第1节 多边形与平行四边形
中考数学第十一单元四边形课标解读典例诠释复习1
第十一单元四边形第一节多边形与平行四边形课标解读知识要点1.多边形的内角和与外角和(1)n边形内角和为；多边形外角和为 .(2)如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加，外角和 .2.正多边形定义：各个角，各条边的多边形叫做正多边形.对称性：正多边形都是对称图形，边数为偶数的正多边形也是对称图形.3.平行四边形(1)定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．(2)性质：①平行四边形的对边；②平行四边形的对角，邻角；③平行四边形的对角线；(3)平行四边形的对称性：，是它的对称中心；(4)平行四边形的面积：；同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积．(5)平行四边形的判定方法①两组对边分别的四边形是平行四边形(定义)；②两组对边分别的四边形是平行四边形；③一组对边的四边形是平行四边形；④对角线的四边形是平行四边形.典例诠释考点一多边形的内角和与外角和例1 正十边形的每个外角等于( )A．18°B．36°C．45°D．60°【答案】 B【名师点评】根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数，计算即可得解．例2 (2016·丰台一模)如图1-11-1，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，则∠1= °.图1-11-1【答案】 48【名师点评】此题先要求出正五边形的每个内角度数(利用多边形的内角和或外角和来求，外角和比较简单，学生应掌握)，从而问题得解.例3 (2016·燕山一模)如图1-11-2，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝．图1-11-2【答案】 9考点二平行四边形性质与判定的综合应用，四边形的计算例4 (2016·平谷一模)如图1-11-3，ABCD中点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC=∠DEC，连接CF，DE．(1)求证：四边形DECF是平行四边形；(2)若AB=13，DF=14，tan A=，求CF的长．图1-11-3(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC．∵∠AFC=∠DEC，∴∠AFC=∠ADE，∴DE∥FC．∴四边形DECF是平行四边形．(2)【解】如图1-11-4,过点D作DH⊥BC于点H，图1-11-4∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠A，AB=CD=13.∵ tan A=，AB=13，∴DH=12，CH=5．∵DF=14，∴CE=14，∴EH=9．∴ED==15，∴CF=DE=15．【名师点评】 (1)考查平行四边形的性质和判定，易知AF∥BC，结合条件∠AFC= ∠DEC，可以推导出∠AFC+∠EDF=180°(也可以用内错角和同位角)，从而得到DE∥FC，问题得证，此问解答方法不唯一.(2)将分散的条件集中到一个三角形里，如△DCF中(或△DEC中)，出现了∠A的正切值，考虑要构造直角三角形，故可以过D点作BC的垂线，从而问题得解.基础精练1.(2016·大兴一模)若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为( )【答案】 C2.(2016·东城一模)已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形的边数是 .【答案】 53.(2016·延庆一模)如图1-11-5，AB∥DC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充一个．．条件： .图1-11-5【答案】AD∥BC或AB=DC或∠A+∠B=180°等4.(2016·海淀一模)如图1-11-6，在ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为( )图1-11-6A．5 B．4 C．3 D．2【答案】 D5.(2014·河南)如图1-11-7，ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是( )图1-11-7【答案】 C6.(2014·昆明)如图1-11-8，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )图1-11-8∥CD，AD∥BC=OC，OB=OD=BC，AB∥CD=CD，AD=BC【答案】 C7.(2014·十堰)如图1-11-9，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD 于点E，则△CDE的周长是( )图1-11-9【答案】 B8.(2014·临沂)如图1-11-10，在ABCD中，BC=10，sin B=，AC=BC，则ABCD的面积是 .图1-11-10【答案】 189.(2014·自贡)一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则它的边数是 . 【答案】 710.(2016·海淀二模)如图1-11-11，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为( )图1-11-11°°°°【答案】 C11.(2016·西城二模)有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B=90°．按如图1-11-12方式剪去它的一个角(虚线部分)，在剩下的四边形ADEC中，若∠1=165°，则∠2的度数为．图1-11-12【答案】105°12.(2016·通州二模)在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图1-11-13，线段AB，BC，求作：平行四边形ABCD.图1-11-13小明的作法如下：如图1-11-14：(1)以点C为圆心，AB长为半径画弧；(2)以点A为圆心，BC长为半径画弧；(3)两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD为所求作平行四边形.图1-11-14老师说：“小明的作法正确.”请回答：小明的作图依据是 .【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形13.(2016·房山一模)如图1-11-15，在ABCD中，E为BC中点，过点E作EG⊥AB于G，连接DG，延长DC，交GE的延长线于点H.已知BC＝10,∠GDH=45°，DG=8.求CD的长.图1-11-15【解】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∵EG⊥AB于点G，∴∠BGE=∠EHC=90°.在△DHG中，∠GHD=90°，∠GDH=45°，DG=8，∴DH=GH=8．∵E为BC中点，BC=10，∴BE=EC=5．∵∠BEG=∠CEH，∴△BEG≌△CEH,∴GE=HE=GH=4．在△EHC中，∠H=90°，CE=5，EH=4，∴CH=3，∴CD=5.14.(2016·怀柔一模)如图1-11-16，在△ABC中，D为AB边上一点，F为AC的中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE．(1)求证：四边形ADCE为平行四边形;(2)若EF=2，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．图1-11-16(1)【证明】∵CE∥AB，∴∠DAF=∠ECF.∵F为AC的中点,∴AF=CF.在△DAF和△ECF中,∴△DAF≌△ECF，∴AD=CE．∵CE∥AB，∴四边形ADCE为平行四边形．(2)【解】如图1-11-17,作FH⊥DC于点H．图1-11-17∵四边形ADCE为平行四边形,∴AE∥DC，DF=EF=2，∴∠FDC=∠AED=45°．在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF=2，∠FDC=45°，∴ sin∠FDC==，得FH=2，tan∠FDC==1，得DH=2．在Rt△CFH中，∠FHC=90°，FH=2，∠FCD=30°，∴FC=4．由勾股定理，得HC=2．∴DC=DH+HC=2+2．15.(2016·昌平二模)在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=4．以OB为边，在△OAB 外作等边△OBC，E是OC上的一点．(1)如图1-11-18，当点E是OC的中点时，求证：四边形ABCE是平行四边形；(2)如图1-11-19，点F是BC上的一点，将四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，求OE的长．图1-11-18 图1-11-19(1)【证明】如图1-11-18，∵△OBC为等边三角形，∴OC=OB，∠COB=60°.∵点E是OC的中点,∴EC=OC=OB.在△OAB中，∠OAB=90°，∵∠AOB=30°，∴AB=OB,∠COA=90°.∴CE=AB，∠COA+∠OAB=180°，∴CE∥AB,∴四边形ABCE是平行四边形.(2)【解】如图1-11-19，∵四边形ABCO折叠，点C与点A重合，折痕为EF，∴△CEF≌△AEF,∴EC=EA.∵OB=4,∴OC=BC=4.在△OAB中，∠OAB=90°，∵∠AOB=30°，∴OA=2.在Rt△OAE中，由(1)知：∠EOA=90°，设OE=x，∵ ,∴ +,解得x=,∴OE=.16.(2016·西城一模)有这样一个问题：如图1-11-20，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：图1-11-20(1)由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.已知：如图1-11-20，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD求证：．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．(2)连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质(一条即可)：.(3)筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．【解】 (1)已知：如图1-11-21，筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD.求证：∠B=∠D.图1-11-21【证明】连接AC.如图1-11-21，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC,∴∠B=∠D.(2)筝形的其他性质：①筝形的两条对角线互相垂直，②筝形的一条对角线平分一组对角，③筝形是轴对称图形，……(写出一条即可)(3)不成立.反例如图1-11-22所示.图1-11-22在平行四边形ABCD中，AB≠AD.对角线AC，BD相交于点O，由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC=∠平分BD.但是该四边形不是筝形.(答案不唯一)17.(2014·浙江嘉兴)我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．(1)已知：如图1-11-23，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．图1-11-23(2)在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图1-11-24)，其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；图1-11-24②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．(3)已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．【解】 (1)∵等对角四边形ABCD中，∠A≠∠C，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°－70°－80°－80°=130°.(2)①如图1-11-25，连接BD.图1-11-25∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB.∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC－∠ABD=∠ADC－∠ADB，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD，②不正确.反例：如图1-11-26，∠A=∠C=90°，AB=AD.但CB≠CD.图1-11-26 图1-11-27(3)①如图1-11-27，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E.∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴AE=10，∴DE=AE－AD=10－4=6.∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD=2，∴AC===2，②如图1-11-28，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，图1-11-28∵DE⊥AB，∠DAB=60°,AD=4，∴AE=2，DE=2，∴BE=AB－AE=5－2=3.∵四边形BFDE是矩形，∴DF=BE=3，BF=DE=2.∵∠BCD=60°，∴CF=，∴BC=CF+BF=+2=3，∴AC===2.18.(2016·东城一模)在课外活动中，我们要研究一种四边形——筝形的性质.定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形(如图1-11-29①).小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究.①②图1-11-29下面是小聪的探究过程，请补充完整：(1)根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是；(2)通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；(3)如图1-11-29②，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积. 【解】 (1)菱形(正方形).(2)它是一个轴对称图形；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线.(写出其中的两条就行)已知：筝形ABCD.求证：∠B=∠D.证明:连接AC,如图1-11-30.图1-11-30∵AB=AD,CB=CD,AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠B=∠D.(3)过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E.∵∠ABC=120°，∴∠EBC=60°.又∵BC=2，∴BE=1，CE=.∴=2××AB·CE=2××4×=4.真题演练1.(2016·北京)内角和为540°的多边形是( )A B C D【答案】 C2.如图1-11-31，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：DA=DE.图1-11-31【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴AB∥DE，∴∠AED=∠BAE.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD，∴∠EAD=∠AED，∴DA=DE.3.(2015·北京)图1-11-32是由射线AB，BC，CD，DE组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+ ∠4+∠5= ．图1-11-32【答案】360°第二节特殊的平行四边形课标解读知识要点1.矩形(1)定义：有一个角是直角的叫做矩形．(2)性质：①具有平行四边形的所有性质; ②对角线 ;③四个角都是直角.(3)矩形的对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，它有对称轴．(4)矩形的面积： .(5)矩形的判定方法①的平行四边形；②对角线的平行四边形；③有三个角是直角的四边形．图1-11-332.菱形(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)性质：①具有平行四边形的一切性质;②都相等;③两条对角线，并且 .(3)菱形的对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线．(4)菱形的面积:方法1：= ; 方法2：= .(5)菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边形．图1-11-343.正方形(1)定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．拓展: 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．(2)性质：①边——四条边都相等，邻边垂直，对边平行;②角——四个角都是直角;③对角线——相等;互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角．(3)正方形的对称性：是轴对称图形，有___条对称轴；又是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点．(4)正方形的面积:方法1：= ; 方法2：= .(5)正方形的判定方法：①根据定义；②有一组邻边相等的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形.图1-11-35典例诠释考点一特殊平行四边形的对称性例1 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A.等边三角形B.平行四边形C.梯形D.矩形【答案】 D【点评】本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的概念，找轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；找中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．例2 (2016·房山一模)有五张形状、大小、质地都相同的卡片，这些卡片上面分别画有下列图形：①正方形；②等边三角形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，抽出的纸片正面图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是( )A. B. C. D.【答案】 B【名师点评】准确理解轴对称图形和中心对称图形的概念和性质，注意②不是中心对称图形，③不是轴对称图形.考点二运用特殊平行四边形性质进行简单计算例3 如图1-11-36,菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ .图1-11-36【答案】【名师点评】此题考查菱形的性质、勾股定理、“双垂直”的基本图形，学生要熟练掌握，求OH的长可利用“等面积法”求解.学生最好能记住“双垂直图形”中的四个常见等积式. 考点三特殊平行四边形性质与判定的综合应用例4 (2016·东城一模)如图1-11-37，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了)，连接EF．图1-11-37(1)求证：四边形ABEF为菱形；(2)AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．【证明】由尺规作∠BAD的平分线的过程可知，AB=AF，且∠BAE=∠FAE.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠FAE=∠AEB.∴∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.∴BE=FA.∴四边形ABEF为平行四边形.∴四边形ABEF为菱形.(2)【解】∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，OB=BF=3，AE=2AO.在Rt△AOB中，AO==4.∴AE=2AO=8.【名师点评】此题结合尺规作图，考查了菱形的判定和性质，准确记忆和应用菱形的判定和性质是关键.考点四利用特殊平行四边形性质简拼图形例5 问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1-11-38，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．图1-11-38小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x>0). 依题意，割补前后图形面积相等, 有=5, 解得x=．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图1-11-39所示的分割线，拼出如图1-11-40所示的新正方形．图1-11-39 图1-11-40请你参考小东同学的做法，解决如下问题：(1) 如图1-11-41是由边长为1的5个小正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形(在图1-11-41上画出分割线，并在图1-11-41的右侧画出拼成的正方形简图)；(2)如图1-11-42，是由边长分别为a和b的两个正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形(在图1-11-42上画出分割线，并在图1-11-42的右侧画出拼成的正方形简图).图1-11-41 图1-11-42【答案】如图1-11-43所示.图1-11-43【名师点评】分割图形和图形的重新组合问题由于解题策略多样，方法多样，剪裁线的不定性，使得组合图形变得多姿多彩，对于图形面积的思考是解题关键.基础精练1.(2016·顺义二模)四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图1-11-44所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率为( )图1-11-44A. B. C.【答案】 A2.(2016·平谷二模)如图1-11-45，已知：矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，E是AD中点，连接OE.若OE=3，AD=8，则对角线AC的长为( )图1-11-45【答案】 D3.(2016·昌平二模)为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具(如图1-11-46中左图)：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定. 课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC(如图1-11-46中右图). 观察所得到的四边形，下列判断正确的是图1-11-46A．∠BCA＝45°B．BD的长度变小C．AC＝BD D．AC⊥BD【答案】 C4.(2016·石景山一模)如图1-11-47，方格纸中有一四边形ABCD(A，B，C，D四点均为格点)，若方格纸中每个小正方形的边长为1，则该四边形的面积为 .图1-11-47【答案】 125.(2014·西城一模)如图1-11-48，菱形ABCD中，∠DAB=60°，DF⊥AB于点E，且DF=DC，连接FC，则∠ACF的度数为度.图1-11-48【答案】 156.(2014·房山一模)如图1-11-49,在边长为9的正方形ABCD中, F为AB上一点,连接CF.过点F作FE⊥CF,交AD于点E，若AF＝3,则AE等于( )图1-11-49【答案】 C7.(2014·大兴一模)若菱形两条对角线的长分别为10 cm和24 cm，则这个菱形的周长为( )cm cm cm cm【答案】 D8.(2014·大兴一模)已知正方形ABCD的边长为2，E为BC边的延长线上一点，CE＝2，连接AE与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 .【答案】9.(2014·海淀二模)已知一个菱形的周长是20 cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( )【答案】 B10.(2014·珠海)边长为3 cm的菱形的周长是( )cm cm cm cm【答案】 C11.(2014·娄底)如图1-11-50，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是(添加一个条件即可)．图1-11-50【答案】AC=BD12.(2014·陕西)如图1-11-51，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )图1-11-51B. C.【答案】 C13.(2014·淄博)如图1-11-52，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为( )图1-11-52B. C.【答案】 C14.(2014·兰州)下列命题中正确的是( )A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】 B15.(2014·吉林)如图1-11-53，四边形ABCD、AEFG是正方形，点E、G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC，交BC于点H.若AB=4，AE=1，则BH的长为( )图1-11-53【答案】 C16.(2014·青岛)如图1-11-54，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为( )图1-11-54【答案】 A17.(2016·房山二模)已知，如图1-11-55，四边形ABCD是平行四边形，延长边AB到点E，使BE＝AB，连接DE、BD和EC，设DE交BC于点O，∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．图1-11-55【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥CD，∠A＝∠BCD.∵BE=AB，∴BE∥CD，BE=DC.∴四边形BECD为平行四边形．∴OD=DE，OC=BC.又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD＋∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD.∴DE=BC.∴平行四边形BECD为矩形．18.(2016·丰台一模)如图1-11-56，在ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AE=6，BF=8，CE=3，求ABCD的面积．图1-11-56(1)【证明】在ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB.∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠BEA.∴AB=BE.同理可得AB=AF.∴AF=BE.∴四边形ABEF是平行四边形.∴ABEF是菱形.(2)【解】如图1-11-57，过F作FG⊥BC于G.图1-11-57∵ABEF是菱形，AE=6，BF=8，∴AE⊥BF，OE=AE=3，OB=BF=4.∴BE==5.∵ =AE·BF=BE·FG,∴FG=，∴ =BC·FG=.19. (2016·海淀一模)如图1-11-58，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC 的平行线交DC的延长线于点E.(1)求证：BD=BE；(2)若BE=10，CE=6，连接OE，求tan∠OED的值.图1-11-58(1)【证明】∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD,AB∥DC.∵AC∥BE，∴四边形ABEC为平行四边形.∴AC=BE，∴BD=BE.(2)【解】如图1-11-59，过点O作OF⊥CD于点F.图1-11-59∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°.∵BE=BD=10，∴CD=CE=6.同理，可得CF=DF=CD=3，∴EF=9.在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC=8.∵OB=OD，∴OF为△BCD的中位线.∴OF=BC=4.∴在Rt△OEF中，tan∠OED==.20.(2016·海淀二模)如图1-11-60，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AE．(1)求证：四边形BDCF为菱形；(2)若四边形BDCF的面积为24，tan∠EAC=，求CF的长.图1-11-60(1)【证明】∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC．∵DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CF∥AD，∴四边形ACFD为平行四边形，∴AD=CF.∵CD为AB边上的中线，∴AD=BD，∴BD=CF.∴四边形BDCF为平行四边形.∵DE⊥BC，∴四边形BDCF为菱形.(2)【解】在Rt△ACE中，∵ tan∠EAC==，∴设CE=2x,AC=DF=3x.∵菱形BDCF的面积为24，∴DF·BC=24,∴DF·EC=24,∴ 3x·2x=24,∴ =2,=－2(舍去).∴CE＝4，EF＝DF＝3，∴CF=5.21.(2016·门头沟一模)如图1-11-61，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E作EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．图1-11-61(1)求证：四边形ABEF是正方形；(2)如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．(1)【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE．又∵EF⊥AD，∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°,∴四边形ABEF是矩形．又∵AE平分∠BAD，AF∥BE，∴∠FAE=∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．∴四边形ABEF是正方形．(2)【解】如图1-11-62，过点P作PH⊥AD于H．图1-11-62∵四边形ABEF是正方形，∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°．∴AB∥PH．∵AB=4，∴AH=PH=2．∵AD=7，∴DH=AD－AH=7－2=5．在Rt△PHD中，∠PHD=90°,∴ tan∠ADP==．22.(2016·石景山一模)如图1-11-63，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G．(1)求证：四边形ABDE是菱形；(2)若BD=14，cos∠GBH=，求GH的长．图1-11-63(1)【证明】∵AC∥BD，AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD．∵AC∥BD，∴∠CAD=∠ADB．∴∠BAD=∠ADB，∴AB=BD．∴四边形ABDE是菱形．(2)【解】∵∠ABC=90°，∴∠GBH+∠ABG=90°．∵AD⊥BE，∴∠GAB+∠ABG=90°,∴∠GAB=∠GBH,∵ cos∠GBH=，∴ cos∠GAB=．∴ ==．∵四边形ABDE是菱形，BD=14,∴AB=BD=14,∴AH=16，AG=,∴GH=AH－AG=.23.(2016·石景山二模)如图1-11-64，CD垂直平分AB于点D，连接CA，CB，将BC沿BA 的方向平移，得到线段DE，交AC于点O，连接EA，EC．图1-11-64(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若CD=1，AD=2，求sin∠COD的值．(1)【证明】由已知得BD∥CE，BD=CE．∵CD垂直平分AB，∴AD=BD，∠CDA=90°．∴AD∥CE，AD=CE．∴四边形ADCE是平行四边形．∴平行四边形ADCE是矩形．(2)【解】如图1-11-65，过D作DF⊥AC于F，图1-11-65在Rt△ADC中，∠CDA=90°，∵CD=1，AD=2，由勾股定理可得AC=．∵O为AC中点，∴OD=．∵AC·DF=AD·DC，∴DF=．在Rt△ODF中，∠OFD=90°，∴ sin∠COD==.24.(2016·东城二模)如图1-11-66，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的等腰三角形．(要求：画出三个．．大小不同，符合题意的等腰三角形，只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)图1-11-66【解】满足条件的所有图形如图1-11-67所示：①②③④⑤图1-11-6725.(2016·石景山二模)阅读下面材料：小骏遇到这样一个问题：画一个和已知矩形ABCD面积相等的正方形．小骏发现：如图1-11-68，延长AD到E，使得DE=CD，以AE为直径作半圆，过点D作AE的垂线，交半圆于点F，以DF为边作正方形DFGH，则正方形DFGH即为所求．请回答：AD，CD和DF的数量关系为 .图1-11-68参考小骏思考问题的方法，解决问题：画一个和已知ABCD面积相等的正方形，并写出画图的简要步骤．【解】 =AD·CD.解决问题：方法一：过点A作AM⊥BC于点M，延长AD到E，使得DE=AM，以AE为直径作半圆，过点D作AE的垂线，交半圆于点F，以DF为边作正方形DFGH，正方形DFGH即为所求．如图1-11-69.图1-11-69方法二：如图1-11-70，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC交BC延长线于点N，将平行四边形转化为等面积矩形后同小骏的画法．图1-11-70真题演练1.(2015·北京)如图1-11-71，在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB.图1-11-71【证明】 (1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB,即DF∥BE.又∵DF=BE,∴四边形DEBF为平行四边形.又∵DE⊥AB,即∠DEB=90°,∴四边形BFDE为矩形.(2)∵四边形BFDE为矩形，∴∠BFD=90°.∵∠BFC+∠BFD=180°,∴∠BFC=90°.在Rt△BFC中，∵CF=3,BF=4,∴BC===5.∴AD=BC=5.∵DF=5,∴AD=DF=5,∴∠DAF=∠DFA.∵∠DFA=∠FAB,∴∠DAF=∠FAB,即AF平分∠DAB.2.(2014·北京)如图1-11-72，在ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.图1-11-72(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,∴∠FAE=∠AEB.∵AE平分∠BAD,∴∠FAE=∠BAE,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.同理可得AF=AB.∴AF=BE.∵AD∥BC,∴四边形ABEF是平行四边形.又∵AB=BE，∴平行四边形ABEF是菱形.(2)【解】如图1-11-73，作PH⊥AD于H.图1-11-73∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，∴△ABE是等边三角形.∴∠PAH=60°，∴PA=AE=AB=2.在Rt△PAH中，PH=2sin 60°=，AH=2cos 60°=1,∴DH=AD－AH=6－1=5.∴ tan∠ADP==.3.(2013·北京)如图1-11-74，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长.图1-11-74(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AD=BC.∵F是AD的中点，∴FD=AD.∵CE=BC,∴FD=CE.∵FD∥CE,∴四边形CEDF是平行四边形.(2)【解】如图1-11-75，过点D作DG⊥CE于点G.图1-11-75∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,CD=AB=4,BC=AD=6.∴∠1=∠B=60°.在Rt△DGC中，∠DGC=90°,∴CG=CD·cos∠1=2,DG=CD·sin∠1=2.∵CE=BC=3,∴GE=1.在Rt△DGE中，∠DGE=90°,∴DE==.4.(2013·北京)如图1-11-76，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为 .图1-11-76【答案】 20。
多边形与平行四边形知识点总结
多边形与平行四边形知识点总结
多边形与平行四边形
一、多边形
1.多边形的定义：平面内由若干条线段首尾相接而成的封闭图形。
2.多边形的对角线：n边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形。
3.多边形的内角和和外角和：n边形的内角和公式为(n-2)×180°，外角和为360°。
4.正多边形：各边相等，各角也相等的多边形。
二、平行四边形的性质
1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。
2.平行四边形的性质：
边：两组对边分别平行且相等。
角：对角相等，邻角互补。
对角线：互相平分。
对称性：中心对称但不是轴对称。
3.平行四边形解题模型：
利用平行四边形相邻两边之和等于周长的一半。
利用平行四边形中有相等的边、角和平行关系，结合三角形全等来解题。
过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长。
三、平行四边形的判定
注意：平行四边形的解题方法有很多种，需要根据具体情况进行选择。
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第五章 四边形 第一节 多边形与平行四边形
(1)AE＝CF.
