第8章_状态变量分析

x′ ( t ) = Ak ×k xk ×1 ( t ) + Bk ×m f m×1 ( t ) （状态方程） k ×1 y ( t ) r×1 = Cr×k xk ×1 ( t ) + Dr×m f m×1 ( t ) （输出方程）
D
f (t )
B
∫
第八章 系统状态变量分析 8.1.状态变量与状态方程 状态与状态变量的概念
状态：一组最少变量（在t = t0时的值和t ≥ t0时的激励 确定→ t ≥ t0时系统行为
状态变量：表示系统状态的那些变量（如iL1 (t ))
状态矢量：完全描述系统行为的k 个状态变量xi (t ) 矢量x ( t )的各分量坐标 → 状态空间：状态矢量x ( t ) 所在的空间（k维） 状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随t变化 而描出的路径
第八章 系统状态变量分析
一般形式：线性时不变系统（矢量矩阵形式）
x′ ( t ) = Ak×k xk×1 ( t ) + Bk×m fm×1 ( t ) （状态方程） k×1 y ( t ) r×1 = Cr×k xk×1 ( t ) + Dr×m fm×1 ( t ) （输出方程） y1 ( t ) x1 ( t ) 其 中 x k ×1 ( t ) = M , y r ×1 ( t ) = M xk ( t ) y ( t )
第八章 系统状态变量分析 8.1.状态变量与状态方程 状态方程和输出方程
对于一般的多输入－多输出LTI连续系统：
& x1 = a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n xn + b11 f1 + b12 f 2 + L + b1 p f p & x2 = a21 x1 + a22 x 2 + L + a2 n xn + b21 f1 + b22 f 2 + L + b2 p f p LL & xn = an1 x1 + an 2 x 2 + L + ann xn + bn1 f1 + bn 2 f 2 + L + bnp f p y1 = c11 x1 + c12 x 2 + L + c1n xn + d11 f1 + d12 f 2 + L + d1 p f p y2 = c21 x1 + c22 x 2 + L + c2 n xn + d 21 f1 + d 22 f 2 + L + d 2 p f p LL yq = cq1 x1 + cq 2 x 2 + L + cqn xn + d q1 f1 + d q 2 f 2 + L + d qp f p
由电路图直接建立状态方程步骤
a . 选 u c、 iL为 状 态 变 量 （ 独 立 ） ;
b. 利 用 K C L 和 K V L 列 写 方 程 ; 对 所 有 所 选 电 容 的 独 立 节 点 列 写 K C L电 流 方 程 对 所 有 所 选 电 感 的 独 立 回 路 列 写 K V L电 压 方 程
第八章 系统状态变量分析 8.2.连续系统状态方程的建立 由电路图直接建立状态方程
1H
1 H 3
2Ω
x1 ( t )
+
列出回路方程:
f1 (t )
−
i1 ( t )
+ 2 1 F x (t ) − 3 2
x (t )
+
1Ω
+
−
y(t )
i2 ( t )
f 2 (t ) −
d 2 i1 (t ) + d t i1 (t ) + 2 ∫ [i1 (t ) − i2 (t )]d t = f1 (t ) i (t ) + 1 d i (t ) + 2 [ i (t ) − i ( t )]d t = − f ( t ) 2 1 2 ∫ 2 2 3 dt
第八章 系统状态变量分析 8.1.状态变量与状态方程 状态与状态变量的概念
R 1 i ( t ) L1 L1
u s1
整理得：
+
−
+
a
iL 2 ( t ) L2
R2
iC
C
+
uc
−
u us 2
−
+
−
d 1 1 uC (t )＝ iL1 (t ) - iL 2 (t ) dt C C R1 d 1 1 iL1 (t )= - uC (t ) - iL1 (t )+ uS1 (t ) dt L1 L1 L1 R2 d 1 1 iL 2 (t )= uC (t )- iL 2 (t )- uS 2 (t ) dt L2 L2 L2
2Ω
1 H 3
x1 ( t )
+
f1 (t )
−
i1 ( t )
+ 2 1 F x (t ) − 3 2
x (t )
+
1Ω
+
−
y(t )
i2 ( t )
f 2 (t ) −
解:选电感中电流和电容两端电压作为状态变量,则有:
x1 (t ) = i1 (t ) x 2 ( t ) = i2 ( t ) 1 1 x3 (t ) = ∫ ic (t ) dt = ∫ [i1 (t ) − i2 (t ) ] dt c c
c. 化 简 消 去 不 需 的 变 量 留 下 → 状 态 变 量 和 输 入 信 号 ， 整 理
第八章 系统状态变量分析 8.2.连续系统状态方程的建立 由电路图直接建立状态方程
1H
例：
给定如图电路,列写电路 的状态方程, 若输出信号 为 电 压 y ( t ), 列 出 输 出 方 程 .
