人教版高中数学《平面向量》全部教案
高一数学平面向量 新课标 人教版 教案
高一数学平面向量一、向量及向量的基本运算 1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行。
<注意与0的区别>③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为b a=。
2）向量加法①求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设b BC a AB==,，则a +b =BC AB +=AC 。
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。
说明：（1）a a a=+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律；3)向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。
记作a-,零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0。
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：)(b a b a -+=-。
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）。
注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
4)实数与向量的积①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。
高中数学人教版平面向量教案
高中数学人教版平面向量教案一、引言平面向量是高中数学中的重要内容之一。
本教案将以人教版教材为基础，以平面向量的定义、运算和性质为主线，结合具体例题，帮助学生深入理解和掌握平面向量的基本概念和运算方法。
二、教学目标1. 理解平面向量的定义，掌握向量的表示方法。
2. 掌握平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算法则。
3. 熟悉平面向量的基本性质和运算性质，能够灵活应用于实际问题的解决。
4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力，提高数学抽象思维和推理能力。
三、教学内容1. 向量的定义和表示(1) 向量的定义(2) 向量的表示：坐标表示、标量表示和分量表示；(3) 向量的相等和零向量。
2. 向量的运算(1) 向量的加法：几何法和坐标法；(2) 向量的减法：几何法和坐标法；(3) 向量的数乘；(4) 向量的数量积：定义、运算法则和性质。
3. 平面向量的性质和应用(1) 零向量的性质；(2) 相反向量的性质；(3) 平行向量和共线向量的性质；(4) 向量的模长、单位向量和方向角的计算；(5) 向量运算在几何问题中的应用。
四、教学过程1. 导入部分向学生介绍平面向量的概念和重要性，引导学生思考与向量相关的实际问题，并让学生列举几个例子。
2. 向量的定义和表示(1) 在黑板上给出向量的定义：有大小和方向的量称为向量。
(2) 引导学生通过几何法和坐标法来表示向量，与学生共同讨论向量表示的不同方法和意义。
(3) 教师通过示例向学生解释向量相等和零向量的概念。
3. 向量的运算(1) 向学生介绍向量的加法，通过几何法和坐标法来解释加法的过程和规则。
(2) 类似地，向学生介绍向量的减法和数乘运算，让学生通过例题来深入理解和掌握运算法则。
(3) 提醒学生注意向量运算的几何意义和规律性。
4. 平面向量的性质和应用(1) 引导学生发现并探讨零向量的性质，了解零向量在运算中的特殊作用。
(2) 让学生通过实例了解相反向量的性质和应用。
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学平面向量教案
高中数学平面向量教案教案标题：高中数学平面向量教学案教学目标：1. 理解平面向量的概念；2. 掌握平面向量的表示方法：坐标表示法、分量表示法；3. 掌握平面向量的加法、减法和数量积的计算方法；4. 运用平面向量解决实际问题。
教学重点：1. 平面向量的概念和表示方法；2. 平面向量的运算方法。
教学难点：1. 平面向量的加法和减法；2. 平面向量的数量积。
教学准备：教材、黑板、彩色笔、平面向量的相关习题。
教学过程：Step 1：引入平面向量概念（5分钟）教师用平面上两点的例子引入平面向量的概念，并引导学生思考平面向量的特点和表示方法。
Step 2：平面向量的表示方法（10分钟）教师讲解平面向量的坐标表示法和分量表示法，并用具体的例子巩固学生对这两种表示方法的理解。
Step 3：平面向量的加法和减法（15分钟）教师通过几个简单的例子讲解平面向量的加法和减法的概念和计算方法，并让学生通过练习题巩固。
Step 4：平面向量的数量积（15分钟）教师引入平面向量的数量积的概念，并讲解数量积的计算方法和性质。
然后让学生通过练习题巩固。
Step 5：实际问题的应用（10分钟）教师给出一些与平面向量相关的实际问题，要求学生运用所学知识解决问题，并引导学生分析思路和解决方法。
Step 6：总结和拓展（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并拓展一些平面向量的相关知识，如平面向量的夹角、平面向量的垂直和平行关系等。
Step 7：作业布置（5分钟）教师布置相关的课后练习题，巩固所学知识，并留出一些思考题，引导学生进一步思考和探索。
教学反思：本节课通过引入、讲解、练习和应用的方式，全面而系统地介绍了高中数学平面向量的相关知识。
通过举例和练习，让学生理解了平面向量的概念、表示方法、运算方法和实际应用，培养了学生的数学思维能力和解决问题的能力。
同时，做到了知识和能力的有机结合，提高了学生的学习兴趣和学习效果。
人教版高中必修4《平面向量》教学设计
人教版高中必修4《平面向量》教学设计《人教版高中必修4《平面向量》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、单元教学内容分析本章节内容教学安排在人教版必修四三角函数章节后，和差公式前，这为后面的和差公式的学习做好铺垫，又为解三角形问题和平面几何中的许多计算问题提供便利工具。
向量既有代数特征，又有几何特征，是沟通代数与几何的桥梁。
向量具有代数特征，运算及其规律是代数学研究的基本问题，向量可以进行多种运算，如向量加、减、数乘和数量积等。
向量运算具有一系列运算性质。