(2)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∵AE＝CF， ∴四边形 AECF 为平行四边形．
8．(2021·怀化第 20 题 10 分)已知：如图，四边形 ABCD 为平行四边形， 点 E，A，C，F 在同一直线上，AE＝CF.求证： (1)△ADE≌△CBF； (2)ED∥BF.
命题点 1：多边形(2021 年考查 4 次，2020 年考查 4 次，2019 年考查 2
次)
1．(2021·怀化第 3 题 4 分)以下说法中错误的是
( A)
A．多边形的内角大于任何一个外角
B．图形
D．圆内接四边形的对角互补
2．(2021 ·常德第 3 题 3 分)一个多边形的内角和为 1 800°，则这个多
6．(2020·衡阳第 7 题 3 分)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，下列条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是( C ) A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
7．(2021·岳阳第 18 题 6 分)如图，在四边形 ABCD 中，AE⊥BD, CF⊥BD, 垂足分别为点 E, F. (1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形 AECF 为平行四边 形，你添加的条件是________； (2)添加了条件后，证明四边形 AECF 为平行四边形．
【易错提醒】易误用平行四边形的判定方法 1．一组对边平行，而另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形． 2．一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形． 3．一组对角相等且这组对角的顶点所连对角线被另一条对角线平分的四 边形不一定是平行四边形． 4．一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行 四边形．
中考总复习数学第1节 平行四边形与多边形
12．(2020·河池)如图，在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD， 交 AB 于点 E，EA＝3，EB＝5，ED＝4，则 CE 的长是 (C)
A．5 2 B．6 2 C．4 5 D．5 5
五、解答题(20 分) 13．(本题满分 10 分)(2020·通辽)中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半径为 6 cm，点 P，Q 同时分别从 A，D 两点出发，以 1 cm/s 的速度 沿 AF，DC 向终点 F，C 运动，连接 PB，PE，QB，QE， 设运动时间为 t(s)． (1)求证：四边形 PBQE 为平行四边形；
第五章 四边形
第1节 平行四边形与多边形
A 卷(70 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)
1．(2020·济宁)一个多边形的内角和是 1080°，则这
个多边形的边数是( B )
A．9
B．8
C．7
D．6
2．(2019·柳州)如图，在▱ABCD 中，全等三角形的 对数共有( C )
A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对
B 卷(30 分) 四、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 11．(2020·宜昌)游戏中有数学智慧，找 起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后 回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏 行．成功的招数不止一招，可助我们成功的 一招是( A )
A．每走完一段直路后沿向右偏 72°方向行走 B．每段直路要短 C．每走完一段直路后沿向右偏 108°方向行走 D．每段直路要长
7．(2019·梧州)如图，▱ABCD 中，∠ADC＝119°，BE⊥DC 于 点 E，DF⊥BC 于点 F，BE 与 DF 交于点 H，则∠BHF＝ 61 度．
8．(2019·武汉)如图，在▱ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上两点，AE ＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD ＝63°，则∠ADE 的大小为 21° ．
数学中考备考：第五章 平行四边形
第五章平行四边形第一讲平行四边形与多边形【中考预知】1、了解多边形及正多边形的概念以及其内角和和外角和公式；2、会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；3、掌握平行四边形及特殊平行四边形的概念、性质及判定，并且会用平行四边形及特殊平行四边形的性质和判定解决简单几何问题.【知识重点】考点1:多边形【典例精讲】1.下列图形中，属于多边形的是（）A．线段B．角C．六边形D．圆2.多边形的每一个内角都等于150度，则从此多边形的一个顶点出发能引出______条对角线.3.每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的九分之一，则这个多边形的是______边形.【变式训练】1.一个平行四边形的一边长为8，另一对角线长为6，另一对角线m的取值范围是______.2.从n边形的一个顶点出发,最多可以引______条对角线, 这些对角线可以将这个多边形分成________个三角形.3.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°, 那么这个多边形的边数最少为________.4.已知一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n表示)及n的值.【中考荟萃】1.（2015南宁）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角和等于（）A．60°B．72°C．90°D．108°2.（2014柳州）正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是（）A．240°B．120°C．60°D．30°3.（2013北海）内角和和外角和相等的多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形考点2：平行四边形的性质平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角互补；（3）平行四边形的对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点。
2023年中考数学复习第一部分考点梳理第五章四边形第1节多边形与平行四边形
∠BAC＝30°时,求CF的长.
基础过关
能力提升
能力提升
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5.1 多边形与平行四边形
解:(1)∵△ABC≌△ADE,△ABC与△ADE均为等腰三角形,
∴AB＝AC＝AD＝AE,∠BAC＝∠DAE,
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD,即∠BAD＝∠CAE.
90°,∴∠BEC＝90°,∴BC＝ + ＝5,
∴AD＝BC＝5.∵AD∥BC,∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB,
∴AB＝AE.同理DC＝DE.∵AB＝CD,∴AB＝ AD＝ .
基础过关
能力提升
能力提升
-12-
5.1 多边形与平行四边形
10.(2022·江苏宿迁)如图,在正六边形ABCDEF中,AB＝6,点M
于点F,BE与DF交于点H,则∠BHF＝ 61 °.
基础过关
基础过关
能力提升
-7-
5.1 多边形与平行四边形
7.(2021·湖南怀化)如图,四边形ABCD为平行四边形,点
E,A,C,F在同一条直线上,AE＝CF.求证:
(1)△ADE≌△CBF;
(2)ED∥BF.
基础过关
基础过关
能力提升
-8-
5.1 多边形与平行四边形
AE的延长线和BC的延长线相交于点F.
(1)[一题多解]求证:BC＝CF.
(2)连接DF,AC,BE,AC和BE相交于点G,作CM∥BE交DF于点
M.求证:△ABG≌△DCM.
基础过关
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能力提升
-15-
5.1 多边形与平行四边形
第1课时 多边形与平行四边形
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【思路点拨】(1)连结 CE，通过证明△ADE≌△CDE， 得到∠EDC＝30° ，从而证得 DE∥CB；(2)可通过假设四 边形 DCBE 是平行四边形，求出 AC 与 AB 的数量关系． 解： (1)证明： 如图， 连结 CE， ∵点 E 为 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点， 1 ∴CE＝ AB＝AE. 2
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方法总结 1.平行四边形的基本性质： (1)平行四边形两组对 边分别平行； (2) 平行四边形的两组对边分别相等； (3)平行四边形的两组对角分别相等；(4)平行四边形的 对角线互相平分；(5)平行四边形是中心对称图形，对 称中心为对角线的交点. 2.利用平行四边形的性质可以解决角相等、线平 行、线段相等等问题.
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6．(2012· 湖州)已知：如图，在▱ABCD 中，点 F 在 AB 的延长线上，且 BF＝AB，连结 FD，交 BC 于 点 E. (1)说明△DCE≌△FBE 的理由； (2)若 EC＝3，求 AD 的长．
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(2013· 湛江)已知一个多边形的内角和是 540° ，则这个多边形是( B A．四边形 C．六边形
【思路点拨】 利用 n 边形的内角和可以表示成 (n－2)· 180° ，列出方程即可求出答案．
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浙江三年中考
2015届内蒙古包头中考复习教学案：第五章 第1节 多边形与平行四边形
第五章四边形第1节多边形与平行四边形多边形的有关概念及性质1．多边形的内角和与外角和：任意n边形(n≥3)内角和等于________，外角和等于________．2．从n边形的一个顶点出发可以引________条对角线，n边形的对角线总条数为________条．3．正n边形：各边________，各角________的多边形．平面镶嵌要实现平面图形的密铺，必须保证每个拼接点处的角恰好能拼成________．平行四边形的性质和判定1．定义：两组对边________的四边形是平行四边形．2．性质：平行四边形的对边________，对角________，对角线________，平行四边形是________对称图形．3．判定：两组对边分别________的四边形是平行四边形；两组对角分别________的四边形是平行四边形；一组对边________的四边形是平行四边形；对角线________的四边形是平行四边形．平行四边形的面积及三角形的中位线1．平行四边形的面积等于________．2．三角形的中位线平行于第三边且等于________．多边形的内角和与外角和【例1】(1)(2013·资阳)一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( C )A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形(2)(2013·烟台)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为( D )A．5 B．5或6C．5或7 D．5或6或7(1)多边形的外角和等于360°；(2)截去一个角，分三种情况：含多边形一个顶点、二个顶点、三个顶点，由新多边形的内角和推出原多边形的边数．平行四边形的性质与判定【例2】(1)四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( D )A．AB∥CD，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DOD．AB∥DC，AD＝BC(2)如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF.求证：∠EBF＝∠FDE.解：(2)连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，又AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形DEBF为平行四边形，∴∠EBF＝∠FDE(1)由平行四边形的判定排除；(2)由题中条件灵活运用平行四边形的性质及判定方法．真题热身1．(2014·衡阳)若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为( C )A．5B．6C．7D．82．(2014·泸州)如图，等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则∠DEC 的度数为( C )A．30°B．60°C．120°D．150°,第2题图),第3题图) 3．(2013·襄阳)如图，平行四边形ABCD的对角线交于O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是( C )A．18 B．28 C．36 D．464．(2014·陕西)一个正五边形的对称轴共有__5__条．5．(2014·淮安)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是__答案不唯一，如：AB＝CD__．(只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段)6．(2013·徐州)如图，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交于AB于点E，BF平分∠ABC，交CD于点F.(1)求证：DE＝BF；(2)连接EF ，写出图中所有的全等三角形．(不要求证明)解：(1)∵∠EDF ＝12∠ADC ，∠EBF ＝12∠ABC ，而四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADC ＝∠ABC ，∴∠EDF ＝∠EBF ，又DC ∥AB ，∴∠EBF ＝∠CFB ，∴∠EDF ＝∠CFB ，∴DE ∥FB ，∴四边形EBFD 为平行四边形，∴DE ＝BF (2)△ADE ≌△CBF ，△DEF ≌△BFE。
平行四边形与多边形教案
平行四边形与多边形教案一、教案名称：平行四边形与多边形的性质及应用二、教学目标：1. 理解平行四边形的定义和性质；2. 掌握平行四边形的判定方法；3. 理解多边形的定义和性质；4. 掌握多边形的分类方法；5. 运用平行四边形和多边形的性质解决实际问题。
三、教学内容：1. 平行四边形的定义和性质：a. 定义：具有两对对边平行的四边形；b. 性质：i. 对角线互相平分；ii. 对边互相等长；iii. 对角线互相等分；iv. 相邻内角互补，即和为180°。
2. 平行四边形的判定方法：a. 判定两对对边是否平行；b. 判定对边是否相等；c. 判定对角线是否互相等分。
3. 多边形的定义和性质：a. 定义：由三个或者三个以上的线段组成的封闭图形；b. 性质：i. 边数大于3；ii. 内角和公式：(n-2) × 180°，其中n为多边形的边数；iii. 外角和公式：360°；iv. 正多边形的特殊性质。
4. 多边形的分类：a. 按边数分类：三角形、四边形、五边形等；b. 按角数分类：凸多边形、凹多边形；c. 特殊多边形：正多边形、等腰三角形、等边三角形等。
5. 平行四边形和多边形的应用：a. 计算平行四边形的面积；b. 利用平行四边形的性质解决实际问题；c. 利用多边形的性质解决实际问题。
四、教学过程：1. 导入：通过展示一些实际生活中的平行四边形和多边形的图片，引起学生对该话题的兴趣，并复习相关的几何知识。
2. 知识讲解：a. 介绍平行四边形的定义和性质，通过示意图和实例进行解释和演示。
b. 讲解平行四边形的判定方法，提供一些练习题供学生进行实践操作。
c. 介绍多边形的定义和性质，重点讲解多边形的内角和外角和公式，并展示一些实例进行说明。
d. 分类介绍多边形，讲解各种多边形的特点和性质，引导学生进行分类思维。
e. 介绍平行四边形和多边形的应用，给出一些实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
多边形面积的计算 第一课时 平行四边形面积的计算
