人教A版高中数学必修5第三章不等式3.4基本不等式习题

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高中数学第三章不等式 3.4 基本不等式：ab≤a+b2课时作业(含解析)新人教A版必修5-新人

课时作业24 基本不等式：ab ≤a ＋b 2时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式中正确的是( D )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2D ．x 2＋3x 2≥2 3 解析：a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确． 2．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y的最小值为( D ) A ．10 B.110C ．5 D.15解析：∵lg x ＋lg y ＝2，∴xy ＝100.且x >0，y >0.1x ＋1y ≥21xy ＝15. 3．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( C ) A ．最大值为0 B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0.∴x ＋1x －2＝－[(－x )＋1(－x )]－2≤－2·(－x )·1(－x )－2＝－4，等号成立的条件是－x ＝1－x ，即x ＝－1.4．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m 、n 的大小关系是( A ) A ．m >n B ．m <nC ．m ＝nD ．不确定解析：∵a >2，∴a －2>0，又∵m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时取等号． ∴m ≥4.∵b ≠0，∴b 2>0，∵2－b 2<2，∴22－b 2<4，即n <4，∴m >n .5．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处解析：设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x(k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立． 6．已知x >1，y >1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( D )A ．有最大值2B ．等于4C ．有最小值3D ．有最大值4解析：因为x >1，y >1，所以log 2x >0，log 2y >0.所以log 2x ·log 2y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋log 2y 22＝⎣⎡⎦⎤log 2(xy )22＝4，当且仅当x ＝y ＝4时取等号．故选D.二、填空题7．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是215；(2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是2254. 解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1522＝2254，即xy 的最大值是2254. 当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值． 8．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞. 解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2. 当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 9．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2，对满足条件的a ，b 恒成立的是①③④.(填序号) 解析：因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，所以①正确；因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，故②不正确；a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，所以③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，所以④正确．三、解答题10．(1)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值． (2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值． (3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值；解：(1)∵0<x <12，∴1－2x >0. y ＝14·2x ·(1－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22 ＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，y 最大值＝116. (2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3 ≤－243－x ·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1.(3)法一：∵x ，y ∈R ＋，∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)， y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 法二：∵x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝x ＋y 4x ＋3(x ＋y )4y＝1＋⎝⎛⎭⎫y 4x ＋3x 4y ≥1＋2y 4x ·3x 4y＝1＋32. 当且仅当y 4x ＝3x 4y，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．∴1x ＋3y 的最小值为1＋32. 11．设a ，b ，c ∈R ＋.求证：(1)ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc ；(2)(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋c ≥4. 证明：(1)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋c 2a ＋ca 2＝(a 2b ＋bc 2)＋(b 2c ＋ca 2)＋(c 2a ＋ab 2)≥2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＝6abc ＝右边，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝[a ＋(b ＋c )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋c≥2a (b ＋c )·21a (b ＋c )＝4＝右边，当且仅当a ＝b ＋c 时，等号成立．——能力提升类——12．若f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 均为正数，P ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则( A ) A ．P ≤G ≤H B ．P ≤H ≤GC ．G ≤H ≤PD ．H ≤G ≤P解析：因为a ，b 均为正数，所以a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2＝2ab a ＋b，当且仅当a ＝b 时等号成立．又因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，所以P ≤G ≤H . 13．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( C ) A ．8 B ．7C ．6D ．5解析：由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.14．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2. 解析：令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2(a ＋1)(b ＋3)＝9＋2(a ＋1)(b ＋3)≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.∴t max ＝18＝3 2. 15．如图，如在公园建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙，(1)求x 的取值X 围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米，则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x. 令y ＝x ＋2×144x≤44(x >0)，解得8≤x ≤36，则x 的取值X 围是[8,36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥24 2. 当且仅当x ＝288x，即x ≈17.0时，等号成立，则y 最小值＝242≈34.0，即最少需要34.0米铁丝网．。

人教A版高中数学必修5《三章不等式 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)%2》示范课课件_4

2
3. 基本不等式变形公式
a b 2 ab
ab (a b)2 4
作业
1.预习课本第99页例1和例2 2.思考：基本不等式有什么作用？在利用基本不等式时需要满足什么条件？
3.4基本不等式： ab a b
2
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究1：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C 2.四个直角三角形的
当 a 0,b 0 时， a b≥ ab , 当且仅当
a = b时，等号成立.
2
基本不等式的几何解释是什么？
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过
点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、 BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
x
等号成立的条件.
2.已知 0 x 1，求证：x(1 x) 1 ，并推导出式中等
4
号成立的条件.
小结：
1. 重要不等式
当 a, b R时，a2 b2 2ab，当且仅当 a b 时等号成立.
2. 基本不等式
当 a, b R时，a b ab ，当且仅当 a b 时等号成立.
面积和 S=＿2a＿b
３、S与 S有什么
样的不等关系？
B
S>S′ 即 a2 b2 2ab
问：那么它们有相等的情况吗？
D

