2004年普通高等学校招生全国统一考试理科(重庆卷)数学

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1987 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................29 1987 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科试卷...........................30 1988 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................31 1988 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科试卷...........................32 1989 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................33 1989 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科试卷...........................34 1990 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................35 1990 年普通高等学校招生考试（上海卷）数学试卷...........................36 1990 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科数学...........................37 1991 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................38 1991 年普通高等学校招生考试（三南卷）数学试卷...........................39 1992 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................40 1992 年普通高等学校招生考试（三南卷）数学试卷...........................41 1993 年普通高等学校招生考试（新高考）理科数学...........................42 1993 年普通高等学校招生考试（新高考）文科数学...........................43 1993 年普通高等学校招生考试（旧高考）理科数学...........................44 1993 年普通高等学校招生考试（旧高考）文科数学...........................45 1994 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................46 1994 年普通高等学校招生考试（旧高考）文科数学...........................47 1995 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................48 1996 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................49 1997 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................50 1997 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科数学...........................51 1998 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................52 1998 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科数学...........................53 1999 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................54 1999 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科数学...........................55 2000 年普通高等学校招生考试（京、皖卷）理科数学.......................56

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科)

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线3y x =的距离是（A ）21（B ）23 （C ）1 （D ）3（2）复数3)2321(i +的值是（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是（A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A ）8种（B ）12种（C ）16种（D ）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元（B ）120000亿元（C ）127000亿元（D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝（14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(xx x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式；（II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有（i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a参考答案一、选择题二、填空题（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22== )20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211n n n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 11=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1xx x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤．（ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。

(详细解析)1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集I N =，集合{}{}2,,4,A x x n n N B x x n n N ==∈==∈||，则 A ．B A I = B ．B A I = C ．B A I = D ．B A I = 【答案】C 【解析】由于B A ，所以A B I =．2．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图像【答案】A【解析】当1a >时，函数xy a -=是减函数，且过点(0,1)；而函数log a y x =为增函数，且过点(1,0)．3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是 A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 【答案】D【解析】2221sin cos sin sin 22x x x x >⇒>⇒>或sin 2x <-，解得24k x ππ+< 32()4k k Z ππ<+∈或322()44k x k k Z ππππ-<<-∈，即(21)(21)4k x k πππ-+<<- 3()4k Z π+∈，所以x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ．4．复数54)31()22(i i -+等于A ．i 31+B ．i 31+-C ．i 31-D ．i 31--【答案】B44425(2)12()i ω===-+-．5．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：,//,l l m βγαα=⊂和m γ⊥，那么必有A ．αγ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 【答案】A 【解析】略．6．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =+的A ．最大值是1，最小值是1-B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是2-D ．最大值是2，最小值是1- 【答案】D【解析】因为()sin 2sin()3f x x x x π==+，由已知5636x πππ-≤+≤．故当 32x ππ+=，即6x π=时，()f x 有最大值是2；当36x ππ+=-，即2x π=-时，()f x 有最小值是1-．7．椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是A ．(3,5),(3,3)---B ．(3,3),(3,5)-C ．(1,1),(7,1)-D ．(7,1),(1,1)--- 【答案】B【解析】消去参数可得直角坐标方程22(1)(3)1259y x +-+=，故焦点坐标是(3,3),(3,5)-．8．若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于A ．2πB ．2π-C ．22πα-D ．22πα--【答案】A【解析】解法一：由于已知sin 0,cos()02παα>+<，原式arcsin(sin )arccos(sin )arccos(sin )αααπααπ=-+-=-+-=-+arccos[cos()]()222πππααπα--=-+--=．解法二：当1x ≤时arcsin arccos 2x x π+=，而1sin 0α-<-<，∴原式arcsin(sin )arccos(sin )2παα=-+-=．9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A ．63aB ．123a C ．3123a D ．3122a 【答案】D【解析】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，如图所示．,ABC ADC ∆∆均为等腰直角三角形，222AC aBO DO ===， ∴2BOD π∠=，则DO ⊥面ABC ，DO 就是三棱锥D ABC -的高，所以23112232212D ABC a V a a -=⋅⋅=．10．等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若3231510=S S 则n n S ∞→lim 等于 A ．32 B ．23- C ．2 D ．2- 【答案】B【解析】显然1q ≠，由3231510=S S 得10151(1)31(1)32a q a q -=-，则105323110q q --=，解得 5132q =-，得12q =-，所以12lim 13n n a S q →∞==--．11．椭圆的极坐标方程为θρcos 23-=，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是A ．(3,0),(1,)πB ．3(3,),(3,)22ππC ．5(2,),(2,)33ππD ．（2arctg π- 【答案】C【解析】将极坐标方程为θρcos 23-=化为直角坐标方程22(1)143x y -+=，在短轴上的两个顶点的直角坐标是，所以极坐标是5(2,),(2,)33ππ．12．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】由已知得230,100m m S S ==，则232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，所以323()210m m m S S S =-=．13．设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点．已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】直线l 的方程为0bx ay ab +-=，原点到直线l 4c =，则22222316a b c a b =+，即22222()316a c a c c -=，解得2e =或3e =0a b <<，所以e ==>e =14．母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于A ．π322 B ．π332 C ．π2 D ．π362 【答案】Dα=而(0,)2πα∈，∴tan α=，而它是唯一的极值点．∴ 当tan α=时，V 取得最大值，此时cos α=22cos 3r l ππα==⋅=，应选D ．【点评】上述几个选择题是当年高考中难度最大，得分率最低的选择题，但用导数求解，可以大大降低试题的难度．15．设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f 等于 A ．0.5 B ．0.5- C ．1.5 D ． 1.5- 【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---(0.5)0.5f =-=-．第Ⅱ卷（非选择题共85分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则p = ．【答案】2【解析】圆的标准方程为22(3)16x y -+=，圆心和半径分别为(3,0),4，所以4312p=-=，则2p =．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个．（用数字作答）【答案】32【解析】从7个点中取3个点有37C 种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37332C -=个．18．tg20tg403tg20tg40++的值是．【答案】3【解析】∵tg20tg40tg(2040)31tg20tg40++==-，∴tg20tg403(1-tg20tg40)+=，tg20tg403tg20tg403++=．60的二面19．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是．【答案】42 【解析】由于//AD BC ，所以CBF ∠即为异面直线AD 与BF 所成角，设正方形边长为a ，在CBF ∆中，222,,BF a BC a FC FD CD ===+=2222cos602AD FA AD FA CD a +-⋅︒+=，2222cos 24BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分11分）解不等式1)11(log >-xa ．【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-.11,011a xx——2分由此得xa 11>-．因为10a -<，所以0x <，∴101x a<<-． ——5分（Ⅱ）当01a <<时，原不等式等价于不等式组：110,11.xa x⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩——7分由①得，1x >或0x <，由②得，101x a <<-，∴ax -<<111． ——10分综上，当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x；当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111． ——11分21．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求 2cosCA -的值．【解】本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分．解法一：由题设条件知60,120B AC =+=． ——2分∵2cos 60=-22cos 1cos 1-=+CA ．将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+．利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos 2C A C A CA C A -++-=-+． ——6分将21)cos(,2160cos 2cos -=+==+C A C A代入上式得cos)22A C A C -=--．将1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分(2cos 3)022A C A C --+=，∵302A C -+≠，∴2cos 02A C-=．从而得cos22A C -=． ——12分解法二：由题设条件知60,120B AC =+=．设2A Cα-=，则2A C α-=，可得60,60A C αα=+=-， ——3分所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+ C A ααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα． ——7分依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα， ∵21cos =B ，∴2243cos cos 2-=-αα．整理得22cos 0,αα+-= ——9分(2cos 3)0αα+=，∵03cos 22≠+α，∴02cos 2=-α．从而得222cos =-C A ． ——12分22．（本小题满分12分）如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ．（Ⅰ）求证：1BE EB =；（Ⅱ）若111AA A B =；求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角（锐角）的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）．（Ⅰ）证明：（如图2）在截面1A EC 内，过E 作1EG AC ⊥，G 是垂足．① ∵ ，∴EG ⊥侧面1AC ；取AC 的中点F ，连结,BF FG ，由AB BC = 得BF AC ⊥．② ∵ ，∴BF ⊥侧面1AC ；得//,,BF EG BF EG 确定一个平面，交侧面1AC 于FG ． ③ ∵ ，∴//BE FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE FG =． ④ ∵ ，∴11//,FG AA AAC FGC ∆∆，⑤ ∵ ，∴112121BB AA FG ==，即112BE BB =，故1BE EB =．（Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）①面1A EC ⊥侧面1AC ， ——2分②面ABC ⊥侧面1AC ， ——3分 ③//BE 侧面1AC ， ——4分 ④1//BE AA ， ——5分⑤//AF FC ， ——6分（Ⅱ）分别延长11,CE C B 交于点D ，连结1A D ．∵1111111//,22EB CC EB BB CC ==，∴,21111111B A C B DC DB === ∵11111160B AC C B A ∠=∠=︒，1111111(180)302DA B A DB DB A ∠=∠=︒-∠=︒，∴111111190DAC DA B B AC ∠=∠+∠=︒，即111DA AC ⊥． ——9分∵1CC ⊥面111AC B ，即11A C 是1A C 在平面11AC D 上的射影，根据三垂线定理得11DA A C ⊥，所以11CAC ∠是所求二面角的平面角． ——11分 ∵11111111,90CC AA A B AC AC C ===∠=︒，∴1145CA C ∠=，即所求二面角为45． ——12分23．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量）【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M ．——5分化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ——7分∵103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈． —— 9分 ∴4x ≤（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分24．（本小题满分12分）已知12,l l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且12,l l 与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为11,A B 和22,A B ．（Ⅰ）求1l 的斜率1k 的取值范围；（Ⅱ）若1122A B B =，求12,l l 的方程．【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（I ）依题设，12,l l 的斜率都存在，因为1l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ． ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即1l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-．设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ． ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k ．又因为12l l ⊥，所以有121l l ⋅=-． ——4分于是，12,l l 与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． ——7分（Ⅱ）设),(),,(221111y x B y x A ．由方程②知112,122212121212121--=⋅--=+k k x x k k x x ． ∴22222111212112()()(1)()A B x x y y k x x =-+-=+-22112214(1)(31)(1)k k k +-=-． ⑤ ——9分同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+= ⑥ 由22115B A B A =，得2211225A B A B =将⑤、⑥代入上式得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+，解得21±=k 取21=k 时，)2(22:),2(2:21+-=+=x y l x y l ；取21-=k 时，)2(22:),2(2:21+=+-=x y l x y l ． ——12分25．（本小题满分12分）已知,,a b c 是实数，函数2(),()f x ax bx c g x ax b =++=+，当11x -≤≤时，()1f x ≤．（Ⅰ）证明：1c ≤；（Ⅱ）证明：当11x -≤≤时，()2g x ≤；（Ⅲ）设0a >，当11x -≤≤时，()g x 的最大值为2，求()f x ．【解】本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由条件当11x -≤≤时，()1f x ≤，取0x =得(0)1c f =≤，即1c ≤．——2分（Ⅱ）证法一：当0a >时，()g x ax b =+在[1,1]-上是增函数，∴(1)(0)(1)g g g -≤≤，∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c =+=-≤+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c -=-+=--+≥--+≥-，由此得()2g x ≤． ——5分当0a <时，()g x ax b =+在[1,1]-上是减函数，∴(1)(0)(1)g g g -≥≥， ∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c -=-+=--+≤-+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c =+=-≥-+≥-，由此得()2g x ≤； ——7分当0a =时，(),()g x b f x bx c ==+．∵11x -≤≤，∴()(1)(1)2g x f c f c =-≤+≤．综上得()2g x ≤． ——8分证法二：由4)1()1(22--+=x x x ，可得221111()[()()]()2222x x x x g x ax b a b +-+-=+=-+-])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++= 11()()22x x f f +-=-， ——6分当11x -≤≤时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f ，即()2g x ≤． ——8分（Ⅲ）因为0a >，()g x 在[1,1]-上是增函数，当1x =时取得最大值2，即(1)(1)(0)2g a b f f =+=-=． ①∵1(0)(1)2121f f -≤=-≤-=-，∴(0)1c f ==-． ——10分因为当11x -≤≤时，()1f x ≥-，即()(0)f x f ≥，根据二次函数的性质，直线0x =为()f x 的图像的对称轴，由此得02ba-=，即0b =．由①得2a =．所以 2()21f x x =-． ——12分。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷(新课标Ⅰ卷)含解析

