小专题求椭圆离心率范围的常见题型解析
椭圆离心率取值范围解题策略
椭圆离心率取值范围解题策略离心率是高中“圆锥曲线”的一个重要几何性质，是三种圆锥曲线统一定义的桥梁和纽带，是研究圆锥曲线其他性质的基础，它是一个比值椭圆的离心率是刻画椭圆“扁圆”程度的基本量之一.在我们的教材中直接给出了离心率的定义，并没有明确解释为什么把这个比值作为椭圆的离心率.如果教师在教学中只是告诉学生这是“人为规定”，学生没有经历概念的产生和发展过程，就很难理解概念的本质，因此在运用概念解题时无从下手.本节课就是希望通过数学文化背景深入认识椭圆的离心率，从而更好地解决和椭圆离心率有关的问题.一、离心率定义的内涵在教材中焦距与长轴长的比值定义为椭圆的离心率.在教学中，许多学生会有这样的疑问：也可以刻画椭圆的扁圆程度，为什么不用它们定义椭圆的离心率？”其实作为椭圆的离心率更有优势，我们知道椭圆是平面上到两个定点F1，F2距离的和为常数2a的动点的轨迹(其中|F1F2|=2c，且2a>2c)，此定义中涉及的参数是a和c，为了和椭圆的定义保持一致，所以用表示椭圆的离心率；另外，椭圆的第二定义是“到定点的距离与到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹”，而这个常数恰好是即椭圆的离心率.其实说椭圆的离心率是“人为规定”也未尝不可，因为在天文学中把天体运行轨道的离心率也叫作偏心率，描述的是某一天体椭圆轨道与理想圆形的偏离程度.天文学家发现太阳系中，行星是围绕着以太阳为焦点的椭圆形轨道运行的，所以行星和太阳之间的距离不是恒定的，其中离太阳最近的距离为a-c，离太阳最远的距离为a+c，也就是说偏心率就是衡量行星偏离太阳的程度，所以用表示椭圆的偏心率更符合客观实际.二、椭圆离心率取值范围的几种求法求椭圆离心率的取值范围是高考经常考查的热点问题之一，这类题涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强、方法灵活，解题关键是构造关于a，c或e的不等式，下面用几个实例通过构造不等式求椭圆离心率的取值范围.1.利用椭圆的范围构造不等式例1 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=90°，求椭圆离心率e的取值范围.解：设点P的坐标为(x，y)，点F1的坐标为(-c，0)，点F2的坐标为(c，0)，则有因为∠F1PF2=90°，得则即(x+c)(x-c)+y2=0，整理得x2+y2=c2，将其与椭圆方程联立，消去y，可得由椭圆上点的坐标的范围可知，0≤x2<a2，解得c2≥b2，即所以2.利用二次方程判别式构造不等式以上题为例.解：由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a，所以有+2|PF1|·|PF2|=4a2，又因为∠F1PF2=90°，所以=4c2，由此可得|PF1|·|PF2|=2(a2-c2)，所以|PF1|，|PF2|可以看作二次方程x2-2ax+2(a2-c2)=0的两实根.所以Δ=4a2-8(a2-c2)≥0，整理得所以3.利用焦半径的取值范围构造不等式例2 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上存在一点P，使得线段PF1的中垂线经过焦点F2，则椭圆离心率e的取值范围是______.图1解：如图1，因为线段PF1的中垂线经过焦点F2，所以|PF2|=|F1F2|=2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|=2c.所以|PF2|=2c≥a-c，所以a≤3c，所以即4.利用均值不等式构造不等式例3 设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点M都满足∠F1MF2为锐角，则椭圆离心率的取值范围是( ).解：因为又因为∠F1MF2为锐角，所以又因为-4c2=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|-4c2>0，所以|MF1||MF2|<2a2-2c2，由均值不等式得所以a2<2a2-2c2，解得所以图25.利用椭圆中重要结论构造不等式以上题为例.解：如图2，当M移动到椭圆的短轴的端点B时，∠F1MF2最大.由已知可知，∠F1BF2为锐角，即∠F1BO<45°，在Rt△F1BO中，所以6.利用题设中的已知条件构造不等式例4 已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：5x-12y=0交椭圆于A，B两点，若|AF|+|BF|=6，点M到直线l的距离不小于则该椭圆E的离心率的取值范围是( ).图3解：如图3所示，设F1为椭圆的左焦点，连接AF1，BF1，则四边形AFBF1为平行四边形，所以6=|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a，所以a=3.取M(0，b)，因为点M到直线l的距离不小于所以解得b≥1，所以又因为0<e<1，所以椭圆E的离心率的取值范围是故选A.在新一轮课改的实施过程中，作为数学教师，需要在平时的教学中，适时地引导学生探究出问题的本源，只有这样深入才能使学生更容易掌握解决问题的方法.而椭圆离心率取值范围的解法灵活多样，综合性强，需要我们认真分析题意，探究问题本源，才能找到最佳突破口，从而准确、快速地解决问题.参考文献：[1]王侠.椭圆离心率的深入认知及基本求法[J].中小学数学，2013(4).[2]黄贻淦.如何建立不等式求离心率的范围[J].数理化解题研究，2012(2).[3]林风，林善柱.数学概念教学要重视其生成过程——“椭圆离心率及其应用”的教学思考[J].中学数学教学参考(上)，2017(12).*基金项目：本文系2018年度甘肃省教育科学“十三五”规划重点课题“基于核心素养下的数学史融入高中数学教学的实践”(课题编号：GS[2018]GHB3863)的阶段性成果之一.。
椭圆离心率题型归类高二数学选择性必修第一册)(解析版)
专题9椭圆离心率题型归类目录【题型一】离心率基础.....................................................................................................................1【题型二】利用椭圆第一定义求离心率.........................................................................................3【题型三】焦点三角形与余弦定理.................................................................................................5【题型四】顶角直角三角形型.........................................................................................................7【题型五】焦半径与第二定义.......................................................................................................10【题型六】第三定义与中点弦.......................................................................................................12【题型七】焦点三角形：双底角型...............................................................................................14【题型八】焦点三角形：双余弦定理型.......................................................................................16【题