现代控制第四章 根轨迹(2010自制)

由以上分析得知：
根轨迹就是控制系统特征方程的根随 系统参数变化在S平面上移动的轨迹。根轨 迹表明了系统参数对闭环极点分布的影响， 通过它可以分析系统的稳定性、稳态和暂 态性能与系统参数之间的关系。
需要指出的是, 绘制根轨迹时选择的可变参数可以是
系统的任何参量, 但实际中最常用的是系统的开环增
益。
R(S)

K S ( S 1)
C(S)
1 1 S1 1 4K 2 2
S2 1 1 2 2 1 4K
当K=0时，S1=0，S2=-1
K 特征 根
0
1/4
1/2
3/4
…
S1=0 S2=-1
S1=-1/2 S2=-1/2
S1=-1/2+j/2 S1=-1/2+…j S2=-1/2-j/2 S2=-1/2-…j
∞
３．暂态性能
（１） 当０<Ｋ< ０.25时， 闭环特征根为实根，系统是过 阻尼状态，阶跃响应为非周期 过程。 （２） 当Ｋ＝０.25时，两 特征根重合，均为－0.5，系 统处于临界阻尼状态。
∞ K K=0 × -1 K ∞
jω
K=0.25 K=0 ×
σ
（３） 当Ｋ＞０.25时，两特征根变为共轭 复根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰 减振荡过程。
以系统的开环增益K为可变参数绘制的根 轨迹——常规根轨迹
二．绘制系统根轨迹的依据
图示系统的特征方程
1 G( S ) H ( S ) 0
G( S ) H ( S ) ——开环传函
§４－１根轨迹的基本概念

G H
绘制根轨迹是求解特征方程的根，特征方程可改 写为 G ( S ) H ( S ) 1
m
s zj 1
n

i 1
n
（＊4-10）
s pi
j
(s z
j 1
m
) ( s pi ) (2q 1)180
i 1
q 0,1,2,
„（＊＊4-9）
几点说明： – 实际上满足相角条件的任一点，一定可以找到相应的可变 参数值，使幅值条件成立。
– 相角条件也是根轨迹的充要条件。
(2k 1)180 a nm
k 1,2, „，（n角最小， k 增大，倾角值将重复出现，而独立的渐近线 只有（n－m）条．
§４－２绘制根轨迹的基本规则 ２.渐近线与实轴的交点
a
p
i 1
n
i
zj
j 1
m
nm
渐近线的交点总在实轴上，即 a 必为实数．在计 算时，考虑到共轭复数极点、零点的虚部总是相互 抵消，只须把开环零、极点的实部代入即可．
K1=6
-2
-1
60°-0.423 -60°
×
×
×
σ
a
K1=6
j 2
q 1, a 180
§４－２绘制根轨迹的基本规则
4)实轴上的根轨迹
jω ×
在实轴上存在根轨迹的条 件是，其右边开环零点和开 环极点数目之和为奇数。
o
p1
s1
*
×
设系统开环零、极点分布如 图所示。为在实轴上确定属 于根轨迹的线段，首先在 p3 和 z1 之间任选一个试验点 s1 。
K1 G(S ) H (S ) S ( S 1)(S 2)
求根轨迹 jω
j 2
解：①在Ｓ平面中确定开 环零、极点的位置。 ②确定实轴上的根轨迹。 ③n=3,m=0,应有三个分 支，并且都趋向无穷远 处。 ④确定渐近线的位置．
p1 p2 p3 0 1 2 1 nm 30 (2q 1)180 (2q 1)180 a nm 3 q 0, a 60
根轨迹的起点对应于K=0 时特征根在Ｓ平面 上的分布位置，而根轨迹的终点则对应于 K→∞时，特征根在Ｓ平面上的分布位置。
幅值条件改写
jω
∞
j
(s z (s
i 1 j 1 n
m
)
K
pi )
1 K1
K=0 × -1 K
K=0.25 K=0 × σ
当 K1 0 ，必有Ｓ＝ 当 K1 ，必有Ｓ＝
§４－１根轨迹的基本概念 将开环传递函数写成下列标准的因子式
K G(S ) H (S )