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷（新课标Ⅰ卷）1.已知集合，，则( ).{}355A x x =-<<∣{3,1,0,2,3}B =--A B = A. B. C. D.{1,0}-{2,3}{3,1,0}--{1,0,2}-2.若，则( ).1i 1zz =+-z =A. B. C. D.1i--1i-+1i-1i+3.已知向量，，若，则( ).(0,1)a =(2,)b x = (4)b b a ⊥- x =A.-2B.-1C.1D.24.已知，，则( ).cos()m αβ+=tan tan 2αβ=cos()αβ-=A. B. C.D.3m-3m -3m 3m5.，则圆锥的体积为( ).A. B. C. D.6.已知函数在R 上单调递增，则a 的取值范围是( ).22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩A. B. C. D.(,0]-∞[1,0]-[1,1]-[0,)+∞7.当时，曲线与的交点个数为( ).[0,2π]x ∈sin y x =π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A.3B.4C.6D.88.已知函数的定义域为R ，，且当时，，则下列()f x ()(1)(2)f x f x f x >-+-3x <()f x x =结论中一定正确的是( ).A. B. C. D.(10)100f >(20)1000f >(10)1000f <(20)10000f <9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布2.1X =20.01S =，假设失去出口后的亩收入Y 服从正态分布，则( ).（若随机变量Z 服从()21.8,0.1N ()2,N X S 正态分布，则）()2,N μσ()0.8413P Z μμ<+≈A. B. C. D.(2)0.2P X >>()0.5P X Z ><()0.5P Y Z >>()0.8P Y Z ><10.设函数，则( ).2()(1)(4)f x x x =--A.是的极小值点B.当时，3x =()f x 01x <<()2()f x f x <C.当时， D.当时，12x <<4(21)0f x -<-<110x -<<(2)()f x f x ->11.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于-2，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则( ).(2,0)F (0)x a a =<A.2a =-B.点在C上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点在C 上时，()00,x y 0042y x ≤+12.设双曲线的左右焦点分別为，，过作平行于y 轴的直线交2222:1x y C a b-=0a >0b >1F 2F 2F C 于A ，B 两点，若，，则C 的离心率为_________.113F A =||10AB =13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________.e xy x =+(0,1)ln(1)y x a =++a =14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛比赛后，甲的总得分小于2的概率为_________.15.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，ABC △sin C B =.222a b c +-=（1）求B ；（2）若的面积为，求c .ABC △3+16.已知和为椭圆上两点.(0,3)A 33,2P ⎛⎫⎪⎝⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>（1）求C 的率心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且的面积为9，求l 的方程.ABP △17.如图，四棱锥中，底面，，，.P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA PC ==1BC =AB =（1）若，证明：平面PBC ；AD PB ⊥//AD（2）若，且二面角，求AD .AD DC ⊥A CP D --18.已知函数.3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若，且，求a 的最小值；0b =()0f x '≥（2）证明：曲线是中心对称图形；()y f x =（3）若，当且仅当，求b 的取值范围.()2f x >-12x <<19.设m 为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和1a 2a 42m a +i a 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，()j a i j <1a ，…，是——可分数列.2a 42m a +(,)i j （1）写出所有的，，使数列，，…，是——可分数列；(,)i j 16i j ≤<≤1a 2a 6a (,)i j （2）当时，证明：数列，，…，足——可分数列；3m ≥1a 2a 42m a +(2,13)（3）从1，2，…，中一次任取两个数i 和，记数列，，…，足—42m +()j i j <1a 2a 42m a +(,)i j —可分数列的概率为，证明.m P 18m P >答案1.A解析：，选A.{1,0}A B =- 2.C 解析：3.D解析：，，，，，选D.4(2,4)b a x -=-(4)b b a ⊥-(4)0b b a ∴-=4(4)0x x ∴+-=2x ∴=4.A解析：，，cos cos sin sin sin sin 2cos cos mαβαβαβαβ-=⎧⎪⎨=⎪⎩sin sin 2cos cos m m αβαβ=-⎧∴⎨=-⎩，选A.cos()cos cos sin sin 23m m m αβαβαβ-=+=--=-5.B解析：设它们底面半径为r ，圆锥母线l ，，，，2ππrl ∴=l ∴==3r ∴=，选B.1π93V =⋅⋅=6.B解析：在R 上↗，，，选B.()f x 0e ln1a a -≥⎧⎨-≤+⎩10a ∴-≤≤7.C解析：6个交点，选C.8.B解析：，，，，(1)1f =(2)2f =(3)(2)(1)3f f f >+=(4)(3)(2)5f f f >+>，，，(5)(4)(3)8f f f >+>(6)(5)(4)13f f f >+>(7)(6)(5)21f f f >+>，，，(8)(7)(6)34f f f >+>(9)(8)(7)55f f f >+>(10)(9)(8)89f f f >+>，，，(11)(10)(9)144f f f >+>(12)(11)(10)233f f f >+>(13)(12)(11)377f f f >+>，，，(14)(13)(12)610f f f >+>(15)(14)(13)987f f f >+>(16)1000f >(20)1000f ∴>，选B.9.BC解析：，，，()2~ 1.8,0.1X N ()2~ 2.1,0.1Y N 2 1.820.12μσ=+⨯=+，A 错.(2)(2)()10.84130.1587P X P X P X μσμσ>=>+<>+=-=，B 对.(2)( 1.8)0.5P X P X ><>=，，C 对.2 2.10.1μσ=-=-(2)( 2.1)0.5P Y P Y >>>=，D 错，所以选BC.(2)()()0.84130.8P Y P Y P Y μσμσ>=>-=<+=>10.ACD解析：A 对，因为；()3(1)(3)f x x x '=--B 错，因为当时且，所以；01x <<()0f x '>201x x <<<()2()f x f x <C 对，因为，，2(21)4(1)(25)0f x x x -=--<2(21)44(2)(21)0f x x x -+=-->，时，2223(2)()(1)(2)(1)(4)(1)(22)2(1)f x f x x x x x x x x --=------=--+=--11x -<<，，D 对.(2)()0f x f x -->(2)()f x f x ->11.ABD解析：A 对，因为O 在曲线上，所以O 到的距离为，而，x a =a -2OF =所以有，那么曲线的方程为.242a a -⋅=⇒=-(4x +=B 对，因为代入知满足方程；C 错，因为，求导得，那么有2224(2)()2y x f x x ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭332()2(2)(2)f x x x '=---+，，于是在的左侧必存在一小区间上满足，因此(2)1f =1(2)02f '=-<2x =(2,2)ε-()1f x >最大值一定大于1；D 对，因为.()22220000004442222y x y x x x ⎛⎫⎛⎫=--≤⇒≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭12.32解析：由知，即，而，所以，即||10AB =25F A =2225b c a a a-==121F F F A ⊥1212F F =，代回去解得，所以.6c =4a =32e =13.ln 2解析：14.12解析：甲出1一定输，所以最多3分，要得3分，就只有一种组合、、、18-32-54-76-得2分有三类，分别列举如下：（1）出3和出5的赢，其余输：，，，16-32-54-78-（2）出3和出7的赢，其余输：，，，；，，，，14-32-58-76-18-32-56-74-，，，16-32-58-74-（3）出5和出7的赢，其余输：，，，；，，，；12-38-54-76-14-38-52-76-，，，；，，，；，，，；18-34-52-76-16-38-52-74-18-36-52-74-16-，，，；，，，38-54-72-18-36-54-72-共12种组合满足要求，而所有组合为24，所以甲得分不小于2的概率为1215.（1）π3B =（2）c =解析：（1）已知，根据余弦定理，222a b c +-=222cos 2a b c C ab+-=可得.cos C ==因为，所以.(0,π)C ∈π4C =又因为，即，解得.sin C B =πsin4B =B =1cos 2B =因为，所以.(0,π)B ∈π3B =（2）由（1）知，，则.π3B=π4C =ππ5πππ3412A B C =--=--=已知的面积为，ABC △31sin 2ABCS ab C =△则，.1πsin 324ab =132ab =+2(3ab =+又由正弦定理，可得.sin sin sin a b c A B C ==sin sin sin sin a C b Cc A B==则，，同理.π5πsin sin412c a =5πsin12πsin 4c a=πsin 3πsin 4c b =所以2225ππsin sin 421232(3π1sin42c c ab ⎝⎭===+解得c =16.（1）12（2）见解析解析：（1）将、代入椭圆，则(0,3)A 33,2P ⎛⎫⎪⎝⎭22220919941a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22129a b ⎧=⎨=⎩.c=12ce a ∴===（2）①当L 的斜率不存在时，，，，A 到PB 距离，:3L x =33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭3PB =3d =此时不满足条件.1933922ABP S =⨯⨯=≠△②当L 的斜率存在时，设，令、，3:(3)2PB y k x -=-()11,P x y ()22,B x y ，消y 可得223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，2122212224124336362743k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩PB =17.（1）证明见解析（2）AD =解析：（1）面，平面，PA ⊥ABCD AD ⊂ABCD PA AD∴⊥又，，平面PABAD PB ⊥ PB PA P = ,PB PA ⊂面，平面，AD ∴⊥PAB AB ∴⊂PAB AD AB∴⊥中，，ABC △222AB BC AC +=AB BC∴⊥，B ，C ，D 四点共面，A //AD BC∴又平面，平面PBCBC ⊂ PBC AD ⊄平面PBC .//AD ∴（2）以DA ，DC 为x ，y 轴过D 作与平面ABCD 垂直的线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系D xyz-令，则，，，，AD t =(,0,0)A t (,0,2)P t (0,0,0)D DC =()C 设平面ACP 的法向量()1111,,n x y z =不妨设，，1x =1y t =10z =)1,0n t =设平面CPD 的法向量为()2222,,n x y z =不妨设，则，，2200n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222200tx z +=⎧∴=2z t =22x =-20y =2(2,0,)n t =- 二面角A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅===.t ∴=AD ∴=18.（1）-2（2）证明见解析（3）23b ≥-解析：（1）时，，对恒成立0b =()ln2x f x ax x =+-11()02f x a x x '=++≥-02x ∀<<而，11222(2)a a a x x x x ++=+≥+--当且仅当时取“=”，1x =故只需，即a 的最小值为-2.202a a +≥⇒≥-（2）方法一：，(0,2)x ∈(2)()f x f x -+332ln (2)(1)ln (1)22x x a x b x ax b x a x x-=+-+-+++-=-关于中心对称.()f x ∴(1,)a 方法二：将向左平移一个单位关于中心对称平移()f x 31(1)ln(1)1x f x a x bx x+⇒+=+++-(0,)a 回去关于中心对称.()f x ⇒(1,)a （3）当且仅当，()2f x >- 12x <<(1)22f a ∴=-⇒=-对恒成立3()ln 2(1)22x f x x b x x∴=-+->--12x ∀<<222112(1)2()23(1)3(1)(1)32(2)(2)x f x b x b x x b x x x x x x ⎡⎤-'=+-+-=+-=-+⎢⎥---⎣⎦令，必有（必要性）2()3(2)g x b x x =+-∴2(1)2303g b b =+≥⇒≥-当时，对，23b ≥-(1,2)x ∀∈32()ln 2(1)()23x f x x x h x x ≥---=-2222(1)1()2(1)2(1)10(2)(2)x h x x x x x x x ⎡⎤-'=--=-->⎢⎥--⎣⎦对恒成立，符合条件，(1,2)x ∀∈()(1)2h x h ∴>=-综上.23b ≥-19.（1），，(1,2)(1,6)(5,6)（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）以下满足：，，(,)i j (1,2)(1,6)(5,6)（2）易知：，，，等差等差p a q a r a s a ,,,p q r s ⇔故只需证明：1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14可分分组为，，即可(1,4,7,10)(3,6,9,12)(5,8,11,14)其余，，按连续4个为一组即可k a 1542k m ≤≤+（3）由第（2）问易发现：，，…，是可分的是可分的.1a 2a 42m a +(,)i j 1,2,42m ⇔+ (,)i j 易知：1，2，…，是可分的42m +(41,42)k r ++(0)k r m ≤≤≤因为可分为，…，与(1,2,3,4)(43,42,41,4)k k k k ---，…，(4(1)1,4(1),4(1)1,4(1)2)r r r r +-+++++(41,4,41,42)m m m m -++此时共种211C (1)(1)(2)2m m m m +++=++再证：1，2，…，是可分的42m +(42,41)k r ++(0)k r m ≤<≤易知与是可分的1~4k 42~42r m ++只需考虑，，，…，，，41k +43k +44k +41r -4r 42r +记，只需证：1，3，5，…，，，可分*N p r k =-∈41p -4p 42p +去掉2与1~42p +41p +观察：时，1，3，4，6无法做到；1p =时，1，3，4，5，6，7，8，10，可以做到；2p =时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，143p =时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，184p =，，，满足(1,5,9,13)(3,7,11,15)(4,8,12,16)(6,10,14,18)故，可划分为：2p ∀≥，，，(1,1,21,31)p p p +++(3,3,23,33)p p p +++(4,4,24,34)p p p +++，…，，，共p 组(5,5,25,35)p p p +++(,2,3,4)p p p p (2,22,32,42)p p p p ++++事实上，就是，，且把2换成(,,2,3)i p i p i p i +++1,2,3,,i p = 42p +此时，均可行，共组(,)k k p +2p ≥211C (1)2m m m m +-=-，，…，不可行(0,1)(1,2)(1,)m m -综上，可行的与至少组(42,41)k r ++(41,42)k r ++11(1)(1)(2)22m m m m -+++故，得证！()222224212221112C (21)(41)8618m m m m m m m m P m m m m +++++++≥==>++++。