新版高中数学人教A版必修5习题：第三章不等式 3.4.1

3.4基本不等式:√ab≤a+b2第1课时基本不等式课时过关·能力提升基础巩固1若x>0,则x+4x的最小值为().A.2B.3C.2√2D.4答案:D2若x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值是().A.400B.100C.40D.20解析:xy≤(x+y2)2=400,当且仅当x=y=20时,等号成立.答案:A3若0<x<13,则x(1−3x)取最大值时x的值是().A.13B.16C.34D.23解析:∵0<x<13,∴0<1−3x<1.∴y=x(1-3x)=13×3x(1−3x)≤13×(3x+1-3x 2)2=112. 当且仅当3x=1-3x ,即x =16时取等号.答案:B 4设a ,b ∈R ,若a ≠b ,a+b=2,则必有( ).A.1≤ab ≤a 2+b 22B.ab <1<a 2+b22C.ab <a 2+b22<1D.a 2+b 22<ab <1解析:令a=-1,b=3,则ab=-3,a 2+b 22=5,则有ab<1<a 2+b22,所以排除选项A,C,D,故选B .答案:B5若M =a 2+4a (a ∈R ,a ≠0),则M 的取值范围为( ).A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-4]C.[4,+∞)D.[-4,4]解析:当a>0时,M =a 2+4a =a +4a ≥2√a ·4a =4,当且仅当a =4a,即a=2时取“=”; 当a<0时,M =a 2+4a=a +4a =−[(-a )+(-4a )]≤-2√(-a )·(-4a )=−4,当且仅当-a=−4a,即a=-2时取“=”.综上,M的取值范围为(-∞,-4]∪[4,+∞).答案:A6若a>b>1,P=√lgalgb,Q=lga+lgb2,R=lg a+b2,则下列结论正确的是().A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q 解析:∵a>b>1,∴lg a>0,lg b>0.∴R=lg a+b2>lg√ab=12lg(ab)=lga+lgb2=Q>√lgalgb=P.∴P<Q<R.答案:B7若a>0,b>0,则2ba +ab的最小值是.解析:2ba +ab≥2√2ba·ab=2√2,当且仅当2ba=ab,即a=√2b时取“=”.答案:2√28当函数y=x2(2-x2)取最大值时,x=. 解析:当−√2<x<√2时,y=x2(2-x2)≤(x 2+2-x22)2=1,当且仅当x2=2-x2,即x=±1时,等号成立,当x2≥2时,y=x2(2-x2)≤0,不可能取最大值.所以当x=±1时,y=x2(2-x2)有最大值为1.答案:±19已知2x +3y=2(x>0,y>0),求xy的最小值.解∵x>0,y>0,2x +3y=2,∴2=2x +3y≥2√6xy(当x=2,y=3时,等号成立),即1≥√6xy.∴√xy≥√6,从而xy≥6,即xy的最小值为6.10已知x>-1,试求函数y=x 2+7x+10x+1的最小值.解∵x>-1,∴x+1>0,∴y=x 2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1=x+1+4x+1+5≥2√(x+1)·4x+1+5=9.当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立.所以函数y=x 2+7x+10x+1的最小值为9.能力提升1若2a+b=1,a>0,b>0,则1a +1b的最小值是().A.2√2B.3−2√2C.3+2√2D.3+√2解析:1a +1b=2a+ba+2a+bb=2+1+ba +2ab=3+ba+2ab.∵a>0,b>0,∴1a +1b =3+b a +2a b ≥3+2√b a ·2a b =3+2√2,当且仅当b a =2a b ,即b =√2a =√2−1时“=”成立.∴1a +1b 的最小值为3+2√2.答案:C 2若x+3y-2=0,则函数z=3x +27y +3的最小值是( ).A.323B.3+2√2C.6D.9解析:z=3x +27y +3≥2√3x ·27y +3=2√3x+3y +3. ∵x+3y-2=0,∴x+3y=2.∴z ≥2√3x+3y +3=2√32+3=9,当且仅当3x =27y ,即x=3y=1时取“=”.答案:D3若a>0,b>0,a+b=2,则y =1a +4b 的最小值是( ).A .72B.4C.92D.5解析:依题意得1a +4b =12(1a +4b )(a +b)=12[5+(b a +4a b )]≥12(5+2√b a ·4a b )=92,当且仅当{a +b =2,b a =4a b ,a >0,b >0,即a =23,b =43时取等号,即1a +4b 的最小值是92. 答案:C4当x >12时,函数y =x +82x -1的最小值为( ).A .92B.4C.5D.9 解析:∵x >12,∴2x −1>0. ∴y=x +82x -1=x +4x -12=x −12+4x -12+12 ≥2√(x -12)·4x -12+12=4+12=92, 当且仅当x −12=4x -12,即x =52时取等号. 答案:A 5设a ,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值为 .解析:因为a ,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是√a +1+√b +3=√x +√y,而(√x +√y)2=x +y +2√xy ≤x+y+(x+y )=18,所以√x +√y ≤3√2.此时x=y ,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,√a +1+√b +3的最大值为3√2. 答案:3√2★6函数y=log a (x-1)+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在一次函数y=mx+n 的图象上,其中m ,n>0,则1m +2n 的最小值为 .解析:由题意,得点A (2,1),则1=2m+n.又m ,n>0,所以1m +2n =2m+n m +2(2m+n )n =4+n m +4m n ≥4+2√4=8.当且仅当n m =4m n ,即m =14,n =12时取等号,则1m+2n的最小值为8.答案:8★7若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围是.解析:因为x>0,所以x+1x≥2,当且仅当x=1时取等号,所以有xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15,即xx2+3x+1的最大值为15,故a≥15.答案:[15,+∞)★8已知f(x)=a x(a>0,且a≠1),当x1≠x2时,比较f(x1+x22)与f(x1)+f(x2)2的大小.解∵f(x)=a x,∴f(x1+x22)=ax1+x22,∴12[f(x1)+f(x2)]=12(a x1+a x2).∵a>0,且a≠1,x1≠x2,∴a x1>0,a x2>0,且a x1≠a x2,∴12(a x1+a x2)>√a x1·a x2=ax1+x22,即f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2.9若正实数x,y满足2x+y+6=xy,求xy与2x+y的最小值.解∵2x+y+6=xy,x>0,y>0,∴xy=2x+y+6≥2√2·√xy +6, 即xy-2√2√xy −6≥0,当且仅当{2x =y ,2x +y +6=xy时,等号成立. ∴(√xy −3√2)(√xy +√2)≥0. ∵√xy +√2>0,∴√xy ≥3√2,xy ≥18.又2x+y+6=12×2xy ≤12·(2x+y 2)2, ∴(2x+y )2-8(2x+y )-48≥0,∴(2x+y-12)(2x+y+4)≥0.∵2x+y+4>0,∴2x+y ≥12.∴xy 的最小值为18,2x+y 的最小值为12.。

高中数学第三章不等式 3.4 基本不等式：ab≤a+b2学案(含解析)新人教A版必修5-新人教A

3．4 基本不等式：ab≤a＋b 2[目标] 1.了解基本不等式的代数式和几何背景；2.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式；3.会用基本不等式求最值和解决简单的实际问题．[重点] 基本不等式的简单应用．[难点] 基本不等式的理解与应用．知识点一两个不等式[填一填]1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab对任意实数a ，b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ，b 都是正实数．知识点二基本不等式与最值[填一填]已知x ，y 都是正数，(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值．(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值．[答一答]2．利用基本不等式求最值时，我们应注意哪些问题？提示：(1)在利用基本不等式具体求最值时，必须满足三个条件：①各项均为正数；②含变数的各项的和(或积)必须是常数；③当含变数的各项均相等时取得最值．三个条件可简记为：一正、二定、三相等．这三个条件极易遗漏而导致解题失误，应引起足够的重视．(2)记忆口诀：和定积最大，积定和最小．3．在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？提示：在连续多次应用基本不等式时，我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等号，则需换用其他方法求出最值．4．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．如sin x 与4sin x ，x ∈(0，π2)，两个都是正数，乘积为定值．但是由0<sin x <1，且sin x ＋4sin x 在(0,1)上为减函数，所以sin x ＋4sin x >1＋41＝5，等号不成立，取不到最小值．类型一利用基本不等式证明不等式[例1] (1)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式．(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a，可由此变形入手．[证明] (1)∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .(2)∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1 ≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．1.利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果.2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.3.解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式.[变式训练1] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：因为a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．类型二利用基本不等式求最值[例2] (1)若x >0，求f (x )＝4x ＋9x 的最小值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[分析] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0，∴由基本不等式得 f (x )＝4x ＋9x≥24x ·9x＝236＝12，当且仅当4x ＝9x，即x ＝32时，f (x )＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，x ＋4x －2取最小值6.(4)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29＝16.当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y ＝1时等号成立．即x ＝4，y ＝12时等号成立．∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 有最小值16.求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题的突破口.找到定值后还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求写出符号成立的条件，都要验证“＝”是否成立.[变式训练2] (1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值； (2)已知x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a >0，b >0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20.(2)∵x >0，y >0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，且2x ＋3y ＝6时等号成立，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.类型三基本不等式的实际应用[例3] 特殊运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按规定限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升6元，而送货卡车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时140元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式．(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x(小时)，y ＝130x ×6×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋140×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×152x ＋13x 6，x ∈[50,100]．(2)y ＝130×152x ＋13x 6≥525703，当且仅当130×152x ＝13x6，即x ＝4570∈[50,100]时，等号成立．故当x ＝4570千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为525703元．解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.[变式训练3] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160(单位：元)．解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m ．又设该容器的总造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×10，即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x >0)．因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ，a b 均为正数时，b a ＋ab ≥2，故只须a 、b 同号即可．所以①、③、④均可以．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab≥2解析：∵a ，b ∈R ，且ab >0， ∴b a >0，ab>0，∴b a ＋a b ≥2b a ×a b＝2. 当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时取等号．3．设a ，b 为实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值为( B ) A ．6 B ．4 2 C ．2 2 D ．8解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝4 2.4．已知0<x <1，则当x ＝12时，x (3－3x )取最大值为34.解析：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34，当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时等号成立．5．已知a >0，b >0，c >0，求证： (1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c≥8.证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc＝8abc abc＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．——本课须掌握的两大问题1．基本不等式成立的条件：a >0且b >0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b 2，即只能有ab <a ＋b2. 2．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．。

人教版A版高中数学必修5：3.4 基本不等式：_latex class=_math-tex(_sqrt {ab}leq frac {a+b} {2})latex

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积定和最小
作业：练习,第一题，导学案的练习题
什么结论?
猜 a 0,b 0; a b ab 2
想当且仅当a b时，等号成立
求证:当a 0,b 0 时,a b ab .
2
证明:要证 a b ab
①
2
只要证 a b ( 2 ab )
②
要证②，只要证 a b (2 ab) 0 ③
要证③，只要证（ a － b )2 0
例1：判断对错
1、由 a,b R 则 a b 2 ab 。
2、若
x 0 ，则
x 1 2 。
x
试判断 4 x(x 3) 与 7的大小关系？
x3
变式训练：
思考：若y x 1 (x 2)的最小值是多少？ x2
例题：判断 n m (m 0, n 0) 与 2 的大小关
3.4基本不等式
第一课时
猜
想 a R,b R a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立
问题一：
你能用已经学过的数学知识证明这个不等式吗？
证明： a2 b2 2ab (a b)2
当a b时，（a b）2 0 当a b时， (a b)2 0
系？
mn
例2：
用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆
最短。最短的篱笆是多少？
课堂小结
a2 b2 2ab(a R,b R)
类比换元
等价转换
a b ab(a 0,b 来自 0) 2注意前提条件及等号取到的条件
基本不等式简单应用
(a b )2 0 即：a2 b2 2ab