多边形面积的计算第一课时平行四边形面积的计算1. 引言计算多边形面积是数学中的基本问题之一。
在本课时中，我们将学习如何计算平行四边形的面积。
平行四边形是一种特殊的四边形，有着特定的性质和计算方法。
掌握了平行四边形的面积计算方法后，我们可以进一步推广到其他多边形的面积计算。
2. 平行四边形的定义和性质平行四边形是一个有两对边平行的四边形。
它的特点如下：•相邻两边互相平行；•相邻两边长度相等；•对角线互相平分；•对角线长度相等；•对角线互相垂直。
根据平行四边形的性质，我们可以很方便地计算其面积。
3. 平行四边形面积的计算公式平行四边形的面积公式如下：$$ S = b \\times h $$其中，S表示平行四边形的面积，b表示平行四边形的底边长度，ℎ表示平行四边形的高度。
4. 平行四边形面积的计算方法为了计算平行四边形的面积，我们需要已知平行四边形的底边长度和高度。
下面是计算平行四边形面积的具体步骤：1.确定平行四边形的底边长度和高度；2.将底边长度和高度代入面积公式：$S = b \\times h$；3.计算得到平行四边形的面积。
5. 示例示例 1假设平行四边形的底边长度为10，高度为8，计算其面积。
解答：$$ S = 10 \\times 8 = 80 $$所以，平行四边形的面积为80。
示例 2已知平行四边形的面积为120，底边长度为15，求其高度。
解答：设高度为ℎ，代入面积公式：$120 = 15 \\times h$。
解方程得：$h = \\frac{120}{15} = 8$。
所以，平行四边形的高度为8。
6. 总结本课时我们学习了如何计算平行四边形的面积。
通过了解平行四边形的定义和性质，我们可以得到平行四边形的面积计算公式。
利用这个公式，我们可以很方便地计算平行四边形的面积。
通过示例分析，我们进一步掌握了平行四边形面积的具体计算方法。
在下一课时中，我们将继续学习其他多边形的面积计算方法。
包头市2015中考复习第5章 第1节 多边形与平行四边形
第五章四边形第1节多边形与平行四边形多边形的有关概念及性质1．多边形的内角和与外角和：任意n边形(n≥3)内角和等于________，外角和等于________．2．从n边形的一个顶点出发可以引________条对角线，n边形的对角线总条数为________条．3．正n边形：各边________，各角________的多边形．平面镶嵌要实现平面图形的密铺，必须保证每个拼接点处的角恰好能拼成________．平行四边形的性质和判定1．定义：两组对边________的四边形是平行四边形．2．性质：平行四边形的对边________，对角________，对角线________，平行四边形是________对称图形．3．判定：两组对边分别________的四边形是平行四边形；两组对角分别________的四边形是平行四边形；一组对边________的四边形是平行四边形；对角线________的四边形是平行四边形．平行四边形的面积及三角形的中位线1．平行四边形的面积等于________．2．三角形的中位线平行于第三边且等于________．多边形的内角和与外角和【例1】(1)(2013·资阳)一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( C )A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形(2)(2013·烟台)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为( D )A．5 B．5或6C．5或7 D．5或6或7(1)多边形的外角和等于360°；(2)截去一个角，分三种情况：含多边形一个顶点、二个顶点、三个顶点，由新多边形的内角和推出原多边形的边数．平行四边形的性质与判定【例2】(1)四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( D )A．AB∥CD，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DOD．AB∥DC，AD＝BC(2)如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF.求证：∠EBF＝∠FDE.解：(2)连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，又AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形DEBF为平行四边形，∴∠EBF＝∠FDE(1)由平行四边形的判定排除；(2)由题中条件灵活运用平行四边形的性质及判定方法．真题热身1．(2014·衡阳)若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为( C )A．5B．6C．7D．82．(2014·泸州)如图，等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则∠DEC 的度数为( C )A．30°B．60°C．120°D．150°,第2题图),第3题图) 3．(2013·襄阳)如图，平行四边形ABCD的对角线交于O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是( C )A．18 B．28 C．36 D．464．(2014·陕西)一个正五边形的对称轴共有__5__条．5．(2014·淮安)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是__答案不唯一，如：AB＝CD__．(只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段)6．(2013·徐州)如图，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交于AB于点E，BF平分∠ABC，交CD于点F.(1)求证：DE＝BF；(2)连接EF ，写出图中所有的全等三角形．(不要求证明)解：(1)∵∠EDF ＝12∠ADC ，∠EBF ＝12∠ABC ，而四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADC ＝∠ABC ，∴∠EDF ＝∠EBF ，又DC ∥AB ，∴∠EBF ＝∠CFB ，∴∠EDF ＝∠CFB ，∴DE ∥FB ，∴四边形EBFD 为平行四边形，∴DE ＝BF (2)△ADE ≌△CBF ，△DEF ≌△BFE第五章 四边形第1节 多边形与平行四边形基础过关一、精心选一选1．(2013·六盘水)下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是( D ) A ．正三角形 B ．正六边形 C ．正方形 D ．正五边形2．(2014·毕节)如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为( B )A ．13B ．14C ．15D ．163．(2013·泰安)如图，五边形ABCDE 中，AB ∥CD ，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE ，∠AED ，∠EDC 的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于( B )A ．90°B ．180°C ．210°D ．270°,第3题图) ,第4题图)4．(2014·河北)如图，△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若DE ＝2，则BC ＝( C )A ．2B ．3C ．4D ．55．(2013·哈尔滨)如图，在▱ABCD 中，AD ＝2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE ＝3，则AB 的长为( B )A ．4B ．3C .52D ．2,第5题图) ,第6题图)6．(2014·济南)如图，在▱ABCD 中，延长AB 到点E ，使BE ＝AB ，连接DE 交BC 于点F ，则下列结论不一定成立的是( D )A ．∠E ＝∠CDFB ．EF ＝DFC ．AD ＝2BF D ．BE ＝2CF7．(2014·河南)如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ⊥AC.若AB ＝4，AC ＝6，则BD 的长是( C )A ．8B ．9C ．10D ．118．(2013·荆门)四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，给出下列四个条件：①AD ∥BC ；②AD ＝BC ；③OA ＝OC ；④OB ＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有( B )A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种 二、细心填一填9．(2014·内江)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AD ∥BC ，请添加一个条件：__AD ＝BC(答案不唯一)__，使四边形ABCD 为平行四边形．(不添加任何辅助线)10．(2014·毕节)将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为__30__度．11．(2014·南京)如图，AD 是正五边形ABCDE 的一条对角线，则∠BAD ＝__72°__．,第11题图) ,第12题图)12．(2014·福州)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 到点F ，使CF ＝12BC.若AB ＝10，则EF 的长是__5__．13．(2014·襄阳)在▱ABCD 中，BC 边上的高为4，AB ＝5，AC ＝25，则▱ABCD 的周长等于__12或20__． 三、用心做一做14．(2014·内江)如图，点M ，N 分别是正五边形ABCDE 的边BC ，CD 上的点，且BM ＝CN ，AM 交BN 于点P.(1)求证：△ABM ≌△BCN ； (2)求∠APN 的度数．解：(1)在正五边形ABCDE 中，AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN ，BM ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN (2)由△ABM ≌△BCN 得∠BAM ＝∠CBN ，∴∠APN ＝∠BAM ＋∠ABP ＝∠CBN ＋∠ABP ＝∠ABC ＝108°15．(2013·龙岩)如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 是对角线AC 上的两点，∠1＝∠2.(1)求证：AE ＝CF ；(2)求证：四边形EBFD 是平行四边形．解：连接BD 交AC 于点O ，可证△DOE ≌△BOF ，∴OE ＝OF ，而OA ＝OC ，∴OA －OE ＝OC －OF ，即AE ＝CF (2)∵OE ＝OF ，OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形16．(2014·汕尾)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 的延长线于点F. (1)证明：FD ＝AB ；(2)当平行四边形ABCD 的面积为8时，求△FED 的面积．解：(1)由ASA 或AAS 证△ABE ≌△DFE ，∴FD ＝AB (2)∵DE ∥BC ，∴△FED ∽△FBC ，∵△ABE ≌△DFE ，∴BE ＝EF ，S △FBC ＝S 平行四边形ABCD ，∴EF BF ＝12，∴S △FED S △FBC ＝14，∴S △FED 8＝14，∴△FED 的面积为217．(2014·凉山州)如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD ，等边△ABE.已知∠BAC ＝30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF.(1)试说明AC ＝EF ；(2)求证：四边形ADFE 是平行四边形．解：(1)∵△ABE 为等边三角形，EF ⊥AB ，∴AF ＝12AB ，又在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AB ，∴AF ＝BC ，又AE ＝AB ，∴Rt △AFE ≌Rt △BCA(HL )，∴AC ＝EF(2)∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC ＝60°，AC ＝AD ，∴∠DAB ＝∠DAC ＋∠BAC ＝90°，∴EF ∥AD ，∵AC ＝EF ，AC ＝AD ，∴EF ＝AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形18．(2014·泰州)如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E ，F 分别在BC ，AB 上，且DE ∥AB ，EF ∥AC.(1)求证：BE ＝AF ；(2)若∠ABC ＝60°，BD ＝6，求四边形ADEF 的面积．解：(1)∵DE ∥AB ，EF ∥AC ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∠ABD ＝∠BDE ，∴AF ＝DE ，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠DBE ，∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE ，∴BE ＝AF (2)过点D 作DG ⊥AB 于点G ，过点E 作EH ⊥BD 于点H ，∵∠ABC ＝60°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠EBD ＝30°，∴DG ＝12BD ＝12×6＝3，∵BE ＝DE ，∴BH ＝DH ＝12BD ＝3，∴BE ＝BHcos 30°＝23，∴DE ＝BE ＝23，∴四边形ADEF 的面积为DE·DG ＝6 3挑战技能19．(2013·达州)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC 为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是( B )A．2 B．3C．4 D．520．(2013·菏泽)如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD ＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为．21．(2013·荆州)如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称，若E点的坐标是(7，－33)，则D点的坐标是__(5，0)__．22．(2013·重庆)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1＝∠2.(1)若CF＝2，AE＝3，求BE的长；(2)求证：∠CEG ＝12∠AGE.解：(1)∵CE ＝CD ，点F 为CE 的中点，CF ＝2，∴DC ＝CE ＝2CF ＝4.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ＝4.∵AE ⊥BC ，∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定得BE ＝42－32＝7 (2)过G 作GM ⊥AE ，∵AE ⊥BE ，∴GM ∥BC ∥AD.∵在△DCF 和△ECG 中，∠1＝∠2，∠C ＝∠C ，CD ＝CE ，∴△DCF ≌△ECG(AAS )，∴CG ＝CF.∵CE ＝CD ，CE ＝2CF ，∴CD ＝2CG ，即G 为CD 中点．∵AD ∥GM ∥BC ，∴M 为AE 中点，∵GM ⊥AE ，∴AG ＝EG ，∴∠AGE ＝2∠MGE ，∵GM ∥BC ，∴∠EGM ＝∠CEG ，∴∠CEG ＝12∠AGE23．(2013·淄博)分别以▱ABCD(∠CDA ≠90°) 的三边AB ，CD ，DA 为斜边作等腰直角三角形△ABE ，△CDG ，△ADF.(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF ，EF ，请判断GF 与EF 的关系；(只写结论，不需证明)(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF ，EF ，(1)中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．解：(1)GF ⊥EF ，GF ＝EF (2)GF ⊥EF ，GF ＝EF 成立．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC ，∠DAB ＋∠ADC ＝180°.∵△ABE ，△CDG ，△ADF 都是等腰直角三角形，∴DG ＝AE ，DF ＝AF ，∠CDG ＝∠ADF ＝∠DAF ＝∠BAE ＝45°，∴∠BAE ＋∠DAF ＋∠EAF ＋∠ADF ＋∠CDF ＝180°，∴∠EAF ＋∠CDF ＝45°.∵∠CDF ＋∠GDF ＝45°，∴∠GDF＝∠EAF，∴△GDF≌△EAF，∴GF＝EF，∠GFD＝∠EFA，即∠GFD＋∠GFA ＝∠EFA＋∠GFA，∴∠GFE＝∠DFA＝90°，∴GF⊥EF。