型九】焦点弦与定比分点.......................................................................................................19【题型十】焦点圆...........................................................................................................................22【题型十一】椭圆与圆...................................................................................................................24培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................26培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................31培优第三阶——培优拔尖练.. (35)综述：1.椭圆离心率求解方法主要有：①求出a ，c ，代入公式ce a；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．③特殊情况下的不等方程，甚至可以直接设a=1，分别解出c 或b 的值，c 值就是离心率2.椭圆扁平程度：因为e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆【题型一】离心率基础【典例分析】如果椭圆221(8)89x y kk+=>-+的离心率为12e=，则k=（）A．4B．4或54-C．45-D．4或45-【答案】B【分析】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．【详解】解：因为椭圆221(8)89x y kk+=>-+的离心率为12e=，当89k+>时，椭圆焦点在x轴上，可得：13,2a b c e=∴=∴==，解得4k=，当089k<+<时，椭圆焦点在y轴上，可得：13,32ca b c ea======，解得54k=-．4k∴=或54k=-.故选：B．1.已知椭圆()22105x y mm+=>的离心率5e=，则m的值为______．【答案】253或3【分析】分别对焦点在x轴和y轴讨论，结合离心率求解m即可.【详解】已知椭圆方程为221(05).5x y m mm+=>≠且当焦点在x轴上，即05m<<时，有a b=则c=105=，解得m＝3.当焦点在y轴上，即5m>时，有a b则c==253m=，即m的值为3或253.故答案为：3或2532.方程22134x y m m +=--表示的曲线是椭圆，则离心率的取值范围是____________．【答案】(0,1)；【分析】根据椭圆的标准方程求解．【详解】由题意4030m m ->⎧⎨->⎩且34m m -≠-，解得4m >。
求离心率的范围问题整理分类
求离心率的范围问题求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。
2.利用线段长度的大小建立不等关系。
F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。
4.利用题目不等关系建立不等关系。
5. 利用判别式建立不等关系。
6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。
7.利用基本不等式，建立不等关系。
二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
求椭圆离心率范围的常见题型及解析
求椭圆离心率范围的常见题型及解析解析解题关键：挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式。
一、利用曲线的范围，建立不等关系已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$右顶点为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右顶点为A，点P在椭圆上，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。
小改写：已知F1、F2是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。
三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系已知$\triangle ABC$的顶点B为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。
小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，短轴的一个端点为B，另两个顶点也在椭圆上，$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。
四、利用函数的值域，建立不等关系椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$与直线$x+y-1=0$相交于A、B两点，且OA·OB=（O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为$[5,6]$，求椭圆离心率的范围。
高中数学高考数学离心率题型总结
F 2P F 1xy OF 2PF 1xy OF 2PF 1xyOQF 2PF 1xyO高中数学 高考数学离心率题型总结 求解含直角三角形的椭圆离心率二．典例剖析：例.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ^，求椭圆离心率。
圆离心率。
分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即2OF OP =，得到 2221222222=Þ=Þ=+=e e c c b a 的结论。
的结论。
变 式1.在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 上有一点P （除短轴端点外），若21PF PF ^，求椭圆离心率取值范围。
，求椭圆离心率取值范围。
分析：点P 在椭圆上Þ b OP >；点P 在以O 为圆心，OP 为半径的圆上Þc OF OF OP ===21,所以得到c>b ，进而得到÷÷øöççèæÎÞ>Þ<+=1,2221222222e e c c b a 的结论。
变 式2. 满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 内，求椭圆离心率取值范围。
内，求椭圆离心率取值范围。
分析：满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆内Þ以O 为圆心，OP 为半径的圆都在椭圆内Þb c <，进而得到÷÷øöççèæÎÞ<Þ>+=22,021222222e e c c b a 的结论。
的结论。
变 式3.过椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 右焦点2F 的直线交椭圆于QP 、两点且满足PQPF ^1，若135sin 1=ÐQP F ，求该椭圆离心率。
椭圆的简单几何性质--离心率专题
P的坐标为_____时 PF1 的距离最小为____。
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法
例1.已知椭圆方程为 x2 + y2 =1，
求椭圆的离心率； 16
8
y
P
a
F1(-c,0) o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e
2.几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
