高三数学培优训练(二)(附答案)

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北京市西城区2022届高三数学二模试题含解析版

西城区高三模拟测试试卷数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}42A x x =-<<，{}29B x x =≤，则A B ⋃=（）A. (]4,3- B. [)3,2-C. ()4,2- D. []3,3-【答案】A 【解析】【分析】先求B ，再求并集即可【详解】易得{}3|3B x x =-≤≤，故(]4,3A B ⋃=-故选：A2. 已知双曲线的焦点分别为1F ，2F ，124F F =，双曲线上一点P 满足122PF PF -=，则该双曲线的离心率为（）A.B. C. 2 D. 3【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的定义和焦距即可求出a 和c 的值，进而可求离心率.【详解】因为1224F F c ==，所以2c =，又因为122PF PF -=，所以由双曲线的定义可知22a =，解得1a =，则双曲线的离心率2ce a==，故选：C .3. 已知{}n a 为等差数列，首项12a =，公差3d =，若228n n a a ++=，则n =（）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】首先求出通项公式，再代入得到方程，解得即可；【详解】解：因为首项12a =，公差3d =，所以()1131n a a n d n =+-=-，因为228n n a a ++=，所以()()3132128n n -++-=，解得4n =故选：D4. 下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（）A. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. ln y x =C. sin y x =D. y x x=【答案】D 【解析】【分析】根据指对函数的性质判断A 、B ，由正弦函数性质判断C ，对于D 有22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，即可判断奇偶性和()0,+∞单调性.【详解】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足.故选：D5. 已知直线2y kx =+与圆C ：222x y +=交于A ，B 两点，且2AB =，则k 的值为（）A. B. C. D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径关系，以及点线距离公式列方程求k 值.【详解】由题设(0,0)C 且半径r =，弦长2AB =，所以C 到2y kx =+的距离1d ==，1=，可得k =.故选：B6. 已知e 是单位向量，向量a 满足112a e ≤⋅≤，则a r 的取值范围是（）A. ()0,∞+ B. (]0,1C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据向量数量积的定义即可求解.【详解】依题意，cos ,cos ,a e a e a e a a e ==，1cos ,12a a e ≤≤ ，cos ,0a e ∴> ，112cos ,cos ,a a e a e ≤≤ ，又∵0cos ,1a e <≤ ，12a ∴≥ ，故选：C.7. 已知函数()()2sin 2f x x ϕ=+，2πϕ<，那么“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的（）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求得当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,进而判断6πϕ=时，函数的单调性，即可得出结果.【详解】当22222k x k πππϕπ-+≤+≤+，k Z ∈, ()f x 单调递增.则当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,当6π=ϕ时, ()f x 在,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；当6πϕ=-时, ()f x 在,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；反之，当()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数时，由,,6644ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可知，此时0,0k ϕ==，即6πϕ=不成立.所以“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的充分而不必要条件.故选：A.8. 已知()lg f x x a =-，记关于x 的方程()1f x =的所有实数根的乘积为()g a ，则()g a （）A. 有最大值，无最小值B. 有最小值，无最大值C. 既有最大值，也有最小值D. 既无最大值，也无最小值【答案】D 【解析】【分析】求出方程()1f x =的实数根，从而可得()g a ，再根据指数函数的性质即可得解.【详解】解：由()1f x =，得lg 1x a -=，所以110a x +=或110a -，故()210ag a =，所以函数()g a 既无最大值，也无最小值.故选：D .9. 若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（）A. (]0,1 B. ()0,1C. ()1,4 D. ()2,4【答案】B 【解析】【分析】首先得到函数的定义域，再分析当0x ≤时()f x 的取值，即可得到3a ≤，再对0x a <≤时分2a ≥和02a <<两种情况讨论，求出此时()f x 的取值，即可得到()f x 的值域，从而得到不等式，解得即可；【详解】解：因为()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为(],a -∞，0a >，当0x ≤时()23xf x =+，则()f x 在(],0-∞上单调递增，所以()(]3,4f x ∈；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a <≤，当0x a <≤时()()22f x x =-，若2a ≥则()20f =，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若02a <<时()f x 在(]0,a 上单调递减，此时()())22,4f x a ⎡∈-⎣，则()())(]22,43,4f x a ⎡∈-⎣，所以()2202a a a ⎧<-⎪⎨<<⎪⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈故选：B10. 如图为某商铺A 、B 两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知A 商品卖出一件盈利20元，B 商品卖出一件盈利10元.图中点1A 、2A 、3A 的纵坐标分别表示A 商品2022年前3个月的销售量，点1B 、2B 、3B 的纵坐标分别表示B 商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确的是（）①2月A 、B 两种商品的总销售量最多；②3月A 、B 两种商品的总销售量最多；③1月A 、B 两种商品的总利润最多；④2月A 、B 两种商品的总利润最多.A. ①③ B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】【分析】对①②，根据统计图的相关点纵坐标高低判断即可；对③④，根据A 利润是B 的两倍，根据卖得更多的商品判断利润高低即可【详解】对①②，根据统计图可得，3B ，3A 的纵坐标之和显然最大，故3月A 、B 两种商品的总销售量最多；故②正确；对③④，因为A 商品卖出一件盈利20元，B 商品卖出一件盈利10元，根据统计图，若用对应的点表示对应点的纵坐标，则易得131232210100201020A B B B A A +>+>+，故③正确综上②③正确故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 二项式()()*1nx n +∈N 的展开式中2x的系数为21，则n =__________.【答案】7【解析】【分析】写出二项式展开式通项，根据已知条件有2C 21n =，即可求n 值.【详解】由题设，展开式通项为1C r rr n T x +=，而2x 的系数为21，所以2C 21n =，即(1)212n n -=且*N n ∈，可得7n =.故答案为：712. 已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()1,2-，则5z为__________.【解析】【分析】根据复数的定义以及运算规则即可求解.【详解】由题意，12i z =-+ ，则()512i 5512i 12i 5z --===---+ ，5z==；13. 已知抛物线24y x =的焦点为F，准线为l ，则焦点到准线的距离为___________；直线y =P 、Q 两点（点P 在x 轴上方），过点P 作直线PQ 的垂线交准线l 于点H ，则PFPH=__________.【答案】 ①2②.【解析】【分析】求出焦点及准线方程，从而可得焦点到准线的距离，作PP l '⊥交准线l 于点P '，易.得直线y =-过焦点，则PF PP PH PH'=从而可得出答案.【详解】解：抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线l 为1x =-，，所以焦点到准线的距离为2，如图，作PP l '⊥交准线l 于点P '，因为直线y =F ，则PF PP '=，因为PP l '⊥，所以PP x '∥轴，又直线y =-的倾斜角为60︒，所以60FPP '∠=︒，所以30HPP '∠=︒，则cos30PF PP PHPH'==︒=.故答案为：214. 已知数列{}n a 是首项为16，公比为12的等比数列，{}n b 是公差为2的等差数列.若集合{}*n n A n N a b =∈>中恰有3个元素，则符合题意的1b 的一个取值为__________.【答案】1-（答案不唯一）【解析】【分析】易得数列{}n a 逐项递减，可先确定集合{}*n n A n N a b =∈>中的3项再列式求1b 的范围即可【详解】易得数列{}n a 逐项递减，{}n b 逐项递增，故可考虑112233,,a b a b a b >>>，(),4,n n n N a b n +≥∈≤，此时只需3344a b a b >⎧⎨≤⎩即可，即21311164211662b b ⎧⎛⎫⨯>+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得140b -≤<，故符合题意的1b 的一个取值为1-（答案不唯一）故答案为：1-（答案不唯一）15. 已知四棱锥P ABCD -的高为1，PAB △和PCD的等边三角形，给出下列四个结论：①四棱锥P ABCD -可能为正四棱锥；②空间中一定存在到P ，A ，B ，C ，D 距离都相等的点；③可能有平面PAD ⊥平面ABCD ；④四棱锥P ABCD -的体积的取值范围是12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】对①，分析当四棱锥P ABCD -为正四棱锥时是否满足条件即可；对②，设四棱锥P ABCD -的高为PO ，分析可得点O 满足；对③，假设平面PAD ⊥平面ABCD ，再推导得出矛盾即可判断；对④，设BOC θ∠=，得出四棱锥P ABCD -的体积表达式再求解即可【详解】根据题意，设PO ABCD ⊥，则1PO =，又因为PAB △和PCD的等边三角形，易得1OA OB OC OD ====，且2AOB COD π∠=∠=对①，当AB BC CD AD ====时，底面为正方形，且O 为底面中心，此时四棱锥P ABCD -可能为正四棱锥，故①正确；对②，1O A O B O C O D O P =====，故一定存在到P ，A ，B ，C ，D 距离都相等的点O ，故②正确；对③，当平面PAD ⊥平面ABCD 时，因为PO ABCD ⊥，故PO ⊂平面PAD ，此时A O D π∠=，又因为2AOB COD π∠=∠=，此时,B C 重合，不满足题意，③错误；对④，设BOC θ∠=，则13P ABCD ABCD V S PO -=⋅⋅()()111111sin sin 1sin 322223OA OB OC OD OB OC OA OD θπθθ⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅-=+ ⎪⎝⎭，因为()0,θπ∈，故(]sin 0,1θ∈，所以()1121sin ,333P ABCD V θ-⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，故④正确故答案为：①②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，22sin cos 222B B B+=.（1）求B 的大小；)2a c b +=，证明：a c =.【答案】（1）2π3；（2）证明见解析.【解析】分析】(1)利用降幂公式化简已知条件，求出tan B 即可求出B ；(2)结合余弦定理和已知条件即可证明．【小问1详解】【在ABC 中，∵22sin cos 222B B B+=∴1cos sin 2BB ++=sin 0B B +=，∴tanB =，∵()0,πB ∈，∴2π3B =；【小问2详解】∵2π3B =，∴1cos 2B =-．由余弦定理得222b a c ac =++①，)2a c b +=，∴)b a c =+②，将②代入①，得()2222324a ac c a c ac ++=++，整理得2()0a c -=，∴a c =．17. 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.（1）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；（2）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳概率；（3）已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为1μ，其中男生的乒乓球平均分的估计值为2μ，试比较1μ与2μ的大小.（结论不需要证明）【答案】（1）8105（2）0.32 （3）12μμ>【解析】【分析】（1）分别求出样本中男生和女生的人数，再由频率估计概率即可得解；（2）根据题意易得从该区九年级全体男生中随机抽取1人和从该区九年级全体女生中随机抽取1人选考跳绳的概率，再分2个男生选考跳绳和1个男生和1个女生选考跳绳结合独立事件的概率公式即可得解；（3）根据平均数公式分别求出12,μμ，即可得解.【小问1详解】解：样本中男生的人数为110010%110⨯=人，样本中女生的人数为10005%50⨯=人，设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件A ，则该学生选考乒乓球的概率()11050811001000105P A +==+；【小问2详解】解：设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件B ，从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件C ，由题意()()0.4,0.5P B P C ==，则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为()()12222C 0.410.40.5C 0.410.50.32⨯⨯-⨯+⨯⨯-=；【小问3详解】的解：11008407.5207311604μ⨯+⨯+⨯==，2608407.51078511011μ⨯+⨯+⨯==，所以12μμ>.18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的菱形，AB BC ==，点D 为棱AC 上动点（不与A ，C 重合），平面1B BD 与棱11A C 交于点E .（1）求证：1BB DE //；（2）若34AD AC =，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB 与平面1B BDE 所成角的正弦值.条件①：平面ABC ⊥平面11AA C C ；条件②：160A AC ∠=︒；条件③：1A B =.【答案】（1）证明见解析（2）913【解析】【分析】（1）由棱柱的性质可得11//AA BB ，即可得到1//BB 平面11ACC A ，再根据线面平行的性质证明即可；（2）选条件①②，连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO ，即可得到1A O AC ⊥，根据面面垂直的性质得到1A O ⊥平面ABC ，即可得到1A O OB ⊥，再由BO AC ⊥，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；选条件②③，连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO ，依题意可得1A O AC ⊥，再由勾股定理逆定理得到1A O OB ⊥，即可得到1A O ⊥平面ABC ，接下来同①②；选条件①③，取AC 中点O ，连接BO ，1AO ，即可得到BO AC ⊥，由面面垂直的性质得到BO ⊥平面11ACC A ，从而得到1BO OA ⊥，再由勾股定理逆定理得到1A O AO ⊥接下来同①②；【小问1详解】证明：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，又1BB ⊄平面11ACC A ，1AA ⊂平面11ACC A ，所以1//BB 平面11ACC A ，又因为平面1B BDE 平面11ACC A DE =，所以1//BB DE .【小问2详解】解：选条件①②.连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO .在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒，所以1A AC 为等边三角形.又因为O 为AC 中点，所以1A O AC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，1A O ⊂平面11ACC A ，且1A O AC ⊥，所以1A O ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，所以1A O OB ⊥.又因为AB BC =，所以BO AC ⊥.以O 为原点，以OB 、OC 、1OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(0,2,0)A -，1A ，(3,0,0)B ，(0,1,0)D .所以(3,1,0)BD =-u u u r，1=(0,2,DE AA =.设平面1B BDE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则00n BD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以11113020x y y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z =13y =，11x =，故(1,3,n =.又因为(3,2,0)AB =u u u r，设直线AB 与平面1B BDE 所成角为θ，所以9sin cos ,13AB n AB n AB n θ⋅=〈〉==u u u r r u u u r r u uu r r .所以直线AB 与平面1B BDE 所成角的正弦值为913.选条件②③.连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO .在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒，所以1A AC 为等边三角形.又O 为AC 中点，故1A O AC ⊥，且1AO =.又因为3OB =，1A B =.所以22211AO OB A B +=，所以1A O OB ⊥.又因为AC OB O = ，所以1A O ⊥平面ABC .以下同选①②.选条件①③取AC 中点O ，连接BO ，1AO .在ABC 中，因为BA BC =，所以BO AC ⊥，且2AO =，3OB =.又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，所以BO ⊥平面11ACC A .因为1OA Ì平面11ACC A ，所以1BO OA ⊥.在1Rt BOA △中，1OA =又因为2OA =，14AA =，所以22211OA OA AA +=，所以1A O AO ⊥.以下同选①②.19. 已知函数ln ()1x af x x +=+.（1）若()114f '=，求a 的值；（2）当2a >时，①求证：()f x 有唯一的极值点1x ；②记()f x 的零点为0x ，是否存在a 使得21x x ≤e ？说明理由.【答案】（1） 1.a =（2）①证明见解析，②不存在，详细见解析.【解析】【分析】（1）求得导函数，由()114f '=，代入计算即可.(2) ①求得211ln (),(1)x a x f x x +--'=+设1()1ln g x x a x =+--, 由函数性质可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.进而由(e )1e 0,(1)20a a g g a -=+>=-<，可得()0f x '=有(0,)+∞有唯一解，进而利用导数可判断()f x 有唯一的极值点1x .②由题意，可得0e ,ax -=假设存在a ，使21x x ≤e ，进而可知21e e ,a ax --<≤由()g x 在(0,)+∞单调递减，(e )0a g ->，则2(e )0a g -≤，求得2a ≤，与已知矛盾，则假设错误.【小问1详解】因为ln (),01x af x x x +=>+，所以211ln (),(1)x a x f x x +--'=+因为21(1)44a f -'==，所以 1.a =【小问2详解】①()f x 的定义域是(0,)+∞，211ln (),(1)x a x f x x +--'=+令()0,f x '=，则11ln 0x a x+--=.设1()1ln g x x a x=+--,因为1,ln y y x x ==-在(0,)+∞上单调递减，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减.因为(e )1e 0,(1)20a a g g a -=+>=-<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一的零点，|所以()0f x '=有(0,)+∞有唯一解，不妨设为11,(e ,1)ax x -∈.()'f x 与()f x 的情况如下,x 1(0,)x 1x 1(,)x +∞()'f x +0-()f x 增极大值减所以()f x 有唯一的极值点1x .②由题意，0ln x a =-，则0e ,ax -=若存在a ，使21x x ≤e ，则21e 1a x -≤<，所以21e e ,a a x --<≤因()g x 在(0,)+∞单调递减，(e )1e 0a a g -=+>，则需22(e )e 10a a g --=-≤，即2a ≤，与已知矛盾.所以，不存在2a >,使得21x x ≤e .20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，圆O ：221x y +=经过椭圆C 的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程和焦距；（2）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 不在坐标轴上），且直线PQ 与x 轴平行，线段AP 的垂直平分线与y 轴交于点M ，圆O 在点Q 处的切线与y 轴交于点N .求线段MN 长度的最小值.【答案】（1）2214x y +=，（2.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,a b ，写出椭圆C 的方程并计算焦距作答.（2）设出点P ，Q 坐标，求线段AP 中垂线方程得点M ，求圆O 在点Q 处的切线方程得点为N ，再借助均值不等式求解作答.【小问1详解】依题意，2,1a b ==，由c ==2c =所以椭圆C 的方程为：2214x y +=，焦距为【小问2详解】设00(,)P x y 00(0)x y ≠，则220014x y +=，依题意，设101(,)(0)Q x y x ≠，且22101x y +=，因()2,0A -，则线段AP 的中点为002(,)22x y -，直线AP 的斜率002AP y k x =+，则线段AP 的中垂线方程为：000022(22y x x y x y +--=--，令0x =得点M 的纵坐标220000000(2)(2)4222M y x x x y y y y +-+-=+=，而220044x y -=-，则032M y y =-，即03(0,)2M y -，直线OQ 的斜率01OQ y k x =，因此，圆O 在点Q 处的切线斜率为10x y -，切线方程为1010()x y y x x y -=--，令0x =得点N 的纵坐标22210100001N x y x y y y y y +=+==，即01(0,)N y ，则有00001313||||||||2||2N M MN y y y y y y =-=+=+≥=0013||||2y y =，即0y ==”，所以线段MN.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.21. 已知数列A ：1a ，2a ，…，2m a ，其中m 是给定的正整数，且2m ≥.令{}212min ,i i i b a a -=，1,,i m =⋅⋅⋅，{}12()ma ,x ,,m X b b A b = ，{}212max ,i i i c a a -=，1,,i m =⋅⋅⋅，{}12()min ,,,m Y A c c c = .这里，{}max 表示括号中各数的最大值，{}min 表示括号中各数的最小值.（1）若数列A ：2，0，2，1，-4，2，求()X A ，()Y A 的值；（2）若数列A 是首项为1，公比为q 等比数列，且()()X A Y A =，求q 的值；（3）若数列A 是公差1d =的等差数列，数列B 是数列A 中所有项的一个排列，求()()X B Y B -的所有可能值（用m 表示）.【答案】（1）()1X A =，()2Y A =；（2）1q =；（3）所有可能值为1,1,2,...,23m --.【解析】【分析】（1）根据函数定义写出()X A ，()Y A 即可.（2）讨论数列A 的项各不相等或存在相等项，当各项都不相等，根据题设,i i b c 定义判断1212{,,...,}{,,...,}m m b b b c c c ⋂=∅，当存在相等项，由等比数列通项公式求q ，进而确定q 的值；（3）利用数列A 的单调性结合（2）的结论求()()X B Y B -的取值范围，估计所有可能取值，再应用分类讨论求证()()X B Y B -对应所有可能值均可取到，即可得结果.【小问1详解】由题设，10b =，21b =，34b =-，则()max{0,1,4}1X A =-=，12c =，22c =，32c =，则()min{2,2,2}2Y A ==，所以()1X A =，()2Y A =.【小问2详解】若数列A 任意两项均不相等，的当1,...,i m =时i i b c ≠；当,{1,...,}i j m ∈且i j ≠时，212212{,}{,}i i j j a a a a --⋂=∅，又212212min{,}{,}i i i i i b a a a a --=∈，212212max{,}{,}j j j j j c a a a a --=∈，此时i i b c ≠；综上，1212{,,...,}{,,...,}m m b b b c c c ⋂=∅，故()()X A Y A ≠，不合要求；要使()()X A Y A =，即存在i j ≠且,{1,...,2}i j m ∈使i j a a =，即11i j q q --=，又0q ≠，则1q =±，当1q =-，则()1,()1X A Y A =-=，不合要求；当1q =，则()()1X A Y A ==，满足题设；综上，1q =.【小问3详解】由题设数列A 单调递增且121211......21m a a a a a m <=+<<=+-，由（2）知：()()X B Y B ≠，根据题设定义，存在i j ≠且,{1,...,2}i j m ∈，(),()i j X B a Y B a ==，则()()i j X B Y B a a i j -=-=-，由()X B 比数列A 中1m -个项大，()m X B a ≥，同理1()m Y B a +≤，所以1()()1m m X B Y B a a +-≥-=-；又()X B 至少比数列A 中一项小，21()m X B a -≤，同理2()Y B a ≥，所以212()()23m X B Y B a a m --≤-=-；综上，()(){1,1,2,...,23}X B Y B m -∈--.令数列122:,,...,m B x x x ，下证1,1,2,...,23m --各值均可取到，ⅰ、当212,,1,2,...,i i i m i x a x a i m -+===，而数列A 递增，212min{,}min{,}i i i i m i i b x x a a a -+===，212max{,}max{,}i i i i m i m i c x x a a a -++===且1,...,i m =，此时，11()max{,...,}max{,...,}m m m X B b b a a a ===，1121()min{,...,}min{,...,}m m m m Y B c c a a a ++===，则()()1X B Y B -=-；ⅱ、当1,2,...,1k m =-时，2122122,,,k k k m m m k m m x a x a x a x a --+====，则2,,,k k k m m m k m m b a c a b a c a +====，当1,...,i m =且,i k m ≠时，令212,i i i m i x a x a -+==，则11,i i m i m i m b a a c a a -++=≤=≥，所以111()max{,...,}max{,...,,}m m m k m k X B b b a a a a -++===，11112()min{,...,}min{,...,,,,...,}m m m k m m k m m Y B c c a a a a a a ++-++===，此时()(){1,2,...,1}m k m X B Y B a a k m +-=-=∈-；ⅲ、给定{1,2,...,2}t m ∈-，令2121,i i i i x a x a -+==(1,...,i t =)且212122,i i i i x a x a --==(1,...,i t m =+)，则212min{,}i i i i b x x a -==(1,...,i t =)，21221min{,}i i i i b x x a --==(1,...,i t m =+)，又数列A 递增，121()max{,...,}m m X A b b a -==，212max{,}i i i t i c x x a -+==(1,...,i t =)，2122max{,}i i i i c x x a -==(1,...,i t m =+)，所以11()min{,...,}m t Y A c c a +==，此时211()()22m t X B Y B a a m t -+-=-=--且{1,2,...,2}t m ∈-，故()()X B Y B -∈{,1,...,23}m m m +-，综上，()(){1,1,2,...,23}X B Y B k m -=∈--.【点睛】关键点点睛：第三问，首先根据数列的单调性和定义求()()X B Y B -的取值范围，再由定义结合分类讨论求证范围内所有可能值都可取到.。