向量具有几何特征，它不仅可以描述，刻画几何中的点、线、面及其位置关系，数量关系，还可以表示空间中的曲线与曲面，是研究几何问题的基本工具。
本教材从学生熟悉的实例出发，经过观察、分析、归纳等方法概括出向量的相关概念，比以往的教材更能使学生产生自然而亲切的感觉，有助于激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，使他们真正认识到数学的应用价值，从而提高学生应用数学的意识。
教材结合向量的几何背景——有向线段，引入向量的表示法，规定了向量的长度的概念。
定义了零向量，单位向量、平行向量、相等向量、相反向量、共线向量等概念。
对于许多旧有的知识利用向量方法去处理，就会变得简单易懂，从而有助于学生对这些知识有更深刻的理解，更牢固的记忆，更自如的应用。
二、单元学生情况分析1、学生在初中阶段接触过物理学中的矢量，已具备基本的认知水平和运算能力。
2、学生已基本掌握函数和三角函数的基础知识，会运用数形结合法、整体代换法、分类讨论法等解决实际问题。
3、学生已具备基本的分析为和解决问题的勇气和智慧。
三、教学目标1、知识与技能目标(1)理解并掌握平面向量的基本概念。
(2)通过实例，掌握向量的加、减、数乘和数量积运算，并理解其几何意义。
(3)理解并掌握向量共线和垂直问题，理解平面向量基本定理及其意义。
会用坐标表示向量的加、减、数乘和数量积运算。
(4)掌握数量积的坐标表示，能运用数量积表示两个向量的夹角，能解决两个向量的垂直问题，投影问题。
【人教版】高一数学第五章平面向量(全章)教案
［人教版］高一数学第五章 平面向量 第五童平面向量 敎材：向量目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与 已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
a®：一、 开场白：课本P93 （略）实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老一鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向借，了。
二、 提出课题：平面向量1-意义：既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲 量等 注意：1。
数量与向量的区别：.数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较 大小：向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2。
从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优度通性的数学 体系，用以研究空间性质。
2. 向，量•的表示方法： 1。
几何表示法：点一射线有向线段——具有一定方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长 记作（注意起讫） 2。
字母表示法：48可表示为a （印刷时用黑体字）记作：|A8| 模是可以比较大小的4.两个特殊的向量：1。
零向量一■长度（模）为0的向量，记作6。
6的方向是任意的。
注意6与0的区别2。
单位向量一一长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？ 答：不是。
因为零上零下也只是大小之分。
例：旨百与万冒是否同一向量？P95例 用1cm 表示5n mail （海里）3.模的概念：向量新方的大小一长度称为向量的模。
A （起点）B（终北答：不是同一向量“°例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
三、向量间的关系：1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：a //b // c规定：6与任一.向量平行2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
/记作：a=b规定:6=6任两相，等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
高中数学教案平面向量
高中数学教案平面向量高中数学教案：平面向量引言：本教案旨在帮助高中学生系统地理解和应用平面向量的基本概念和运算法则。
通过教案的学习，学生将能够掌握平面向量的加法、减法、数量乘法、点乘、叉乘等运算，进而应用于解决几何和向量相关的问题。
一、平面向量的定义和基本性质（字数500）1.1 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用大写字母表示，如AB。
1.2 平面向量的坐标表示：平面向量可以用坐标表示，即(x, y)。
其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
1.3 平面向量的模：平面向量AB的模表示为|AB|，用于表示向量的长度或大小。
1.4 平面向量的方向角和方向余弦：平面向量AB与x轴的夹角称为方向角，表示为α；方向余弦为向量在x轴上的投影与向量模的比值。
二、平面向量的运算（字数500）2.1 平面向量的加法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即A +B = C，其中A、B、C分别为两个平面向量的坐标和。
2.2 平面向量的减法：平面向量的减法也采用平行四边形法则，即A -B = D，其中A、B、D分别为两个平面向量的坐标和。
2.3 数量乘法：平面向量与实数的乘法，即k × A = E，其中k为实数，A和E分别为平面向量的坐标和。
2.4 平面向量的数量积（点乘）：平面向量A和B的数量积（点乘）表示为A · B，计算公式为A · B = |A| × |B| × cosθ，其中θ为A和B的夹角。
2.5 平面向量的叉乘：平面向量A和B的叉乘表示为A × B，计算公式为A × B = |A| × |B| × sinθ，其中θ为A和B的夹角。
三、平面向量的应用（字数500）3.1 平面向量在几何中的应用：通过平面向量的运算法则，可以解决几何中的向量共线、垂直、平行等性质问题。
3.2 平面向量在力学中的应用：平面向量可以表示物体受力的大小和方向，进而应用于解决平衡力、合成力等力学问题。
2024高中数学人教版平面向量教案
2024高中数学人教版平面向量教案本教案适用于2024年高中数学教学，涉及人教版数学教材中的平面向量部分。
