动态规划解析

动态规划的典型实例分析例1 背包问题设有n 种物品，每一种物品数量无限。

第i 种物品每件重量为w i 公斤，每件价值c i 元。

现有一只可装载重量为W 公斤的背包，求各种物品应各取多少件放入背包，使背包中物品的价值最高。

这个问题可以用整数规划模型来描述。

设第i 种物品取x i 件（i=1,2,…,n ，xi 为非负整数)，背包中物品的价值为z ，则max z= c 1x 1 +c 2x 2 +… +c n x n s.t. w 1x 1 +w 2x 2 +… +w n x n ≤Wx 1, x 2,…, x n 为非负整数阶段k ：第k 次装载第k 种物品（k=1,2,…,n ）状态变量x k ： 第k 次装载时背包还可以装载的重量； 决策变量d k ：第k 次装载第k 种物品的件数；决策允许集合： D k (x k )={d k |0≤ d k ≤x k /w k ，d k 为整数}； 状态转移方程： x k +1=x k -w k d k 阶段指标： v k =c k d k递推方程： f k (x k )=max{c k d k +f k +1(x k +1)}=max{c k d k +f k +1(x k -w k d k )} 终端条件：f 4(x 4)=0对于一个具体问题： c 1=65，c 2=80，c 3=30 w 1=2，w 2=3，w 3=1 以及W=5用动态规划求解 对于k=3}d 30{max )}x (f d c {max )x (f 3w /x d 04433w /x d 033333333≤≤≤≤=+=列出f 3(x 3)的数值表f 3(x 3)对于k=2)}d 3x (f d 80{max )}x (f d c {max )x (f 22323/x d 03322w /x d 02222222-+=+=≤≤≤≤列出f 2(x 2)的数值表f 2(x 2)对于)}d 2x (f d 65{max )}x (f d c {max )x (f 11212/x d 02211w /x d 01111111-+=+=≤≤≤≤列出f 1(x 1)的数值表f 1(x 1)由题意知，x1=5，由表f1(x1)、f2(x2)、f3(x3)，经回朔可得：d1*=2，x2=x1-2d1=1，d2*=0，x3=x2-3d2=1，d3*=1，x4=x3-d3=0即应取第一种物品2件,第三种物品1件,最高价值为160元,背包没有余量。

由f1(x1)得列表可以看出，如果背包得容量为W=4，W=3，W=2和W=1时，相应的最优解立即可以得到。

例2 石子归并在一个圆形操场的四周摆放着N堆石子(N<= 100),现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选取相邻的两堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分.编一程序,由文件读入堆栈数N及每堆栈的石子数(<=20).(!)选择一种合并石子的方案,使用权得做N－1次合并,得分的总和最小;(2)选择一种合并石子的方案,使用权得做N－1次合并,得分的总和最大;输入数据:第一行为石子堆数N;第二行为每堆的石子数,每两个数之间用一个空格分隔.输出数据:从第一至第N行为得分最小的合并方案.第N+1行是空行.从第N+2行到第2N+1行是得分最大合并方案.每种合并方案用N行表示,其中第i行(1<=i<=N)表示第i次合并前各堆的石子数(依顺时针次序输出,哪一堆先输出均可).要求将待合并的两堆石子数以相应的负数表示.输入输出范例:输入:44 5 9 4输出:-4 5 9 -4-8 -5 9-13 -9224 -5 -9 44 -14 -4-4 -1822算法分析可能的贪心法：从最上面的一堆开始，沿顺时针方向排成一个序列。

第一次选得分最小（最大）的相邻两堆合并，形成新的一堆；接下来，在N－1堆中选得分最小（最大）的相邻两堆合并……，依次类推，直至所有石子经N－1次合并后形成一堆。

例如有６堆石子，每堆石子数（从最上面一堆数起，顺时针数）依次为３４６５４２要求选择一种合并石子的方案，使得做５次合并，得分的总和最小。

按照贪心法，合并的过程如下：每次合并得分第一次合并３４６５４２５第二次合并５４６５４９第三次合并９６５４９第四次合并９６９15第五次合并 15 ９24总得分＝５＋９＋９＋１５＋２４＝６２但是当我们仔细琢磨后，可得出另一个合并石子的方案：每次合并得分第一次合并３４６５４２７第二次合并７６５４２13第三次合并 13 ５４２６第四次合并 13 ５６11第五次合并 13 11 24总得分＝７＋６＋１１＋１３＋２４＝６１显然，后者比贪心法得出的合并方案更优。

