第四章__解线性方程组的直接方法_
数值方法课后习题答案第4章
解线性方程组迭代法
第四章 解线性方程组迭代法
习题4-1
第四章
解线性方程组迭代法
Байду номын сангаас
第四章
解线性方程组迭代法
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解线性方程组迭代法
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解线性方程组迭代法
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解线性方程组迭代法
第四章
习题4
习题4
习题4
习题4
8.
设A为严格对角优势阵，证明：
习题4
9. A是n阶非奇异阵，B是n阶奇异阵，试求证：
习题4
习题4
P91
P91.
x0
p0 r0
Ap0
x1
r1
p1
Ap1
x2
r2
0
3
7
30/29=
17/29=
1360/841=
1530/841=
14/9=
0.3
P91
1.034482758 0 1 8 10/29= 0.344827586
0.570796875 0.493315839 0.500166165 0.499999398 1.001438281 0.998173633 1.000074653 1.000013383 -0.49943416 -
0.500558834 0.499923587 0.500003961
w=1.03
10 29 a0 =10/29=0.344827586
2890/841=3.436385254 260100/24389=10.66464388 a1 =8381/26010=0.322222222 -289/29= -9.965517218 b0 =289/841=0.343638524
数值计算方法思考题
数值计算方法思考题第一章 预篇1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。
4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？6．判断如下命题是否正确：（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。
（2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。
（3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。
（4）高精度运算可以改善问题的病态性。
（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。
（6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。
（7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。
（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。
7．考虑二次代数方程的求解问题ax 2 + bx + c = 0.下面的公式是熟知的aac b b x 242-±-=. 与之等价地有ac b b c x 422--=.对于 a = 1, b = -100 000 000 , c = 1应当如何选择算法？8．指数函数有著名的级数展开++++=!3!2132x x x e x如果对x < 0用上述的级数近似计算指数函数的值，这样的算法结果是否会好？为什么？9．考虑数列x i , i = 1,…, n , 它的统计平均值定义为∑==n i i x x x 11 它的标准差2112)(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑-n i i x x n σ 数学上它等价于2112211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=n i i x n x n σ 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？第二章 非线性方程求根1．判断如下命题是否正确：(a) 非线性方程的解通常不是唯一的；(b) Newton 法的收敛阶高于割线法；(c) 任何方法的收敛阶都不可能高于Newton 法；(d) Newton 法总是比割线法更节省计算时间；(e) 如果函数的导数难于计算，则应当考虑选择割线法；(f) Newton 法是有可能不收敛；(g) 考虑简单迭代法x k +1 = g (x k )，其中x * = g (x *)。
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过一系列的消元操作，将线性方程组转化为阶梯型方程组，从而求解未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成增广矩阵的形式。
增广矩阵是一个n行n+1列的矩阵，其中前n列是线性方程组的系数矩阵，第n+1列是等号右边的常数。
3.通过初等行变换（交换行、数乘行、行加行）将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
具体步骤如下：a.首先，找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第一行。
b.将第一行的第一个非零元素（主元）变成1，称为主元素。
c.将主元所在列的其他元素（次元素）变为0，使得主元所在列的其他元素只有主元素是非零的。
d.再找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第二行，并重复上述步骤，直到将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
4.根据阶梯型矩阵求解未知数的值。
具体步骤如下：a.从最后一行开始，依次求解每个未知数。
首先，将最后一行中非零元素所在的列作为含有该未知数的方程，将该未知数的系数设为1b.将含有该未知数的方程中其他未知数的系数设为0，并对其他方程进行相应的变换，使得该未知数所在列的其他元素都为0。
c.重复上述步骤，直到求解出所有未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂、容易实现，但当线性方程组的系数矩阵接近奇异矩阵时，计算精度可能会降低。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是解线性方程组的另一种直接方法。
它通过对系数矩阵求逆，然后与常数矩阵相乘，得到未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成矩阵方程的形式，即Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n维列向量。
3.求系数矩阵A的逆矩阵A^-1a. 首先，计算系数矩阵A的行列式det(A)。
b. 判断det(A)是否为0，如果det(A)=0，则该线性方程组无解或有无穷多解；如果det(A)≠0，则系数矩阵A可逆。
第四章线性方程组的求解
1.2.2
For j=k+1,…, n
aij- aik akj aij(新) bi - aik bk bi (新)
*常用|akk|≤
步骤 2. 步骤 3.