通过本教案的学习，学生将能够全面理解平面向量的基本概念、性质和运算规则，并能够灵活运用这些知识解决与平面向量有关的问题。
一、教学目标1. 理解平面向量的概念和性质，掌握平面向量的表示方法；2. 掌握平面向量之间的运算法则，包括加法、减法、数量乘法以及数量积；3. 熟练运用平面向量解决几何和代数问题，如向量共线、向量垂直等；4. 能够灵活运用平面向量解决几何证明题。
二、教学内容1. 平面向量的概念和表示方法a. 向量的定义及基本性质b. 向量的表示方法：坐标表示、位置向量表示、零向量、单位向量2. 平面向量的运算法则a. 向量的加法和减法b. 向量的数量乘法c. 向量的数量积3. 平面向量的应用a. 向量共线与共面问题b. 向量垂直与平行问题c. 向量的模与方向角d. 向量的投影与正交分解4. 平面向量的几何证明a. 几何证明的基本思路和方法b. 利用向量的性质和运算解决几何证明问题三、教学重点和难点1. 教学重点a. 平面向量的基本概念和表示方法b. 向量的加法、减法和数量乘法运算c. 平面向量在几何问题中的应用2. 教学难点a. 平面向量的数量积运算b. 利用向量的性质和运算解决几何证明问题四、教学方法1. 讲授与演示相结合的教学法，通过具体实例让学生理解和掌握平面向量的概念和运算规则；2. 归纳总结法，梳理平面向量的重点和难点，帮助学生掌握关键知识；3. 练习与实践相结合的方法，通过大量的练习题和应用题，提高学生解决实际问题的能力；4. 合作学习，通过小组活动和讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
五、教学过程1. 导入部分a. 引入平面向量的概念，通过展示几何图形和示例，引发学生对平面向量的认识和兴趣；b. 介绍平面向量的表示方法和基本性质，让学生理解向量的本质和特点。
2. 讲解与示范a. 分步讲解向量的加法、减法和数量乘法运算，通过具体的计算过程和几何图形，帮助学生掌握运算规则；b. 讲解向量的数量积，包括定义、性质和计算方法，引导学生理解数量积的几何意义。
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第五章 平面向量第一教时教材：向量目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
过程：一、开场白：课本P93（略）实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
二、 提出课题：平面向量1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲量等注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2． 向量的表示方法： 1︒几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）2︒字母表示法：AB 可表示为a （印刷时用黑体字） P95 例 用1cm 表示5n mail （海里）3． 模的概念：向量AB 记作：|AB | 模是可以比较大小的4． 两个特殊的向量：1︒零向量——长度（模）为0的向量，记作0。
0的方向是任意的。
注意0与0的区别2︒单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。
因为零上零下也只是大小之分。
例：AB 与BA 是否同一向量？A B A(起点) B （终点） a答：不是同一向量。
例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
三、 向量间的关系：1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：a ∥b ∥c 规定：0与任一向量平行2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：a =b 规定：0=0任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。
OA =a OB =b OC =c例：（P95）略变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（FE DO CB ,,）四、 小结： 五、 作业：P96 练习 习题5.1第二教时教材：向量的加法目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量。
能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。
过程：六、复习：向量的定义以及有关概念强调：1︒向量是既有大小又有方向的量。
长度相等、方向相同的向量相等。
2︒正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。
七、 提出课题：向量是否能进行运算？5．某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+a bcA B C6．若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ 7．某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ 8．船速为AB ，水速为BC ， 则两速度和：AC BC AB =+提出课题：向量的加法三、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：强调：1︒“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点2︒可以推广到n 个向量连加 3︒a a a =+=+004︒不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b 作法：在平面内取一点， 作a OA = b AB = 则b a OB +=4．加法的交换律和平行四边形法则上题中b +a 的结果与a +b 是否相同 验证结果相同 从而得到：1︒向量加法的平行四边形法则 2︒向量加法的交换律：a +b =b +a 9．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )证：如图：使a AB =, b BC =, c CD =A BCA BCAA AB B BC C OABaaabbba +b a +b a a b b b a a ACDaca +b+cb a +b b+c则(a +b ) +c =AD CD AC =+ a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