高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用素养评价检测含解析5

基本不等式的应用(20分钟35分）1。

某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。

若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品()A。

60件B。

80件 C.100件D。

120件【解析】选B.设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=+≥2=20.当且仅当=（x>0)，即x=80时“="成立.2.若xy是正数,则+的最小值是()A.3 B。

C.4 D。

【解析】选C.+=x2+y2+++=+++≥1+1+2=4。

当且仅当x=y=或x=y=-时取等号.3。

已知m〉0,n〉0,+=1，若不等式m+n≥—x2+2x+a对已知的m,n及任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是(）A.[8，+∞)B。

［3，+∞）C。

（—∞，3] D.（—∞，8]【解析】选D。

因为m+n=（m+n)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即m=3,n=6时等号成立,所以—x2+2x+a≤9，即a≤x2-2x+9=(x-1）2+8，所以a≤8。

4。

已知x>0,y>0,且+=1,则3x+4y的最小值是.【解析】因为x〉0,y〉0,+=1,所以3x+4y=(3x+4y）=13++≥13+3×2=25(当且仅当x=2y=5时取等号),所以(3x+4y）min=25。

答案：255.若a，b均为正实数,且满足a+2b=1,则的最小值为.【解析】a+2b=1,则===+,则（a+2b）=4+3++≥7+2=7+4，当且仅当=,即a=b时取等号.答案：4+76。

共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析，每辆单车的营运累计收入f（x)(单位：元)与营运天数x(x∈N*）满足f(x）=—x2+60x—800.（1)要使营运累计收入高于800元，求营运天数的取值范围；（2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运收入最大?【解析】（1)要使营运累计收入高于800元，则f（x)>800⇒-x2+60x—800>800⇒(x—40）（x—80)<0⇒40〈x〈80，所以要使营运累计收入高于800元，营运天数应该在(40,80）内取值.(2)每辆单车每天的平均营运收入为y===—x—+60≤-2+60=20，当且仅当x=时等号成立,解得x=40，即每辆单车营运40天，可使每天的平均营运收入最大。

2021-2022学年人教版高中数学必修五教材用书：第三章不等式 3.4 基本不等式

3.4基本不等式：ab ≤a ＋b2基本不等式[提出问题]问题1：若a ，b ∈R ，则代数式a 2＋b 2与2ab 有何大小关系？提示：∵(a 2＋b 2)－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab .问题2：上述结论中，等号何时成立？提示：当且仅当a ＝b 时成立．问题3：若以a ，b 分别代替问题1中的a ，b ，可得出什么结论？提示：a ＋b ≥2ab .问题4：问题3的结论中，等何时成立？提示：当且仅当a ＝b 时成立． [导入新知] 1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．[化解疑难]1．基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b2，即只能有ab ＜a ＋b2.2．从数列的角度看，a ，b 的算术平均数是a ，b 的等差中项，几何平均数是a ，b 的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a 与b 的正的等比中项不大于它们的等差中项．利用基本不等式证明不等式[例1] 已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.证明：由基本不等式可得a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2，从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. [类题通法]1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必需有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而收到放缩的效果．2．留意多次运用基本不等式时等号能否取到． [活学活用]设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明：∵a >0，b >0，∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 利用基本不等式求最值[例2] (1)已知m ，n (2)已知x ＞3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值； (3)设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值．[解] (1)∵m ，n ＞0且m ＋n ＝16， ∴由基本不等式可得mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64，当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取得最大值64. (2)∵x ＞3， ∴x －3＞0，4x －3＞0，于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3≥2x －3·4x －3＋3＝7，当且仅当x －3＝4x －3即x ＝5时，f (x )取得最小值7. (3)法一：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2y x ·2xy＝3＋22，当且仅当y x＝2xy，即y ＝2x 时，等号成立，解得x ＝1－22，y ＝2－1，∴当x ＝1－22，y ＝2－1时，1x ＋1y 有最小值3＋2 2.法二：1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·1＝⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1y(2x ＋y )＝3＋2x y ＋yx≥3＋2y x ·2xy＝3＋22，以下同法一． [类题通法]1．利用基本不等式求最值，必需依据“一正，二定，三相等”的原则． (1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件：a >0，b >0.(2)二定：化不等式的一边为定值．(3)三相等：必需存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不行．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．[活学活用](1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值；(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值； (3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取得最小值20. (2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取得最大值32.(3)∵1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x＋9＝y x＋9xy＋10.又∵x ＞0，y ＞0，∴y x＋9xy＋10≥2 y x ·9xy＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.利用基本不等式解应用题[例3] 如图所示，利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[解] (1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18，设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy . 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． (2)设每间虎笼第为x m ，宽为y m. 法一：由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . ∵2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．法二：由xy ＝24，得x ＝24y.∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×216y·y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立．此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．[类题通法]在应用基本不等式解决实际问题时，应留意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)依据实际背景写出答案． [活学活用]某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，估计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从其次年开头每年比上一年所需费用要增加16 万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式． (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元，总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x )＝200＋12x (x ＋1)·16.∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x x ＋1·16＝16(－2x 2＋23x －50)． (2)年平均利润为y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x . 又x ∈N *， ∴x ＋25x≥2x ·25x＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．7.基本不等式应用中的易误点[典例] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5[解析] ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1. ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋2 2ab ·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立. 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.[答案] C [易错防范]1．解答本题易两次利用基本不等式，如： ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，∴ab ≤a ＋b24＝1.又y ＝1a ＋4b ≥24ab ＝41ab，又ab ≤1， ∴y ≥411＝4. 但它们成立的条件不同，一个是a ＝b ，另一个是b ＝4a ，这明显是不能同时成立的，故不正确． 2．使用基本不等式求最值，其失误的真正缘由是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不行．3．在运用重要不等式时，还要特殊留意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．[成功破障](福建高考)下列不等式肯定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1＞1(x ∈R)解析：选C 取x ＝12，则lg(x 2＋14)＝lg x ，故排解A ；取x ＝3π2，则sin x ＝－1，故排解B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排解D.[随堂即时演练]1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x＋1－x－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞a ＋b2＞ab B ．a ＞a ＋b2＞ab ＞bC ．a ＞a ＋b2＞b ＞ab D ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b2＞ab ＞ b ·b ＝b ，因此只有B 项正确．3．若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________．解析：1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y 时等号成立．答案：1164．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y ≥210xy＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y 最小值＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：25．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c . 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ac b ≥2 abc 2ab＝2c ， ac b ＋ab c≥2 a 2bc bc ＝2a ，bc a ＋abc≥2 b 2acac＝2b . 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立．∴bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c . [课时达标检测] 一、选择题1．下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：选D a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错； a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：选B 由x (3－3x )＝3·x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．3．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6D ．8解析：选B ∵a ，b 是实数， ∴2a＞0,2b＞0，于是2a ＋2b ≥22a ·2b ＝2 2a ＋b＝2 23＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取得最小值4 2.4．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋x ＋1＋y 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时， (1＋x )·(1＋y )取最大值25，故选B.5．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1解析：选D f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1＋1x －1，又∵－4<x <1，∴x －1<0. ∴－(x －1)>0. ∴f (x )＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x －1＋1－x －1≤－1. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时，等号成立．二、填空题6．已知x ，y 都是正数．(1)假如xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)假如x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值． (2)xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝2254，即xy 的最大值是2254.当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值．答案：(1)215 (2)22547．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由于x >0，所以x ＋1x≥2. 当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 8．设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式： ①a 2＋1＞a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9＞6a .其中恒成立的是________(填序号)．解析：由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，故(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不能恒成立．答案：①②③ 三、解答题9．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值；(2)设x >－1，求y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值．解：(1)2x ＋y ＝32x ＋y3＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y ) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋4 ≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x ＝4x y时等号成立，即y 2＝4x 2. ∴y ＝2x .又∵1x ＋2y ＝3，得x ＝23，y ＝43.∴当x ＝23，y ＝43时，2x ＋y 取得最小值为83.(2)∵x >－1，∴x ＋1>0. 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝t ＋4t ＋1t＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1取得最小值为9.10．(1)已知0＜x ＜12，求y ＝12x (1－2x )的最大值；(2)已知x >0，求y ＝2－x －4x的最大值；(3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)∵0＜x ＜12，∴1－2x ＞0.y ＝14·2x ·(1－2x )≤14·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，y 最大值＝116.(2)∵x >0，∴y ＝2－x －4x＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≤2－4＝－2，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，y 的最大值为－2.(3)法一：∵x ，y ∈R ＋， ∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取等号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 法二：∵x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝x ＋y 4x＋3x ＋y4y＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 4x ＋3x 4y ≥1＋2y 4x ·3x 4y ＝1＋32. 当且仅当y 4x ＝3x4y，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取等号． ∴1x ＋3y 的最小值为1＋32.11.如右图，某公园方案建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，求：(1)x 的取值范围；(2)最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米，则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x.令y ＝x ＋2×144x≤44(x ＞0)，解得8≤x ≤36，则x 的取值范围是[8,36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥24 2.当且仅当x ＝288x，即x ≈17.0时，等号成立，则y 最小值＝242≈34.0，即最少需要约34.0米铁丝网． 12．(1)已知x <－2，求函数y ＝2x ＋1x ＋2的最大值； (2)求y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值；(3)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求a ＋b 的取值范围．解：(1)∵x <－2，∴x ＋2<0，－(x ＋2)>0. ∴y ＝2(x ＋2)＋1x ＋2－4 ＝－[－2(x ＋2)＋－1x ＋2]－4≤ －2－2x ＋2·－1x ＋2－4＝－22－4. 当且仅当－2(x ＋2)＝－1x ＋2(x <－2)，即x ＝－2－22时，y 取最大值－22－4. (2)令t ＝x 2＋4，则y ＝f (t )＝t ＋1t，由f (t )＝t ＋1t(t ≥2)的单调性，知y ＝t ＋1t在[2，＋∞)上是增函数，∴t ＝2时，f (t )min ＝2＋12＝52，即当x 2＋4＝2，也就是x ＝0时，y min ＝52.(3)∵a ＋b ＋3＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0.∴(a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0.又a >0，b >0， ∴a ＋b ≥6.即a ＋b 的取值范围为[6，＋∞]．。