bn /ann xn For k=n-1,…,1 3.1 3.2
(回代)
bk s For j=k+1,…,n
b1( 0 ) (1) b2 (1) bn
注意：若a11（0） ＝0，因为 det（A）0，在A的第1列元素中至 少有某ai1（0） 0将i行与第1行交换，再作第1步 。
(0 a11 ) 假定已完成k－1步消元， ( 0) ( 0) ( A( k 1) , b( k 1) ) ( A ,b ) (0 a12 ) (1 a22)
迭代法：从一个初始向量出发，按照一定的迭代格 式，构造出一个趋向于真解的无穷序列。
举例
x 2 x2 2 x3 2 例：直接法解线性方程组 1 2 x1 3 x2 3 x3 4 4 x1 x2 6 x3 3
1 2 2 2 ( A, b) 2 3 3 4 4 1 6 3 2 2 1 2 0 1 7 8 0 0 61 61
解：
2 2 1 2 0 1 7 8 0 9 2 11
x3 1 x2 8 7 x3 1 x1 2 2x2 2x3 2
第四章 解线性方程组的直接法
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
(完整版)线性代数第四章线性方程组(自考经管类原创)
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量 （4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相 应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体 （5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3
数值分析期末复习题答案
数值分析期末复习题答案一、选择题1. 以下哪个算法是用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 共轭梯度法D. 辛普森积分法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的主要区别是什么？A. 插值点的选取不同B. 插值多项式的构造方式不同C. 计算复杂度不同D. 适用的函数类型不同答案：B3. 在数值积分中，梯形法则和辛普森法则的主要区别是什么？A. 精度不同B. 适用的积分区间不同C. 计算方法不同D. 稳定性不同答案：A二、简答题1. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性指的是数值方法在计算过程中对于舍入误差的敏感程度。
例如，在求解线性方程组时，如果系数矩阵的条件数很大，则该方程组的数值解对舍入误差非常敏感，即数值稳定性差。
2. 说明数值微分与数值积分的区别。
答案：数值微分是估计函数在某一点的导数，而数值积分是估计函数在某个区间上的积分。
数值微分通常用于求解函数的局部变化率，而数值积分用于求解函数在一定区间内的累积效果。
三、计算题1. 给定一组数据点：(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6)，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式。
答案：首先写出拉格朗日插值基函数，然后根据数据点构造插值多项式。
具体计算过程略。
2. 给定函数 f(x) = x^2，使用牛顿-科特斯公式中的辛普森积分法在区间 [0, 1] 上估计积分值。
答案：首先确定区间划分，然后应用辛普森积分公式进行计算。
具体计算过程略。
四、论述题1. 论述数值分析中误差的来源及其控制方法。
答案：误差主要来源于舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机在进行浮点数运算时的精度限制造成的，而截断误差是由于数值方法的近似性质导致的。
控制误差的方法包括使用高精度的数据类型、选择合适的数值方法、增加计算步骤等。
五、综合应用题1. 给定一个线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个 3x3 的矩阵，b 是一个列向量。
《线性代数》教学课件—第4章 向量线性相关 第四节 线性方程组的解的结构
2. 基础解系的求法
设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个
列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为
1
0
b11
b1,nr
B
0
0
1 0
br1 0
br,nr
,
0
0
0
0
0
与 B 对应, 即有方程组
x1
b11xr1 b1,nr xn
,
(3)
例 12 求齐次线性方程组
2xx11x52x2
x3 x4 3x3
2
0, x4
0,
7x1 7x2 3x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵 A 作初等行变换, 变为行最
简形矩阵, 有
1
1
1 1
行变换
1
0
2 7 5
3
7 4
例 13 设 Am×nBn×l = O，证明
xr
br1xr1 br,nr xn
,
把 xr+1 , ···, xn 作为自由未知量，并令它们依次 等于 c1 , ···, cn-r ，可得方程组 (1) 的通解
x1
b11
b12
b1,nr
xr
br1
br
2
br
,nr
xr1 c1 1 c2 0 cnr 0 .
把方程 Ax = 0 的全体解所组成的集合记作 S ,
如果能求得解集 S 的一个最大无关组 S0 : 1 , 2 , ···, t，那么方程 Ax = 0 的任一解都可由最大无关
组 S0 线性表示；另一方面，由上述性质 1、2 可 知，最大无关组 S0 的任何线性组合
线性代数 第四章 (1-2节)
第四章线性方程组§1 消元法在实际问题中，我们经常要研究一个线性方程组的解，解线性方程组最常用的方法就是消元法，其步骤是逐步消除变元的系数，把原方程组化为等价的三角形方程组，再用回代过程解此等价的方程组，从而得出原方程组的解.例1 解线性方程组解 将第一个方程加到第二个方程，再将第一个方程乘以（-2）加到第三个方程得在上式中交换第二个和第三个方程，然后把第二个方程乘以-2加到第三个方程得再回代,得.分析上述例子，我们可以得出两个结论：（1） 我们对方程施行了三种变换：① 交换两个方程的位置；② 用一个不等于0的数乘某个方程；③ 用一个数乘某一个方程加到另一个方程上.我们把这三种变换叫作线性方程组的初等变换.由初等代数可知，以下定理成立.定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组.（2） 线性方程组有没有解,以及有些什么样的解完全决定于它的系数和常数项，因此我们在讨论线性方程组时，主要是研究它的系数和常数项.定义1 我们把线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的系数矩阵，把系数及常数所组成的矩阵叫做增广矩阵.设线性方程组则其系数矩阵是增广矩阵是显然，对一个方程组实行消元法求解，即对方程组实行了初等变换，相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换.而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，这样，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，利用一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.例2 解线性方程组解 增广矩阵是,交换矩阵第一行与第二行，再把第一行分别乘以和(-2)加到第二行和第三行，再把第二行乘以(-2)得,在中将第二行乘以2加到第三行得,相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组：回代得.§2 线性方程组有解判别定理上一节我们讨论了用消元法解方程组(4.1)这个方法在实际解线性方程组时比较方便，但是我们还有几个问题没有解决，就是方程组(4.1)在什么时候无解?在什么时候有解?有解时，又有多少解?这一节我们将对这些问题予以解答.首先，由第三章，我们有下述定理定理2 设A是一个m行n列矩阵，通过矩阵的初等变换能把A化为以下形式这里ｒ≥0，ｒ≤ｍ，ｒ≤ｎ.注：以上形式为特殊标准情况，不过，适当交换变元位置，一般可化为以上形式.由定理2，我们可以把线性方程组(4.1)的增广矩阵进行初等变换化为：（4.