第七章向量教案
高中数学必修七平面向量初步教学案例
高中数学必修七平面向量初步教学案例高中数学必修七中的平面向量部分是高中数学的重要内容之一，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。
以下是一个平面向量初步教学案例，供您参考。
一、教学目标1. 理解向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 掌握向量的加法、减法、数乘等运算规则，理解向量的平行和共线关系。
3. 了解向量的应用，能够解决一些简单的实际问题。
二、教学内容1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示。
2. 向量的表示方法：用有向线段表示向量，线段的长度表示向量的模，线段的方向表示向量的方向。
3. 向量的加法、减法和数乘：两个向量相加或相减，结果仍是一个向量；一个数与一个向量相乘，结果仍是一个向量。
4. 向量的平行和共线：两个向量平行或共线，它们的方向相同或相反。
5. 向量的应用：向量在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
三、教学方法1. 讲授法：通过讲解向量的概念、表示方法、运算规则等基本知识，帮助学生建立对向量的初步认识。
2. 演示法：通过演示向量的加法、减法和数乘等运算过程，帮助学生理解向量的运算规则。
3. 练习法：通过大量的练习题，让学生熟练掌握向量的运算规则和应用。
4. 讨论法：通过小组讨论或全班讨论，让学生互相交流学习心得和解题思路，提高学习效果。
四、教学步骤1. 导入新课：通过一些实例，引出向量的概念和表示方法。
2. 讲解概念：详细讲解向量的概念、表示方法、运算规则等基本知识。
3. 演示运算：通过演示向量的加法、减法和数乘等运算过程，帮助学生理解向量的运算规则。
4. 练习巩固：通过大量的练习题，让学生熟练掌握向量的运算规则和应用。
5. 讨论交流：通过小组讨论或全班讨论，让学生互相交流学习心得和解题思路，提高学习效果。
6. 总结回顾：总结本节课的学习内容，回顾重点知识点和解题方法。
7. 布置作业：布置适量的作业题，让学生巩固所学知识并提高解题能力。
高中数学人教版向量教案
高中数学人教版向量教案
课题：向量的概念与性质
教学目标：
1. 理解向量的定义，掌握向量的表示方法；
2. 学会向量的加法、减法和数量乘法；
3. 掌握向量的性质，能够运用向量进行计算和证明。
教学重点：
1. 向量的定义和表示方法；
2. 向量的加法、减法和数量乘法。
教学难点：
1. 向量的性质；
2. 运用向量进行计算和证明。
教学准备：
1. 教学课件；
2. 习题集；
3. 黑板、白板标书；
教学过程：
一、引入：通过提出问题引入向量的概念，让学生思考向量的定义并与几何矢量进行比较。
二、概念讲解：向量的定义和表示方法，并逐步引导学生掌握向量的表示。
三、操作练习：让学生进行向量的加法、减法和数量乘法的操作练习，加深对向量运算的
理解。
四、性质探究：介绍向量的性质，让学生进行思考和分析，并进行相关题目的练习。
五、案例分析：以实际案例为基础，讲解如何运用向量进行计算和证明。
六、课堂讨论：引导学生进行课堂讨论，通过小组合作的形式，讨论和解决向量相关问题。
七、总结归纳：对本节课的内容进行总结归纳，帮助学生掌握向量的相关知识点。
八、作业布置：布置相关习题，巩固学生对向量的理解和应用。
九、课堂反馈：对学生的表现进行评价和反馈，帮助学生及时纠正错误。
教学反思：通过本节课的教学，学生对向量的概念和性质有了更深入的了解，但在操作过程中还存在一定的困难，需要进一步加强练习和训练。
下节课可加大练习的难度，提高学生的应用能力。
高中数学教案学习向量
高中数学教案学习向量一、引言在高中数学教学中，向量是一个重要的概念。
向量不仅在数学领域中具有广泛应用，还在物理、计算机科学等领域中起着重要的作用。
因此，教师在教学中需要掌握一些有效的教案，以帮助学生更好地理解和应用向量的概念。
本文将介绍一种高中数学教案，旨在帮助学生学习向量。
二、教学目标本教案的主要目标是帮助学生掌握以下内容：1. 了解向量的定义和基本性质；2. 掌握向量的表示方法；3. 熟悉向量的运算规则；4. 理解向量的几何意义；5. 学会应用向量解决实际问题。
三、教学内容1. 向量的定义和基本性质向量是有大小和方向的量。
教师可以通过引入平面或空间中的向量概念，让学生了解向量的定义，并介绍向量的基本性质，如零向量、相等向量、相反向量等。
2. 向量的表示方法向量可以用有序数组来表示，也可以用带箭头的字母表示。
教师可以通过示例和练习，让学生熟悉向量的表示方法，并能够正确地读写和书写向量。
3. 向量的运算规则向量具有加法和数乘运算。
教师可以通过具体实例，引导学生了解向量的加法和数乘运算规则，并进行相关练习，以提高学生的计算能力。
4. 向量的几何意义向量可以表示平移和方向。
教师可以通过引入平面或空间中的实际问题，让学生理解向量的几何意义，如向量的平移效果、向量的夹角等。
5. 应用向量解决实际问题向量在实际问题中具有广泛的应用。
教师可以选取一些与学生生活相关的问题，引导学生运用向量解决实际问题，如物体运动的描述、力学问题的分析等。
四、教学方法1. 前导知识激活在引入新知识之前，教师可以通过提问、讨论或讲解相关内容，激活学生的前导知识，为新知识的学习做好铺垫。
2. 概念讲解与示例演示教师可以通过简洁明了的语言，解释向量的定义、基本性质和表示方法，并通过示例演示向量的运算规则和几何意义，以帮助学生理解和掌握相关概念。
3. 练习与巩固教师可以设计一系列的练习题，既包括基础练习，又包括拓展练习，以巩固学生的知识。
向量概念教案
向量概念教案教案标题：向量概念教案教学目标：1. 理解向量的概念和基本特征。
2. 掌握向量的表示方法和运算规则。
3. 能够应用向量概念解决实际问题。
教学重点：1. 向量的定义和表示方法。
2. 向量的加法和减法运算。
3. 向量的数量积和向量积运算。
教学难点：1. 向量的数量积和向量积的概念和运算规则。
2. 能够将向量概念应用于解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学演示工具、教学素材、教学实例。
2. 学生准备：课本、笔记本、计算器。
教学过程：Step 1: 引入向量概念 (10分钟)- 通过引入一个实际问题，如物体的位移、力的合成等，引起学生对向量的兴趣。
- 提问学生对向量的理解和认识，激发学生思考。
Step 2: 向量的定义和表示方法 (15分钟)- 介绍向量的定义：有大小和方向的量。
- 解释向量的表示方法：使用箭头标记，箭头长度表示向量的大小，箭头方向表示向量的方向。
- 通过示例演示向量的表示方法。
Step 3: 向量的加法和减法运算 (20分钟)- 介绍向量的加法和减法运算规则：向量的加法和减法运算可通过将向量的起点和终点相接得到结果向量。
- 通过示例演示向量的加法和减法运算。
Step 4: 向量的数量积和向量积运算 (25分钟)- 介绍向量的数量积和向量积的概念和运算规则。
- 解释数量积的定义和运算规则：数量积等于两个向量的模的乘积与夹角的余弦值的乘积。
- 解释向量积的定义和运算规则：向量积等于两个向量的模的乘积与夹角的正弦值的乘积，并且垂直于这两个向量所在的平面。
- 通过示例演示向量的数量积和向量积运算。
Step 5: 应用向量概念解决实际问题 (20分钟)- 提供一些实际问题，如力的合成、平面几何等，要求学生应用向量概念解决问题。
- 引导学生分析问题、选择适当的向量运算方法，并进行计算和解答。
Step 6: 总结与拓展 (10分钟)- 对本节课所学内容进行总结，并强调向量概念在实际问题中的应用。
向量的概念及表示教案
向量的概念及表示一、教学目标：1. 让学生理解向量的概念，知道向量是有大小和方向的量。
2. 让学生掌握向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。
3. 让学生学会向量的加减法和数乘运算。
二、教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量，可以用来表示物体的位移、速度等。
2. 向量的表示方法：（1）字母表示：用大写字母表示向量，如\( \vec{a} \)，\( \vec{b} \) 等。
（2）坐标表示：用小写字母加上坐标轴上的坐标表示，如\( \vec{a} = (a_x, a_y) \)，\( \vec{b} = (b_x, b_y) \) 等。
3. 向量的加减法：（1）向量加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (\vec{a}_x + \vec{b}_x, \vec{a}_y + \vec{b}_y) \)。
（2）向量减法：\( \vec{a} \vec{b} = (\vec{a}_x \vec{b}_x, \vec{a}_y \vec{b}_y) \)。
4. 向量的数乘：（1）数乘向量：\( k\vec{a} = (ka_x, ka_y) \)，其中\( k \) 是实数。
三、教学重点与难点：1. 重点：向量的概念、表示方法以及向量的加减法和数乘运算。
2. 难点：向量的坐标表示以及向量的加减法和数乘运算的坐标表示。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解向量的概念和表示方法。
2. 采用练习法，让学生通过例题和练习掌握向量的加减法和数乘运算。
3. 采用提问法，检查学生对向量知识的理解和掌握程度。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如物体位移、速度等，引入向量的概念。
2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量有大小和方向。
3. 讲解向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。
4. 讲解向量的加减法，让学生掌握向量加减法的运算规则。
5. 讲解向量的数乘，让学生掌握向量数乘的运算规则。
高中数学向量教案设计
高中数学向量教案设计
教学内容：向量
教学目标：
1. 了解向量的基本概念和表示方法；
2. 掌握向量的加法、减法和数量乘法；
3. 能够应用向量解决几何问题。
教学重点和难点：
1. 向量的加法和减法；
2. 向量的数量乘法；
3. 向量的应用问题。
教学准备：
1. 教材：高中数学教材相关章节；
2. 教具：黑板、彩笔、计算器；
3. 资料：相关练习题目。
教学过程：
第一步：导入（5分钟）
通过一个实际生活中的例子引入向量的概念，激发学生的学习兴趣。
第二步：讲解向量的定义和表示方法（10分钟）
1. 向量的定义；
2. 向量的表示方法；
3. 向量的模长和方向。
第三步：向量的加法和减法（15分钟）
1. 向量的加法和减法规则；
2. 通过几个示例进行讲解；
3. 让学生进行练习。
第四步：向量的数量乘法（10分钟）
1. 向量的数量乘法规则；
2. 通过示例讲解；
3. 让学生进行练习。
第五步：应用题解析（15分钟）
1. 解决几何问题中的向量问题；
2. 通过实例讲解如何应用向量解决几何问题。
第六步：课堂练习（10分钟）
布置一些练习题，让学生在课堂上完成并相互交流。
第七步：总结（5分钟）
对本节课的内容进行总结，并提出下节课的预习任务。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够初步掌握向量的基本概念和运算方法，但需要继续加强练习，提高应用能力和解题能力。
在接下来的教学中，可以增加更多的实例讲解和练习，帮助学
生更好地理解和掌握向量相关知识。
人教版中职数学教案-第七章--平面向量
[精品]人教版中职数学教案-第七章--平面向量[9份教案]7.1.1 位移与向量的表示【教学目标】1. 了解有向线段的概念，理解并掌握向量的有关概念和向量相等的含义．2. 会用有向线段表示向量，并能根据图形判定向量是否平行、相等．3. 通过教学培养学生数形结合的能力．【教学重点】向量的概念．【教学难点】向量的概念．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．从物理背景和几何背景入手，建立起学习向量概念及其表示方法的基础，结合丰富的实例，归纳、概括向量的有关概念，使学生容易理解．同时结合习题让学生加深对相等向量的理解．7.1.2 向量的加法【教学目标】1. 理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义，掌握向量加法的运算律．2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量．【教学难点】对向量加法定义的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．创设问题情境，激发学生的好奇心与求知欲．并在教学过程中始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．7.1.3 向量的减法【教学目标】1. 理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量．2. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法．【教学重点】向量减法的三角形法则．【教学难点】理解向量减法的定义．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．由实例引入，创设问题情境，教师引导学生由向量加法得到向量减法．并在教学过程中始终注重数形结合，对比教学，使问题处于学生思维的最近发展区，较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．7.2 数乘向量【教学目标】1. 通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律．2. 理解并掌握平行向量基本定理．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】数乘向量运算及运算律与平行向量基本定理．【教学难点】对数乘向量定义与平行向量基本定理的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．