2014高三数学复习第二次检测(教师版。含答案)

走向高考（二）一、选择题：（每小题5分，共60分） 1.若点（a ,9）在函数3x y =的图象上，则tan6a π的值为：( ) (A)0 (B)33(C)1 (D)3 解析：考察指数方程，三角函数的值。

选D 。

容易题；2.命题“任意x ∈[1,2]，x 2－m ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )(A)．m ≥4 (B)．m ≤4 (C)．m ≥5 (D)．m ≤5解析：考察充要条件，恒成立问题；找出[)+∞,4的一个真子集，选C 。

错误表现：错误认为是充要条件选A 。

3.不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为（）Ａ.2- B. 1- C. 0 D.1解析：考察不等式组表示的平面区域，选D 。

错误表现：若只是考虑区域形状会误选C 。

4.设n S 是公差为d （d≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是（） A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项； B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0；C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S ；D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列；解析：考察等差数列基本性质；选C 。

容易题；5. 已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是（）A ．1(0,]4B ．1[,)4+∞C ．1(0,]8D ．1[,)8+∞解析：考察等价转化思想，恒成立问题参数；选D 。

错误表现：转化不当会误选B 。

解：方法一：转化为不等式()c x x +≤2即81422+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≥x c 对(0,)x ∈+∞恒成立；方法二：转化为不等式()22c x x +≤即()0214222≥+-+c x c x 对(0,)x ∈+∞恒成立；所以设222)14(2)(c x c x x g +-+= 因为02)0(2>=c g 所以0441≤-c或81016)14(22≥∴≤--=∆c c c6.已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是（）A ．（0,1）B ．（1,2）C ．（2,3）D ．（3,4）解析：考察函数的零点；选B 。

高三数学理科培优班第二次练习题新课标人教版

高三数学理科培优班第二次练习题新课标人教版2007年2月1日一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. ） 1．若集合M x x x =<<{|||}1，N x x x =≤{|||}2，则M N ＝ A. {|}x x -<<11B. {|}x x 01<<C. {|}x x -<<10D.{|}x x 01≤<2．等差数列{}a n ，公差为d d ()≠0，且a a a 471039++=，若a k =13，则k ＝ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3．当z i =-12时，z z 100501++的值等于 A. 1B. －1C. iD. －i4．设a ≠0为常数，已知()x a +9和()ax +18这两个展开式中x 4的系数相等，则a 的值为 A.59B.58C.49D.125．已知图甲中的图像对应的函数()y f x =，则图乙中的图像对应的函数在下列给出的四式中只可能是甲乙A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =-6．已知定义域为R 的函数满足()()().(,)f a b f a f b a b R +=∈，且()0f x >，若1(1)2f =，则(2)f -等于 A.2 B.4 C.12 D.147．连续函数(2)()(2)axx f x xax b x 在R 上为单调函数，则b 的取值范围是 A.(,2) B.(,4) C.[4,2) D.[4,) 8．函数f x x x ()()=--111的最大值是A.45B.54C.34D.439．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，则C 1O 与A 1D 所成的角为 A. 60°B. 90°C. arccos33D. arccos3610．设椭圆x a y b 22221+=、双曲线x a y b22221-=、抛物线y a b x 22=+()（其中a b >>0）的离心率分别为e e e 123、、，则下列结论正确的是①e e e 123<②e e 12222+=③e e e 123> ④e e e 123=⑤e e 122+< A. ①②⑤B. ①②C. ②④D. ③⑤11．点O 是△ABC 所在平面内一点，满足()()OA OB BA OB OC CB →+→→=→+→→··＝()OC OA AC →+→→·，则点O 是△ABC 的A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心12．函数y f x =()的图象关于直线x =1对称，则导函数y f x ='()的图象 A. 关于直线x =1对称 B. 关于直线x =-1对称 C. 关于点（1，0）对称 D. 关于点（－1，0）对称二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