多边形与平行四边形--知识讲解及典型例题解析
多边形与平行四边形--知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1. 多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系．B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形．(2)平行四边形A：会识别平行四边形．B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题．C：会运用平行四边形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n －2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要点诠释】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．【要点诠释】1.平行四边形的面积=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．60° B．65° C．55° D．50°【思路点拨】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．【答案】A【解析】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故选：A．【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．举一反三：【变式】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=_________.【答案】40°.2．现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝360°，但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.举一反三：【变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】B.类型二：平行四边形及其他知识的综合运用3．如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN∥MF．【思路点拨】连接ME，FN，由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线互相平分，利用AAS得到三角形AOE与三角形COF全等，利用全等三角形对应边相等得到OE=OF，同理得到三角形BOM与三角形DON全等，得到OM=ON，进而确定出四边形MEFN为平行四边形，利用平行四边形的对边平行即可得证．【答案与解析】证明：连接ME，FN，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE⊥BD，CF⊥BD，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，同理△BOM≌△DON，得到OM=ON，∴四边形EMFN为平行四边形，∴EN∥MF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．4.如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使，点E、F分别为边BC、AC 的中点.（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于G，求证：AG=DG.【思路点拨】（1）E、F分别为BC、AC中点，则EF为△ABC的中位线，所以EF∥AB，.而.则EF=AD.从而易证△DAF≌△EFC, 则DF=CE=BE.(2) AG与DG在同一个三角形中,只需证∠D=∠DAG即可.【答案与解析】（1）∵点E、F分别为BC、AC的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ EF∥AB，.又∵，∴ EF=AD.∵ EF∥AB，∴∠EFC=∠BAC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=90.又∵ F是AC的中点，∴AF=CF，∴△DAF≌△EFC.∴DF=EC=BE.（2）由(1)知∵△DAF≌△EFC，∴∠D=∠FEC.又∵ EF∥AB，∴∠B=∠FEC.又∵ AG∥BC，∴∠DAG=∠B，∴∠ DAG=∠FEC∴∠D=∠DAG.∴AG=DG.【总结升华】三角形中位线定理的作用：位置关系——可以证明两条直线平行；数量关系——可以证明线段的相等或倍分.此外应注意三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形.举一反三：【变式】如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C.5．如图：六边形ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD ⊥BD．已知FD=4cm，BD=3cm．则六边形ABCDEF的面积是_________cm2．【思路点拨】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．【答案与解析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，∴AE=BD，AC=FD，∵FD⊥BD，∴∠GDH=90°，∴四边形AHDG是矩形，∴AH=DG∵EH=AE-AH，BG=BD-DG∴EH=BG．∴六边形ABCDEF的面积=平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=3×4=12cm2．故答案为：12.【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．6 .已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．（1）如图，若PE=3，EO=1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+32-4，求BC的长．【思路点拨】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=12AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．【答案与解析】（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE=3，EO=1，∴tan∠EPO=33 EOPE=，∴∠EPO=30°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠PFO=90°，在Rt△PEO和Rt△PFO中，PO PO PE PF=⎧⎨=⎩，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），∴∠FPO=∠EPO=30°，∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴PF∥AO，且PF=12 AO，∵PF⊥BD，∴∠PFD=90°，∴∠AOD=∠PFD=90°，又∵PE⊥AC，∴∠AEP=90°，∴∠AOD=∠AEP，∴PE∥OD，∵点P是AD的中点，∴PE是△AOD的中位线，∴PE=12 OD，∵PE=PF，∴AO=OD，且AO⊥OD，∴平行四边形ABCD是正方形，设BC=x，则BF=22x+12×22x=324x，∵BF=BC+32-4=x+32 -4，∴x+32-4=324x，解得x=4，即BC=4．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形ABCD是正方形是解题的关键．举一反三：【变式】如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，－1），且P（－1，－2）是双曲线上的一点，Q为坐标平面上的一动点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，是否可以使△OBQ与△OAP面积相等？（3）如图2，点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图1 图2【答案】（1）正比例函数解析式为，反比例函数解析式为．（2）当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为，，解得.所以点Q的坐标为和．（3）因为P（，），由勾股定理得OP＝，平行四边形OPCQ周长=．因为点Q在第一象限中的双曲线上，所以可设点Q的坐标为，由勾股定理可得，通过图形分析可得：OQ有最小值2，即当Q为第一象限中的双曲线与直线的交点时，线段OQ的长度最小．所以平行四边形OPCQ周长的最小值：．。
中考数学 提升作业 考点系统复习 第五章 四边形 第一节 多边形与平行四边形
8．(2022·内江)如图，在▱ ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF.
求证：(1)△ABE≌△CDF；
证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB， AB＝CD，
在△ABE和△CDF中，∠ABE＝∠CDF， BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
求证:(2)四边形AECF是平行四边形． 证明：(2)由(1)可知△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴180°－∠AEB＝180°－∠CFD， 即∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF，∵AE＝CF， ∴四边形 AECF 是平行四边形．
9．(2022·乐山)如图，在▱ ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，过点 B作BF⊥AC，垂足为点F.若AB＝6，AC＝8，DE22·广州)如图，在▱ ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点 O，AC＋BD＝22，则△BOC的周长为 21.
( D)
3．(2022·湘潭)如图，在▱ ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB
＝80°，则∠BCD的度数为
( C)
A．80°
B．100°
C．120°
D．140°
4．(2022·达州)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点
F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则
1 ∴S△ABC＝2EF·(AB＋BC)＝84.
14．★(2022·青岛)图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美 结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边 长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后， 再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC 的度数是 660°.
人教版初中数学中考复习一轮复习-多边形和平行四边形(知识点+中考真题)
（1） 平行四边形的对边平行且相等． （2） 平行四边形的邻角互补，对角相．等．
推论：夹在两条平行线间的 平行线段 相等． （3） 平行四边形的对角线互相平分 ．
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点， 则： 则二等这分条此直平线行被四一边组形对的边面截积下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直．线
是 中心 对称图形．②正n边形有 n 条对称轴 ．
3.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全 覆盖 ，叫做用多边形
覆盖平面（或平面镶嵌）．平面镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内
角和为 360° 时，可以平面镶嵌．
知识点梳理——平行四边形
1.平行四边形的概念： 两组对边分别平行的四边形叫做平行．四边形
【解答】证明：∵DE=DC，∴∠DEC=∠C． ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠DEC， ∴ AB∥BE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD=BE．
14.（10分）（2021•怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、 A、C、F在同一直线上，AE＝CF． 求证：（1）△ADE≌△CBF；
C ∠D＝58°，则∠AEC的大小是（ ）
A．61° B．109° C．119° D．122°
典型例题
7.（2021•恩施州）如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，
AC⊥BC，则▱ABCD的面积为（ B ）
A．30 B．60
C．65 D．
典型例题
8.(2021·安顺、贵阳) 如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，
形的边数是
．
2.（2020•陕西12/25）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD ，则∠BDM的度数是 ．
八年级(下)数学 同步讲义 多边形和平行四边形(解析版)
多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间的关系，比较基础，题目相对较简单．平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为进一步学习特殊的平行四边形打好基础．1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形．2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点．3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线．5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形．6、多边形内角和定理：n边形的内角和等于(2)180n-⋅︒．7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角．8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和．9、多边形的外角和等于360°．多边形及平行四边形的性质内容分析知识结构模块一：多边形知识精讲2 / 21【例1】 （1）从五边形的一个顶点出发，可画出__________条对角线；（2）从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多 边形共有__________条对角线． 【答案】（1）2；（2）20．【解析】（1）多边形的一个顶点可以画()3n -条对角线，所以是5-3=2条．（2）由题意知，一个多边形可以切割成()2n -个三角形，则()2n -=6，由多边形的对角线条数公式()32n n -，可知这个多边形共有()883202⨯-=条对角线．【总结】考察多边形对角线的概念及条数公式．【例2】 四边形的内角和为（ ）A ．90°B ．180°C ．360°D ．720° 【答案】C【解析】四边形可以分割成两个三角形，所以内角和是360°．也可以通过多边形内角和 定理来计算：()1802n -． 【总结】考察多边形的内角和定理．【例3】 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】多边形内角和定理是：()1802n -，所以720°=()1802n -，解得6n =． 【总结】考察多边形的内角和定理的应用．例题解析【例4】 如果一个四边形的四个内角的度数之比为1:2:3:4，那么这个四边形的最大内角的度数是__________． 【答案】144°．【解析】四边形的内角和为360°，由题意可设四个内角度数分别为,2,3,4x x x x ，列方 程234360x x x x +++=，解得：36x =，所以最大内角4144x =． 【总结】考查多边形的内角和定理的应用．【例5】 已知一个多边形的内角和是外角和的8倍，且这个多边形的每个内角都相等，求这个多边形的边数与每个内角的度数． 