d7.3.1 向量的分解【教学目标】1. 理解平面向量的基本定理，会用已知的向量来表示未知的向量．2. 启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，让学生学会分析问题和解决问题．3. 通过教学，培养学生数形结合的能力．【教学重点】平面向量的基本定理，用已知的向量来表示未知的向量．【教学难点】理解平面向量的基本定理．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．7.3.2 向量的直角坐标运算【教学目标】1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行．3. 通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行．【教学难点】理解平面向量的坐标表示．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作用，开展自学活动，通过类比、联想，发现问题，解决问题．引导学生分析归纳，形成概念．7.4.1 向量的内积【教学目标】1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．2. 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式【教学目标】1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝| a | | b | cos?a，b?与a·b ＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．7.5 向量的应用【教学目标】1. 能运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．2. 通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题．3. 通过教学，培养探究问题和解决问题的能力．【教学重点】运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．【教学难点】以向量为主题的数学模型的建立．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出以向量为主题的数学模型，使学生更容易理解向量的实质．。
高中数学专题向量教案
高中数学专题向量教案年级：高中教学目标：1. 了解向量的概念和性质2. 掌握向量的加法、减法、数量乘法和数乘法运算法则3. 熟练应用向量进行几何问题的解答4. 提高学生的数学思维能力和解决问题的能力教学内容：1. 向量的概念和表示法2. 向量的加法、减法、数量乘法和数乘法运算法则3. 向量的线性运算和几何应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾平面向量的概念，要求学生简单解释向量的含义和性质二、讲解（20分钟）1. 结合实际例子引入向量的概念和表示法2. 讲解向量的加法、减法、数量乘法和数乘法运算法则3. 给出几个实际问题，引导学生用向量的运算法则进行解答三、练习（20分钟）1. 分发练习题，让学生独立或小组合作完成2. 收集学生答案并进行讲解四、拓展（15分钟）1. 结合几何问题，引导学生应用向量进行解答2. 提供更复杂的问题，引导学生扩展应用向量的思维方式五、总结（5分钟）1. 回顾本节课的重点内容2. 引导学生总结向量的相关知识点教学方法：1. 讲解结合例题，引导学生理解概念2. 练习巩固学习成果，提高应用能力3. 拓展思维，培养解决问题的能力教学工具：1. 教材2. 多媒体投影仪3. 白板和彩色笔4. 练习题和答案教学评估：1. 课堂练习成绩评定2. 向量的几何应用问题解答评定3. 学生对向量的理解和应用能力评价教学反思：1. 结合学生平时学习情况，调整教学内容和难易度2. 收集学生反馈意见，不断改进教学方法和形式（备注：本教案仅供参考，实际教学中应根据学生情况和教学进程进行调整和完善。
）。
高中数学向量课程教案
高中数学向量课程教案
一、教学目标：
1. 理解向量的概念，掌握向量的性质和运算法则
2. 能够进行向量的加减运算和数量乘法运算
3. 能够解决向量的几何问题，掌握向量的应用
二、教学重点和难点：
1. 向量的基本概念和性质
2. 向量的加减法和数量乘法运算
3. 向量在几何问题中的应用
三、教学内容：
1. 向量的定义和表示方法
2. 向量的相等和共线性
3. 向量的加减法和数量乘法
4. 向量的数量积和夹角余弦公式
5. 向量的几何应用
四、教学过程：
1. 导入：通过引入实际生活中的例子，引出向量的概念和意义
2. 概念讲解：详细介绍向量的定义、表示方法和性质
3. 计算训练：进行向量的加减法和数量乘法的计算练习
4. 应用拓展：引导学生解决实际几何问题，运用向量知识进行推理和证明
5. 总结回顾：对本节课的内容进行总结，强化学生对向量知识的理解和掌握
五、教学资源：
1. 教科书、教学课件
2. 向量练习题和解析
3. 实际几何问题解决案例
六、作业布置：
1. 课后完成向量相关练习题目
2. 查阅相关资料，扩展对向量知识的理解
七、课堂评价：
1. 课堂参与度
2. 作业完成情况
3. 知识掌握情况
八、教学反思：
通过学生表现和评价反馈，对本节课的教学效果进行总结和改进。
及时调整教学策略，提升教学质量和效果。
第7章向量代数与空间解析几何
第7章 向量代数与空间解析几何7.1 向量及其线性运算7.1.1 基本要求1. 理解向量的概念.2. 掌握向量的线性运算.3. 理解向量的几何表示.7.1.2 答疑解惑1. 向量与标量在表示方法上有什么区别？解答 在手写体中，向量的上方有箭头，而标量没有；在印刷体中，若用单个字母表示向量，则用粗体字母表示该向量，或者不用粗体但是字母上方加箭头，若用两个字母表示向量，则上方加箭头，而标量不用粗体，也不加箭头. 例如a ，i ，v ，F ，a ，i ，v ，F ，12M M 等都可表示向量.2. 向量的起点都在坐标原点吗？解答 本书讨论的向量都是自由向量，它的起点不是固定的，不一定在坐标原点，可以根据需要移动. 3. 当A , B 为不同点时，AB 与BA 相等吗？ 解答 不相等，因为向量AB 与BA 的大小相等，但方向相反，所以它们不相等. 本书讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等、方向相同的向量叫做相等的向量. 在这里由于AB 与BA 平行移动后，它们的方向总是不同的，所以它们不相等.4. 向量在轴上的投影是不是向量？解答 向量在轴上的投影是一个数量，它可正可负，而不是一个向量.7.1.3 经典例题解析例1 化简13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b . 解 13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b 5(13)112⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭a b 522=--a b . 例2 设向量a 和b 都为非零向量，a 和b 的夹角平分线为l ，求与l 平行的向量.解 设0,a 0b 分别表示向量a , b 的单位向量，则0=a a a ，0=b b b. 因为以0,a 0b 为邻边第7章 向量代数与空间解析几何 2 的平行四边形为菱形，所以这个平行四边形的对角线平分顶角，又00+=+=a b a b a b +b a a ba b ，于是与l 平行的向量为λ+b a a ba b ，其中λ为实数.注 以上求解过程中应用了向量的加法运算和菱形的对角线平分对角的性质. 例3 在平行四边形ABCD 中，设AB = a ，AD = b . 试用a 和b 表示向量MA ，MB ，MC ，MD ，其中M 是平行四边形对角线的交点. 分析 根据平行四边形的对角线互相平分的性质和向量运算的三角形法则进行计算. 解 如图7-1所示，因为平行四边形的对角线互相平分，所以 +=a b 22,AC AM M A ==- 于是MA = 1()2-+a b ，MC MA =-= 1()2+a b . 又因为2BD MD -+==a b ，所以MD = 1()2-b a ，MB MD =-= 1()2-a b . 例4 在四边形ABCD 中，AB = 2+a b ，BC = 4--a b ，CD = 53--a b ，证明四边形ABCD 为梯形．分析 利用向量关系证明四边形ABCD 中的一组对边互相平行，则可知四边形ABCD 为梯形.证明 因为四边形ABCD 中， AD AB BC CD =++= (2)(4)(53)82++--+--=--a b a b a b a b 2BC = ， 所以向量AD ∥BC ，即四边形ABCD 中的一组对边AD 和BC 互相平行，于是四边形ABCD 为梯形． 例5 设一直线上三点A ，B ，P 满足AP ＝PB λ (其中λ是实数且1λ≠-)，O 是空间任意一点，求证： OP ＝1OA OB λλ++ . 证明 如图7-2所示，因为AP OP OA =- ，PB OB OP =- ，所以()OP OA OB OP λ-=- ，也就是(1)OP OA OB λλ+=+ ，从而OP = 1OA OB λλ++ . 7.1.4 习题全解1. 设,,A B C 为三角形的三个顶点，求AB BC CA ++ . 解 AB BC CA AC CA ++=+= 0.2. 设2=-+u a b c ,3=-+-v a b c , 试用,,a b c 表示23-u v .解 232(2)3(3)5117-=-+--+-=-+u v a b c a b c a b c .3. 设向量a 的模为4，它与轴u 的夹角为60 ，求a 在轴u 上的投影.图7-1 图 7-27.2 空间直角坐标系与向量的坐标3 解 a 在轴u 上的投影为Prj u 1cos60422==⨯=a a °. 4. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 解 如图 7-1 所示，四边形ABCD 中，令点M 为对角线AC 与BD 的交点，则AM MC = , BM MD = ,因为AB AM MB MC DM DC =+=+= ,所以//AB DC 且AB DC = ,即四边形ABCD 中的一组对边AB 和DC 互相平行且相等，于是四边形ABCD 是平行四边形.7.2 空间直角坐标系与向量的坐标7.2.1 基本要求1. 掌握空间直角坐标系和空间点的直角坐标的概念.2. 掌握空间两点间的距离公式.3. 掌握向量的坐标表示法.4. 掌握向量的模、单位向量及方向余弦的坐标表达式.7.2.2 答疑解惑1. 空间直角坐标系中的三个坐标轴的顺序是任意的吗？解答 空间直角坐标系中的三个坐标轴的顺序是遵循右手规则的，即以右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向以π2的角度转向y 轴的正向时，竖起大拇指的指向就是z 轴的正向.画的时候，一般z 轴向上，y 轴向右，x 轴向左下方.2. 引入向量的坐标对向量的运算有什么作用？解答 引入向量的坐标以后，就可将向量的运算转化为代数运算，计算起来比较方便． 3. 向量的坐标是如何建立的？解答 在空间直角坐标系中，向量的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例如，设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(,,)x y z ，点N 的坐标为222(,,)x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为21x x -，21y y -, 21z z -, 于是向量212121{,,}MN x x y y z z =--- †.7.2.3 经典例题解析例1已知两点1M 和2(3,0,2)M ，求向量12M M 的模、方向余弦和方向角. 解 由1M 和2M 两点的坐标可知12{1,}M M =- ，于是12M M =2=, 与12M M同方向的单位向量为121211,,222M M M M ⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪⎩⎭，方向余弦____________________________________________________________† 本书沿用主教材中的花括号形式表示向量，而用圆括号形式表示点的坐标.第7章 向量代数与空间解析几何411cos ,cos ,cos 222αβγ=-==, 方向角α=23π, β=34π, γ=3π. 例2 已知,,A B C 三个点的坐标如下：（1）在平面直角坐标系下，(0,1),(2,2),(2,4)A B C --；（2）在空间直角坐标系下，(0,1,0),(1,0,2),(2,3,4)A B C ---.判别,,A B C 三点是否共线？ 解 （1）因为向量{2,3},{2,3}AB AC =-=- ，所以AB AC =- ，即向量AB 和AC 平行，又这两个向量有共同的起点，于是,,A B C 三点共线； （2）因为向量{1,1,2},{2,2,4}AB AC =---=- ，不存在实数λ使得AB AC λ= ，所以向量AB 和AC 不平行，于是,,A B C 三点不共线.例3 在空间直角坐标系Oxyz 中，画出点(0,0,1)A ，(2,1,0)B ，(1,2,3)C ．解 根据点A 的坐标可知，A 点在z 轴上，B 点在xOy 坐标面上．画点C 时，先在x 轴的正方向上取1个单位的点，y 轴的正方向上取2个单位的点，过这两点在xOy 坐标面上分别作y 轴与x 轴的平行线，交于点M ，过M 作z 轴的平行线MN ，在直线MN 上，点M 的上方取3个单位便得到点C ，如图7-3所示.例4 求点(3,2,1)A 关于各坐标面对称的点的坐标．解 点(3,2,1)A 关于xOy 坐标面对称的点的坐标为1(3,2,1)A -，关于yOz 坐标面对称的点的坐标为2(3,2,1)A -，关于zOx 坐标面对称的点的坐标为3(3,2,1)A -．例5 求点(4,2,3)A -到xOy 坐标面及y 轴的距离．