河北省石家庄市届高中毕业班第一次模拟考试理科数学试题
石家庄市一模理科数学试题及答案
届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B =I ( ) A ．{}|13x x ≤≤ B ．{}|03x x ≤≤ C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A ．2 B ．2C ．1D ．523.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 D ．在回归直线方程$0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量$y 平均增加个单位 4.函数()31xf x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( )A ．12π B ．6π C ．56π D ．512π6.已知三个向量a r ，b r ，c r 共面，且均为单位向量，0a b ⋅=r r ，则||a b c +-r r r的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤⎦7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ） A ．48B ．54C ．64D ．608.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( ) A ．200-B ．100-C ．0D ．50-9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10B．C．D．11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =u u u r u u u r,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF的面积为则准线l 的方程为( ) A．x =B．x =-C ．2x =-D ．1x =-12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题p :n N ∀∈，22nn <，则p ⌝为 ．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）．16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =u u u r u u u r，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=． （Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷答案一、选择题1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题13.0n N ∃∈，0202nn ≥ 15.1316.7a >- 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a cb ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6． 18.（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =， 解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥,∵BD ⊄平面SAD ,SD AD D =I ,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系． ∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E，则DE =3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(2,0)C -，则2,3)SB =-u u r，3)SA =-u u r，(2,3)SC =-u u u r，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z =u r，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =--u r ．同理可求得平面SAB的法向量2(1n =u u r，∴1212cos ||||n n n n θ⋅===⋅u r u u r u r u u r19.解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：X 01234P15210 80210 90210 242101210158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =，①同理可得D x =，∵1m n ⋅=-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+=② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E DE Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，由题意222'()2,111a x x a f x x x x x -+-=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立， 则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数；②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两根为112x =，212x +=，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意． 综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---， 令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈．[]22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增， 所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 22.解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ==+，且cos ϕ=，sin ϕ= 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =．23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立， 所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-； 当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。
石家庄市高中第一次模拟考试数学试题
石家庄市高中第一次模拟考试数学试题Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998石家庄市高中第一次模拟考试 数 学 试 题说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.以下公式供参考:(1)台体体积:V =)(312211S S S S h +⋅+(其中h 是台体的高,S 1,S 2分别是台体上、下底的面积); (2)１2＋22＋32＋……＋n 2=)(6)12)(1(N n n n n ∈++ 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M ={－1,1,2,4},N ={0,1,2},给出下列四个对应法则:(1)y =x 2,(2)y =x ＋1,(3)y =2x ,(4)y =log 2|x |,其中能构成从M 到N 的函数的是A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)2.当0＜a ＜1时,函数①y =a |x |与函数②y =log a |x |在区间(－∞,0)上的单调性为A.都是增函数B.都是减函数C.①是增函数,②是减函数D.①是减函数,②是增函数3.若a ,b 是两条异面直线,则存在惟一．．确定的平面β,满足 A. a βββ⊂βa ⊥β且b ⊥β β⊂且b ⊥β4.某单位职工工资经过六年翻了三番,则每年比上一年平均增长的百分数(下列数据仅供参考: )38.16,44.13,73.13,41.1263====为% % % %5.在一半径为1,高为定值的圆锥内有一底面半径为x 的内接圆柱,圆柱的侧面积S 是x 的函数,则函数s =f (x )的大致图象是6.将(x ＋y ＋z )10展开后,则展开式中含x 5y 3z 2项的系数为A.210310510C C C ⋅⋅B. 2235510C C C ⋅⋅C.31025C C ⋅D.24510C C ⋅,32t x +=7.(理)已知直线l : (t 为参数)与直线2x ＋y ＋1=0相交于点P ,则点P 与点y =－1－4t .A (2,－1)的距离为A.25B. 52 (文)点P (2,1)到线段:x －y ＋2=0(－2≤x ≤－1)上的点的最近距离是A.223B.－3C.17D.22 8.(理)函数y =a sin x ＋b cos x (R x ∈)的最大值为5,则a ＋b 的最小值是A.52B.－52C.10D.－10 (文)y =sin x ＋3cos x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ,则y 的最小值为 A.－2 B.－1 D.39.△ABC 的内角A 满足tg A －sin A ＜0,sin A ＋cos A ＞0,则角A 的取值范围为A.(0,4π) B.(2,4ππ) C. (43,2ππ) D. (ππ,43) 10.椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: P １、P 2、…P n ,椭圆的右焦点为F .数列{|P n F |}是公差大于1001的等差数列,则n 的最大值为,b 为不相等的正实数,且a ,x ,y ,b 成等差数列,a ,m ,n ,b 成等比数列,则下列关系成立的是＋y ＞m ＋n ＋y =m ＋n＋y ＜m ＋n ＋y 与m ＋n 的大小关系不能确定12.定义:函数y =f (x ),x ∈D ,若存在常数c ,对于任意x 1∈D ,存在惟一的x 2∈D ,使c x f x f =+2)()(21,则称函数f (x )在D 上的均值为c .已知f (x ) =lg x ,x ∈[10,100],则函数f (x ) =lg x 在[10,100]上的均值为A.43B.23C.101 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)13.已知f (x )=________)(,2)(,222=-=--a f a f xx 则. 14.有一密码为的手提保险箱,现显示的号码为要打开箱子,至少需要经过旋(每一个旋钮上显示的数字可为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的任意一个,只要一个旋钮上转出一个新数字就为一步,逆转、顺转都可以)________步．15.(理)抛物线y =b (a x )2,x 轴及直线AB :x =a 围成了如图(1)的阴影部分,AB 与x 轴交于A ,把线段OA 分成n 等分,作以na 为底的内接矩形如图(2),阴影部分的面积S 等于这些内接矩形面积之和,当n →∞时的极限值.则S =__________.6 3 1 2 0 8 0 8 0 1 2 7(文)已知数列{a n }的通项a n =n (n +1),S n 是前n 项和,则3lim n S n n ∞→= ________. 16.有六根细木棒,其中较长的两根木棒长分别为a 3、a 2,其余四根长均为a ,请你用它们搭成三棱锥.则其中两条较长的棱所在的直线所成角的余弦值为__________.三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分11分)已知复数ω=ii i i -+++1)31)(21)(1( (1)求|ω|及arg ω;(2)设复数z =cos θ＋i sin θ,求使得|z －ω|取得最大值时,复数z 的值.18.(本小题满分12分)已知△ABC 中,三个内角A 、B 、C 对应的三边分别为a 、b 、c ．(1)求证△ABC 的面积为S =;sin 21C ab (2)求证:Cc B b A a sin sin sin ==; (3)若A 、B 、C 成等差数列,且a =10,b =9.求sin C 的值.19.(本小题满分12分)如图,三棱台ABC －A 1B 1C 1中,平面AC 1⊥平面ABC ,平面BC 1⊥平面ABC ,∠ACB =120°,AC =a ,BC =2a ,C 1B 1=a ,异面直线AB 1与CC 1所成的角为60°.(1)求证CC 1⊥平面ABC ;(2)求二面角B 1－AC －B 的大小(文科只求正切值);(3)求多面体AA 1C 1CB 1的体积.20.(本小题满分12分)为了治理“沙尘暴”,西部某地区政府经过多年努力,到1998年底,将当地沙漠绿化了40%,从1999年开始,每年将出现这种现象: 原有沙漠面积的12%被绿化,即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲),同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠．问至少经过几年的绿化,才能使该地区的绿洲面积超过50%(可参考数据lg2=,最后结果精确到整数.)21.(本小题满分13分)(理)已知函数f (x ) =x 2－1(x ≥1)的图象是C 1,函数y =g (x )的图象C 2与C 1关于直线 y =x 对称.(1)求函数y =g(x )的解析式及定义域M ;(2)对于函数y =h (x ),如果存在一个正的常数a ,使得定义域A 内的任意两个不等的值x 1,x 2都有|h (x 1)－h (x 2)|≤a | x 1－x 2|成立,则称函数y =h (x )为A 上的利普希茨1类函数.试证明:y =g (x )是M 上的利普希茨1类函数．(3)设A ,B 是曲线C 2上任意不同两点,证明:直线AB 与直线y =x 必相交.(文)已知函数g (x )=－x 1的图象关于点A (21,21-)的对称图象为函数y = f (x )的图象. (1)求y = f (x );(2)用函数单调性定义证明函数y = f (x )在区间(－1,＋∞)上为单调递增函数;(3)若a ＞b ＞0,c =b b a )(1-,试比较f (a +c )与43的大小. 22.(本小题满分14分)已知⊙F 过定点A (a ,0)(a ＞0),圆心F 在抛物线C :y 2=2ax 上运动,MN 为⊙F 在y 轴上截得的弦.(1)试判断MN 的长是否随圆心F 的运动而变化并证明你的结论;(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时,抛物线C 的准线与⊙F 有怎样的位置关系并说明理由.湖北省黄冈市高三模拟考试 数 学 试 题 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设I 为全集,A 为非空集合,且A ⊂B ⊂Ｉ,则下列集合为空集的是A.BA B.B A C. B A D.B A2.函数y =4sin(x +4π)sin )4(x -π是A.周期为π2的偶函数B.周期为π2的奇函数C.周期为π的偶函数D.周期为π的奇函数 3.如图,点P 在正方形ABCD 所在平面外,P A ⊥平面ABCD ,P A =AB ,则PB 与AC 所成的角是 A ︒90 B.︒60 C.︒45 D.︒30 ４.对于函数f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0)作代换x =g (t ),则不改变函数f (x )的值域的代换是 (t )=2' B. g (t )=|t | C. g (t )=sin t D. g (t )=log 2t5.已知点P (sin αααtg ,cos -)在第一象限,且∈α［0,π2］,则α的取值范围是A.()45,()2,4ππππ B.)23,45()43,2(ππππ C.),43()2,4(ππππ D. )45,()43,2(ππππ 6.(理)原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合时,圆ρ=10cos(6πθ+)的中心的直角坐标是 A.25,325(--) B.)25,325(- C.)25,325( D. )25,325(- 6.(文)圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1=0关于直线x －y =1对称的圆的方程是x 2＋y 2=1,则实数a 的值是A.±2个身高均不相同的学生排成一排合影留念,高个子站中间,从中间到左边一个比一个矮,从中间到右边也一个比一个矮,则这样的排法有种 种 种 种8.已知函数f (x )满足f (x 2－3)=lg 226xx -,则y =f (x )在定义域内 A.是奇函数且是增函数B.是奇函数且是减函数C.是偶函数D.是增函数,但既非奇函数又非偶函数9.(理)若曲线y =42-x 与直线y =k (x －2)＋3有两个不同的公共点,则实数k 的取值范围是≤k ≤1 ≤k ≤43 C. －1＜k ≤43 D.－1＜k ≤0 (文)如果直线l 将曲线x 2＋2y 2－2x －8y =0的周长分成长度相等的两段,且不经过第四象限,则直线l 的斜率k 的取值范围是A.［0,21］B.(0,1)C.［0,2］D.［0,1］ 10.一个半径为5cm,圆心角为216°的扇形,卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的高是53 54 11.若将离心率为43的椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)绕着它的左焦点按逆时针方向旋转2π后,所得新椭圆的一条准线方程是3y ＋14=0,则新椭圆的另一条准线方程是A. 3y －14=0B. 3y －23=0－32=0 －50=012.某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ,C ,D ,E ,F ,G ,H ,I 之间拟建立信息联网工程,实际测算的费用如图所示(单位:万元).请观察图形可以不建部分网线,而使得中心与各部门、各院系都能连通(直接或中转).则最小的建网费用(万元)是第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)13.已知二条直线m ,n ,三个平面α,β,γ,给出下列命题:①若α⊥β, α β=m ,n ⊥m ,则n ⊥α或n ⊥β;②若αα ααα ⊄α⊄α其中正确命题的序号是______________.(x )的图象是如图两条线段,它的定义域是［－１,0］( 0,1］,则不等式f (x )－f (－x )＞－１的解集是__________.15.已知抛物线y 2=2px (p ＞0)的焦点在直线y =x －2上,现将抛物线平移,当抛物线的焦点沿直线y =x －2移到点(2a ,4a ＋2)时,所得抛物线的方程为_______________.16.数列满足条件:①任意连续二项的和大于零;②任意连续三项的和小于零;则这样的数列最多有____________项.三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)(理)已知方程x 2＋2px ＋1=0(p ∈R )的两虚根为α,β,且在复平面上α,β,1所对应的点是一个正三角形的三个顶点,求p 的值．(文)已知复数ω对应点在第一象限,|ω|=4,且原点和ω,ω的对应点是正三角形的三个顶点,若ω=,1)1(3iz i -+,求复数z 的辐角主值.18.(本小题满分12分)(理)设a ,b ,c 分别为△ABC 的边BC ,CA ,AB 的长,且a 2＋b 2－mc 2=0(m 为常数)．若(ctg A ＋ctg B )tg C =1,求m 的值. (文)在△ABC 中,若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )=3ac ,且tg A ＋tg C =3＋3,求三内角.19.(本小题满分12分)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,底面△ABC 是直角三角形,∠ABC =90°,且2AB =BC =BB 1=a ,设A 1C 与AC 1交于D ,BC 1与B 1Ｃ交于E ,连DE . (1)求证:DE ⊥平面BB 1C 1C ;(2)求二面角D －BB 1－E 的大小;(3)求三棱锥A 1－BDE 的体积.20.(本小题满分12分)某企业开发了一种新产品,现准备投入适当的广告费,对产品进行促销.在一年内,预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为:Q =).0(23>-x xx 已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元.若年销售额为“年生产成本的150%”与“年广告费的50%”之和,当年产销量相等.(1)试将年利润P 万元表示为年广告费x 万元的函数;(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大21. (本小题满分12分) 已知双曲线的12222=-by a x 离心率332=e ,过A (a ,0),B （0,－b ）的直线到原点的距离是23. (1)求双曲线的方程;(2)已知直线y =kx ＋5(k ≠0)交双曲线于不同的两点C 、D ,且C 、D 都在以B 为圆心的圆上,求k 的值.22.(本小题满分14分)设数列{a n }的首项a 1=1,前n 项和S n 满足关系3tS n －(2t +3)S n -1=3t (t ＞0,n =2,3,4,…)(1)求证:数列{a n }是等比数列;(2)设数列{a n }的公比是f (t ),作数列b n ,使b 1=1,b n =)1(1-n b f (n =2,3,4…),求b n 及nn n b a lg lim ∞→; (3)求和:B n =b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－…＋(－１)n －1b n b n +1.。