２）与(4.2)相应的线性方程组为：（4.3）由定理1知：方程组(4.1)与方程组(4.3)是同解方程组，要研究方程组(4.1)的解，就变为研究方程组(4.3)的解.① 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ中有一个不为0，方程组(4.3)无解，那么方程组(4.1)也无解.② 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ全为0，则方程组(4.3)有解，那么方程组(4.1)也有解.对于情形①，表现为增广矩阵与系数矩阵的秩不相等，情形②表现为增广矩阵与系数矩阵的秩相等，由此我们可以得到如下定理.定理3 (线性方程组有解的判别定理)线性方程组（4.1）有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r.① 当r等于方程组所含未知量个数n时，方程组有惟一的解；② 当r＜ｎ时，方程组有无穷多解.线性方程组（4.1）无解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩不相等.在方程组有无穷多解的情况下，方程组有n-r个自由未知量，其解如下：其中是自由未知量，若给一组数就得到方程组的一组解例3 研究线性方程组解 写出增广矩阵对进行初等行变换可化为由此断定系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，所以方程组无解.例4 在一次投料生产中，获得四种产品，每次测试总成本如下表:生产批次产品（公斤）总成本（元）ⅠⅡⅢⅣ12001001005029002500250200100705031004002013604400180160605500试求每种产品的单位成本.解 设Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品的单位成本分别为，由题意得方程组：化简，得写出增广矩阵对其进行初等行变换，化为由上面的矩阵可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且等于未知数的个数，所以方程组有唯一解：例5 解线性方程组解 这里的增广矩阵是对其进行初等行变换，化为由上式可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，所以方程组有解，对应的方程组是把移到右边，作为自由未知量，得原方程组的一般解为给自由未知量一组固定值：，我们就得到方程组的一个解.事实上，在例5中，也可作为自由未知量.我们同样可考察.。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
线代第四章线性方程组第一节
其中 k 为任意常数． 为任意常数．
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k 取遍所有实数时， 上 取遍所有实数时 ，
式也就取遍方程组的所有 解．这种解的表达形式称 为线性方程组的一般解． 为线性方程组的一般解． 一般解
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下三种关于 线性方程组的 关于线性方程组 以 下三种 关于 线性方程组 的 变换称为线性方程组的 初等变换： 初等变换 ：
(1) 交换某两个方程的位置； 交换某两个方程的位置； (2) 用一个非零数乘以某一个方程的两边； 用一个非零数乘以某一个方程的两边； (3) 将一个方程的倍数加到另一个方程． 将一个方程的倍数加到另一个方程．
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对线性方程组用消元法 对应方程组的增广矩阵
， x1 + x 2 + 2 x3 = 1 1 1 2 1 − 3 x 2 − 2 x3 = 2， B3 = 0 −3 −2 2 ； 0 0 −2 −4 − 2 x3 = −4；
b1 b2 ． ⋮ bm
x1 b1 x b 2 ， b = 2 ，则线性方程组 则线性方程组(4.1)可写为： 可写为： 令x = 可写为 ⋮ ⋮ xn bm
Ax = b ．
为方程组(4.1)的矩阵形式． 称(4.2)为方程组 为方程组 的矩阵形式．
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第一节 利用矩阵的初等变换解线性方程组
《数值计算方法》课程教学大纲
《数值计算方法》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标数值计算方法是大规模科学模拟计算领域的一门重要的基础课，具有很强的应用性。
通过对本课程的学习及上机实习，使学生掌握掌握数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。
具体能力目标如下：具有应用计算机进行科学与工程计算的能力；具有算法设计和理论分析能力；熟练掌握并使用数学软件，处理海量数据，进行大型数值计算的能力。
三、教学学时分配《数值计算方法》课程理论教学学时分配表《数值计算方法》课程实验内容设置与教学要求一览表四、教学内容和教学要求第一章数值分析与科学计算引论（4学时）（一）教学要求1.了解误差的来源以及舍入误差、截断误差的定义；2.理解并掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义和相互关系；3.了解函数计算的误差估计，误差传播、积累带来的危害和提高计算稳定性的一般规律。
（二）教学重点与难点教学重点：误差理论的基本概念教学难点：误差限和有效数字的相互关系，误差在近似值运算中的传播（三）教学内容第一节数值分析的对象、作用与特点1．数学科学与数值分析2．计算数学与科学计算3. 计算方法与计算机4. 数值问题与算法第二节数值计算的误差1．误差的来源与分类2．误差与有效数字3. 数值运算的误差估计第三节误差定性分析与避免误差危害1．算法的数值稳定2．病态问题与条件数3. 避免误差危害第四节数值计算中算法设计的技术1．多项式求值的秦九韶算法2．迭代法与开方求值本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。
其中概念题15%，证明题5%，计算题60%，上机题20%第二章插值法（12学时）（一）教学要求1.掌握插值多项式存在唯一性条件；2.熟练掌握Lagrange插值多项式及其余项表达式，掌握基函数及其性质；3.能熟练使用均差表和差分表构造Newton插值公式；4.能理解高次插值的不稳定性并熟练掌握各种分段插值中插值点和分段的对应关系；5.熟练掌握三次样条插值的条件并能构造第一和第二边界条件下的三次样条插值。
高等代数教案第四章线性方程组
第四章 线性方程组一 综述线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的.作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）.线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论. 二 要求掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论. 重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法.4.1 消元法一 教学思考本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法. 二 内容要求主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系. 三 教学过程1．引例：解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++25342333513121321321321x x x x x x x x x （1）定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换. 2．消元法的理论依据TH4.1.1初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组（即线性方程组的初等变换是同解变换.）3．转引在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因此在讨论线性方程组时,主要是研究它的系数和常数项.因而消元法的过程即用初等变换把方程组化为阶梯形方程组,来解决求解问题,此可转用另一种形式表述.