• 若椭圆 x2 + y2
a2
c -—准线
相互关系： c2 a2 b2
e c a
焦点总在长轴上!
2.基本点：顶点、焦点、中心
3.基本线: 对称轴（共两条线），准线
椭圆的简单几何性质3
直线与椭圆的位置关系
种类:
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40
42 52
41
尝试遇到困难怎么办?
l
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
1.知识点：求离心率的两种常规方法：
（1）定义法:求a,c或a、c的关系；
（2）方程法:根据题上的相等关系，构造关 于a,c的齐次式，解出e.
2.思想方法：
方程的思想，转化的思想
练习2、（1）x2 a2
y2 b2
1(a
b
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
专题十：求椭圆的离心率
专题十：椭圆的离心率题型一：（求椭圆的离心率的值）1、椭圆1422=+y x 的离心率为 ．2、椭圆短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，则该椭圆的离心率为 ．3、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(,0),(0,)c b 的 直线的距离为12c ，则椭圆E 的离心率为 ． 4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是B A ,，左、右焦点分别是21,F F ， 若B F F F AF 1211,,成等比数列，则椭圆C 的离心率为 ．5、已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， △21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的的离心率为 ．6、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率是 ．7、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过原点的直线l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点，连接,AF BF ．若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则椭圆C 的离心率为 ． 8上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭 圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)， 则该椭圆的离心率是 ．9、如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点D A ,为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆Q O F 2F 1P y x 上，则该椭圆的离心率为 ．10、如图，已知21,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上， 线段2PF 与圆222b y x =+相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率 为 ．（第9题图） （第10题图） （第11题图）11、如图，在直角△ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过,A B 两点，它的一个焦 点为C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为 ． 12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个 顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰 为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．（第12题图）B CF EA D x y A 1B 2 A 2 O M F TB 113、如图，已知c AB 2=(常数0>c )，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且 CD AB //，若椭圆以B A ,为焦点，且过D C ,两点，则当梯形ABCD 的周长最大时， 椭圆的离心率为 ．（第13题图）题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，短轴的一个端点为P ， 若12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．2、已知焦点在x 轴上的椭圆222:1(0)4x y E b b +=>，短轴的一个端点为M ，点M 到直 线:340l x y -=的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围为 ． 3、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，若 椭圆C 上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线经过点F ，则椭圆C 的离心率的取值范 围为 ．4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．5、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为 A ，点P 是椭圆C 上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q ．若四边形PQFA 为平行四 边形，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．6、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>和圆222x y b+=，若C上存在点P，过点P引圆O的两条切线，切点分别为,A B，满足60APB∠=，则椭圆C的离心率的取值范围为．7、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得12PFePF=，则椭圆C的离心率的取值范围为．8、已知椭圆22:11x yCm m+=+的两个焦点分别是12,F F，若椭圆C上存在点P，使得121PF PF⋅=，则椭圆C的离心率的取值范围为．9、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>右顶为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP 垂直于PA，则椭圆C的离心率的取值范围为．10、如图，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P是椭圆C上一点，点M在1PF上，且满足12F M MP=，2PO F M⊥，O为坐标原点，则椭圆C的离心率的取值范围为．（第10题图）专题十：椭圆的离心率参考答案题型一：（求椭圆的离心率的值）1、2；2、33、2；4、5；5、34；6、2；7、57；8、2；91；10、3；1112、5；131． 题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、(2；2、；3、1[,1)2；4、1[,1)3；5、1,1)；6、；7、1,1)；8、；9、；10、1(,1)2．。
专题讲座：椭圆离心率的常规求法(文)
a,c的齐次式，解出e. 2.思想方法：
方程的思想，转化的思想
六.课后练习
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长 成等差数列，求该椭圆的离心率.