人教版数学必修5第三章第四节基本不等式

D C
y
分析：
A
x
B
2 x y） min （1）面积确定，长与宽取何值，篱笆最短：知xy, 求（
2 x y） , 求xymax （2）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大：知（
解：设长为 x m,宽为 y m, (1)由题知， xy 100 ，而篱笆长为 2( x y) 由基本不等式知 x y
归纳总结
2 2 a b 2ab，当且仅当 a b 1、重要不等式：一般地，
时，等号成立。
2.基本不等式：若 a 0, b 0 ，那么就有a b 2 ab a b ，等且仅当 a b 时，等号成立。即 ab
2
例1：
（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆所围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
3.4 基本不等式
温宿二中曾艳萍
问题引入如图，这是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
问题探索
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,则正 2 2 a b 方形的面积为S=————，问2：Rt△AGB,Rt△BFC,Rt△CED,Rt△AHD 2ab 是全等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？从图形中易得， s > s’,即 a 2 + b2 > 2ab
2.已知直角三角形的面积等于50，两直角边各为多少时，两直角边的和最小，最小值是多少？
x x0

高中数学《 3.4 基本不等式》评估训练新人教A版必修5

3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2双基达标限时20分钟1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )．A.1x ＋y ≤14B.1x ＋1y≥1C.xy ≥2D.1xy≥1解析若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1. 答案 B2．下列各函数中，最小值为2的是( )．A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝x ＋1x解析对于A ：不能保证x >0，对于B ：不能保证sin x ＝1sin x ，对于C ：不能保证x 2＋2＝1x 2＋2，对于D ：y ＝x ＋1x≥2.答案 D3．若0<a 2，则a ＋1a －2的最小值是________．解析 ∵a >2，∴a －2>0. ∴a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4. 当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，等号成立．答案 45．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．解析 ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴ab ≥3，即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)6．已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求2x ＋5y的最小值．解法一由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得：x >0，y >0，且xy ＝10. 则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝5x ，xy ＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5时等号成立．法二由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得：x >0，y >0，且xy ＝10，2x ＋5y ≥22x ·5y＝21010＝2(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y ，xy ＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5.时取等号)．综合提高限时25分钟7．设a >0，b >0.若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )．A ．8B ．4C ．1D.14解析因为3a ·3b＝3，所以a ＋b ＝1， 1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立，故选B.答案 B8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )．A ．6.5 mB ．6.8 mC ．7 mD ．7.2 m解析设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C. 答案 C9．(2011·潍坊高二检测)在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．解析设两数为x ，y ，即4x ＋9y ＝60，又1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 4x ＋9y 60＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4x y ＋9y x ≥160×(13＋12)＝512，当且仅当4x y ＝9y x，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6，y ＝4时，等号成立．答案 6 410．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n的最小值为________．解析函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，(－2)·m ＋(－1)·n ＋1＝0， 2m ＋n ＝1，m ，n >0， 1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ·(2m ＋n )＝4＋n m＋4m n≥4＋2n m ·4mn＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝1n m＝4mn，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14n ＝12时等号成立．答案 811．求函数y ＝x 2＋6x ＋1x 2＋1的值域．解函数的定义域为R ， y ＝x 2＋1＋6x x 2＋1＝1＋6x x 2＋1. (1)当x ＝0时，y ＝1； (2)当x >0时，y ＝1＋6x ＋1x≤1＋62＝4. 当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，y max ＝4；(3)当x <0时，y ＝1＋6x ＋1x＝1－6－x ＋1－x ≥1－62＝－2.当且仅当－x ＝－1x时，即x ＝－1时，y min ＝－2.综上所述：－2≤y ≤4，即函数的值域是[－2,4]．12．(创新拓展)(2012·济宁高二检测)某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N )，f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000≥250x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)．当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时上式取“＝”因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．。