为此引入：4．矩阵及其初等变换 1）概念定义 1 由t s ⨯个数ij c 排成的一个s 行t 列（数）表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛st s s t t c c c c c c c c c ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211叫做一个s 行t 列（或t s ⨯）矩阵.ij c 叫做这个矩阵的元素；常用大写字母A 、B 等表示矩阵,有时为明确t s ⨯矩阵记为t s A ⨯或()t s ij c A ⨯=.定义补 由线性方程组⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212111212111的系数作成的矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211叫做线性方程组的系数矩阵,用A 表示；由它的系数和常数项作成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m mnm n n b a a b a a b a a ΛΛΛΛΛΛΛ122211111叫做线性方程组的增广矩阵,用A 表示. 2）矩阵的初等变换定义2 矩阵的（列）初等变换指的是对一个矩阵作下列变换 （1）交换矩阵的两行（列）； （换法变换）（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换） （3）用一个数乘某行（列）后加到另一行（列）.（消法变换） 3）线性方程组的同解变换与矩阵的初等变换的关系显然,对一个线性方程组施行的同解变换即一个方程组的初等变换,相当于对它的增广矩阵施行对应的行初等变换；而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵.因此将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题,这样做不仅讨论起来方便,而且能够给予我们一种方法,就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组,而不必每次把未知量写出（我国古代数学书《九章算术》（三世纪）中就是用这种方法解线性方程组的,成为算筹.）下面的问题是,化简到什么形式、什么程度,理论上将给予解决.4）矩阵经初等变换（行、列）化为阶梯形矩阵 TH4.1.2设A 是一个m 行n 列矩阵：=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211,则A 可经过一系列行初等变换和第一种列初等变换化为如下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**********+0000000010001011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛrr b ； 进而化为以下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++000000001000001000011212111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛrn rr n r n r c c c c c c .其中"",,,0*≤≤≥n r m r r 表示不同的元素. 5）用矩阵的初等变换解线性方程组对线性方程组：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212111212111 （1） 由定理1其系数矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211可经过行初等变换和列换法变换化为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++000000001000001000011212111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛrn rr n r n r c c c c c c ；则对其增广矩阵A 作同样的初等变换可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++m r r rn rr n r d d d c c d c c B 00000000100001111111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ,从而方程组（1）与B 所对应的方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=+++=++++++++++m r r n rn r rr r n n r r n n r r d d d y c y c y dy c y c y d y c y c y 00111221122111111ΛΛΛΛΛΛΛ（2）在某种意义上同解（此n y y y ,,,21Λ是n x x x ,,,21Λ的一个重新排序）.下面讨论（2）的解的情况：情形1：当m r <且m r d d ,,1Λ+不全为零时,因有矛盾式（2）无解,故（1）无解. 情形2：当m r =或m r <且01===+m r d d Λ时,（2）直观上无矛盾式,且与（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++++++++rn rn r rr r n n r r n n r r d y c y c y d y c y c y d y c y c y ΛΛΛΛΛ11221122111111 同解. 当n r =时,（3）即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn d y d y d y Λ2211有唯一解；当n r =<时,（3）即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=++++++nrn r rr r r n n r r nn r r y c y c d y y c y c d y y c y c d y ΛΛΛΛΛ11211222111111,于是任给n r y y ,,1Λ+一组值n r k k ,,1Λ+,可得（3）的一个解：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==---=---=---=++++++++n n r r n rn r rr r r n n r r n n r r k y k y k c k c d y kc k cd y k c k c d y ΛΛΛΛΛΛΛ1111211222111111,这也是（1）的解,由n r k k ,,1Λ+的任意性（1）有无穷多解. 例1 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=++---=-+=+++215928252342532432143214214321x x x x x x x x x x x x x x x .解：对增广矩阵作行初等变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=000000000613211002321021215921825213104251321A 所原方程组与方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+613212321243421x x x x x 同解,故原方程组的一般解为⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=434212161321223x x x x x .4.2 矩阵的秩 线性方程组可解判别法一 教学思考1．本节在上节消元法对线性方程组的解的讨论的基础上,引入了矩阵的秩的概念,以此来表述有解判定定理,在有解时从系数矩阵的秩与未知数的个数间的关系可讨论解的个数,其中在有无数解时引入了一般解与通解的概念.2．矩阵的秩的概念是一个重要的概念,学生易出问题.定义的表述不易理解,应指出秩是一个数（非负整数）r ,其含义是至少有一个r 阶非零子式,所有大于r 阶（若有时）子式全为0.重要的是“秩”的性质——初等变换下不变,提供了求秩的另一方法——初等变换法.3．本节内容与上一节和下一节互有联系,结论具体,方法规范,注意引导总结归纳. 