2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆 长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角 三角形，求椭圆的离心率.
专题讲座
椭圆离心率的常规求法
刘帅帅
一.复习巩固
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法 例1.已知椭圆方程为 x2 + y2 =1，求椭圆的离心率；
16 8
y
P
a
F1(-c,0)o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e 2. 几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
若椭圆x2 + y2 =1的离心率为1/2，求m的值.
四.高考链接
（ (a>2b0>102)新的课左标、全右国焦卷点），设P为F1直和线F2是x=椭3圆a ax上22 +一by点22 =，1
2
△ F2 P F1是底角为30°的等腰三角形， 求该椭圆
的离心率。
y P
30°
2c
F1 (-c,0)o2c
F2
(c,0)
c
x
2c=3a/2
x=3a/2
五.小结
3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一 点 ，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的 离心率。
变式训练2：
椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
【圆锥曲线】02椭圆离心率与几何性质(含经典题型+答案)
椭圆的离心率与几何性质角，则该椭圆的离心率为 .2.若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形,则椭圆的离心率为（ ）1123. . . .4222A B C D 3.在一椭圆中以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于（ ）.秒杀秘籍：椭圆离心率的计算定义：如图所示，P 为椭圆的上顶点，令122,PF F OPF αθ∠=∠=，离心率就是sin cos ce aθα=== 例1：已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点,那么这个椭圆的方程为____________________,离心率为_______. 解：()()220;2,00,1x y -+=∴-直线过点；,故过椭圆的上顶点和左焦点，根据图形可得2,1,5c b a ===；故椭圆方程为2215x y +=，255c e a ==椭圆顶点三角形与离心率：如右图，2tan 1be aα==-， 例2：椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的四个顶点为A 、B 、C 、D ,若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( ) A.253- B.853+ C. 215- D.815+解：根据图形可得22222tan b c c b ac a c ac a ba c α===⇒=⇒-=-； 即22251110,2c c e e e a a --=⇒+-==（黄金椭圆2b ac =）半通径的焦点三角形与离心率：如右图，过椭圆右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ，则22b PF a =，12,F PF α∠=222222221cos 12bab a ac e a c ea α--===++- 例3：设椭圆的两个焦点分别为1F ,2F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△12F PF 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为__________ .解：根据图形可得()22222212cos 21122e e e e α--==⇒=⇒=-+ 例4：椭圆221123x y +=的两个焦点为F 1，F 2, 点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的 倍。
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2 c∴有③。
题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率解：∵｜PF1｜= b2 a｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。
求椭圆离心率的题型
椭圆离心率的题型椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求解椭圆的离心率的三种方法：1.定义法：求出a ，c ，代入公式c e a=，根据离心率的定义求解离心率； 2.齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； 3.特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.一、定义法，求出a ，c ，代入公式c e a=，根据离心率的定义求解离心率e 1．已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C ．2 D ．3二、齐次式法，由已知条件得出关于,a c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解 （1）通过等量关系列式得出关于,a c 的齐次方程1．若一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则该椭圆的离心率e =（ ）A B C ．35 D 2．椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1()0F c -，到过顶点(0)A a -，，(0)B b ，的直线的，则该椭圆的离心率e =（ ）A B ．12 C ．2 D 3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上一点P 满足2PF x ⊥轴，且1PF 与圆2224c x y +=相切，则该椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．12C D4．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线22(0)y bx b =>的焦点分成5:3的两段，则此椭圆的离心率为（ ）A ．1617BC ．45D 5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若0MN NF ⋅=，则椭圆的离心率为（ ）A ．2 B ．12 C ．12 D ．12（2）通过特殊三角形的边关系列式得出关于,a c 的二元齐次方程 1．设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12F F P 、，是C 上的点2121230PF F F PF F ⊥∠=︒，，则C 的离心率为（ ）A B ．13 C ．12 D ．32．若1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A 1BC 1D ．23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）A ．12 B ．2 C ．14 D4．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF △为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是e =（ ）A B 1 C 1 D -5．