高中数学培优班专题资料（包含答案）

空间几何体的表面积和体积培优班专题资料考点一几何体的表面积(1)一个正方体的棱长为m ，表面积为n ，一个球的半径为p ，表面积为q .若m p ＝2，则n q＝( ) A.8πB.6πC.π6D.π8解析由题意可以得到n ＝6m 2，q ＝4πp 2，所以n q ＝6m 24πp 2＝32π×4＝6πB. 答案 B(2)某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．58C ．60D ．63解析由三视图可知，该几何体是一个棱长为3的正方体截去一个长、宽、高分别为1，1，3的长方体，所以该几何体的表面积S 表＝6×32＋2×1×3＝60. 答案 C(3)(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4解析由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4. 答案 D(4)(2015·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2解析由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B. 答案 B(5)(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析如图，要使三棱锥O －ABC 即C －OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O －ABC 最大＝V C －OAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π，选C. 答案 C(6)(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．72解析该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积S ＝12×3×4＋12×3×5＋2＋52×5＋2＋52×4＋3×5＝60.选B.答案 B(7)(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2解析由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图)，其表面积为S ＝3×5＋2×12×4×3＋4×3＋3×3＋2×4×3＋2×4×6＋3×6＝138(cm 2)．答案 D(8)(2014·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4B ．16πC ．9πD.27π4解析设球的半径为R ，由题意可得(4－R )2＋(2)2＝R 2，解得R ＝94，所以该球的表面积为4πR 2＝81π4.故选A.(9)(2014·安徽，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋3C ．21D ．18解析根据题意作出直观图如图，该多面体是由正方体切去两个角而得到的，根据三视图可知其表面积为6(22－12×1×1)＋2×34×(2)2＝6×72＋3＝21＋ 3.故选A.答案 A(10)(2012·安徽，12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．解析由三视图可知，该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，故该几何体的表面积为S＝2×12×(2＋5)×4＋[2＋5＋4＋42＋（5－2）2]×4＝92.答案 92考点二几何体的体积(1)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2 B.92 C.32D ．3解析根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V ＝13×1＋22×2x ＝3⇒x ＝3. 故选D. 答案 D(2)(2015·山东，7)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π解析如图，由题意，得BC ＝2，AD ＝AB ＝1.绕AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积V ＝π×12×2－13π×12×1＝53π.答案 C(3)(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π解析这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13⎝⎛⎭⎫12×1×2×1＝π＋13，选A.答案 A (4)(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15解析如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A －A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为111111A A B D B C D ABCDV V --＝1111111111A AB D A BCD ABCD A A B D V V V ----＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15，选D.答案 D(5)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析由三视图可知，该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，则根据体积公式可得几何体的体积为30π，故选C.答案 C(6)(2014·陕西，5)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.32π3B ．4πC ．2πD.4π3解析如图为正四棱柱AC 1.根据题意得AC ＝2，∴对角面ACC 1A 1为正方形，∴外接球直径2R ＝A 1C ＝2，∴R ＝1，∴V 球＝4π3，故选D.答案 D(7)(2014·湖北，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227B.258C.15750D.355113解析圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13π⎝⎛⎭⎫L 2π2h ＝L 2h 12π，由题意得12π≈752，π近似取为258，故选B.答案 B(8)(2014·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13解析由三视图知该零件是两个圆柱的组合体．一个圆柱的底面半径为2 cm ，高为4 cm ；另一个圆柱的底面半径为3 cm ，高为2 cm.则零件的体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝34π(cm 3)．而毛坯的体积V ＝π×32×6＝54π(cm 3)，因此切削掉部分的体积V 2＝V －V 1＝54π－34π＝20π(cm 3)，所以V 2V ＝20π54π＝1027.故选C.答案 C (9)(2012·新课标全国，11)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， △ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A.26B.36C.23D.22解析如图，H 为△ABC 的外接圆圆心，则∠BHC ＝120°，设△ABC 的外接圆半径为r ，则1＝BC 2＝HC 2＋HB 2－2HC ·HB ·cos 120°＝3r 2， ∴r ＝33. 连接OH ，根据球的截面性质知，OH ⊥平面ABC ，∴OH ＝OC 2－CH 2＝1－13＝63∵O 为SC 的中点，∴S 到平面ABC 的距离为2OH ＝263，∴V S ABC ＝13S △ABC ×263＝13×34×263＝26.答案 A(10)(2015·江苏，9)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.答案7(11)(2014·江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析设圆柱甲的底面半径为r 1，高为h 1，圆柱乙的底面半径为r 2，高为h 2.由题意得S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32. 又∵S 甲侧＝S 乙侧，即2πr 1h 1＝2πr 2h 2，∴h 1h 2＝r 2r 1＝23，故V 1V 2＝S 1h 1S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝94×23＝32答案 32(12)(2013·江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.解析由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A 1到面ABC 的距离之比为1∶2，S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4. 因此V 1∶V 2＝13AF ·S △AED 2AF ·S △ABC＝1∶24.答案 1∶24。

2024年高考数学复习培优讲义专题2-指对同构(朗博同构)(含解析)