四、例二（P98—99）略五、小结：1︒向量加法的几何法则 2︒交换律和结合律3︒注意：|a +b | > |a | + |b |不一定成立，因为共线向量不然。
六、作业：P99—100 练习 P102 习题5.2 1—3第三教时教材：向量的减法目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
过程：八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++BA BA CB CD 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++九、 提出课题：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。
记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量。
-(-a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。
a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ， 作OA = a , AB = b 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。
A BO a bBa ba -b注意：1︒AB 表示a - b 。
强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。
4．a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b十、例题：例一、（P101 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d 。
解：在平面上取一点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d , 作BA , DC , 则BA = a -b , DC = c -d例二、平行四边形中，，用表示向量， 解：由平行四边形法则得：AC = a + b, DB = AD AB - = a -b变式一：当a , b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a , b 互相垂直） 变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能， 十一、 小结：向量减法的定义、作图法| 十二、 作业： P102 练习P103 习题5.2 4—8第四教时教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课OABa B’b -b bB a + (-b ) a b ABCbad cDOa -b A B B’ a -ba ab b O A O Ba -b B A O -b目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。
过程：十三、 复习：1︒向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量2︒向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 十四、 1．处理《教学与测试》P135—136 第64课 （略）2．处理《教学与测试》P137—138 第65课例一、设a 表示“向东走3km ”，b 表示“向北走3km ”，则a + b 表示向东北走23km 解：OB = OA +AB233322=+=OB (km )例二、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证：由向量加法法则： AB = AO +OB , DC = DO +OC 由已知：AO =OC , DO =OB∴AB =DC 即AB 与CD 平行且相等 ∴ABCD 为平行四边形例三、在正六边形中，若OA = a , OE = b ，试用 向量a 、b 将OB 、OC 、OD 表示出来。
解：设正六边形中心为P则=++=+=OA OE OA PB OP OB )(a + b=+=PC OP OC a + b + a + b由对称性：OD = b + b + a3．处理《教学与测试》P139—140 第66课 （略）十五、 有时间可处理“备用题”：例一、化简FA BC CD DF AB ++++解：FA BC CD DF AB ++++= FA DF CD BC AB ++++ =FA DF CD AC +++=FA DF AD ++=FA AF += 0Ba +b bO a AA BC例二、在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？ 解：如图：船航行的方向是与河岸垂直方向成30︒夹角，即指向河的上游。
十六、 作业：上述三课中的练习部分（选）第五教时教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。
过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)OC =BC AB OA ++=a +a +a =3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a讨论：1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a|2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a| 2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1︒|λa |=|λ||a|2︒λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=03．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③ 结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|上游 下游 a a a a O A B C a -a-a-a-NMQP∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。