0
0 k N 1
Inverse Discrete Fourier Transform 离散傅里叶反变换(IDFT)
离散傅里叶变换
DFT IDFT
N1
j2πmk
X [m] x[k]e N ,
k0
1 N1
2π j mk
x[k] X[m]e N ,
N m0
m 0,1,2, , N 1
有限长序列傅里叶分析
分析男生女生声音的特性
女生声音时域波形
男生声音时域波形
有限长序列傅里叶分析
Fourier变换从理论上解决了如何从时域映射到频域
连续非周期信号x(t)： 连续周期信号x(t) ：
离散非周期信号x[k]： 离散周期信号x[k]：
X ( j) x(t)e jt dt
dft原理
dft原理
Discrete Fourier Transform（DFT）是一种数字图像处理技术，它通过采样原始信号，将其分解成不同频率的正弦函数和余弦函数的线性组合，以表征原始信号的时频特性。
它的应用广泛，能够满足各种信号处理、图像处理和语音处理的需要。
Discrete Fourier Transform (DFT)是一种数学工具，它可以从时间域中获得频率域的信息，也就是说，它可以将一个信号进行分解，把它分解成由不同频率的正弦函数和余弦函数组成的线性组合。
DFT的特点是在时域上对信号进行采样，然后把这些采样点变换到频域，以表征原始信号的时频特性。
DFT的基本原理是，将一个连续信号通过采样，即把它分解成离散的采样点，用N个正弦曲线来拟合这N个采样点，使得拟合的正弦曲线能够近似地拟合数据。
这N个正弦曲线的频率称之为DFT的基频，它们的振幅分别代表了所测量的信号每个基频的能量，从而可以用来表征原始信号的时频特性。
DFT的计算过程可以用矩阵表示，称之为傅立叶变换矩阵。
傅立叶变换矩阵是一个NxN的矩阵，其中N为采样
点的数目，每个矩阵元素都是一个复数，用来表示信号在相应频率上的能量。
DFT的原理是通过分解信号，将其分解成由不同频率的正弦函数和余弦函数组成的线性组合，以及用傅立叶变换矩阵表示的信号在相应频率上的能量，来表征原始信号的时频特性。
它的应用非常广泛，可以用于满足各种信号处理、图像处理和语音处理的需要。
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x(m)
h(m)
m
m
0123
0123
h((-m))6R6(n)
m
012345
h((1-m))6R6(n)
h((2-m))6R6 (n)
m
012345
x(n) 6 h(n)
h((3-m))6R6 (n)
m
012345
77 6
5
h((4-m))6R6 (n)
m
012345
m
012345
3 2
n
012345
2677521
h(3-m) h(4-m) h(5-m) h(6-m)
-3 –2 -1 0 1 2 3
m
-3 –2 -1 0 1 2 3
m
-3 –2 -1 0 1 2 3 4 m
-3 –2 -1 0 1 2 3 4 5 m
m
77 6
5
2
2
1
n
01234567
例4. x(n)
n
0123
(1)换元 x(m)
3.3 离散傅里叶变换的性质
通过以上分析，可知： 若有限长序列x(n)和h(n)，长度分别为N和M，
(1)当L=N+M-1时，圆周卷积等于线性卷积; (2)当L<N+M-1时，圆周卷积不能代表线性
卷积，此时产生混叠现象； (3)当L>N+M-1时，圆周卷积能代表线性卷积. 结论：L≥N+M-1时，圆周卷积能代表线性卷积。
0123
(2)周期延拓、反转
h(n) n
0123
h(m)
m
m
0123
计算4点圆周卷积
h((-m))4R4(n)
(3)计算圆周卷积
h((1-m))4R4 (n)
0123
m
0123
m
x(n) 4 h(n)
88 77
h((2-m))4R4 (n) h((3-m))4R4 (n)
0123
m
0123
m
0123 n
4.圆周卷积定理的应用 (1)利用DFT计算圆周卷积
y(n) x(n) h(n)
IDFT
DFT
DFT
Y(k) X (k) •H(k)
(2)圆周卷积代替线性卷积
yl (n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
N 1
yc (n) x(n) h(n) x(m)h((n m))N RN (n) m0
3.3 离散傅里叶变换的性质
2.圆周移位（循环移位）
(1)圆周移位序列定义
y(n) x((n m))N RN (n)
(2)时域圆周移位定理
例1.
已知x(n) {1, 2,3, 4,5}, 求y(n) x((n 2))5 R5(n)。
若y(n) x((n m))N RN (n)
则Y (k) DFT[ y(n)] WNkm X (k) 例2. 已知x(n) {5,3, 2, 4,1, 2, 1},Y (k) W74k X (k).