解 点A 到xOy 坐标面的距离即为点A 的竖坐标的绝对值，即点A 到xOy 坐标面的距离为3；过点A 作垂直于xOy 坐标面的直线AB ，垂足为点B ，过点B 再作垂直于y 轴的直线BC ，垂足为点C ，于是直线AC 垂直于y 轴，即线段AC 的长度为点A 到y 轴的距离，而在直角三角形ABC 中，AC ==5=，于是点A 到y 轴的距离为5．例6 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距离的点M ．解 因为所求的点M 在z 轴上，所以可设M 点的坐标为(0,0,)z ，又因为MA MB =，=27z =，即所求的点为20,0,7M ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 7.2.4 习题全解1. 在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限:(2,3,1)A -，(7,1,2)B --，(2,3,C -- 1)-，(1,2,3)D --.图 7-37.2 空间直角坐标系与向量的坐标5 解 (2,3,1)A -在第Ⅳ卦限，(7,1,2)B --在第Ⅷ卦限，(2,3,1)C ---在第Ⅶ卦限，(1,2,3)D --在第Ⅵ卦限.2. 指出下列各点所在的坐标面或坐标轴：(1,2,0)A -，(0,2,3)B -，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -. 解 (1,2,0)A -在xOy 坐标面上，(0,2,3)B -在yOz 坐标面上，(1,0,0)C 在x 轴上，(0,1,0)D -在y 轴上.3. 求点(2,3,5)--分别关于下列条件的对称点的坐标：（1）xOy 坐标面；（2）y 轴；（3）坐标原点.解 （1）点(2,3,5)--关于xOy 坐标面对称点的坐标为(2,3,5)-；（2）点(2,3,5)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3,5)；（3）点(2,3,5)--关于坐标原点对称点的坐标为(2,3,5)-.4. 求点(4,3,5)A -到坐标原点()0,0,0O ，z 轴及zOx 坐标面的距离.解 点(4,3,5)A -到坐标原点()0,0,0O =；点(4,3,5)A -到z 5=；点(4,3,5)A -到zOx 坐标面的距离为3.5. 在yOz 坐标面上，求与(3,1,2)A ，(4,2,2)B --，(0,5,1)C 三点等距离的点.解 因为所求点在yOz 坐标面上，所以可设它的坐标为(0,,)M y z . 又因为该点到(3,1,2)A ，(4,2,2)B --，(0,5,1)C 三点的距离相等，所以AM CM =，BM CM =，即=，=由以上两等式解得1,2y z ==-，于是所求点的坐标为(0,1,2)-.6. 已知(1,0,2)A ，(4,5,10)B ，(0,3,1)C ，(2,1,6)D -和54=+-m i j k ，求：（1）向量=a 43AB CD +- m 在三个坐标轴上的投影及分向量；（2）a 的模；（3）a 的方向余弦；（4）与a 平行的两个单位向量. 解 （1）由已知，得{}{}3,5,8,2,4,5AB CD ==- ,所以向量a 的坐标表示为 {}{}{}4343,5,832,4,5{5,1,4}13,7,51AB CD =+-=+---=a m ，可得向量a 在三个坐标轴上的投影分别为13,7,51x y z a a a ===；向量a 在三个坐标轴上的分向量分别为x a i 13=i ，y a j 7=j ，z a k 51=k .（2）向量a 的模为=a ==（3）向量a 的方向余弦为 cos α=1a x a =, cos β=1a y a =, cos γ=1a z a =. （4）与向量a 平行的两个单位向量为}013,7,51=±=a a a . 7. 设向量的方向余弦分别满足（1）cos 0α=；（2）cos 1β=；（3）cos cos 0βγ==.问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 （1）由cos 0α=可知，该向量与x 轴夹角为π2，即垂直于x 轴，并且平行于yOz 坐标面；第7章 向量代数与空间解析几何 6（2）由cos 1β=可知，该向量与y 轴夹角为0，于是该向量的指向与y 轴正向一致，并且垂直于xOz 坐标面；（3） 由cos cos 0βγ==可知，该向量与y 轴和z 轴夹角均为2π，于是该向量平行于x 轴，并且垂直于yOz 坐标面. 8. 已知(2,1,7)A -，(4,5,2)B -，线段AB 交xOy 坐标面于点P ，且AP PB λ= ，求λ的值. 解 由于点P 在xOy 坐标面上，可设点P 的坐标为(,,0)x y ，则{}2,1,7AP x y =-+- ，{}4,5,2PB x y =--- ,又因为AP PB λ= ，即217452x y x y λ-+-===---，于是72λ=. 9. 一个向量的终点在点(2,1,7)B -，且其在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，4-和7，求这个向量的起点A 的坐标.解 设此向量的起点A 的坐标为(,,)x y z ，则向量{}2,1,7AB x y z =---- ,于是向量AB 在三个坐标轴上的投影分别为Pr j x 24AB x =-= ，Pr j y 14AB y =--=- ，Pr j z AB = 77z -=，由这三个等式解得2x =-,3y =,0z =，所以A 点的坐标为(2,3,0)-. 10. 从点(2,4,7)A 沿8912=+-a i j k 方向取||34AB = ，求点B 的坐标. 解 设点B 的坐标为(,,)x y z ,则向量{}2,4,7AB x y z =--- ，又8912=+-a i j k 的一个方向向量为{}8,9,12=-s ，于是向量AB 和向量s 互相平行，可得2478912x y z ---==-， 令2478912x y z k ---===-，则34AB === ，解得2k =，于是8218x k =+=，9422y k =+=，12717z k =-+=-，所以B 点的坐标为(18,22,17)-.7.3 向量的数量积 向量积7.3.1 基本要求1. 熟练掌握用坐标表达式进行向量的数量积与向量积的运算.2. 掌握两个向量夹角的求法.3. 熟练掌握两个向量互相垂直和平行的条件.7.3.2 答疑解惑1. 给出向量a 和b ，如何求以向量a 和b 为邻边的平行四边形的面积？解答 以向量 a 和 b 为邻边的平行四边形的面积为 sin(,)=⨯a b a b a b ，这也是向量积的模的几何意义；同时可知，以向量a 和b 为邻边的三角形的面积为 11sin(,)22=⨯a b a b a b .7.3 向量的数量积 向量积7 2. 向量的数量积是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的余弦，向量的向量积是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的正弦，这两种说法正确吗？解答 第一种说法是正确的；第二种说法是不正确的，因为向量的向量积的结果是一个向量，这个向量的模是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的正弦，方向与这两个向量都垂直.3. 在空间直角坐标系中，i ，j ，k 分别表示沿x 轴，y 轴，z 轴正向的单位向量，它们的坐标表示式分别为i = {}1,0,0，j ={}0,1,0，k ={}0,0,1，为什么⨯=⨯=⨯=i i j j k k 0，而⋅=⋅=⋅=i i j j k k 1？解答 两种乘法的意义不一样. 因为sin 00⨯==i i i i ，所以⨯=i i 0，同理⨯=j j ⨯=k k 0；而2cos01⋅===i i i i i ，同理1⋅=⋅=j j k k .4. 向量的乘法有几种？解答 向量的乘法主要有如下四种：（1）向量与数的乘法；（2）向量与向量的数量积，两个向量的数量积是一个数，满足交换律和结合律；（3）向量与向量的向量积，两个向量的向量积仍然是一个向量，满足结合律但不满足交换律；（4）三个向量的混合积，先作两个向量的向量积，把得到的向量与第三个向量再作数量积，这样得到的数量叫做三个向量的混合积.注意，向量没有除法运算！5.（1）若向量≠a 0，且⋅=⋅a b a c ，能否由此推出=b c ，为什么？（2）若向量≠a 0，且⨯=⨯a b a c ，能否由此推出=b c ，为什么？（3）若向量≠a 0，且⋅=⋅a b a c ，⨯=⨯a b a c ，能否由此推出=b c , 为什么？解答 （1）不能推出=b c . 这是因为，当≠a 0时，由已知条件⋅=⋅a b a c ，可得0⋅-=()a b c ，即⊥-a b c ()，这里的向量-b c 不一定是零向量. 例如，当a ={1,0,0}, b ={0,1,0}和c ={0,0,1}时，0⋅=⋅=a b a c ，但是≠b c ;（2）不能推出=b c . 这是因为，当≠0a 时，由已知条件⨯=⨯a b a c ，可得⨯-=()0a b c .即-//()a b c ，这里的向量-b c 不一定是零向量.例如，当a ={1,0,0}, b ={1,1,0}和c ={2,1,0}时，{0,0,1}⨯=⨯=a b a c , 但是≠b c ; （3）可以推得=b c . 这是因为⋅=⋅a b a c ，所以0⋅-=()a b c ，即a 垂直于-b c . 又因为⨯=⨯a b a c ，所以⨯-=()0a b c ，即a 平行于-b c ，这样，a 既垂直于-b c ，a 又平行于-b c ，且≠0a ，只有-=0b c ，即=b c 成立.由（1）和（2）可知，向量的数量积和向量积运算不同于数的运算，不满足消去律.7.3.3 经典例题解析例1 下列各命题是否正确？（1）⨯=⨯a b b a ；（2）若0⋅=a b ，则=a 0或=b 0，若⨯=a b 0，则=a 0或=b 0.解 （1）不正确，因为向量积不满足交换律，正确的是⨯=-⨯a b b a ，这是因为按右第7章 向量代数与空间解析几何 8手规则从a 转向b 定出的方向恰好与按右手规则从b 转向a 定出的方向相反；（2）不正确，因为数量积、向量积都没有零因子律，即0⋅=a b 不能推出=0a 或者=0b ，⨯=0a b 不能推出=0a 或者=0b .例如，令{}1,0,0=a ，{}0,1,0=b ，此时0⋅=a b ，但是,≠≠00a b ；又令{}1,0,0=a ，{}2,0,0=b ，此时⨯=0a b ，但是,≠≠00a b .例2 设,,a b c 为单位向量，且++=0a b c ，求⋅+⋅+⋅a b b c c a .解 因为1===a b c 且++=0a b c ，所以向量,,a b c 首尾相接构成一个边长为1的正三角形，故cos 3π⎛⎫⋅=π-= ⎪⎝⎭a b a b 21cos 32π=-，同理可得12⋅=-b c ，12⋅=-c a ，所以 ⋅+⋅+⋅=a b b c c a 32-. 例3 已知2=||a , 5=||b , 7=||c , 并且++=0a b c ，计算⋅+⋅+⋅a b b c c a 和⨯+⨯a b b +⨯c c a 的值．解 因为++=0a b c , 所以+=-a b c ，又因为+==-=+a b c c a b ，所以向量a 与向量b 同向，向量a 与向量c 反向，向量b 与向量c 反向，于是⋅+⋅+⋅a b b c c a 25cos057cos 72cos =⨯+⨯π+⨯π103514=--39=-， 并且sin00⨯==a b a b ，sin 0⨯=π=b c b c ，sin 0⨯=π=c a c a ，因此⨯=⨯=⨯a b b c c =0a ，即⨯+⨯+⨯=0a b b c c a .例4 已知||3⋅=a b , ||4⨯=a b , 求||||a b ．解 由已知可得cos 3θ⋅==a b a b ，sin 4θ⨯==a b a b ，将上述两式平方后相加得()225=a b ，所以5=a b .例5 已知向量{}1,0,0=a ，{}0,1,2=-b ，{}2,2,1=-c ，求一单位向量n 0，使得n 0垂直于c ，并且向量0,n a 和b 共面.解 设向量n 0{},,x y z =，因为n 0是单位向量，所以2221x y z ++=. 又因为向量n 0垂直于c ，所以00⋅=n c ，即220x y z -+=，又因为向量0,n a 和b 共面，所以向量n 0垂直于⨯a b ，即0()0⋅⨯=n a b ，又100{0,2,1}012⨯==-i j ka b ，于是{,,}{0,2,1}20x y z y z ⋅=+=.联立方程组2221,220,20,x y z x y z y z ⎧++=⎪-+=⎨⎪+=⎩解得212,,333x y z ===-或212,,333x y z =-=-=，于是所求单位向量0=n 212,,333⎧⎫±-⎨⎬⎩⎭. 例6 已知向量b 和{}1,5,2=-a 共线，且满足3⋅=a b , 求向量b 的坐标．解 设向量b 的坐标为{},,x y z ，由a //b , 得152x y z ==-, 令152x y z k ===-，得,x k = 5,2.y k z k ==-7.3 向量的数量积 向量积9 将它们代入到523x y z +-=中，得到2543k k k ++=, 即1.10k =所以1,10x = 1,2y = 15z =-，即向量=b 111,,1025⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 例7112233a b a b a b ++，其中i a , i b（i =1，2，3）为实数，并指出等号成立的条件.分析 将{}123,,a a a 和{}123,,b b b 分别看作向量a 和b 的坐标，由⋅≤a b a b 可得结论.证明 令=a {}123,,a a a ，=b {}123,,b b b ，因为 cos(,)⋅=a b a b a b ，所以⋅≤a b a b ，即112233a b a b a b ++. 当且仅当 cos(,)1=a b 时，上述不等式中等号成立，此时 (,)0=a b 或 (,)=πa b ,即//a b . 