2004年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2004年全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k n P k(1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合=⋂<--=<=N M x x x N x x M 则集合},032|{},4|{22 （）A ．{2|-<x x }B ．{3|>x x }C ．{21|<<-x x }D ． {32|<<x x }2．=-+-+→542lim 22x x x x n x （）A ．21B ．1C ．52 D ．41 3．设复数ωω++-=1,2321则i =（）A ．ω-B ．2ωC ．ω1-D ．21ω 4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（）A ．6π-B ．6πC ．12π-D ．12π 6．函数x e y -=的图象（）A ．与x e y =的图象关于y 轴对称B ．与x e y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与x e y -=的图象关于坐标原点对称7．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（）A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 8．在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 9．已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O ′和A ′，则λ=''A O e ，其中λ= （）A ．511 B ．511-C ．2D ．－2 10．函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数（）A ．)23,2(ππB ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521 的数共有（） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为14．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥,12,,0y x y x x则y x z 23+=的最大值是 .15．设中心在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 . 16．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A （Ⅰ）求证：B A tan 2tan =；（Ⅱ）设AB=3，求AB 边上的高. 18．（本小题满分12分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支.求：（Ⅰ）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；（Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率. 19．（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为S n ，已知).3,2,1(2,111 =+==+n S nn a a n n 证明：（Ⅰ）数列}{nS n是等比数列；（Ⅱ）.41n n a S =+ 20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M.（Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ；（Ⅱ）求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷(新课标Ⅱ卷)含答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷（新课标Ⅱ卷）1.已知，则( ).1i z =--||z =A.0B.1 D.22.已知命题：，，命题，，则( ).:R p x ∀∈|1|1x +>:0q x ∃>3x x =A.p 和q 都是真命题 B.和q 都是真命题p ⌝C.p 和都是真命题D.和都是真命题q ⌝p ⌝q ⌝3.已知向量，满足，，且，则( ).a b ||1a = |2|2a b += (2)b a b -⊥ ||b =A. D.1124.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：）并部分整理如下表所示.kg 亩产[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1150)[1150,1200)频数612182410根据表中数据，下列结论正确的是( )A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于的稻田所占比例超过1100kg 40%C.100块稻田亩产量的极差介于到之间200kg 300kg D.100块稻田亩产量的平均值介于到之间900kg 1000kg 5.已知曲线，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线，为垂足，则线段22:16(0)C x y y +=>PP 'P '的中点M 的轨迹方程为( ).PP 'A. B.221(0)164x y y +=>221(0)168x y y +=>C. D.221(0)164y x y +=>221(0)168y x y +=>6.设函数，，当时，曲线和2()(1)1f x a x =+-()cos 2g x x ax =+(1,1)x ∈-()y f x =恰有一个交点，则( )()y g x =a =A.-1 B. C.1 D.2127.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC 所成角的正111ABC A B C -5236AB =112A B =1A A 切值为( ).A. B.1 C.2D.3128.设函数，若，则的最小值为( ).()()ln()f x x a x b =++()0f x ≥22a b +A. B. C. D.11814129.对于函数和，下列正确的有( ).()sin 2f x x =π()sin 24g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭A.与有相同零点B.与有相同最大值()f x ()g x ()f x ()g xC.与有相同的最小正周期D.与的图像有相同的对称轴()f x ()g x ()f x ()g x 10.拋物线的准线为l ，P 为C 上的动点，对P 作的一条切线，Q2:4C y x =22:(4)1A x y +-= 有切点，对P 作C 的垂线，垂足为B .则( ).A.l 与相切B.当P ，A ，B 三点共线时，A ||PQ =C.当时，D.满足的点A 有且仅有2个||2PB =PA AB⊥||||PA PB =11.设函数，则( ).32()231f x x ax =-+A.当时，有一个零点1a >()f x B.当时是的极大值点0a <0x =()f x C.存在a ，b 使得为曲线的对称轴x b =()y f x =D.存在a 使得点为曲线的对称中心(1,(1))f ()y f x =12.记为等差数列的前n 项和，若，，则__________.n S {}n a 347a a +=2535a a +=10S =13.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则αβtan tan 4αβ+=tan tan 1αβ=+__________.sin()αβ+=14.在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有44⨯__________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是__________.15.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.ABC △sin 2A A +=（1）求A ；（2）若，求周长.2a =sin 2C c B =ABC △16.已知函数.3()e x f x ax a =--（1）当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =(1,(1))f （2）若有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围.()f x 17.如图，平面四边形ABCD 中，，，，，，点E ，F 满足，8AB =3CD =AD =90APC ∠=︒30BAD ∠=︒25AE AD =，将沿EF 对折至，使得，12AF AB = AEF △PEF △PC =（1）证明：：EF PD ⊥（2）求面PCD 与PBF 所成的二面角的正弦值.18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少被投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立.（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5的概率；0.4p =0.5q =（2）假设，0p q <<（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19.已知双曲线，点在C 上，k 为常数，，按照如下公式依22:(0)C x y m m -=>1(5,4)P 01k <<次构造点，过点作斜率为k 的直线与C 的左支点交于点，令为关于(2,3,)n P n = 1n P -1n Q -n P 1n Q -y 轴的对称点，记的坐标为.n P (),n n x y （1）若，求，；12k =2x 2y （2）证明：数列是公比为的等比数列；{}n n x y -11k k +-（3）设为的面积，证明：对任意的正整数n ，.n S 12n n n P P P ++△1n n S S +=2024年普通高等学校招生全国统一考试数学答案答案：C解析.||z =1.答案：B解析：时，，错误，和q 是真命题.1x =-|1|1x +5.答案：D解析：联立，，代入方程，恰好得到一个极点，()()f x g x =2(1)1cos 2a x x ax ∴+-=+2a =.2a ∴=6.答案：B解析：，.πtan 4α=tan 1α∴=7.答案：C 解析：，，，()()ln()f x x a x b =++()()()f x x a h x =+⋅(1)0g b -=，，10b a -+= 1a b ∴=-.222221(1)2212a b b b b b +=-+=-+=8.答案：BC 解析：A.令，，零点不同；()0f x =()0g x =B.，最大值相同；()f x ()g x C.，，C 正确；π()sin 22f x x Tf ===π()2g x =∴D.，对称轴显然不同，D 错误.()f x ()g x ∴9.答案：ABD解析：依次代入抛物线方程，联立求解，所以C 错，ABD 对.10.答案：D解析：依次带入质检即可后为直角三角形，，，，12AF F△12212c F F =≥=6C =22||8a AF AF =-=4a =.32c e a ==11.答案：95解析：命题意图是考察正确应用等差数列的通项公式和求和公式以及会解相关方程得，3412512573475a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩143a d =-⎧⎨=⎩10110931040135952S a ⨯⨯∴=+=-+=12.解析：考察三角恒等式变形tan tan tan()1tan tan αβαβαβ⋅+===--⋅222sin ()cos ()19cos ()1a αββαβ+++=⇒+=1cos()3αβ∴+=-1sin()3αβ⎛⎫+=--= ⎪⎝⎭13.答案：24；58解析：（1）41432124=⨯⨯⨯=（2）分别列出，13，14，15，16最大，.1314151658+++=14.答案：（1）π6A =（2）2ABC C =+△解析：（1）sin 2A A=2R ===2sin()2A φ+=π2A φ+=.tan φ=π6A =（2）24πsin 6aR ==sin 2sin cos C c B B=⋅，2cos B =π4B ∴=54sin π12c=⋅22ABC C a b c ∴=++=++=+△15.答案：（1）(e 3)2y x =-+（2）2e 8a >解析：（1）(1)e 1f =-当，时1a =1x =(1)e 3f '=-(e 1)(e 3)(1)y x --=--(e 3)3e e 1y x ∴=-+-+-；(e 3)2x =-+（2），2()e 3x f x ax '=-()0f x '=2e 30x ax -=2e 3x ax =，，()e 6x f x ax ''=-2e 3x ax = ()3(2)f x ax x ''=-时，2x =2e 12a =232(2)e 2e 8f a a=-⋅=-代入，得2222e 2e (2)e 8e e 1233k f =-⋅=-=(2)0f < 2e 80a ∴-<28e a >2e 8a >.2e ,8a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭16.答案：（1）EF PD⊥（2）正弦值为0解析：（1）证明：设A 的坐标为，则B 为，(0,0)(8,0)依次求出，，，E (4,0)F (1,EF = 152D ⎛ ⎝P 关于EF 的中点M 对称，34722M ⎛⎛+== ⎝⎝设，，(,)P xy 7(2x t =+⋅1y t =⋅15922C ⎛⎛=-= ⎝⎝PC ∴=将x ，y表达式代PC ==152PD x y ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭0EF PD ⋅= EF PD∴⊥建立坐标系求出各点坐标，再利用向量相乘之积为0证明垂直（2）(8,0)PC = 求出面PCD 与面PBF 的法向量，1a 2a 又1212sin 0||a a a a θ⋅==⋅ 正弦值为0.∴17.答案：（1）0.686（2）（i ）乙（ii ）甲18.答案：（1），23x =20y =（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）设(),n n n P x y 2221n n x x a m∴-=()n n y y k x x -=-.()12n n y y x x -=--22211221n n x x y x a m⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-=1122n y x xn yn -=-++2n nx x y =-代入得，.222()1x yn y a m+-=23x =20y =（2）()2221n n kx y kx x a m +--=22222222221n n n n n n k x kxx kx y k x y k x x a m++-+∴-=111n n x k x k++=-利用等性证明。

2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(上海)卷

2004年高考数学上海卷(理科)一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1、若1tan 2α=,则tan()4πα+= . 2、设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为1x =-,则它的焦点坐标为 .3、设集合2{5,log (3)}A a =+,集合{,}B a b =.若{2}A B = ,则A B = .4、设等比数列{}n a （n N ∈）的公比12q =-,且135218lim()3n n a a a a -→∞++++= ,则1a = .5、设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-.若当[0,5]x ∈时,()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是 .6、已知点(1,2)A -,若向量AB 与{2,3}a = 同向,AB ,则点B 的坐标为 .7、在极坐标系中,点(4,)3M π到直线:(2cos sin )4l ρθθ+=的距离d = .8、圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4)A -,(0,2)B -,则圆C 的方程为 .9、若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示)10、若函数()2f x a x b =-+在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是 .11、教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 .12、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列,下列{}n a 的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第组.(写出所有符合要求的组号) ①1S 与2S ; ②2a 与3S ; ③1a 与n a ; ④q 与n a .其中n 为大于1的整数, n S 为{}n a 的前n 项和.二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13、在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是 ( )A ．若l β⊂且αβ⊥,则l α⊥.B ．若l β⊥且α∥β,则l α⊥.C ．若l β⊥且αβ⊥,则l ∥α.D ．若m αβ= 且l ∥m ,则l ∥α.14、三角方程2sin()12x π-=的解集为 ( )A ．{|2,}3x x k k Z ππ=+∈. B ．5{|2,}3x x k k Z ππ=+∈. C ．{|2,}3x x k k Z ππ=±∈. D ．{|(1),}k x x k k Z π=+-∈.15、若函数()y f x =的图象可由函数lg(1)y x =+的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则 ()f x = ( )A ．101x --.B ．101x -.C ．110x --.D ．110x-. 16、某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是 ( )A ．计算机行业好于化工行业.B ．建筑行业好于物流行业.C ．机械行业最紧张.D ．营销行业比贸易行业紧张.三、解答题(本大题满分86分)17、(本题满分12分)已知复数1z 满足1(1)15i z i +=-+,22z a i =--, 其中i 为虚数单位,a R ∈, 若121z z z -<,求a 的取值范围.18、(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m )的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m ) 时用料最省?19、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分记函数()f x =A ,()lg[(1)(2)]g x x a a x =---(1a <) 的定义域为B .(1) 求A ；(2) 若B A ⊆, 求实数a 的取值范围.20、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分已知二次函数1()y f x =的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数2()y f x =的图象与直线y x =的两个交点间距离为8,12()()()f x f x f x =+.(1) 求函数()f x 的表达式；(2) 证明：当3a >时，关于x 的方程()()f x f a =有三个实数解.21、(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分如图,P -ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长P A 、PB 、PC 上的点, 截面DEF ∥底面ABC , 且棱台DEF -ABC 与棱锥P -ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P -ABC 为正四面体；(2) 若PD =21P A , 求二面角D -BC -A 的大小；(结果用反三角函数值表示)(3) 设棱台DEF -ABC 的体积为V , 是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF -ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.22、(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分设111(,)P x y , 222(,)P x y ,…, (,)n n n P x y (3,n n N ≥∈) 是二次曲线C 上的点, 且1a =21OP , 2a =22OP , …, n a =2n OP 构成了一个公差为d （0d ≠）的等差数列, 其中O 是坐标原点. 记12n n S a a a =+++ . （1）若C 的方程为22110025x y +=,3n =. 点1(3,0)P 及3255S =, 求点3P 的坐标； (只需写出一个)（2）若C 的方程为12222=+by a x (a >b >0). 点1(,0)P a , 对于给定的自然数n , 当公差d 变化时, 求n S 的最小值；（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上的一点P 1,对于给定的自然数n ,写出符合条件的点12,,,n P P P 存在的充要条件,并说明理由.参考答案一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1、32、(5,0)3、{1,2,5}4、25、(－2,0)∪(2,5]6、(5,4)7、5152 8、(x －2)2+(y +3)2=5 9、114 10、a >0且b ≤0 11、用代数的方法研究图形的几何性质 12、①、④二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13、B 14、C 15、A 16、B三、解答题(本大题满分86分)17、【解】由题意得 z 1=ii ++-151=2+3i , 于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ,1z =13.4)4(2+-a <13,得2870a a -+<,17a <<.18、【解】由题意得2184xy x +=,∴28844x x y x x -==-(0x << 于定, 框架用料长度为3161222()(2)4222x y x x x =++=+≥.当316(2x x=,即8x =-. 此时, x ≈2.343,y =22≈2.828.故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省.19、【解】(1)3201x x +-≥+, 得101x x -≥+, 1x <-或1x ≥ 即A =(－∞,－1)∪[1,+ ∞)(2) 由(1)(2)0x a a x --->, 得(1)(2)0x a x a ---<.∵1a <,∴12a a +>, ∴(2,1)B a a =+.∵B A ⊆, ∴21a ≥或11a +≤-, 即12a ≥或2a ≤-, 而1a <, ∴112a ≤<或2a ≤-, 故当B A ⊆时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1) 20、【解】(1)由已知,设21()f x ax =,由1()1f x =,得1a =, ∴21()f x x =.设2()k f x x =(k >0),它的图象与直线y x =的交点分别为A ，(B由8AB =,得8k =, ∴28()f x x =.故28()f x x x=+. (2) 【证法一】()()f x f a =,得2288x a x a+=+, 即2288x a x a=-++. 在同一坐标系内作出28()f x x =和2238()f x x a a=-++的大致图象,其中2()f x 的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, 3()f x 与的图象是以28(0,)a a +为顶点,开口向下的抛物线.因此2()f x 与3()f x 的图象在第三象限有一个交点,即()()f x f a =有一个负数解.又∵2(2)4f =，238(2)4f a a =-++当3a >时,2328(2)(2)80f f a a-=+->, ∴当3a >时,在第一象限3()f x 的图象上存在一点(2,(2))f 在2()f x 图象的上方. ∴2()f x 与3()f x 的图象在第一象限有两个交点,即()()f x f a =有两个正数解. 因此,方程()()f x f a =有三个实数解.【证法二】由()()f x f a =,得2288x a x a +=+, 即8()()0x a x a ax -+-=,得方程的一个解1x a =. 方程80x a ax+-=化为2280ax a x +-=, 由3a >，4320a a ∆=+>,得2x =, 3x =, ∵230,0x x <>, ∴12x x ≠,且23x x ≠.若13x x =,即a =则23a 44a a =,得0a =或a =这与3a >矛盾, ∴13x x ≠.故原方程()()f x f a =有三个实数解.21、【证明】(1) ∵棱台DEF -ABC 与棱锥P -ABC 的棱长和相等,∴DE +EF +FD =PD +OE +PF .又∵截面DEF ∥底面ABC ,∴DE =EF =FD =PD =OE =PF ,∠DPE =∠EPF =∠FPD =60°, ∴P -ABC 是正四面体.【解】(2)取BC 的中点M ,连接PM ,DM .AM .∵BC ⊥PM ,BC ⊥AM , ∴BC ⊥平面P AM ,BC ⊥DM ,则∠DMA 为二面角D -BC -A 的平面角.由(1)知,P -ABC 的各棱长均为1,∴PM =AM =23,由D 是P A 的中点,得sin 3AD DMA AM ∠==,∴arcsin 3DMA ∠=(3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF -ABC 的棱长和为定值6,体积为V .设直平行六面体的棱长均为21,底面相邻两边夹角为α, 则该六面体棱长和为6, 体积为1sin 8V α=. ∵正四面体P -ABC 的体积是122,∴0V <<,081V <<.可知arcsin(8)V α= 故构造棱长均为21,底面相邻两边夹角为arcsin(8)V 的直平行六面体即满足要求. 22、【解】(1) 211100a OP ==,由3133()2552S a a =+=,得23370a OP ==. 由22223311002570x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得23236010x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴点3P的坐标可以为.(2) 【解法一】原点O 到二次曲线2222:1x y C a b+=（0a b >>）上各点的最小距离为b ,最大距离为a .∵2211a OP a ==, ∴0d <,且222(1)n n a OP a n d b ==+-≥,∴2201b a d n -≤<-. ∵3n ≥,2)1(-n n >0 ∴2(1)2n n n S na d -=+在[122--n a b ,0)上递增, 故n S 的最小值为2(1)2n n na -+·122--n a b =2)(22b a n +. 【解法二】对每个自然数(2)k k n ≤≤, 由2222222(1)1k k k k x y a k d x y a b⎧+=+-⎪⎨+=⎪⎩ ，解得2222(1)k b k d y a b --=-∵220k y b ≤≤,得2201b a d k -≤<- ∴2201b a d n -≤<- 以下与解法一相同.(3) 【解法一】若双曲线22:x C a －22by =1,点1(,0)P a , 则对于给定的n , 点12,,,n P P P 存在的充要条件是0d >. ∵原点O 到双曲线C 上各点的距离[||,)h a ∈+∞,且21OP a =,∴点12,,,n P P P 存在当且仅当n OP 2>1OP 2,即d>0. 【解法二】若抛物线2:2C y x =,点1(0,0)P ,则对于给定的n , 点12,,,n P P P 存在的充要条件是0d >.理由同上【解法三】若圆22:()C x a y a -+=（0a ≠）, 1(0,0)P , 则对于给定的n , 点12,,,n P P P 存在的充要条件是2401a d n <≤-. ∵原点O 到圆C 上各点的最小距离为0,最大距离为2a ,且1OP =0, ∴d >0且22(1)4n OP n d a =-≤.即2401a d n <≤-.。