解：(1)将x(n)按L 7分成6段
x0 (n) {0, 0, 0,1,3,5, 7} x1(n) {3,5, 7,9,11,13,15} x2 (n) {11,13,15,17,19, 21, 23} x3(n) {19, 21, 23, 25, 27, 29,31} x4 (n) {27, 29,31,33,35,37, 0} x5 (n) {35,37, 0, 0, 0, 0, 0}
3.3 离散傅里叶变换的性质
DFT与DTFT的主要区别:
(1)DTFT
变换区间： n 对称性：原点为对称中心 序列移位范围：不会移出变换区间
(2)DFT
变换区间：0 n N 1 对称性：N 为对称中心
2 序列移位范围：会移出变换区间
3.3 离散傅里叶变换的性质
1.线性
若 则
x(n) ax1(n) bx2(n) X (k) aX1(k) bX2(k)
3.4 利用DFT计算线性卷积
(2)将各段与h(n)进行L=7的圆周卷积，得
y0 (n) {43,34, 28,1, 6,16,32} y1(n) {118,96,88,52, 72,92,112} y2 (n) {198，176，168，132，152，172，192} y3(n) {278，256，248，212，232，252，272} y4 (n) {241，258，172，292，312，332，313} y5 (n) {35，142，181，214，148，0，0}
y(n)
L点IDFT
h(n) 补N-1个零 hL (n) L点DFT H (k )
(1)将x(n)和h(n)分别补零，成为L N M 1点序列；
(2)对序列xL (n)和hL (n)进行L点DFT,并相乘得Y(k)； (3)对Y (k)进行L点IDFT ,即得y(n)。
3.4 利用DFT计算线性卷积
2.有限长序列和无限长序列的线性卷积
(a)重叠相加法(利用线性卷积)
x(n) 2n 1,0 n 18; h(n) {1, 2,3, 4},按L 7 用重叠相加法计算线性卷积y(n) x(n)*h(n). 解：(1)将x(n)按L 7分成3段 x0 (n) {1,3,5, 7,9,11,13} x1(n) {15,17,19, 21, 23, 25, 27} x2 (n) {29,31,33,35,37}
例3. x(n)
n
0123
h(n) n
0123
计算线性卷积
(1)换元 x(m)
h(m) m
m
0123
0123
h(0-m)
(2)反转
-3 –2 -1 0 1 2 3
h(1-m)
m
(3)计算线性卷积
移位
-3 –2 -1 0 1 2 3
m
h(2-m)
x(n)*h(n)
1211 2211
1211 1211 2422 2422
h((5-m))6R6 (n)
m
012345
88 77
4点
777
4
5
5点
77 6
5
77 6
5
6点 3
7点
2
2
2
1
n
0123
n
01234
n
n
012345
0123456
x(n) 1 2 1 1 h(n) 2 2 1 1
1 211 1 211
2422 2422
267 7521
77 6
5
2
2
1
n
0123456
X (k) X (N k)
x(n) {0,1, 2,3, 3, 2, 1}
X (k) {0, 8.0 j, 4.4 j 3.5 j,3.5 j 4.4 j,8.0 j}
3.4 利用DFT计算线性卷积
1.两个有限长序列的线性卷积
x(n)
补M-1个零 xL (n)
X (k)
L点DFT
Y (k )
y (n) {D, E, F,G, H, I, J , A K, B L,C} c
5．复共轭序列及其DFT对称性
复序列x(n) {1 j, 2 2 j,3 3 j, 4 4 j,5 5 j}
复共轭序列x*(n) {1 j, 2 2 j,3 3 j, 4 4 j,5 5 j} x1(n)
(1)共轭对称序列的定义
x(n) x *((n))N RN (n) x *(N n) x2 (n) {1 j, 2 2 j,3 3 j,3 3 j, 2 2 j}
式中:a，b为任意常数,序列的长度为N。如果 某一序列较短，则需补零至相同长度。
例1 x1(n) {1，2，3}，x2 (n) {1，1，1，1，1}，a 2,b 1 则 x(n) {2, 4,3,0,0}{1,1,1,1,1} {3,5, 4,1,1}
X1(k) DFT{1，2，3,0,0}，X2(k) DFT{1，1，1，1，1} X (k) 2X1(k) X2(k)
分别为0 n 9和7 n 9。x(n)和h(n)的10点圆周
(循环)卷积记为yc (n)，线性卷积记为yl (n)。试确定
在哪些点上有y l
(l)
yc
(n)。
y l
(l)
yc (n),
l 10 n,
n 0,1, 2,3, 4,5, 6
y l
(9)
yc (9)
解：y (l) {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, A, B,C, D, E, F ,G, H , I , J , K , L} l
(2)将各段与h(n)进行线性卷积，得 y0 (n) {1, 6,16,32,52, 72,92,97, 70,52} y1(n) {15, 62,100,172,192, 212, 232, 223,154,108} y2 (n) {29,118,184,312,332,313, 214,148}
(2)共轭反对称序列的定义
x(n) x *((n))N RN (n) x *(N n) x3(n) {1 j, 2 2 j,3 3 j, 3 3 j, 2 2 j}
3.3 离散傅里叶变换的性质 (1)x(n) xep (n) xop (n)的DFT
DFT[xep (n)] Re[X (k)] DFT[xop (n)] j Im[X (k)]
不计算IDFT ,求序列y(n)。
(3)频域圆周移位定理
如果X (k) DFT[x(n)],Y (k) X ((k l))N RN (k)
则 y(n) IDFT[Y (k)] WNnl x(n)Leabharlann 3.3 离散傅里叶变换的性质