由输入输出方程建立状态方程： 由输入输出方程建立状态方程：
通常把输入输出方程或系统函数转换为信号流图。 信号流图中的基本动态部件是积分器，其输入和输出 正好满足一阶微分方程关系。 一般选各积分器的输出作为状态变量，根据信号流图 的连接关系，对积分器输入端列出方程。
1
f (t )1
1
s −6
1
1
s
−11
第八章 系统状态变量分析 8.1.状态变量与状态方程 状态与状态变量的概念
d 1 1 uC (t )＝ iL1 (t ) - iL 2 (t ) dt C C d 1 R1 1 iL1 (t )= - uC (t ) - iL1 (t )+ uS1 (t ) dt L1 L1 L1
在状态空间分析方法中，将状态方程以矢量和矩阵形式表示。 1 1 − u ′ (t ) 0 C 0 C uc (t ) 0 C 1 R1 u S1 (t ) 1 1 i ′ (t ) = - 0 iL1 ( t ) + L1 L1 L1 L1 u S 2 ( t ) L1 i ′ ( t ) iL 2 ( t ) 1 1 L2 1 R2 - 0 - L2 L2 L1 L2
R2 d 1 1 iL 2 (t )= uC (t )- iL 2 (t )- uS 2 (t ) dt dt L2 L2 L2
第八章 系统状态变量分析 8.1.状态变量与状态方程 状态方程和输出方程
如果一个系统需要 k 个状态变量来描述，则状态矢量就是 k 维的矢量，对应的状态空间就是 k 维空间。 在给定系统和激励信号并选定状态变量的情况下，用状态变 量来分析系统时，一般分两步进行： 根据系统的初始状态和 t≥t0 时的激励求出状态变量； 用这些状态变量来确定初始时刻以后的系统输出。 状态变量通过联立求解由状态变量构成的一阶微分方程组来 得到，这组一阶微分方程称为状态方程。 系统的输出可以用状态变量和激励组成的一组代数方程表示， 称为输出方程，它描述了输出与状态变量和激励之间的关系。 通常状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
将状态变量代入,则有:
& x1 = − 2 x1 − x3 + f1 ( t ) & x 2 = − 3 x 2 + 3 x3 − 3 f 2 ( t ) x = 2x − 2x 1 2 &3
第八章 系统状态变量分析 8.2.连续系统状态方程的建立 由电路图直接建立状态方程
写成矩阵形式:
s
4
y (t )
−6
第八章 系统状态变量分析 8.2.连续系统状态方程的建立 由输入输出方程建立状态方程
s+4 例：已知系统的传输算子 H ( s ) = 3 , 2 s + 6 s + 11s + 6 建立系统的状态方程
y (t ) = x2 (t ) + f 2 (t )
写成矩阵形式:
x1 x + 0 1 f1 ( t ) [ y ] = [0 1 0 ] 2 [ ] f (t ) 2 x3
第八章 系统状态变量分析 8.2.连续系统状态方程的建立 由输入输出方程建立状态方程
信号与线性系统分析
Analysis of Signals and Linear Systems
第八章 系统状态变量分析
第八章 系统状态变量分析
要点
状态变量与状态方程 连续系统状态方程的建立； 离散系统状态方程的建立与模拟 连续系统状态方程的求解； 离散系统状态方程的求解 系统的可控性与可观测性