因此，当且仅当312123a a ab b b ==时，有112233a b a b a b ++=.例8 若1=a ，4=b 且()3⨯⨯=-a b a b a ，问向量a 和b 的夹角θ等于多少？ 解 因为向量()⨯⨯a b a 与向量a 垂直，所以[()]0⨯⨯⋅=a b a a ，于是[()](3)3⨯⨯⋅=-⋅=⋅-⋅a b a a b a a b a a a =0，即23⋅=b a a ，亦即2cos 3θ=b a a ，从而233cos 4θ==a a b ，即3arccos 4θ=. 例9若=a ，1=b ，且a 和b 的夹角θ=6π，求： （1）向量+a b 和-a b 的夹角；（2）以向量2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积.解 （1）设向量+a b 和-a b 的夹角为α，则()()cos α+⋅-=+-a b a b a b a b，在以向量a , b 和+a b 为边的三角形中应用余弦定理得2222cos 76π⎛⎫+=+-π-= ⎪⎝⎭a b a b a b ，即+=a b ，在以向量a ,b 和-a b 为边的三角形中应用余弦定理得22-=+a b a22cos 16π-=b a b ，即1-=a b ，又因为22()()2+⋅-=⋅-⋅=-=a b a b a a b b a b，所以cos α=α=； （2）以2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积为(2)(3)5()55sin 62π+⨯-=-⨯=⨯==a b a b a b a b a b . 注 平行四边形的面积是由向量积的模的几何意义得到的，在这里向量积(2)+⨯a b (3)-a b 的模|(2)(3)|+⨯-a b a b 表示以向量2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积.第7章 向量代数与空间解析几何 107.3.4 习题全解1. 求向量{4,3,4}=-a 在向量{2,2,1}=b 上的投影.解 向量{4,3,4}=-a 在向量{2,2,1}=b上的投影为Prj 2.b ⋅=a b a b 2. 设32=--a i j k ，2=+-b i j k ，求：（1）⋅a b 及⨯a b ；（2）(2)3-⋅a b 及2⨯a b ；（3）a 与b 夹角的余弦. 解 （1）⋅a b ()()()3112213=⨯+-⨯+-⨯-=，⨯a b 12323131257211112121----=--=-+=++---i j k i j k i j k ； （2）(2)3(624)(363)(6)3264(3)18-⋅=-++⋅+-=-⨯+⨯+⨯-=-a b i j k i j k ，2(32)(242)31224212323110214;422224⨯=--⨯+-=-------=-+=++--i j ka b i j k i j k i j k i j k（3）a 和b 夹角的余弦为cos(,)⋅==a b a b a b 3. 已知OA = 3+i k ，OB = 3+j k ，求三角形OAB 的面积. 解法一 根据向量积的定义可知，三角形OAB 的面积为()11sin ,22OAB S OA OB OA OB OA OB ==⨯ △， 又因为OA OB ⨯= 10333013=--+i j k i j k ，所以2OAB S ==△ 解法二 在三角形OAB 中，{}1,0,3OA = 与{}0,1,3OB = 的夹角余弦为()9cos ,10OA OB OA OB OA OB ⋅===， 于是 ()sin ,OA OB =，所以三角形OAB 的面积为()1sin ,2102OAB S OA OB OA OB === △. 4. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.。
高中数学向量优质教案设计
高中数学向量优质教案设计教学内容：向量教学目标：1. 了解向量的基本概念与性质，掌握向量的加法、数乘、减法等运算规则；2. 能够判断向量的相等和平行性，应用向量进行问题求解；3. 发展学生的思维能力和创造性思维，培养学生解决问题的能力。
教学重点：1. 向量的基本概念与性质；2. 向量的加法、数乘、减法的规则；3. 向量的相等和平行性的判断；4. 应用向量进行问题求解。
教学难点：1. 向量的减法运算；2. 向量的平行性的判断；3. 题目的解题思路。
教学方法：1. 案例引入法：通过案例引导学生了解向量的基本概念；2. 示范引导法：通过示范向导学生掌握向量的加法、数乘、减法规则；3. 问题解决法：设计问题让学生应用所学知识进行分析和解决。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 导入向量的基本概念，引导学生了解向量的定义和表示方法。
二、概念讲解（10分钟）1. 向量的加法和减法规则；2. 向量的数乘规则；3. 向量的相等和平行性判断方法。
三、示范演练（15分钟）1. 案例演示向量的加法、数乘、减法规则；2. 示范演示向量的相等和平行性的判断方法。
四、练习训练（20分钟）1. 学生进行练习题目，巩固向量的运算规则和判断方法；2. 老师进行现场指导和讲解。
五、问题解决（10分钟）1. 分发问题解决题目，让学生应用所学知识进行分析和解决；2. 学生展示解题过程，老师进行点评和总结。
六、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课学习的内容和重点；2. 引导学生复习巩固所学知识。
教学反思：1. 教学要注重学生的实际操作能力，让学生在练习中掌握知识；2. 教学要注重培养学生的思维能力和创造性思维，引导学生独立解决问题。
教学扩展：1. 引导学生进行更多的拓展性学习，深化向量的应用；2. 设计更多具有挑战性的问题，激发学生学习的兴趣和激情。
通过以上的教案设计，希望能够有效提高学生对向量的理解和应用能力，培养学生良好的数学思维和解决问题的能力。
(整理)第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何讲授内容：§7-1向量及其线性运算教学目的与要求：1．理解向量概念.2．掌握向量的加减以及数乘运算律，掌握两向量平行的充要条件. 教学重难点：重点――向量的线性运算.难点――两向量平行的条件的运用.教学方法：讲授法教学建议：掌握用向量的理论证明几何问题.学时：2学时教学过程：一、向量概念向量: 既有大小又有方向的量.向量在数学上的表示:有向线段AB表示以A为起点，B为终点的向量.其中|AB|表示向量的大小; 有向线段的方向表示向量方向或者表示为: a、b、c 或者、、等.自由向量: 与起点无关的向量.向量a=b 大小相等、方向相同.向量的模: 向量的大小|AB| .单位向量: 模等于1的向量.零向量: 模等于0的向量,记作0,或者,起点与终点重合,方向任意.向量a∥b: 两个非零向量的方向相同或相反.零向量与任意向量平行.两向量共线: 两向量平行时,当将起点放在一起时,终点在同一直线上;k 个向量共面: k 个向量起点放在同一点时,起点和终点在同一平面上.例: 把空间中的一切单位向量归结到共同的始点，他们的终点构成单位球面二、 向量的线性运算1. 向量的加法设有向量a 与b ,任取一点A ,作AB =a ,再以B 为终点,作BC =b ,连接AC ,则AC =c , 称为a 与b 的和,记作c =a +b .三角形法则平行四边形法则 加法的运算规律（1） 交换律a +b =b +a （2） 结合律(a +b )+c = a +(b +c )(结合律示意图) (s =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5示意图)推广: 任意有限个向量1a ,2a ,…, n a 的和可记为1a +2a +…+n a .作图法,由向量的三角形求和法则推广到 多边形法则即 n n n A A A A OA OA 1211-+++= （当A n 与O 重合时=n OA ）2. 向量的减法a 的负向量: 与a 的模相同,方向相反的向量.记作 –a .a －b ∆ a +(- b )任给向量AB 及点O ,有:AB=AO+OB=OB-OA.三角形原理:| a+b |≤| a |+| b |; | a – b |≤| a |+| b |;3.向量与数的乘法向量a与实数λ的乘积记作λa, 规定λa是一个向量,其模为: |λa|=λ|a|,其方向为: 当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反.运算规律:(1)结合律: λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a.(2)分配律: (λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+μb.向量的线性运算: 向量相加及数乘向量4.两向量平行的充分必要条件定理:设向量a≠0,则向量b∥a ⇔∃| λ∈R: 使b=λa.证明:充分性显然(必要性) 设b∥a.取|λ|=|b|/|a|,且规定:b与a同向时,λ>0; b与a反向时,λ<0.则有: b=λa.唯一性设b=λa ,b=μa ,则(λ－μ)a=0 ⇒|λ－μ||a|=0因|a|≠0, ⇒λ=μ5.向量a的单位向量e a:e a=a/|a|.例1.在平行四边形ABCD中,设AB=a,AD=b.试用a和b表示向量MA, MB, MC, MD,这里M是平行四边形对角线的交点.解:MA=-(1/2)AC=-(a+b)/2; MC=-MA=(a+b)/2;MB=(1/2)DB=(a-b)/2; MD=-MB=(b-a)/2作业：高等数学练习册C习题三十六第4题教学后记：教学参考书：《高等数学》北京大学数学科学部编《高等数学典型题精解》陈兰祥编《高等数学》黄立宏廖基定主编复旦大学出版社《高等数学》同济大学应用数学系主编《高等数学》同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习思考题：用向量的方法证明：梯形两腰中点的连线平行底边且等于两底边和的一半.讲授内容：§7-2点的坐标与向量的坐标教学目的与要求：1．理解空间直角坐标系的概念.2．掌握用坐标进行线性运算的方法，会求向量的模以及两点间的距离.3．掌握定比分点的坐标公式.教学重难点：重点――用坐标进行线性运算.难点――理解空间直角坐标系的概念.教学方法：讲授法教学建议：在解题过程中要掌握数形结合的方法，充分采用向量形式，最后用代数方法解之.学时：2学时教学过程：一、空间直角坐标系坐标轴: x轴(横轴),y轴(纵轴), z轴(竖轴)以O为原点,两两垂直.三轴的单位向量依次为i, j, k.构成空间直角坐标系Oxyz或[O,i,j,k],正向符合右手规则.坐标面: 任意两条坐标轴确定的平面.xOy平面; xOz平面; yOz平面.卦限: 坐标平面将空间划分的每一个部分称为一个卦限.卦限内点的坐标如下表.向量的坐标分解式:给定向量r,对应点M,使OM=r.则r=OM=OP+PN+NM=OP+OQ+OR设OP=x i; OQ=y j; OR=z k.则r =OM=x i+y j+z k. 称为r的坐标分解式.空间点M,向量r = OM与有序数组(x,y,z)的关系:M ↔ r =OM=x i+y j+z k ↔ (x,y,z)称(x,y,z)为点M的坐标.记为M(x,y,z).向径:向量OM称为点M关于原点O的向径.点与此点的向径有相同的坐标. (x,y,z)既表示点M,又表示向量OM. 坐标轴及坐标面上的点的坐标特征:x 轴: (x ,0,0); y 轴: (0,y ,0); z 轴:(0,0,z ).xoy 面:(x ,y ,0); yoz 面: (0,y ,z );xoz 面: (x ,0,z ).原点: (0,0,0). 二、 利用坐标作向量的运算设a =(a x ,a y ,a z ),b =(b x ,b y ,b z ) ⇒ a =a x i +a y j +a z k , b = b x i +b y j +b z k , 则a +b =( a x + b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )ka-b =( a x -b x )i +(a y -b y )j +(a z -b z )kλa =(λa x )i +(λa y )j +(λa z )k向量平行充分必要条件:设: a =(a x ,a y ,a z )≠0, b =(b x ,b y ,b z )b ∥a ⇔ b=λa ⇔ (b x ,b y ,b z )= (a x ,a y ,a z )⇔zz y y x x a b a b a b == 三、 向量的模、两点间的距离1． 向量的模设向量r =(x ,y ,z ),作OM =r ,则r =OM =OP+OQ+OR| r |=|OM |=2||2||2||OR OQ OP ++OP =x i , OQ =y j , OR =z k |OP |=|x|, |OQ |=|y |,|OR |=|z |2. 两点间的距离公式设有点A (x 1,y 1,z 1)、点B (x 2,y 2,z 2),则AB=OA-OB =(x 1,y 1,z 1)-(x 2,y 2,z 2)=(x 2-x 1,y 2-y 1,z 2-z 1)点A 和点B 的距离|AB |为:四、 定比分点对于有向线段P 1P 2 (P 1≠P 2)，如果点P 满足P 1P ＝λPP 2（λ≠－1），我们就称点P 为有向线段P 1P 2的λ分点.说明：○1λ≠－1使得P 1≠P 2； ○2λ>0，则P 1P 与PP 2同向，P 为P 1P 2内部的点； ○3λ<0，则P 1P 与PP 2反向，P 为P 1P 2外部的点： 且若λ<－1，则P 点在P 2右侧；若－1<λ<0，则P 点在P 1左侧.例1. 已知点A (x 1,y 1,z 1)、点B (x 2,y 2,z 2)和实数λ≠-1,在直线AB 上求点M,使AM =λMB .解: AM=OM-OA , M B=OB-OM ,OM-OA=λ(OB-OM )⇒ OM=λ+11(OA+λOB )=λ+11[(x 1,y 1,z 1)+λ(x 2,y 2,z 2)]⇒ OM=(λλ++121x x ,λλ++121y y ,λλ++121z z ) ⇒ 此为点M 的坐标.此为定比分点公式.当λ=1时,为中点公式. 例2. 