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(重庆卷)及答案

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（重庆卷）本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟.第Ⅰ部分（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y =（）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞C ．23[,1]D ．23(,1] 2．设复数z z i z 2,212-+=则, 则22Z Z -=（） A ．–3 B ．3 C ．－3i D ．3i3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（）A ．2B ．2C ．1D 4．不等式221x x +>+的解集是（）A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(1,0)(0,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+=（）A ．12-B ．12C ．2-D ．26．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（）A ．2B ．4C ．6D ．127．一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（）A ．0a C ．1a <-D ．1a > 8．设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为（）A ．B ．C ．D ．9．若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：（） A ．4005B ．4006C ．4007D ．400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（） A ．43 B ．53 C ．2 D ．7311．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A ．110B ．120C ．140 D ．112012．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是（）（C ）（D ）第Ⅱ部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-，则_______a =.14．曲线23112224y x y x =-=-与在交点处切线的夹角是______，（用幅度数作答） 15．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…..，P n ，…,记纸板P n 的面积为n S ，则lim ______n x S →∞=.16．对任意实数K ，直线：y kx b =+与椭圆：)20(sin 41cos 23πθθθ<≤⎩⎨⎧+=+=y x 恒有公共点，则b 取值范围是_______________三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数44sincos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。

2004年高考理科数学全国卷(word版含答案)

2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k(1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共60。

1．(1－i)2·i= （）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若（）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（）A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是（）A ．( IA)∪B=IB ．( IA)∪( I B)=I C ．A ∩( IB)=φD ．( I A)∪( I B)=I B 7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径为P ，则||2PF = （）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T等于（）A ．91B ．94 C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 12．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .15．已知数列{a n}，满足a1=1，a n=a1+2a2+3a3+…+(n－1)a n－1(n≥2)，则{a n}的通项1, n=1,a n= ,n≥2.16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数xx xxxxf2sin2cossincossin)(2 24 4-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（I）求点P到平面ABCD的距离，Array（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值.22．（本小题满分14分）已知数列1}{1 a a n 中，且 a 2k =a 2k －1+(－1)K,a 2k+1=a 2k +3k, 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37.P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为：19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.（II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时由.02,022<<-<+x aax x 解得所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯，即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a a a e （II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a aa x a a x a a x 所以由得消去所以22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4,a 5=a 4+32=13,所以，a 3=3,a 5=13.(II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k ,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1,……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)],由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k ka 2k = a 2k －1+(－1)k=2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1. {a n }的通项公式为：当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nnn a。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)试卷(全国甲卷)含部分答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）试卷（全国甲卷）一、选择题1．若，则( )5i z =+i()z z +=A. B. C.10D.-210i2i2．已知集合，，则( ){1,2,3,4,5,9}A={}B A =()A A B = ðA. B. C. D.{1,4,9}{3,4,9}{1,2,3}{2,3,5}3．若实数x ，y 满足约束条件，则的最小值为( )4330,220,2690,x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩5z x y =-724．记等差数列的前n 项和，若，，则( )n S {}n a 510S S =51a =1a =7115．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率(0,4)(0,4)-(6,4)-为( )6．设函数在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的()f x =()y f x =(0,1)面积为( )7．函数在区间的大致图像为( )()2e e sin xx y x x -=-+-[ 2.8,2.8]-A. B.C. D.( )=π4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B.19．已知向量，，则( )(1,)x x =+a (,2)x =b A.是的必要条件 B.是的必要条件3x =-⊥a b 3x =-//a bC.是的充分条件D.是的充分条件0x =⊥a b 1x =-+//a b 10．设，为两个平面，m ，n 为两条直线，且.下述四个命题：αβm αβ= ①若，则或//m n //n α//n β②若，则或m n ⊥n α⊥n β⊥③若且，则//n α//n β//m n④若n 与，所成的角相等，则.αβm n ⊥其中所有真命题的编号是( )A.①③B.②④C.①②③D.①③④11．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，则ABC △60B =︒294b ac =( )sin sin A C +=12．已知b 是a ，c 的等差中项，直线与圆交于A ，B 两点，则0ax by c ++=22410x y y ++-=A.1B.2C.4D.二、填空题13．的展开式中，各项系数中的最大值为_________.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭14．已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台的母线长分别为，1r 2r ()212r r -，则圆台甲与乙的体积之比为_________.()213r r -15．已知_________.a >1log 4a -==16．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.设m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 之差的三、解答题17．某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p =p >+）12.247≈附：2K =（1）求的通项公式；{}n a（2）设，求数列的前n 项和.1(1)n n n b na -=-{}n b n T 19．如图，已知，//AB CD，，，//CD EF 2AB DE EF CF ====4CD =AD BC ==AE =点.（1）证明：平面BCF ；//EM （2）求二面角的正弦值.A EM B --20．已知函数.()(1)ln(1)f x ax x x =-+-（1）若，求的极值；2a =-()f x （2）当时，，求a 的取值范围.0x ≥()0f x ≥21．设椭圆的右焦点为F ，点在C 上，且轴.2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭MF x ⊥（1）求C 的方程；（2）过点的直线交C 于A ，B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q .证(4,0)P 明：轴.AO y ⊥22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.cos 1ρρθ=+（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：（t 为参数），若C 与l 相交于A ，B 两点，且，求a .,x t y t a=⎧⎨=+⎩||2AB =23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数a ，b 满足.3a b +≥（1）证明：；2222a b a b +>++-≥b b a226答案1．答案：A解析：因为，所以，故选A.5i z =+i()10i z z +=2．答案：D解析：因为，，所以，{1,2,3,4,5,9}A ={}{1,4,9,16,25,81}B A ==(){2,3,5}A A B = ð故选D.3．答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：，和，经检验都符合约束条件.代(0,1)-3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭13,2⎛⎫⎪⎝⎭入目标函数可得：min z =4．答案：B解析：因为，所以，，又因为，所以公差510S S =718S S =80a =51a =d =187a a d =-=5．答案：C 解析：，故选C.12212F F c e a PF PF ===-6．答案：A解析：因为，所以，，563y x '=+3k =31y x =-11123S =⨯⨯=7．答案：B 解析：8．答案：B，故选=1α=πtan 1141tan ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭B.9．答案：C解析：，则，解得：或-3，故选C.⊥a b (1)20x x x ++=0x =10．答案：A 解析：11．答案：C解析：因为，所以B =294ac =24sin sin sin 9A C B ==，即：，22294b a c ac ac =+-=22134a c ac +=22sin sin A C +=222(sin sin )sin sin 2sin sin A C A C A C+=++=sin A +12．答案：C解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以，直线恒过.当20a b c -+=0ax by c ++=(1,2)P -，，故选C.PC ⊥|1PC =||4AB =13．答案：5解析：展开式中系数最大的项一定在下面的5项：、、、、55101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭46101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭37101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭28101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算可得：系数的最大值为.19101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭h h ===15．答案：64，所以，而，221315log log 4log 22a a a -=-=-()()22log 1log 60a a +-=1a >故，.2log 6a =64a =解析：记前三个球的号码分别为a 、b 、c ，则共有种可能.令36A 120=可得：，根据对称性：或6时，2||0.5236a b a b c a b cm n ++++-=≤-=-|2|3a b c +-≤1c =均有2种可能；或5时，均有10种可能；或4时，均有16种可能；故满足条件的共有2c =3c =56种可能，56120P ==17．答案：（1）没有的把握99%（2）有优化提升解析：（1），没有的把握；22150(70242630) 6.635965450100x ⨯-⨯=<⨯⨯⨯99%p >+18．答案：（1）14(3)n n a -=⋅-（2）(21)31n n T n =-+解析：（1）因为，所以，434n n S a =+11434n n S a ++=+两式相减可得：，即：，11433n n n a a a ++=-13n n a a +=-又因为，所以，11434S a =+14a =故数列是首项为4，公比为-3的等比数列，；{}n a 14(3)n n a -=⋅-（2）解法1：，11(1)43n n n n b na n --=-=⋅所以，.()012141323333n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 12334(1323)333n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 两式相减可得：，()12113241333343(24)3213n n nn n n T n n n -⎛⎫--=++++-⋅=-⋅=-- ⎪-⎝⎭.(21)31n n T n =-+解法2：，所以，11(1)43n n n n b na n --=-=⋅1143n n n T T n --=+⋅两边同时减去可得：，(21)3nn -11(21)3(23)3n n n n T n T n ----=--故为常数列，即：，.{}(21)3n n T n --(21)31n n T n --=(21)31n n T n =-+19．答案：（1）证明见解析解析：（1）由题意：，，//EF CM EF CM =而平面，平面ADO ，CF ÜADO EM Ú所以平面BCF ；//EM（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则，，，，OA DM ⊥OE DM⊥3OA =OE =AE =故.OA OE ⊥以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，(0,0,3)A E (0,1,0)M (0,2,3)B 3)AE =- (EM =，(0,1,3)MB =设平面AEM 的法向量为，(,,)n x y z =由可得：，00n AE n EM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩300z y -=+=⎪⎩令，则，1z =,1)3n =同理：取平面BEM 的法向量为，1)m =-则cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==,m n 〈〉= 故二面角A EM B --20．答案：（1）极小值为，无极大值(0)0f =（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦解析：（1）当时，，.2a =-()(12)ln(1)f x x x x =++-1x >-时，，当时，，()2ln(1)f x x =+0>()0f x >10x -<<()0f x <所以在上递增，()f x (-)+∞故的极小值为，无极大值；()f x (0)0f =（2），()(1)ln(1)f x ax x x =-+-()ln(1)f x a x =-+-令，则.()()g x f x =21()1(1)a a g x x x +'=--++因为当时，，且，，0x ≥()0f x ≥(0)0f =(0)0f '=所以，(0)120g a '=--≥a ≤当，在上递增，a ≤2211()02(1)2(1)2(1)x g x x x x '≥-=≥+++()g x [0,)+∞，()()(0)0g x f x g =≥=故在上递增，恒成立，即a 的取值范围为.()f x [0,)+∞()(0)0f x f ≥=1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦213y =（2）证明见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为，.F 23||2MF =因为，MF ⊥1MF =1||4a MF MF =+=解得：，，24a =2213b a =-=；213y =（2）解法1：设，，，()11,A x y ()22,B x y ,AP PB λ=则，即.12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩212144x x y y λλ=+-⎧⎨=-⎩又由可得，()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-结合上式可得.25230x λλ-+=，，，则，故轴.(4,0)P (1,0)F 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭222122335252Q y y y y y x x λλλ===-=--AQ y ⊥解法2：设，，()11,A x y (22,B x y =()1221214y x y y y -=-所以()()2222122112211221x y x y x y x y x y x y -+=-，()()()()22221221212121122144444433y y y y y y y y y y x y x y ⎛⎫⎛⎫=+-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：，.122121x y x y y y +=+2112253x y y y =-，，，则，故轴.(4,0)P (1,0)F 5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭21212112335252Q y y y y y x y y x ===--AQ y ⊥22．答案：（1）221y x =+（2）34a =解析：（1）因为，所以，cos 1ρρθ=+22(cos 1)ρρθ=+故C 的直角坐标方程为：，即：；222(1)x y x +=+221y x =+（2）将代入可得：，x t y t a=⎧⎨=+⎩221y x =+222(1)10t a ta +-+-=，解得.2||2AB t ===34a =23．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）因为，所以；3a b +≥22222()a b a b a b +≥+>+222222222222()b b a a b b a a b a b +-≥-+-=+-+.22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥。