【答案】边数是18，每个内角的度数为160°．【解析】因为多边形的外角都是360°，所以这个多边形的内角和为360°×8=2880°，又因为多边形的内角和公式是()1802n -，所以()1802n -=2880°，解得：18n =． 因为每个内角都相等，所以每个内角度数为2880°÷18=160°. 【总结】考察多边形内角和外角的应用．【例6】 一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，这个内角是多少度? 这个多边形有几条边? 【答案】18【解析】设有n 条边，则内角和为()1802n -．因为多边形每个内角度数都大于0°小于180°．所以()275018022750180n -+，解此不等式地17.2718.27n ，n 为边数只能取正整数，所以18n =． 【总结】考察多边形内角和的应用．4 / 21【例7】 某人从点A 出发，沿直线前进100米后向左转30°，在沿着直线前进100米，又 向左转，...，照这样下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了多少米． 【答案】1200米．【解析】由题意知A 回到出发点时，所走轨迹是一个正多边形，由多边形的外交和是360°， 所以360°÷30°=12次，所以共走了12个100米，一共走了12×100=1200米． 【总结】考察多边形外角和的应用．【例8】 在四边形ABCD 中，∠A =80°，∠B 和∠C 的外角分别为105°和32°，求∠D 的度数． 【答案】57°【解析】多边形外角和为360°，由题意知∠A 的外角为180°-80°=100°，所以∠D 的 外角为360°-100°-105°-32°=123°，对应的∠D=180°-123°=57°． 【总结】考察多边形外角和的应用．【例9】 设一个凸多边形，除去一个内角以外，其他内角的和为2570°，则该内角为（ ）A 、 40°B 、90°C 、120°D 、130° 【答案】D【解析】设有n 条边，则内角和为()1802n -．因为多边形每个内角度数都大于0°小于180°．所以()257018022570180n <-<+，解此不等式地16.2717.27n ，n 为边数只能取正整数，所以17n =,所以这个内角为()()1802-2570180172-2570130n -=⨯-=． 【总结】考察多边形内角和的应用．【例10】 一个凸n 边形的内角中，恰好有4个钝角，则n 的最大值是（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 【答案】C【解析】因为多边形的内角和是180°的倍数，所以内角中有4个钝角，就会有()4n -个直角或者锐角，可知内角和一定小于4×180°+()490n -⨯， 即()1802n -< 4×180°+()490n -⨯，解得：8n <，最大值是7． 【总结】考察多边形内角和的应用．【例11】 已知，一个多边形的内角和与一个外角的差为1560°，求这个多边形的边数和这个外角的度数． 【答案】11，60°．【解析】多边形的内角和为()1802n -，则这个外角为()18021560n --，由于每一个外角都大于0°且小于180°，所以()018021560180n <--<，解得10.711.7n <<， 所以11n =，这个外角的度数为()()18021560180112156060n --=⨯--=． 【总结】考察多边形内外角和的应用．【例12】 已知凸n 边形12n A A A ⋅⋅⋅（n ＞4）的所有内角都是15°的整数倍，且123285A A A ∠+∠+∠=︒，那么n =__________．【答案】10【解析】多边形的内角和为()1802n -，其余共()3n -个内角和为()1802-285n -，可知()18022850n -->是15°的倍数也是()3n -的倍数， ()()18022851803105105718015123333n n n n n n ----⎛⎫==-=- ⎪----⎝⎭， 可知31n -=或者37n -=，又n ＞4，所以10n =． 【总结】考察多边形内外角和的应用．模块二：平行四边形的概念及性质6 / 211、 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用符号“”表示，如：ABCD ． 2、平行四边形性质定理①如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等． 简述为：平行四边形的对边相等．②如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等． 简述为：平行四边形的对角相等．③如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分． 简述为：平行四边形的两条对角线互相平分．④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． ⑤推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．【例13】 在平行四边形ABCD 中，若∠A 的度数比∠B 大20°，则∠B 的度数为__________，∠C 的度数为__________．【答案】80°，100°．【解析】因为是平行四边形，所以180A B ∠+∠=，又-20A B ∠∠=，解得80100B A ∠=∠=；．因为平行四边形的对角相等，所以100C ∠=． 【总结】考察平行四边形的内角和及内角的性质．知识精讲例题解析【例14】 在ABCD 中，E 在BC 上，AB =BE ，∠AEB =70°，求平行四边形ABCD 各内角的度数．【答案】40140B D BAD BCD ∠=∠=∠=∠=；．【解析】由题知，在∆BAE 中，70BEA BAE ∠=∠=，所以40B D ∠==∠， 18040140BAD BCD ∠=∠=-=．【总结】考察平行四边形的内角度数相关知识点．【例15】 如果ABCD 的周长是50cm ，AB 比BC 短3cm ，那么CD 、DA 分别是多少． 【答案】1411DA cm CD cm ==，．【解析】平行四边形的对边平行且相等，所以50225AB BC cm +=÷=，又-3BC AB cm =， 解得1411.BC cm AB cm ==，又因为,AB CD BC AD ==,所以14,11DA cm CD cm ==． 【总结】考察平行四边形的边的相关知识点．【例16】 如图，在△ABC 中，AB =AC =8，D 是底边BC 上一点，DE //AC ，DF //AB ，求四边形AEDF 的周长． 【答案】16【解析】由题意知DE //AC ，所以C EDB ∠=∠,又因为C B ∠=∠ 所以B EDB ∠=∠，得EB=ED ．同理可得FD=FC ，所以四边形AEDF 的周长=AE +ED +DF+AF =AE +EB +CF +AF =AB +AC =8+8=16．【总结】考察平行四边形的边的平行性质的应用．【例17】 如图，已知平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，且AE =2，DE =1，则平行四边形ABCD 的周长等于__________．【答案】10【解析】由题知ABE CBE ∠=∠．因为AD//BC ，所以AEB CBE ∠=∠，得ABE AEB ∠=∠，即AE =AB =2． 因为AD=AE+ED =2+1=3，所以平行四边形ABCD 的周长等于=2×（AB +AD ）=2×（2+3）=10． 【总结】考察平行四边形的综合应用．AB CDEABCDEF8 / 21【例18】 如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知△BOC 的周长比△AOB 的周长多8cm ，求ABCD 各边的长． 【答案】AB =CD =11cm ，BC =AD =19cm ． 【解析】由题知8BOC AOB C C ∆∆-=，且OA =OC ，即BO +OC +BC -(BO +OA +AB )=BC -AB =8，又因为2×(AB +BC )=60，所以得BC +AB =30，BC -AB =8， 所以AB =CD =11cm ，BC =AD =19cm ． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【例19】 平行四边形的一角平分线分对边为3和4两部分，这个平行四边形的周长为________．【难度】★★ 【答案】20或22．【解析】如图由题意可分两种情况：1、AE=3，ED =4，由题知ABE CBE ∠=∠．因为AD//BC ，所以AEB CBE ∠=∠，得ABE AEB ∠=∠， 即AE =AB=3，因为AD=AE+ED =3+4=7，所以这个平行四边形的周长为2×(AB +AD )=2×(3+7)=20； 2、AE =4，ED =3，同理可求这个平行四边形的周长为22； 故该平行四边形的周长为20或22．【总结】考察平行四边形的性质及等腰三角形的综合应用．ABCDOABCD E【例20】 如图，在ABCD 中，AE ⊥BC 、AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，若∠ B =50°， 求∠F AE 的度数． 【答案】50゜．【解析】因为平行四边形的对角相等，所以50B D ∠=∠=．因为平形四边形的邻角互补，所以18050130BAD ∠=-=．在直角三角形BAE 中，40BAE ∠=，同理40DAF ∠=， 所以130404050FAE ∠=--=．【总结】考察平行四边形的性质及直角三角形的性质的综合应用．【例21】 平面直角坐标系中，ABCD 的对角线交点在坐标原点，若A 点的坐标为(4，3)，B 点的坐标为(-2，2)，求点C 、D 的坐标及ABCD 的周长．【答案】C （-4，-3）；D （2，-2）；229237+．【解析】因为平行四边形的对角线相互平分，所以可知C 点的坐标为（-4，-3），D 点的坐标为（2，-2）．由两点间的距离公式可得()()22423237AB =++-=，()()22242329CB =-+++=，所以ABCD 的周长=2×(3729+)=237229+．【总结】考察平行四边形的性质的在平面直角坐标系中的运用．【例22】 在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD 的边AB //x 轴，B 、D 均在y 轴上，又知道A 、D 在直线y =2x -1上，且B 点坐标(0，1)，求A 、C 、D 的坐标及ABCDS． 【答案】A (1 ，1)；C (-1 ，-1)；D (0 ，-1)；ABCDS =2．【解析】由题意知A 的纵坐标与B 相同，把y =1代入y =2x -1中,可得A 的横坐标为1，所以A 的坐标为A (1 ，1)，D 为y =2x -1与y 轴的交点， 所以D 为（0，-1）．因为AB //CD 且AB =CD ， 所以C 的坐标为（-1，-1）．从而可求CD=1，BD=2，且BD ⊥CD ，所以ABCDS=122CD BD ⨯=⨯=．【总结】考察平行四边形的性质在平面直角坐标系中的应用． 【例23】 如图，已知ABCD 的面积为24，求阴影部分的面积．【答案】12．【解析】因为平行四边形是中心对称图形，可知每一个小阴A BCDEFABCDO xy10 / 21影三角形都有一个小空白三角形与之完全重合． 所以阴影部分的面积是24．【总结】考察平行四边形的中心对称性的运用．【例24】 已知在ABCD 中，M 是AD 的中点，AD =2AB ，求∠BMC 的度数． 【答案】90°．【解析】由题知AM=AB=CD=MD ，设2ABC D ∠=∠=Φ．则可得ABM MBC AMB ∠=∠=∠=Φ，在三角形DMC 中，DM=DC ，2D ∠=Φ， 可得90DMC ∠=-Φ，所以()180-1809090BMC AMB DMC ∠=∠-∠=-Φ--Φ=． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【例25】 如图所示，平行四边形ABCD 中，G 、H 是对角线BD 上两点，DG =BH ，DF =BE ． 求证：∠GEH =∠GFH ．【解析】在DFG ∆与BHE ∆中，因为DG =BH ，DF =BE ，CDB DBA ∠=∠，所以DFG ∆≅BHE ∆，所以GF=EH ，DGF BHE ∠=∠．从而FGH GHE ∠=∠，所以GF//EH ． 又因为GF=EH ，所以四边形GEHF 为平行四边形，从而∠GEH=∠GFH ． 【总结】考察平行四边形的性质的应用．A BCDE F GH【例26】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，BM =MC =DC ． 求证：∠EMC =3∠BEM ．【解析】延长EM 交DC 于F 点，易证()BEM CMF AAS ∆≅∆，则MF=ME ，即M 为EF 中点． 设BEM ϕ∠=，则F BEM ϕ∠=∠=，在直角∆FED 中，ME=MF=MD ，得CDM F ϕ∠=∠=， 所以2EMD F MDC ϕ∠=∠+∠=，又因为CM=CD ， 所以MDC CMD ϕ∠=∠=，综上，233EMC CMD EMD BEM ϕϕϕ∠=∠+∠=+==∠． 【总结】考察平行四边形的性质及角的和差的综合应用．【例27】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，直线FH 与AB 、CD 相交，过点A 、D 、C 、 B 向直线FH 作垂线，垂足分别为点G 、F 、E 、H ，求证：AG DF CE BH -=-．【解析】过A 点做AM ⊥DF ，易证四边形AMFG 为矩形，则AG=MF ，所以AG -DF=MF -DF=-DM ． 同理过C 点做CN ⊥BH ，可证CE=HN ， CE -BH=HN -BH=-BN ．因为BH//AG ，所以GAB HBA ∠=∠， 可知90HBA BAM GAB BAM ∠+∠=∠+∠=， 又180DAB ABC ∠+∠=，所以()1809090DAM HBC DAB ABC MAB HBA ∠+∠=∠+∠-∠+∠=-=． 可得90DAM HBC ∠+∠=，从而得DAM BCN ∠=∠(同角的余角相等)． 在∆ADM 和∆CNB 中，AD=BC ，90AMD CNB ∠=∠=︒，又DAM BCN ∠=∠得()AMD CNB AAS ∆≅∆，可得DM=BN ，从而-DM=-BN ， 再得CE -BH=AG -DF ．【总结】考察平行四边形的性质的应用．ABCDEMABCDEF G H12 / 21【例28】 如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD = 60°，AE 平分∠BAD 交CD 于E ，BF平分∠ABC 交CD 于F ，又AE 与BF 交于O ，已知OB =OE =1．试求平行四边形ABCD 的面积．【答案】1+3．【解析】因为AE 、BF 分别平分BAD ∠和ABC ∠，又BAD ∠+ABC ∠=180°，所以AOB ∠=90°． 在直角∆AOB 中，∠BAO=12∠BAD = 30°，OB =1，得OA =3．连接BE ，可求得∆BAE 的面积=()1113131222AE OB +⨯⨯=⨯+⨯=，所以平行四边形ABCD 的面积=2×BAE S ∆=13+． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【例29】 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F ．（1）在图1中证明CE ＝CF ；（2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），求∠BDG 的度数． 【答案】（1）见解析；（2）45°．【解析】（1）因为AE 平分∠BAD ，所以∠BAE=∠BEA ．又因为AB//CD ，所以∠F =∠BAE =∠BEA=∠CEF ,从而得CE=CF ；（2）连接BG 、CG ．由（1）可知CE=CF ,且BE=BA=DC 又∠ECF=90°． 因为G 是EF 的中点，CG=EG,∠F=∠FEC=45°，从而∠GCD=∠GEB =135°． 综上，可得()BEG DCG SAS ∆≅∆，可得GB=GD ，∠DGC=∠BGE ， 所以90°=∠BGD=∠DGA+∠BGE=∠DGA+∠DGC ， 从而知∆GBD 是等腰直角三角形，所以∠BDG=45°． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．ABCD EF O【习题1】 如果一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么，这个多边形共有多少条对角线?【答案】27【解析】由题意知共有360°÷（180°-140°）=9条边，根据多边形的对角线条数公式()()39932722n n -⨯-==条．【总结】考察多边形的基本知识的应用．【习题2】 两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是_________和_________．【答案】5，7【解析】设这两个凸多边形的边数分别为x 条和y 条，可列方程x +y =12，192)3(2)3(=-+-y y x x ，解得：12125577x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩． 所以这两个多边形的边数分别是5和7． 