第06章 一阶电路04

∫
∫
i C (t ) = A δ (t )
1 + − u C (0 ) = u C ( 0 ) + C
A A δ ( t ) dt = u ( 0 ) + C 0− C 1 0+ u C (0 + ) = u C (0 − ) + 电子发 iC (t )dt
(t>=0)
−
iL1 (t ) = {iL1 (∞) + [iL1 (0) − iL1 (∞)]e }
1 1 − 2 .4 t 1 = + [1 − ]e = (1 + 2e − 2.4t ) A 3 3 3
t τ
iL2 (t ) = {iL2 (∞) + [iL2 (0) − iL2 (∞)]e }
U S = 10V
u C1 ( t ) u C2 (t。 ) 、
500k R + + C1 1µ _
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+ C2 1µ _
US _
�初始值 根据电荷守恒： C1u C1 (0 − ) + C 2 u C 2 (0 − ) = u C (0 + )(C1 + C 2 ) 所以： u C (0 ) =
解： �初始值
� 所以：
400 u L (t ) = × δ(t ) = 0.4δ(t )V 400 + 600
1 0+ iL (0 + ) = iL (0 − ) + ∫ u L (t )dt L 0− 0+ 1 = 0+ 0.4δ (t )dt = 4 A −3 ∫ 100 ×10 0−
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12 = 2 A， 而： i L1 (0 ) = 6 9 − i L2 (0 ) = = 3 A 3
−
3 × 2 + 0.75 × (−3) i L (0 ) = = 1A 3 + 0.75
+
所以：
i L1 (0 ) = i L2 (0 ) = 1A
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0+
∫
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例2 已知：如图
) 求：初始值 i L (0 及响应 i L (t )
600 + + δ(t ) _ 100m 400 _
+
i L(t )
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+
+
� 稳态值
i L1 (∞) = i L2 (∞) = 1 / 3 A
� 时间常数
L L1 + L2 3 + 0.75 5 τ= = = = s R R 6+3 12
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� 响应
= 4e
− 2400 t
A
t≥0
+
i L (t ) = 4e
−2400t
ε(t ) A
−2400 t di L (t ) d [4e ε(t )] −3 u L (t ) = L = 100 × 10 × dt dt − 2400 t − 2400 t = 0.1 × [−4 × 2400e ε(t ) + 4e δ(t )]
1 1 − 2.4t 1 − 2 .4 t = + [1 − ]e = (1 + 2e ) A 3 3 3
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−
t τ
6.6 卷积积分
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∫
0+
−
0− 烧友 电子 技术论坛
C
∫
3)产生冲激的电路中的功率分析 功率是单位时间内能量的变化，由于在 电容电压跃变的情况下，电容的电场能 也发生了跃变，此时电源将为电容元件 提供无限大的功率。 (这在实际系统中是不可能出现的。)
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4、电路中的冲激现象
1）冲激的产生
+
U
_
S（t = 0） + C uC i _
du C dε(t ) i (t ) = C = CU = CUδ(t ) dt dt
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注意： 1）有冲激电源 2）电容与电压源并联（电感与电流源 串联） 3）不同初值的电容并联（不同初值的 电感串联）
−
−
+ 求：初始值： u C (0 +、 。 u ( 0 ) ) C 2 1
2µ + +
+ 100k 1µ _
i (t )
_
100k
_电子发 烧友 电子 技术论坛
解：因为 0 − 到 0 + 时：
iC1 (t ) = iC 2 (t ) = 10 δ(t ) A
−4
1 uC1 (0+ ) =uC1 (0− ) + C1
1 uC2 (0+ ) =uC2 (0− ) + C2
∫
1 0+ −4 iC1 (t)dt=100 + −6 10 δ(t)dt=200 V 0− 10 0−
0+
∫
∫
1 0+ −4 iC2 (t)dt= −50+ −6 10 δ(t)dt=50 V 0− 10 0−
−t
−t
uC2 (t ) = uC2 (∞) + [uC2 (0) − uC2 (∞)]e
= 10 + [5 − 10]e = 10 − 5e V
−t −t
−
t τ
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例2 已知：
一、电路分析中卷积的引入
激励 响应
δ(t ) → h(t )
δ(t − τ) → h(t − τ)
e(τ)δ(t − τ) → e(τ)h(t − τ)
∫
+∞
−∞
e(τ)δ(t − τ)dτ → ∫ e( τ)h(t − τ)dτ
−∞
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1 i L (0 + ) = i L (0 − ) + L
电子发 0− 烧友 电子 技术论坛
∫
0+
u L (t )dt
例1 已知：如图，其中 i(t ) = 10 −4 δ(t ) A ， ， u C 2 (0 ) = −50V 。 u C1 (0 ) = 100V
+
+
C1u C1 (0 − ) + C 2 u C2 (0 − ) C1 + C 2
而： u C1 (0 ) = U S = 10V ， 所以：
u C 2 (0 ) = 0V
+
− − −6 −6 C u ( 0 ) + C u ( 0 ) 10 × 10 + 10 ×0 1 C1 2 C2 + uC (0 ) = = = 5V −6 C1 + C2 2 ×10
� 响应 (t>=0)
−
3
−6
uC1 (t ) = {uC1 (∞) + [uC1 (0) − uC1 (∞)]e }
= 10 + [5 − 10]e = 10 − 5e V
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t τ
−
−
C +C
Ψ换路前 = Ψ换路后
L1iL1 (0 ) + L2iL2 (0 ) + ⋯ + Ln iLn (0 )
− − −
= L1iL1 (0 ) + L2iL2 (0 ) + ⋯ + Ln iLn (0 )
+ + +
L1i L1 (0 ) + L2 i L2 (0 ) = i L (0 )( L1 + L2 )
= −960e
− 2400 t
ε(t ) + 0.4δ(t )
可见，电压出现了冲激部分 。
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•当不同初值的电容并联（不同初值的电 感串联）时
Q换路前 = Q换路后
− +
C1uC1 (0 ) + C 2uC2 (0 ) + ⋯ + C n uCn (0 )
u C1 (0 ) = u (0 ) = 5V
电子发 C2 烧友 电子 技术论坛
+
+
� 稳态值
u C1 (∞) = u C2 (∞) = U S = 10V
� 时间常数
τ = RC = R × (C1 + C 2 ) = 500 × 10 × 2 × 10 = 1( s)
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2)冲激电路中初值的计算
1 t u C (t ) = u C (t 0 ) + iC (t )dt C t0 0+ 1 u C (0 + ) = u C (0 − ) + i ( t ) dt C C 0−
�稳态值
i L (∞ ) = 0
�时间常数
�响应
L L 100 × 10 −3 1 τ= = = = (s) R R1 // R2 240 2400
t − τ
iL (t ) = iL (∞) + [iL (0) − iL (∞)]e
= 0 + [ 4 − 0]e
− 2400 t
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− −
= C1uC1 (0 ) + C 2uC2 (0 ) + ⋯ + C n uCn (0 )
+ +