五年级下册数学试题——分数的意义和性质-约分(含答案解析)人教版

第四章分数的意义和性质-约分【知识梳理】1.公因数和最大公因数的意义。

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。

其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

重点提示：每个数的因数的个数是有限的，因此两个数或多个数的公因数的个数也是有限的。

2. 求两个数最大公因数的方法。

（1）列举法：先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出公因数中最大的一个。

（2）筛选法：先找出两个数中较小数的因数，从中圈出较大数的因数，再看哪一个因数最大。

（3）分解质因数法：先将这两个数分别分解质因数，再从分解的质因数中找出这两个数公有的质因数，公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数。

（4）短除法：先把两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。

方法提示：用列举法和筛选法求两个数的最大公因数，一般适合较小的数，而分解质因数法和短除法适合任意的数。

3.最大公因数的表示方法。

例.20和12的最大公因数是4，可记作：（20，12）=4。

即用小括号将两个数括起来，中间用逗号隔开，小括号后面是等号，将它们的最大公因数写在等号的后面。

4.求两个数最大公因数的特殊情况。

（1）当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。

（2）当两个数的公因数只有1时，它们的最大公因数就是1。

5.互质数的意义和判断方法。

公因数只有1的两个数叫做互质数。

判断两个数是不是互质数，要看它们是不是只有公因数1。

易错提示：互质的两个数不一定都是质数。

6.互质数的特殊情况。

（1）1和任意非0的自然数都是互质数。

（2）2和任何奇数都是互质数。

（3）相邻的两个非0自然数是互质数。

（4）相邻的两个奇数是互质数。

（5）不相同的两个质数是互质数。

7.互质数和质数的区别。

质数是一类数，是只有1和它本身两个因数的数；互质数是对于两个数的关系而言的，公因数只有1的两个数是互质数。

8.用求公因数的方法解决实际问题。

当所求量分别与两个（或几个）已知量的因数有关时，可以用公因数或最大公因数的知识解决。

9.约分的概念和方法。

（1）把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

（2）约分的方法有两种：①逐次约分法：用分数的分子和分母的公因数逐次去除分子和分母，直到约成最简分数；②一次约分法：用分数的分子和分母的最大公因数去除分子和分母，能直接约成最简分数。

（3）分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。

（4）约分的书写格式。

约分的书写形式是从中间开始，向上、下两端展开。

因此，约分前要在分数的上、下方留出约分空。

重点提示：因为约分的依据是分数的基本性质，所以约分前后分数的大小不变。

10.拓展提高。

（1）两个数的公因数是它们最大公因数的因数，最大公因数是公因数的倍数。

（2）若干个连续自然数的公因数只有1，则它们的最大公因数也是1。

【诊断自测】1.填空。

（1）8的因数有（）；24的因数有（）； 8和24的公因数有（），它们的最大公因数是（）。

（2）4和8的最大公因数是（）。

（3）8和9的最大公因数是（）。

（4）一个分数约分后，分数的大小（）。

（5）624的分子和分母的最大公因数是（），化成最简分数是（）。

2.选择。

（1）12、16和18的最大公因数是（） A.2 B.3 C.4 D.6 （2）16厘米=（）米A.85B.425C.415D.1600（3）3560（）3072A.>B.<C.=D.无法确定3.求出下面各组数的最大公因数。

（1）12和10 （2）22和11 （3）7和8 4.把下面的分数约分。

24 30121621285.解决问题。

有两条彩带，分别长12厘米和8厘米，若把它们剪成同样长的小段，每小段都要求是整厘米数，而且没有剩余。

每小段彩带最长是多少厘米？【考点突破】类型一：求最大公因数。

例1.写出下面各分数分子和分母的最大公因数。

5 9（）2142（）2436（）20 30（）1524（）3344（）答案： 1 21 12 10 3 11解析：（1）因为5和9互质，互质的两个数的最大公因数是1，所以5和9的最大公因数是1。

（2）因为42是21的2倍，当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数，所以21是42和21的最大公因数。