设1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M .若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D 6．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，点P 在椭圆C 上，且213PF PF =，若线段1PF 的中点恰在y 轴上，则椭圆的离心率为（ ）A B C ．2 D ．127．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左.右焦点为1 F ，2 F ，过2 F 垂直于 x 轴的直线交C 于 A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．13D 8．在Rt ABC 中，AB AC =，如果一个椭圆通过A 、B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =（ ）A B 1 C 1 D -9．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，212PF F F ⊥，直线1PF 与y 轴交于点Q ，若||4b OQ =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．12D ．2310．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线13x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 11．设1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．13 D ．1612．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，左､右两焦点分别为1F ､2F ，若12AF F △为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12BC ．13D 13．已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段1F A 为直径的圆交线段1F B 的延长线于点P ，若2//F B AP ，则该椭圆的离心率是（ ）A ．3B ．3C ．2D ．2 14．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点M 在椭圆上，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点，与y 轴相交于P ，Q ，若MPQ 为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．13C ．2D ．315．已知P 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点，1F ，2F 分别是C 的左，右焦点，O 是坐标原点，若212OP OF OF +=且1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D（3）求出某个在椭圆上的点的坐标，再把坐标代入标准方程，得出关于,a c 的齐次方程1．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线:l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．34 C ．12 D ．142．椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，过椭圆上的点M 作向量MN 使得12MN F F =，且12 F F N 为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．12C ．2D ．123．已知12,F F 是椭圆与22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，且满足112||2||,||||AF BF AB BF ==，则该椭圆的离心率是（ ）A ．12B ．3C D4．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ．若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于（ ）A 1B ．2CD ．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若114PF FQ =，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C ．5 D ．76．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ）A ．22143x y += B ．22186x y + C ．22142x y += D ．22184x y += 7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为（ ）A B C D（4）点差法 1．已知P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，且34PA PB k k ⋅=-，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．2（5）涉及到最值1．设椭圆C ：22214x y a +=(2a >)的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y x t =+交椭圆C 于点A ，B ，若1F AB 的周长的最大值为12，则C 的离心率为（ ）A B ．3 C ．3 D ．59 2．已知椭圆C 过点(5,0),(0,)A B b -，左､右焦点分别为1F ､2F ，中心在原点，点M 的坐标为(1,2)，P 为椭圆上一动点，若1PF PM +的最大值为10，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．45。
圆锥曲线高考试题中的离心率及其范围题型归纳
圆锥曲线中离心率及其范围题型归纳题型一求离心率1．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为（）A ．312B 1C ．4(2)D ．3242过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是()A B C D 3过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠= ，则椭圆的离心率为（）A ．2B ．3C ．12D ．134双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（）D．35若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（）（A）3（B）5（C）3（D）56在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以AB ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =．7设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）（C）312+（D）512+8已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF＝2FD，则C 的离心率为________．9设12F F ，分别是双曲线2222x y a b -的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠= 且123AF AF =，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．2C ．2D 10.椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45o的直线与椭圆交于A 、B 两点且F 分向量BA 的比为2/3，椭圆的离心率e 为:。