题1-2 指对同构（朗博同构）【常见同构形式】（1）乘积模型：ln ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln(ln )()ln a b x aa a aeb e f x xe ae b b e e b b f x x x a a b b f x x x ⎧<⋅⇒=⎪<⇒<⇒=⎨⎪+<+⇒=+⎩（2）商式模型：ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln ln(ln )()ln a aa ab x e b xf x e b x e b e e e f x a b a b x a a b b f x x x ⎧<⇒=⎪⎪⎪<⇒<⇒=⎨⎪−<−⇒=−⎪⎪⎩（3）和差模型：ln ln ln ()ln ln ln ln ()ln a a aaa b xe e b bf x x xe a b b e e e bf x e x ⎧±<±⇒=±±<±⇒⎨±<±⇒=±⎩【六大超越函数图像】（6）2020新高考1卷21（2）1．已知函数1()ln x f x ae x lna −=−+，若f （x ）≥1，求a 的取值范围．2022新高考1卷第22题2．已知函数()x f x e x =−和()ln g x x x =−，证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2022全国甲卷（理）21题3．已知函数()ln xf x x a xx e −=+−．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．2023新高考1卷T19（2）同构+切线放缩或2次求导4．已知函数()()x f x a e a x =+−，证明：当a ＞0时，3()2ln 2f x a >+.2022全国乙卷（理）16题5．已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =−（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a的取值范围是．题型一一元同构2023深圳高二下期末·21（2）1．已知2()()x f x axe a R =∈，若关于x 的()2ln 0f x x x −−≥恒成立，求实数a 的取值范围.重点题型·归类精讲2．若关于x 的不等式ln ln 0e xx a a xx+−>对()0,1x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,e ⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦B ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦宁波九校高三上期末·22（2） 3．已知函数1()ln 2f x x x x x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，e 是自然对数的底数．若不等式2()(1)4axf x a e x ≤+−对0x ∀＞恒成立，求实数a 的取值范围．江苏盐城2023届高三5月三模·22 4．已知函数()(ln ).x a f x e e a x =−+ (1)当a ＝1时，求()f x 的单调递增区间； (2)()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．湖南九校联盟第二次联考·16 5．已知不等式))(1ln (0xa x e a a e −⎡⎤≥>⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数a 的最大值为_______湖南省2023届高三下3月考试·16 6．已知e 是自然对数的底数．若()0x ∀∈+∞，，e ln mx m x ≥成立，则实数m 的最小值是．7．若不等式0x ae lnx lna −+恒成立，则a 的取值范围是( )A ．1[,)e +∞B ．2[,)e +∞C ．[,)2e+∞D ．[e ，)+∞湖北鄂东南联考 ·88．已知函数()ln x f x x x xe k −=−−−恒有零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(],1−∞−B ．1,1e⎛⎤−∞−− ⎥⎝⎦C ．11,1e⎡⎤−−−⎢⎥⎣⎦D ．11,0e⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭福建龙岩九校联考·16 9．已知函数mx x m x f −+=)1ln()(，若不等式x e x x f −+>1)(在()+∞,0上恒成立，则实数m 的取值范围是____________ .湖南常德3月模拟10．已知不等式ln()x x a e a +≤−对[1,)x ∀∈+∞恒成立，则a 的取值范围为．浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023高三下学期4月教学质量检测·8 11．对任意的实数0x >，不等式22ln ln 0x ae x a −+≥恒成立,则实数a 的最小值为( )e2eC.2eD.12e2022湖北四地七校高二下期中·712．已知实数a ＞0，不等式()0x e aln ax -＞恒成立，则a 的取值范围是（） A ．1<<a e eB ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜eD ．a ＞e湖南郴州高二下期末·16 13．函数．若对任意，都有，则实数m 的取值范围为_________．2023湖南邵阳二模·8 14．若不等式()1e 1ln 10txt x x ⎛⎫−−−≥ ⎪⎝⎭对任意[)2e 1,x ∞∈++恒成立，则正实数t 的取值范围是（）A. ln2,2e 1∞⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭B. ln21,2e 1∞+⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭C. ln210,2e 1+⎛⎫ ⎪+⎝⎭ D. ln2ln21,2e 12e 1+⎡⎤⎢⎥++⎣⎦15．已知函数ln 0x f xe a ax a a a ，若关于x 的不等式0f x恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．],0(eB ．],0(2eC ．],1[2eD ．),1(2e()()()e1ln R mxf x m x x m =+−−∈0x >()0f x ≥16．关于x 的不等式ln 1axx e xe a x x−≤−−恒成立，则a 的取值范围为．2022衡阳市八中高二期末·16 17．已知函数1()(0)a x f x x alnx x a e=++−<，若()0f x 在[2x ∈，)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为． 2023届郴州三模·1618．设实数0m >，若对任意的21x e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，，不等式ln 1mx mx x e e m m mx−≥−恒成立，则实数m 的取值范围为．湖北省部分学校高三下5月适应性考试·14 19．对于任意实数0x >，不等式22e ln ln 0x a x a −+≥恒成立，则a 取值范围是__________.2023·广东惠州·一模T22(2)20．已知函数()2ln f x x a x =−，若函数()(2)e x f x a x x ≥+−恒成立，求实数a 的取值范围．2023·广东深圳·南山区高三上期末联考·22 21．已知定义在()0,∞+上的函数()e ax f x x =. (1)若R a ∈，讨论()f x 的单调性；(2)若0a >，且当()0,x ∈+∞时，不等式2e ln aax xx ax ⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.2023·广东汕头·一模T2222．已知函数()e ln(2)ln 2x f x a x a =−++−．(1)若函数()f x 在2023x =处取得极值，求a 的值及函数的单调区间； (2)若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．的题型二二元同构2022届山东聊城一模·823．已知正数x ，y 满足ylnx +ylny ＝e x ，则xy ﹣2x 的最小值为（） A ．1122n B ．222ln ﹣ C ．1122n −D ．222ln +24．实数x ，y 满足ln ln xe y x y y =+，则2ln xe y x−的最小值为________2022届T8第一次联考·825．设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若1a ae b blnb ++<，则( ) A ．ab e >B ．1a b e +>C ．ab e <D ．1a b e +<2023茂名市高三一模·1226．(多选)e 是自然对数的底数，,m n ∈R ，已知e ln ln m m n n n m +>+，则下列结论一定正确的是（） A ．若0m >，则0m n −> B ．若0m >，则e 0m n −> C ．若0m <，则ln 0m n +< D ．若0m <，则e 2m n +>河北省衡水中学2023届高三下学期第三次综合素养评价·16 27．若正实数a ，b 满足()1ln ln e a a b a a b −−+≥，则1ab的最小值为．28．设11110e ,11ln1.111a b ==，则（）A ．1ab a <<B ．1ab b <<C ．1a ab <<D ．1b ab <<题型三局部同构华大新高考五月押题卷·1229．(多选)已知0λ＞，若关于x 的方程()1ln 0x e x x xλλλ−−+＝存在正零点，则实数λ的值可能为A ．1eB ．12C ．eD ．230．已知函数1ln )(−−=x ae x f x ，若0)(≥x f 恒成立，则实数a 的取值范围是．2023·广东·海珠区高三2月联考·22 31．已知函数()()1e 02x f x ax a =−≠． (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)已知函数()()ln xg x f x x=−有两个零点，求实数a 的取值范围．2023·广东3月·中学生标准学术能力诊断测试联考模拟预测T22（2）部分同构+放缩 32．设()()e xxf x x =∈R ，若(e )()(ln 1)x f x k x ⋅≤⋅+在()1,x ∈+∞上恒成立，求k 的取值范围.2023·广东·深圳中学5月适应性测试T22（1）部分同构33．已知函数()e ln xf x ax a x x =−−，若不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围.题型四同构+切线放缩2023佛山一模T1134．(多选)若正实数x ，y 满足()1e 1ln x x y y −=+，则下列不等式中可能成立的是（）A ．1x y <<B ．1y x <<C ．1x y <<D ．1y x <<巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（八）T8——局部构造+切线放缩35．已知函数22ln 1()e x x f x x a x+=−−，当()0,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(2,e 1⎤−∞−⎦B ．(],e −∞C ．(],2−∞D ．(],1−∞2023届湖南四大名校5月“一起考”T736．若当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，关于x 的不等式2e cos cos lncos 1x x x x x ax −++≥恒成立，则满足条件的a 的最小整数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 437．（2023·广东珠海·高三联考模拟考试）已知函数()()()()ln 2R ,e 1xf x x ax ag x x x a x =−−∈=−−+.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.38．（2023·广东·统考一模）已知函数()1e x f x x +=.(1)求()f x 的极值； (2)当0x >时，()()1ln 2f x a x x ≥+++，求实数a 的取值范围.补充练习杭州一模（高三上期末）T16——同构有一定难度，函数分析也比较麻烦1．已知不等式()ln ln 10,1()xa a a x a a >−>≠对)1,(x ∀∈+∞恒成立，a 的取值范围是________.2023湖北高三九师联盟1月·82．已知a ＞b ＞1，若1a a b e be ae a ++=+，则 A ．ln(a ＋b )＞1B ．ln(a －b )＜0C ．333a b −+<D ．133a b −<湖北名校联合体高三下学期开学考·163．已知关于x 的不等式()1ln 2x e a a ax a −+>−(0)a >恒成立，则实数a 的取值范围为________.4．对0x ∀>，恒有()112ln axa e x x x ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的最小值为________.专题1-2 指对同构（朗博同构）【常见同构形式】（1）乘积模型：ln ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln(ln )()ln a b x aa a aeb e f x xe ae b b e e b b f x x x a a b b f x x x ⎧<⋅⇒=⎪<⇒<⇒=⎨⎪+<+⇒=+⎩（2）商式模型：ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln ln(ln )()ln a aa ab x e b xf x e b x e b e e e f x a b a b x a a b b f x x x ⎧<⇒=⎪⎪⎪<⇒<⇒=⎨⎪−<−⇒=−⎪⎪⎩（3）和差模型：ln ln ln ()ln ln ln ln ()ln a a aaa b xe e b bf x x xe a b b e e e bf x e x⎧±<±⇒=±±<±⇒⎨±<±⇒=±⎩【六大超越函数图像】（6）2020新高考1卷21（2）1．已知函数1()ln x f x ae x lna −=−+，若f （x ）≥1，求a 的取值范围．【答案】[)1+∞，［方法一］：【最优解】：同构由()1f x ≥得1e ln ln 1x a x a −−+≥，即ln 1ln 1ln a x e a x x x +−++−≥+，而ln ln ln x x x e x +=+，所以ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+．令()m h m e m =+，则()10m h m e +'=>，所以()h m 在R 上单调递增．由ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+，可知(ln 1)(ln )h a x h x +−≥，所以ln 1ln a x x +−≥，所以max ln (ln 1)a x x ≥−+．令()ln 1F x x x =−+，则11()1xF x x x−'=−=．所以当(0,1)x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x '<单调递减．所以max [()](1)0F x F ==，则ln 0a ≥，即1a ≥．所以a 的取值范围为1a ≥．［方法二］:换元同构由题意知0,0a x >>，令1x ae t −=，所以ln 1ln a x t +−=，所以ln ln 1a t x =−+．于是1()ln ln ln ln 1x f x ae x a t x t x −=−+=−+−+．由于()1,ln ln 11ln ln f x t x t x t t x x ≥−+−+≥⇔+≥+，而ln y x x =+在,()0x ∈+∞时为增函数，故t x ≥，即1x ae x −≥，分离参数后有1x xa e −≥．令1()x x g x e −=，所以1112222(1)()x x x x x e xe e x g x e e −−−−−−−=='．当01x <<时，()0,()g x g x >'单调递增；当1x >时，()0,()g x g x <'单调递减．所以当1x =时，1()x x g x e−=取得最大值为(1)1g =．所以1a ≥．［方法三］：通性通法1()ln ln x f x ae x a −=−+,11()x f x ae x−'∴=−，且0a >.设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x −'=+> ∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e −<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a−''∴=−−<,∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x ae x −'=−=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，0101x ae x −∴=，00ln 1ln a x x ∴+−=−，因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a −==−+000011ln 1ln 2ln 122ln 1a x a a x a x x =++−+≥−+⋅=+>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞). ［方法四］：因为定义域为(0,)+∞，且()1f x ≥，所以(1)1f ≥，即ln 1a a +≥．令()ln S a a a =+，则1()10S a a='+>，所以()S a 在区间(0,)+∞内单调递增．因为(1)1S =，所以1a ≥时，有()(1)S a S ≥，即ln 1a a +≥．下面证明当1a ≥时，()1f x ≥恒成立．令1()ln ln x T a ae x a −=−+，只需证当1a ≥时，()1T a ≥恒成立．因为11()0x T a ea−=+>'，所以()T a 在区间[1,)+∞内单调递增，则1min [()](1)ln x T a T e x −==−．因此要证明1a ≥时，()1T a ≥恒成立，只需证明1min [()]ln 1x T a e x −=−≥即可．由1,ln 1x e x x x ≥+≤−，得1,ln 1x e x x x −≥−≥−．上面两个不等式两边相加可得1ln 1x e x −−≥，故1a ≥时，()1f x ≥恒成立．当01a <<时，因为(1)ln 1f a a =+<，显然不满足()1f x ≥恒成立．所以a 的取值范围为1a ≥．【整体点评】（2）方法一：利用同构思想将原不等式化成ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+，再根据函数()m h m e m =+的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法二：通过先换元，令1x ae t −=，再同构，可将原不等式化成ln ln t t x x +≥+，再根据函数ln y x x =+的单调性以及分离参数法求出；方法三：利用导数判断函数()f x 的单调性，求出其最小值，由min 0f ≥即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法四：由特殊到一般，利用(1)1f ≥可得a 的取值范围，再进行充分性证明即可2022新高考1卷第22题2．已知函数()x f x e x =−和()ln g x x x =−，证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【解答】易得()f x 在()0,+∞↑，(),0−∞↓；()g x 在()0,1↓，()1,+∞↑只有y b =过()f x 与()g x 交点时，恰有3个不同交点则有1223()()()()f x f x g x g x b ====，即12122233ln ln x xe x e x x x x x b −=−=−=−= ①∵111122ln ln xxxe x e e x x −==−− ，且1211,xe x <<，∴1212ln xe x x x =⇒= ② 又∵32ln 3332ln ln x x x x ex e x −=−=− ，且3200ln ,x x >>，∴2323ln x x x x e =⇒= ③由①②③可得：()()2132222ln 2xx x e x b x x b x +=+=++−=，证毕2022全国甲卷（理）21题3．已知函数()ln xf x x a x x e −=+−．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．【详解】（1）[方法一]：同构处理由()0f x ≥得：ln ln 0x x e x x a −++−−≥令ln ,1t x x t −=≥，则()0tf t e t a =+−≥即t a e t ≤+ 令()[),1,tg t e t t =+∈+∞，则()'10tg t e =+>故()tg t e t =+在区间[)1,+∞上是增函数故()()min 11g t g e ==+，即1a e ≤+ 所以a 的取值范围为(,1]e −∞+ [方法二]：常规求导()f x 的定义域为(0,)+∞，则2111()1x f x e x x x ⎛⎫'=−−+ ⎪⎝⎭1111111x x x e e x x x x x ⎛⎫−⎛⎫⎛⎫=−+−=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x '=,得1x =当(0,1),()0,()x f x f x '∈<单调递减当(1,),()0,()x f x f x >'∈+∞单调递增()(1)1f x f e a ≥=+−，若()0f x ≥,则10e a +−≥,即1a e ≤+ 所以a 的取值范围为(,1]e −∞+ （2）法一：极值点偏移+同构简化计算由题知,()f x 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设121x x ，要证121x x <,即证121x x <因为121,(0,1)x x ∈,即证()121f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又因为()()12f x f x =,故只需证()221f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证11ln ln 0,(1,)x x e x x xe x x x x −+−−−>∈+∞同构，原不等式变形为：()1ln ln 1ln ln x x xxex x ex x+−++−>+ 令()xg x e x =+，则有1(ln )ln g x x g x x ⎛⎫−>+⎪⎝⎭即证：)1ln ln ,(1,x x x x x−>∈+∞+ 即证1()2ln 0(1,,)h x x x xx =+∈<+∞− ()()222121'()10,1x h x x x x x−−=−−=<>，即()h x 递减，故()(1)0h x h <=，证毕. [方法二]：对数平均不等式由题意得：()ln x xe ef x a x x=+−令1xe t x=>，则()ln f t t t a =+−，()1'10f t t =+>所以()ln g t t t a =+−在()1,+∞上单调递增，故()0g t =只有1个解又因为()ln x xe ef x a x x =+−有两个零点12,x x ，故1212x x e e t x x == 两边取对数得：1122ln ln x x x x −=−，即12121ln ln x x x x −=−()121212*ln ln x x x x x x −<−121x x <，即121x x <()121212*ln ln x x x x x x −<−121211212121222112ln ln ln ln ln x x xx xx x x x x x x x x x x −<⇔−⇔<−不妨设121x t x =>，则只需证12ln t t t <−构造()12ln ,1h t t t t t =−+>，则()22211'110h t t t t ⎛⎫=−−=−−< ⎪⎝⎭故()12ln h t t t t=−+在()1,+∞上单调递减故()()10h t h <=，即12ln t t t<−得证2023新高考1卷T19（2）同构+切线放缩或2次求导4．