（3）用短除法：2 24 362 12 183 6 92 3所以24和36的最大公因数是2×2×3=12。

（4）用短除法：2 20 305 10 152 3所以20和30的最大公因数是2×5=10。

（5）用短除法：3 15 245 8所以15和24的最大公因数是3。

（6）用短除法：11 33 443 4所以33和44的最大公因数是11。

例2.选择。

（1）已知m=4n（m，n均不为0），那么m和n的最大公因数是（）。

A.mB.nC.4（2）a和b是两个相邻的非零自然数，它们的最大公因数是（）。

A.1B. aC.bD.ab（3）如果a=2×3×5，b=2×3×7×11，那么a和b的最大公因数是（）。

A.2×3B. 2×3×5×7×11C.5×7×11答案：（1）B （2）A （3）A解析：（1）根据m=4n（m，n均不为0）可知，m是n的4倍。

当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。

故选B。

（2）两个相邻的非零自然数是互质数，当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1。

故选A。

（3）此题考查用分解质因数法求最大公因数的方法。

从分解的质因数中找出这两个数公有的质因数，公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数。

例3.按要求写数，使它们的最大公因数是1。

（1）质数（）和合数（）。

（2）奇数（）和奇数（）。

（3）偶数（）和奇数（）。

（4）合数（）和合数（）。

（5）质数（）和质数（）。

答案：答案不唯一。

（1）质数（ 2 ）和合数（ 9 ）。

（2）奇数（ 3 ）和奇数（ 5 ）。

（3）偶数（ 2 ）和奇数（ 3 ）。

（4）合数（ 4 ）和合数（ 9 ）。

（5）质数（ 2 ）和质数（ 3 ）。

解析：当两个数互质时，它们的最大公因数就是1。

所以可在所要求的数的范围内找到公因数只有1的两个数，这两个数的最大公因数就是1。

类型二：用求两个数的最大公因数解决实际问题。

例4.五年级三个班分别有24人、36人和42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，每组最多有多少人？每班各分成几组？答案： 2 24 36 423 12 18 214 6 7（24，36，42）=2×3=6（人）24÷6=4（组）36÷6=6（组）42÷6=7（组）答：每组最多有6人，三个班分别分成了4组、6组、7组。

解析：把24人、36人、42人分成人数相等的小组，即小组人数是24、36、42的公因数，求每组里最多有多少人，就是求24、36、42的最大公因数。

最后根据“每班总人数÷每组人数=组数”分别求出各分成几组。

例5.幼儿园阿姨把49块水果糖和29块奶糖分别平均分给小班的小朋友，结果水果糖多出 4块，奶糖少了1块，小班最多有多少名小朋友？答案：49-4=45（块）29+1=30（块）（45，30）=15（名）答：小班最多有15名小朋友。

解析：实际需要水果糖49-4=45（块），需要奶糖29+1=30（块），45和30的最大公因数15就是小班的最多的人数。

例6.张老师给全班同学带来一些糖果。

如果把110块糖果平均分给全班同学，则多5块；如果把210块糖果平均分给全班同学，则正好分完；如果把240块糖果平均分给全班同学，则少5块。

张老师的班级最多有多少名同学？答案：110-5=105（块）240+5=245（块）（105，210，245）=35（名）答：张老师的班级最多有35名同学。

解析：题目中的糖果数量有两种情况不能正好分完，可对数量进行调整，使其转化成求最大分因数的问题。

根据“如果把110块糖果平均分给全班同学，则多5块。

”可知，110-5=105块糖果正好能平均分给全班同学；根据“如果把240块糖果平均分给全班同学，则少5块。

”可知，240+5=245块糖果正好能平均分给全班同学。

所求的问题也就是105、210和245的最大公因数。

例7.有一块木料长3.2米，宽1.44米，高0.96米，现在将这块木料锯成体积相同而且最大的正方体，总共可锯成多少块？（木料不浪费）答案：3.2米=320厘米 1.44米=144厘米 0.96米=96厘米（320，144，96）=16320÷16=20（块）144÷16=9（排）96÷16=6（层）20×9×6=1080（块）答：总共可锯成1080块。

解析：题中要求锯成体积相同而且最大的正方体，那么正方体的棱长就是原木料长、宽、高的最大公因数，由于原木料的长、宽、高都是小数，要转化成整数。

类型三：约分。

例8.先把下面的分数约分，再按从小到大的顺序排列。

2 1642283556849692431 6 5 7 3答案：216=184228=323556=588496=78924=388 4 8 8 8 2因为18<38<58<78<32，所以216<924<3556<8496<4228。

解析：先根据分数的基本性质，分子、分母同除以它们的公因数或最大公因数，将分数约分成最简分数；再比较约分后最简分数的大小，进而比较原分数的大小。

例9.在下面的括号里填上适当的分数。

（1）120千克=（）吨（2）160分=（）小时（3）1280米=（）千米（4）60厘米=（）米答案：（1）325 （2）223 （3）1725 （4）35解析：（1）低级单位（千克）化高级单位（吨），除以进率1000，即120÷1000=1201000=325； （2）低级单位（分）化高级单位（小时），除以进率60，即160÷60=16060=83=223； （3）低级单位（米）化高级单位（千米），除以进率1000，即1280÷1000=12801000=3225=1725； （4）低级单位（厘米）化高级单位（米），除以进率100，即60÷100=60100=35。

类型四：运用抓不变量法解决分子、分母同时加（减）一个数的问题。

例10.分数513的分子、分母同时加上一个数，约分后得12，同时加上的这个数是多少？答案： 13-5=8 2-1=18÷1=8 1188==22816⨯⨯ 8-5=3或16-13=3答：同时加上的这个数是3。