2004年普通高校招生全国统一考试(重庆卷)数学试卷分析

2004年普通高校招生全国统一考试（重庆卷）数学试卷分析重庆市教育科学研究院张晓斌400015这次参加重庆卷数学考试的普通高中学生共有112668人，比去年增加28619人，其中理科69795人，占61.95％，文科42873人，占38.05％。

一、命题范围及试卷结构本次考试的命题范围是普通高中数学教学大纲和2004年普通高校招生全国统一考试大纲所规定的全部内容。

经统计各知识点所占分值如下表。

本次试题充分考虑了文理科学生的实际情况，适当拉大了文理科试题的差异，既体现了个性，也体现了共性。

文理科有7个选择题，1个填空题，1.5个解答题相同，共计9.5个题相同，还有1道姊妹题（第21题），这样文理试题计有11.5个题不同。

本次试题各类题型（选择题、填空题、解答题）的分布、总个数、每个题的分值分布等都与近几年全国高考数学试卷相同。

二、试题评价1.注重基础，贴近教材总体来看，本次试题无偏题，无怪题，所有题目都是大家熟悉的题型，严格遵循考纲的要求，注重了“三基”的考查和应用数学的意识与数学能力的考查，较好的体现了循序渐进，入手容易，深入难的设题思路。

如文理科解答题除第18题外，其余5个题得分容易，但得满分难。

中学数学中所学的基础知识、基本技能和基本数学思想方法是学生继续深造的基础，也是培养学生数学能力的前提。

基础知识一般包括概念、性质、法则、定理、公式等，本次文理试题的各个题目都是以相应的基本知识为载体的，不可能脱离基础知识而独立存在，因而所有的题目都体现了对基础知识的考查。

基本技能是指对变形、代换、推理、计算等技巧所掌握的熟练程度，如文理的选择填空题第1——8题，第13、14题，只要平时基础扎实的学生都能快速作答。

又如文理科解答题第21、22题考查了一些基本的技能技巧。

基本数学思想方法是指在中学数学中影响全局的、具有重大价值的、有深远意义的解决问题的思想、方法和策略，如函数方程、整体代换、数形结合、分类讨论、待定系数、化归与转化、运动变换等，如考题中很多题目都渗透了函数方程思想，如文理科的第21题，理科的第15、16题就要充分运用数形结合的思想去解决，理科第20题考查了分类讨论的思想。

精编版-2004年重庆高考理科数学真题及答案

2004年重庆高考理科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y ( )A ．[1，)+∞B ．2(,)3+∞C ．2[,1]3D ．2(,1]32．（5分）设复数1Z =+，则22(Z Z -= ) A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i3．（5分）圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为：( )A ．2B C ．1 D 4．（5分）不等式221x x +>+的解集是( ) A ．(1-，0)(1⋃，)+∞ B ．(-∞，1)(0-⋃，1) C ．(1-，0)(0⋃，1)D ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞5．（5分）sin163sin 223sin 253sin 313︒︒+︒︒等于( )A ．12-B ．12C ．D 6．（5分）若向量a b 与的夹角为60︒，||4,(2)(3)72b a b a b =+-=-，则向量a 的模为( ) A ．2B ．4C ．6D ．127．（5分）一元二次方程2210ax x ++=，(0)a ≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A ．0a C ．1a <-D ．1a >8．（5分）设P 是60︒的二面角l αβ--内一点，PA ⊥平面α，PB ⊥平面β，A ，B 为垂足，4PA =，2PB =，则AB 的长为：( )A ．B ．C ．D ．9．（5分）若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，200320040a a +>，2003a ．20040a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是( ) A ．4005B ．4006C ．4007D ．400810．（5分）已知双曲线22221x y a b-=，(0,0)a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A ．43 B ．53C ．2D ．7311．（5分）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：( ) A ．110B ．120C ．140D ．112012．（5分）若三棱锥A BCD -的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC ∆组成图形可能是：( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-，则a = ．14．（4分）曲线2122y x =-与3124y x =-在交点处的切线夹角是．（以弧度数作答）15．（4分）如图1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形3P 、4P 、⋯、n P ⋯，记纸板n P 的面积为n S ，则lim n n S →∞= ．16．（4分）直线：(3)5y k x =+与椭圆：32cos (02)14sin x y θθπθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩恰有一个公共点，则k 取值是．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）求函数44sin 23sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，]π上的单调递增区间．18．（12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为34，遇到红灯（禁止通行）的概率为14．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：（Ⅰ）ξ的概率的分布列及期望E ξ；（Ⅱ）停车时最多已通过3个路口的概率．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，AE PD ⊥，//EF CD ，AM EF = （1）证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；（2）若3PA AB =，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值．20．（12分）设函数()(1)()f x x x x a =--，(1)a >（1）求导数()f x '并证明()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ；（2）若不等式12()()0f x f x +成立，求a 的取值范围．21．（12分）设0p >是一常数，过点(2,0)Q p 的直线与抛物线22y px =交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆(H H 为圆心）．试证抛物线顶点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程．22．（14分）设数列{}n a 满足：12a =，*11()n n na a n N a +=+∈．（Ⅰ）证明：21n a n +*n N ∈恒成立；（Ⅱ）令*)n nb n N n=∈，判断n b 与1n b +的大小，并说明理由．2004年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y ( )A ．[1，)+∞B ．2(,)3+∞C ．2[,1]3D ．2(,1]3【解答】解：要使函数有意义：(32)12log 0x -，即：1122log (32)log 1x -可得 0321x <- 解得2(,1]3x ∈故选：D ．2．（5分）设复数1Z =+，则22(Z Z -= ) A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i【解答】解：复数1Z =，222(1)2(1Z Z ∴-=-12=-+--3=-故选：A ．3．（5分）圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为：( )A ．2B C ．1 D 【解答】解：圆222430x y x y +-++=的圆心(1,2)-，它到直线1x y -=故选：D ． 4．（5分）不等式221x x +>+的解集是( ) A ．(1-，0)(1⋃，)+∞ B ．(-∞，1)(0-⋃，1)C ．(1-，0)(0⋃，1)D ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞【解答】解：法一：221x x +>+ 得2201x x -+>+ 即(1)01x x x ->+ 可得 (1)(1)0x x x -+>可得10x -<<或1x >．法二：验证，2x =-、12不满足不等式，排除B 、C 、D ．故选：A ．5．（5分）sin163sin 223sin 253sin 313︒︒+︒︒等于( )A ．12-B ．12C ．D 【解答】解：原式sin163sin 223cos163cos 223=︒︒+︒︒ cos(163223)=︒-︒ cos(60)=-︒12=．故选：B ．6．（5分）若向量a b 与的夹角为60︒，||4,(2)(3)72b a b a b =+-=-，则向量a 的模为( ) A ．2B ．4C ．6D ．12【解答】解：(2)(3)a b a b +-22||||||cos606||a a b b =-︒- 2||2||9672a a =--=-， 2||2||240a a ∴--=．(||6)(||4)0a a ∴-+=． ||6a ∴=．故选：C ．7．（5分）一元二次方程2210ax x ++=，(0)a ≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A ．0a C ．1a <-D ．1a >【解答】解：一元二次方程2210ax x ++=，(0)a ≠有一个正根和一个负根的充要条件是1210x x a⨯=<，即0a <，而0a <的一个充分不必要条件是1a <-故选：C ．8．（5分）设P 是60︒的二面角l αβ--内一点，PA ⊥平面α，PB ⊥平面β，A ，B 为垂足，4PA =，2PB =，则AB 的长为：( ) A ．23B ．25C ．27D ．42【解答】解：设平面PAB 与二面角的棱l 交于点Q ，连接AQ 、BQ 可得直线l ⊥平面PAQB ，所以AQB ∠是二面角l αβ--的平面角，60AQB ∠=︒，故PAB ∆中，18060120APB ∠=︒-︒=︒，4PA =，2PB =，由余弦定理得：2222cos120AB PA PB PA PB =+-︒，22142242()282=+-⨯⨯⨯-=，所以2827AB ==，故选：C ．9．（5分）若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，200320040a a +>，2003a ．20040a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是( ) A ．4005 B ．4006C ．4007D ．4008【解答】解：解法1：由200320040a a +>，200320040a a <，知2003a 和2004a 两项中有一正数一负数，又10a >，则公差为负数，否则各项总为正数，故20032004a a >，即20030a >，20040a <．140062003200440064006()4006()022a a a a S ++∴==>，40071400720044007()400702S a a a ∴=+=<，故4006为0n S >的最大自然数．故选B ．解法2：由10a >，200320040a a +>，200320040a a <，同解法1的分析得20030a >，20040a <，2003S ∴为n S 中的最大值．n S 是关于n 的二次函数，如草图所示，2003∴到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，∴40072在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B 的左侧， 4007，4008都在其右侧，0n S >的最大自然数是4006．故选：B ．10．（5分）已知双曲线22221x y a b-=，(0,0)a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A ．43B ．53C ．2D ．73【解答】解：设(,)P x y ，由焦半径得1||PF ex a =+，2||PF ex a =-， 4()ex a ex a ∴+=-，化简得53a e x=， p 在双曲线的右支上，x a ∴，53e∴，即双曲线的离心率e 的最大值为53故选：B ．11．（5分）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：( ) A ．110B ．120C ．140D ．1120【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：1010A ；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有33A 种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有66A 种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有27A 种方法．根据分步计数原理（乘法原理），共有362367A A A 种方法．∴一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：3623671010120A A A P A ==．故选：B ．12．（5分）若三棱锥A BCD -的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC ∆组成图形可能是：( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：设二面角A BC D --的大小为θ，如图．作PR ⊥面BCD 于R ，PQ BC ⊥于Q ，PC AB ⊥于T ，则PQR θ∠=，且由条件sin PT PR PQ θ==， ∴sin PTPQθ=为小于1的常数，故选：D ．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-，则a = 2- ．【解答】解：5(1)ax +展开式的通项为155()r r r r rr T C ax a C x +== 令3x =的展开式中3x 的系数为333510a C a = 展开式中3x 的系数为80- 31080a ∴=-2a ∴=-故答案为2-14．（4分）曲线2122y x =-与3124y x =-在交点处的切线夹角是 4π．（以弧度数作答）【解答】解：由232224x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得322160x x +-=，2(2)(48)0x x x -++=，2x ∴=． ∴两曲线只有一个交点．21(2)2y x x '=-'=-，2|2x y =∴'=-．又323(2)44x y x '=-'=，∴当2x =时，3y '=．∴两曲线在交点处的切线斜率分别为2-、3， 23||11(2)3--=+-⨯．∴夹角为4π．故答案为：4π15．（4分）如图1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形3P 、4P 、⋯、n P ⋯，记纸板n P 的面积为n S ，则lim n n S →∞=3π．【解答】解：每次剪掉的半圆形面积构成一个以8π为首项，以14为公比的等比数列，则128lim 1614n n a a a ππ→∞++⋯+==- 故：lim 263n n S πππ→∞=-=故答案为：3π 16．（4分）直线：(3)5y k x =+与椭圆：32cos (02)14sin x y θθπθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩恰有一个公共点，则k 取值是 0 ．【解答】解：椭圆：32cos (02)14sin x y θθπθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩22(3)(1)116x y --= 直线(3)5y k x =+恒过(35) 而点(35)在椭圆上且为上定点，则直线：(3)5y k x =+与椭圆：32cos (02)14sin x y θθπθ⎧⎪⎨=+⎪⎩恰有一个公共点即0k =，故答案为0．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）求函数44sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，]π上的单调递增区间．【解答】解：44sin cos cos y x x x x =+-2222(sin cos )(sin cos )2x x x x x =+-2cos2x x =-2sin(2)6x π=-．故该函数的最小正周期是π；最小值是2-；单调递增区间是[0，]3π，5[6π，]π．18．（12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为34，遇到红灯（禁止通行）的概率为14．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：（Ⅰ）ξ的概率的分布列及期望E ξ；（Ⅱ）停车时最多已通过3个路口的概率．【解答】解：()I 由题意知ξ的所有可能值为0，1，2，3，4 用K A 表示“汽车通过第k 个路口时不停（遇绿灯）”，则()()123431,2,3,4,,,,4K P A k A A A A ==且独立．故11(0)()4P P A ξ===， 12313(1)()4416P P A A ξ===⨯=2123319(2)()()4464P P A A A ξ====， 312343127(3)()()44256P P A A A A ξ====， 41234381(4)()()4256P P A A A A ξ====从而ξ有分布列：13927815250123441664256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=81175()(3)1(4)1256256II P P ξξ=-==-=即停车时最多已通过3个路口的概率为175256． 19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，AE PD ⊥，//EF CD ，AM EF = （1）证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；（2）若3PA AB =，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值．【解答】()I 证明：因PA ⊥底面，有PA AB ⊥，又知AB AD ⊥，故AB ⊥面PAD ，推得BA AE ⊥，又////AM CD EF ，且AM EF =，证得AEFM 是矩形，故AM M F ⊥．又因AE PD ⊥，AE CD ⊥，故AE ⊥面PCD ，而//MF AE ，得M F ⊥面PCD ，故MF PC ⊥，因此MF 是AB 与PC 的公垂线．()II 解：连接BD 交AC 于O ，连接BE ，过O 作BE 的垂线OH ，垂足H 在BE 上．易知PD ⊥面MAE ，故DE BE ⊥，又OH BE ⊥，故//OH DE ，因此OH ⊥面MAE ．连接AH ，则HAO ∠是所要求的线AC 与面NAE 所成的角设AB a =，则3PA a =，1222AO AC a ==．因Rt ADE ~Rt PDA ∆∆，故 222210(3)AD a aED PD a a ===+， 12210aOH ED ==．从而在Rt AHO ∆中 215sin 10210220OH a HAO AO a ==⨯==．20．（12分）设函数()(1)()f x x x x a =--，(1)a >（1）求导数()f x '并证明()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ；（2）若不等式12()()0f x f x +成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）2()32(1)f x x a x a '=-++．令()0f x '=得方程232(1)0x a x a -++=．因△24(1)40a a a =-+>，故方程有两个不同实根1x ，2x 不妨设12x x <，由12()3()()f x x x x x '=--可判断()f x '的符号如下：当1x x <时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<；当2x x >时，()0f x '>因此1x 是极大值点，2x 是极小值点．（2）因12()()0f x f x +，故得不等式3322121212(1)()()0x x a x x a x x +-++++．即22121212121212()[()3](1)[()2]()0x x x x x x a x x x x a x x ++--++-++．又由()I 知12122(1)3.3x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入前面不等式，两边除以(1)a +，并化简得 22520a a -+．解不等式得2a 或12a（舍去）因此，当2a 时，不等式12()()0f x f x +成立．21．（12分）设0p >是一常数，过点(2,0)Q p 的直线与抛物线22y px =交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆(H H 为圆心）．试证抛物线顶点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程．【解答】解：由题意，设直线AB 的方程为2ay x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则其坐标满足222ay x y px =-⎧⎨=⎩消去x 的22240y apy p --=，则212212(42)4x x a p x x p ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩因此12120OA OB x x y y =+=OA OB ∴⊥，故O 必在圆H 的圆周上，又由题意圆心H 是AB 的中点，故2(2)H Hx a p y ap ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，由前已证OH 应是圆H 的半径，且42||54OH a a p =++；从而当0a =时，圆H 的半径最小，也使圆H 的面积最小．22．（14分）设数列{}n a 满足：12a =，*11()n n na a n N a +=+∈．（Ⅰ）证明：21n a n +*n N ∈恒成立；（Ⅱ）令*)n nb n N n=∈，判断n b 与1n b +的大小，并说明理由．【解答】解：（1）证法一：当1n =时，12211a =⨯+ 假设n k =时，21k a k +2分），当1n k =+时，22122112232(1)1k k k ka a k k a a +=++>++>++．（5分） 1n k ∴=+时，12(1)1k a k +>++综上由数学归纳法可知，21n a n +6分）证法二：由递推公式得2212112n n n a a a --=++，2222122122211122n n m a a a a a a ---=++=++（2分）上述各式相加并化简得22212211112(1)22(1)222111(2)nn a a n n n n n a a -=+-++⋯+>+-=+>+++（4分）又1n=时，na*)na n N>∈（6分）（2）解法一：1211(1)(1)21nn nbb a n+==+<++（8分）12n===<+（10分）又显然*0()nb n N>∈，故1n nb b+<成立（12分）解法二：22222211211(2)11n n nn n nma a ab b an n n a n++-=-=++-++（8分）22111121(2)(2)1121nma nn a n n n n+=+-<+-+++（10分）111()0121n n n=-<++故221n nb b+<，因此1n nb b+<（12分）。