河北省石家庄市高三数学一模考试(理科)试题 Word版含答案
2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B =( )A ．{}|13x x ≤≤B ．{}|03x x ≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．1 D ．523.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量y 平均增加0.2个单位4.函数()31xf x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( ) A ．12π B ．6π C ．56π D ．512π6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅=，则||a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤⎦7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．54C ．64D ．608.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( )A ．200-B ．100-C ．0D ．50-9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10B．C．D．11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF的面积为则准线l 的方程为( )A．x =B．x =-C ．2x =-D ．1x =-12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题p :n N ∀∈，22n n <，则p ⌝为 ．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）．16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷答案一、选择题1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题13.0n N ∃∈，0202nn ≥ 14.1024 15.1316.7a >- 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6．18.（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =，解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥, ∵BD ⊄平面SAD ,SDAD D =,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系．∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E，则DE =3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(2,0)C -，则(3,2,3)SB =-，(33,0,3)SA =-，(2,3)SC =-，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z=，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =--．同理可求得平面SAB的法向量2(1n =，∴1212cos 91||||13n n n n θ⋅===-⋅.19.解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：X 01234P15210 80210 90210 242101210158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =，①同理可得221)1D n x n -=+，∵1m n ⋅=-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+22),1m m -=+② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E DE Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，由题意222'()2,111a x x af x x x x x -+-=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立， 则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数；②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两根为1x =，2x =，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意．综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-，同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---，令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈．[]22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增，所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 22.解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ==+，且cos ϕ=，sin ϕ=， 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =．23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立， 所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-； 当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。
河北省石家庄市2020届高中毕业班第一次模拟考试理科数学试题
河北省石家庄市2019届高中毕业班第一次模拟考试理科数学试题(时间120分钟，满分150分）注意事项：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I 卷时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第II 卷时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷(选择题,共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2. 若集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ，}02|{2>-∈=x x R x B ，则)(B C A R 所含的元素个数为A. OB. 1C. 2D. 33. 设随机变量ξ服从正态分布),1(2σN .若P(ξ<2)=0.8，则p(0<ξ<1)的值为A. 0.2B. 0.3C.0.4D. 0.64 已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y=0,则 该双曲线的标准方程为5. 执行右面的程序框图，输出的S值为A. 1B. 9C. 17D. 20A. π2B. 4C. πD.-9π7. 现釆用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率:先由计算器给出 0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为A. 0.852B. 0.8192 C O.8 D. 0.758.巳知点(x,y)在ΔABC所包围的阴影区域内(包含边界),若B(3,A.f(x-2)—定是奇函数B.f(x+1)—定是偶函数C. f(x+3)一定是偶函数D, f(x-3)一定是奇函数10. 已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为A 4πB, 12πA. a>b>c B, a>c>b C. c>b>a D. b>a>c第II 卷(非选择题,共90分）本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空題,本大通共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(2,3)与圆(x-1)2+y 2=1相切的直线方程为_____.14. 如图,正方形ABCD 中,EF//AB,若沿EF 将正方形折成一个二面角15.为举办校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分 别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须 有女生参加,則不同的推荐方案的种数为_______.(用数字作答）16.在ΔABC 中，B ∠=600，O 为ΔABC 的外心，P 为劣弧AC 上一动点，且OC y OA x OP += （x,y∈R)，则x+y 的取值范围为 ____ _____三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分）如图，有两座建筑物AB 和CD 都在河的对岸（不知 道它们的高度，且不能到达对岸），某人想测量两 座建筑物尖顶A 、C 之间的距离，但只有卷尺和测 角仪两种工具.若此人在地面上选一条基线EF ，用 卷尺测得EF 的长度为a ，并用测角仪测量了一些角度：a AEF =∠,β=∠AFE ，θ=∠CEF ,ϕ=∠CFE ,γ=∠AEC 请你用文字和公式写出计算A 、C 之间距离的步骤和结果.18.(本小题满分12分）为了调査某大学学生在某天上网的时间，随机对lOO 名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：表l:男生上网时间与频数分布表表2:女生上网时间与频数分布表(I)从这100名男生中任意选出3人，其中恰有1人上网时间少于60分钟的概率；(II)完成下面的2X2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？表3:•附：19. (本小题满分i2分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD, 0120=∠BAD,AD=AB=1,AC 和 BD 交于O点.ABC，090∠ADC∠==(I)求证：平面PBD丄平面PAC(II)当点A在平面PBD内的射影G恰好是ΔPBD的重心时，求二面角B-PD-G的余弦值.20. (本小题满分12分）直线l 交椭圆于A,B 两点.(I)若ΔABF 2为正三角形，求椭圆的离心率；21 (本小题满分12分） 设函数f(x )=x 2+aln(x+1)(I)若函数y=f(x)在区间[1,+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围；请考生在22〜24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)选修4-l:几何证明选讲如图,过圆O 外一点P 作该圆的两条割线PAB 和PCD,分别交圆 O 于点A,B,C,D 弦AD 和BC 交于Q 点，割线PEF 经过Q 点交圆 O 于点E 、F ，点M 在EF 上，且BMF BAD ∠=∠:(I)求证:PA·PB=PM·PQ (II)求证：BOD BMD ∠=∠23. (本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系.x0y 中，以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为: θθρcos sin 2=(I)求曲线l的直角坐标方程；的值24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 巳知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R). (I)当a=1时，解不等式f(x)>3;(II)不等式1)(≥x f 在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围2019年高中毕业班第一次模拟考试数学理科答案一、选择题A 卷答案1-5 DCBCC 6-10 ADADD 11-12 ADB 卷答案1-5 DBCBB 6-10 ADADD 11-12 AD 二、填空题13 . 4310x y -+=或2x = 14 .4515 . 24 16 . []1,2三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分)17.解：第一步：在AEF ∆中，利用正弦定理，sin sin(180)AE EFβαβ︒=--， 解得sin sin()a AE βαβ=+；……………4分第二步：在CEF ∆中，同理可得sin sin()a CE ϕθϕ=+；……………8分第三步：在ACE ∆中，利用余弦定理，AC ==…………12分 （代入角的测量值即可，不要求整理，但如果学生没有代入，扣2分） 18．解：（Ⅰ）由男生上网时间频数分布表可知100名男生中，上网时间少于60分钟的有60人，不少于60分钟的有40人，………………2分故从其中任选3人，恰有1人上网的时间少于60分钟的概率为 1260403100C C C ……………4分 156539=………………6分 （Ⅱ） (822)200(18002800)200 2.201001001307091K ⨯-==≈⨯⨯⨯，………………10分∵2 2.20 2.706K ≈<∴没有90％的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.………………12分 19. 解：（Ⅰ）依题意Rt ABC Rt ADC ∆≅∆，BAC DAC ∠=∠，ABO ADO ∆≅∆，所以AC BD ⊥，……2分而PA ⊥面ABCD ，PA BD ⊥，又PA AC A =，∴BD ⊥面PAC ， 又BD ⊂面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD …………4分（Ⅱ）过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示坐标系，则1,0)2B -，(0,1,0)D，0)C ,设(0,0,)P λ，所以1,)63G λ， 31(,)2PB λ=--，由AG PB ⊥，得311(,)(,,)066322AG PB λλ⋅=⋅--= 解得212λ=，λ=.………………6分 ∴P 点的坐标为(0,；面PBD的一个法向量为6(3,1,AG ==m ，……………8分设面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n，(CD=，(0,1,PD = 00PDCD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即00z -==⎪⎩，∴=n ………………10分cos ,||||⋅<>===n m n m n m ， 所以二面角B PD A --．……………12分 20. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义知1212||||||||AF AF BF BF +=+，又22||||AF BF =，∴11||||AF BF =，即12F F 为边AB 上的中线，∴12F F AB⊥,……………………2分 在12Rt AFF △中，2cos30,43c a ︒=则c a =，．…………………4，没有过程扣3分） （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y 因为0e <<，1c =，所以a >…………6分 ①当直线AB x 与轴垂直时，22211y a b +=，422b y a=，4121221b OA OB x x y y a ⋅=+=-,42231a a a -+-=22235()24a a --+， 因为2532+>a ，所以0OA OB ⋅<， AOB ∴∠恒为钝角，∴222OA OB AB +<.………………………8分②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =+，代入22221x y a b+=，整理得：2222222222()20b a k x k a x a k a b +++-=，22122222a k x x b a k -+=+，222212222a k ab x x b a k -=+ 1212OA OB x x y y ⋅=+212121212(1)(1)x x y y x x k x x +=+++ 2221212(1)()x x k k x x k =++++22222242222222()(1)2()a k ab k a k k b a k b a k -+-++=+ 2222222222()k a b a b a b b a k +--=+ 24222222(31)k a a a b b a k -+--=+………………10分 令42()31m a a a =-+-， 由 ①可知 ()0m a <，AOB ∴∠恒为钝角.，所以恒有222OA OB AB +<．………………12分21. 解：（Ⅰ）0122)(2/≥+++=x ax x x f 在区间),1[+∞上恒成立， 即x x a 222--≥区间),1[+∞上恒成立， …………………1分4-≥a .………………3分经检验， 当a ＝- 4时， 1)1)(2(21422)(2/+-+=+-+=x x x x x x x f ，),1[+∞∈x 时，0)(/>x f ，所以满足题意的a 的取值范围为[4,)-+∞.