求证:以M 1(4,3,1)、M 2(7,1,2)、M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解: |M 1M 2|2=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14;|M 1M 3|2=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=6;|M 2M 3|2=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=6例3. 在z 轴上求与两点A (-4,1,7)、B (3,5,-2)等距离的点.解: 设所求点的坐标为 (0,0,z ), 则有:|MA |2=|MB |2 ⇒(0+4)2+(0-1)2+(z -7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z )2,⇒ z=19=4/9 所求点为: (0,0,14/9)例4. 求点A (a ,b ,c )关于(1)各坐标轴;(2)各坐标面;(3)坐标原点的对称点的坐标.解: (1) 关于x 轴:(a ,-b ,-c ); 关于y 轴:(-a ,b ,-c ); 关于z 轴: (-a ,-b ,c );(2) 关于xoy 面: (a ,b ,-c );关于xoz 面: (a ,-b ,c );关于yoz 面: (-a ,b ,c );(3) 关于坐标原点:(-a ,-b ,-c ) 例5. 已知两点A (4,0,5)和点B (7,1,3),求与AB 方向相同的单位向量. 解: AB=OB-OA =(7,1,3)-(4,0,5)= (3,1,-2)⇒ |AB |=222)2(13-++=14⇒ e AB =||AB AB =141(3,1,-2) 作业：练习册C 习题三十六第2、3题.教学后记：教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编《高等数学典型题精解》 陈兰祥编《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型） 复习思考题：已知两点)2,1,0(1M 和)0,1,1(2-M ，求平行于向量−→−21M M 的单位向量.讲授内容：§7-3 向量的方向余弦及投影教学目的与要求：1．理解方向角、方向余弦及向量的投影的概念.2．会求方向角、方向余弦.教学重难点：重点――向量的方向余弦.难点――向量在轴上的投影.教学方法：讲授法教学建议：向量的方向余弦在以后经常用到，应该让学生熟练掌握.学时：2学时教学过程：一、方向角与方向余弦1. 两向量的夹角:设有非零向量a,b,任取一点O,作OA=a,OB=b,称不超过π的角φ=∠AOB为向量a,b的夹角.记为(a^b)或(b^a).2.向量的方向角:非零向量r=OM与三条坐标轴的夹角α, β,γ(0≤α,β,γ≤π)称为向量r的方向角.3. 向量的方向余弦设r =(x ,y , z )由图可知,OP =x i , ⇒cos α=||OM x =||r x;同理: c os β=||r y ; cos γ=||r z⇒ (cos α,cos β,cos γ)=(||r x ,||r y ,||r z )=||1r ( x ,y , z )=||r r=e r . cos α,cos β,cos γ叫做r 的方向余弦.|r |=222z y x ++⇒cos α=222z y x x ++;cos β=222z y x y ++;cos γ=222z y x z ++性质:例1.已知两点M 1(2,2,2)和M 2(1,3,0),求向量M 1M 2的模、方向余弦和方向角.解: M 1M 2=(1-2,3-2,0-2)=(-1,1,-2).|M 1M 2|=222)2(1)1(-++-=2 cos α=-1/2, cos β=1/2, c os γ=-2/2 α=2π/3,β=π/3,γ=3π/4例2.设点A 位于第Ⅰ卦限,向经OA 与x 轴,y 轴的夹角依次为π/3和π/4,且|OA |=6,求点A 的坐标.解: α=π/3; β=π/4由cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1 ⇒ cos 2γ=1/4 又点A 在第Ⅰ卦限,⇒ cos γ=1/2.OA =|OA |e OA =6 (21,2121)=(3,32,3) 此为点A 的坐标. 二、 向量在轴上的投影设点O及单位向量e确定轴u(相当于坐标轴).给定向量r,作r=OM,过点M作与轴u垂直的平面交轴u于点M′,(点M′称为点M在轴u上的投影)向量OM′称为向量r在轴u上的投影,记为prj u r(或(r)u.由此向量a在坐标系Oxyz中的坐标a x,a y,a z为a在三条坐标轴上的投影.即有:a x=Prj x a, a y= Prj y a, a z= Prj z a,或a x=(a)x, a y=(a)y, a z=(a)z向量投影的性质:向量的投影具有于向量坐标相同的性质:性质1：(a)u=|a|cosφ[或Prj u a=|a|cosφ]其中φ为a与轴u的夹角.性质2: (a+b)u=(a)u+(b)u [或Prj u(a+b)=Prj u a+Prj u b ]Prj u(a1+a2+…+a n)=Prj u a1+Prj u a2+…+ Prj u a n.性质3: (λa)u=λ(a)u[或Prj u(λa)=λPrj u a]例3.设向量a=(4,－3,2),又轴u的正向与三条坐标轴的正向构成相等锐角,试求(1)向量a在u轴上的投影;(2)向量a与u轴的夹角θ.解:设e u的方向余弦为cosα,cosβ,cosγ.则由题义有:0<α=β=γ<π/2.由cos2α+cos2β+cos2γ=1,得: cosα=cosβ=cosγ=3/3.e u=3/3i+3/3j+3/3k.a=4i-3j+2k.Prj u a = Prj u (4i )+ Prj u (-3j )+ Prj u (2k )=4Prj u i -3Prj u j + 2Prj u k=4•3/3-3•3/3+2•3/3=3. 由于Prj u a =|a |cos θ=29cos θ=3,⇒ θ=arccos 3/29.例4.设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为OA ,且|OA |=a ,求OA 在OM 上的投影Prj OM OA . 解: 设 φ=∠MOA ,则 φ=||||OM OA =31⇒ Prj OM OA =|OA |•cos φ=3a作业：高等数学练习册C 习题三十六第一大题 教学后记：教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编 《高等数学典型题精解》 陈兰祥编《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型） 复习思考题：已知单位向量→a 与x 轴正向夹角为3π，与其xoy 面上的投影向量夹角为4π，试求向量→a .讲授内容：§7-4数量积向量积教学目的与要求：1、理解向量的数量积、向量积的概念.2、掌握向量的数量积、数量积的性质和运算律.3、掌握用数量积，向量积证明两向量垂直、平行的方法.4、熟练掌握数量积、向量积的坐标表达式，并会用数量积、向量积解决相关实际问题.教学重难点：重点――数量积、向量积的计算与运用.难点――数量积与向量积的混合运用教学方法：讲授法教学建议：为帮助学生记忆向量积的坐标表达式，可先简要介绍三阶行列式及其记忆的方法.学时：2学时教学过程：一、两向量的数量积1.向量a,b的数量积: a•b ∆|a||b|cosθ. [θ=(a^b)]当a≠0时, |b|cosθ=|b|cos(a^b)= |b|Prj a ba•b=|a|Prj a b(a≠0),同理a•b=|b|Prj b a(b≠0)性质:(1)a•a=|a|2(2)a•b=0 ⇔a⊥b2.运算规律(1)交换律: a•b = b•a(2)分配律: (a+b)•c= a•c+b•c(3)结合律: (λa)•b=λ(a•b)=a•(λb)(λa)•(μb)=λ[a•(μb)]= λ[μ(a•b)]= λμ(a•b) 证明:(1) a•b = |a||b|cosθ;b•a = |a||b|cosθ;⇒a•b = b•a(2) 当c=0时,显然成立.当c≠0时,(a+b)•c=|c|Prj c(a+b)=|c|(Prj c a+Prj c b)=|c|Prj c a+|c|Prj c b=a•c+b•c(3) 当b=0时,结论成立.当b≠0时,(λa)•b=|b|Prj b(λa)= |b|•λPrj b a =λ|b|Prj b a=λ(a•b)=a•(λb).(λa)•(μb)=λ[a•(μb)]= λ[μ(a•b)]= λμ(a•b)例1.试用向量证明三角形的余弦定理.证明:设在△ABC中,∠B C A=θ, |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c记CB=a, CA=b, AB=c. ⇒c=a-b⇒c2=|c|2=c•c=(a-b)•(a-b)=a•a+b•b-2a•b⇒c2=|a|2+|b|2-2|a||b|cosθ=a2+b2-2ab cosθ3.数量积的坐标表达式设a=a x i+a y j+a z k , b= b x i+b y j+b z k则a•b =(a x i+a y j+a z k)•( b x i+b y j+b z k)= a x b x+a y b y+a z b z从而 cos θ=b a b a ∙=2z2y 2x 2z 2y 2x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++例2. 已知三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB .解:作MA ,MB , ∠AMB 为MA 与MB 的夹角 ⇒ MA =(2,2,1)-(1,1,1)=(1,1,0); MB =(2,1,2)-(1,1,1)=(1,0,1)MA •MB =1⨯1+1⨯0+0⨯1=1; |MA |=2;|MB |=2cos ∠AMB =21 ⇒ ∠AMB=π/3.例3. 已知a ,b ,c ,两两垂直,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,求s =a +b +c 的长度与它和a ,b ,c 的夹角.解: |s |2 =s • s =(a +b +c )•(a +b +c )=a •a +b •b +c •c +2a •b +2b •c +2a •c 由于: a •a =|a |2=1,b •b =|b |2=4,c •c =|c |2=9;a •b =b •c =a •c =0 ⇒ |s |2=14,⇒|s |=14cos(s •a )=a s a s ∙= 14a c)b (a ∙++=14aa ∙=1/14. ⇒ (s ^a )=arcos(1/14); 同理: (s ^b )= (s ^c ) =accos(1/14)例4.设a ,b ,c 为单位向量,且满足a +b +c =0,求a •b +b •c +c •a .解: (a +b +c )• a =a 2+b •a +c •a =1+a •b +c •a ;(a +b +c )• b =a •b +b 2+c •b =1+a •b +b •c ; (a +b +c )• c =a •c +b •c +c 2=1+c •a +b •c ; 三式相加:⇒ 3+2[a •b +b •c +c •a ]= (a +b +c )• (a +b +c )=0⇒ a •b +b •c +c •a =-3/2.例5.利用向量证明不等式:232221a a a ++•232221b b b ++≥|a 1b 1+ a 2b 2+ a 3b 3| 其中a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3为任意常数,并指出等号成立的条件. 证明:设a =( a 1,a 2,a 3),b =( b 1,b 2,b 3)cos(a ^b )=b a b a ∙=232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++⇒232221a a a ++•232221b b b ++≥|a 1b 1+ a 2b 2+ a 3b 3|等号“=”成立 ⇔a //b例6.有一个△ABC 和一个圆,三角形边长BC =a ,CA =b ,AB =c ,圆的中心为A ,半径为r .引圆的直径PQ ,试求当BP •CQ 取得最大、最小时PQ 的方向,并用a ,b ,c ,r 表示BP •CQ 的最大值、最小值.解:AQ =-AP , |AP |=|AQ |=r ,AB •AC =|AB ||AC |cos A =bc [(b 2+c 2-a 2)/2bc ]=( b 2+c 2-a 2)/2⇒ BP •CQ =(AP －AB )•(AQ －AC )=(AP －AB )•(－AP －AC ) =－|AP |2+(AB －AC )•AP +AB •AC =( b 2+c 2-a 2)/2－r 2+CB •AP=( b 2+c 2-a 2)/2－r 2+BC •PA⇒ 当BC •PA 最大(小)时,BP •CQ 最大(小).⇒ 当BC •PA 同向即PQ 与BC 同向时,BC •PA 最大,其最大值是ar .⇒ 当BC •PA 反向即PQ 与BC 反向时,BC •PA 最小,其最小值是-ar .⇒ PQ 与BC 同向时, max{ BP •CQ }=( b 2+c 2-a 2)/2-r 2+ar ;PQ与BC反向时, min{ BP•CQ}=( b2+c2-a2)/2-r2-ar二、两向量的向量积1.定义: a×b = c, c称为a与b的向量积.其中,(1)|c|=|a||b|sinθ, θ=(a^b)(2)c的方向垂直于a,b所决定的平面,其指向按右手从a转向b确定.性质:由定义可得:(1)a×a=0(2)a∥b a×b=0几何意义: | a×b |为以a,b为边的平行四边形的面积.2.运算律:(1)a×b= - b×a(2)分配律: (a＋b)×c=a×c+b×cc×(a＋b)=c×a+c×b(3)结合律: (λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)3. 