已知函数()()x f x a e a x =+−，证明：当a ＞0时，3()2ln 2f x a >+. 解：即证：当a ＞0时，232ln 2xae a x a +−>+第一步，指数化，同构变形：()ln 2ln 2332ln ln ln 22a xa x ea x a e a x a a +++−>+⇒−+>−+ 第二步，换元：令ln t a x =+，t ∈R ，有23ln 2te t a a −>−+ 第三步，放缩：1t e t −≥（证明略），即证231ln 2a a >−+第四步，构造函数：令23()ln 2g a a a =−+，1'()2g a a a =−，故()g a 在202⎛⎫↑ ⎪ ⎪⎝⎭，，2,2⎫+∞↓⎪⎢⎪⎣⎭22132()ln ln 1122222g a g ⎛≤=−+=+< ⎝⎭2022全国乙卷（理）16题5．已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =−（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a的取值范围是．【答案】1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】[方法一]：转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为()2ln 2e xf x a a x '=⋅−，所以方程2ln 2e 0x a a x ⋅−=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =−的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x −∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当时()1,x −∞()2,x +∞，()0f x '<，即e y x =图象在ln x y a a =⋅上方当()12,x x x ∈时，0fx，即e y x =图象在ln x y a a =⋅下方1a >，图象显然不符合题意，所以01a <<．令()ln x g x a a =⋅，则()2ln ,01xg x a a a '=⋅<<，设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln x x a a⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x −⋅=⋅−，则有0020ln ln x x a a x a a −⋅=−⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e e a <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的取值范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 ()2ln 2e x f x a a x '=⋅−=0的两个根为12,x x因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =−的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x −∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，设函数()()()g 2ln xx f x a a ex '==−，则()()2g 2ln 2x x a a e '=−，若1a >，则()g x '在R 上单调递增，此时若()0g 0x '=，则()f x '在()0-,x ∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =−>且1)a ≠的极小值点和极大值点，则12x x >，不符合题意；若01a <<，则()g x '在R 上单调递减，此时若()0g 0x '=，则()f x '在()0,x −∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，令()0g 0x '=，则02(ln )xea a =，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =−>且1)a ≠的极小值点和极大值点，且12x x <，则需满足()00f x '>，()()00002ln 20ln xe f x a a ex ex a ⎛⎫'=−=−> ⎪⎝⎭，即001ln 1ln x x a a <>，故()002ln ln ln 1ln x e a x a a ==>，所以11ea <<. [方法三]：同构+放缩（简证） ① 先得出01a << ② ()ln ln 2ln ln ln ln x a xx ae ea a ex ea ex x a a ⋅=⇒⋅=⇒=（ln 0x a >）③ 放缩：xxe e ex e x≥⇒≥()()221ln 11ln 01ln ee a a a ea >⇒<⇒−<<⇒<<题型一一元同构2023深圳高二下期末·21（2）1．已知2()()x f x axe a R =∈，若关于x 的()2ln 0f x x x −−≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】1a e≥【简证】()2ln 0f x x x −−≥恒成立等价于()22ln 0xaxe x x −−≥恒成立，即()()ln 2ln 22ln 2ln 0x xx x aee x x ae x x +−+=−+≥，则有ln 22ln x xx xa e++≥令2ln t x x =+，t ∈R ，则有max1t t a e e ⎛⎫≥=⎪⎝⎭（构造函数求导得出最值，过程略）总结：同构+分参2．若关于x 的不等式ln ln 0e xx a a xx+−>对()0,1x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,e ⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦B ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】由题意可知0a >，且ln e ln e xx a xa x >对()0,1x ∀∈恒成立，设()ln x g x x =，则问题转化为()()e xg a g x >在()0,1上恒成立，利用导数说明函数的单调性，再分e 1x a ≥和0e 1x a <<两种情况讨论，结合函数的取值情况及单调性，分别计算可得.重点题型·归类精讲【详解】由题意可知0a >，ln e ln ln e x x a a x x +>，即ln e ln e x x a xa x >对()0,1x ∀∈恒成立．设()ln x g x x =，则问题转化为()()e xg a g x >在()0,1上恒成立，因为()21ln xg x x−'=，所以当0e x <<时，()0g x '>，当e x >时，()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，又()10g =，所以当()0,1x ∈时，()0g x <；当()1,x ∈+∞时，()0g x >． ①在()0,1x ∈上，若e 1x a ≥恒成立，即1a ≥，()()e0xg a g x ≥>；②在()0,1x ∈上，若0e 1x a <<，则e x a x >恒成立，即1e xxa <<恒成立，令()e x x h x =，()0,1x ∈，则()10ex xh x −'=>，所以()h x 在()0,1上单调递增，所以()()11e h x h <=，所以11e a <≤，综上所述，实数a 的取值范围为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭．故选：B ．宁波九校高三上期末·22（2） 3．已知函数1()ln 2f x x x x x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，e 是自然对数的底数．若不等式2()(1)4axf x a e x ≤+−对0x ∀＞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】实数a 的取值范围为2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．12()(1)42ln 4(1)4ax ax f x a e x x x x a e x x ⎛⎫≤+−⇒+−≤+− ⎪⎝⎭，整理，同乘x 得：()2212ln (1)1ln (1)ax axx x a e x x ax e x ⎛⎫+≤+⇒+≤+ ⎪⎝⎭，比较一下2种构造方式，方式1：令()x g x xe x =+，()'()11xg x x e =++，易错：由洛必达可知（选填时用）——这里用不了错了！()111lim 1lim 0x x x x x x x e e e −−→−∞→−∞+−∞+=====−+∞−−∞，故()'()110()xg x x e g x =++>⇒↑()11'()111x xx xx x e g x x e e e−−−+++=++=+=，令()1xh x e x =−+，易知()h x ≥2恒成立，故()11()0'()0()xx x e e x h x g x g x −−++=−−++=−>⇒>⇒↑由()2222ln 21ln (1)ln ln axx ax x x ax e x ex axe ax +≤+⇒+≤+，则有2(ln )()g x g ax ≤，由单调性可知22min ln 2ln x x ax a x e⎛⎫≤⇒≥= ⎪⎝⎭参考ln xy x=图像可以快速得出答案，解答题还是要写一下求导过程. 方式2：()ln g x x x x =+总结：（1）求导通分看极值点即可，注意2个增区间之间用“，”而不是“∪”（2）先同构再判断单调性. 江苏盐城2023届高三5月三模·22 4．已知函数()(ln ).x a f x e e a x =−+ (1)当a ＝1时，求()f x 的单调递增区间； (2)()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）()1,+∞（2）(,1]−∞（1）解：当时，，，又，单调递增， ··············································· 2分又，当时，当时，∴的单调递增区间为()1,+∞. ·························································· 4分 1a =()()1ln x f x e e x =−+()xe f x e x'=−()20xef x e x ''=+>()f x '∴()10f '=∴()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞()0f x '>()f x(2)若恒成立，即恒成立.方法1：,,令，则，在上单调递增，又，当时，故存在唯一正实数使得， ····················································· 6分当时，，单调递减，当时，，单调递增，，由恒成立，得，由得，， ······ 8分 ∴，∴，∴，设，则恒成立，故在上递增，而，∴，又且函数在上是增函数，故的取值范围为. ···································································· 12分法2：同法一得，由得，∴ ，，故的取值范围为. ················· 12分方法3：令，则，，则，令，则， ················································ 8分 ∵，∴在上单调递增，当时，显然成立；当时，恒成立，即恒成立，可证（过程略），，，即，，综上，的取值范围为(,1]−∞. ······························································ 12分 ()0f x ≥()ln 0x ae e a x −+≥()ln x a af x e e x e a =−−()a x a x e xe e f x e x x−'=−=()x ag x xe e =−()0x x g x e xe '=+>()x ag x xe e ∴=−()0,+∞()00ag e =−<x →+∞()g x →+∞0x 00x a x e e =0x x <()0f x '<()f x 0x x >()0f x '>()f x ()()000min ln x a a f x f x e e x e a ∴==−−()0f x ≥()min 0f x ≥00x a x e e =00ln x x a +=()()00000min (2ln )0x xf x f x e x e x x ∴==−+≥0001(2ln )0x x x −+≥000(2ln )10x x x +−≤00012ln 0x x x +−≤1()2ln h x x x x=+−221()10h x x x '=++>()h x (0,)+∞(1)0h =001x <≤00ln x x a +=ln y x x =+(0,1]a (,1]−∞()()000min ln x a af x f x e e x e a ==−−00x a x e e =00ln x x a +=()000min00011ln ln aa a a a a a e f x e x e a e x e a e x a e a x x x ⎛⎫⎛⎫=−−=−−=+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()20a a e a e a ≥−−≥()220a e a ∴−≥a (,1]−∞a e t =ln a t =()()ln ln ln x e t t x t tx ≥+=()()()ln ln ln tx xxe tx tx tx e ≥=()(0)xg x xe x =>()()ln()g x g tx ≥()()10x g x x e '=+>()(0)xg x xe x =>()0,+∞()ln 0tx ≤()()ln()g x g tx ≥()ln 0tx >()ln ln ln x tx t x ≥=+ln ln t x x ≤−ln 1x x −≥∴ln 1t ≤∴t e ≤a e e ≤∴1a ≤a方法4：∵恒成立，∴，即，同法3考查函数可得， ··········································· 7分反之，当时，，又可证（过程略），∴，∴恒成立，故的取值范围为. ···································································· 12分补充：同构和型+放缩ln (ln )0(ln )ln ln ln x a x a x a x a x e x x e a x e e a x e a x e x x a e −−−+≥⇒≥+⇒−≥+⇒+≥+=+令()x g x e x =+↑，则有()min ()(ln )ln ln 1g x a g x x a x a x x −≥⇒−≥⇒≤−=总结：（1）两次求导+取点（2）法一和法二是整体求导再用隐零点处理，法三和法四是同构处理相对简单湖南九校联盟第二次联考·16 5．已知不等式))(1ln (0xa x e a a e −⎡⎤≥>⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数a 的最大值为_______ 【答案】2e[]ln ln (1)lnln (1)1ln ln(1)1ln ln(1)1x x x a x a a x e a e a a x e a x x x e a x e−−−≥⇒≥−−−+⇒≥+−⇒−+−≥−令()x g x e x =+↑，则有()2(ln )ln(1)ln ln(1)ln(1)ln 2ln g x a g x x a x x x a a e a −≥−⇒−≥−⇒−−≥⇒≥⇒≥可放缩补充：构造函数求导令ln(1)()g x x x −−＝，12()111x g x x x '−=−=−− 故g (x )在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，因此min ()(2)2g x g ==. 因为不等式(1)ln(0)xa x e a a e−≥>恒成立，所以Ina ≤2，即2.a e ≤ 总结：指对分离，补全结构，最后的最值可以放缩得出. 补充：对右边的式子配凑也可以()0f x ≥(1)0f ≥a e e a ≥()(0)xg x xe x =>1a ≤1a ≤11x a a x −+≥+−ln 1,1x a x x e x a −≤−≥−+ln x a e a x −≥+()ln x ae e a x ≥+a (,1]−∞湖南省2023届高三下3月考试·166．已知e 是自然对数的底数．若()0x ∀∈+∞，，e ln mx m x ≥成立，则实数m 的最小值是．【答案】1e解析：由ln e ln e ln ln mx mx x m x mx x x e x ≥⇒≥=⋅．令()e x f x x =，则()f x 在()0+∞，上单调递增，且()()ln f mx f x ≥，所以ln mx x ≥，即ln xm x≥对()0x ∀∈+∞，恒成立．令()ln xg x x =，则()21ln x g x x−'=，所以当()0e x ∈，时，()0g x '>；当()e x ∈+∞，时，()0g x '<，故()g x 在[)1+∞，上的最大值是1e ，所以1e m ≥，即实数m 的最小值是1e ．故答案为：1e．总结：同乘补全结构即可，入门型7．若不等式0x ae lnx lna −+恒成立，则a 的取值范围是( )A ．1[,)e +∞B ．2[,)e +∞C ．[,)2e+∞D ．[e ，)+∞【答案】A 【法一】：同构ln ln ln ln ln 0ln ln ln ln ln x a x a x x ae x a e e a x e a x x x e x +⇒+−+≥⇒≥+≥=+++构造函数()x g x e x =+，故ln ln ln ln (ln )(ln )a x x e a x e x g a x g x ++≥++≥+⇒ 而'()10x g x e =+>，则ln ln a x x +≥，即()max ln ln a x x ≥−令ln y x x =−，则1x y x '−=，故max 1y =−，则1ln 1a a e≥−⇒≥. 对于ln ln a x x +≥还可以直接分类参数：max1ln ln ln ln ln ln x xx xx a x x a x e a ee e ⎛⎫⎛⎫+≥⇒≥−=⇒≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 总结：需要同加x 才能补全结构【法二】：整体求导、取点设()x f x ae lnx lna =−+，则0x >，0a >，1()x f x ae x∴'=−，易知()f x '在(0,)+∞上为增函数，存在0(0,)x ∈+∞，使得0001()0x f x ae x '=−=，即01x ae x =，两边取对数，可得00lna x lnx +=−，当00x x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当0x x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，000001()()2x min f x f x ae lnx lna x lna x ∴==−+=++，不等式0x ae lnx lna −+恒成立，∴00120x lna x ++恒成立， ∴12x lna x +−恒成立， 00001122x x x x +⋅=，当且仅当01x =时取等号， 22lna ∴−，即1ae ，故a 的取值范围是1[e，)+∞．湖北鄂东南联考 ·88．已知函数()ln x f x x x xe k −=−−−恒有零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(],1−∞−B ．1,1e⎛⎤−∞−− ⎥⎝⎦C ．11,1e⎡⎤−−−⎢⎥⎣⎦D ．11,0e⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭方法1：同构要使()ln x f x x x xe k −=−−−恒有零点，只需ln ln l =n x x x k x x xe x x e e −−=−−−− 设ln x x t −=，求导可知(],1t ∈−∞−而t k t e =−，求导可知函数t k t e =−在(],1−∞−上单调递增，故1,1k e ⎛⎤∈−∞−⎥⎝⎦方法2：分参求导ln xk x x xe −=−−，令()ln xg x x x xe −=−−，则()1'()1111x x x g x e x x x e x e −−⎪=⎛⎫+−=−−− ⎝⎭∵110xx e −> 故()ln x g x x x xe −=−−在(]0,1递增，()1,+∞递减，故max 1()(1)1g x g e==−−，故选B.注：由常见不等式1x e x ≥+得到，即1100xx e x x e−−>⇒>；或者令11()x x xe e h x e x x x −=−=，221'()x x x e h x e−=，因为0x >,故'()0h x > 方法3：直接求导（可以消掉k ）()()2111'()1xx x x x xxx x e x xe e x x f x x e e xe xe −−−−−=−+=++=，不难得出x x e −在()0,+∞上恒小于0，故()f x 在()0,1上单调递增，在[)1,+∞上递减，故max 1()(1)1f x f k e ==−−−，当0x →时，()f x →−∞，故()f x 的值域为1,1k e ⎛⎤−∞−−− ⎥⎝⎦，则11101k k e e−−−≥⇒≤−−. 福建龙岩九校联考·169．已知函数mx x m x f −+=)1ln()(，若不等式x e x x f −+>1)(在()+∞,0上恒成立，则实数m 的取值范围是____________ . 【答案】(],1−∞x e x x f −+>1)(在()+∞,0上恒成立等价于ln(1)1x m x mx x e +−>+−第一步，错位同构：()ln(1)1xm x x mx e +−+>−，第二步，构造对应函数：令()xg x mx e =−，则有[]ln(1)()g x g x +>第三步，分析单调性，定义域：易知0ln(1)x x <+<，故()g x 在()0,+∞上单调递减第四步，由单调性求出参数范围：()min'()001xx g x m e x m e=−≤>⇒≤=总结：错位同构，很少见，最后要注意取等.湖南常德3月模拟10．已知不等式ln()x x a e a +≤−对[1,)x ∀∈+∞恒成立，则a 的取值范围为．【答案】11a e −<≤−解析：易得：()ln()ln()x xx a e a x a x a x e +≤−⇒+++≤+，1a >−即：ln()ln()x a x x a e x e +++≤+，构造函数()xg x x e =+，∴()()()ln g x a g x +≤．易知()g x 在[1,)x ∈+∞为增函数；∴()ln x x a ≥+，令()()ln h x x x a =−+，()111x a h x x a x a+−'=−=++，当0a ≥时，()0h x '≥，()h x 在[1,)x ∈+∞为增函数，()()10h x h ≥≥，∴01a e ≤≤−；当10a −<<时，11a −>；[1,1)x a ∈−，()0h x '<；()1x a ∈−+∞，时，()0h x '≥； ∴()()min 110h x h a a =−=−≥，∴11a −<≤，综上：11a e −<≤−．总结：最后不等式要注意x 取值范围补充：对于()ln x x a ≥+，也可以分参()()()minln ln ln 1x x x x x a e x a e x a a e x e ≥+⇒≥+⇒≥+⇒≤−=−浙江省衢州、丽水、湖州三地市高三下学期4月教学质量检测·811．对任意的实数0x >，不等式22ln ln 0x ae x a −+≥恒成立,则实数a 的最小值为( )e2eC.2eD.12e【答案】D总结：指对分离，补全结构2022湖北四地七校高二下期中·712．已知实数a ＞0，不等式()0x e aln ax -＞恒成立，则a 的取值范围是（） A ．1<<a e eB ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜eD ．a ＞e【解答】解：令f （x ）＝e x ﹣aln （ax ），a ＞0，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝e x ﹣在x ∈（0，+∞）上单调递增，x →0时，f ′（x ）→﹣∞；x →+∞时，f ′（x ）→+∞． ∴存在唯一x 0＞0，使得﹣＝0，即＝，x 0＝lna ﹣lnx 0，∴x ＝x 0时，函数f （x ）取得极小值即最小值，f （x 0）＝+ax 0﹣2alna ＞0，∴2﹣2lna ＞0，解得0＜a ＜e ．总结：补全结构即可。