………………4分（Ⅱ）函数的定义域),1(+∞-，0122)(2/=+++=x ax x x f ，依题意方程0222=++a x x 在区间),1(+∞-有两个不等的实根，记a x x x g ++=22)(2，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->->->∆1210)1(0g ，得210<<a .……………………6分,121-=+x x 022222=++a x x ，221212a x -+-=，0212<<-x ，2222222121)1ln()22()(x x x x x x x f --++-=，令)0,21(,1)1ln()22()(22-∈--++-=x x x x x x x k ……………………8分)1ln(21)(2+++-=x x x x x k ，)1ln(2)1()(22/+++=x x x x k ， 32//)1(262)(+++=x x x x k , 因为2)0(,1)1(////=-=-k k ，存在)0,1(0-∈x ，使得0)(0//=x k ， 0)0(/=k ，02ln 21)2(/<-=-k ，0)(/<∴x k ，所以函数)(x k 在)0,2(-为减函数，…………………10分)21()()0(-<<k x k k 即2ln 21)(012+-<<x x f ……………………12分 法二:6分段后面还有如下证法，可以参照酌情给分.【证法2】2x 为方程2220x x a ++=的解，所以22222x x a --=,∵102a <<， 120x x <<，212x =-，∴2102x -<<, 先证21()0f x x >，即证2()0f x <（120x x <<）,在区间12(,)x x 内，()0f x '<，2(,0)x 内()0f x '>，所以2()f x 为极小值，2()(0)0f x f <=,即2()0f x <，∴21()0f x x >成立；…………………8分再证21()1ln 22f x x <-+，即证22211()(ln 2)(1)(ln 2)(1)22f x x x >-+--=-+,222222211(22)ln(1)(ln 2)ln 222x x x x x -++-->-,令221()(22)ln(1)(ln 2)2g x x x x x x =-++--， 1(,0)2x ∈-…………………10分2(1)1()2(42)ln(1)(ln 2)12x x g x x x x x +'=-++---+,12(21)ln(1)(ln 2)2x x =-++--,ln(1)0x +<，210x +>，1ln 202-<,∴()0g x '>，()g x 在1(,0)2-为增函数．111111()()(21)ln (ln 2)244222g x g >-=-⨯-+-111111ln ln 2ln 2422422=++-=-． 综上可得21()10ln 22f x x <<-+成立．………………………12分22.证明:（Ⅰ）∵∠BAD ＝∠BMF ，所以A,Q,M,B 四点共圆，……………3分所以PA PB PM PQ ⋅=⋅.………………5分(Ⅱ)∵PA PB PC PD ⋅=⋅ ,∴PC PD PM PQ ⋅=⋅ ，又 CPQ MPD ∠=∠ , 所以~CPQ MPD ∆∆，……………7分 ∴PMD PCQ ∠=∠ ,则DCB FMD ∠=∠,………………8分 ∵BAD BCD ∠=∠，∴2BMD BMF DMF BAD ∠=∠+∠=∠,2BOD BAD ∠=∠,所以BMD BOD ∠=∠.…………………10分23.解：(Ⅰ)依题意22sin cos ρθρθ=………………3分得：x y =2∴曲线1C 直角坐标方程为：x y =2.…………………5分(Ⅱ)把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ty tx 22222代入x y =2整理得：0422=-+t t ………………7分0>∆总成立，221-=+t t ，421-=t t23)4(4)2(221=-⨯--=-=t t AB ………………10分 另解：(Ⅱ)直线l 的直角坐标方程为x y -=2，把x y -=2代入x y =2得：0452=+-x x ………………7分0>∆总成立，521=+x x ，421=x x 23)445(212212=⨯-=-+=x x k AB …………………10分 24. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x ⎩⎨⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x ⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞………………5分 (Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a x a x a x a x x a x x f ,2232,222,223)(； 时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩； 时，2<a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x a x a x x f ； ∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分 则⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(f a f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分。
【2020年数学高考】石家庄市2020届高中毕业班模拟考试(一)理科数学.doc
石家庄市2020届高中毕业班模拟考试（一）理科数学（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.2. 已知为虚数单位，，其中，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】，其中，解得，，故选3. 函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的值域为，即，则在区间上随机取一个数的概率．故选B．4. 点是以线段为直径的圆上的一点，其中，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】故选5. ，满足约束条件：，则的最大值为（）A. -3B.C. 3D. 4【答案】C【解析】依题意可画出可行域如下：联立，可得交点(2,-1)，如图所示，当经过点(2,-1)时，z最大为3.故选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为，则判断框中可填写的关于的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，第五次运行，此时，输出25，故选C7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：，），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（）A. 82平方里B. 83平方里C. 84平方里D. 85平方里【答案】C【解析】由题意可得：代入：则该三角形田面积为平方里故选8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可知，几何体为半圆柱挖去半球体几何体的表面积为故选9. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义在上的偶函数，，即，则函数的定义域为函数在上为增函数，故两边同时平方解得，故选10. 在中，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】有正弦定理可得，故当时，的最大值为.故选D.11. 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点在直线上，若为正三角形，则其边长为（）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】如图：设，则：，取中点，分别作垂直于直线，连接则有，相减可得：即故设则，解得故，解得故选12. 设，为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，正方向到正方向的角度为，那么对于任意的点，在下的坐标为，那么它在坐标系下的坐标可以表示为：，.根据以上知识求得椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故可化为方程表示为椭圆化简得：代入方程得：，，，故故选点睛：本题主要考查了三角函数的计算问题，以平面直角坐标系为载体，新定义坐标系，建立两坐标之间的关系，代入化简，由题意中的椭圆求出的值，再次代入求出结果，计算量比较大，有一定的难度。
石家庄市2019届高中毕业班第一次模拟测试数学(理科)试卷含答案
C M y
B
CB n x2 3 y2 0 则 CF n x2 3z2 0
解得 x2
3 ， y2 1 ， z2 1 即 n ( 3, 1, 1) „„„„10 分
mn 3 1 0 2 5 2 2 m n 2 3 1 1 5
∴ BD 3 ,即 BD 长的最小值为 3. „„12 分
18. 解： （1）证明：在 PBC 中， PBC 60 ， BC 2 ， PB 4 ，由余弦定理可得 PC 2 3 ，
o
PC 2 BC 2 PB2 ， PC BC ，„„„„2 分
又 PC AB, AB BC B ，
2
三、解答题 17. 解: （1） ∵△ABC 三内角 A、B、C 依次成等差数列，∴B=60° 设 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,由 S 3 3 =
1 ac sin B 可得 ac 12 .„„2 分 2
„„4 分
∵ sin C 3sin A ，由正弦定理知 c 3a ，∴ a 2, c 6 . △ABC 中，由余弦定理可得 b2 a 2 c 2 2ac cos B 28 ，∴b= 2 7 . 即 AC 的长为 2 7 （2）∵BD 是 AC 边上的中线，∴ BD
2019届河北省石家庄市高三毕业班模拟考试_理科数学(解析版)
4
tan tan 4
1 tan tan
2 1
1 21
3 ．
4
4．下列说法中正确的是（ ）
A． 若数列{an} 为常数列，则{an} 既是等差数列也是等比数列；
B． 若函数 f (x) 为奇函数，则 f (0) 0 ；
C． 在△ABC 中， A B 是 sin A sin B 的充要条件； D． 若两个变量 x, y 的相关系数为 r ，则 r 越大， x 与 y 之间的相关性越强．
c 2 ，e
2
．
a2
10．已知函数
f (x) 2cos(x )
0,
2
的部分函数图像如图所示，点
A(0,
3),
B
6
,
0
，
则函数
f (x) 图像的一条对称轴方程为（
）
A． x
3
10．答案：D
B． x
12
C． x
18
D． x
24
解析：
6
，
4 ，
f
(x)
1
C．
4
答案：D
2
2
2i
i1
2．解析： z z z
= 1 i
1i 2 2 ．
1
D．
2
3．已知 cos
2 cos(
)
，则 tan
（
）
2
4
A． 3
3．答案：A
B．3
1 C．
3
1
D．
3
sin
解析：由题意结合诱导公式可得： sin 2cos , tan
2，
cos
据此有：
2020届石家庄一模理科数学 05-29
5
.
………………………12 分
2
18.解：（Ⅰ）证明：如图 1，取线段 DF 的中点 H，连接 HG， G 是线段 CF 的中点， 1
则 HG∥CD 且 HG= CD. …………2 分 2
在菱形 ABCD 中 E 为线段 AB 中点， 则 BE∥CD 且 BE= 1 CD.
2 则 HG∥BE 且 HG=BE， 故四边形 BEHG 为平行四边形， 所以 BG∥EH. …………………………………………………4 分 又因为 BG 平面 DEF，EH 平面 DEF， 所以 BG∥平面 DEF . ………………………………………5 分
………………………………… 12 分
20.解：（Ⅰ）设 A x1, y1 , B x2, y2 ，
方式一：
由题 x12 2 py1, x22 2 py2 ，
由 x1 x2 4 ，则直线 l 斜率为
………………………1 分
………………………2 分
整理得 3sin B cos C 2 sin B 0 .
因为 sin B
0 ，所以 cos C
2 3
.
…………………………………4 分
解法 2：由 3c cos B 3a 2b 得 3ac cos B 3a2 2ab ，
由余弦定理得： 3 a2 c2 b2 6a2 4ab …………………………2 分
故点 M 在直线 x 上， f x x ，
过 P 作 f x 的切线，设切点坐标为 A x, y x ，
则有
f
x
f x
x
，即 x
x ，解得 x
，
此时切线斜率 k
，切线方程为
y
x
.
河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 数学理科
2009石家庄市高三第一次模拟考试数学理科答案一、A卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.A2. B3. A4. B5.D6.A7. B8.A9. C 10. D 11.B 12.C 一、B卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. B2. A3. B4.D5.A6. B7.A8. C9. D 10.B 11.C 12.A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．13a = 14．12315． 1 16．③ ，④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题10分)解：(Ⅰ)该天平均每人的课外阅读时间为0.520110 1.515251.0550⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）答：这一天平均每人的课外阅读时间为1.05小时.………………………4分 (Ⅱ) 记这2名学生该天阅读时间量互不相同为事件A ,222220151052502()7C C C C P A C +++==,………………………7分 25()1()177P A P A =-=-=.…………………………………9分 答: 这2名学生该天阅读时间量互不相同的概率为57.…………………10分18．(本题12分)解: (Ⅰ)由余弦定理知:2cos 2A ==………2分cos 1)12AB AC AB AC A ∴⋅=⋅=⋅=.……………5分 (Ⅱ)由AC mAO nAB =+,知,. AB AC mAB AO nAB AB AC AC mAC AO nAC AB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩∴2 1(31), 2(31).mAB AO nmAC AO n=⋅+=⋅+⎪⎩…………………………………7分O为ABC∆的外心，2112cos(1)2ABAB AO AB AO BAO AB AOAO∴⋅=⋅∠=⋅⋅=.同理1AC AO∴⋅=.………………………………10分即22111)1),221).m nm n=+⎪=+⎩，解得:1,mn⎧=⎪⎨=⎪⎩……12分19．(本题12分)（Ⅰ）取BC的中点M，连结PM，AM.四边形ABCD为菱形,0120BAD∠=,则,,BC AM BC PM⊥⊥……………2分BC APM∴⊥平面，BC PA⊥从而.同理DC PA⊥故PA ABCD⊥平面.……………………4分（或用同一法可证）（Ⅱ）先求二面角E AC B--的大小取AB的中点H，过H作HN AC⊥于点N，连结EN.则EH ABCD⊥平面，ENH∠是二面角E AC B--的平面角，……6分可求得ENH∠=，又PAC ABCD⊥平面平面，所以二面角E AC P--的大小为arctan2π-……………………8分BCDEPA HN法二: 过A 作AM AB ⊥交CD 于M ， 以A 为坐标原点，直线AM 、AB 、AP 分别为x y 、、z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -. 则A （0，0，0），,0)C ，P （0，0，2），(0,1,1)E .(0,0,2)AP ∴=,(3,1,0),AC =(0,1,1)AE =.…………………6分设平面PAC 的法向量为1111(,,)x y z =n ， 则110,0.AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n11120,0.z y =⎧⎪+=即取1x =1,-则1(1=-n . 设平面AEC 的法向量为2222(,,)x y z =n ，则220,0.AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n22220,0.y y z +=+=⎪⎩即取21y =，则2(1)=-n . cos ＜1n ，2n ＞=1212⋅=⋅n n n n ，∴二面角E AC P --的大小为arccos7……………………8分 （Ⅲ）先求点B 到平面PAF 的最大距离.PA ABCD PAF ABCD PAFABCD AF ⊥∴⊥=平面，平面平面，平面平面，∴点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离. ……10分过B 作直线AF 的垂线段,在所有的垂线段中长度最大为2AB =. E 为PB 的中点,故点E 到平面PAF 的最大距离为1. ……………………12分 20.(本题12分)解：（Ⅰ）2()2,xf x e a '=-（ⅰ）当0a ≤时, ()0,f x '>∴()f x 的单调递增区间是(,-∞+∞).……………………2分(ⅱ) 当0a >时,令()0,f x '=得1ln .22a x =当1ln 22ax <时，()0,f x '< 当1ln 22ax >时，()0.f x '>()f x ∴的单调递减区间是(1,ln 22a-∞)，()f x 的单调递增区间是 (1ln ,22a+∞).……………………5分(Ⅱ)()f x a <,∴2,x e ax a -<2(1),x a x e +>(1,1]x ∈-,10x +>.∴2,1x e a x >+设2(),1xe g x x =+ 若存在实数(1,1]x ∈-,使得()f x a <成立, 则a >min ().g x ……………………8分22(21)(),(1)x e x g x x +'=+解得()0,g x '=得12x =-, ∴当112x -<<-时, ()0,g x '<当112x -<≤时, ()0,g x '>∴()g x 在1(1,)2--上是减函数,在1(,1]2-上是增函数. …………………10分∴1min12()(),1212e g x g e-=-==-a 的取值范围是(2,e+∞).…………………………………………………12分21．(本题12分)（I ）由2OP OM ON =+，得P 是MN 的中点. …………2分 设),(),,(),,(2211mx x N mx x M y x P -依题意得:121222212122,2,()()2.x x x mx mx y x x mx mx ⎧+=⎪-=⎨⎪-++=⎩ 消去21,x x ，整理得112222=+m y m x ． 当1>m 时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当10<<m 时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当1=m 时，方程表示圆． ……………………………5分 （II ）由1m >，焦点在y 轴上的椭圆，直线l 与曲线C 恒有两交点， 直线斜率不存在时不符合题意；可设直线l 的方程为1y kx =+，直线与椭圆交点1122(,),(,)A x y B x y .224222221()21011y kx x y m k x kx m m m =+⎧⎪⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎪⎩ 21212424221,k m x x x x m k m k -+=-=++22212124242(1)2(1)(1)1k m k y y kx kx m k m k--=++=++++.………………7分 要使AOB ∠为锐角，只需0OA OB ⋅>422121242(1)10m k m x x y y m k -++∴+=>+.………………9分即422(1)10m k m -++>， 可得22211m k m+>+，对于任意1m >恒成立. 而2212m m+>，21211,.k k ∴+≤-≤≤所以k 的取值范围是[1,1]-.………………12分 22(本题12分) 解:(Ⅰ)21231n n n a a n n --=+⋅-，………………1分 2211122323232(13)1313n nn n a n---=++⋅+⋅++⋅-=+=-，即13n n a n -=⋅(n ∈*N ).………………3分 （II ）1()n b n n =∈*N ，111111,12,2234+>+++> 1111111132345678+++++++<.猜想当3n ≥时，2n S n <.………………4分 下面用数学归纳法证明:①当3n =时，由上可知323S <成立； ②假设(3)n k k =≥时，上式成立，即1111232k k ++++<. 当1n k =+时，11111111232212112122121k k k k k kk k k k ++=++++++++<++++<+<++左边所以当1n k =+时成立.由①②可知当3n ≥()n ∈*N 时,2n S n <. ………………7分 综上所述当1n =时, 121S >;当2n =时, 222S >;当3n ≥()n ∈*N 时,2n S n <. ………………8分（III ）131n n n a c n +==+ 当2n ≥时，121123232311(31)(31)(33)(31)(31)3131n n n n n n n n n n---⨯⨯⨯≤==--------.所以22222233232331111()()2(31)(31)22313131n n n T ⨯⨯=+++≤+-+------ ＋1111()22313131n n n -+-=-<---.………………12分。