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科) 北京文(附答案)

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)（北京卷）第Ⅰ卷一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题要求的.(1) 设M=x {－2x≤2}, N=x {x ＜1}, 则M∩N 等于 (A) x {1＜x ＜2} (B) x {－2＜x ＜1} (C) x {1＜x≤2} (D) x {－2≤x ＜1}(2) 满足条件i z 43+=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是(A) 一条直线 (B) 两条直线 (C) 圆 (D) 椭圆(3) 设 m, n 是两条不同的直线,r ,,βα是三个不同的平面.给出下列四个命题: ①若m ⊥α,n ∥α,则m ⊥n; ② 若α∥β, β∥r, m ⊥α,则m ⊥r; ③ 若m ∥α,n ∥α,则m ∥n; ④ 若α⊥r, β⊥r,则α∥β. 其中正确命题的序号是(A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④(4)已知a,b,c 满足c ＜b ＜a,且ac ＜0,那么下列选项是一定成立的是(A)ab ＞ac (B) c(b －a)＜0 (C) cb 2＜ab 2(D) ac(a －c)＞0(5)从长度分别为1,2,3,4的四条线段中,任取三条的不同取法有n 种.在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m,则nm 等于(A) 0 (B)41 (C)21 (D) 43(6) 如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,P 是侧面BB 1C 1C 内一动点,若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等,则动点P 的轨迹所在的曲线是 (A) 直线 (B) 圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线(7)函数32)(2--=ax x x f 在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是 (A))1,(-∞∈a (B) [)+∞∈,2a(C) [)+∞-∞∈,2)1,( a (D) ]2,1[∈a(8)函数⎩⎨⎧∈∈-=,,,,)(P x x M x x x f 其中P ,M 为实数集R 的两个非空子集,又规定}.),({)(},),({)(M x x f y y M f P x x f y y P f ∈==∈==给出下列四个判断:① 若P∩M=φ,则;)()(φ=M f P f ②若P∩M≠φ,则;)()(φ≠M f P f ③若P ∪M=R,则 ;)()(R M f P f = ④若P ∪M≠R ,则R M f P f ≠)()( 其中正确判断有(A) 3个 (B)2个 (C)1个 (D) 0个第Ⅱ卷 (非选择题共110分)二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. (9) 函数xcox x f sin )(=的最小正周期是 . (10) 方程3lg lg )2lg(2+=+x x 的解是 .(11)圆1)1(22=++y x 的圆心坐标是 ,如果直线x+y+a=0与该圆有公共点,那么实数a 的取值范围是 . (12) 某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm,该地球仪的半径是 cm, 表面积是 cm 2.(13) 在函数c bx ax x f ++=2)(中,若a,b,c 成等数列且f(0)=－4,则f(x)有最值(填“大”或“小”),且该值为 .(14)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}n a 是等和数列, 且a 1=5, 公和为5,那么a 18的值为 ,且这个数列的前21项和S 21的值为 .三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分14分) 在中, 22cos sin =+A A ,AC=2, AB=3, 求tgA 的值和△ABC 的面积.(16) (本小题满分14分)如图,在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB=2,AA 1=2,由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与AA 1的交点记为M.求: (Ⅰ)三棱柱的侧面展开图的对角线长; (Ⅱ)该最短路线的长及AMM A 1的值;(Ⅲ)平面C 1MB 与平面ABC 所成二面角(锐角)的大小.(17) (本小题满分14分)如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点, 点P(1,2), A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)均在直线上.(Ⅰ)写出该抛物线的方程及其准线方程. (Ⅱ)当PA 与PB 的斜率存在且倾角互补时, 求21y y 的值及直线AB 的斜率.(18) (本小题满分14分)函数f(x)定义在[0,1]上,满足)2(2)(xf x f =且f(1)=1,在每个区间i i i ](21,21(1-=1,2,…)上, y=f(x) 的图象都是平行于x 轴的直线的一部分. (Ⅰ)求f(0)及)41(),21(f f 的值,并归纳出 ,2,1)(21(=i if )的表达式;(Ⅱ)设直线x x ix i ,21,211-==轴及y=f(x)的图象围成的矩形的面积为),2,1( =i a i , 求a 1,a 2及)(21lim n n a a a +++∞→ 的值.(19) (本小题满分12分)某段城铁线路上依次有A,B,C 三站,AB=5km,BC=3km. 在列车运行时刻表上, 规定列车8时整从A 站发车,8时07分到达B 站并停车1分钟,8时12分到达C 站.在实际运行时,假设列车从A 站正点发车,在B 站停留1分钟,并在行驶时以同一速度vkm/h匀速行驶,列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.(Ⅰ) 分别写出列车在B, C两站的运行误差;(Ⅱ) 若要求列车在B, C两站的运行误差之和不超过2分钟,求v的取值范围.(20) (本小题满分12分)给定有限正数满足条件T: 每个数都不大于50且总和L=1275.现将这些数按下列要求进行分组,每组数之和不大于150且分组的步骤是:首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组,使得150与这组数之和的差r 1与所有可能的其他选择相比是最小的,r 1称为第一组余差;然后,在去掉已选入第一组的数后,对余下的数按第一组的选择方式构成第二组,这时的余差r 2;如此继续构成第三组(余差为r 3)、第四组（余差为r 4）、…，直至第N 组（余差为r N ）把这些数全部分完为止。

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷湖北卷理

2004年普通高等学校招生全国统一考试（理工类）（湖北卷）数学（理工类）（湖北卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是（A ）032=+-y x（B ）032=--y x（C ）012=+-y x （D ）012=--y x（2）复数ii 31)31(2++-的值是（A ）－16 （B ）16（C ）41-（D ）i 4341- （3）已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为（A ）21x x+ （B ）212x x +-（C ）212x x + （D ）21x x +-（4）已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=⋅=⋅（A ）甲是乙的充分条件但不是必要条件（B ）甲是乙的必要条件但不是充分条件（C ）甲是乙的充要条件（D ）甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件（5）若011<③b a <；④2>+b aa b 中，正确的不等式有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（6）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（A ）59（B ）3（C ）779 （D ）49（7）函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（A ）41 （B ）21（C ）2 （D ）4（8）已知数列{na }的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11 =+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，则存在数列{nx }、{n y }使（A ）}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{ny }为等比数列（B ）}{,n n n n x y x a 其中+=和{ny }都为等差数列（C ）}{,n n n n x y x a 其中⋅=为等差数列，{ny }都为等比数列（D ）}{,n n n n x y x a 其中⋅=和{ny }都为等比数列（9）函数1)(2++=x ax x f 有极值的充要条件是（A ）0>a （B ）0≥a （C ）0<a（D ）0≤a（10）设集合044|{},01|{2<-+∈=<<-=mx mx R m Q m m P 对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（A ）P Q（B ）Q P（C ）P=Q（D ）PQ=（11）已知平面所成的二面角为80°，P 为、外一定点，过点P 的一条直线与、所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（A ）1条（B ）2条（C ）3条（D ）4条（12）设是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.（13）设随机变量的概率分布（14）将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有种.（以数字作答）（15）设A、B为两个集合，下列四个命题：①A B对任意②A B③A B A B ④A B存在其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）（16）某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h 的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是km/h.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知的值.（18）（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1-EF-A的大小（结果用反三角函数值表示）.（19）（本小题满分12分）如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.（20）（本小题满分12分）直线的右支交于不同的两点A、B.（I）求实数k的取值范围；（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.（21）（本小题满分12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）（22）（本小题满分14分）已知（I）已知数列极限存在且大于零，求（将A用a表示）；（II）设（III）若都成立，求a的取值范围.。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(新高考I卷)押题密卷(含答案)