(优辅资源)山东省济南市高三第二次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

理科数学参考公式锥体的体积公式: 13V Sh =,其中S 为锥体的底面积, h 为锥体的高第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U R =,集合{}10A x x =-≤,集合{}260B x x x =--<则下图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}3x x < B ．{}31x x -<≤C ．{}2x x < D ．{}21x x -<≤2. 设复数z 满足()12z i -= (其中i 为虚数单位),则下列说法正确的是（）A ．2z =B ．复数z 的虚部是iC ．1z i =-+D ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限3. 已知角α的终边经过点(),2m m -,其中0m ≠,则sin cos αα+等于（）A ．55-B ．55±C ．35-D ．35±4. 已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点, P 为双曲线上一点,2PF 与x 轴垂直, 1230PF F ∠=o ,且虚轴长为22,则双曲线的标准方程为（）A ．22142x y -=B ．22132x y -= C. 22148x y -= D ．2212y x -= 5. 某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中,任意取出两球,若取出的两球颜色相同则中奖,否则不中奖.则中奖的概率为（）A ．15 B ．310 C. 25 D ．356. 中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为`（）A ．186B ．183 C. 182 D ．27227. 记不等式组1,50,210,x x y x x ⎧≥⎪=-≥⎨⎪-+≤⎩,的解集为D ,若(),x y D ∀∈,不等式2a x y ≤+恒成立,则a 的取值范围是（）A ．(],3-∞B ．[)3,+∞ C. (],6-∞ D ．(],8-∞8. 如图,半径为1的圆O 中, ,A B 为直径的两个端点,点P 在圆上运动,设BOP x ∠=,将动点P 到,A B 两点的距离之和表示为x 的函数()f x ,则()y f x =在[]0,2π上的图象大致为（）A ．B ．C. D ．9. 如下图所示的程序框图中, ()Mod ,m n 表示m 除以n 所得的余数,例如:()Mod 5,21=,则该程序框图的输出结果为（）A ．2B ．3 C. 4 D ．510. 设椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（）A ．32 B ．22 C. 12D ．33 11. 已知点,,,P A B C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面ABC ,30BAC ∠=o ,3AC AB =,则三棱锥P ABC -的体积的最大值为（）A ．818 B ．24332 C. 8132D ．8112. ,,满足,则实）A二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.,常数项为．(用数字作答)14. 2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是．15. ,满足16.大值为．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:17. .(1)证明: 12n n S S λ+=+；(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由.18. 在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形，60,BAD PA PD ∠==o.(1)证明: BC PB ⊥；(2)若,PA PD PB AB ⊥=,求二面角A PB C --的余弦值.19. 近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x 表示活动推出的天数, y 表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示:根据以上数据,绘制了散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内, y a bx =+与xc d ⋅(,c d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,建立y 关于x 的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下车队为缓解周边居民出行压力,以80万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠,有13的概率享受8折优惠,有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车,根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其它因素的条件下,按照上述收费标准,假设这批车需要()N n n n ∈年才能开始盈利,求n 的值.参考数据:其中其中7111,7i i iigyυυυ===∑参考公式:对于一组数据()()()22,,,,,,i i n nu u uυυυL,其回归直线$$µ+a uυβ=的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:µ1221,ni iiniiu nuu nuυυβ==-=-∑∑$µa uυβ=-.20. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线()2:20C x py p=>,斜率为()0k k≠的直线l经过C焦点,且与C交于,A B两点满足34OA OB⋅=-u u u r u u u r.(1)求抛物线C的方程；(2)已知线段AB的垂直平分线与抛物线C交于,M N两点, R为线段MN的中点,记点R.21.(1),(2)求证(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程,),以坐标原点为极点,,曲线C的极坐标方程为P1+sin26直线与曲线C交于A,B两点(1)求直线l(2).23.选修4-5：不等式选讲(1)(2)证明.2018 届高三教学质量调研考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题：1-5: BDBDC 6-10:CCABA 11、12：AD二、填空题14. 丙；三、解答题17. 【解析】（1（2相减得：()122n n a a n +=≥，{}n a ∴从第二项起成等比数列，212S S λ=+Q 即2112a a a λ+=+， 210a λ∴=+>得1λ>-，()21,12,n n a λ-⎧⎪∴=⎨+⎪⎩,1,,2n n =≥ 若使{}n a 是等比数列则2132a a a =，()()2211λλ∴+=+1λ∴=经检验得符合题意．18. 【解析】证明：（1）取AD 中点为E ，连结,,PE BE BDPA P =QPE A ⊥QQ 底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠=oABD ∴∆为等边三角形， BE A ∴⊥,PE BE Q I ,PE BE ⊂平面PBEAD P ∴⊥,AD BC BC PB ∴⊥Q ∥.（2）设2AB =2AD PB ==Q ，2BE = ,PA A E ⊥Q 为AD 中点1PE ∴=22PE BE P +=Q PE B ∴⊥.以E 为坐标原点，分别以,,EA EB EP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，相关各点的坐标为()()1,0,0,0,3,0A B ()(),0,0,1,2,3,0P C -19. 【解析】（1程类型；（2得（3所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：估计这批车大概需要7年才能开始盈利.20. 【解析】（1（2）由第（121. 【解析】（1）【解法一】（i（ii【解法二】不合题意,易知,,符合题意；,不合题意:综上(2)【解法一】,不合题意:,不合题意:,,,,符合题意；【解法二】,不合题意；,不合题意；22.[选修4-4:坐标系与参数方程]解(2)解法一,),代入曲解法二，23.[选修4-5:不等式选]解,,不成立；,综上所述,（2）解法一。

2019届高三数学二模试卷理科附答案

2019届高三数学二模试卷理科附答案理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019•乐山调研]若与互为共轭复数，则的值为（）A．B．C．D．2．[2019•济南外国语]已知集合，，则（）A．B．C．D．3．[2019•九江一模] 的部分图像大致为（）A．B．C．D．4．[2019•榆林一模]已知向量，满足，，，则（）A．2 B．C．D．5．[2019•湘潭一模]以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．[2019•武邑中学]在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则角（）A．B．C．或D．或7．[2019•新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（）上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（）A．；B．；C．；D．；8．[2019•优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A．B．C．D．9．[2019•成都一诊]在各棱长均相等的四面体中，已知是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．[2019•长沙一模]已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点．设，若，则的图象对称中心可以是（）A．B．C．D．11．[2019•湖北联考]已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．[2019•宜昌调研]已知椭圆：上存在、两点恰好关于直线：对称，且直线与直线的交点的横坐标为2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019•泉州质检]若函数的图象在点处的切线过点，则______．14．[2019•湖北联考]设，满足约束条件，则的最大值为____．15．[2019•镇江期末]若，，则_______．16．[2019•遵义联考]已知三棱锥中，面，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019•潍坊期末]已知数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．18．（12分）[2019•开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：分数人数25 50 100 50 25参加自主招生获得通过的概率（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据：参考公式：，其中．19．（12分）[2019•湖北联考]如图，在四棱锥中，，，，且，．（1）证明：平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．20．（12分）[2019•河北联考]在直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且．（1）求的方程；（2）试问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得的外心在上？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）[2019•泉州质检]已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019•九江一模]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（，），点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为．（1）求，的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，求面积的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019•湘潭一模]设函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围．2019届高三第二次模拟考试卷理科数学（二）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】∵，，又与互为共轭复数，∴，，则．故选A．2．【答案】C【解析】∵集合，，∴，，∴．故选C．3．【答案】B【解析】，则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除A，D，，排除C，故选B．4．【答案】A【解析】根据题意得，，又，∴，∴，∴．故选A．5．【答案】D【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又∵双曲线的渐近线互相垂直，∴，则该双曲线的方程为．故选D．6．【答案】A【解析】∵，，，∴由正弦定理可得，∵，由大边对大角可得，∴解得．故选A．7．【答案】C【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数，∴该程序框图要算出所得到的和，①当时，，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此变成2，进入下一步；②当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成3，进入下一步；③当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成4，进入下一步；④当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成5，进入下一步；⑤当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成6，进入下一步；⑥当时，用前一个加上，得，刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的值，由以上的分析，可得图中判断框应填“”，执行框应填“”．故选C．8．【答案】C【解析】∵随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有，，，共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选C．9．【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体中棱长为2，取中点，连结，，∴是棱的中点，∴，∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为，故选C．10．【答案】D【解析】结合题意，绘图又，，∴周期，解得，∴，，令，得到，∴，令，，得对称中心，令，得到对称中心坐标为，故选D．11．【答案】B【解析】偶函数满足，即有，即为，，可得的最小正周期为4，故①错误；②正确；由，可得，又，即有，故为奇函数，故③正确；由，若为偶函数，即有，可得，即，可得6为的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选B．12．【答案】C【解析】由题意可得直线与直线的交点，，设，，则，，∵、是椭圆上的点，∴①，②，①﹣②得：，∴，∴，∴，∴，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】函数，可得，∴，又，∴切线方程为，切线经过，∴，解得．故答案为1．14．【答案】5【解析】作出，满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点时最大，由可得，此时．故答案为5．15．【答案】【解析】由得，即，又，解得，∴．16．【答案】【解析】取的中点，连结、，∵平面，平面，∴，可得中，中线，由，，，可知，又∵，、是平面内的相交直线，∴平面，可得，因此中，中线，∴是三棱锥的外接球心，∵中，，，∴，可得外接球半径，因此，外接球的表面积，故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，成等差数列，∴，当时，，∴，当时，，，两式相减得，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．（2），∴，∴．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程50 200 250没有学习大学先修课程100 900 1000总计150 **** ****由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i）由题意得所求概率为．（ii）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，1，2，3，4，∴的分布列为0 1 2 3 4估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为．19．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面中，，，且，∴，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面．（2）方法一：在线段上取点，使，则，又由（1）得平面，∴平面，又∵平面，∴，作于，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，∴是二面角的一个平面角，设，则，，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，且由（1）知是平面的一个法向量，设，则，，∴，，设是平面的一个法向量，则，∴，令，则，它背向二面角，又∵平面的法向量，它指向二面角，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．20．【答案】（1）；（2）在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．【解析】（1）联立，得，则，，从而．∵，∴，即，解得，故的方程为．（2）设线段的中点为，由（1）知，，，则线段的中垂线方程为，即．联立，得，解得或，从而的外心的坐标为或．假设存在点，设的坐标为，∵，∴，则．∵，∴．若的坐标为，则，，则的坐标不可能为．故在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】解法一：（1），①当时，↘极小值↗∴在上单调递减，在单调递增．②当时，的根为或．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．若，即，在上恒成立，∴在上单调递增，无减区间．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．综上：当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，无减区间；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（2）∵，∴．当时，恒成立．当时，．令，，设，∵在上恒成立，即在上单调递增．又∵，∴在上单调递减，在上单调递增，则，∴．综上，的取值范围为．解法二：（1）同解法一；（2）令，∴，当时，，则在上单调递增，∴，满足题意．当时，令，∵，即在上单调递增．又∵，，∴在上有唯一的解，记为，↘极小值↗，满足题意．当时，，不满足题意．综上，的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）；；（2）2．【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为，∴曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为，点的极坐标为，则，，，，∵，∴，∴，，∴的极坐标方程为．（2）由题设知，，当时，取得最小值为2．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴的解集为．（2）∵，∴，即，则，∴．。

巧用函数性质的二级结论解客观题+课件-2025届高三数学一轮复习

对称,即f(x)=f(2-x),因为f(x+1)的图象关于点(2,0)成中心对称,且f(x)的图象
向左平移1个单位长度之后得到f(x+1)的图象,所以f(x)的图象关于点(3,0)对
称,所以f(x)+f(6-x)=0,因为f(x)=f(2-x),f(x)+f(6-x)=0,所以-f(6-x)=f(2-x),故
[对点训练2]已知函数f(x),g(x)分别是定义域为R的奇函数和偶函数,若
-7
F(x)=f(x)g(x)-3,且F(2)=1,则F(-2)=
.
解析因为f(x),g(x)分别是奇函数和偶函数,所以f(x)g(x)是奇函数,又
F(x)=f(x)g(x)-3,所以F(2)+F(-2)=-6,而F(2)=1,所以F(-2)=-7.
B.f(-5.3)<f(2)<f(5.5)
C.f(2)<f(-5.3)<f(5.5)
D.f(5.5)<f(2)<f(-5.3)
解析根据题意,函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,f(2-x)=f(x),则有f(2-x)=-f(-x),变形
可得f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数,
对称轴为直线x=1,f(x)在区间(-1,1)内单调递增,所以f(x)在区间(1,3)内单调
递减,f(5.5)=f(1.5),f(-5.3)=f(2.7-8)=f(2.7),因为1<1.5<2<2.7<3,所以
f(1.5)>f(2)>f(2.7),即f(-5.3)<f(2)<f(5.5),故选B.

高三数学培优训练(二)

高三数学培优训练（二）1、若集合A 和B 各含6个元素，A ∩B 含有3个元素，C 同时满足两个条件：①C ⊂A ∪B 且C 中含有3个元素；②C ∩A ≠φ，则这样的集合C 的个数是（） A ．82 B ．83 C ．84 D ．219 2、下列各组命题中，满足“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是（） A ．p ：0=φ；q ：0∈φB ．p ：在△ABC 中，若cos2A=cos2B ，则A=B ；q ：y=sinx 在第一象限是增函数 C ．p ：a+b ≥2ab （a ，b ∈R ）；q ：不等式|x|＞x 的解集为（－∞，0）D ．p ：y=|2sinx|＞2；q ：y=3sinx(tanxtan2x)的最小正周期为π 3、已知数列}{n a 的通项公式)(21log *2N n n n a n ∈++=，设其前n 项和为n S ，则使5-＜n S 成立的自然数n （）A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值314、等比数列{a n }中，a 1=512，公比q=21-，用n ∏表示它的前n 项之积：21a a n ⋅=∏…n a ，则21∏∏，，…，中最大的是（） A ．11∏ B ．10∏ C ．9∏ D ．8∏5、已知函数f(x)=1(0)0(0)1(0)x x x -<⎧⎪=⎨⎪>⎩, 则2 b)-f(a )(•-++b a b a (a ≠b)的值应为( )A | a |B | b |C a, b 之中较少的数D a, b 之中较大的数6、已知→a ，→b ，→c 是三个非零向量，命题|||:|→→=b a p ，命题:q ||||→→→→⋅=⋅c b c a ，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、如图甲所示，点P 在边长为1的正方形边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿A —B —C —运动时，点P 经过的路程x 为自变量，△APM 的面积为y 的函数，则)(x f y =的图象形状大致是（）8、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线形状为（）9、抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的.如正比例函数)0()(≠=k kx x f ，)()()()(,)(,)(212121212211x f x f kx kx x x k x x f kx x f kx x f +=+=+=+==可抽象为)()()(y f x f y x f +=+写出下列抽象函数是由什么特殊函数抽象而成（每项填入一个函数即可）. 特殊函数抽象函数)()()(y f x f y x f =+)()()(y f x f xy f +=)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+ 10、下列命题：①动点M 至两定点A 、B 的距离之比为常数)10(≠>λλλ且.则动点M 的轨迹是圆.②椭圆c c b e b a by a x (,22)0(12222==>>=+则的离心率为半焦距）③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的焦点到渐近线的距离为b ④已知抛物线),(),,(222112y x B y x A px y 上两点=且OA ⊥OB （O 为原点）.则221p y y -=⋅。