河北省石家庄市高三第一次模拟考试——数学理数学(理)
河北省石家庄市 2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,{}*|12B x N x =∈-≤,则 ( ) A ． B ．C ．D ．2.若是复数, ,则 ( ) A ． B ．C ．1D ．3.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心B ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量与,随机变量的观测值越大,则判断“与有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程中,当解释变量每增加1个单位时,预报变量平均增加0.2个单位 4.函数 (为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数 (,)的最小正周期为,其图象关于直线对称,则的最小值为( ) A ． B ．C ．D ．6.已知三个向量，，共面，且均为单位向量，，则的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A．48 B．54 C．64 D．608.已知函数在上单调,且函数的图象关于对称,若数列是公差不为0的等差数列,且,则的前100项的和为( )A． B．C．D．9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A．①②B．①③C．②④D．①④10.已知，满足约束条件20,220,220,x yx yx y+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若恒成立,则直线被圆22(1)(2)25x y-+-=截得的弦长的最大值为( )A． B．C．D．11.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于点,于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( )A． B．C．D．12.已知函数与的图象有三个不同的公共点,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．或 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题:，，则为 ．14.程序框图如图所示,若输入, , ,则输出的为 ．15.已知、分别为双曲线（，）的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，为的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则 （注：、、分别为、、的面积）．16.已知数列中, , ,若为递增数列,则实数的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，内角，，的对边分别是，，，且. （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）点满足，且线段，求的最大值. 18.在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，.（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25（分贝），并规定测试值在区间为非常优秀，测试值在区间为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为，求的分布列与数学期望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号，，，（其中，，，为1,2,3,4的一个排列）．若为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求的概率．20.已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，为原点，，是轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点．（Ⅰ）求的面积的最小值； （Ⅱ）证明：，，三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，．（Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围； （Ⅱ）若函数存在两个极值点，，且，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为． （Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于、和、，且点在第一象限，当四边形的周长最大时，求直线的普通方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-． （Ⅰ）当时，的最小值为1，求实数的值； （Ⅱ）当时，求的取值范围．参考答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12： 二、填空题13.， 14.1024 15. 16. 三、解答题17.解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴， ∵，∴．（Ⅱ）在中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴， ∵ ，∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为6． 18.（Ⅰ）证明：在中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知，，， 解得，所以，即，可求得． 在中， ∵, , , ∴,∴,∵平面, ,∴平面．（Ⅱ）过作直线垂直于，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系． ∵由（Ⅰ）可知，平面平面，∴在平面上的投影一定在上，过作于，则，，则， 易求，，， 则，，，设平面的法向量，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得．同理可求得平面的法向量，∴1212cos ||||13n n n n θ⋅===⋅19.解：（Ⅰ）的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， 的分布列为：0 1 2 3 4158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）序号，，，的排列总数为种， 当时，，，，．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，，，，的取值为，，，；，，，；，，，． 故．20.解：（Ⅰ）设，，∵，可得，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当时等号成立． ∴，∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形的面积的最小值为1． （Ⅱ）∵，，∴直线的方程为，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=， 由，得，① 同理可得，∵，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+②故由①②可知：， 代入椭圆方程可得 ∵，故，分别在轴两侧，， ∴，∴，，三点共线．21.解：（Ⅰ）函数的定义域为，由题意222'()2,111a x x af x x x x x-+-=-=<--，224(2)()48a a ∆=---=-．①若，即，则恒成立， 则在上为单调减函数；②若，即，方程的两根为，，当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，不符合题意． 综上，若函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为． （Ⅱ）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根， 即在有两个不等的实根，，于是，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足，， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---， 令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，．[]22'()2ln (1)1xg x x x x x=--++-，， ∵，∴，又时，，∴，则在上单调递增， 所以，即，得证． 22.解：（Ⅰ），（为参数）． （Ⅱ）设四边形的周长为，设点，))θθθϕ=+=+， 且，，所以，当（）时，取最大值， 此时，所以，2cos 2sin θϕ==，此时，，的普通方程为．23.解：（Ⅰ）当时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当时，的最小值为，解得．（Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当时，成立， 所以，当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是．。
石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷.docx
2016届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学（理科）A 卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数i i z -=12（i是虚数单位），则=z ( )A ．i +-1B ．i --1C ．i +1D ．i -12.已知集合}065|{2<--=x x x A ，}33|{<<-=x x B ，则=B A I ( )A ．)3,3(-B ．)6,3(-C ．)3,1(-D ．)1,3(-3.设变量y ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+02202201y x y x x ，则目标函数y x z 43+=的最小值为( )A ．1B ．3C ．526D ．19-4.函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图像如右图所示，则)2411(πf 的值为( )A ．26- B ．23- C ．22- D ．1-5.程序框图如图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为( )A ．81B ．1C ．2D ．46.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：甲 乙 9 8 2 6 8 92 10 3 1 1 ①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7.过点)1,0(A 作直线，与双曲线1922=-y x 有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．无数8.如图所示的数阵中，用),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则依此规律)2,15(A 为( )A ．4229B ．107C ．2417 D ．102739.已知函数)2(+=x f y 的图象关于直线2-=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，|log |)(2x x f =，若)3(-=f a ，)41(f b =，)2(f c =，则c b a ,,的大小关系是( ) A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >>10.某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( )A ．4B ．316C ．320 D ．1211.C B A ,,是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若OB OA OC μλ+=（R R ∈∈μλ,），则μλ+的取值范围是( ) A ．)1,0( B ．),1(+∞ C ．]2,1( D ．)0,1(-12.如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )A ．415B ．51C ．562D ．41第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.6)41(x x -的展开式中常数项为. 14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤<-=10),1(log 01,2sin )(2x x x x x f π，且21)(-=x f ，则x 的值为 . 15.已知ABC ∆中，BC AD BAC BC AC ⊥=∠==,60,72,4ο于D ，则CD BD 的值为 . 16.若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大值为21，则m 的值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）18.（本小题满分12分）在平面四边形ACBD （图①）中，ABC ∆与ABD ∆均为直角三角形且有公共斜边AB ，设2=AB ，ο30=∠BAD ，ο45=∠BAC ，将ABC ∆沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥ABC C -'，且使2'=D C . （Ⅰ）求证：平面⊥AB C '平面DAB ；（Ⅱ）求二面角B D C A --'的余弦值.19.（本小题满分12分）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分.用随机变量X 表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X 的分布列和数学期望.20. （本小题满分12分）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF .（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：直线AB 过定点.21. （本小题满分12分）已知b x ax e x f x +--=2)(2（e 为自然对数的底数，R b a ∈,）.（Ⅰ）设)('x f 为)(x f 的导函数，证明：当0>a 时，)('x f 的最小值小于0；（Ⅱ）若0)(,0>>x f a 恒成立，求符合条件的最小整数b . AD CB ① D 'CB A ②请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，过点P 分别做圆O 的切线PA 、PB 和割线PCD ，弦BE 交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共圆.（Ⅰ）证明：CD AE //；（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且3===FD CF PC ，求四边形PBFA 的外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|1|||)(-+=x x x f .（Ⅰ）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.2016届高三数学一模理科答案一．选择题：A 卷答案：1-5 BCBDA 6-10 CCCBB 11-12 BAB 卷答案：1-5 ACADB 6-10 CCCAA 11-12 AB二．填空题： 13.. 516- 14. 13-15. 6 16.32 三、解答题： 17. 解：（I ）由已知得2351112=4+8=2010910+=10+45=1002a a a a d a d a d ++⎧⎪⎨⨯⎪⎩， -------------------------------2分 解得112a d =⎧⎨=⎩，-------------------------------4分 所以{}n a 的通项公式为52(3)21n a n n =+-=-，--------------------------------5分（II ）由（I ）可知21(21)2n n n a b n -⋅=-⨯，所以1352321123252(23)2(21)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，① 35721214123252(23)2(21)2n n n S n n -+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，②---------------------7分①-②得：352121322(222)(21)2n n n S n -+-=+⨯++⋅⋅⋅+--⨯ 35212122(222)(21)23n n n n S -++⨯++⋅⋅⋅+--⨯∴=-………………9分 1218(14)22()(21)2143n n n -+-+⨯--⨯-=- 121628(14)(63)29n n n -+-+⨯-+-⨯=---------------------11分 2110(65)29n n ++-⨯=--------------------------12分 18. 