试卷类型：A2024年普通高等学校招生全国统一考试押题密卷2数学新高考I 卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{3,2a }，B ＝{a ,b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝A ．{1,2,3}B ．{2,3,4}C ．{1,2,4}D ．{2,3,5}2．设复数z 的共轭复数为 z ，则下列一定为纯虚数的是A ．z ＋zB ．z －zC ．z ·zD ．zz̅3．设α，β是两个不同平面，直线m ⊂α，直线n ⊂β，则A ．m ⊥β是m ⊥n 的充分条件B ．m //n 是α//β的必要条件C ．m ⊥β是m ⊥n 的必要条件D ．m ⊥n 是α⊥β的必要条件4．已知随机变量ξi 的分布列如表所示（i ＝1,2）．若0＜p 1＜12＜p 2＜23，则A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)5．已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则A ．tan θ2＜cot θ2B ．tan θ2＞cot θ2C ．sin θ2＜cos θ2D ．sin θ2＞cos θ26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对于任意n ∈N *，都有a n a n +1＜0，a n S n 恒为定值c（c ＞0），则A ．|a 2|＜|a 3|＜|a 4|B ．|a 3|＜|a 2|＜|a 4|C ．|a 3|＜|a 4|＜|a 2|D ．|a 4|＜|a 3|＜|a 2|7．设非负实数x ,y ，2x ＝3y ，则A ．2x ＝3yB ．2x ＞3yC ．2x ＜3yD ．无法比较2x 与3y 的大小8．已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＜|PF 2|，PF 1的垂直平分线经过点F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则 e 12－2e 2的最小值是 A ．2 B ．－2 C ．6D ．－6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这5次的统计结果，下列选项中有可能出现点数1的是 A ．中位数：3，众数：2 B ．平均数：4，中位数：5 C ．极差：4，平均数：2D ．平均数：4，众数：510．已知函数f (x )＝x 4－x 2＋x －1，则A ．f(x)有两个零点B ．f(x)有唯一极值C ．过坐标原点可作曲线y ＝f (x )的一条切线D ．曲线y ＝f (x )上存在三条互相平行的切线11．如图，与圆柱底面成60°的平面α截此圆柱，其截面图形为椭圆．已知该圆柱底面半径为2，则 A ．椭圆的离心率为√32B ．椭圆的长轴长为 8√33C ．椭圆的面积为32πD ．椭圆内接三角形面积的最大值为 6√3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在△ABC 中，C ≠π2，若cos A ＝sin B ，则A 的取值范围是_________．13．已知a ，b ，c 成等差数列，点P （－1,0）到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离为 2√2 ，则直线l 的倾斜角是_________．14．设点P 是边长为2的正△ABC 的三边上的动点，则 P A ⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ）的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（满分13分）已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，a ＝6，b ＋12cos B ＝2c ．（1）求A 的大小；（2）请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使△ABC 存在，并解决问题： M 为△ABC 内一点，AM 的延长线交BC 于点D ，求△ABC 的面积.①M 为△ABC 的外心，AM ＝4； ②M 为△ABC 的垂心，MD ＝√3 ； ③M 为△ABC 的内心，AD ＝3√3 ．16．（满分15分）图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母C 表示．如图所示，边长为1的正三角形被n （n ∈N *）层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为n 时，等圆的半径为a n ．图中已给出n 等于1，2，10时的覆盖情形．（1）写出a 1，a 2的值，并求数列{a n }的通项公式；（2）证明：此正三角形的被覆盖率低于91%．（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73）17．（满分15分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1．（1）求概率P(ξ＝0)；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．18．（满分17分）如图，已知抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（1）求r的取值范围；（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．19．（满分17分）已知函数f(x)＝(x－a)(e x－a)，a≥0．（1）当a＝0时，讨论f(x)的单调性；（2）证明：f(x)有唯一极小值点x0，并求f(x0)的最大值．2024年普通高等学校招生全国统一考试押题密卷2数学参考答案单项选择题 1．A 2．B 3．A 4．D 5．B6．C7．C8．B多项选择题 9．BCD对于A ，中位数是3，则这5个数从小到大排列后，第3个数是3，第1、2个数是2才能使众数为2，故第1个数不是1，故A 不正确，对于B ，有可能出现点数1，例如1,2,5,6,6；对于C ，有可能出现点数1，例如1,1,1,2,5；对于D ，有可能出现点数1，例如1,4,5,5,5；故选BCD.10．ACD对于A ，()32()(1)1f x x x x =−++，对于函数322()1,()32g x x x g x x x +=′=++，令gg ′(xx )<0⇒−23<xx <0，令gg ′(xx )>0⇒xx <−23或xx >0，所以函数gg (xx )在(−23,0)上单调递减，在(−∞,−23)和(0,+∞)上单调递增，则函数gg (xx )在xx =−23，xx =0处分别取极大值和极小值，由gg (0)>0，知gg (xx )只有一个零点，所以ff (xx )有两个零点，故A 正确；对于B ，假设B 成立，设切点坐标为�xx 0,ff (xx 0)�，切线方程为()()342000004211y xx x x x x x =−+−+−+−，即()34200042131y xx x x x =−+−+−，∴4200310x x −+−=，但显然4200310x x −+−<，故B 错误；对于C ，32()421,()122f x x x f x x ′=′+′=−−，令ff ″(xx )<0⇒−√66√6，令ff ″(xx )>0⇒xx <−√66或xx >√66，所以函数()f x ′在(上单调递减，在(−∞,−√66)和(√66,+∞)上单调递增，∴函数()f x ′在x =处分别取到极大值和极小值，由0f >′知()f x ′只有一个零点，ff (xx )有一个极值点，故C 正确；对于D ，若D 正确，则存在实数m 使得3()421f x x x m ′=−+=有三个不同的根，即函数yy =4xx 3−2xx +1mm 3个交点，由选项C 可知，,m f f∈ ′′，故D 正确.故选ACD. 11．AD对于A ，bb =rr =2，aa =rrcccccc 60°=2124，所以cc =√aa 2−bb 2=√16−4=2√3，所以离心率ee =ccaa =2√34=√32，所以A 正确；对于B ，长轴长2248a =×=，所以B 不正确；对于C ，椭圆的面积SS =ππaabb =2×4ππ=8ππ，所以C 不正确；对于D ，椭圆方程为xx 2aa 2+yy 2bb 2=1，椭圆内接三角形一个顶点在长轴左顶点，另两点在直线xx =mm (mm >0)上，此时另两点的距离为：2bb �1−mm 2aa2，三角形的面积为：12(aa +mm )⋅2bb �1−mm 2aa 2=bb ⋅�(aa +mm )(aa +mm )�1−mm aa ��1−mm aa�=aabb √3⋅��1+mmaa��1+mm aa ��3−3mm aa ��1+mm aa � ≤aabb √3��1+mm aa +1+mm aa +3−3mm aa +1+mm aa 4�4=aabb√3×94=3√3bbcc4 当且仅当1+mm aa=3−3mm aa，即mm =aa2时，取等号．∴SS3√3aabb 43√3×4×24√3△mmaaxx，所以D 正确，故选AD ．填空题 12．�0,ππ4�因为ssss ss BB >0，ccccss AA =ssss ss BB ，所以ccccss AA >0，所以AA <ππ2. 若BB <ππ2，由ccccss AA =ssss ss BB ，可得ssss ss (ππ2−AA )=ssss ss BB ，由正弦函数在(0,ππ2)的单调性可得，BB =ππ2−AA ，则CC =ππ2，原题设不成立；若π2B >，同理可得BB =AA +ππ2，由AA +BB <ππ，解得π(0,)4A ∈．故答案为(0,ππ4)．13．ππ4∵a ，bb ，cc 成等差数列，2b a ∴=+，即cc =2bb −aa ，点PP (−1,0)到直线ll :aaxx +bbyy +cc =0，=，两边平方化简可得(aa +bb )2=0，即bb =−aa ，则直线ll 的斜率为1ab−=，故直线的倾斜角是ππ4，故答案为ππ4．14．�−98,2�根据题意，以AABB 中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标：正三角形AABBCC 的边长为2，则AA (−1,0),BB (1,0),CC�0,√3�，点PP 是AABBCC 三边上的动点，��⃗=(−1−tt,0),PPBB��⃗=(1−tt,0),PPCC��⃗=�−tt,√3�则PPAA��⃗⋅�PPBB��⃗+PPCC��⃗�所PPAA=(−1−tt,0)⋅�(1−tt,0)+�−tt,√3��=(−1−tt)⋅(1−2tt)=2�tt+14�2−98,(−1≤tt≤1)所以当tt=−14时取得最小值为−98；当tt=1时取得最大值为2. ②，当PP在线段CCBB上时，直线CCBB的方程为yy=−√3xx+√3，设PP�mm,−√3mm+√3�,(0≤mm≤1)，��⃗=�−1−mm,√3mm−√3�,PPBB��⃗=�1−mm,√3mm−√3�,PPCC��⃗=�−mm,√3mm�，则PPAA��⃗⋅�PPBB��⃗+PPCC��⃗�所PPAA=�−1−mm,√3mm−√3�⋅��1−mm,√3mm−√3�+�−mm,√3mm��=�−1−mm,√3mm−√3�⋅�1−2mm,2√3mm−√3�=8�mm−12�2,(0≤mm≤1)所以当mm=12时取得最小值为0；当mm=1或mm=0时取得最大值为2. ③，当PP在线段AACC上时，直线AACC的方程为yy=√3xx+√3，设PP�ss,√3ss+√3�,(−1≤ss≤0)，��⃗=�−1−ss,−√3ss−√3�,PPBB��⃗=�1−ss,−√3ss−√3�,PPCC��⃗=�−ss,−√3ss�，则PPAA��⃗⋅�PPBB��⃗+PPCC��⃗�，所PPAA=�−1−ss,−√3ss−√3�⋅��1−ss,−√3ss−√3�+�−ss,−√3ss��，=�−1−ss,−√3ss−√3�⋅�1−2ss,−2√3ss−√3�，=8�ss+58�2−98,(−1≤ss≤0)，所以当ss=−58时取得最小值为−98；当ss=0时取得最大值为2.��⃗⋅�PPBB��⃗+PPCC��⃗�的取值范围为�−98,2�，综上可知，PPAA解答题15．（1）在△AABBCC 中，由余弦定理得ccccss BB =aa 2+cc 2−bb 22aacc，又因为aa =6，12cos 2b B c +=，所以2221222a c b b c ac+−+⋅=，整理得2236b c bc +−=.在△AABBCC 中，由余弦定理得22362cos b c bc A +−=，所以bbcc =2bbcc ccccss AA ，即ccccss AA =12又因为AA ∈(0,ππ)，所以AA =ππ3.（2）选①，设△AABBCC 的外接圆半径为R ，则在△AABBCC 中，由正弦定理得62sin sin 3BCR A π===，即R =因为MM 为外心，所以AAMM =2√3，与AAMM =4盾，故不能选①. 选②，因为MM 为△AABBCC 的垂心，所以222BMDMBD ACB ACB πππ∠=−∠=−−∠=∠，又MMMM =√3，所以在△MMBBMM中，tan BD MD BMD ACB =⋅∠=∠，同理可得CDABC =∠，又因为6BD CD +=6ABC ACB ∠∠=，即tan tan ABC ACB ∠+∠又因为在△AABBCC中，tan()tan ABC ACB BAC ∠+∠=−∠=所以tan tan 1tan tan ABC ACBABC ACB∠+∠=−∠∠tan tan 3ABC ACB ∠∠=，故ttaass ∠AABBCC ，tan ACB ∠为方程xx 2−2√3xx +3=0两根，即tan tan ABC ACB ∠=∠因为∠AABBCC ，∠AACCBB ∈(0,ππ)，所以3ABC ACB π∠=∠=，所以△AABBCC 为等边三角形，所以SS △AAAAAA =12×62×√32=9√3.选③，因为MM 为△AABBCC 的内心，所以∠BBAAMM =∠CCAAMM =12∠BBAACC =ππ6，由SS △AAAAAA =SS △AAAAAA +SS △AAAAAA ，得111sin sin sin 232626bc c AD b ADπππ=⋅+⋅，因为AAMM =3√3，所以1()2b c =+，即3bc b c +=，由（1）可得2236b c bc +−=，即(bb +cc )2−3bbcc =36，所以2()33609bc bc −−=，即(9)409bc bc+−=，又因为bbcc >0，所以bbcc =36，所以SS ΔΔAAAAAA =12bbcc ssss ss ππ3=12×36×√32=9√3.16．（1）由题意得，1a =，2a =当覆盖的等圆有ss 层时，最下面一层的圆有ss 个，相邻两圆的圆心距为2aa nn ，最左边与最右边的两圆的圆心距为()21n n a −．又最左边与最右边的两圆的圆心在三角形底边上投影与底边最近顶点距离之和为n ，则()211n n n a −+=，∴n a =．（2）证明：被覆盖面积()211π2n n n S a +==2S =．被覆盖率120.9050.91S C S =<≈<， ∴对任意的层数ss ，此正三角形的被覆盖率CC 低于91%．17．（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 32对相交棱，因此P(ξ＝0)＝232128C C ＝8×366＝411.（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或√2，其中距离为√2的共有6对，故P(ξ＝√2)＝2126C ＝111，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝√2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列是 ξ1√2P(ξ)411611111因此E(ξ)＝1×611＋√2×111＝6+√211.18．（1）联立方程组与，可得，所以方程由两个不等式正根由此得到解得，所以r的范围为（2）不妨设E与M的四个交点坐标分别为设直线AC,BD的方程分别为，解得点p的坐标为设t=，由t=及（1）可知由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积将代入上式，并令，得求导数，令，解得当时，，当，；当时，当且仅当时，由最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为（）19．（1）当aa=0时，()e x=，f x x则ff′xx，令ff ′(xx )=0，得xx =−1，则ff (xx )在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增.（2）由ff (xx )=(xx −aa )(ee xx −aa )，得()f x ′=e ()e (1)e x x x a x a x a a −+−=−+−，令()(1)e x G x x a a =−+−，得()G x ′=(2)e x x a −+. 令()0G x ′=，则xx =aa −2，所以()f x ′在(−∞,aa −2)上单调递减，在(aa −2,+∞)上单调递增，易知()e a f a a ′=−，设函数()e x H x x =−，令()e 10x H x ′−，可得xx =0，则()e x H x x =−在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，又HH (0)=1>0，故()e 0x H x x =−>在RR 上恒成立，故()e 0a f a a ′=−>，又2(2)e 0a f a a −′−=−−<，所以存在0(2,)x a a ∈−，使得()00f x ′=. 又当(,2)x a ∈−∞−时，易知()0f x ′<，故ff (xx )有且仅有一个极小值点xx 0.因为()00f x ′=，所以()0001e 0e 1x x x a +≥+，即xx 0≥−1，则ff (xx 0)=�xx 0−(xx 0+1)ee xx 0ee xx 0+1��ee xx 0−(xx 0+1)ee xx 0ee xx 0+1�=−ee xx 0(ee xx 0−xx 0)2(ee xx 0+1)2设()()22e e ()e 1x x x x g x −=−+，求导得()g x ′=()()23e e e (1)e 2e 1x x x x x x x x −++−− −+. 设2()e (1)e 2x x h x x x =++−−，求导得2()2e (2)e 1x x h x x ′=++−，注意到ℎ′(xx )在[−1,+∞)上单调递增，且�ℎ′(−1)=2ee −2+ee −1−1<0ℎ′(0)=3>0，所以存在cc ∈(−1,0)，使得()0h c ′=，从而()h x 在(−1,cc )上单调递减，在(,)c +∞上单调递增，又(0)0h =，2(1)e 10h −−=−<，ee xx −xx >0，所以当−1≤xx <0时，gg′(xx )>0；当xx >0时，()0g x ′<. 所以gg (xx )在(−1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，则()01(0)4f x g ≤=−，即ff (xx 0)的最大值为−14.。