二 内容要求1． 内容：矩阵的秩、线性方程组可解判定定理2． 要求：掌握矩阵的秩的概念、求法及线性方程组求解判定定理 二 教学过程1．矩阵的秩 （1）定义1）在矩阵s t A ⨯中,任取k 行k 列（,k s t ≤）位于这些行列交点处的元素构成的k 阶行列式叫作矩阵A 的一个k 阶子式.2）矩阵s t A ⨯中,不等于零的子式的最大阶数叫做矩阵A 的秩；若A 没有不等于零的子式,认为其秩为零.A 的秩记为秩（A ）或()r A .2．矩阵的秩的初等变换不变性TH4.2.1矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 3．一般线性方程组解的理论对线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212111212111 （1） 由上节知,对（1）的系数矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211可经过行初等变换和列换法变换化为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++0000000000001000001000011212111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛrn rr n r n r c c c c c c ； 则对其增广矩阵A 作同样的初等变换可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++m r r rn rr n r d d d c c d c c B 0000000000100001111111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ.则（1）与B 相应的方程组同解；由上节讨论知：当m r =或m r <且01===+m r d d Λ时,即()()r A r A =时（1）有解；当m r <且m r d d ,,1Λ+不全为零时,即()()r A r A <时,（1）无解.总之：（1）有解()()r A r A ⇔=,且在（1）有解时：当r n =,即()()r A r A n ==时有唯一解；当r n <,即()()r A r A n =<时有无穷解.此即TH4.2.2-3线性方程组（1）有解()()()r A r A r ⇔==；当r n =,即()()r A r A n ==时有唯一解；当r n <,即()()r A r A n =<时有无穷解.例1 判断方程组有无解？有解时,求一般解.123451234523451234513233226654331x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩ 例2 对λ进行讨论,何时方程组有解,无解；有解时求一般解.12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 4.3 线性方程组的公式解一 教学思考1．本节在理论上解决了当线性方程组有解时,用原方程组的系数和常数项将解表示出来——即公式解,结论的实质是克拉默法则的应用.其中过程是在有解判定的基础上选择r 个适当方程而得,可归纳方法步骤（方程的选择、自由未知量的选择）,内容规范完整,理论作用较大,实用性较小.2．作为特殊的线性方程组——齐次线性方程组的解的理论有特殊的结果,易于叙述和理解,需注意其特殊性（与一般的区别,解的存在性、解的个数等）. 二 内容要求1．内容：线性方程组的公式解,齐次线性方程组的解2．要求：了解线性方程组的公式解,掌握齐次线性方程组的解的结论 三 教学过程1．线性方程组的公式解本节讨论当方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212111212111 （1）有解时,用方程组的系数和常数项把解表示出来的问题——公式解.处理这个问题用前面的方法——消元法是不行的,因为这个过程使得系数和常数项发生了改变,但其思想即化简得同解线性方程组的思想是重要的,所以现今能否用其它方法把（1）化简得同解方程组且系数和常数项不变,才可能寻求公式解.为此看例,考察12311232123322,()233,()47,()x x x G x x x G x x x G +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ （2）显然123,,G G G 间有关系3122G G G =+,此时称3G 是12,G G 的结果（即可用12,G G 线性表示）.则方程组（2）与⎩⎨⎧=+-=-+)(332)(2223211321G x x x G x x x 同解.同样地,把（1）中的m 个方程依次用12,,,m G G G L 表示,若在这m 个方程中,某个方程i G 是其它若干个方程的结果,则可把（1）中的i G 舍去,从而达到化简的目的.即现在又得到化简（1）的方法：不考虑（1）中那些是其它若干个方程的结果,而剩下的方程构成与（1）同解的方程组.现在的问题是这样化简到何种程度为止,或曰这样化简的方程组最少要保留原方程组中多少个方程.由初等变换法,若（1）的()r A r =,则可把（1）归结为解一个含有r 个方程的线性方程组.同样TH4.3.1设方程组（1）有解,()()(0)r A r A r ==≠,则可以在（1）中的m 个方程中选取r 个方程,使得剩下的m r -个方程是这r 个方程的结果.因而解（1）归结为解由这r 个方程组成的方程组.下看如何解方程组：此时原方程组与111122111111112211r r r r n n r r rr r rr r rn n r a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b ++++++++++=⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪++++++=⎩⎭L L L L L L L L 同解. 当r n =时有唯一解,且上述方程组的系数行列式不等于0,由克拉姆法则可得其解（公式解）. 当r n <时有无穷多解,取12,,,r r n x x x ++L 为自由未知量,将这些项移至等号右端得：111122111111112211r r r r n n r r rr r r rr r rn n a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x +++++++=---⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪+++=---⎩⎭L L L L L L L L 视12,,,r r n x x x ++L 为任意数,由克拉姆法则可得11,,r r D Dx x D D==L ； （其中11111111111r r n n rJ r r rr r rn n rra b a x a x a D a b a x a x a ++++---=---LL LLL L L L L L L ）其展开为12,,,r r n x x x ++L 的表达式,且为用原方程组的系数及常数项表示的,因而是公式表示的一般解的形式.2．齐次线性方程组的解的理论齐次线性方程组1111110n n m mn n a x a x a x a x ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩L L L L （2）总有（零）解,因而关注的是其非零解的情况,由解的个数定理易得：TH4.3.2（2）有非零解()r A n ⇔<.Cor1：若（2）中m n <,则有非零解.（因()r A m n ≤<）Cor2：含有n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为0.（由秩的定义易得）。
《线性代数》课件第4章
此时A的第j列元素恰为αj表示成β1, β2,…, βt的线性组合时的
系数.
证明：若向量组a1,a2,…,as可由β1, β2,…, βt线性表示，即每个ai
均可由β1, β2,…, βt线性表示，则有
α1 = a11β1 + a21β2 + + at1βt = (β1, β2,
, βt )⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝aaa12t111 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
我们有下面的定理： 定理 1.1 矩阵的秩数=行秩数=列秩数.