【总结】考察多边形的基础知识的应用．【习题3】 若一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】8【解析】由题可知该多边形的内角和为360°×3=1080°()1802n =-，解得8n =． 【总结】考察多边形的内外角和的应用．随堂检测14 / 21【习题4】 如图， ABCD 中，AF ∶FC ＝1∶2，S △ADF ＝6cm 2，则ABCDS 的值为________．【答案】36cm 2．【解析】∆AFD 与∆CFD 同高，所以面积比等于底之比 AF :FC =1:2，所以22612DFC S cm ∆=⨯=， 则261218DAC S cm ∆=+=，所以2=218=36ABCDScm ⨯．【总结】考察平行四边边形的性质的应用．【习题5】 如图，ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则ABCD 的面积为________．【答案】3【解析】因为360-D DFB DEB EBF ∠=∠-∠-∠=360°-90°-90°-60°=120°，所以180********A D ∠=-∠=-=，又60A C ∠=∠=，在直角∆BEC 中， 60C ∠=，EC =2，可得BC=4，BE =3AD=BC =4，所以AF=AD -DF =4-1=3． 在在直角∆AFB 中，60A ∠=，AF =3，可得AB =6． 综上平行四边形的面积为623123⨯ 【总结】考察平行四边形的性质的应用．【习题6】 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________．【答案】2a ．【解析】由平行四边形的性质可知OA=OC ，又MO=MO ，MOA MOC ∠=∠，所以∆MOA ≅∆MOC ，所以MA=MC ．所以∆CMD 的周长=a =CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD ， 所以平行四边形的周长=()2AD 2CD a +=．【总结】考察平行四边形的对角线互相平分的性质的应用．20︒20︒20︒M【习题7】 在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD 的边AB //y 轴，B 、D 均在x 轴上，又知道A 、D 在直线y =2x +1上，且B 点 坐标(1，0)，求A 、C 、D 的坐标及ABCDS和ABCDC．【答案】A (1，3)；C (12-，-3)；D (12-，0)；ABCD S=92； ABCDC=635+．【解析】由题可知A 的横坐标为1，代入y =2x +1可得A 的纵坐标为3，所以A (1，3)．因为D 为y =2x +1与x 轴的交点，所以可得D (12-，0)．因为ABCD 为平行四边形，CD=AB =3，所以C (12-，3)．所以ABCD S =193122AB BD ⎛⎫⨯=⨯+= ⎪⎝⎭，2222333522AD AB BD ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则ABCD C=()322356352AB AD ⎛⎫+=⨯+=+⎪⎝⎭． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【习题8】 如图所示，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M 时，行走了多少米？【答案】180米【解析】多边形的外角和为360°，每个外角为20°，可知共有360°÷20°=18条边，多边形的周长为18×10=180米． 【总结】考察多边形的外角的应用．【习题9】 如图，已知M 是 ABCD 边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，且DE =2BE ，则图中阴影部分面积与 ABCD 的面积之比为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．512【答案】C【解析】设∆BEM 的面积为x ，因为DE=2BE ，所以∆DEM 的面积为2x ．在梯形MBCD 中，2DEM CBE S S x ∆∆==，同理可知24DCE BCE S S x ∆∆==．AB CDO xy16 / 21GDBCA FE则162DCB BCE DCE S S S x ∆∆∆=+==平行四边形ABCD 的面积，可知平行四边形的面积是 12x ，阴影部分的面积是224x x x +=，所以阴影部分面积与 ABCD 的面积之比为41123x x =，选C ． 【总结】考察平行四边形有关的面积的综合应用．【习题10】 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________． 【答案】92cm ．【解析】∆BEF 和∆AEF 的面积之比等于BF:AF =2:1，所以2221AEF BEF S S ∆∆=÷=÷=2cm ． ∆BEA 和∆BEC 的面积之比等于AE:EC=2:1，所以2(21)2 1.5BEC BEA S S ∆∆=÷=+÷=， 从而得21.53 4.5ABC EBC ABE S S S cm ∆∆∆=+=+=， 从而得平行四边形的面积=222 4.59ABC S cm ∆=⨯=． 【总结】考察平行四边形有关的面积的综合应用．【习题11】 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED 的大小是（ ） A ．60°B ． 65°C ．70°D ．75°【答案】B【解析】作DE 的中点M ，连结AM设∠ADB =Φ=∠DBC ,则∠ABD =75°-Φ，取DE 中点M ，连接AM ．可知∠DAF =∠AFC =90°．在直角三角形ADE 中，MA =12DE =AB ，所以∠AEB =∠ABD =75°-Φ，又因为∠AEB =∠ADM +∠DAM =Φ+Φ=2Φ, 所以2Φ=75°-Φ，解得：Φ=25°，所以∠AED =90°-∠ADM =90°-25°=65°． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【习题12】 如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE ＝DF ，BE与DF 交于点G ，求证：∠BGC ＝∠DGC ． 【答案】见解析【解析】作CM ⊥BE 、CN ⊥DF ，垂足分别为M 、N 连接CF 、CE ．DABC E由题意知CFD CBE S S ∆∆==12平行四边形的面积， 即1122BE CM DF CN ⨯⨯=⨯⨯，因为BE=DF ，所以CM=CN ， 在∠DGB 中，CM=CN ，可知CG 是∠DGB 的角平分线，即∠BGC ＝∠DGC ． 【总结】考察平行四边的性质与角平分线性质的综合应用．【习题13】 如图，在凸五边形ABCDE 中，已知AB ∥CE ，BC ∥AD ，BE ∥CD ，DE ∥AC ，求证：AE ∥BD ． 【答案】见解析【解析】因为BC//AD ，所以ABD ACD S S ∆∆=．因为AC//DE ，所以ACD ACE S S ∆∆=．因为AB//CE ，所以ACE BCE S S ∆∆=． 因为CD//BE ，所以BCE BDE S S ∆∆=，所以ABD EBD S S ∆∆=，所以AE//BD ． 【总结】考察同底等高的两个三角形面积相等的综合运用．【作业1】 若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】由题知这个多边形的内角为180°×（2n -）=360°×5，12n =． 【总结】考察多边形的基础知识．课后作业18 / 21α110°106°78°【作业2】 如果一个凸多边形的每一个内角都等于120°，那么这个多边形共有多少条对角线？ 【答案】9条．【解析】由题意知共有360°÷（180°-120°）=6条边，根据多边形的对角线条数公式()()3663922n n -⨯-==条．【总结】考察多边形的基础知识．【作业3】 如右图中的α∠的度数为__________． 【答案】106°【解析】由题知()10678180110360α∠+++-=．α∠=106°． 【总结】考察多边形的内角的应用．【作业4】 如图，ABFE 和CDEF 是完全相同的两个平行四边形，图中和△AOE 面积相同的三角形（△AOE 除外）有________个． 【答案】5【解析】由平行四边形的性质知AOE COF AOF COE DOE BOF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===== 【总结】考察平行四边形的面积综合应用．【作业5】 已知某平行四边形的周长为80mm ，它被两条对角线分成四个三角形，其中相 邻两个三角形的周长差为12mm ，求这个平行四边形一组邻边的长． 【答案】26mm ，14mm ．【解析】由题知8BOC AOB C C ∆∆-=，且OA =OC ，即BO +OC +BC -(BO +OA +AB )=BC -AB =12mm ．又因为2×(AB+BC)=80mm ，所以得BC+AB =40mm ，BC -AB=12mm ， 所以AB =CD =26mm ，BC =AD =14mm ．【总结】考察平行四边形的对角线互相平分的综合应用．【作业6】 如图所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AC =a +b ，BD =a +c ， AB =m ，求m 的取值范围．【答案】22b c b cm a -+<<+． A B CD E F OABCDO【解析】过C 作DB 的平行线交AB 的延长线于G ，可知四边形CDBG 为平行四边形． 可知CD =AB =BG ，BD=CG ，在∆ACG 中，AC+CG>AG=2AB ， AC -CG<AG=2AB即2a b a c m +++>，()-2a b a c m ++<，得22b c b cm a -+<<+． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用【作业7】 若凸多边形的n 个内角与某个外角之和为1350°，求n 的值 ． 【答案】9【解析】设这个外角为Φ(0180<Φ<)，由题知()135018021710-180n n Φ=--=， 则01710-180180n <<，得8.59.5n <<，所以n =9． 【总结】考察多边形内外角的综合应用．【作业8】 已知：AB ∥EF ∥GH ，BE =GC ．求证：AB =EF +GH ． 【答案】见解析.【解析】过B 点做BO//AF ,交FE 的延长线于O ． 可知四边形ABOF 为平行四边形，所以AB=FO ， ∠ABO=∠FEG=∠HGC=∠BEO ，∠A=∠GHC=∠O ．在∆BEO 和∆GHC 中，∠BEO=∠HGC ，BE=GC ，∠GHC=∠O ， 所以∆BEO ≅∆GHC ，则EO=HG ，所以AB=FO=FE+EO=FE+GH ． 【总结】考察平行四边形的性质与全等的综合应用．ABCF EH G20 / 21【作业9】 已知：CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的高，AE 平分∠BAC 交CD 于E ，EF ∥AB ， 交BC 于点F ．求证：CE =BF ． 【答案】见解析.【解析】分别过E 、F 做EM ⊥CA 、FN ⊥AB ，垂足分别为M 、N ．因为AE 平分∠BAC ，所以ED =EM ．因为EF //AB ，所以ED =FN ，所以EM =FN ． 在直角△ABC 中，CD ⊥AB ，∠CAB +∠ACD =∠CAB +∠B =90゜．所以∠ACD =∠B ． 在∆CEM 和∆BFN 中，EM =FN ，∠ACD =∠B ，∠CME =∠BNF =90゜ 所以∆CEM ≅∆BFN ，从而得CE =BF ． 【总结】考察平行四边形的性质与全等的综合应用．【作业10】 如图所示，平行四边形ABCD 中，EF ∥BD ，EF 分别交AB 、AD 的延长线 于E 、F ，交BC 、CD 于G 、H ．求证：EG =FH ． 【答案】见解析.【解析】因为EF ∥BD ，DC ∥BA ，所以DH =BE ，∠DHF =∠E ，∠EGB =∠F 所以∆DHF ≅∆BGE ，所以EG =FH ． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【作业11】 如图所示，平行四边形ABCD 中，P 为△BAD 内一点，若2PAB S =△，5PCB S =△， 求PBD S △的值． 【答案】3【解析】由题知1S S 2PAD PBC ∆∆+=平行四边形的面积=ABD APD ABP PBD S S S S ∆∆∆∆=++ 可得：S PBC ∆=ABP PBD S S ∆∆+，可得523PBD CBP ABP S S S ∆∆∆=-=-=． 【总结】考察平行四边形的面积的综合应用．A BCDEFABCDEFGHA B CDP【作业12】 如图所示，平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在CD 边上， EF ∥BD ．求证：ABE ADF S S =△△．【答案】见解析【解析】由CD //AB ，AD //BC ，EF //BD ，得：A ADF BDF BDE B E S S S S ∆∆∆∆===． 【总结】考察平行四边形的面积的综合应用．A BC D E F。
2012年中考复习课件 第四章 第3讲 第1课时 多边形与平行四边形(12张)
解析：用两种正多边形密铺地面的组合有：正三角形和正 六边形、正三角形和正方形、正方形和正八边形三种． 小结与反思：平面图形的密铺，一般首先要考虑一个或几 个多边形的内角和能够组成一个周角，其次要考虑对应边长是 否相等，在两者都满足的情况下就可以密铺.
5．如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多 边形的每个顶点周围都有 6 个正多边形，则该正多边形的边数 ( A ) A．3 B．4 C．5 D．6
5．知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面， 并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．
2009－2011 年广东省中考题型及分值分布 年份 2009 2010 2011 试题类型 解答题 与性质 解答题 选择题 平行四边形的判定 多边形的性质 3 3 知识点 平行四边形的判定 3 分值(分)
②同一种正多边形可以镶嵌的正多边形是正三角形、 正四边形 _________和正六边形． 重难点突破 1．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 但一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边 形． 2.平行四边形的性质的证明是通过作对角线把证明平行 四边形中线段、角相等的问题转化为证明三角形全等的问题来 处理．
1.平行四边形的性质和判定
特征 判定 边 平 行 对边平行 ________ 四
且相等 Байду номын сангаас_______
角
对角线
对称性 ①两组对边分别平行
对角相 等，邻角 互补
对角线 中心 互相平 对称 分
②两组对边分别相等 ③一组对边平行且相等 ④两组对角分别相等 ⑤两条对角线互相平分
边 形
2．多边形 (1)多边形的性质： (n－2)·180° 360° n 边形内角和公式为_____________，外角和为_____；从 n
2023年中考数学复习第一部分考点梳理第五章四边形第1节多边形与平行四边形
边形AECF一定为平行四边形.
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一题一课
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5.1 多边形与平行四边形
3.(2013·安徽第13题)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,
F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2.
所以S1＋S2＝8.
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5.1 多边形与平行四边形
4.(2019·安徽第20题)如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.
(1)求证:△BCE≌△ADF;
(2)[一题多解]设▱ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求
的值.
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5.1 多边形与平行四边形
(2)解法1:如图1,连接EF.
由(1)知△BCE≌△ADF,∴AF＝BE.
又∵AF∥BE,∴四边形ABEF为平行四边形,
∴S△AEF＝S△AEB.
同理S△DEF＝S△DEC,
∴T＝S△AEB＋S△DEC.
另一方面,T＝S△AED＋S△ADF＝S△AED＋S△BCE,
∴△CDE≌△BAF(AAS),∴CE＝BF,DE＝AF.
∵AC∥DE,
∴四边形ADEF是平行四边形,∴AD＝EF.
∵AD＝BC,∴EF＝BC.
∵CE＝BF,∴四边形BCEF是平行四边形.
(3) 的值为2.