解：（1）取AB 的中点O ，连,C O DO '，在,RT ACB RT ADB ∆∆，2AB =，则1C O DO '==，又2C D '=Q ，∴222C O DO C D ''+=，即C O OD '⊥，…………2分又C O AB '⊥Q ，AB OD O =I ，,AB OD ⊂平面ABDC O '∴⊥平面ABD ，…………………4分又C O '⊂Q 平面ABC '∴平面C AB '⊥平面DAB…………5分（2）以O 为原点，AB ，OC '所在的直线分别为,y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则31(0,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(,,0)22A B C D '-， 31(0,1,1),(0,1,1),(,,1)22AC BC C D '''∴==-=-u u u u r u u u u r u u u u r …………6分 设平面AC D '的法向量为1111(,,)n x y z =u u r ，则11n AC n C D ⎧'⊥⎪⎨'⊥⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r ，即1100n AC n C D ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r ， 11111031022y z x y z +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令11z =，则11y =-，13x =， 1(3,1,1)n ∴=-u u r …………8分设平面BC D '的法向量为2222(,,)n x y z =u u r ，则22n BC n C D ⎧'⊥⎪⎨'⊥⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r ，即2200n BC n C D ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r ， 22222031022y z x y z -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令21z =，则21y =，233x =， 23(,1,1)3n ∴=u u r ………………10分 1233(1)11111053cos ,351731111533n n ⨯+-⨯+⨯∴===++⋅++⋅u u r u u r ，二面角A C D B '--的余弦值为35105-.……………12分 19.解：（I ） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ， ∵5.020.010.0205.0<++⨯，且5.06.01)20.040.0(>=⨯+，∴]5,4[∈x …………………2分随机变量ξ的所有可能取值为-4，-2,0,2,4； …………………………………8分()421645625P X ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，625216)53()52()2(3134===C X P 62596)53()52()2(314==-=C X P 625216)53()52()0(2224===C X P ； 625216)53()52()2(3134===C X P ()438145625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ X-4 -2 0 2 4 P 16625 96625 216625 216625 81625 …………………10分…………………12分 20.解：（1）抛物线C 的准线方程为：2p x =-， ||22p MF m ∴=+=，又42pm =Q ，即42(2)2p p =---------------------2分 2440,2p p p ∴-+=∴=()1696216216814420246256256256256255EX ()=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=抛物线C 的方程为24y x =. -------------------4分（2）设点E (0,)(0)t t ≠，由已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+ 联立24y kx ty x =+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+= Q 直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt = 代入222120x x t t-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t --------------------------------------6分 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则0000010122y t x y x t t -⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++-------------------------------8分 思路1：直线AB 的斜率为22(1)1AB t k t t =≠±- 直线AB 的方程为222()21t y x t t t =-+-，--------------------------------------10分 整理22(1)1t y x t =-- ∴直线AB 过定点恒过定点(1,0)F --------------------------------------11分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时直线AB 为1x =，过点(1,0)F .综上，直线AB 过定点恒过定点(1,0)F --------------------------------------12分思路2：直线AF 的斜率为22(1)1AF t k t t =≠±-， 直线BF 的斜率为22222021(1)2111BF t t t k t t t t -+==≠±--+， AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线--------------------------------------10分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线. --------------------------------------11分 ∴直线AB 过定点F .--------------------------------------12分21. 解：（Ⅰ）证明：令()()22x g x f x e ax '==--,则()2xg x e a '=-因为0a >，令0()0g x '=，0ln 2x a =所以当(,ln 2)x a ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增--------------------2分则ln 2min min ()()(ln 2)2ln 22=22ln 22a f x g x g a ea a a a a '===------------------------3分 令()ln 2G x x x x =--，(0)x >()1(ln 1)ln G x x x '=-+=-当(0,1)x ∈时，()0G x '>，()G x 单调递增当(1,)x ∈+∞时，()0G x '<，()G x 单调递减所以max ()(1)10G x G ==-<，所以min ()0f x '<成立. --------------------5分（Ⅱ）证明：()0f x >恒成立，等价于min ()0f x >恒成立令()()22x g x f x e ax '==--，则()2xg x e a '=-因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，又(0)10g =-<，022)1(g >--=a e ，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x =---------------------6分则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减； 0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；所以02min 000()()20x f x f x e ax x b ==--+>恒成立 (1)且00220x e ax --= (2)由（1）（2）,000020000002(1)2(1)22x x x x x e b e ax x e x x e x >-++=-+-+=-+即可-----------------8分 又由（2）00202x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------------9分 令()(1),(0,ln 2)2x xm x e x x =-+∈()n x =1()(1)12x m x x e '=-+ 1()02x n x xe '=>， 所以021)0()(>=>n x n ，所以()m x 单调递增， 1)1()0()(0-=-=>e m x m ， 22ln 22ln )122ln ()2(ln )(2ln -=+-=<e m x m ---------------------11分所以1b >-，所以符合条件的=0b ---------------------12分法2：令0,(0)10,1x f b b ==+>>-，故符合条件的最小整数0b =.-------------------6分现证明0b =时，()0f x > 求2()2x f x e ax x =--的最小值即可令()()22x g x f x e ax '==--，则()2xg x e a '=-因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，又(0)10g =-<，(1)220g e a =-->，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x =则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减； 0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；所以02min 000()()2x f x f x e ax x ==-- .(1) 且00220x e ax --= (2)00000min 000()()(2)2(1)22x x x x x f x f x e e x e x ==---=-----------------8分 又由（2）00202x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------9分 现在求函数()(1),(0,ln 2)2x xp x e x x =--∈的范围 0()q x =1()(1)12x p x x e '=--，01()02x q x xe '=-<， 所以021)0()(<-=<q x q ，所以()p x 单调递减， 1)1()0()(0=-=<e p x p02ln 22ln )22ln 1()2(ln )(2ln >-=--=>e p x p -------------11分所以=0b 是符合条件的. -------------12分选做题：22.解：（I ）连接AB,Q P 、B 、F 、A 四点共圆，PAB PFB ∴∠=∠． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又Q PA 与圆O 切于点A, PAB AEB ∴∠=∠,．．．．．．．．．．．．．4分 PFB AEB ∴∠=∠//AE CD ∴.．．．．．．．．．．．．．5分 （II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆， 由PAB ∆外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，∴OP 是该外接圆的直径. ．．．．．．．．．．．．．7分由切割线定理可得23927PA PC PD =⋅=⨯=．．．．．．．．．．．．．9分 222725213OP PA OA ∴=+=+=.∴四边形PBFA 的外接圆的半径为13. ．．．．．．．．．．．．10分 23解：（I ）1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， ．．．．．．．．．．．．2分 2C 的直角坐标方程为3x =；．．．．．．．．．．．．4分（II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A,PQ OP ⊥Q ,PQ ∴过点A (2,0),设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数， 代入1C 可得22cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或，可知2|||||2cos |AP t θ==．．．．．．．．．．．．6分代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=， 可知/1||||||cos AQ t θ==．．．．．．．．．．．．8分所以PQ=1 |||||2cos|||22,cosAP AQθθ+=+≥当且仅当1|2cos|||cosθθ=时取等号，所以线段PQ长度的最小值为22.．．．．．．．．．．．．10分24.解：（I）由已知可得12,0()1, 0121,1x xf x xx x-<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以min()1f x=，．．．．．．．．．．．．3分所以只需|1|1m-≤，解得111m-≤-≤，02m∴≤≤，所以实数m的最大值2M=. ．．．．．．．．．．．．5分（II）法一：综合法222a b ab+≥Q1ab∴≤1ab∴≤，当且仅当a b=时取等号，①．．．．．．．．．．．．7分又2a bab+≤Q21≤+∴baab2abbaab≤+∴，当且仅当a b=时取等号，②．．．．．．．．．．．．9分由①②得，21≤+∴baab，所以2a b ab+≥.．．．．．．．．．．．．10分法二：分析法因为0,0a b>>,所以要证2a b ab +≥，只需证222()4a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥，22a b M +=Q ，所以只要证22224ab a b +≥，．．．．．．．．．．．．7分 即证22()10ab ab --≤，即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤， 下证1ab ≤，因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥．．．．．．．．．．．．10分。
河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 数学理科
2009石家庄市高三第一次模拟考试数学理科答案一、A卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.A2. B3. A4. B5.D6.A7. B8.A9. C 10. D 11.B 12.C 一、B卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. B2. A3. B4.D5.A6. B7.A8. C9. D 10.B 11.C 12.A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．13a = 141cos 315． 1 16．③ ，④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题10分)解：(Ⅰ)该天平均每人的课外阅读时间为0.520110 1.515251.0550⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）答：这一天平均每人的课外阅读时间为1.05小时.………………………4分 (Ⅱ) 记这2名学生该天阅读时间量互不相同为事件A ,222220151052502()7C C C C P A C +++==,………………………7分 25()1()177P A P A =-=-=.…………………………………9分 答: 这2名学生该天阅读时间量互不相同的概率为57.…………………10分18．(本题12分)解: (Ⅰ)由余弦定理知:2cos 2A ==,………2分cos 1)1AB AC AB AC A ∴⋅=⋅==.……………5分 (Ⅱ)由AC mAO nAB =+,知,. AB AC mAB AO nAB AB AC AC mAC AO nAC AB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩∴21(31),2(31).mAB AO nmAC AO n=⋅+=⋅+⎪⎩…………………………………7分O为ABC∆的外心，2112cos(1)2ABAB AO AB AO BAO AB AOAO∴⋅=⋅∠=⋅⋅=.同理1AC AO∴⋅=.………………………………10分即22111)1),221).m nm n=+⎪=+⎩，解得:1,mn⎧=⎪⎨=⎪⎩……12分19．(本题12分)（Ⅰ）取BC的中点M，连结PM，AM.四边形ABCD为菱形,0120BAD∠=,则,,BC AM BC PM⊥⊥……………2分BC APM∴⊥平面，BC PA⊥从而.同理DC PA⊥故PA ABCD⊥平面.……………………4分（或用同一法可证）（Ⅱ）先求二面角E AC B--的大小取AB的中点H，过H作HN AC⊥于点N，连结EN.则EH ABCD⊥平面，ENH∠是二面角E AC B--的平面角，……6分可求得arctan3ENH∠=，又PAC ABCD⊥平面平面，所以二面角E AC P--的大小为arctan23π-……………………8分BCDEPA HN法二: 过A 作AM AB ⊥交CD 于M ， 以A 为坐标原点，直线AM 、AB 、AP 分别为x y 、、z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -. 则A （0，0，0），C ，P （0，0，2），(0,1,1)E .(0,0,2)AP ∴=,(3,1,0),AC =(0,1,1)AE =.…………………6分设平面PAC 的法向量为1111(,,)x y z =n ，则110,0.AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n11120,0.z y =⎧⎪+=即取1x =1,-则1(1=-n . 设平面AEC 的法向量为2222(,,)x y z =n ，则220,0.AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n22220,0.y y z +=+=⎪⎩即取21y =，则2(,1,1)3=--n . cos ＜1n ，2n ＞=1212⋅=⋅n n n n∴二面角E AC P --的大小为arc ……………………8分 （Ⅲ）先求点B 到平面PAF 的最大距离.PA ABCD PAF ABCD PAFABCD AF ⊥∴⊥=平面，平面平面，平面平面，∴点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离. ……10分 过B 作直线AF 的垂线段,在所有的垂线段中长度最大为2AB =. E 为PB 的中点,故点E 到平面PAF 的最大距离为1. ……………………12分20.(本题12分)解：（Ⅰ）2()2,xf x e a '=-（ⅰ）当0a ≤时, ()0,f x '>∴()f x 的单调递增区间是(,-∞+∞).……………………2分(ⅱ) 当0a >时,令()0,f x '=得1ln .22a x =当1ln 22ax <时，()0,f x '< 当1ln 22ax >时，()0.f x '>()f x ∴的单调递减区间是(1,ln 22a-∞)，()f x 的单调递增区间是 (1ln ,22a+∞).……………………5分(Ⅱ)()f x a <,∴2,x e ax a -<2(1),x a x e +>(1,1]x ∈-,10x +>.