动态规划算法１．最佳合并过程符合最佳原理使用贪心法至所以可能出错，是因为每一次选择得分最小（最大）的相邻两堆合并，不一定保证余下的合并过程能导致最优解。

我们可以想到一种理想的假设：如果N－1次合并的全局最优解包含了每一次合并的子问题的最优解，那么经这样的N－1次合并后的得分总和必然是最优的。

例如上例中第五次合并石子数分别为１３和１１的相邻两堆。

这两堆石头分别由最初的第１，２，３堆（石头数分别为３，４，６）和第４，５，６堆（石头数分别为５，４，２）经４次合并后形成的。

于是问题又归结为如何使得这两个子序列的N－2 次合并的得分总和最优。

为了实现这一目标，我们将第１个序列又一分为二：第１、２堆构成子序列１，第３堆为子序列２。

第一次合并子序列１中的两堆，得分７；第二次再将之与子序列２的一堆合并，得分１３。

显然对于第１个子序列来说，这样的合并方案是最优的。

同样，我们将第２个子序列也一分为二；第４堆为子序列１，第５，６堆构成子序列２。

第三次合并子序列２中的２堆，得分６；第四次再将之与子序列１中的一堆合并，得分１３。

显然对于第二个子序列来说，这样的合并方案也是最优的。

由此得出一个结论──６堆石子经过这样的５次合并后，得分的总和最小。

我们把每一次合并划分为阶段，当前阶段中计算出的得分和作为状态，如何在前一次合并的基础上定义一个能使目前得分总和最大的合并方案作为一次决策。

很显然，某阶段的状态给定后，则以后各阶段的决策不受这阶段以前各段状态的影响。

这种无后效性的性质符最佳原理，因此可以用动态规划的算法求解。

２．动态规划的方向和初值的设定采用动态规划求解的关键是确定所有石子堆子序列的最佳合并方案。

这些石子堆子序列包括：｛第１堆、第２堆｝、｛第２堆、第３堆｝、……、｛第N堆、第１堆｝；｛第１堆、第２堆、第３堆｝、｛第２堆、第３堆、第４堆｝、……、｛第N堆、第１堆、第２堆｝；｛第１堆、……、第N堆｝｛第１堆、……、第N堆、第１堆｝……｛第N堆、第１堆、……、第N－１堆｝为了便于运算，我们用〔i，j〕表示一个从第i堆数起，顺时针数j堆时的子序列｛第i堆、第i＋１堆、……、第（i＋j－1）mod n堆｝它的最佳合并方案包括两个信息：①在该子序列的各堆石子合并成一堆的过程中，各次合并得分的总和；②形成最佳得分和的子序列１和子序列２。

由于两个子序列是相邻的，因此只需记住子序列１的堆数；设f〔i，j〕──将子序列〔i，j〕中的j堆石子合并成一堆的最佳得分和；c〔i，j〕──将〔i，j〕一分为二，其中子序列１的堆数；（１≤i≤N，１≤j≤N）显然，对每一堆石子来说，它的f〔i，１〕＝０ c〔i，１〕＝０（１≤i≤N）对于子序列〔i，j〕来说，若求最小得分总和，f〔i，j〕的初始值为∞；若求最大得分总和，f〔i，j〕的初始值为０。