向量积的坐标表达式设 a = a x i+a y j+a z k , b = b x i+b y j+b z k则a×b =(a x i+a y j+a z k)×( b x i+b y j+b z k)=(a y b z-a z b y)i+(a z b x-a x b z)j+ (a x b y-a y b x)ka ×b =z y z yb b a a i -zx z xb b a a j +yx y xb b a a k =zy xz y xb b b a a a k j i例7. 设a =(2,1,-1),b =(1,-1,2),计算 a ×b .解: a ×b =211112--k j i=2111--i -2112-j +1112-k =i -5j -3k.例8.已知△ABC 的顶点分别是A (1,2,3)、B (3,4,5)和C (2,4,7),求△ABC 的面积.解: S ∆ABC =21|AB |•|AC |•sin ∠A=21|AB ⨯AC | AB =(3,4,5)-(1,2,3)=(2,2,2,), AC =(2,4,7)-(1,2,3)=(1,2,4).S ΔABC =21|AB ⨯AC |=421222kj i =4222i -4122j +4121k =4i -6j +2k. 例9. 利用向量积证明三角形的正弦定理.证明：如图S △abc =1/2|a ×b |=1/2|b ×c |=1/2|c ×a |⇒ |a ||b |sin C =|b ||c |sin A =|c ||a |sin B例10. 已知M 1(1,-1,2), M 2(3,3,1), M 3(3,1,3),求与M 1M 2,M 2M 3同时垂直的单位向量.解: M 1M 2=(3,3,1)-(1,-1,2)=(2,4,-1),M 2M 3=(3,1,3)-(3,3,1)=(0,-2,2);与M 1M 2,M 2M 3同时垂直的一个向量为:a =M 1M 2⨯M 2M 3=220142--k j i=2214--i -2012-j +2042-k=6i -4j -4k .|a|=222)4()4(6-+-+=217⇒ a =±171(3i -2j -2k ) 作业：高等数学练习册C 习题三十七 教学后记：教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编 《高等数学典型题精解》 陈兰祥编《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型） 复习参考题：设向量→→→→++=k j i a 32，→→→→--=k j i b 2 （1）求向量→a 在→b 上的投影；（2）若|→c |=3，求向量→c ，使得三向量→a ，→b ，→c 构成的平行六面体的体积最大.|讲授内容：§7-5 平面及其方程教学目的与要求：1 掌握平面的点法式、一般式、截距式方程,会根据相应条件求平面的方程.2.掌握两平面夹角的概念与求法，掌握两平面平行、垂直的充分必要条件.3.掌握点到平面的距离公式，会求点到平面的距离.教学重难点：重点――求平面的方程.难点――根据相应条件灵活选取平面方程的形式.教学方法：讲授法教学建议：用点法式求平面方程的关键是确定平面上的一个已知点和平面的法向量学时：2学时教学过程：一、平面的点法式方程1.法线向量: 与平面垂直的非零向量.2.平面的点法式方程设M0(x0,y0,z0)是平面П上的已知点,n=(A,B,C)是平面П的法线向量,M(x,y,z)是平面П上的任一点.则有n•M0 M=0.由于n=(A,B,C) ; M0M=( x－x0,y－y0,z－z0)即有此为平面的点法式方程.例1.求过点(2,-3,0)且以n =(1,-2,3)为法线向量的平面方程.解:代入方程得:(x -2)-2(y +3)+3(z -0)=0 ⇒x -2y +3z -8=0例2.求过三点M 1(2,-1,4)、M 2(-1,3,-2)、M 3(0,2,3)的平面方程.解:由于n ∥M 1M 2×M 1M 3=132643----kj i =14i +9j -k则所求平面方程为 ⇒ 14(x -2)+9(y +1)-(z -4)=0 ⇒14x +9y -z -15=0二、 平面的一般方程1. 平面的一般方程为其中n =(A ,B ,C )为法向量2. 各种特殊情形a) D =0,平面Ax +By +Cz =0经过原点; b) A =0,平面By +Cz +D =0平行于x 轴; c) B =0,平面Ax +Cz +D =0平行于y 轴; d) C =0,平面Ax +By +D =0平行于z 轴; e)A =B =0,平面Cz +D =0平行于xoy 平面;f)A=C=0,平面By+D=0平行于xoz平面;g)B=C=0,平面Ax+D=0平行于yoz平面.例3.求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程.解:平面经过x轴,则法向量在x轴上的投影为0, ⇒A=0;平面经过x轴,则平面经过原点, ⇒D=0;故可设平面方程为: By+Cz=0,又平面经过点(4,-3,-1), ⇒-3B-C=0,或C=-3B.代入有y-3z=0.例4.设一平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三点,求此平面的方程.(其中a≠0,b≠0,c≠0)解:设平面方程为Ax+By+Cz+D=0代入P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c) 得A=-D/a, B=-D/b, C=-D/c,代入方程并消去D得平面方程:此方程称为平面的截距式方程,a,b,c依次称为平面在x,y,z轴上的截距.三、两平面的夹角1.两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角).设平面П1和П2的法线向量依次为:n 1=(A 1,B 1,C 1) n 2=(A 2,B 2,C 2)则平面П1和П2的夹角θ为(n 1^n 2)和π-(n 1^n 2)中的锐角,⇒ cos θ=|cos(n 1^n 2)|,即有:2. 两平面垂直、平行的充分必要条件例1. 求两平面x -y +2z -6=0和2x +y +z -5=0的夹角. 解:n 1=(1,-1,2) n 2=(2,1,1)⇒ cos θ=2222221122)1(1|121)1(21|++∙+-+⨯+⨯-+⨯=21⇒ θ=π/3例2. 一平面通过两点M 1(1,1,1)和M 2(0,1,-1)且垂直于平面x +y +z =0,求它的方程. 解:设所求平面的一个法向量为 n ={A ,B ,C }.由n ⊥M 1M 2=(-1,0,-2) ⇒ -A -2C =0 由n ⊥(1,1,1)⇒ A +B +C =0 ⇒ A =-2C ,B =C ,代入点法式方程:A (x -1)+B (y -1)+C (z -1)=0消去C 得所求方程为:2x -y -z =03. 点到平面的距离例3.设P 0(x 0,y 0,z 0)是平面Ax +By +Cz +D =0外一点,求P 0到这平面的距离. 解:在平面上任取一点P 1(x 1,y 1,z 1),并作一法向量n ={A ,B ,C }.则所求距离:d =│Prj n P 1P 0│. 又设e n 为与n 方向一致的单位向量, 则有:Prj n P 1P 0= P 1P 0•e n而e n =(222CB A A ++,222CB A B ++,222CB AC ++)P 1P 0=(x 0－x 1,y 0－y 1,z 0－z 1)由于: Ax 1+By 1+Cz 1+D =0, 所以:Prj n P 1P 0=222000CB A DCz By Ax +++++即:222000CB A DCz By Ax d +++++=例1.求点(2,1,1)到平面x +y －z +1=0的距离解: d =222)1(11|1121121|-+++⨯-⨯+⨯=3作业：高等数学练习册C 习题三十八教学后记：教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编 《高等数学典型题精解》 陈兰祥编《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型） 复习参考题：求经过点)1,1,1(1p 和)2,2,2(2p 且与平面0=-+z y x 垂直的平面的方程.讲授内容：§7-6空间直线及其方程教学目的与要求：1、 掌握空间直线的一般方程、对称式方程和参数方程.并会根据相关条件求直线的方程2、 理解两直线夹角的概念，会求两直线的夹角.3、 掌握两直线平行垂直的充分必要条件.4、 理解直线与平面夹角的概念，掌握直线与平面垂直平行的充分必要条件.5、 掌握用平面束方程的解题方法.教学重难点： 重点――空间直线方程的三种形式及其求法.难点――熟知向量的概念和运算.教学方法：讲授法 教学建议：平面束方程的解题方法，在求平面、直线方程中有时很有意义，可多举例说明. 学时： 2学时 教学过程：一、 空间直线的方程 1、空间直线的一般方程定义:方程组⎩⎨⎧=+++=+++0222111D z C y B x A D z C y B x A 叫做空间直线的一般方程或面交式方程.2、空间直线的对称式方程1）．方向向量:与已知直线平行的非零向量. 2）．直线的对称式方程或点向式方程:设M 0(x 0,y 0,z 0)为直线L 上的已知点, M (x ,y ,z )为直线L 上的任一点. s =(m ,n ,p )为L 的方向向量.由于 M 0M ∥s ,即有:此方程称为直线的对称式方程或点向式方程直线L 的任一方向向量s 的坐标m ,n ,p 称为这直线的一组方向数,而向量s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦.注:当m ,n ,p 中有一个为零时,如m =0,而n ,p ≠0时,则方程组为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-p z z ny y x x 0000当m ,n ,p 中有两个为零时,如m =n =0,而p ≠0时,则方程组为⎩⎨⎧=-=-0000y y x x 3、直线的参数方程由t pz z n y y m x x =-=-=-000得:称此方程组为直线的参数方程.例1． 对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x解:两平面的法向量分别为n 1={1,1,1}和n 2={2,1,-3},则s = n 1×n 2=312111-kj i令x =1,代入方程,求得直线上得一点: (1,0,-2) 对称式方程为:32141-+=-=-z y x 参数式方程为:⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=t z t y t x 3241 二、 两直线的夹角1、直线的夹角:两直线方向向量的夹角.(通常为锐角)2、设直线L 1和L 2的方向向量分别为s 1=(m 1,n 1,p 1),s 2=(m 2,n 2,p 2), 则其夹角为φ=(s 1^s 2)中的锐角.且有3、两直线相互垂直和平行的充分必要条件例2． 求直线L 1:13141x y z -+==-和L 2: 2221x y z+==--的夹角. 解: s 1=(1,-4,1),s 2=(2,-2,-1)⇒ cos φ=222222)1()2(21)4(1|)1(11)2()4(21|-+-+∙+-+-⨯++-⨯-+⨯=21⇒ φ=π/4.三、 直线与平面的夹角1、 线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,直线与平面的夹角是指直线和它在平面上的投影直线的夹角 φ.(0≤φ＜π/2）当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为π/2.设直线L 的方向向量为s =(m ,n ,p ),平面Π的法向量n =(A ,B ,C ),其夹角为φ，则 φ=|π/2-(s ^n )| 因此,sin φ=|cos(s ٨n )|且有2、 直线与平面相互垂直和平行的充分必要条件例3. 求过点(1,-2,4)且与平面2x -3y +z -4=0垂直的直线的方程.解: 所求直线的方向向量为: s =(2,-3,1)直线过点(1,-2,4)直线方程为:21-x =32-+y =14-z 四、 平面束解题方法平面束:通过定直线的所有平面.设直线 L 为⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 其中系数A 1,B 1,C 1和A 2,B 2,C 2不成比例,则过L的平面束方程为例4. 求直线1010x yz x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面x +y +z =0上的投影直线方程.解:设经过直线L : ⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x的平面束方程为 (x +y -z -1)+λ(x -y +z +1)=0, 即:(1+λ)x +(1-λ)y +(-1+λ)z +(-1+λ)=0由于此平面与已知平面垂直,所以:(1+λ)+(1-λ)+(-1+λ)=0 即有λ=-1代入平面束方程得投影平面的方程为y -z -1=0从而得投影直线l 的方程:⎩⎨⎧=++=--001z y x z y五、 杂例例5. 求与平面x -4z =3和2x -y -5z =1的交线平行且过点(-3,2,5)的直线方程. 解:s =n 1×n 2=512401---kj i=-(4i +3j +k )则所求直线方程为:153243-=-=+z y x例6. 求直线234112x y z ---==与平面2x +y +z -6=0的交点. 解: 直线的参数方程为: x =2+t , y =3+t , z =4+2t , 将其代入平面方程:⇒t =-1.将其代入直线方程得:交点坐标为:(1,2,2).例7. 