广东省华南师大附中高三上学期培优练习(2)(数学).doc

广东省华南师大附中高三上学期培优练习（2）（数学）一、选择题：1、由方程 1||||=+y y x x 确定的函数y = f (x )在(－∞，+ ∞)上是A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数2、设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且,1)1(-=-f 若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是 A ．22≤≤-tB ．2121≤≤-tC ．022=-≤≥t t t 或或D ．02121=-≤≥t t t 或或3、从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程022=++c by ax 中的系数，则确定不同椭圆的个数为 A .17B. 18C. 19D. 、过双曲线12222=-by a x 的右焦点F（c ，0）的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P+的定值为.222b a 类比双曲线这一结论，在椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0NFMF+是定值A. 222b a -B. 22ab 2-C. 22b a 2D. 22ab 2二、填空题 5、设等比数列)1}({1>-q qn 的前n 项和为n S ，前n+1项的和为1+n S ，1+∞→n nn S S iml =______.6、在一个棱长为cm 65的正四面体内有一点P ，它到三个面的距离分别是1cm ，2cm ，3cm ，则它到第四个面的距离为_______________cm .7、已知函数)(log )(221a ax x x f --=的值域为R ，且f(x )在（)31,-∞-上是增函数，则a 的范围是 .8、已知函数f(x) = 2x 2－x,则使得数列{qpn n f +)(}(n ∈N +)成等差数列的非零常数p 与q 所满足的关系式为 .三、解答题 9、（本题满分12分）某工厂最近用50万元购买一台德国仿型铣床，在买回来以后的第二天投入使用，使用后的第t 天应付的保养费是(t + 500)元，(买来当天的保养维修费以t = 0计算)，机器从买来当天到报废共付的保养维修费与购买机器费用的和平均摊到每一天的费用叫做每天的平均损耗．当平均损耗达到最小值时，机器报废最划算．(1) 求每天平均损耗y (元)表示为天数x 的函数；(2) 求该机器买回来后多少天应报废． 10、（本题满分12分）已知 f (θ) = a sin θ + b cos θ，θ ∈ [ 0, π ]，且1与2 cos 2 θ2 的等差中项大于1与 sin2θ2的等比中项的平方．求：(1) 当a = 4, b = 3时，f (θ) 的最大值及相应的 θ 值；(2) 当a > b > 0时，f (θ) 的值域． 11、（本题满分12分）已知椭圆C 的方程为x 2+y 22= 1，点P (a , b )的坐标满足a 2+b 22≤ 1，过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：(1) 点Q 的轨迹方程；(2) 点Q 的轨迹与坐标轴交点个数。

高三数学下学期培优训练试题(2)-人教版高三全册数学试题

某某省曲阜市鲁城街道办事处孔子中学2015届高三数学下学期培优训练试题（2）1. 已知()2cos()cos 3cos 22f x x x x π=--，x R ∈(1) 求()6f π的值；(2)当∈x [0,]2π时，求f （x ）的最值.（3）对称轴方程2.如图,已知⊥PA ⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,4AB =,C 是⊙O 上一点,且PA =BC AC =,PE PF PC PB λ==. (1) 求证:ABC EF 面//;(2) 求证:EF ⊥AE ;(3)当12λ=时,求三棱锥A CEF -的体积.1. 已知()2cos()cos 322f x x x x π=-，x R ∈(1) 求()6f π的值；(2)当∈x [0,]2π时，求f （x ）的最值.（3）对称轴方程2.如图,已知⊥PA ⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,4AB =,C 是⊙O 上一点,且PA =BC AC =,PE PF PC PBλ==. (1) 求证:ABC EF 面//;(2) 求证:EF ⊥AE ;(3)当12λ=时,求三棱锥A CEF -的体积.3. 已知S n 是数列{}n a 的前n 项和，且11=a ，)(2*1N n S na n n ∈=+.（1）求234,,a a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项n a ；（3）设数列{}n b 满足2(2)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .3. 已知S n 是数列{}n a 的前n 项和，且11=a ，)(2*1N n S na n n ∈=+. （1）求234,,a a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项n a ；（3）设数列{}n b 满足2(2)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .。

(优辅资源)山东省沂水县高三下学期模拟考试(二)数学(理)试题Word版含答案

高三模拟考试理科数学本试卷共5页，满分l50分。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1A B C D2．A B C D3A BC D4A B C D5.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个数大于30的概率为B. C. D.6a，b，c的大小关系是A．b>c>a B．a>c>b C．b>a>c D．a>b>c7．“m＜0A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A B C D9．已知A，B上的两个动点，AB M是线段ABA B C．2 D．310．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．右图是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入S=A．26 B．44 C．68 D．10011．如图所示，在平面四边形ABCDA BCD 12BCD第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学理科培优班综合测试卷二试题

汤阴一中2021届高三数学理科培优班综合测试卷二制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第I 卷〔选择题一共60分〕一. 选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请把所选答案的标号字母填在下表的对应题目处。

〕1. 假设集合}2,1{-=A ，},01|{R k kx x B ∈=+=，且B B A =⋂，那么k 的值组成的集合为A. }2,1{-B. }21,1{-C. }0,21,1{- D. }2,0,1{- 2. 函数x y lg =的单调递增区间为A.〔0，∞+〕B. [)∞+,1C. (]1,0D. (]10,0 3. 假设椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，离心率等于31，那么m 的值是〔〕 A.98 B. 89 C. 32 D. 43 4. 现有命题p 、q ，假设命题m 为“p 且q 〞，那么“非p 或者非q 〞是“非m 〞的 A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 在ABC ∆中，26+=a ，32=c ，︒=75A ，那么CA BC ⋅等于A. 232--B. 232+C. 623--D. 623+6. 假设α、β∈〔2π，π〕，且βαcos tan <，那么必有 A. βα< B. αβ< C. 23πβα<+ D. 23πβα>+7. 假设直线03=-+m y x 与圆122=+y x 在第一象限内有两个不同的交点，那么m的取值范围是A. 22<<-mB. 21<<mC. 31<<m D. 23<<m8. 假设A 、B 、C 、D 是球O 的面上四个点，AB 、AC 、AD 两两垂直，且AB=AC=AD=2，那么球O 的体积为A. π34B. π12C. π332D. π329. nn n x a x a x a a x x x x ++++=++++++++ 221032)1()1()1()1(，假设1an a a n -=+++-6112 ，那么正整数n 的值是A. 4B. 5C. 6D. 710. )(x f ，)(x g 都是奇函数，假设0)(>x f 的解集为〔4，10〕，0)(>x g 的解集为〔2，5〕，那么0)()(>⋅x g x f 的解集为A.〔2，10〕B.〔4，5〕C.〔8，50〕D.〔5-，4-〕⋃〔4，5〕 11. 某房地产开发商在销售一幢25层的商品楼之前按以下方法确定房价：首层为a 元/2m ，顶层为b 元/2m ，第二层价格为c 元/2m ，第三层开场每层在前一层价格上加价100c 元/2m ，假设每层销售面积一样，那么该商品楼各层的平均价格〔单位：元/2m 〕为A. cc c b a --++100])100(1[42523B.)76.25(251c b a ++ C.)53.25(251c b a ++ D.)31.25(251c b a ++ 12. 假设某工程的工序流程图如下〔单位：天〕，那么完成该工程的最少总时数为A. 15天B. 16天C. 17天D. 18天第II 卷〔非选择题一共90分〕二. 填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，请把答案直接填在题中横线上。

江苏省姜堰中学高三数学实验班培优训练卷二苏教版

江苏省姜堰中学高三数学实验班培优训练卷二1．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足()()10x f x '-≥则必有（）（A ）()()()02＜21f f f + （B ）()()()0221f f f +≤ （C ）()()()0221f f f +≥（D ）()()()02＞21f f f +2．已知函数y=31x 3+x 2+x 的图像C 上存在一定点P 满足：若过点p 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，就恒有y 1+y 2为定值y 0，则y 0的值为 ( ) A.-31 B.-32 C.-34D.-2 3．函数)(x f 在R 上可导，且)1(2)(2f x x x f '⋅+=，则)1()1(f f 与-的大小关系是（） A ．)1()1(f f =- B ．)1()1(f f <-C ．)1()1(f f >-D ．不能确定4．已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，则|42|-+=y x z 的最大值为（）A 、21B 、20C 、19D 、185．已知P 在直线1+=x y 上的一点，M 、N 分别为圆C 1：4)1()4(22=-+-y x 与 C 2：1)2(22=-+y x 上的点，则||||PN PM -的最大值为（） A 、4 B 、5 C 、6 D 、76．定义在R 上的增函数f(x)满足f[f(x)]=x,则｜f(x)|-|f(x)-1|的范围是 ( ) A. (],1-∞- B.[-1,1] C. (]1,2 D. [)2,+∞7．设)(x f 定义域为D ，若满足：（1）)(x f 在D 内是单调函数；（2）存在D b a ⊆],[，使)(x f 在],[b a x ∈时值域也为],[b a ，则称)(x f 为D 上的闭函数,当42)(++=x k x f 时，k 的取值范围是。

2021届新高考数学模拟培优卷(二)(新高考版)

2021届新高考数学模拟培优卷（二）（新高考版）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合210,5,2A x x ax B xx ⎧⎧⎫=+=-<<⎨⎨⎬⎩⎭⎩∣，若{35}A B x x ⋃=-<∣，则A =R( )A.(,3)(0,)-∞-⋃+∞B.(0,3)C.1,(0,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.(,0][5,)-∞⋃+∞2.复数i 21i-+在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.某防汛抗旱指挥部拟安排甲、乙等5名志愿者进行为期5天的护堤安全排査工作，要求每人安排1天，每天安排1人，则甲不安排在前两天，且乙不安排在第一天和最后一天的概率为( ) A.720B.310C.25D.9204.已知角α的定点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点(1,),A a (2,),B b 且2cos23α=则a b -= ( ) A.15B.5 C.25D. 15.甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图,甲、乙两名同学成绩的平均数分别为 x x 甲乙，,标准差分别为 σσ甲乙，,则( )A. ,x x σσ<<乙甲甲乙B. ,x x σσ<>乙甲甲乙C. ,x x σσ><乙甲甲乙D. ,x x σσ>>乙甲甲乙6.设奇函数()f x 在(0,)+∞上为单调递减函数，且(2)0f =，则不等式3()2()05f x f x x--≤的解集为 ( ) A ．(,2](0,2]-∞-⋃B ．[2,0][2,)-⋃+∞C ．(,2][2,)-∞-⋃+∞D ．[2,0)(0,2]-⋃7.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,122PF PF =,则12cos F PF ∠等于( ) A.14B.35C.34D.458.若()ln e(1)ln (1)f x ax x a x x x =+-->恰有1个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．[)0,+∞B ．{}10,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.()e,+∞ D ．()0,1(1,)+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 和2,F P 为椭圆C 上的动点,则下列说法正确的是( )A.2a b =,满足1290F PF ∠=︒的点P 有两个B.2a b <,满足1290F PF ∠=︒的点P 有四个C.12PF F 的面积的最大值为22aD.12PF F 的周长小于4a10.下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=( )A.πsin()3x +B.πsin(2)3x -C.πcos(2)6x +D.5πcos(2)6x - 11.已知函数()ln(2)ln(6)f x x x =-+-，则A. ()f x 在(2,6)上的最大值为2ln 2B. ()f x 在(2,6)上单调递增C. ()f x 在(2,6)上无最小值D. ()f x 的图象关于直线4x =对称12.若随机变量X 服从两点分布，其中1(0),(),()4P X E X D X ==分别为随机变量X 的均值与方差，则下列结论正确的是( ) A.()()1P X E X ==B.()414E X +=C.3()16D X =D.4(4)1D X +=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线()()1120m x m y ++--=与圆22(1)1x y -+=的位置关系是_____________. 14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且()5233,S a a =+则23a a =__________. 15.已知三棱锥A BCD -中，点A 在平面BCD 上的射影与点D 重合，4AD CD ==.若135CBD ∠=︒，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.16.已知直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上,若13,5,7,2AB AC BC AA ====,则此球的表面积等于______________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10分）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 已知(sin sin )sin sin b B C a A c C +=-.(1)求角A 的大小.(2)若π13sin 6C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan B 的值.18. （12分）已知数列{}n a 中，122,3a a ==，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+，其中2n ≥，*n N ∈.(1)求证：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式.(2)设2n n n b a -=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使2n T >的n 的取值范围。

2021年高考数学培优测验试卷(含解析)