（１≤i≤N，２≤j≤N）。

规划的方向是顺推。

先考虑含二堆石子的N个子序列（各子序列分别从第１堆、第２堆、……、第N堆数起，顺时针数２堆）的合并方案f〔１，２〕，f〔２，２〕，……，f〔N，２〕c〔１，２〕，c〔２，２〕，……，c〔N，２〕然后考虑含三堆石子的Ｎ个子序列（各子序列分别从第１堆、第２堆、……、第Ｎ堆数起，顺时针数３堆）的合并方案f〔１，３〕，f〔２，３〕，……，f〔N，３〕c〔１，３〕，c〔２，３〕，……，c〔N，３〕依次类推，直至考虑了含N堆石子的N个子序列（各子序列分别从第１堆、第２堆、……、第N堆数起，顺时针数N堆）的合并方案f〔１，N〕，f〔２，N〕，……，f〔N，N〕c〔１，N〕，c〔２，N〕，……，c〔N，N〕最后，在子序列〔１，N〕，〔２，N〕，……，〔N，N〕中，选择得分总和（f值）最小（或最大）的一个子序列〔i，N〕（１≤i≤N），由此出发倒推合并过程。

３．动态规划方程和倒推合并过程对子序列〔i，j〕最后一次合并，其得分为第i堆数起，顺时针数j堆的石子总数t。

被合并的两堆石子是由子序列〔i，k〕和〔（i＋k－１）modn＋１，j－k〕（１≤k≤j－１）经有限次合并形成的。

为了求出最佳合并方案中的k值，我们定义一个动态规划方程：当求最大得分总和时f〔i，j〕＝max｛f〔i，k〕＋f〔x，j-k〕＋t｝１≤k≤j－１c〔i，j〕＝k│ f〔i，j〕＝f〔i，k〕＋f〔x，j-k〕＋t（２≤ｊ≤ｎ，１≤ｉ≤ｎ）当求最小得分总和时f〔i，j〕＝min｛f〔i，k〕＋f〔x，j－k〕＋t｝１≤k≤j－１c〔i，j〕＝k│ f〔i，j〕＝f〔i，k〕＋f〔x，j-k〕＋t（２≤ｊ≤ｎ，１≤ｉ≤ｎ）其中x＝（i＋k－１）modn＋１，即第i堆数起，顺时针数k＋１堆的堆序号。

例如对3 4 6 5 4 2中的６堆石子，按动态规划方程顺推最小得分和。

依次得出含二堆石子的６个子序列的合并方案f〔１，２〕＝７ f〔２，２〕＝１０ f〔３，２〕＝１１c〔１，２〕＝１ c〔２，２〕＝１ c〔３，２〕＝１f〔４，２〕＝９ f〔５，２〕＝６ f〔６，２〕＝５c〔４，２〕＝１ c〔５，２〕＝１ c〔６，２〕＝１含三堆石子的６个子序列的合并方案f〔１，３〕＝２０ f〔２，３〕＝２５ f〔３，３〕＝２４c〔１，３〕＝２ c〔２，３〕＝２ c〔３，３〕＝１f〔４，３〕＝１７ f〔５，３〕＝１４ f〔６，３〕＝１４c〔４，３〕＝１ c〔５，３〕＝１ c〔６，３〕＝２含四堆石子的６个子序列的合并方案f〔１，４〕＝３６ f〔２，４〕＝３８ f〔３，４〕＝３４c〔１，４〕＝２ c〔２，４〕＝２ c〔３，４〕＝１f〔４，４〕＝２８ f〔５，４〕＝２６ f〔６，４〕＝２９c〔４，４〕＝１ c〔５，４〕＝２ c〔６，４〕＝３含五堆石子的６个子序列的合并方案f〔１，５〕＝５１ f〔２，５〕＝４８ f〔３，５〕＝４５c〔１，５〕＝３ c〔２，５〕＝２ c〔３，５〕＝２f〔４，５〕＝４１ f〔５，５〕＝４３ f〔６，５〕＝４５c〔４，５〕＝２ c〔５，５〕＝３ c〔６，５〕＝３含六堆石子的６个子序列的合并方案f〔１，６〕＝６１ f〔２，６〕＝６２ f〔３，６〕＝６１c〔１，６〕＝３ c〔２，６〕＝２ c〔３，６〕＝２f〔４，６〕＝６１ f〔５，６〕＝６１ f〔６，６〕＝６２c〔４，６〕＝３ c〔５，６〕＝４ c〔６，６〕＝３f〔１，６〕是f〔１，６〕，ｆ〔２，６〕，……f〔６，６〕中的最小值，表明最小得分和是由序列〔１，６〕经５次合并得出的。