状态空间表达式的解

第2章 状态空间表达式的解第1节 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程0(0)x Ax x x ==&的解为0()Atx t e x = (0)t >式中，22()2!!kAt k t At e I At A k ∞∆==+++=∑L 证明：用拉普拉斯变换法。

对 x A x =& 作拉氏变换，得0()()sX s x AX s -=10()()X s sI A x -=-110()[()]x t L sI A x --=-因为 223111()()sI A I A A I s s s -+++=L故 1223111()sI A I A A s s s --=+++L12023111()[]x t L I A A x s s s-=+++L 2201()2!I At A t x =+++L 0Ate x =顺便可知])[(11---=A sI L eAt第2节 矩阵指数函数Ate1、Ate 的定义和性质 （1）定义22()2!!kAtk t At e I At A k ∞==+++=∑L 式中 A —线性定常系统系统矩阵，n n ⨯阶；Ate —矩阵指数函数，n n ⨯阶时变矩阵。

若A 中各元素均小于某定值，Ate 必收敛；若A 为实矩阵，Ate 绝对收敛。

（2）基本性质：◆组合性质：)(2121t t A At At ee e +=其中21,t t 为相衔接的两时间段。

推论1：I eeee A t t A t A At ===--0)()(推论2：)(1][t A At ee --=◆微分性质：A e Ae e tAt At At ==d d ◆当A 、B 两阵可交换，即 BA AB =，则tB A BtAt ee e )(+=◆若1-P 存在，则P e P eAAPP 11-=-2、Ate 的计算 （1）级数计算法()!kAtk At e k ∞==∑ （2）拉氏变换法])[(11---=A sI L eAt当A 阵维数较高时，预解矩阵可采用递推法计算。

（3）多项式表示法∑-==10)(n k k k AtA t eα 若A 的特征根1λ，2λ，…, n λ两两互异，则122101112112122211()1()1()1n n tn t n t n n n n t e t e t e -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L M M M M M M M L λλλαλλλαλλλαλλλ （4）非奇异变换法1）设A 的特征根1λ，2λ，…, n λ两两互异，则1]diag[21-=P e eeP etttAtn λλλΛ其中P 满足 ]diag[211n AP P λλλΛ=-推论：若]diag[21n A λλλΛ=，则]diag[21tttAtn e eeeλλλΛ=2）设A 为具有共轭复特征根ωσλj 2,1±=的二阶阵，则1cos sin sin cos Attt t e e P P t t σωωωω-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 其中P 满足 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-σωωσAP P 1（模态规范型）。

证明：因 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡σσ与⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ωω可交换，故t t t tee e e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==ωωσσωωσσσωωσ)(t te I eωωσ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=⨯而2435()()()()12!4!3!5!3524()()()()13!5!2!4!cos sin sin cos t t t t t t t t t t t t t e t t ωωωωωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎢⎥-++-+--⎣⎦-+-+-++⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦LLK LL故cos sin sin cos t tt t e e t t σωωσσωωωω⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦再由1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=P P A σωωσ 即得所证。

第3节 状态空间表达式的解1、线性定常系统状态空间表达式的解设线性定常系统x Ax Bu =+&，00()x t x =可以证明，状态方程的解为00()()0'"()()()))d ((tA t t A t t x t ex t ex Bu t t x τττ--=+=+⎰其中 0()0')()(A t t x t ex t -=——自由响应，只与)(0t x 和A 有关。

()"()d )(tA t t eB x u t τττ-=⎰——强迫响应，与)(t u 和A, B 有关。

系统的输出00()()0()()()()d tA t t A t t y t C x t Cex t CeBu τττ--==+⎰2、阶跃输入下状态方程的的解设00=t ，)(1)(t k t u =，k 为与)(t u 同维的常数向量，则k B I eA x e t x AtAt][)0()(1-+=-3、状态转移矩阵0()A t t e-又称作状态转移矩阵，常记为0()0()A t t t t e-Φ-=。

使用该符号，线性定常系统状态方程的解可表为00()()()()()d tt x t t t x t t Bu τττ=Φ-+Φ-⎰若00t =，则()Att e Φ=，且()()(0)()()d tx t t x t Bu τττ=Φ+Φ-⎰采用符号0()t t Φ-，主要是便于时变系统状态转移矩阵的表述。