2021年高考数学培优测验试卷1.已知集合{}{}22log (1)1,1,M x x N x x =-=∈>Z ∣∣则M N =( )A.(]1,3B.∅C.{}2,3D.{}1,2,32.已知复数(3i)(32i)()z a a =-+∈R 的实部与虚部的和为7，则a 的值为( ) A.1B.0C.2D.-23.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人坐下，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是( ) A.234B.346C.350D.3634.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC △的面积为S ，若222()S a b c =+-，则tan C 的值是( )A. 43B. 34C.43-D. 34-5.若0,0a b >>,则“4a b +”是“4ab ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.某水产销售店近期订购了一批成鱼，销售五天后，准备重新制定一个合理的价了获得最大收益，该批成鱼的销售单价应定为( ) （参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),(1,2,3,)i i x y i n =，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆ,ˆi i i ni i nx x y y bay bx x x ==∑--==-∑-.参考数据：()()5110,260,100i i i x y x x y y ===∑--=-，()5212.5i i x x =∑-=.）A.9.75元B.10.25元C.10.75元D.11.25元7.已知等边三角形ABC 的边长为2,,22CA CB AD ACCD AE ++==,则AE EB ⋅=( )A.14-B.12-C.14 D.128.已知函数221,0()3,02x x ax x f x ax +⎧-+⎪=⎨<⎪⎩在0(0,)x ∞∈+处取得最小值，且()06f x a -<，则实数a 的取值范围是( ) A.{4} B.[4,6] C.[1,2] D.[1,6)9.已知集合210,5,2A x x ax B x x ⎧⎧⎫=+=-<<⎨⎨⎬⎩⎭⎩∣，若{35}A B x x ⋃=-<∣，则A =R( )A.(,3)(0,)-∞-⋃+∞B.(0,3)C.1,(0,)2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭ D.(,0][5,)-∞⋃+∞10.复数i 21i -+在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.某防汛抗旱指挥部拟安排甲、乙等5名志愿者进行为期5天的护堤安全排査工作，要求每人安排1天，每天安排1人，则甲不安排在前两天，且乙不安排在第一天和最后一天的概率为( )A.720B.310C.25D.92012.已知角α的定点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点(1,),A a (2,),Bb 且2cos23α=则a b -= ( )A. 15B.C. D . 113.甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图,甲、乙两名同学成绩的平均数分别为x x 甲乙，,标准差分别为σσ甲乙，,则( )A.,xx σσ<<乙甲甲乙B.,x x σσ<>乙甲甲乙C.,x x σσ><乙甲甲乙D.,x x σσ>>乙甲甲乙14.设奇函数()f x 在(0,)+∞上为单调递减函数，且(2)0f =，则不等式3()2()5f x f x x --≤的解集为 ( )A ．(,2](0,2]-∞-⋃B ．[2,0][2,)-⋃+∞C ．(,2][2,)-∞-⋃+∞D ．[2,0)(0,2]-⋃15.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,122PF PF =,则12cos F PF ∠等于( )A.14B.35 C .34 D.4516.若()ln e(1)ln (1)f x ax x a x x x =+-->恰有1个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．[)0,+∞ B ．{}10,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C .()e,+∞D ．()0,1(1,)+∞17.已知二项式1nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,所有项的系数之和为64,则该展开式中的常数项是__________. 18.已知直线:(l y k x =和圆22:(1)1C x y +-=相切，则实数k =___________. 19.设函数6(3)3,7,(),7,x a x x f x a x ---⎧⎪=⎨>⎪⎩数列{}n a 满足(),n a f n n +=∈N ，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是_______________.20.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，22AB DC ==，E 为AD 的中点.将EAB 和ECD 分别沿,EB EC 折起，使得点A ,D 重合于点F ，构成四面体FBCE .若四面体FBCE 的四个面均为直角三角形，则其外接球的半径为_________. 21.直线()()1120m x m y ++--=与圆22(1)1x y -+=的位置关系是_____________.22.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且()5233,S a a =+则23a a =__________.23.已知4na x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a =___________，展开式中的常数项为__________. 24.已知直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上,若13,5,7,2AB AC BC AA ====,则此球的表面积等于______________.25.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的离心率为2ABC的三个顶点都在椭圆Γ上，设它的三条边,,AB BC AC 的中点分别为,,D E F ，且三条边所在直线的斜率分别123,,k k k ，且123,,k k k 均不为0.O 为坐标原点，则( )A.22:2:1a b =B.直线AB 与直线OD 的斜率之积为2-C.直线BC 与直线OE 的斜率之积为12-D.若直线,,OD OE OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2-26.已知函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x f x x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则下列说法正确的是( ) A.()f x 的值域是[0,1]B.()f x 是以π为最小正周期的周期函数C.()f x 在区间3π(π,)2上单调递增D.()f x 在[0,2π]上有2个零点27.已知函数()e e 2x x f x --=，()e e 2x xg x -+=，则()(),f x g x 满足( )A.()(), ()()f x f x g x g x -=--=B.(2)(3),(2)(3)f f g g -<-<C.(2)2()()f x f x g x =D.22[()][()]1f x g x -=28.某市有,,,A B C D 四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览A 的概率为23,游览,,B C D 的概率都是12,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点个数,则( )A.该游客至多游览一个景点的概率为14B.3(2)8P X ==C.1(4)24P X ==D.13()6E X =29.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 和2,F P 为椭圆C 上的动点,则下列说法正确的是( )A.a =,满足1290F PF ∠=︒的点P 有两个B.a <,满足1290F PF ∠=︒的点P 有四个C.12PF F 的面积的最大值为22aD.12PF F 的周长小于4a30.下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=( )A.πsin()3x +B.πsin(2)3x - C .πcos(2)6x + D.5πcos(2)6x -31.已知函数()ln(2)ln(6)f x x x =-+-，则A. ()f x 在(2,6)上的最大值为2ln 2B. ()f x 在(2,6)上单调递增C. ()f x 在(2,6)上无最小值D. ()f x 的图象关于直线4x =对称32.若随机变量X 服从两点分布，其中1(0),(),()4P X E X D X ==分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )A.()()1P X E X ==B.()414E X += C.3()16D X =D.4(4)1D X +=33.在ABC 中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，已知3,45a c B ===︒.（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值.34.已知正项等差数列{}n a和它的前n 项和n S 满足212,42n n n a S a a ==+.等比数列{}n b 满足1122,a b a b ==.(1)求数列{}n a 与数列{}n b的通项公式.(2)若n n n c a b =⋅,求数列{}n c的前n 项和n T .35.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.36.如图,在四棱锥P ABC -中,平面PAB ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为正方形,PAB △为等边三角形, E 是PB 中点,平面AED 与棱PC 交于点F ．(1)求证: //AD EF ; (2)求证: PB ⊥平面AEFD ;(3)记四棱锥P AEFD -的体积为1V ,四棱锥P AEFD -的体积为2V ,直接写出12V V 的值．37.已知函数()2()?0e x ax bx cf x a ++=>的导函数()'f x 的两个零点为3-和0.(1)求()f x的单调区间;(2)若()f x 的极小值为3e -,求()f x在区间[)5,-+∞上的最大值.38.已知抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴上,且抛物线C 上有一点()4,P h到焦点的距离为5.(1)求该抛物线C 的方程. (2)已知抛物线上一点(),4M t ,过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ,且MD ME ⊥,判断直线DE 是否过定点?并说明理由.39.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 已知(sin sin )sin sin b B C a A c C +=-.(1)求角A 的大小.(2)若πsin 6C ⎛⎫-=⎪⎝⎭，求tan B 的值. 40.已知数列{}n a 中，122,3a a ==，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+，其中2n ≥，*n N ∈.(1)求证：数列{}n a为等差数列，并求其通项公式.(2)设2nn n b a -=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使2n T >的n 的取值范围。

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高三数学培优训练（二）
1、若集合A 和B 各含6个元素，A ∩B 含有3个元素，C 同时满足两个条件：
①C ⊂A ∪B 且C 中含有3个元素；②C ∩A ≠φ，则这样的集合C 的个数是（） A ．82 B ．83 C ．84 D ．219
2、下列各组命题中，满足“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是（） A ．p ：0=φ；q ：0∈φ
B ．p ：在△AB
C 中，若cos2A=cos2B ，则A=B ；q ：y=sinx 在第一象限是增函数
C ．p ：a+b ≥2ab （a ，b ∈R ）；q ：不等式|x|＞x 的解集为（－∞，0）
D ．p ：y=|2sinx|＞2；q ：y=3sinx(tanxtan
2
x
)的最小正周期为π 3、已知数列}{n a 的通项公式)(2
1
log *2
N n n n a n ∈++=，设其前n 项和为n S ，则使 5-＜n S 成立的自然数n （）
A ．有最小值63
B ．有最大值63
C ．有最小值31
D ．有最大值31
4、等比数列{a n }中，a 1=512，公比q=2
1
-
，用n ∏表示它的前n 项之积：21a a n ⋅=∏…n a ，则21∏∏，
，…，中最大的是（） A ．11∏ B ．10∏ C ．9∏ D ．8∏
5、设 5、已知函数f(x)=1(0)
0(0)1(0)
x x x -<⎧⎪=⎨⎪>⎩
, 则
2
b)-f(a )(∙-++b a b a (a ≠b)的值应为( ) A | a | B | b | C a, b 之中较少的数 D a, b 之中较大的数
6、已知→
a ，→
b ，→
c 是三个非零向量，命题|||:|→
→
=b a p ，命题:q ||||→
→→
→⋅=⋅c b c a ，则p 是q 的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7、如图甲所示，点P 在边长为1的正方形边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿A —B —C —运
动时，点P 经过的路程x 为自变量，△APM 的面积为y 的函数，则)(x f y =的图象形状大致
是（）
8、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离
相等，则动点P 所在曲线形状为（）
9、抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的.如正比例函数)0()(≠=k kx x f ，
)()()()(,)(,)(212121212211x f x f kx kx x x k x x f kx x f kx x f +=+=+=+==可抽象为
)()()(y f x f y x f +=+写出下列抽象函数是由什么特殊函数抽象而成
（每项填入一个函数即可）.
10、下列命题：①动点M 至两定点A 、B 的距离之比为常数.则动点M 的轨迹是圆.
②椭圆c c b e b a b
y a x (,22)0(12222==>>=+则的离心率为半焦距）③双曲线)
0,0(122
22>>=-b a b y a x 的焦点到渐近线的距离为b ④已知抛物线),(),,(222112
y x B y x A px y 上两点=且OA ⊥OB （O 为原点）.则2
21p y y -=⋅。

其中正确的序号是。

11、某种电热器的水箱盛水是200升，加热到一定温度即可浴用.浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按10.9毫升/ 秒2的匀加速度作自动注水（即t 分钟自动注水2t 2升），当水箱内的水量达
到最小值时，放水自动停止.现假定每人洗浴用水量为65升，则该热器一次至多可供人洗浴。

12、解不等式：3log 3log 213x x -＞
13. 某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成. 每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置. 现将
工人分成两组同时开始．．．．加工，每组分别加工一种装置. 设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为)(x g ，其余工人加工完H 型装置所需时间为)(x h （单位：小时，可不为整数）.（Ⅰ）写出)(),(x h x g 解析式；（Ⅱ）比较)(x g 与)(x h 的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间)(x f 的解析式；（Ⅲ）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
14.已知一次函数)(x f 的图象关于直线0=-y x 对称的图象为C ，且,1)]1([-=f f 若点
N n a a n n n ∈+)(,
(1）在曲线C 上，并有)2(1,11
11≥=-=-+n a a
a a a n n n n .
（Ⅰ）求)(x f 的解析式及曲线C 的方程；（Ⅱ）求数列{n a }的通项公式；
（Ⅲ）设n n n n S n a a a
a S ∞→++
+++=lim ,)!
2(!5!4!3321求的值.
高三培优训练（二）参考答案
1、B
2、C 3 、A 4、C 5、D 6、D 7、A 8、C 9、见表 10、①②③ 11、 4
12、定义域2
0<
<x 且61≠≠x x ，，这时原不等式化为
)213(log log 33x x -＞分三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x 2130)213(log 0log 33⑴；⎪⎩
⎪
⎨⎧-<<-<x
x x x 2130)213(log 0
log 33⑵；⎩⎨⎧<->0)213(log log 33x o x ⑶
得解集为：⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭
⎫ ⎝⎛21363131，，13.
13. 解：（Ⅰ）由题意知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，
所用工人分别为x 人，x -216人. .3
)216(3000
)(,64000)(⋅-=
=∴x x h x
x g 即20001000
(),()(0216,*).3216g x h x x x N x x
==
<<∈-
（Ⅱ）.)
216(3)5432(1000216100032000)()(x x x x
x
x h x g --⋅=--=-.0216,2160>-∴<<x x
当h(x )g(x )0,h(x )-g(x )0,5x -,432860>>>≤<时x ；
当h(x ).g(x )0,h(x )-g(x )0,5x -,43221687<<<<≤时x
=∴)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧∈<≤-∈≤<.*,21687,2161000*;,860,32000
N x x x
N x x x
（Ⅲ）完成总任务所用时间最少即求)(x f 的最小值.
当860≤<x 时，)(x f 递减，,129
1000
8632000)86()(=⨯=
≥∴f x f ),86()(min f x f =∴此时,130216=-x 当21687<≤x 时，)(x f 递增，
,129
1000
872162000)86()(=-=
≥∴f x f ),87()(min f x f =∴此时,129216=-x
,129
1000)87()86()(min =
==∴f f x f ∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86，130或87，129. 14. 解：（Ⅰ）设1)()]1([),1)(0()(2-=++=++=≠+=b kb k b b k k f f k b kx x f 则分
即012
=+++b kb k ① 又k
b k x k b x x f -=-=-)(1是曲线C 的解析式，
因为点),
(1
n n a a n +在曲线C 上，所以1)1()(1
111=-=---+--n n n n a a a a n f n f ，
又)4(,1,11
,1)1()1()(11
分故=∴==--=
----k k
k k n n n f n f
代入①得11.() 1.5,() 1.b f x x f x x -=-∴=-=+∴曲线C 的方程是10x y -+=。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n x =时，111()1,故 1.而1,n n
a f x n n a a -+=+=+=于是
!4321
23
12n a n a a a a a a n n n =⋅⋅=⋅-即
（Ⅲ）因为
!111(2)!(2)!(2)(1)12
n a n n n n n n n ===-
++++++
所以21212111514141313121+-=+-+++-+-+-=n n n S n
所以1lim 。

2
n n S →∞=。