高中数学第三章不等式章末复习课练习(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题

第三章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x－m)(x－n)＜0，则可得m ＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B ＞0时，①Ax ＋By ＋C ＞0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域；②Ax ＋By ＋C ＜0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点) (1)“一正”——各项为正数；(2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．专题一不等关系与不等式的基本性质1．同向不等式可以相加，异向不等式可以相减；但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(1)若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； (2)若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －a .2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．(1)若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ； (2)若a ＞b ＞0，0＜c ＜d ，则a c ＞bd.3．左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方：若a ＞b ＞0，则a n ＞b n或n a ＞nb . 4．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b.[例1] 已知a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小．解：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝ a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)a －b ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，因为a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，所以(a －b )2＞0，a ＋b ＞0，ab ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＞0，即a 2b ＋b 2a ＞a ＋b .归纳升华不等式比较大小的常用方法(1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． (2)作商比较法：常用于分数指数幂的代数式． (3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小． (4)分子分母有理化． (5)利用中间量．[变式训练] (1)已知0＜x ＜2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值； (2)设函数f (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)，求函数f (x )的最小值．解：(1)因为0＜x ＜2，所以0＜3x ＜6，8－3x ＞0，所以y ＝x (8－3x )＝13×3x ·(8－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号，所以当x ＝43时，y ＝x (8－3x )有最大值为163.(2)f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，因为x ∈[0，＋∞)，所以x ＋1＞0，2x ＋1＞0，所以x ＋1＋2x ＋1≥2 2. 当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值．此时f (x )min ＝22－1.专题二一元二次不等式的解法一元二次不等式的求解流程如下：一化——化二次项系数为正数．二判——判断对应方程的根．三求——求对应方程的根．四画——画出对应函数的图象．五解集——根据图象写出不等式的解集． [例2] (1)解不等式：－1＜x 2＋2x －1≤2； (2)解不等式a （x －1）x －2＞1(a ≠1)．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1＞－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＞0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x (x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0；由②得(x ＋3)(x －1)≤0，所以－3≤x ≤1.将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．求其交集得原不等式的解集为{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}．(2)原不等式可化为a （x －1）x －2－1＞0，即(a －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0(*)， ①当a ＞1时，(*)式即为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0，而a －2a －1－2＝－a a －1＜0，所以a －2a －1＜2，此时x ＞2或x ＜a －2a －1. ②当a ＜1时，(*)式即为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＜0，而2－a －2a －1＝aa －1，若0＜a ＜1，则a －2a －1＞2，此时2＜x ＜a －2a －1；若a ＝0，则(x －2)2＜0，此时无解；若a ＜0，则a －2a －1＜2，此时a －2a －1＜x ＜2. 综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜a －2a －1或x ＞2；当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜a －2a －1；当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1＜x ＜2.归纳升华含参数的一元二次不等式的分类讨论(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况并加以讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x 1，x 2表示的形如a (x －x 1)(x －x 2)的形式时，往往需要对其根分x 1＞x 2、x 1＝x 2，x 1＜x 2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．[变式训练] 定义在(－1，1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，某某数a 的取值X 围．解：因为f (x )的定义域为(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，所以⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，所以0＜a ＜2，①原不等式变形为f (1－a )＜－f (1－a 2)．由于f (x )为奇函数，有－f (1－a 2)＝f (a 2－1)，所以f (1－a )＜f (a 2－1)．又f (x )在(－1，1)上是减函数，所以1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.② 由①②可得0＜a ＜1，所以a 的取值X 围是(0，1)．专题三简单的线性规划问题线性规划问题在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少. [例3] 某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A ，1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：原料每种产品所需原料/t现有原料数/tAB甲 2 1 14 乙 1 3 18 利润/(万元/t)53____(1)在现有原料条件下，生产A ，B 两种产品各多少时，才能使利润最大？(2)每吨B 产品的利润在什么X 围变化时，原最优解不变？当超出这个X 围时，最优解有何变化？解：(1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤14.x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所示：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品 245 t ，B 产品 225t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15.归纳升华解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数． (2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解． (5)答：作出答案．[变式训练] 已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3B ．4C.92D.112解析：法一：依题意得，x ＋1>1，2y ＋1>1，易知(x ＋1)·(2y ＋1)＝9，则(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2（x ＋1）（2y ＋1）＝29＝6，当且仅当x ＋1＝2y ＋1＝3，即x ＝2，y ＝1时，等号成立，因此有x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值为4.法二：由题意得，x ＝8－2y 2y ＋1＝－（2y ＋1）＋92y ＋1＝－1＋92y ＋1，所以x ＋2y ＝－1＋92y ＋1＋2y ＝－1＋92y ＋1＋2y ＋1－1，≥292y ＋1·（2y ＋1）－2＝4，当且仅当2y ＋1＝3，即y ＝1时，等号成立．答案：B专题四成立问题(恒成立、恰成立等)[例4] 已知函数f (x )＝mx 2－mx －6＋m ，若对于m ∈[1，3]，f (x )<0恒成立，某某数x 的取值X 围．解：因为mx 2－mx －6＋m <0，所以m (x 2－x ＋1)－6<0，对于m ∈[1，3]，f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1×（x 2－x ＋1）－6<0，3×（x 2－x ＋1）－6<0，即为⎩⎪⎨⎪⎧1－212<x <1＋212，1－52<x <1＋52，计算得出：1－52<x <1＋52.所以实数x 的取值X 围：1－52<x <1＋52.归纳升华不等式恒成立求参数X 围问题常见解法(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般将知道取值X 围的变量看作主元． (2)分离参数法：若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min ；若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . (3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．[变式训练] 已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，某某数a 的取值集合．解：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，所以Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，即x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，所以Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0. 综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所某某数a 的取值集合是{－8，0}．专题五利用分类讨论思想解不等式 [例5] 解关于x 的不等式x －ax －a 2<0(a ∈R)．分析：首先将不等式转化为整式不等式(x －a )(x －a 2)<0，而方程(x －a )(x －a 2)＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2，故应就两根a 和a 2的大小进行分类讨论．解：原不等式等价于(x －a )(x －a 2)<0.(1)若a ＝0，则a ＝a 2＝0，不等式为x 2<0，解集为∅； (2)若a ＝1，则a 2＝1，不等式为(x －1)2<0，解集为∅； (3)若0<a <1，则a 2<a ，故解集为{x |a 2<x <a }； (4)若a <0或a >1，则a 2>a ，故解集为{x |a <x <a 2}．归纳升华分类讨论思想解含有字母的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论．分类讨论大致有以下三种：(1)对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论． (2)对不等式(组)作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论． (3)对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论．[变式训练] 已知奇函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递减，α，β，γ∈R 且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0.试判断f (α)＋f (β)＋f (γ)的值与0的关系．解：因为f(x)为R上的减函数，且α>－β，β>－γ，γ>－α，所以f(α)<(－β)，f(β)<f(－γ)，f(γ)<f(－α)，又f(x)为奇函数，所以f(－β)＝－f(β)，f(－α)＝－f(α)，f(－γ)＝－f(γ)，所以f(α)＋f(β)＋f(γ)<f(－β)＋f(－γ)＋f(－α)＝－[f(β)＋f(γ)＋f(α)]，所以f(α)＋f(β)＋f(γ)<0.。

2019年高中数学第三章不等式3.4基本不等式(第2课时)基本不等式的应用巩固提升(含解析)新人教A版必修5

第2课时基本不等式的应用[A 基础达标]1．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bc B.a ＋d2<bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bc解析：选A.因为a ，b ，c ，d 是不相等的正数且成等差数列，所以a ＋d 2＝b ＋c2>bc .2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：选B.设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.3．若a ≥0，b ≥0且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：选C.因为a 2＋b 2≥2ab ，所以(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)≥(a 2＋b 2)＋2ab ，即2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4，所以a 2＋b 2≥2.4．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C.由已知，可得6⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1b＝1，所以2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.5．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22B ．2 2 C. 2D ．2解析：选D.由x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，得4xy －4＝x ＋2y ≥22xy ，即2xy －2≥2xy .令2xy ＝t ，则t ＞0，所以t 2－t －2≥0，解得t ≥2或t ≤－1(舍去)，即2xy ≥2，解得xy ≥2.故xy 的最小值为2.6．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．解析：f (x )＝4x ＋a x≥2 4x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时等号成立，此时f (x )取得最小值4a .又由已知x ＝3时，f (x )min ＝4a ，所以a2＝3，即a ＝36.答案：367．若0<a <1，0<b <1，则log a b ＋log b a ≥________．解析：因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以log a b ＞0，log b a ＞0，所以log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b≥2log a b ·1log a b＝2.当且仅当log a b ＝log b a 即a ＝b 时取“＝”．答案：28．若a ＜1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________．解析：因为a ＜1，即1－a >0，所以－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2 （1－a ）·11－a＝2.即a ＋1a －1≤－1.答案：a ＋1a －1≤－1 9．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0.求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8. 证明：因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以y x ＋z x≥2yz x＞0，x y ＋z y ≥2xz y ＞0， x z ＋y z ≥2xy z＞0 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz＝8，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立． 10．已知a ＞b ＞c 且2a －b ＋1b －c ≥m a －c恒成立，求实数m 的最大值．解：由题意，a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，又2a －b ＋1b －c ≥m a －c ，即2（a －c ）a －b ＋a －c b －c≥m ，即2（a －b ＋b －c ）a －b ＋a －b ＋b －c b －c≥m ，即2＋2（b －c ）a －b ＋1＋a －bb －c ≥3＋22(当且仅当a －b ＝2(b －c )时取等号)．所以实数m 的最大值为3＋2 2.[B 能力提升]11．已知a ＞0，b ＞0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7解析：选B.因为a ＞0，b ＞0，所以2a ＋1b ≥m 2a ＋b ⇔2（2a ＋b ）a ＋2a ＋b b ＝5＋2b a ＋2a b ≥m ，由a ＞0，b ＞0得，2b a ＋2a b ≥22b a ·2ab＝4(当且仅当a ＝b 时取“＝”)．所以5＋2b a ＋2ab≥9，所以m ≤9.故选B.12．若x >1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为________．解析：y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x 2＋1x ＋16xx 2＋1≥2x 2＋1x ·16x x 2＋1＝8，当且仅当x 2＋1x ＝16xx 2＋1，即x ＝2＋3时等号成立．答案：813．已知k >16，若对任意正数x ，y ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立，求实数k 的取值范围．解：因为x >0，y >0，所以不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12xy ＋k yx≥2恒成立．又k >16，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x y ＋k y x≥2k ⎝⎛⎭⎪⎫3k －12(当且仅当x ＝y 时，等号成立)，所以2k ⎝⎛⎭⎪⎫3k －12≥2，解得k ≤－13(舍去)或k ≥12，所以实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.14．(选做题)(2019·福建莆田八中期中考试)某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x (x ∈N *)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k )，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7 800元．(1)记全年所付运费和保管费之和为y 元，求y 关于x 的函数；(2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？解：(1)由题意，得y ＝360x×300＋k ×3 000x .当x ＝20时，y ＝7 800，解得k ＝0.04.所以y ＝360x ×300＋0.04×3 000x ＝360x×300＋120x (x ∈N *)．(2)由(1)，得y ＝360x×300＋120x ≥2360×300x×120x ＝2×3 600＝7 200.当且仅当360×300x＝120x ，即x ＝30时，等号成立．所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑30台．。