∴2,1x e a x >+设2(),1xe g x x =+ 若存在实数(1,1]x ∈-,使得()f x a <成立, 则a >min ().g x ……………………8分22(21)(),(1)x e x g x x +'=+ 解得()0,g x '=得12x =-, ∴当112x -<<-时, ()0,g x '<当112x -<≤时, ()0,g x '>∴()g x 在1(1,)2--上是减函数,在1(,1]2-上是增函数. …………………10分∴1min12()(),1212e g x g e-=-==-a 的取值范围是(2,e+∞).…………………………………………………12分21．(本题12分)（I ）由2OP OM ON =+，得P 是MN 的中点. …………2分 设),(),,(),,(2211mx x N mx x M y x P -依题意得:121222212122,2,()()2.x x x mx mx y x x mx mx ⎧+=⎪-=⎨⎪-++=⎩ 消去21,x x ，整理得112222=+m y m x ． 当1>m 时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当10<<m 时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当1=m 时，方程表示圆． ……………………………5分 （II ）由1m >，焦点在y 轴上的椭圆，直线l 与曲线C 恒有两交点， 直线斜率不存在时不符合题意；可设直线l 的方程为1y kx =+，直线与椭圆交点1122(,),(,)A x y B x y .224222221()21011y kx x y m k x kx m m m =+⎧⎪⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎪⎩ 21212424221,k m x x x x m k m k -+=-=++22212124242(1)2(1)(1)1k m k y y kx kx m k m k--=++=++++.………………7分 要使AOB ∠为锐角，只需0OA OB ⋅>422121242(1)10m k m x x y y m k -++∴+=>+.………………9分即422(1)10m k m -++>， 可得22211m k m+>+，对于任意1m >恒成立. 而2212m m+>，21211,.k k ∴+≤-≤≤所以k 的取值范围是[1,1]-.………………12分 22(本题12分) 解:(Ⅰ)21231n n n a a n n --=+⋅-，………………1分 2211122323232(13)1313n nn n a n---=++⋅+⋅++⋅-=+=-，即13n n a n -=⋅(n ∈*N ).………………3分（II ）1()n b n n =∈*N ，111111,12,2234+>+++> 1111111132345678+++++++<.猜想当3n ≥时，2n S n <.………………4分 下面用数学归纳法证明:①当3n =时，由上可知323S <成立； ②假设(3)n k k =≥时，上式成立，即1111232kk ++++<. 当1n k =+时，11111111232212112122121k k k k k kk k k k ++=++++++++<++++<+<++左边所以当1n k =+时成立.由①②可知当3n ≥()n ∈*N 时,2n S n <. ………………7分综上所述当1n =时, 121S >;当2n =时, 222S >;当3n ≥()n ∈*N 时,2n S n <. ………………8分（III ）131n n n a c n +==+ 当2n ≥时，121123232311(31)(31)(33)(31)(31)3131n n n nn n n n n n---⨯⨯⨯≤==--------.所以22222233232331111()()2(31)(31)22313131n n n T ⨯⨯=+++≤+-+------ ＋1111()22313131n n n -+-=-<---.………………12分。
河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理科数学试题
河北省石家庄市2021届高中毕业班第|一次模拟考试理科数学试题(时间120分钟 ,总分值150分 )考前须知：1. 本试卷分第I 卷 (选择题 )和第II 卷 (非选择题 )两局部 ,答卷前 ,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 答复第I 卷时,选出每题答案后 ,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 答复第II 卷时 ,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4. 考试结束后 ,将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷(选择题,共60分 )一、选择题:本大题共12小题 ,每题5分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目 要求的.1.复数z =1 -i,那么z z+1对应的点所在的象限为 A.第|一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 假设集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ,}02|{2>-∈=x x R x B ,那么)(B C A R 所含的元素个数为A. OB. 1C. 2D. 33. 设随机变量ξ服从正态分布),1(2σN .假设P(ξ ,那么p(0<ξ<1)的值为 A. B C.0.4 D.4 双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合 ,且其渐近线的方程为3x ±4y =0,那么 该双曲线的标准方程为A. 116922=-y xB. 191622=-y xC. 116922=-x yD. 191622=-x y5. 执行右面的程序框图 ,输出的S 值为 A. 1B. 9C. 17D. 206. 等比数列{a n } ,且dx x a a ⎰-=+22644 ,那么a 6(a 3 +2a 6 +a 10))的值为A. π2B. 4C. πD. -9π7. 现釆用随机模拟的方法估计该运发动射击4次 ,至|少击中3次的概率:先由计算器给出 0到9之间取整数值的随机数 ,指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运发动射击4次至|少击中3次的概率为A. 0.852B. 0.8192C O.8D.8. 巳知点(x,y)在ΔABC 所包围的阴影区域内(包含边界),假设B(3,25)是 使得z =ax -y 取得最|大值的最|优解,那么实数a 的取值范围为A. 21-≥a B. 0≥a C. 21-≤a D. 021≤≤-a 9. 假设函数)0)(2sin()(>+=A x A x f ϕπ满足f(1) =0,那么A.f(x -2) -定是奇函数B.f(x +1) -定是偶函数C. f(x +3)一定是偶函数D, f(x -3)一定是奇函数10. 正三棱锥P -ABC 的主视图和俯视图如图所 示,那么此三棱锥的外接球的外表积为A 4π B, 12πC.316π D. 364π 11. 数列{a n },41,32,23,14,31,22,13,21,12,11… ,依它的10项的规律 ,那么a 99 +a 100 的值为A 2437B 67. C. 1511 D. 157 -12. 定义域为R 的奇函数f(x)的导函数为)(x f ' ,当0≠x 时 ,0)()(>+'xx f x f ,假设)2(ln 21ln ),2(2),21(21f c f b f a =--==,那么以下关于a,b,c 的大小关系正确的选项是 A. a>b>c B, a>c>bC. c>b>aD. b>a>c第II 卷(非选择题,共90分 )本卷包括必考题和选考题两局部,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空題,本大通共4小题,每题5分,共20分.13.过点(2,3)与圆(x -1)2+y 2=1相切的直线方程为_____.14. 如图,正方形ABCD 中,EF//AB,假设沿EF 将正方形折成一个二面角后,AE:ED:AD =1：1：2,那么AF 与CE 所成的角的余弦值为______.15.为举办校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训 ,培训工程及人数分 别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个工程 ,并且舞蹈和演唱工程必须 有女生参加,則不同的推荐方案的种数为_______.(用数字作答 )16.在ΔABC 中 ,B ∠ =600 ,O 为ΔA BC 的外心 ,P 为劣弧AC 上一动点 ,且OC y OA x OP += (x,y ∈R) ,那么x +y 的取值范围为 __ _____三、解答题：本大题共6小题 ,共70分.解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤. 17. (本小题总分值12分 )如图 ,有两座建筑物AB 和CD 都在河的对岸 (不知 道它们的高度 ,且不能到达对岸 ) ,某人想测量两 座建筑物尖顶A 、C 之间的距离 ,但只有卷尺和测 角仪两种工具.假设此人在地面上选一条基线EF ,用 卷尺测得EF 的长度为 a ,并用测角仪测量了一些角度：a AEF =∠,β=∠AFE ,θ=∠CEF ,ϕ=∠CFE ,γ=∠AEC 请你用文字和公式写出计算A 、C 之间距离的步骤和结果.18.(本小题总分值12分 )为了调査某大学学生在某天上网的时间 ,随机对lOO 名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：表l:男生上网时间与频数分布表表2:女生上网时间与频数分布表(I)从这100名男生中任意选出3人 ,其中恰有1人上网时间少于60分钟的概率；(II)完成下面的2X2列联表 ,并答复能否有90%的把握认为 "大学生上网时间与性别有关〞 ?表3:•附：19. (本小题总分值i2分 )如图 ,在四棱锥P -ABCD 中 ,PA 丄平面ABCD, 090=∠=∠ADC ABC ,0120=∠BAD ,AD =AB =1,AC 和 BD 交于O 点.(I)求证：平面PBD 丄平面PAC(II)当点A在平面PBD 内的射影G 恰好是ΔPBD 的重心时 ,求二面角B -PD -G 的余弦值.20. (本小题总分值12分 )椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1( -1 ,0) ,F 2(1,0) ,过F 1作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于A,B 两点.(I)假设ΔABF 2为正三角形 ,求椭圆的离心率； (II)假设椭圆的离心率满足2150-<<e ,0为坐标原点 ,求证:OA 2 +OB 2<AB 221 (本小题总分值12分 ) 设函数f(x ) =x 2 +aln(x +1)(I)假设函数y =f(x)在区间[1, +∞ )上是单调递增函数 ,求实数a 的取值范围； (II)假设函数y =f(x)有两个极值点x 1,x 2且x 1<x 2求证: 2ln 21)(012+-<<x x f请考生在22〜24三题中任选一题做答 ,如果多做 ,那么按所做的第|一题记分.22. (本小题总分值10分)选修4 -l:几何证明选讲如图,过圆O 外一点P 作该圆的两条割线PAB 和PCD,分别交圆 O 于点A,B,C,D 弦AD 和BC 交于Q 点 ,割线PEF 经过Q 点交圆 O 于点E 、F ,点M 在EF 上 ,且BMF BAD ∠=∠:(I)求证:PA·PB =PM·PQ (II)求证：BOD BMD ∠=∠23. (本小题总分值10分 )选修4 -4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系.x0y 中 ,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 C 的极坐标方程为: θθρcos sin 2=(I)求曲线l的直角坐标方程；|AB|的值24. (本小题总分值10分)选修4 -5:不等式选讲 巳知函数f(x) =|x -2| +2|x -a|(a∈R). (I)当a =1时 ,解不等式f(x)>3;(II)不等式1)(≥x f 在区间 ( -∞ , +∞)上恒成立 ,求实数a 的取值范围高中毕业班第|一次模拟考试数学理科答案一、选择题 A 卷答案1 -5 DCBCC 6 -10 ADADD 11 -12 AD B 卷答案1 -5 DBCBB 6 -10 ADADD 11 -12 AD 二、填空题13 . 4310x y -+=或2x = 14 .4515 . 24 16 . []1,2三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分)17.解：第|一步：在AEF ∆中 ,利用正弦定理 ,sin sin(180)AE EFβαβ︒=-- , 解得sin sin()a AE βαβ=+；……………4分第二步：在CEF ∆中 ,同理可得sin sin()a CE ϕθϕ=+；……………8分第三步：在ACE ∆中 ,利用余弦定理,AC…………12分 (代入角的测量值即可 ,不要求整理 ,但如果学生没有代入 ,扣2分 )18．解： (Ⅰ )由男生上网时间频数分布表可知100名男生中 ,上网时间少于60分钟的有60人 ,不少于60分钟的有40人 ,………………2分故从其中任选3人 ,恰有1人上网的时间少于60分钟的概率为 1260403100C C C ……………4分 156539=………………6分 (Ⅱ ) (8)22200(18002800)200 2.201001001307091K ⨯-==≈⨯⨯⨯ ,………………10分∵2 2.20 2.706K ≈<∴没有90％的把握认为 "大学生上网时间与性别有关〞.………………12分 19. 解： (Ⅰ )依题意Rt ABC Rt ADC ∆≅∆ ,BAC DAC ∠=∠ ,ABO ADO ∆≅∆ ,所以AC BD ⊥ ,……2分而PA ⊥面ABCD ,PA BD ⊥ ,又PA AC A = ,∴BD ⊥面PAC , 又BD ⊂面PBD ,∴平面PAC ⊥平面PBD …………4分 (Ⅱ ) 过A 作AD 的垂线为x 轴 ,AD 为y 轴 ,AP 为z 轴 ,建立如下图坐标系 ,那么1,0)2B - ,(0,1,0)D,0)C ,设(0,0,)P λ ,所以1,)63G λ , 31(,)22PB λ=-- ,由AG PB ⊥,得311(,),)066322AG PB λλ⋅=⋅--= 解得212λ=,λ=.………………6分 ∴P 点的坐标为(0,；面PBD 的一个法向量为6(3,1AG ==m ,……………8分设面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n,(CD =- ,(0,1,PD = 00PDCD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0z -==⎪⎩ ,∴=n ………………10分cos ,||||⋅<>==n m n m n m ,所以二面角B PD A --．……………12分 20. 解： (Ⅰ )由椭圆的定义知1212||||||||AF AF BF BF +=+ ,又22||||AF BF = ,∴11||||AF BF = ,即12F F 为边AB 上的中线 ,∴12F FAB ⊥,……………………2分 在12Rt AF F △中,2cos30,43ca ︒=那么c a = ,…………………4分 (注： ,没有过程扣3分) (Ⅱ )设11(,)A x y ,22(,)B x y 因为0e <<1c = ,所以12a +>…………6分 ①当直线AB x 与轴垂直时 ,22211y a b += ,422b y a= ,4121221b OA OB x x y y a ⋅=+=-,42231a a a -+- =22235()24a a --+, 因为2532+>a ,所以0OA OB ⋅< , AOB ∴∠恒为钝角 ,∴222OA OB AB +<.………………………8分②当直线AB 不与x 轴垂直时 ,设直线AB 的方程为：(1)y k x =+ ,代入22221x y a b+= ,整理得：2222222222()20b a k x k a x a k a b +++-= ,22122222a k x x b a k -+=+ ,222212222a k ab x x b a k -=+ 1212OA OB x x y y ⋅=+212121212(1)(1)x x y y x x k x x +=+++2221212(1)()x x k k x x k =++++22222242222222()(1)2()a k ab k a k k b a k b a k-+-++=+ 2222222222()k a b a b a b b a k +--=+ 24222222(31)k a a a b b a k -+--=+………………10分 令42()31m a a a =-+- , 由 ①可知 ()0m a < ,AOB ∴∠恒为钝角. ,所以恒有222OA OB AB +<．………………12分21. 解： (Ⅰ )0122)(2/≥+++=x ax x x f 在区间),1[+∞上恒成立 , 即x x a 222--≥区间),1[+∞上恒成立 , …………………1分4-≥a .………………3分经检验 , 当a ＝ - 4时 , 1)1)(2(21422)(2/+-+=+-+=x x x x x x x f ,),1[+∞∈x 时 ,0)(/>x f ,所以满足题意的a 的取值范围为[4,)-+∞.………………4分(Ⅱ )函数的定义域),1(+∞- ,0122)(2/=+++=x ax x x f ,依题意方程0222=++a x x 在区间),1(+∞-有两个不等的实根 ,记a x x x g ++=22)(2 ,那么有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->->->∆1210)1(0g ,得210<<a .……………………6分 ,121-=+x x 022222=++a x x ,221212a x -+-= ,0212<<-x , 2222222121)1ln()22()(x x x x x x x f --++-=,令)0,21(,1)1ln()22()(22-∈--++-=x x x x x x x k ……………………8分)1ln(21)(2+++-=x x x x x k ,)1ln(2)1()(22/+++=x x x x k , 32//)1(262)(+++=x x x x k , 因为2)0(,1)1(////=-=-k k ,存在)0,1(0-∈x ,使得0)(0//=x k , 0)0(/=k ,02ln 21)2(/<-=-k ,0)(/<∴x k ,所以函数)(x k 在)0,2(-为减函数 ,…………………10分)21()()0(-<<k x k k 即2ln 21)(012+-<<x x f ……………………12分法二:6分段后面还有如下证法 ,可以参照酌情给分.【证法2】2x 为方程2220x x a ++=的解 ,所以22222x x a --=,∵102a <<, 120x x << ,212x =- ,∴2102x -<<,先证21()0f x x > ,即证2()0f x < (120x x << ), 在区间12(,)x x 内 ,()0f x '< ,2(,0)x 内()0f x '> ,所以2()f x 为极小值 ,2()(0)0f x f <=, 即2()0f x < ,∴21()0f x x >成立；…………………8分 再证21()1ln 22f x x <-+ ,即证22211()(ln 2)(1)(ln 2)(1)22f x x x >-+--=-+, 222222211(22)ln(1)(ln 2)ln 222x x x x x -++-->-,令221()(22)ln(1)(ln 2)2g x x x x x x =-++-- , 1(,0)2x ∈-…………………10分2(1)1()2(42)ln(1)(ln 2)12x x g x x x x x +'=-++---+,12(21)ln(1)(ln 2)2x x =-++--,ln(1)0x +< ,210x +> ,1ln 202-<,∴()0g x '> ,()g x 在1(,0)2-为增函数．111111()()(21)ln (ln 2)244222g x g >-=-⨯-+-111111ln ln 2ln 2422422=++-=-．综上可得21()10ln 22f x x <<-+成立．………………………12分22.证明: (Ⅰ )∵∠BAD ＝∠BMF ,所以A,Q,M,B 四点共圆 ,……………3分所以PA PB PM PQ ⋅=⋅.………………5分(Ⅱ)∵PA PB PC PD ⋅=⋅ ,∴PC PD PM PQ ⋅=⋅ ,又 CPQ MPD ∠=∠ , 所以~CPQ MPD ∆∆ ,……………7分 ∴PMD PCQ ∠=∠ ,那么DCB FMD ∠=∠,………………8分 ∵BAD BCD ∠=∠ ,∴2BMD BMF DMF BAD ∠=∠+∠=∠,2BOD BAD ∠=∠,所以BMD BOD ∠=∠.…………………10分23.解：(Ⅰ)依题意22sin cos ρθρθ=………………3分得：x y =2∴曲线1C 直角坐标方程为：x y =2.…………………5分(Ⅱ)把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ty tx 22222代入x y =2整理得：0422=-+t t ………………7分0>∆总成立 ,221-=+t t ,421-=t t23)4(4)2(221=-⨯--=-=t t AB ………………10分 另解：(Ⅱ)直线l 的直角坐标方程为x y -=2 ,把x y -=2代入x y =2得： 0452=+-x x ………………7分0>∆总成立 ,521=+x x ,421=x x23)445(212212=⨯-=-+=x x k AB …………………10分 24. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x ⎩⎨⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞………………5分 (Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a x a x a x a x x a x x f ,2232,222,223)(； 时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩； 时，2<a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x a x a x x f ； ∴)(x f 的最|小值为)()2(a f f 或；………………8分那么⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(f a f ,解得1≤a 或3≥a .………………10分。