例1.3 设
α1 = (1, 2, 0,1)T , α2 = (0,1,1,1)T , α3 = (1, 3,1, 2)T , α4 = (1,1,−1, 0)T
求此向量组的秩数及一个极大无关组.
解 考虑向量组构成的矩阵
A=(α1,
α2,
我们有下面的命题：
命题1.
1. α1, α2,…, αs线性无关； 2.方程x1α1 + x2α2 + … + xxαs只有零解 3. 对于任意一组不全为零的数c1,c2,…,cs均有
c1α1 + c2α2 + + csαs ≠ 0, 4. 对于任意一组数c1,c2,…,cs, 若c1α1 + c2α2 +
定义1.4 两个可以互相表示的向量组称为等价向量组.
容易看出： 1. 向量组的等价是一个等价关系； 2. 等价向量组的秩数相同； 3. 任何向量组等价于其极大无关组; 4. 两个向量组等价当且仅当它们的极大无关组等价.
最后我们给出化简向量组的一种技巧 为此先给出一个定义
定义1.5 设α1, α2,…, αs和β1, β2,…, βs是两个向量组， 若对于任意一组数c1,c2,…,cs均有
数值计算方法实验报告
数值分析实验报告实验一、解线性方程组的直接方法——梯形电阻电路问题利用追赶法求解三对角方程组的方法，解决梯形电阻电路问题：电路中的各个电流{1i ，2i ，…，8i }须满足下列线性方程组：R V i i =- 22 210 252321=-+-i i i 0 252 432=-+-i i i 0 252 543=-+-i i i 0 252 654=-+-i i i 0 252 765=-+-i i i 0 252 876=-+-i i i 052 87=+-i i设V 220=V ，Ω=27R ，运用追赶法，求各段电路的电流量。
问题分析：上述方程组可用矩阵表示为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------00000001481.8522520000002520000002520000002520000002520000002520000002287654321i i i i i i i i问题转化为求解A x b =，8阶方阵A 满足顺序主子式(1,2...7)0i A i =≠，因此矩阵A存在唯一的Doolittle 分解，可以采用解三对角矩阵的追赶法！追赶法a=[0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2]; b=[2 5 5 5 5 5 5 5]；c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0]; d=[220/27 0 0 0 0 0 0 0];Matlab 程序function x= zhuiganfa( a,b,c,d )%追赶法实现要求：|b1|>|C1|>0,|bi|>=|ai|+|ci| n=length(b); u=ones(1,n); L=ones(1,n); y=ones(1,n); u(1)=b(1); y(1)=d(1); for i=2:nL(i)=a(i)/u(i-1);u(i)=b(i)-c(i-1)*L(i); y(i)=d(i)-y(i-1)*L(i); endx(n)=y(n)/u(n); for k=n-1:-1:1x(k)=(y(k)-c(k)*x(k+1))/u(k); end endMATLAB 命令窗口输入：a=[0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2]; b=[2 5 5 5 5 5 5 5];c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0] d=[220/27 0 0 0 0 0 0 0];x= zhuiganfa(a,b,c,d )运行结果为：x =8.1478 4.0737 2.0365 1.0175 0.5073 0.2506 0.1194 0.0477存在问题根据电路分析中的所讲到的回路电流法，可以列出8个以回路电流为独立变量的方程，课本上给出的第八个回路电流方程存在问题，正确的应该是78240i i -+=；或者可以根据电路并联分流的知识，同样可以确定78240i i -+=。
第四章 高斯消元法与选主元
其中 a ij 和 bi 的上标 k 表示第 k 次消元后的系数， 计算公式为 : 对 k = 1，,3, L , n − 1 2 ⎧ m ik = − a ik ( k −1) / a kk ( k −1) ⎪ (k ) ( k −1) ( k −1) + m ik a kj ⎨ a ij = a ij ⎪b ( k ) = b ( k −1) + m b ( k −1) i ik k ⎩ i i , j = k + 1, k + 2 ,..., n
(1) ( 2)
aij
( 2)
= aij + mi 2a2 j , bi
(1)
= bi + mi 2b2
(1)
(1)
i, j = 3,4,...,n
( k −1 ) ≠ 0 ,取 m ik 第k步: 设 a kk 个方程组的xk,i=k+1,k+2,…,n)
( a ikk − 1 ) = − ( k −1 ) a kk
i, j = k +1, k + 2,...,n
继续下去到第n-1步消元,可将线性方程组化为如下上三角方 程组: ⎫
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ (1) (1) (1) a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 ⎪ ⎬ L ⎪ ( n −1) ( n −1) ⎪ a nn x n = bn ⎭
高斯消元法与选主元
高斯消元法是一种古老的直接 法,由它改进得到的选主元消元法,是 目前计算机上常用于求解低阶稠密 矩阵方程组的有效方法,其特点就是 通过消元将一般线性方程组的求解 问题转化为三角方程组的求解问题
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种常用且直接的方法。
它的基本思想是通过一系列的代数运算，将方程组化为一个三角方程组，然后从最后一行开始，逐步回代求解未知数。
下面以一个二元一次方程组为例，说明高斯消元法的具体步骤：例如，给定方程组：a₁₁x₁+a₁₂x₂=b₁a₂₁x₁+a₂₂x₂=b₂其中，a₁₁,a₁₂,a₂₁,a₂₂,b₁,b₂为已知系数。