2020版数学人教A版必修5学案：第三章 3.4 第1课时基本不等式 Word版含解析

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2第1课时基本不等式学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均数与几何平均数一般地，对于正数a ，b ，a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即ab ≤a ＋b2. 几何解释如图，AB 是圆O 的直径，点Q 是AB 上任一点，AQ ＝a ，BQ ＝b ，过点Q 作PQ 垂直于AB 且交圆O 于点P ，连接AP ，PB .则PO ＝AB 2＝a ＋b2.易证Rt △APQ ∽Rt △PBQ ，那么PQ 2＝AQ ·QB ，即PQ ＝ab .知识点二基本不等式常见推论由公式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )和a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0)可得以下结论：①a b ＋ba ≥2(a ，b 同号)； ②21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．1．对于任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab .( √ ) 2．n ∈N *时，n ＋2n ≥2 2.( √ )3．x ≠0时，x ＋1x≥2.( × )4．a >0，b >0时，1a ＋1b ≥4a ＋b.( √ )题型一常见推论的证明例1 证明不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab . 引申探究1求证a ＋b 2≥ab (a ＞0，b ＞0)．证明方法一a ＋b 2－ab ＝12[(a )2＋(b )2－2a ·b ]＝12·(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b ，即a ＝b 时，等号成立．方法二由例1知，a 2＋b 2≥2ab .∴当a ＞0，b ＞0时有(a )2＋(b )2≥2a b ，即a ＋b ≥2ab ， a ＋b2≥ab . 引申探究2证明不等式⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )．证明由例1，得a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ，两边同除以4，即得⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，取等号．反思感悟 (1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识．(2)不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b 2成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数．跟踪训练1 当a ＞0，b ＞0时，求证：21a ＋1b ≤ab .证明 ∵a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b ≥2ab ＞0， ∴1a ＋b ≤12ab，∴2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab . 又∵2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，∴21a ＋1b ≤ab (当且仅当a ＝b 时取等号)．题型二用基本不等式证明不等式例2 已知x ，y 都是正数．求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. 证明 (1)∵x ，y 都是正数， ∴x y >0，yx >0， ∴y x ＋x y≥2 y x ·x y ＝2，即y x ＋xy≥2，当且仅当x ＝y 时，等号成立． (2)∵x ，y 都是正数， ∴x ＋y ≥2xy >0，x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0， ∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3，即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立．反思感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc . 证明 ∵a ，b ，c 都是正实数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0， ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc ，即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．题型三用基本不等式比较大小例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则( ) A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b2答案 B解析第二年产量为A ＋A ·a ＝A (1＋a )，第三年产量为A (1＋a )＋A (1＋a )·b ＝A (1＋a )(1＋b )．若平均增长率为x ，则第三年产量为A (1＋x )2. 依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，x ＞0， ∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤⎣⎡⎦⎤(1＋a )＋(1＋b )22，∴1＋x ≤2＋a ＋b 2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．反思感悟基本不等式a ＋b2≥ab 一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3 设a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝lg a ＋lg b 2，R ＝lg a ＋b2，则P ，Q ，R 的大小关系是( ) A ．R 0， ∴lga ＋b 2＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R ＞Q .② 综合①②，有P <Q <R .演绎：条件不等式的证明典例 (1)当x ＞0，a ＞0时，证明x ＋ax ≥2a ；(2)当x ＞－1时，证明x 2＋7x ＋10x ＋1≥9.证明 (1)∵x ＞0，a ＞0，∴ax ＞0.由基本不等式可知，x ＋ax≥2x ·ax＝2a . 当且仅当x ＝a 时，等号成立． (2)x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5.∵x ＞－1，∴x ＋1＞0. ∴(x ＋1)＋4x ＋1≥24＝4，∴(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥9，即x 2＋7x ＋10x ＋1≥9.当且仅当x ＝1时，等号成立．[素养评析] 逻辑推理主要有两类：从特殊到一般，从一般到特殊，演绎就是从一般到特殊的一种推理形式．在本例中，“一般”指基本不等式a ＋b 2≥ab .当我们对a ，b 赋予特殊值．如令a ＝x ，b ＝ax ，就有x ＋ax≥2a ；①再令①中的x ＝x ＋1，a ＝4，就有x ＋1＋4x ＋1≥2 4.基本不等式的应用关键就是给a ，b 赋予什么样的值.1．若0<a a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a a ＋b ，∴b >a ＋b2>ab .∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.2xx 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2答案 C解析对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立；对于C ，x 2＋1≥2x ，∴2xx 2＋1≤1恒成立．故选C. 3．若四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d 2>bcB.a ＋d2<bcC.a ＋d 2＝bcD.a ＋d 2≤bc答案 A解析因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d 2＝b ＋c2>bc .4．lg 9×lg 11与1的大小关系是( ) A ．lg 9×lg 11>1 B ．lg 9×lg 11＝1 C ．lg 9×lg 11<1 D ．不能确定答案 C解析 ∵lg 9>0，lg 11>0， ∴lg 9×lg 11<⎝⎛⎭⎫lg 9＋lg 1122＝⎣⎡⎦⎤lg (9×11)22＝⎝⎛⎭⎫lg 9922<⎝⎛⎭⎫lg 10022＝1，即lg 9×lg 11<1.5．设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a . 其中恒成立的是．(填序号)答案 ①②③解析由于a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故②恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b≥21ab，故(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立．综上，恒成立的是①②③.1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．一、选择题1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab | D ．a 2＋b 2>2|ab |答案 A解析 ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)． 2．若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，显然错误；对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫1222x － (x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．m ≤n 答案 A解析 ∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，n ＝222x －<22＝4，∴m >n ，故选A.4．设f (x )＝ln x,0<a p D ．p ＝r >q答案 B解析因为0<a ab .又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>f (ab )，即p <q .而r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln(ab )＝ln ab ，所以r ＝p ，故p ＝r <q ，故选B.5．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2abD.2ab a ＋b>ab 答案 D 解析 a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥ 22，当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，B 成立； ∵a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，C 成立；∵a ＋b ≥2ab ，且a ，b ∈(0，＋∞)， ∴2ab a ＋b ≤1，2aba ＋b≤ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，D 不成立． 6．下列说法正确的是( )A ．若x ≠k π，k ∈Z ，则⎝⎛⎭⎫sin 2x ＋4sin 2x min ＝4 B ．若a <0，则a ＋4a≥－4C ．若a >0，b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a <0，b <0，则b a ＋a b ≥2答案 D解析对于A ，x ≠k π，k ∈Z ，则sin 2x ∈(0,1]．令t ＝sin 2x ，则y ＝t ＋4t ，函数y 在(0,1]上单调递减，所以y ≥5，即sin 2x ＋4sin 2x ≥5，当sin 2x ＝1时，等号成立．对于B ，若a <0，则－a >0，－4a >0.∴a ＋4a ＝－⎣⎡⎦⎤(－a )＋⎝⎛⎭⎫－4a ≤－4，当且仅当a ＝4a ，即a ＝－2时，等号成立．对于C ，若a ∈(0,1)，b ∈(0,1)，则lg a <0，lg b <0，不等式不成立．对于D ，a <0，b <0，则b a >0，ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，当且仅当b a ＝ab ，即a ＝b 时，等号成立．二、填空题7．设正数a ，使a 2＋a －2＞0成立，若t ＞0，则12log a t log a t ＋12.(填“＞”“≥”“≤”或“<”) 答案 ≤解析 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＞1或a <－2(舍)， ∴y ＝log a x 是增函数，又t ＋12≥ t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t . 8．设a ，b 为非零实数，给出不等式：①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b ；④a b ＋b a ≥2.其中恒成立的不等式是．答案 ①②解析由重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝(a ＋b )24＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，可知②正确；当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b 2＝－1，右边为ab a ＋b ＝－12，可知③不正确；当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确．9．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是．答案(a －b )(b －c )≤a －c2解析因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立．10．设a ＞1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是．(用“＞”连接) 答案 m ＞p ＞n解析 ∵a ＞1，∴a 2＋1＞2a ＞a ＋1，∴log a (a 2＋1)＞log a (2a )＞log a (a ＋1)，故m ＞p ＞n . 三、解答题11．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .证明 ∵a ，b ，c 都是正数， ∴bc a ，ca b ，abc也都是正数， ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ， ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a，同理，1＋1b ＝2＋a b， ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)．方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab. 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．13．设0<a <12答案 C解析 ∵0<a <10，－log b a ＞0，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2，当且仅当ab ＝1时，等号成立，∴log a b ＋log b a ≤－2.14．设x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( )A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1) 答案 A解析 ∵x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴⎝⎛⎭⎫x ＋y 22－(x ＋y )－1≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)，当且仅当x ＝y ＝1＋2时取等号．。