离心率的求法(解析版)
第一篇圆锥曲线专题05离心率的求法一、求离心率值的问题求离心率的值需要构造一个含有,,a b c 或数字的等式，而等式关系如何构造，只能依照题目中给出的条件结合几何形状见招拆招，没套路可言。
1、基本方法：从定义出发，特别注意第一定义中的焦点三角形问题，以椭圆为例，在焦点三角形中三条边中蕴含了,a c 的关系，因此如果能找出三条边的关系也就可以求出离心率的值。
例1：如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=和双曲线2C 的公共焦点，若四边形12AF BF 为矩形，则双曲线的离心率为____________.【解析】关于共焦点的问题，c 相等，在椭圆里面1224AF AF a +==在12RT AF F ∆中满足2221212+=AF AF F F ，解得12AF AF则在双曲线中a c ==62e =例2：设椭圆的两个焦点分别是12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_________.2、几何法，几何方法不是方法，而是分析几何图形的能力，根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如题目中给出的等腰，中垂线，垂直等条件都可能是破解题目的入手点。
例3：已知,A B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形且顶角为120︒，则E 的离心率为_________.上图中A,B 两点不是焦点，2AB a =,且条件中没有b 和c 的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含,a b 的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点M 的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。
【解析】从M 点作x 轴的垂线，垂足为C ，因为2,60BM a MBC ︒=∠=所以,BC a MC ==，所以点M 的坐标为(2)a 代入到双曲线中得2222(2)(3)1a a b -=整理得e =例4：设12,F F 分别是椭圆2222:1x y E a b+=的左右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A,B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率。
椭圆题型归纳之直线与椭圆离心率
椭圆题型归纳之直线与椭圆离心率
椭圆和直线的关系是数学中的一个重要问题。
本文将对直线与椭圆离心率的关系进行归纳总结。
总结如下：
1. 直线与椭圆离心率的定义：
- 直线是由两个不同点确定的轨迹，可以看作是两个焦点的连线。
- 椭圆是平面上到两个固定点距离之和等于常数的点的轨迹，其中两个固定点称为焦点，连线的长度称为焦距，焦距与椭圆长轴的比例称为离心率。
2. 直线与椭圆的关系：
- 若直线过椭圆的中心，则直线与椭圆的离心率相等。
- 若直线与椭圆的中心相交，并且与椭圆的长轴垂直，则直线与椭圆的离心率为1。
- 若直线与椭圆的中心相交，并且与椭圆的长轴平行，则直线与椭圆的离心率为0。
3. 一般情况下的直线与椭圆离心率：
- 若直线与椭圆的中心不相交，则直线与椭圆的离心率大于1。
- 若直线与椭圆的中心相交，且直线与椭圆的长轴倾斜角度小
于90度，则直线与椭圆的离心率介于0和1之间。
以上是椭圆题型中直线与椭圆离心率的主要归纳内容，希望对
您的学习有所帮助。
(完整版)专题：椭圆的离心率解法大全,推荐文档
专题：椭圆的离心率一，利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 221⎪⎭⎫⎝⎛-=a b e ）1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e322，椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则=m [解析]当焦点在x 轴上时，32124=⇒=-m m ； 当焦点在y 轴上时，316214=⇒=-m mm ， 综上316=m 或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是534，已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为 [解析]由⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=02222mn n m n nm n ⎩⎨⎧==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 5，已知)0.0(121>>=+n m nm 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为236，设椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是21。
二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1，在∆Rt ABC 中，ο90=∠A ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 ()36-=e2， 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且ο901=∠BDB ,则椭圆的离心率为( ) [解析]=⇒=-⇒-=-⋅e ac c a cba b 221)(215-3，以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是13-变式（1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13-4,椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= ca= 3-1变式（1）：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1变式（2） 椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF 1｜= b 2 a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2∴a 2=5c 2 e=55变式(3):将上题中的条件“PF 2 ∥AB ”变换为“PO ∥AB (O 为坐标原点)”相似题：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2+b 2a 2+b 2+a 2 =(a+c)2 =a 2+2ac+c 2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2 e 2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52(舍去)变式(1):椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 52, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
高中数学破题致胜微方法(椭圆的进阶性质)：构造不等式求椭圆的离心率范围含答案