求过点(2,1,3)且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解:(法一)过点(2,1,3)作平面垂直于已知直线,则此平面的方程为3(x -2)+2(y -1)-(z -3)=0求已知直线与该平面的交点,将直线的参数方程x =-1+3t ,y =1+2t ,z =-t代入平面方程得t =3/7从而得交点(2/7,13/7,-3/7)于是所求直线的方向向量为s =(2/7-2,13/7-1,-3/7-3)=－6/7(2,-1,4)故所求直线的方程为:431122-=--=-z y x (法二)设所求直线的参数方程为x =mt +2,y =nt +1,z =pt +3, 由于所求直线与已知直线垂直,从而有: (m ,n ,p )⊥(3,2,-1),⇒3m +2n -p =0又由于所求直线与已知直线相交,故由两直线的参数方程有x =3t -1=mt +2, y =2t +1=nt +1, z =-t =pt +3⇒(m -3)t =-3,(n -2)t =0,(p +1)=-3显然t ≠0,从而解得:m =-4,n =2,p =-8,t =3/7故有所求直线的参数方程为: x =-4t +2,y =2t +1,z =-8t +3或者所求直线的方程为:431122-=--=-z y x . 例8. 求与已知直线L 1:351231x y z +--==及L 2:147510z y x =+=-相交且和直线L 3:137182-=-=+z y x 平行的直线L . 解(法一):将L 1与L 2都化为参数方程:L 1:⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=1115332tz t y t x ; L 2:⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=22274105tz t y t x 由于L 与L 1和L 2都相交且与L 3平行,则两交点对应坐标的差应与L 3的方向数成比例,即有:17)74()53(8)105()32(212121t t t t t t -=--+=+-- ⇒⎩⎨⎧=--=-123413362121t t t t 解得t 1=－25/2,由此得L 和L 1的交点为:x 1=-28,y 1=-65/2,z 1=-25/2故所求直线的方程为:12/2572/65828+=+=+z y x 解(法二)设直线经过点(a ,b ,c ),下面求点(a ,b ,c ) 由所求直线与L 3平行有:x =8t +a ,y =7t +b ,z =t +c ;由所求直线与L 1相交,即有t 1,满足8t 1+a =2t 1-3,7t 1+b =3t 1+5,t 1+c =t 1,⇒6t1=-3-a,4t1=5-b,c=0.⇒2a-3b=-21,c=0 (1)又由所求直线与L2相交,即有t2,满足:8t1+a=5t2+10,7t2+b=4t2-7,t2+c=t2,⇒3t2=10-a,3t2= -7-b,c=0.⇒a-b=17,c=0 (2) 由(1),(2)⇒a=72,b=55,c=0故所求直线的方程为:x=8t+72,y=7t+55,z=t.例9.求过直线3220260x yx y z-+=⎧⎨--+=⎩且与点(1,2,1)的距离为1 的平面方程.解:设过此直线的平面束方程为:(3x-2y+2)+λ(x-2y-z+6)=0 ⇒(3+λ)x-(2+2λ)y-λz+(2+6λ)=0,由点到平面的距离公式d=222)22()3()6 2(12)22(1)3(λλλλλλλ+++++ +∙-∙+-∙+=1 ⇒λ=－2,或λ=－3,故所求平面的方程为x+2y+2z-10=0, 或4y+3z-16=0.例10.求两直线L1:1011x y z-==和L2:212+=-=zyx的公垂线L的方程.解:公垂线的方向向量:s=s1×s2=(0,1,1)×(2,-1,0)=(1,2,-2) 过L与L1的平面法向量为:n 1= s ×s 1=(1,2,-2)×(0,1,1)=(4,-1,1)在直线L 1上取点(1,0,0),则过L 与L 1的平面方程为:4x -y +z -4=0过L 与L 2的平面法向量为:n 2= s ×s 2=(1,2,-2)×(2,-1,0)=(2,4,5)在直线L 2上取点(0,0,-2) 则过L 与L 2的平面方程为:2x +4y +5z +10=0于是公垂线的方程为:⎩⎨⎧=+++=-+-010542044z y x z y x 作业：高等数学练习册C 习题三十九 教学后记：教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编 《高等数学典型题精解》 陈兰祥编《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习思考题 ：设12122:,21221:21zy x l z y x l =-=-++==-是两条异面直线，求 （1） 1l 与2l 的公垂线方程. （2） 1l 与2l 的距离.讲授内容：§7-7旋转曲面和二次曲面教学目的与要求：1、理解曲面与曲面方程间的关系，会用轨迹法求曲面的方程.2、掌握由平面曲线绕坐标轴旋转形成旋转曲面的方程的方法.3、理解柱面的概念，并会求柱面的方程.4、理解用截痕法，伸缩变形法讨论曲面形状的方法.5、掌握九种二次曲面的方程和大致形状.教学重难点：重点――旋转曲面、柱面方程的求法.难点――二次曲面的方程和大致形状.教学方法：讲授法教学建议：为使学生掌握二次曲面的方程和形状，讲清由平面曲线先经过旋转再伸缩变形的基本思想学时：2学时教学过程：一．曲面方程的概念1.曲面方程的定义:如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0 (1)满足（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),那么,方程(1)叫做曲面S的方程;而曲面S叫做方程(1)的图形.例1.建立球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面方程.解:设点M(x,y,z)是球面上的任意一点,则|M0M|=R,⇒(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例2.设有点A(1,2,3)和B(2,－1,4),求线段AB的垂直平分面的方程.解:设点M(x,y,z)在平分面上,则|AM|=|BM|,⇒(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2.⇒2x-6y+2z-7=0.例3.方程x2+y2+z2－2x+4y=0表示怎样的曲面.解: 将方程配方: ⇒(x-1)2+(y+2)2+z2=5.表示球心在(1,-2,0),半径为5的球.由此空间解析几何中关于曲面的讨论,有下列两个基本问题(2)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程;(3)已知坐标x,y,和z间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面的形状.例1、例2为问题(1),例3为问题(2).二．旋转曲面旋转曲面：一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面.这条定直线叫做旋转曲面的轴.设在yoz面上有一已知曲线C,它的方程为f(y,z)=0,将其绕z轴旋转一周,得到一曲面,其方程求法如下:设M 1(0,y 1,z 1)为曲线C 上的任一点,则有f (y 1,z 1)=0 (2)当曲线C 绕z 轴旋转时,点M 1也绕z 轴旋转到另一点M (x ,y ,z ), 此时z =z 1保持不变,且点M 到旋转轴的距离d =22y x +=|y 1| 将 z =z 1, y 1=±22y x + 代入(2)中,⇒f (±22y x +,z )=0这就是所求曲面的方程.同理,曲线C 绕y 轴旋转的旋转曲面方程为: f (y ,±22z x +)=0类似地有:曲线 C : f (x ,y )=0绕x 轴旋转的旋转曲面方程为: f (x , ±22z y +)=0绕y 轴旋转的旋转曲面方程为: f (±22z x +, y )=0曲线 C :f (x ,z )=0绕x 轴旋转的旋转曲面方程为: f (x , ±22z y +)=0绕z 轴旋转的旋转曲面方程为: f (±22y x +,z )=0例4.直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫做圆锥面.两直线的交点叫做圆锥面的顶点,两直线的夹角(0<α<π/2)叫做圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点O ,旋转轴为z 轴,半顶角为α的圆锥面的方程.解:在yoz 平面上,直线L 的方程为:z =y cot α,⇒ 旋转曲面的方程为:z =±22y x +cot α 或者 z 2=a 2(x 2+y 2), 其中,a =cot α例5. 将xoz 坐标面上的双曲线2222cz a x -=1分别绕x 轴和z 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.解:绕x 轴旋转生成的旋转双叶双曲面: 22222c z y a x +-=1绕z 轴旋转生成旋转单叶双曲面: 22222cz a y x -+=1三、柱面柱面:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹.定曲线C叫做柱面的准线, 动直线L叫做柱面的母线.例6.方程x2+y2=R2表示的曲面叫做圆柱面解: 准线是xoy平面上的圆x2+y2=R2,母线是平行于z轴的直线.例7.方程y2=2x表示的曲面叫做抛物柱面解:准线是xoy平面上的抛物线y2=2x,母线是平行于z轴的直线.一般地,在空间直角坐标系下,F(x,y)=0: 母线平行于z轴的柱面,其准线是xoy面上的曲线C: F(x,y)=0.F(x,z)=0: 母线平行于y轴的柱面,其准线是xoz面上的曲线C: F(x,z)=0.F(y,z)=0: 母线平行于x轴的柱面,其准线是yoz面上的曲线C: F(y,z)=0.平面为柱面.例如: 平面x -z =0表示:母线平行于y 轴,准线为xoz 平面上的直线:x -z =0.四、二次曲面二次曲面: 三元二次方程F (x ,y ,z )=0所表示的曲面.平面叫做一次曲面 二次曲面共九种.利用截痕法可以了解二次曲面的形状.1. 椭球锥面: 22222z by a x =+ 以平面z=t 截曲面:当t=0时,得一点(0,0,0).当t ≠0时,得平面z=t 上得椭圆: 2222)()(bt y at x +=1; 当|t|从大到小变为0时,椭圆从大到小收宿为一点,其图形为:平面z =t 于曲面F (x ,y ,z )=0的交线称为截痕.通过截痕的变化了解曲面形状的方法称为截痕法.下面用伸缩变形法讨论曲面的形状平面xoy 上的图形的伸缩变形:将平面上的点M (x ,y )变为点M ′(x ,λy ),此时点M (x ,y )的轨迹C 变为点M ′(x ,λy )的轨迹C ′,称将图形C 沿y 轴方向伸缩λ倍变成图形C ′.下面讨论C 于C ′的方程关系:设C 的方程为F (x ,y )=0,点M (x 1,y 1)∈C ,将M (x ,y )变为M ′(x 2,y 2),此时 x 2=x 1,y 2=λy 1⇒ x 1=x 2, y 1=λ1y 2 由 M (x 1,y 1)∈C ⇒ F (x 1,y 1)=0 ⇒ F (x 2,λ1y 2)=0 因此M ′(x 2,y 2)的轨迹C ′的方程为: F (x ,λ1y )=0. 例如将圆x 2+y 2=1沿y 轴方向伸缩ab 倍,则圆的方程变为:2222b y a x +=1,即图形由圆变为椭圆. 将圆锥面222a y x +=z 2沿y 轴方向伸缩ab 倍,则 圆锥面变为椭圆锥面: 22222z by a x =+2. 椭球面: 222222c z b y a x ++=1 将xoz 平面上的椭圆2222cz a x +=1绕z 轴旋转得 旋转椭球面:222a y x ++22c z =1, 再将旋转椭球面沿y 轴方向伸缩ab 倍,得 椭球面: 222222cz b y a x ++=1 当a =b =c 时,椭球面为球面: x 2+y 2+z 2=a 2.3. 单叶双曲面: 222222cz b y a x -+=1 将xoz 平面上的双曲线2222cz a x -=1绕z 轴旋转得 旋转单叶双曲面:222a y x +-22c z =1 再将旋转单叶双曲面沿y 轴方向伸缩ab 倍,得单叶双曲面: 222222cz b y a x -+=14. 双叶双曲面: 222222cz b y a x --=1 将xoz 平面上的双曲线2222cz a x -=1绕x 轴旋转得 旋转双叶双曲面:22a x -222c z y +=1 再将旋转双叶双曲面沿y 轴方向伸缩cb 倍,得 双叶双曲面: 222222cz b y a x --=15. 椭圆抛物面: 2222by a x +=z。
教案模板高中数学向量
教案模板高中数学向量
授课时间：1课时
教学目标：
1. 理解向量的概念和性质；
2. 掌握向量的加法、减法和数乘运算；
3. 能够用向量解决几何和物理问题。
教学重点：
1. 向量的概念和性质；
2. 向量的加法、减法和数乘运算。
教学难点：
1. 向量的运算规则；
2. 向量在几何和物理问题中的应用。
教学准备：
1. 教材：高中数学教科书；
2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪。
教学过程：
1. 引入（5分钟）：通过引入一个几何问题，让学生了解向量的概念，并引出向量的加法
和减法运算。
2. 讲解向量的概念和性质（10分钟）：讲解向量的定义、零向量、单位向量等概念，并
介绍向量的性质。
3. 示例演练（15分钟）：教师以示例的方式演示向量的加减法和数乘运算，并让学生跟
随操作。
4. 练习与讨论（15分钟）：让学生进行练习题，巩固向量的运算规则，并引导学生讨论
解题过程中的问题。
5. 拓展与应用（10分钟）：通过几何和物理问题，让学生体会向量在实际应用中的作用，并引导学生解答相关问题。
6. 总结与展望（5分钟）：对本节课的内容进行总结，梳理向量的基本概念和运算规则，并展望下一节课内容。
课堂作业：
1. 完成教材中相关练习题；
2. 思考如何应用向量解决实际问题。
教学反思：
本节课通过引入、讲解、示例演练、练习讨论等多种方式，帮助学生初步掌握了向量的概念和运算规则。
在今后的教学中，需要进一步引导学生灵活运用向量解决各类问题，并加深学生对向量概念的理解和应用能力。