1.检查a₁₁的值是否为0，若为0则交换第一行与非零行。
2.将第一行的每个元素除以a₁₁，使a₁₁成为13.将第一行乘以(-a₂₁)并加到第二行上，使第二行的第一个元素变为0。
4.引入一个新的未知数y₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂，并代入第二行，化简方程组。
5.使用回代法求解方程组。
高斯消元法的优势在于其直接的解题思路和较高的计算精度，但是其缺点是计算复杂度较高，对于大规模的方程组不太适用。
二、逆矩阵法逆矩阵法是解线性方程组的另一种直接方法，它通过求解方程组的系数矩阵的逆矩阵，并将其与方程组的常数向量相乘，得到方程组的解向量。
下面以一个三元一次方程组为例，说明逆矩阵法的具体步骤：例如，给定方程组：a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃=b₁a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃=b₂a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃=b₃其中，a₁₁,a₁₂,a₁₃,a₂₁,a₂₂,a₂₃,a₃₁,a₃₂,a₃₃,b₁,b₂,b₃为已知系数。
1.计算系数矩阵A的行列式D=，A。
2. 求解系数矩阵A的伴随矩阵Adj(A)。
3. 计算逆矩阵A⁻¹=Adj(A)/D。
4.将常数向量b用列向量表示。
5.计算解向量x=A⁻¹b。
逆矩阵法的优势在于其求解过程相对简单，计算量较小，并且不需要对系数矩阵进行消元操作。
但是逆矩阵法的限制在于当系数矩阵不可逆时无法使用。
三、克莱姆法则克莱姆法则是解线性方程组的另一种直接方法，它通过定义克莱姆行列式和克莱姆向量，利用行列式的性质求解方程组的解向量。
数值分析原理习题答案
数值分析原理习题答案【篇一：数值分析习题】学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为0.5?10,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 ??3.14159?具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）3 已知a?1.2031，b?0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a?b，a?b有几位有效数字？（有效数字的计算）4 设x?0，x的相对误差为?，求lnx的误差和相对误差？（误差的计算）**5测得某圆柱体高度h的值为h?20cm，底面半径r的值为r?5cm，已知?5|h?h*|?0.2cm，|r?r*|?0.1cm，求圆柱体体积v??rh的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算）6 设x的相对误差为a%,求y?xn的相对误差。
（函数误差的计算） 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）128 设in?e?1nxx?edx，求证： 0（1）in?1?nin?1(n?0,1,2?)（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。
（计算方法的比较选择）第二章插值法姓名学号班级习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1 已知f(?1)?2,f(1)?1,f(2)?1，求f(x)的拉氏插值多项式。
（拉格朗日插值）2 已知y?x,x0?4,x1?9，用线性插值求7的近似值。
（拉格朗日线性插值） 3 若xj(j?0,1,...n)为互异节点，且有lj(x)?试证明(x?x0)(x?x1)?(x?xj?1)(x?xj?1)?(x?xn)(xj?x0)(xj?x1)?(xj?xj?1)(x j?xj?1)?(xj?xn)?xlj?0nkjj（拉格朗日插值基函数的性质） (x)?xk(k?0,1,...n)。
(完整版)高等数值分析48课时教案
高等数值分析48课时教案
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
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11。
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a11
( a n2 ) 2
( a11) x1 b1(1) n ( ( 2) x 2 b2 2 ) a2n ( 2) ( 2) a nn x n bn
(1) 12 ( 2) 22
经变换得到的上三角形方程组的顺序主子式
a
a
(1) 1m ( 2) 2m
(m a mm)
a a
(1) 11
( 2) 22
a
(m) mm
0
（m =1,2,…，n） 所以能实现高斯消去法求解
一般线性方程组使用高斯消去法求解时，
( 在消元过程中可能会出现 a kkk ) 0 的情况，这
( 4.4 )
解线性方程组（4.4）的高斯（Gauss）消去法的消元 过程就是对( 4.4 )的增广矩阵进行行初等变换。将 例4.1中解三阶线性方程组的消去法推广到一般的 n n 阶线性方程组并记 ( aij1) aij , bi(1) bi (i, j 1,2,, n)
则高斯消去法的算法构造归纳为：
④ ⑤
第2步：将方程 ④乘上 5 加到方程 ⑤上去，
8
这样就消去了第4个方程的 x 2 项，于是就得
到等价方程组
2 x1 x 2 3 x 3 1 4 x 2 x3 2 7 21 x3 8 4
⑥
这样，消元过程就是把原方程组化为上三角
的增广矩阵进行下列变换( ri 表示增广矩阵的第 i 行）
2 ~ A A b 4 1 1 2 2 3 5 0
1 2 r ( 2 ) r 4 0 1 r ( ) r 2 7 0
2 1 3 1
1 4 5 2
3 1 3 2
(4.7)
（2）回代过程 就是对上三角方程组（4.7）自下而上逐步回代解方 程组计算，即
( bnn ) xn ( n) a nn
bi( i ) xi
j i 1
( aiji ) x j (i ) ii
n
a
,
(i n 1, ,2,1)
例4.1的Mathematica程序：
第四章 解线性方程组的直接方法
4.1 引言
在工程技术、自然科学和社会科学中，经常