河北省石家庄市2012届高中毕业班第一次模拟考试(数学理)()
2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试高三数学（理科)注意事项：1. 本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效.3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。
复数=A。
i B. –i C . 1-i D。
1+i2。
下面四个条件中，使a〉b成立的充要条件是A。
a > b + 1 B。
a >b—1 C. a2〉b2 D. a3 > b33。
已知向量，且，则点P的坐标为A. （2，—4）B. (—）C。
(-） D. （-2,4）4. 函数为常数，）的部分图象如右图所示，则f（0）的值为A。
B。
C. 0 D.5。
已知.，若，则f（-a)的值为A. -3B. —2 C。
—1 D。
06。
已知实数x,y满足则的最大值为A。
9 B. 17 C. 5 D. 157。
已知等差数列{a n}的前n项和为，则使S n取得最小值时n的值为A。
4 B. 5 C。
6 D. 78. 已知程序框图如右图所示，当输入2与—2时，输出的值均为10，则输入1时输出的值为A. 2 B。
4 C. 6 D。
89。
已知A、B、C是球O的球面上三点，三棱锥O—ABC的高为且,AB=2，BC=4，则球O的表面积为A。
B. C. D.10. 设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上,且，F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为A.B。
C。
D。
11. 已知点P在曲线y=e x（e自然对数的底数)上，点Q在曲线y=lnx 上，则丨PQ丨的最小值是A. B.2E C.D。
河北省石家庄市高三数学第一次模拟考试 理(扫描版)
2010-2011年度石家庄市第一次模拟考试理科数学答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.（A 卷答案）:1-5 ADCDA 6-10 BDDAB 11-12 CD（B 卷答案）:1-5 BDCDB 6-10 ADDBA 11-12 CD二、填空题: 本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．1或2 14. 15. ( 16. 0 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）解：（I ）解法一：∵0cos )2(cos =++B c a C b ，由正弦定理得：B A BC C B cos sin 2cos sin cos sin -=+，即B A C B cos sin 2)sin(-=+.………………2分在ABC △中，A C B -=+π，∴B A A cos sin 2sin -=，0sin ≠A ………………3分 ∴21cos -=B ，∴3π2=B .………………5分 解法二： 因为0cos )2(cos =++B c a C b ，由余弦定理222222(2)022a b c a c b b a c ab ac+-+-++=， 化简得222a ac c b ++=，……………2分又余弦定理2222cos a c ac B b +-=,……………3分 所以1cos 2B =-,又(0,)B ∈π,有23B =π.……………5分 （II ）解法一： ∵2222cos b a c ac B =+-，∴224a c ac =++，……………6分 23ac ac ac ≥+=. ∴43ac ≤，………………8分∴114sin 223ABC S ac B ∆=≤⨯=9分当且仅当a c ==10分解法二： 由正弦定理知：Bb Cc sin sin =， )3πsin(3343π2sin )3πsin(2sin sin A A B C b c -=-⋅==.………………6分 ∴ABC S △==A bc sin 21)3π0(sin )3πsin(334<<-A A A , A A A sin )sin 21cos 23(334-=A A A 2sin 332cos sin 2-= )2cos 1(332sin A A --=332cos 332sin -+=A A 33)6π2sin(332-+=A ，………………8分 ∵3π0<<A ，∴6π56π26π<+<A ， ∴12πsin )6π2sin(=≤+A ，………………9分 ∴3333)6π2sin(332≤-+A ， 即ABC △的面积ABC S △的最大值是33.………………10分 18．(本小题满分12分)解：方法一：（Ⅰ）取AB 中点M ,连结CM 、EM ,由ABC ∆为正三角形，得CM AB ⊥，又AE A B C ⊥面，则AE CM ⊥，可知C M A B E ⊥面，所以MEC ∠为CE 与平面ABE 所成角．……………2分tan CM EM α==，………………4分因为[,]64αππ∈，得tan [,1]3α∈，得2k ≤≤.……………6分 （Ⅱ）延长AC ED 、交于点Ｓ，连BS ，可知平面BDE 平面ABC =BS .………………………7分由//CD AE ，且12C D A E =，又因为AC CS BC ===1，从而AB BS ⊥，…………………8分又AE ⊥面ABC ，由三垂线定理可知BE BS ⊥，即EBA ∠为平面BDE 与平面ABC 所成的角；……………………10分则tan AE EBA AB∠== 从而平面BDE 与面ABC所成的角的大小为arc .………………12分方法二：解：（Ⅰ）如图以C 为坐标原点，CA 、CD 为y 、z 轴，垂直于CA 、CD 的直线CT 为x 轴，建立空间直角坐标系（如图），则设(0,1,0)A ，(0,0,)2kD ，(0,1,)E k，1,0)2B .……………2分 取AB 的中点M，则3,0)4M ， 易知,ABE 的一个法向量为33(,0)4CM =,由题意3sin ||||CE CM CE CM α⋅===⋅.………………4分由[,]64αππ∈，则12sin 2α≤=≤，得2k ≤≤…………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知k 最大值为，则当k =时，设平面BDE 法向量为x,y,z ）n =(，则0,230.2DE y z yBE z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩n n 取n=， (8)分 又平面ABC 法向量为m =(0,0,1），……………………10分所以cos(,)n m=， 所以平面BDE 与平面ABC 所成角大小……………………12分 19．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(0,)+∞.…………………1分21()f x x a x '=+-=221x ax x-+（0x >）， 设2()21g x x ax =-+，只需讨论()g x 在(0,)+∞上的符号.…………………2分（1）若04a ≤，即0a ≤，由()g x 过定点(0,1)，知()g x 在(0,)+∞上恒正，故()0f x '>，()f x 在（0，+∞）上为增函数.…………………3分 （2）若04a >，当280a -≤时，即0a <≤()0g x ≥（当2x =时，取“=”），故()0f x '≥，()f x 在（0，+∞）上为增函数；……………………4分当280a ->时，由2210,x ax -+=得x = 当0x <<或x>()0g x '>，即()0f x '>， x<<时，()0g x '<，即()0f x '<． 则()f x 在(44a a +上为减函数，在(0,)4a -，()4a +∞上为增函数.………………5分综上可得：当a ≤(f x ）的单调增区间（0，+∞）;当a >(f x ）的单调增区间为(0,4a ，()4a ++∞；函数(f x ）的单调减区间为(44a a -+.…………………6分 （Ⅱ）由条件可得2ln 00)x x ax x --≤>（，则当0x >时，ln x a x x≥-恒成立，………………8分 令ln ()(0)x h x x x x =->，则21ln (),x x h x x--'=…………………9分 方法一：令2()1ln (0)k x x x x =-->，则当0x >时，1()20k x x x '=--<，所以()k x 在（0，+∞）上为减函数. 又(1)0h '=，所以在（0，1）上，()0h x '>；在（1，+∞）上，()0h x '<．………10分 所以()h x 在（0,1）上为增函数；在（1，+∞）上为减函数.所以max ()(1)1h x h ==-，所以 1.a ≥-……………12分方法二：当01x <<时，210,ln 0,x x ->->()0h x '>；当1x >时，210,ln 0,x x -<-<()0h x '<．……………10分所以()h x 在（0,1）上为增函数；在（1，+∞）上为减函数.所以max ()(1)1h x h ==-，所以 1.a ≥-………………12分20．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）记总分得50分为事件D ，记A ，B 答对，C 答错为事件D 1，记A ，B 答错，C 答对为事件D 2，则D =D 1+D 2，且D 1，D 2互斥.……………1分 又81)411(3121)(1=-⨯⨯=D P ，………………3分36141)311(21)(33222=⨯⨯-⨯=A A D P .…………………5分 所以12121111()()()()83672P D P D D P D P D =+=+=+=. 所以此选手可自由选择答题顺序，必答题总分为50分的概率为1172.……………6分 （Ⅱ）ξ可能的取值是0,30,50,70,80100，.……………7分100=ξ表示A ，B ，C 三题均答对， 则241413121)100(=⨯⨯==ξP ，……………8分 同理，2414131)211()80(=⨯⨯-==ξP ， 12141)311(21)70(=⨯-⨯==ξP ， 81)411(3121)50(=-⨯⨯==ξP ， 81)411(31)211()30(=-⨯⨯-==ξP ， 127)311()211()411()311(21)0(=-⨯-+-⨯-⨯==ξP ， 所以，ξ的分布列为所以ξ的数学期望111117010080705030242412883E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……………12分 21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）方法一：设直线M A 1与N A 2的交点为),(y x P ，∵21A A ，是椭圆1322=+y x 的上、下顶点， ∴12(0A A ，，…………………1分111yA M y xx-=：，121yA N y xx++=-：，两式相乘得22121233xxyy--=-.………………………3分而),(11yxM在椭圆1322=+yx（1x≠）上，所以132121=+yx，即332121=--xy，所以2233xy=-.……………4分又当0x=时，不合题意，去掉顶点.∴直线MA1与NA2的交点的轨迹C的方程是221(0)3yx x-=≠；……………5分方法二：设直线MA1与NA2的交点为),(yxP，∵21AA，是椭圆1322=+yx的上、下顶点，∴12(0A A，，…………………1分∵PMA、、1共线，PNA、、2共线，∴xyxy3311-=-…………①xyxy3311+=-+…………②…………………3分①⨯②得22212133xyxy-=--，又∵132121=+yx即332121=--xy，∴3322=-xy，即221(0)3yx x-=≠，∴直线MA1与NA2的交点的轨迹C的方程是1322=-xy；（0x≠）……………5分（Ⅱ）假设存在满足条件的直线，由已知，其斜率一定存在，设其斜率为k，设)(11y x A ，，)(22y x B ，，)0(0y E ， ， 由2221.3y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得)3(014)3(222≠=++-k kx x k ， 3134221221-=--=+k x x k k x x ，.…………………6分 11(2)AF x y =--，，22(2)FB x y =-，，∵AF FB λ=，∴21x x λ=-，∵02≠x ，∴21x x -=λ， ∵(02)OF =，，110()EA x y y =-，，220()EB x y y =-，，121020()EA EB x x y y y y λλλλ-=---+，，， 又∵()OF EA EB λ⊥-，∴()0OF EA EB λ⋅-=，∴0)2(0020121=+--⨯+-⨯y y y y x x λλλ（），即00201=+--y y y y λλ.………………………8分将211+=kx y ，222+=kx y ，21x x -=λ代入上式并整理得0212121)()(22y x x x x x kx +=++，…………………9分当021≠+x x 时，232332222221210=+--=++=k k kx x x kx y ， 当021=+x x 时，0=k ，0212121)()(22y x x x x x kx +=++恒成立，…………………11分所以，在y 轴上存在定点E ，使得()OF EA EB λ⊥-，点E 的坐标为)230(，．………12分22.(本小题满分12分)（I ）证明：方法一：∵011>=a ，由12131)11(-+++=n n n a n a 得02>a ，于是易得0>n a .………………2分 又*12110()3n n n n a a a n n +--=+>∈N ，即*1()n n a a n +>∈N 又∵32=a ，∴32=≥a a n （2≥n ）.…………………4分 方法二：数学归纳法（1）当2=n 时，332≥==a a n ，命题成立.………………1分（2）假设当k n =（2≥n ）时命题成立，即3≥k a ， 当1+=k n 时， 12131)11(-+++=k k k a k a 33112≥>++=-k k k k a k a a ∴1+=k n 时命题成立.………………3分由（1）（2）可知，当2≥n 时，3≥n a .…………………4分 （II ）证明：由（I ）知12131)11(-+++=n n n a n a 2121111(1)(1)33n n n n n a a a n n --≤++=++,……………5分 两边取自然对数得：)3111ln(ln ln 121-++++≤n n n n a a .………………6分 令)0()1ln()(≥-+=x x x x f ， 则当0x >时，01111)(<+-=-+='xx x x f 恒成立， ∴)(x f 为)0[∞+，上的减函数，∴0)0()(=≤f x f ∴x x <+)1ln(在0>x 时恒成立，………………7分 12111111ln ln ln (1)33n n n n n a a a n n n +--<++<++-131111ln -+--+=n n n n a 即<-+n n a a ln ln 1131111-+--n n n （2≥n ），………………9分 故，21311121ln ln --+---<-n n n n n a a ， 321312131ln ln ---+---<-n n n n n a a ， ……………………………31211ln ln 23+-<-a a ，以上各式相加得：2211[1()]11333ln ln 11112213n n a a n ---<-+<+=--，（3≥n ）…………10分 又∵32=a ，∴33ln 23ln <+<n a ，∴3e <n a （3≥n ），………………11分 又∵<=11a 3e ，<=32a 3e ， ∴3e <n a （*n ∈N ）.…………………12分。
河北省石家庄市2022年高三数学高中毕业班第一次高考模拟考试（理）人教版
试卷类型：A2022年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数 学理科说明：1．本试卷共4页，包括三道大题．22道小题，共150分．其中第一道大题为选择题． 2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么342x 4x 22a 232a 9102a )()(x g x f 313131313131312222321053103043772π是BC 的中点，3π212173535222a x 22b y 12π4π222236362223i i ++130652≥--x x 3π2π从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经 过其它兰个顶点后回到出发点，则动点M 经过的最短距离为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤r 17．本小题满分0分如图，已知平面四边形ABCD 中，BCD 为正三角形，AB ＝AD=1，∠BAD=，记四边 形ABCD 的面积为SI 将S 表示为的函数；Ⅱ求S 的最大值及此时的大小． 18．《本小题满分12分已知公比q 为正数的等比数列{}的前n 项和为，且4245s s =． I 求q 的值；Ⅱ若()*-∈≥+=N n n S q b n n ,2,1且数列{}也为等比数列，求数列{2n 一1}的前n 项和．19本小题满分2分为提高某篮球运动员的投篮水平，教练对其平时训练的表现作以详细的数据记录：每 次投中记分，投不中记一1分，统计平时的数据得如图所示频率分布条形图．若在某场训练中，该运动员前n 次投篮所得总分司为，且每次投篮是否命中相互之间没有影响．I 若设3S =ξ，求的分布列及数学期望； Ⅱ求出现28=S 且()3,2,10=≥i S i 的概率。