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试2441

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

2004年重庆市高考数学卷(理科)

2004年普通高等学校招生考试数学（理工农医类）（重庆卷）本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟.第Ⅰ部分（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那幺n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k knn P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数y =（）A [1,)+∞B 23(,)+∞C 23[,1]D 23(,1]2.设复数1Z =+, 则22Z Z -= ( )A –3B 3C -3iD 3i 3.圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为：（）A 2BC 1 D4．不等式221x x +>+的解集是：（） A (1,0)(1,)-+∞ B (,1)(0,1)-∞-C (1,0)(0,1)-D (,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+= ( )A 12-B 12C D6．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为：（）A 2B 4C 6D 127．一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（）A 0a C 1a <-D 1a >8．设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为：（） A B C D 9．若数列{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：（）A 4005B 4006C 4007D 400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( )A 43B 53C 2D 7311．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A 110B 120C 140D 112012．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成图形可能是：（）第Ⅱ部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-，则_______a =14．曲线23112224y xy x =-=-与在交点处切线的夹角是______（用幅度数作答）15．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…..P n …,记纸板P n 的面积为n S ，则l i m ______n x S →∞=16．对任意实数K ，直线：y kx b =+与椭圆：2cos (02)14sin x y θθπθ⎧=⎪≤≤⎨=+⎪⎩ 恰有一个公共点，则b 取值范围是_______________三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）求函数44sincos cos y x x x x =+-的取小正周期和取小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。

2004年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工农医类）试题

2004年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理
工农医类）试题
佚名
【期刊名称】《数学教学通讯：中教版》
【年(卷),期】2004(000)09S
【摘要】数学(理工农医类)试题分选择题和非选择题两部分．第一部分(选择题)1
至3页，第二部分(非选择题)3至5页，共5页．满分150分．考试时间120min．【总页数】5页(P41-42,45-47)
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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5.2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）——数学试题卷（理工农医类） [J], 无
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2004年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟.第Ⅰ部分（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数12log (32)y x =-的定义域是：（）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞C ．23[,1]D ．23(,1]2．设复数z z i z 2,212-+=则, 则22Z Z -=（） A ．–3 B ．3 C ．－3i D ．3i 3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（）A ．2B ．22C ．1D ．2 4．不等式221x x +>+的解集是（）A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(1,0)(0,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+=（）A ．12-B ．12C ．32-D ．326．若向量 a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为（）A ．2B ．4C ．6D ．127．一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（）A ．0a C ．1a <-D ．1a >8．设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为（）A ．23B ．25C ．27D ．42 9．若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：（）A B C A B CA B C ABCP P P PA ．4005B ．4006C ．4007D ．400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（） A ．43 B ．53 C ．2 D ．7311．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（） A ．110B ．120C ．140 D ．112012．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是（）（A ）（B ）（C ）（D ）第Ⅱ部分（非选择题共90分）题号二三总分 17 18 19 20 21 22 分数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-，则_______a =. 14．曲线23112224y x y x =-=-与在交点处切线的夹角是______，（用幅度数作答）15．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…..，P n ，…,记纸板P n 的面积为n S ，则lim ______n x S →∞=.16．对任意实数K，直线：y kx b =+与椭圆：)20(sin 41cos 23πθθθ<≤⎩⎨⎧+=+=y x 恒有公共点，则b 取值范围是______________三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数44sin23sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。

18．（本小题满分12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为34，遇到红灯（禁止通行）的概率为14。

假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，P 1P 2P 3P 4BY y 2=2px ξ表示停车时已经通过的路口数，求：（1）ξ的概率的分布列及期望E ξ;(2 ) 停车时最多已通过3个路口的概率。

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，,,//,PA ABCD AE PD EF CD AM EF ⊥⊥=底面（1）明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；（2）若3PA AB =,求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值。

20．（本小题满分12分）设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->（1）求导数/()f x ; 并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ; （2）若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围. 21．（本小题满分12分）设0p >是一常数，过点(2,0)Q p 的直线与抛物线22y px =交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直经作圆H （H 为圆心）。

试证抛物线顶点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程.AOXQ(2p,0) 22．（本小题满分14分）设数列{}n a 满足1112,,(1,2,3.......)n n na a a n a +==+= （1）证明21n a n >+对一切正整数n 成立；（2）令,(1,2,3......)n n a b n n==,判断1n n b b +与的大小，并说明理由。

参考答案一、选择题：每小题5分，共60分.1．D 2．A 3．D 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．B 11．D 12．D 二、填空题：每小题4分，共16分. 13．－2 14．4π 15．3π16．[－1，3]三、解答题：共74分. 17．（本小题12分）解：x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=)62sin(22cos 2sin 32sin 3)cos )(sin cos (sin 2222π-=-=+-+=x xx xx x x x故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单增区间是[π31,0]，],65[ππ 18．（本小题12分）解：（I ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4用A K 表示“汽车通过第k 个路口时不停（遇绿灯）”，则P （A K ）=4321,,,),4,3,2,1(43A A A A k 且=独立. 故,41)()0(1===A P P ξ25681)43()()4(,2562741)43()()3(,64941)43()()2(1634143)()1(4432134321232121==⋅⋅⋅====⋅⋅⋅====⋅⋅===⨯=⋅==A A A A P P A A A A P P A A A P P A A P P ξξξξ从而ζ有分布列：ξ 0 1 2 3 4P41 163 649 25627 2568125652525681425627364921631410=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE（II ）256175256811)4(1)3(=-==-=≤ξξP P答：停车时最多已通过3个路口的概率为256175.19．（本小题12分）（I ）证明：因PA ⊥底面，有PA ⊥AB ，又知AB ⊥AD ，故AB ⊥面PAD ，推得BA ⊥AE ，又AM ∥CD ∥EF ，且AM=EF ，证得AEFM 是矩形，故AM ⊥MF.又因AE ⊥PD ，AE ⊥CD ，故AE ⊥面PCD ，而MF ∥AE ，得MF ⊥面PCD ，故MF ⊥PC ，因此MF 是AB 与PC 的公垂线.（II ）解：连结BD 交AC 于O ，连结BE ，过O 作BE 的垂线OH ，垂足H 在BE 上. 易知PD ⊥面MAE ，故DE ⊥BE ，又OH ⊥BE ，故OH//DE ，因此OH ⊥面MAE. 连结AH ，则∠HAO 是所要求的线AC 与面NAE 所成的角设AB=a ，则PA=3a ， a AC AO 2221==.因Rt △ADE~Rt △PDA ，故中从而在AHO Rt a ED OH a a a a PDAD ED ∆===+==.10221,10)3(2222.10520122102sin ==⨯==a a AO OH HAO 20．（本小题12分）解：（I ）.)1(23)(2a x a x x f ++-=')(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,04)1(4.0)1(230)(221121212122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.（II ）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f.0)(]2))[(1(]3))[((.0)())(1(212122121221212122213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即又由（I ）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.3),1(322121a x x a x x代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得.0)()(,2,)(212.0252212成立不等式时当因此舍去或解不等式得≤+≥≤≥≥+-x f x f a a a a a 21．（本小题12分）解法一：由题意，直线AB 不能是水平线，故可设直线方程为：p x ky 2-=.又设),(),,(B B A A y x B y x A ，则其坐标满足⎩⎨⎧=-=.2,22px y p x ky消去x 得 04222=--p pky y由此得 ⎩⎨⎧-==+.4,22p y y pk y y B A B A⎪⎩⎪⎨⎧==+=++=+22224)2()(,)24()(4p p y y x x p k y y k p x x B A B A B A B A 因此OB OA y y x x OB OA B A B A ⊥=+=⋅即,0. 故O 必在圆H 的圆周上.又由题意圆心H （H H y x ,）是AB 的中点，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=.2,)2(22kp y y y p k x x x B AB B A H 由前已证，OH 应是圆H 的半径，且p k k y x OH H H 45||2422++=+=.从而当k=0时，圆H 的半径最小，亦使圆H 的面积最小. 此时，直线AB 的方程为：x=2p.解法二：由题意，直线AB 不能是水平线，故可设直线方程为：ky =x －2p又设),(),,(B B A A y x B y x A ，则其坐标满足⎩⎨⎧=-=.2,22px y p x ky分别消去x ，y 得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--.04)2(2,04222222p x k p x p pky y 故得A 、B 所在圆的方程.02)2(2222=-+-+pky x k p y x 明显地，O （0，0）满足上面方程所表示的圆上，又知A 、B 中点H 的坐标为),,)2(()2,2(2kp p k y y x x BA B A +=++ 故 22222)2(||p k p k OH ++=而前面圆的方程可表示为22222222)2()(])2([p k p k pk y p k x ++=-++-故|OH|为上面圆的半径R ，从而以AB 为直径的圆必过点O （0，0）. 又22422)45(||p k k OH R ++==，故当k=0时，R 2最小，从而圆的面积最小，此时直线AB 的方程为：x=2p. 解法三：同解法一得O 必在圆H 的圆周上又直径|AB|=22)()(B A B A y y x x -+-.44222222222p x x p x x px px x x y y x x B A B A BA B A B A B A =⋅+≥+++=+++=上式当B A x x =时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.此时直线AB 的方程为x=2p.22．（本小题14分）（I ）证法一：当,1122,11+⨯>==a n 时不等式成立..1)1(2,1.1)1(213221,1.12,122221时成立时时当成立时假设++>+=∴++>++>++=+=+>=++k a k n k a k a a a k n k a k n k k k k k k 综上由数学归纳法可知，12+>n a n 对一切正整数成立.证法二：当n=1时，112321+⨯=>=a .结论成立.假设n=k 时结论成立，即 .12+>k a k当)1(1)(,1>+=+=x x x x f k n 由函数时的单增性和归纳假设有.012132)12112(.3212112:.12112121显然成立而这等价于因此只需证≥+⇔+≥++++≥++++++>+=+k k k k k k k k k a a a kk k 所以当n=k+1时，结论成立.因此，12+>n a n 对一切正整数n 均成立.证法三：由递推公式得 ,1221212--++=n n n a a a21212222222112,12a a a a a a n n n ++=++=---上述各式相加并化简得 )1(2211)1(222121212-+>+++-+=-n a a n a a n n).,2,1(12,12,1).2(1222 =+>+>=≥+>+=n n a n a n n n n n n 故明显成立时又（II ）解法一：1)1211(1)11(1211+++<++=+=++n nn n n a n a n a b b n n n n n..12141)21(12)1(21)12()1(212n n b b n n n n n n n n n <<+-+=++=+++=+故解法二：na a a n na n ab b n n n n n n n -++=-+=-++)1(11111..0)1()1(1)]1()1([)1()1(1)]12()1([)1)(1(1))()](12)(1([)1(1])1([)1(112n n nnnnn nb b n n a n n n n n n a n n n n n n n n a n n n n n n n n a n n a n n n a n n <<+-++=+-++++=+-+++++=+-+-+≤-+-+=+所以的结论由解法三：n a n a b bn n nn 2212211-+=-++I0)1121(11)121212(11)12(11)21(1122222<-++=+-+++<-++=-+++=nn n n n n n n a a n n a a a n n nn nn故n n n n b b b b <<++1221,因此.。