遇到的许多问题最终都可归结为解线性方程组， 如电学中网络问题、用最小二乘法求实验数据的 曲线拟合问题，工程中的三次样条函数的插值问 题，经济运行中的投入产出问题以及大地测量、
机械与建筑结构的设计计算问题等等，都归结为
求解线性方程组或非线性方程组的数学问题。因 此线性方程组的求解对于实际问题是极其重要的。
4.2.2 高斯消去法算法构造 我们知道,线性方程组(4.1)用矩阵形式表示 为 a11 a12 a1n x1 b1
a 21 a n1 a 22 an 2 a2n a nn x b 2 2 x n bn
Байду номын сангаас
⑴ 消元过程, 高斯消去法的消元过程由n-1步组成：
(1 第1步 设 a11) 0 ,把(4.4)中的第一列中元素 1 ai(1 ) (1 (1 ( a 21) , a31) , , a n1) 消为零,令 mi1 (1) , (i 2,3, , n) 1
用 mi1 乘以第1个方程后加到第 i 个方程上去,消去 第2～n个方程的未知数 x1 ,得到 A( 2) x b ( 2) 即
线性方程组的数值解法一般有两类： 1. 直接法：就是经过有限步算术运算，可求得 方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍 入误差），如克莱姆法则就是一种直接法， 直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss) 消去法。 2. 迭代法:( 下一章介绍）就是用某种极限过 程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。 也就是从解的某个近似值出发，通过构造一 个无穷序列去逼近精确解的方法。(一般有 限步内得不到精确解)
2
这时
1 105 0.1101 0.000001101 1， 1 2 105 0.1101 0.000002 101 1
kk
(1 a11)
a a
(1) 12 ( 2) 22
a a
(k ) kk
(k ) nk
x1 b1(1) a ( 2) a x 2 b2 (k ) (k ) a kn x k bk k (k ) a nn x n bn
(1) 1n ( 2) 2n
( 只要 a kkk ) 0 ,消元过程就可以进行下去,直到 经过n-1次消元之后，消元过程结束，得到与 原方程组等价的上三角形方程组,记为 A(n) x b (n)
或者写成
a
(1) 11
a a
(1) 12 ( 2) 22
a x1 b a x 2 b (n) (n) a nn x n bn
其中
( ( ( a ij2 ) a ij1) m i1 a11) j ( 2) ( bi bi(1) m i1b1 1) i , j 2,3 , n
( ( ( 第k步 (（k=2,4,…,n-1）继续上述消元过程， k) (k ) a ijk 1) a ijk ) mik a kjk ) 记为 A x b 其中 ( k 1) ( 设第k-1次消元已经完成，得到与原方程组等价 (k ) bi bi( k ) mik bk k ) aik mik ( k ) 的方程组 (i k 1,, n) i, j k 1 , n a
(1) 1n ( 2) 2n (1) 1 ( 2) 2
即
(1 (1 ( a11) x1 a12) x 2 a11) x n b1(1) n (2 ( ( a 22) x 2 a 22 ) x n b22 ) n (n) (n) a nn x n bn
( 4.1 )
简记为 Ax=b，其中
a11a12 ...a1n x1 b1 a a ...a x b 2n A 21 22 , X 2 ,b 2 ...... ... ... xn bn an1an 2 ...ann
运行结果：
4.2.3 高斯消去法的适用条件
定理4.1 方程组系数矩阵的顺序主子式全不
为零，则高斯消去法能实现方程组的
求解。
设方程组系数矩阵 A (aij ) n ，其顺序主子式
a11 Am a m1
a Am
(1) 11
a1m 0
（m =1,2,…，n）
a mm
a a
(k 时消去法将无法进行；即使 a kk ) 0 ，但它的
绝对值很小时，用其作除数，会导致其他元素
数量级的严重增长和舍入误差的扩散，将严重
影响计算结果的精度。
由此回代解出 x1 0, x2 1,但这个解不满足原 例4.2 用高斯消去法求下列方程组的解 方程组,解是错误的。这是因为所用的除数太小 10 5 x1 x 2 1 使得上式在消元过程中“吃掉”了下式，解决 x1 x 2 2 这个问题的方法之一就是采用列选主元高斯消 元法。即按列选绝对值大的系数作为主元素， 解： 确定乘数 m21 10 5 ，再计算系 (2 则将方程组中的两个方程相交换，原方程组变 数 a 22) a 22 m 21a12 1 10 5 ( 2 ) x x5 2 为 1 b 2 10 2
（1）消元过程
第1步:将方程①乘上(-2)加到方程 ②上去,将
方程 ①乘上 1 加到方程 ③上去,这样就消 2
去了第2、3个方程的 x1 项,于是就得到等价方
程组
2 x1 x2 3 x3 1 4 x2 x3 2 5 3 13 x2 x3 2 2 2
形方程组，其系数矩阵是上三角矩阵。
（2）回代过程 回代过程是将上述三角形方程组自下而上求 解，从而求得原方程组的解：
x1 9, x 2 1, x3 6
前述的消元过程相当于对原方程组
2 4 1 1 2 2 3 5 0 x1 1 x 4 2 x3 7
一般b≠0, 当系数矩阵A非奇异(即detA≠0) 常见的线性方程组是方程个数和未知量个 时，方程组（4.1）有惟一解。 数相同的n阶线性方程组，一般形式为
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 ...... an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn
2 5 10 x1 x 2 1 假设计算在4位浮点十进值的计算机上求解,则有 1 得到消元后的方程组 10 5， 2 10 5 0.00002 10 5 10 5 10 5 10 5 0.00001 10 5 10 5
x1 x2 2 10 5 x1 x 2 1 这时方程组的实际形式是 2 105 (1 105 ) x2 1 10 5 x 10 5
1 2 13 2
同样可得到与原方程
5 r3 ( ) r2 8
组等价的方程组 ⑥
2 0 0
1 4 0