向量教案(精品文档)_共5页
2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示 教学目标：• 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.• 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.• 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路：（一）一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？ 这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. B CA(起点)2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小―长度称为向量的模，记作||.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.（四）理解和巩固：例1 书本75页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）课堂练习：书本77页练习1、2、3题三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
高中数学教案向量
高中数学教案向量教学目标：
1. 让学生了解什么是向量，理解向量的定义及性质；
2. 学习向量的表示法，掌握向量的加法和数乘运算；
3. 能够应用向量进行几何问题的分析和解决；
4. 培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
教学重点：
1. 向量的定义和性质；
2. 向量的加法和数乘运算；
3. 向量的应用解题。
教学难点：
1. 向量的几何解释；
2. 向量的分解和合成。
教学准备：
1. PowerPoint课件；
2. 黑板、彩色粉笔；
3. 教材《高中数学》；
4. 练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过例题引入向量的概念，让学生了解什么是向量。
二、向量的定义和表示（15分钟）
1. 向量的定义及性质；
2. 向量的表示法。
三、向量的运算（20分钟）
1. 向量的加法和数乘运算；
2. 向量的性质及运算规律。
四、向量的应用（15分钟）
1. 向量的几何解释；
2. 向量的应用题解析。
五、练习与讨论（20分钟）
给学生一些练习题，让他们运用所学知识解决问题，并进行讨论。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固和加深学生对向量的理解和掌握。
教学反思：
本节课主要介绍了向量的定义和运算，并进行了相关应用训练。
在教学过程中，要注意引导学生理解概念，勤动手解题，加强练习和巩固。
同时，要鼓励学生发散性思维，培养其分析和解决问题的能力。
重点高中数学向量教案
重点高中数学向量教案一、知识导入1. 什么是向量？2. 向量的表示方法？3. 向量的模长和方向？4. 向量的相等和相反？5. 向量的加法和减法？二、应用练习练习1：已知向量a = (3, -2)，b = (1, 4)，求a + b和a - b。
练习2：给定三个向量c = (2, 1)，d = (3, -1)，e = (5, 4)，计算(c + d) - e。
练习3：证明向量a + b = b + a的性质。
三、相关概念1. 平行向量和共线向量的概念及判断方法。
2. 向量的数乘运算及其性质。
3. 向量的数量积及其应用。
4. 向量的叉积及其应用。
四、拓展练习练习1：已知向量f = (2, 5)，g = (-3, 1)，求f • g及|f x g|。
练习2：证明两个向量的数量积为0时，它们是垂直的。
练习3：在平面直角坐标系中，给定三个向量h = (1, 0)，i = (0, 1)，j = (-1, 1)，求|h + i x j|。
五、知识拓展1. 向量的线性组合及基底的概念。
2. 向量的投影及其应用。
3. 应用向量解决几何问题。
4. 向量与解析几何的关系。
六、总结与展望通过本节课的学习，同学们应该能够：1. 理解向量的基本概念和运算方法。
2. 掌握向量的加法、减法、数量积、叉积等操作。
3. 运用向量解决几何和代数问题。
4. 培养数学思维和解决问题的能力。
未来展望：1. 深入研究向量空间和线性代数。
2. 探索向量在物理、工程等领域的应用。
3. 拓展向量相关知识，探索更多的数学问题。
初中向量教案
初中向量教案教学目标：1. 理解向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 学会向量的加法、减法和数乘运算。
3. 能够应用向量解决实际问题。
教学重点：1. 向量的概念及其表示方法。
2. 向量的加法、减法和数乘运算。
教学难点：1. 向量的概念和表示方法的理解。
2. 向量的加法、减法和数乘运算的运用。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示向量的图形和运算示例。
2. 学生准备笔记本，记录重要概念和运算方法。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入向量的概念：向量是具有大小和方向的量。
2. 向量的表示方法：用箭头表示，箭头的长度表示大小，箭头的方向表示方向。
二、向量的加法（15分钟）1. 向量加法的定义：将两个向量首尾相接，得到的向量称为两向量的和。
2. 向量加法的几何意义：将两个向量的起点重合，终点相连，得到的向量就是两向量的和。
3. 向量加法的运算规则：将两个向量的对应分量相加，得到的结果向量的分量分别是两个向量对应分量和的坐标。
三、向量的减法（10分钟）1. 向量减法的定义：将一个向量从另一个向量首尾相接，得到的向量称为两向量的差。
2. 向量减法的几何意义：将两个向量的起点重合，一个向量的终点与另一个向量的起点相连，得到的向量就是两向量的差。
3. 向量减法的运算规则：将两个向量的对应分量相减，得到的结果向量的分量分别是两个向量对应分量差的坐标。
四、向量的数乘（10分钟）1. 向量数乘的定义：将一个实数与一个向量相乘，得到的向量称为原向量的数乘。
2. 向量数乘的几何意义：将原向量的每一点乘以实数，得到的新向量的每一点是原向量对应点的实数倍。
3. 向量数乘的运算规则：将向量的每个分量乘以实数，得到的结果向量的分量分别是原向量对应分量乘以实数的坐标。
五、应用（10分钟）1. 利用向量解决实际问题，如物体的位移、速度、加速度等。
2. 让学生举例说明向量在现实生活中的应用。
六、总结（5分钟）1. 总结向量的概念、表示方法、加法、减法和数乘运算。
初中教案向量
初中教案向量1. 知识与技能：（1）理解向量的概念，掌握向量的表示方法；（2）学会向量的加法、减法、数乘和点乘运算；（3）能够运用向量解决一些实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例引入向量概念，培养学生的抽象思维能力；（2）引导学生运用向量知识解决几何问题，提高学生的解决问题的能力；（3）通过小组合作、讨论，培养学生的团队协作能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性；（2）培养学生勇于探索、严谨治学的态度；（3）通过向量知识在实际问题中的应用，培养学生的应用意识。
二、教学内容1. 向量的概念及其表示方法；2. 向量的加法、减法、数乘和点乘运算；3. 向量在几何中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：向量的概念、表示方法以及向量的基本运算；2. 难点：向量在几何中的应用。
四、教学过程1. 导入：通过实例引入向量概念，引导学生理解向量的定义和表示方法。
2. 新课：讲解向量的加法、减法、数乘和点乘运算，结合图形演示，让学生直观理解向量运算的结果。
3. 应用：通过几何问题，引导学生运用向量知识解决问题，巩固所学内容。
4. 练习：布置适量练习题，让学生独立完成，检测学习效果。
5. 总结：对本节课内容进行总结，强调向量在几何中的应用。
6. 拓展：介绍向量在其他领域的应用，激发学生的学习兴趣。
五、教学方法与手段1. 采用讲授法、示范法、练习法等多种教学方法；2. 利用多媒体课件、图形演示等手段，提高教学效果。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 练习完成情况：检查学生练习题的完成质量，评估学生对知识掌握的程度；3. 课后反馈：收集学生对课堂内容的反馈，及时调整教学方法。
七、教学资源1. 教材：选用符合新课程标准的教材；2. 课件：制作多媒体课件，辅助教学；3. 练习题：准备适量练习题，巩固所学知识。
八、教学进度安排1课时：向量的概念及其表示方法；2课时：向量的加法、减法、数乘和点乘运算；3课时：向量在几何中的应用。
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【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算
【教学目标】
知识目标：
（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标：
通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．
【教学重点】
向量的线性运算．
【教学难点】
已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．
【教学设计】
从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．
向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的.
教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.
向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.
实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.
【教学备品】 教学课件．
【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】
（2）
【教师教学后记】
【课题】7.2 平面向量的坐标表示
【教学目标】
知识目标：
（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示； （2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式. 能力目标：
培养学生应用向量知识解决问题的能力.
【教学重点】
向量线性运算的坐标表示及运算法则.
【教学难点】
向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.
【教学设计】
向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐标原点（一般称为位置向量）．设x 轴的单位向量为i ，轴的单位向量为j ．如果点A 的坐标为（x ，y ）,则
OA x y =+
i j ， 将有序实数对（x ，y ）叫做向量OA 的坐标．记作OA
=（x ，y ）．
例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要强调此时起点的位置．让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例2是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识巩固性例题．要强调与公式的对应．
在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标，由此得到公式（7.8）.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例3是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题．要强调“终点的坐标减去起点的坐标”．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
【教师教学后记】
【课题】7.3 平面向量的内积
【教学目标】
知识目标：
（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.
（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：
通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．
【教学重点】
平面向量数量积的概念及计算公式.
【教学难点】
数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．
【教学设计】
教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．
在讲述向量内积时要注意：
（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；
（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：
（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180
时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．
（2）|a |＝础；
（3）cos<a ,b >＝
||||
⋅a b
a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．
【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】
【教师教学后记】。