今天我们研究构造齐次方程求椭圆的离心率范围.离心率是描述椭圆“扁平程度”的一个重要数据,它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起.求椭圆的离心率范围首先从定义出发，利用椭圆上点坐标的范围和焦三角形的三边大小关系，结合参数方程中三角函数有界性和均值不等式，有时也常常转化为一元二次方程利用判别式或者完全平方数（式)，具体问题具体对待，贵在转化。
根据题设条件，借助a,b,c 之间的关系，找到a ，c 的不等式,得到关于e 的不等式，从而解得离心率e 的范围.先看例题：例：已知12F F 、是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,1260F PF ∠︒＝求椭圆离心率的范围.解：设椭圆的焦距为2c ，由椭圆的定义知aPF PF 221=+.在21PF F ∆中，由余弦定理得 =221F F 21212221cos 2PF F PF PF PF PF ∠-+ =212221-PF PF PF PF +=（212213)PF PF PF PF -+ 所以22212122323344a PF PF PF PF c a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤=- 所以21,422≥≤a c c a 得.又10<<e ，故e 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21归纳整理：离心率-—刻画椭圆的扁平程度.把椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率.先借助a 、b 、c 之间的关系，找到a 、c 的不等式,再得到关于e 的不等式,解得离心率e 的范围。
再看一个例题，加深印象 例：已知椭圆22221x y a b +=（a 〉b >0）的左、右焦点分别为F 1（－c ，0)，F 2(c ，0）.若椭圆上存在点P 使1221sin sin a c PF F PF F =∠∠,则该椭圆的离心率的取值范围为________. 解:依题意及正弦定理得212121||sin ||sin PF PF F a PF PF F c ∠==∠（注意到P 不与F 1F 2共线),22||2||PF a a PF c =-,则有221||a c PF a -=,又因为2||a c PF a c -<<+，则2221||a c a PF a a c =+>+, 所以整理为：211e e +>+，（e +1)2>2，又因为椭圆离心率范围在0〈e 〈1，11e <<。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小专题求椭圆离心率范围的常见题型解析
解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e 的不等式.
一、利用曲线的范围，建立不等关系
例1已知椭圆22
22
1(0)x y a b a b
+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂
直于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围.
例2
已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若椭圆上存在
一点P 使
1221
sin sin a c
PF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为
(
)
21,1-.
二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足
的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心
率的取值范围是（ ）
Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2
Ｃ．(0,
2
Ｄ．2
三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系
例4已知ABC ∆的顶点B 为椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 短轴的一个端点，另两个顶点也在
椭圆上，若ABC ∆的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围.
四、利用函数的值域，建立不等关系
例5椭圆122
22
=
+
b
y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=⋅OB OA （O
为原点），若椭圆长轴长的取值范围为
[]6,5，求椭圆离心率的范围.
五、利用均值不等式，建立不等关系.
例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的范围；
解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a.
在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mncos 60°＝(m ＋n)2－3mn
＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·
⎝⎛⎭
⎫m ＋n 22
＝4a 2－3a 2＝a 2
(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥1
2
.
又0<e<1，∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫
12，1.
例7 已知1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使
︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围.
解析1：令
n PF m pF ==21,，则a n m 2=+ 由21PF PF ⊥
2
2
2
4c n m
=+∴ ()2
2
2
2
2
22
4a n m n
m c =+≥
+=∴ 即21
222
≥=a
c e
又12
2
10<≤∴
<<e e 六、利用焦点三角形面积最大位置，建立不等关系
解析2：不妨设短轴一端点为B 则2245tan 2
1
b b S PF
F =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯=∆22
1
21
b ⇒≤
c 2
b ⇒≤2
c 2
2
c a -⇒≤2c 222
a
c e =⇒≥21
故
2
2
≤e ＜1 七、利用实数性质，建立不等关系
解析3：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得
1-=-⋅+c
x y c x y ，即222x c y -=，代入12
222=+b
y a x 得()22222
c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥ 即222
c a c
-≥，2
2
≥=
∴a c e 又1<e 122<≤∴e 八、利用曲线之间位置关系，建立不等关系
解析4：21PF PF ⊥ 为直径的圆上点在以21F F P ∴ 又P 在椭圆上，
2
2
2
c y x P =+∴为圆 与 122
22=+b
y a x 的公共点.由图可知
222a c b a c b <≤⇒<≤ ∴2
222a c c a <≤-12
2
<≤∴
e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长.
九、利用21PF F ∠最大位置，建立不等关系
解析4：椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大
无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <0
90
2
245sin sin 001=<∠=<
∴OPF a c 又10<<e 所以若存在一点P 则 12
2
<≤e .。