人教A版高中数学必修五3.4基本不等式(三)

abc
课堂小结
课后作业
1. 阅读教材P.97-P.100； 2.《习案》作业三十三.
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
2
变式3. a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和此时a、b的值.
讲授பைடு நூலகம்课
例2. (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b)
的最值和此时a、b的值.
(2) a, b是正数, a2 2b2 2, a (1 2b2 )
的最值是
.
讲授新课
例3. 已知a、b R , a b 1, y 1 1 ， ab
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值. 变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
2
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.

高中数学(人教版必修5)第三章不等式3.4 基本不等式第1课时

第三章 3.4 第1课时一、选择题1．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( )A.25 B ．12C.22D ．1[答案] B[解析] 令t ＝x (t ≥0)，则x ＝t 2， ∴f (x )＝x x ＋1＝tt 2＋1.当t ＝0时，f (x )＝0；当t >0时，f (x )＝1t 2＋1t ＝1t ＋1t .∵t ＋1t ≥2，∴0<1t ＋1t ≤12.∴f (x )的最大值为12.2．若a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3[答案] C[解析] ∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2， ∴b ＝2－a (0≤a ≤2)，∴ab ＝a (2－a )＝－a 2＋2a ＝－(a －1)2＋1. ∵0≤a ≤2，∴0≤ab ≤1，故A 、B 错误； a 2＋b 2＝a 2＋(2－a )2＝2a 2－4a ＋4 ＝2(a －1)2＋2.∵0≤a ≤2，∴2≤a 2＋b 2≤4.故选C.3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是 ( )A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a[答案] B[解析] 解法一：∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜12，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， ∵1＝a ＋b ＞2ab ， ∴ab ＜14，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12，即a 2＋b 2＞12.故选B.解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59＞12＞49＞13，∴a 2＋b 2最大． 4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14[答案] B[解析] 根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B.5．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4[答案] C[解析] 1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝1＋12⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立．6．已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D[解析] 由等差、等比数列的性质得 (a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x y ＋yx ＋2≥2y x ·xy＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4. 二、填空题7．若0<x <1，则x (1－x )的最大值为________． [答案] 14[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0， ∴x (1－x )≤[x ＋(1－x )2]2＝14，等号在x ＝1－x ，即x ＝12时成立，∴所求最大值为14.8．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值是________．[答案] －2[解析] ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋14＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时，等号成立．三、解答题 9．已知x >0，y >0.(1)若2x ＋5y ＝20，求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)若lg x ＋lg y ＝2，求5x ＋2y 的最小值． [解析] (1)∵x >0，y >0，由基本不等式，得2x ＋5y ≥22x ·5y ＝210·xy . 又∵2x ＋5y ＝20， ∴20≥210·xy ， ∴xy ≤10，∴xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y 2x ＋5y ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2.∴当x ＝5，y ＝2时，xy 有最大值10. 这样u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1. ∴当x ＝5，y ＝2时，u max ＝1. (2)由已知，得x ·y ＝100， 5x ＋2y ≥210xy ＝2103＝2010.∴当且仅当5x ＝2y ＝103，即当x ＝210， y ＝510时，等号成立．所以5x ＋2y 的最小值为2010.10．求函数y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a 的最小值，其中a >0.[解析] 当0<a ≤1时， y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a≥2，当且仅当x ＝±1－a 时，y min ＝2. 当a >1时，令x 2＋a ＝t (t ≥a )，则有y ＝f (t )＝t ＋1t.设t 2>t 1≥a >1，则f (t 2)－f (t 1)＝(t 2－t 1)(t 1t 2－1)t 1t 2>0，∴f (t )在[a ，＋∞)上是增函数． ∴y min ＝f (a )＝a ＋1a，此时x ＝0.综上，当0<a ≤1，x ＝±1－a 时，y min ＝2；当a >1，x ＝0时，y min ＝a ＋1a.一、选择题1．设a 、b ∈R ，且ab >0.则下列不等式中，恒成立的是 ( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2[答案] D[解析] a ＝b 时，A 不成立；a 、b <0时，B 、C 都不成立，故选D.2．若0<a <1,02ab ，a ＋b >2ab ，a >a 2，b >b 2， ∴a ＋b >a 2＋b 2，故选D.解法二：取a ＝12，b ＝13，则a 2＋b 2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．3．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b2[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x ∴A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )，∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，由题设a ＞0，b ＞0. ∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤(1＋a )＋(1＋b )2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b 2，等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．∴选B.4．(2013·山西忻州一中高二期中)a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )(x 、y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1[答案] A[解析] 由已知得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.∴xy ＝x (2－2x )＝2x (2－2x )2≤12×(2x ＋2－2x 2)2＝12，等号成立时2x ＝2－2x ，即x ＝12，y ＝1，∴xy 的最大值为12.二、填空题5．已知2x ＋3y ＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．[答案] 6 [解析] 2x ＋3y≥26xy，∴26xy≤2，∴xy ≥6. 6．已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是________．[答案] 1[解析] ∵x ＜54，∴4x －5＜0，y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3＝3－⎣⎡⎦⎤(5－4x )＋15－4x≤3－2＝1，等号在5－4x ＝15－4x，即x ＝1时成立．三、解答题7．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长． [解析] 设一条直角边长为x cm ，(0<x <10)，则另一条直角边长为(10－x )cm ，面积s ＝12x (10－x )≤12[x ＋(10－x )2]2＝252(cm 2)等号在x ＝10－x 即x ＝5时成立，∴面积最大时斜边长L ＝x 2＋(10－x )2＝52＋52＝52(cm)．8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x 台(x 是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析] 设总费用为y 元(y ＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k ，则y ＝3 600x ×400＋k (2 000x )，依条件，当x ＝400时，y ＝43 600，可得k ＝5%，故有y ＝1 440 000x ＋100x≥21 440 000x·100x ＝24 000(元)．当且仅当1 440 000x ＝100x ，即x ＝120时取等号．所以只需每批购入120台，可使资金够用．。