20．本小题满分12分如图，平行六面体ABCD —1111D C B A 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=3π 其中AC 与BD 交于点G ，点在面ABCD 上的射影0恰好为线段AD 的中点。
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高中毕业班第一次模拟考试理科数学试题(时间120分钟，满分150分）注意事项：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I 卷时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第II 卷时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷(选择题,共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1.复数z=1-i,则z z+1对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 若集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ，}02|{2>-∈=x x R x B ，则)(B C A R 所含的元素个数为A. OB. 1C. 2D. 33. 设随机变量ξ服从正态分布),1(2σN .若P(ξ<2)=0.8，则p(0<ξ<1)的值为A. 0.2B. 0.3C.0.4D. 0.64 已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y=0,则 该双曲线的标准方程为A. 116922=-y xB. 191622=-y xC. 116922=-x yD. 191622=-x y5. 执行右面的程序框图，输出的S 值为 A. 1B. 9C. 17D. 206. 已知等比数列{a n }，且dx x a a ⎰-=+22644，则a 6(a 3+2a 6+a 10))的值为A. π2B. 4C. πD.-9π7. 现釆用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率:先由计算器给出 0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 A. 0.852B. 0.8192C O.8D. 0.758.巳知点(x,y)在ΔABC 所包围的阴影区域内(包含边界),若B(3,25)是 使得z=ax-y 取得最大值的最优解,则实数a 的取值范围为 A. 21-≥a B. 0≥a C. 21-≤a D. 021≤≤-a9. 若函数)0)(2sin()(>+=A x A x f ϕπ满足f(1)=0,则A.f(x-2)—定是奇函数B.f(x+1)—定是偶函数C. f(x+3)一定是偶函数D, f(x-3)一定是奇函数10. 已知正三棱锥P-ABC 的主视图和俯视图如图所 示,则此三棱锥的外接球的表面积为A 4π B, 12πC.316π D. 364π 11. 已知数列{a n },41,32,23,14,31,22,13,21,12,11…，依它的10项的规律，则a 99+a 100 的值为A 2437B 67. C. 1511 D. 157- 12. 已知定义域为R 的奇函数f(x)的导函数为)(x f '，当0≠x 时，0)()(>+'xx f x f ，若)2(ln 21ln ),2(2),21(21f c f b f a =--==,则下列关于a,b,c 的大小关系正确的是A. a>b>c B, a>c>b C. c>b>a D. b>a>c第II 卷(非选择题,共90分）本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空題,本大通共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(2,3)与圆(x-1)2+y 2=1相切的直线方程为_____.14. 如图,正方形ABCD 中,EF//AB,若沿EF 将正方形折成一个二面角后,AE:ED:AD=1：1：2,则AF 与CE 所成的角的余弦值为______.15.为举办校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分 别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须 有女生参加,則不同的推荐方案的种数为_______.(用数字作答）16.在ΔABC 中，B ∠=600，O 为ΔABC 的外心，P 为劣弧AC 上一动点，且OC y OA x OP += （x,y ∈R)，则x+y 的取值范围为 ____ _____三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分）如图，有两座建筑物AB 和CD 都在河的对岸（不知 道它们的高度，且不能到达对岸），某人想测量两 座建筑物尖顶A 、C 之间的距离，但只有卷尺和测 角仪两种工具.若此人在地面上选一条基线EF ，用 卷尺测得EF 的长度为a ，并用测角仪测量了一些角度：a AEF =∠,β=∠AFE ，θ=∠CEF ,ϕ=∠CFE ,γ=∠AEC 请你用文字和公式写出计算A 、C 之间距离的步骤和结果.18.(本小题满分12分）为了调査某大学学生在某天上网的时间，随机对lOO 名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：表l:男生上网时间与频数分布表表2:女生上网时间与频数分布表(I)从这100名男生中任意选出3人，其中恰有1人上网时间少于60分钟的概率；(II)完成下面的2X2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？表3:•附：19. (本小题满分i2分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD, 090=∠=∠ADC ABC ，0120=∠BAD ,AD=AB=1,AC 和 BD 交于O 点.(I)求证：平面PBD 丄平面PAC(II)当点A 在平面PBD 内的射影G 恰好是ΔPBD 的重心时，求二面角B-PD-G 的余弦值.20. (本小题满分12分）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1(-1，0)，F 2(1,0)，过F 1作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于A,B 两点.(I)若ΔABF 2为正三角形，求椭圆的离心率； (II)若椭圆的离心率满足2150-<<e ,0为坐标原点，求证:OA 2+OB 2<AB 221 (本小题满分12分） 设函数f(x )=x 2+aln(x+1)(I)若函数y=f(x)在区间[1,+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围； (II)若函数y=f(x)有两个极值点x 1,x 2且x 1<x 2求证: 2ln 21)(012+-<<x x f请考生在22〜24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)选修4-l:几何证明选讲如图,过圆O 外一点P 作该圆的两条割线PAB 和PCD,分别交圆 O 于点A,B,C,D 弦AD 和BC 交于Q 点，割线PEF 经过Q 点交圆 O 于点E 、F ，点M 在EF 上，且BMF BAD ∠=∠:(I)求证:PA ·PB=PM ·PQ(II)求证：BOD BMD ∠=∠23. (本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系.x0y 中，以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为: θθρcos sin 2=(I)求曲线l 的直角坐标方程；(II)若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===t y t x 22222（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点求|AB|的值24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 巳知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a ∈R). (I)当a=1时，解不等式f(x)>3;(II)不等式1)(≥x f 在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围2013年高中毕业班第一次模拟考试数学理科答案一、选择题A 卷答案1-5 DCBCC 6-10 ADADD 11-12 AD B 卷答案1-5 DBCBB 6-10 ADADD 11-12 AD 二、填空题13 . 4310x y -+=或2x = 14 .4515 . 24 16 . []1,2三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分)17.解：第一步：在AEF ∆中，利用正弦定理，sin sin(180)AE EFβαβ︒=--， 解得sin sin()a AE βαβ=+；……………4分第二步：在CEF ∆中，同理可得sin sin()a CE ϕθϕ=+；……………8分第三步：在ACE ∆中，利用余弦定理，222cos AC AE CE AE CE γ=+-⋅ 2222222sin sin sin sin cos 2sin ()sin ()sin()sin()a a a βϕβϕγαβθϕαβθϕ=+-++++…………12分 （代入角的测量值即可，不要求整理，但如果学生没有代入，扣2分） 18．解：（Ⅰ）由男生上网时间频数分布表可知100名男生中，上网时间少于60分钟的有60人，不少于60分钟的有40人，………………2分故从其中任选3人，恰有1人上网的时间少于60分钟的概率为 1260403100C C C ……………4分 156539=………………6分 （Ⅱ）上网时间少于60分 上网时间不少于60分 合计 男生 60 40 100 女生 70 30 100 合计13070200……………8分22200(18002800)200 2.201001001307091K ⨯-==≈⨯⨯⨯，………………10分∵2 2.20 2.706K ≈<∴没有90％的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.………………12分 19. 解：（Ⅰ）依题意Rt ABC Rt ADC ∆≅∆，BAC DAC ∠=∠，ABO ADO ∆≅∆，所以AC BD ⊥，……2分而PA ⊥面ABCD ，PA BD ⊥，又PA AC A =，∴BD ⊥面PAC ，又BD ⊂面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD …………4分 （Ⅱ）过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示坐标系，则 31(,,0)22B -，(0,1,0)D ，(3,1,0)C ,设(0,0,)P λ， 所以31(,,)663G λ， 31(,,)22PB λ=--，由AG PB ⊥，得3131(,,)(,,)066322AG PB λλ⋅=⋅--= 解得212λ=，22λ=.………………6分 ∴P 点的坐标为2(0,0,)2；面PBD 的一个法向量为6(3,1,2)AG ==m ，……………8分设面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，(3,0,0)CD =-，2(0,1,)2PD =-00PD CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即2030y z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，∴(0,1,2)=n ………………10分 (0,1,2)(3,1,2)2cos ,||||236⋅⋅<>===⋅n m n m n m ， 所以二面角B PD A --的余弦值为22．……………12分 20. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义知1212||||||||AF AF BF BF +=+，又22||||AF BF =，∴11||||AF BF =，即12F F 为边AB 上的中线，∴12F F AB ⊥,……………………2分 在12Rt AF F △中，2cos30,43c a ︒=则33c a =， ∴椭圆的离心率33．…………………4分（注：若学生只写椭圆的离心率33，没有过程扣3分） （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y 因为5102e -<<，1c =，所以15.2a +>…………6分 ①当直线AB x 与轴垂直时，22211y a b +=，422b y a=，4121221b OA OB x x y y a ⋅=+=-,42231a a a -+-=22235()24a a --+， 因为2532+>a ，所以0OA OB ⋅<， AOB ∴∠恒为钝角，∴222OA OB AB +<.………………………8分②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =+，代入22221x y a b+=，整理得：2222222222()20b a k x k a x a k a b +++-=，PBACDz xy22122222a k x x b a k -+=+，222212222a k a bx x b a k -=+ 1212OA OB x x y y ⋅=+ 212121212(1)(1)x x y y x x k x x +=+++ 2221212(1)()x x k k x x k =++++22222242222222()(1)2()a k ab k a k k b a k b a k -+-++=+ 2222222222()k a b a b a b b a k +--=+ 24222222(31)k a a a b b a k -+--=+………………10分 令42()31m a a a =-+-， 由 ①可知 ()0m a <，AOB ∴∠恒为钝角.，所以恒有222OA OB AB +<．………………12分21. 解：（Ⅰ）0122)(2/≥+++=x ax x x f 在区间),1[+∞上恒成立， 即x x a 222--≥区间),1[+∞上恒成立， …………………1分4-≥a .………………3分经检验， 当a ＝- 4时， 1)1)(2(21422)(2/+-+=+-+=x x x x x x x f ，),1[+∞∈x 时，0)(/>x f ，所以满足题意的a 的取值范围为[4,)-+∞.………………4分（Ⅱ）函数的定义域),1(+∞-，0122)(2/=+++=x ax x x f ，依题意方程0222=++a x x 在区间),1(+∞-有两个不等的实根，记a x x x g ++=22)(2，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->->->∆1210)1(0g ，得210<<a .……………………6分,121-=+x x 022222=++a x x ，221212a x -+-=，0212<<-x ，2222222121)1ln()22()(x x x x x x x f --++-=，令)0,21(,1)1ln()22()(22-∈--++-=x x x x x x x k ……………………8分)1ln(21)(2+++-=x x x x x k ，)1ln(2)1()(22/+++=x x x x k ， 32//)1(262)(+++=x x x x k , 因为2)0(,21)21(////=-=-k k ，存在)0,21(0-∈x ，使得0)(0//=x k ， x),21(0x -0x )0,(0x)(//x k-+0)0(/=k ，02ln 21)21(/<-=-k ，0)(/<∴x k ，所以函数)(x k 在)0,21(-为减函数，…………………10分)21()()0(-<<k x k k 即2ln 21)(012+-<<x x f ……………………12分 法二:6分段后面还有如下证法，可以参照酌情给分.【证法2】2x 为方程2220x x a ++=的解，所以22222x x a --=,∵102a <<， 120x x <<，211222ax -=-+，∴2102x -<<, 先证21()0f x x >，即证2()0f x <（120x x <<）,在区间12(,)x x 内，()0f x '<，2(,0)x 内()0f x '>，所以2()f x 为极小值，2()(0)0f x f <=,即2()0f x <，∴21()0f x x >成立；…………………8分再证21()1ln 22f x x <-+，即证22211()(ln 2)(1)(ln 2)(1)22f x x x >-+--=-+,222222211(22)ln(1)(ln 2)ln 222x x x x x -++-->-,令221()(22)ln(1)(ln 2)2g x x x x x x =-++--， 1(,0)2x ∈-…………………10分2(1)1()2(42)ln(1)(ln 2)12x x g x x x x x +'=-++---+,12(21)ln(1)(ln 2)2x x =-++--,ln(1)0x +<，210x +>，1ln 202-<,∴()0g x '>，()g x 在1(,0)2-为增函数．111111()()(21)ln (ln 2)244222g x g >-=-⨯-+-111111ln ln 2ln 2422422=++-=-． 综上可得21()10ln 22f x x <<-+成立．………………………12分22.证明:（Ⅰ）∵∠BAD ＝∠BMF ，所以A,Q,M,B 四点共圆，……………3分所以PA PB PM PQ ⋅=⋅.………………5分(Ⅱ)∵PA PB PC PD ⋅=⋅ ,∴PC PD PM PQ ⋅=⋅ ，又 CPQ MPD ∠=∠ , 所以~CPQ MPD ∆∆，……………7分 ∴PMD PCQ ∠=∠ ,则DCB FMD ∠=∠,………………8分 ∵BAD BCD ∠=∠，∴2BMD BMF DMF BAD ∠=∠+∠=∠,2BOD BAD ∠=∠,所以BMD BOD ∠=∠.…………………10分23.解：(Ⅰ)依题意22sin cos ρθρθ=………………3分得：x y =2∴曲线1C 直角坐标方程为：x y =2.…………………5分(Ⅱ)把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ty tx 22222代入x y =2整理得：0422=-+t t ………………7分0>∆总成立，221-=+t t ，421-=t t23)4(4)2(221=-⨯--=-=t t AB ………………10分 另解：(Ⅱ)直线l 的直角坐标方程为x y -=2，把x y -=2代入x y =2得：0452=+-x x ………………7分0>∆总成立，521=+x x ，421=x x 23)445(212212=⨯-=-+=x x k AB …………………10分24. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x⎩⎨⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞………………5分(Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=ax a x a x a x x a x x f ,2232,222,223)(；时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩；时，2<a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x ax a x x f ；∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分 则⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(fa f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分。