(s z
j 1 i
m
j
)
(s p )
i 1
n
注意这个形式和求 稳态误差的式子不 同，需变换成这种 形式．
z j －开环零点．
K

pi －开环极点．
此时，幅值条件和相角条件可写成

j 1
s0
×
O
p2
z1
×
p1
×
p3
(s0 z1 ) (s0 p1 ) (s0 p2 ) (s0 p3 ) 45 135 210 100 400
不满足，故 s 0 不是根轨迹上的点。
在绘制根轨迹时，在感兴趣的区 段，要比较细致地绘制，可用试 探法，根据相角条件确定几个根 轨迹上的点。允许有一定的误差， 比如±５°。而其它区段的根轨 迹则可根据一些规则迅速的勾画 出来。 绘制根轨迹图时，Ｓ平面虚轴和 实轴的坐标比例应取得一致。
– 利用相角条件可确定根轨迹的形状，但利用幅值条件才可 求得给定闭环极点所对应的增益K。 – 进行相角计算时，规定正实轴方向为0°，逆时针方向为 相角的正方向。
– 相角条件说明：Σ(由各开环零点指向轨迹点的方向角) – Σ(
由各极点指向轨迹点的方向角) = 指向正左方。
三．根据相角条件确定根轨迹上的点
§４－１根轨迹的基本概念
s0
× O
p2
O
z1
×
p1
×
p3
研究根轨迹的目的：分析系统的各种 性能（稳定性、稳态性能、动态性能）
根轨迹法的基本任务：由已知的开 环零、极点分布 及根轨迹增益，通 过图解的方法找出闭环极点。
为了尽快把握绘制根轨迹的要领，请 牢记并理解三句话：绘制根轨迹——依据 的是开环零极点分布，遵循的是不变的相 角条件，画出的是闭环极点的轨迹。
§４－１根轨迹的基本概念
一．举例说明根轨迹的概念
R(S)
C (S ) K (S ) 2 R( S ) S S K

K S ( S 1)
C(S)
特征方程 S 2 S K 0 的根为
1 1 S1 1 4 K 2 2
，
1 1 S2 1 4K 2 2
例.设控制系统的开环传函 为 G(S)
K(S 1) S ( S 4 )( S 2 2 S 2 )
试根据目前所知的法则 确定根轨迹的有关数据 解 (1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1 - j :
终 止 于 Z 1 1和 无 穷 远 (2)有 四 条 根 轨 迹 且 对 称 实 轴 于 (3)n - m 3条 根 轨 迹 终 止 于 无 穷 , 其 渐 近 线 与 实 轴 的 交 为 远 点 0 ( 4) ( 1 j ) ( 1 j ) ( 1) a 1.67 41 与实轴的交角为
∞
K 特征 根
0
1/4
1/2
3/4
…
S1=0 S2=-1
S1=-1/2 S2=-1/2
S1=-1/2+j/2 S1=-1/2+…j S2=-1/2-j/2 S2=-1/2-…j
§４－１根轨迹的基本概念
∞ K K=0 × -1 K
jω
K=0.25 K=0 ×
σ
从系统的根轨迹图，可以获得下述信息: １.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故 闭环系统对所有的Ｋ值都是稳定的。 ２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点 的极点，所以是I型系统，阶跃作用下的稳态误差 为0。
G( S ) H ( S ) 是复变量Ｓ的函数，根据上式两边的
幅值和相角分别相等的条件，可以得到
§４－１根轨迹的基本概念
G( S ) H ( S ) 1
G( S ) H ( S ) 180(2q 1),
q 0，2， 1 ，…
这就是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘 制系统根轨迹的重要依据。 现进一步将绘制根轨迹的幅值条件和相角条件 转换成实用的形式。
P139
根轨迹一定对称于实轴，并且有max(n,m)支。 根轨迹由若干分支构成，分支数与开环极点数相同。
特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是 共轭复根（对称于实轴），所以根轨迹一定对称于 实轴。
§４－２绘制根轨迹的基本规则
3)根轨迹的渐近线p140
１．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处的分支的 渐近线的倾角为
4－2 根轨迹绘制的基本规则P138
纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分
巨大的，而且对全貌的把握也很困难，于是人们研
究根轨迹图的基本规则，以便使根轨迹绘图更快更
准。概括起来， 以开环增益K为参变量的根轨迹图 主要有下列基本规则：
1）起点和终点
P138
根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。
第四章 根轨迹法P135
控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定，系统暂态响 应和稳态响应的基本特性与系统的闭环零、极点在Ｓ平面上 分布的位置有关。 决定系统基本特性的是系统特征方程的根，如果搞清楚这 些根在Ｓ平面上的分布与系统参数之间的关系，那就掌握了 系统的基本特性。 为此目的，Ｗ．Ｒ．伊文思在１９４８年提出了根轨迹法， 令开环函数的一个参数——开环增益Ｋ（或另一个感兴趣的参 数）从０变化到∞，与此对应，特征方程的根，便在Ｓ平面上 描出一条轨迹，称这条轨迹为根轨迹。 根轨迹法是研究自动控制系统的一种有效方法，它已发展 成为经典控制理论中最基本的方法之一。