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________．
4 14．函数 f(x)＝ lg x＋lg x(0 ＜x＜ 1)的最大值是 ________，当且仅当 x＝ ________时取等号．
15．若对任意
x＞
0
，
x2＋
x 3x＋
1≤
a
恒成立，则
a 的取值范围是 ________．
16．已知
a＞ b＞ 0，则
a
2＋
b（
64 a－
b）
取最小值时
b 的值为 ________．
三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
)
17． (本小题满分
10 分 )(1) 已知
x＞ 0，求
y＝
2－
x－
4的最大值； x
1 (2)已知 x＞ 2，求 y＝ x＋ x－ 2的最小值；
1
1
(3)已知 0＜ x＜2，求 y＝2x(1－ 2x)的最大值．
2
＝
x2＋
1 4x2
＋
y2＋
1 4y2
＋
xy y＋ x ≥ 1＋ 1＋ 2＝ 4.
当且仅当 x＝ y＝ 22时，式子取得最小值 4. 12．【解析】选 C.本题①中作差变形后可得： a3＋ b3－ a2b－ ab2＝ (a－ b)2( a＋ b)，由于 a， b 为正实数， a≠ b，所以 (a－ b)2( a＋b)＞ 0，即①正确；对于②用赋值法很容易判断其错误，如 a＝ 1， b＝ 2， m＝ 1，符合条件但结论不正确；对于③，利用不等式的性质，在不等式两边同时乘 c2，不等号的方向不改变，故正确；对于④，利用基本不等式成立的条件“一正，
1＋ a＋ 1＋ b 2
2
＝
a＋ b 2
a＋ b
1＋ 2 ，所以 x≤ 2 .
8．【解析】
选
A.
1a＋
1b＝
1 30
11 a＋ b
1 (4 a＋ b)＝ 30
b 4a 4＋ 1＋ a＋ b
≥
.
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1 30 5＋ 2
b 4a a·b
＝ 3， 10
当且仅当 ba＝ 4ba，
a＝ 5，
即
时等号成立．故选 A.
11 A. 3 B ． 3＋ 2 3 C．6 D． 9
7．某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则 ( )
a＋ b
a＋ b
a＋ b
a＋ b
A ． x＝ 2 B． x≤ 2 C． x＞ 2 D． x≥ 2
8．已知正数 a， b 满足 4a＋ b＝ 30，使得 1a＋1b取最小值的实数对 ( a， b)是 (
a＜
b，则
a＋m＜ b＋m
ab；
③若 ca2＞ cb2，则 a＞ b；
④当
x∈
0， π2 时， sin
x＋ 2 的最小值为 sin x
2
2，其中结论正确的个数为
(
)
A ． 0 B． 1 C． 2 D． 3
二、填空题
13．已知
x>0， y>0， lg x＋ lg y＝ 1，则
z＝
2＋ x
5的最小值为 y
D.
3．【解析】选 A. 因为 x＞ 0，
12 所以 f(x)＝ x ＋ 3x≥2
12 x × 3x＝ 12，
当且仅当 1x2＝ 3x，即 x＝ 2 时取等号． x
4．【解析】选 B. 因为 0＜ x＜ 2，所以 0＜ 1－ 2＜ 1，
所以
y＝x
x 1－ 2
＝2·2x
x 1－ 2
≤
2
x＋ 1－ x
3．若 x＞ 0， f(x) ＝1x2＋ 3x 的最小值为 (
)
A ． 12 B．－ 12 C． 6 D ．－ 6
x
4．函数 y＝ x 1－ 2 (0＜ x＜ 2)的最大值是 (
)
11 A. 4 B. 2 C． 1 D． 2
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为
800 元．若每批生产 x 件，则平
【答案】 2
17．【解】 (1)因为
x＞ 0，所以
x＋
4≥ x
4，
4 所以 y＝2－ x＋ x ≤ 2－ 4＝－ 2，
所以当且仅当 x＝4x(x＞ 0)，
即 x＝ 2 时， ymax＝－ 2.
(2)因为
x＞ 2，所以
x－ 2＞0，所以
y＝
1 x＋x－
＝ 2
x－2＋
1 x－
＋2≥ 2
2
1 （ x－ 2） x－2 ＋
A ． 16 B． 25 C． 9 D ． 36
12
12
11．若 x，y 是正数，则 x＋ 2y ＋ y＋ 2x 的最小值是 ( )
7
9
A ． 2 B.2 C．4 D.2
12．给出下列语句：
.
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①若 a， b 为正实数， a≠b，则 a3＋ b3＞ a2 b＋ ab2；
②若
a， b， m 为正实数，
)
A ． (5， 10) B． (6， 6) C． (10， 5) D． (7， 2)
（ x＋ y）（ x＋ ay）
9．不等式
≥ 9 对任意正实数 x，y恒成立，则正实数 a 的最小值为 ( ) xy
A ． 2 B． 4 C． 6 D． 8
10．已知 x>0， y>0，且 x＋ y＝8，则 (1＋ x)(1 ＋ y)的最大值为 ( )
2
2
21 ＝2，当且仅当
2x＝ 1－ x2，即
x＝ 1 时，等号成立，故选
B.
2
5．【解析】选 B. 因为生产 x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和为
800＋ x8·x，
所以平均每件费用
800＋ 18x2 y＝ x
＝ x＋800≥ 20， 8x
当且仅当 x8＝ 80x0，即当 x＝80 件时， ymin＝ 20.
(2)再证
x x＋
2y＋
y 2x＋
y≥
23，此不等式
?
3x(2x＋ y)＋ 3y(x＋ 2y)≥ 2(x＋ 2y)(2x＋ y)
? x2＋ y2≥ 2xy，此式显然成立．
2
x
y
x
y
综上可知，存在常数 c＝ 3，使得不等式 2x＋ y＋x＋ 2y≤ c≤ x＋ 2y＋ 2x＋ y对任意正实数 x，
10．【解析】选
B.(1 ＋x)(1 ＋y)≤
（ 1＋ x）＋（ 1＋ y） 2
2
＝
2＋（ x＋ y） 2
2
＝
2＋ 8
2
＝ 25，
2
因此当且仅当 1＋ x＝ 1＋ y 即 x＝ y＝ 4 时， (1＋ x)(1＋ y)取最大值 25，故选 B.
11．【解析】
选 C.
1 x＋ 2y
2
＋
1 y＋ 2x
＞0) 的最大值为 8. 11
(1)求 a＋ b的最小值； (2)求 a2＋ 16b2－ 4ab 的最小值．
20.(本小题满分
12 分 )是否存在常数
c，使得不等式
x ＋ y ≤c≤ x ＋ y 对
2x＋ y x＋ 2y
x＋ 2y 2x＋ y
任意正实数 x， y 恒成立？证明你的结论．
.
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参考答案与解析
1 2＝ 4.所以当且仅当 x－ 2＝ x－ 2(x＞2) ，即 x＝ 3 时， ymin＝ 4.
1
1
1 2x＋ 1－2x 2 1
(3)因为 0＜ x＜2，所以 1－ 2x＞ 0，所以 y＝ 4× 2x· (1－2x) ≤4
2
＝ 16，所以
1 当且仅当 2x＝ 1－ 2x 0＜x＜ 2 ，
即
x＝ 14时，
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基本不等式题一、选择题
1．若 a， b∈ R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是 ( )
A ． a2＋ b2>2ab
B． a＋b≥ 2 ab
C.1a＋
1 b>
2 ab
D.ba＋ ab≥2
1
2．若
a＞ 1，则
a＋
a－
的最小值是 1
(
)
2a A ． 0 B． 2 C.a－ 1 D ． 3
二定，三相等”的第三点不成立，取不到“＝”，故④错误．综合得正确的有①，③两个，
从而选 C.
13．【解析】由已知条件 lg x＋ lg y＝ 1，可得 xy＝ 10.
25
10
则 x＋ y≥ 2 xy ＝ 2，
25
故
x＋y
＝2，
最小值
当且仅当 2y＝ 5x 时取等号．
又 xy＝ 10，即 x＝ 2， y＝ 5 时等号成立．
4a＋ b＝ 30， b＝ 10
9．
【解析】
选
B.
（
x＋
y）（ xy
x＋
ay）＝
x2＋（
a＋ 1） xy
xy＋ay
2
＝
a＋
1＋
x2＋xyay2≥
a＋
1
（ x＋ y）（ x＋ ay）
＋2 a＝ ( a＋ 1)2，当且仅当 x＝ ay 时等号成立，所以
的最小值为 ( a＋
xy
1)2，于是 ( a＋ 1)2≥ 9 恒成立，所以 a≥ 4，故选 B.
【答案】 2
14．【解析】因为 0＜ x＜ 1，所以 lg x＜ 0，所以－ lg x＞0，
f(x)＝ lg x＋ lg4x＝－
（－
lg

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