第5节 线性时变连续系统运动分析线性时变连续系统()()x A t x B t u =+&，00()x t x =，0[,]f t t t ∈设在域0[,]f t t 内，()A t 和()B t 的元素是t 的分段连续函数，以保证上述状态方程解的存在性和唯一性。

1、线性时变连续系统状态方程的解回顾：线性定常连续系统状态方程解000()()()()()d tt x t t t x t t Bu τττ=Φ-+Φ-⎰式中，0()0()A t t t t e-Φ-=——状态转移矩阵。

其满足如下两式比照定常系统，可写出线性时变连续系统状态方程的解为00()(,)()(,)()()d tt x t t t x t t B u ττττ=Φ+Φ⎰式中，0(,)t t Φ——线性时变连续系统的状态转移矩阵，具有性质：00(,)()(,)t t A t t t t∂Φ=Φ∂ 00(,)t t I Φ=211020(,)(,)(,)t t t t t t ΦΦ=Φ 100(,)(,)t t t t -Φ=Φ2、0(,)t t Φ的计算时变系统的状态转移矩阵0(,)t t Φ与定常系统的0()t t Φ-在形式上和某些性质上类似，但二者有本质的区别。

主要区别是：◆0()t t Φ-只是时间差0t t -的函数，与0t 无关，而0(,)t t Φ是t 和0t 的二元函数；◆0()t t Φ-一般可写出闭合表达式，而除极简单的情况外，0(,)t t Φ往往难以得到其闭合表达式。

0(,)t t Φ可采用级数近似法计算，即0000110(,)()d ()()d d ttt t t t t I A A A τττττττΦ=++⎰⎰⎰01012210()()()d d d tt t t A A A ττττττττ++⎰⎰⎰L注意：对定常系统有00d ()0()tt A A t t t t eeτ-⎰Φ-==而对时变系统，一般0()d 0(,)tt A t t eττ⎰Φ≠。

可以证明，当且仅当()A t 与0()d tt A ττ⎰满足关系式()()d ()d ()ttt t A t A A A t ττττ=⎰⎰或122112()()()()(,)A t A t A t A t t t =∀成立时，才有0()d 0(,)tt A t t eττ⎰Φ=时变系统求解一般采用数值方法。

【例】求如下时变系统状态方程的解21001(1),(0),()1()(0)1100t x x u x u t t t t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥+=+==>⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦& 解：因2212121100(1)(1)()()00000t t A t A t ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2221211100(1)(1)()()00000t t A t A t ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即有等式122112()()()()(,)A t A t A t A t t t =∀成立，故状态转移矩阵002()d 01(,)()d ()d 2!tt A ttt t t t eI A A ττττττ⎰⎡⎤Φ==+++⎢⎥⎣⎦⎰⎰L 0022211001(1)(1)d d 2!0000t t t t I ττττ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰L 000001(1)(1)(1)(1)000001t t t t t t t t I --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L状态方程的解为0()(,0)(0)(,)()()d tx t t x t B u ττττ=Φ+Φ⎰111101t t ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦010(1)(1)1()d 101t t t τττττ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰111t t ⎡⎤+⎢⎥=++⎢⎥⎣⎦0d 11t t t τττ-⎡⎤⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦⎰22422(1)222t t t t t ⎡⎤++⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦第6节 状态方程的数值解法1、状态方程的数值解法的概念不是所有的状态方程都存在解析解，数值解更具有普遍性。

状态方程的数值求解实际上就是一阶微分方程组初值问题的数值求解。

状态方程的数值积分解法如： 改进欧拉法； 龙格－库塔法； 基尔法； 特雷纳法等。

后两种方法可用于刚性微分方程组（0)Re(<i λ，)Re(min )Re(max i i λλ>>，),,2,1(n i Λ=，λ为A 阵特征根）求解。

数值积分解法分类: 单步/多步； 显式/隐式; 定步长/变步长。

计算误差：截断误差（算法）+舍入误差（字长）→积累误差（算法，字长，计算时间）同一问题，采用不同的数值解法或步长，求解效率甚至数值解结果可能有较大差异，甚至出现数值不稳定问题。

2、四阶龙格－库塔（Runge-Kutta ，RK ）法属于定步长显式单步（自启动）解法。

对状态方程()[(),()]xt f x t u t =&,00)(x t x = 设h t t k k +=+1（),2,1,0Λ=k ，h 为计算步长。