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第一节平行四边形(含多边形)
第一节平行四边形（含多边形）平行四边形是几何学中的一种特殊四边形，具有一些独特的性质和特点。
在本文中，我们将介绍平行四边形的定义、性质和应用。
一、定义平行四边形是指四边形的对边两两平行的四边形。
这意味着平行四边形有两对平行边。
除此之外，平行四边形还具有两组对等的相邻边和对等的对角线。
二、性质1.对边平行性：平行四边形的对边两两平行；2.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，并且相互垂直；3.内角性质：平行四边形的内角互相对等；4.外角性质：平行四边形的外角互相对等；5.相等性质：平行四边形的对边相等，对角线相等；6.相似性质：平行四边形的各边比例相等；7.定理：若两条直线被一对平行的直线截断，在这两条直线上，所截取的线段所构成的四边形是平行四边形。
三、推导1.证明平行四边形的相邻边相等：假设平行四边形ABCD的对边AB和CD平行。
连接AC、BD两条对角线，假设它们的交点为O。
我们可以利用平行四边形的性质进行推导。
由于AB和CD平行，所以∠BAD=∠CDA，∠BAC=∠CDA，利用等角推论可以得出∠BAC=∠CDA。
同理，由于AC和BD平行，所以∠ACB=∠BDC。
在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠CDA，∠BDA=∠CDB，∠ABC=∠BCD （180°-∠BAC-∠CAB=180°-∠BDA-∠BDC）。
所以△ABC与△BCD相似。
因此，我们可以得到以下结论：AB/BC=AC/BD（根据相似三角形的比例）AB/BC=AD/CDAB/AD=BC/CD所以，平行四边形ABCD的相邻边相等。
2.证明平行四边形的对角线平分：利用相似三角形的性质证明平行四边形的对角线平分。
由于平行四边形的对边平行，所以可以得出以下结论：∠A=∠C，∠B=∠D在△ABO和△BCO中，我们有相似三角形AOB~BOC（AAA相似）。
所以可以得到以下比例关系：AO/BO=BO/COAO=CO（两边乘以BO）同理，在△ADO和△CDO中也可以得到DO=CO。
多边形与平行四边形
多边形与平行四边形一、多边形1．多边形的相关概念（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．2．多边形的内角和、外角和（1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；（2）外角和：任意多边形的外角和为360°. 3．正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n边形的每个内角为()2180nn-⋅o，每一个外角为360n︒．（3）正n边形有n条对称轴.（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．二、平行四边形的性质1．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“Y”表示.2．平行四边形的性质（1）边：两组对边分别平行且相等．（2）角：对角相等，邻角互补．（3）对角线：互相平分．（4）对称性：中心对称但不是轴对称．3．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．4．平行四边形中的几个解题模型（1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．（3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．三、平行四边形的判定（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．考向一多边形多边形内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；多边形外角和：任意多边形的外角和为360°；正多边形是各边相等，各角也相等的多边形．典例1 若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】180°×（n–2）=720°，解得n=6．故选B．典例2 如果一个多边形的每一个外角都是60°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】C【解析】多边形外角和为360°，此多边形外角个数为：360°÷60°=6，所以此多边形是六边形.故选C．【名师点睛】计算正多边形的边数，可以用外角和除以每个外角的度数得到.1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是A．17 B．16 C．15 D．16或15或172．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形考向二平行四边形的性质平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等，角相等提供了新的理论依据．典例3 在Y ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是A．3∶4∶3∶4 B．5∶2∶2∶5C．2∶3∶4∶5 D．3∶3∶4∶4【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴在Y ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是：3∶4∶3∶4．故选A．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质．熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键．3．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为A．4，4，8，8 B．5，5，7，7C．5.5，5.5，6.5，6.5 D．3，3，9，9考向三平行四边形的判定平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定．对于平行四边形的判定方法，应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面．典例4 如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有A．15个B．16个C．17个D．18个【答案】D【解析】平行四边形有：Y AEOG，Y AEFD，Y ABHG，Y GOFD，Y GHCD，Y EBHO，Y EBCF，Y OHCF，Y ABCD，Y EHFG，Y AEHO，Y AOFG，Y EODG，Y BHFO，Y HCOE，Y OHFD，Y OCFG，Y BOGE．共18个．故选D．4．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形1．下面四个图形中，是多边形的是2．一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是A．3 B．4 C．5 D．63．n 边形的边数增加一倍,它的内角和增加 A ．180°B ．360°C ．(n –2)·180°D ．n 180°4．平行四边形一定具有的性质是 A ．四边都相等B ．对角相等C ．对角线相等D ．是轴对称图形5．在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线交DC 于E ，若∠DEA =30°，则∠B = A ．100° B ．120°C ．135°D ．150°6．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD =2AD ，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点，下列结论：①BE ⊥AC ；②四边形BEFG 是平行四边形；③△EFG ≌△GBE ；④EG =EF ，其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在Y ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AB =10 cm ，AD =8 cm ，AC ⊥BC ，则OB =_________cm ．8．一个平行四边形两对角之和为116°，则相邻的两内角分别是__________和_________．9．如图，某人从点A 出发，前进5 m 后向右转60°，再前进5 m 后又向右转60°，这样一直走下去，当他第一次回到出发点A 时，共走了__________m ．10．如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点A '处，1248∠=∠=︒，则A ∠'的度数为__________．11．如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．12．如图，在Y ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；（2）求证：AF=CD+CF．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD的中点，连接BE并延长至点F，使得EF=EB，连接DF交AC于点G，连接CF．（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；（2）若∠A=30°，BC=4，CF=6，求CD的长．14．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．1．（2019•福建）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为A．12 B．10 C．8 D．62．（2019•湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形3．（2019•咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为A．45°B．60°C．72°D．90°4．（2019·云南）一个十二边形的内角和等于A．2160°B．2080°C．1980°D．1800°5．（2019•庆阳）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是A．180°B．360°C．540°D．720°6．（2019•广州）如图，Y ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是A．EH=HGB．四边形EFGH是平行四边形C．AC⊥BDD．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍7．（2019•海南）如图，在Y ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．218．（2019▪池河）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是A．∠B=∠F B．∠B=∠BCF C．AC=CF D．AD=CF9．（2019•威海）如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF C．∠AEB=∠BCD D．∠AEC=∠CBD 10．（2019•广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是__________．11．（2019•新疆）五边形的内角和为__________度．12．（2019•武汉）如图，在Y ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为__________．13．（2019•达州）如图，Y ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为__________．14．（2019·安徽）如图，点E在Y ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.（1）求证：△BCE ≌△ADF ；（2）设Y ABCD 的面积为S ，四边形AEDF 的面积为T ，求ST的值.答 案1．【答案】D【解析】多边形的内角和可以表示成()2180n -⋅︒(3n ≥且n 是整数)，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据()21802520,n -⋅︒=o解得：n =16，则多边形的边数是15，16，17．故选D ． 2．【答案】B【解析】180−108=72，多边形的边数是：360÷72=5.则这个多边形是五边形．故选B ． 3．【答案】B【解析】平行四边形的对边相等，所以两邻边的和为周长的一半．周长为24，则两邻边的和为12．又因为相邻的两边相差2，则可计算出较长的一边长为7，较短的一边长为5．故选B ． 4．【答案】A【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形.故选A ．1．【答案】D【解析】根据多边形的定义：平面内不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形,得：D 是多边形．故选D ． 2．【答案】B【解析】设这个正多边形的边数是n ，则（n –2）•180°=900°， 解得：n =7．则这个正多边形是正七边形．所以，从一点引对角线的条数是：7–3=4．故选B．3．【答案】D【解析】∵n边形的内角和是（n–2）•180°，∴2n边形的内角和是（2n–2）•180°，∴将n边形的边数增加一倍，则它的内角和增加：（2n–2）•180°–（n–2）•180°= n180°，故选D．4．【答案】B【解析】A、平行四边形的四条边不相等，故此选项错误；B、平行四边形的对角相等，故此选项正确；C、平行四边形的对角线不相等，故此选项错误；D、平行四边形不是轴对称图形，故此选项错误，故选B．5．【答案】B【解析】根据平行四边形的性质邻角互补来解答．∠A的平分线交DC于E，若∠DEA=30°，所以∠A的度数应为60°．∠A与∠B互补，所以∠B=120°．故选B．6．【答案】D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，BO=DO=12BD，AO=CO，AB∥CD，∵BD=2AD，∴BO=DO=AD=BC，且点E是OC中点，∴BE⊥AC，∴①正确；∵E、F、分别是OC、OD中点，∴EF∥DC，CD=2EF，∵G是AB中点，BE⊥AC，∴AB=2BG=2GE，且CD=AB，CD∥AB，∴BG=EF=GE，EF∥CD∥AB，∴四边形BGFE是平行四边形，∴②④正确； ∵四边形BGFE 是平行四边形， ∴BG =EF ，GF =BE ，且GE =GE ，∴△BGE ≌△FEG ，∴③正确，故选D ．7．【答案】73【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，18cm ,2BC AD OA OC AC ∴====， AC BC ⊥Q ，90,ACB ∴∠=︒22221086,AC AB BC =-=-= 3,OC ∴=22228373.OB BC OC ∴=+=+=故答案为:73．8．【答案】58°；122°【解析】如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，180A C A B ∴∠=∠∠+∠=︒，，116A C ∠+∠=︒Q ，5818058122A B ∴∠=︒∠=︒-︒=︒，；故答案为：58°；122°．9．【答案】30【解析】依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n ，则60n =360，解得n =6，∴他第一次回到出发点A 时一共走了：5×6=30（m ），故答案为：30．10．【答案】108°【解析】∵AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBG ，由折叠可得∠ADB =∠BDG ，∴∠DBG =∠BDG ，又∵∠1=∠BDG +∠DBG =48°，∴∠ADB =∠BDG =24°，又∵∠2=48°，∴△ABD 中，∠A =108°，∴∠A '=∠A =108°，故答案为：108°．11．【解析】如图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB =DC =6，AD =BC =10，AB ∥DC ．∵AB ∥DC ，∴∠1=∠3.又∵BF 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC =CF =10，∴DF =CF –DC =10–6=4．12．【解析】10535D DAF ∠=︒∠=︒Q ，，18040DFA D DAF ∴∠=︒-∠-∠=︒（三角形内角和定理）．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD （平行四边形对边平行且相等）．40DFA FAB ∴∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）；2DFA BAE ∠=∠Q （已知），2FAB BAE ∴∠=∠（等量代换）．即2FAE BAE BAE ∠+∠=∠．FAE BAE ∴∠=∠；240FAE ∴∠=︒，20FAE ∴∠=︒；（2）在AF 上截取AG AB =，连接EG CG ，．FAE BAE AE AE ∠=∠=Q ，，∴AEG △≌AEB △，EG BE B AGE ∴=∠=∠，；又∵E 为BC 中点，CE BE ∴=．EG EC EGC ECG ∴=∴∠=∠，；∵AB ∥CD ，180B BCD ∴∠+∠=︒．又180AGE EGF AGE B ∠+∠=︒∠=∠Q ，，BCF EGF ∴∠=∠；又EGC ECG ∠=∠Q ，FGC FCG FG FC ∴∠=∠∴=，；又AG AB AB CD ==Q ，，AF AG GF AB FC CD CF ∴=+=+=+．13．【解析】（1）∵E 为CD 的中点，∴CE =DE ，又EF =EB ，∴四边形DBCF 是平行四边形．（2）∵四边形DBCF 是平行四边形，∴CF ∥AB ，DF ∥BC ，∴∠FCG =∠A =30°，∠CGF =∠CGD =∠ACB =90°，在Rt△FCG 中，CF =6，∴FG =12CF =3，CG ∵DF =BC =4，∴DG =1，∴在Rt△DCG 中，CD=14．【解析】（1）∵Rt △ABC 中，∠BAC =30°，∴AB =2BC ，又∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，∴AB =2AF ，∴AF =BC ，在Rt △AFE 和Rt △BCA 中，∵AF =BC ，AE =BA ，∴Rt △AFE ≌Rt △BCA （HL ），∴AC =EF ；（2）∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC =60°，AC =AD ，∴∠DAB =∠DAC +∠BAC =90°．又∵EF ⊥AB ，∴EF ∥AD ，∵AC =EF ，AC =AD ，∴EF =AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形．1．【答案】B 【解析】360°÷36°=10，所以这个正多边形是正十边形．故选B ．2．【答案】D【解析】设所求多边形边数为n ，则（n ﹣2）•180°=1080°，解得n =8．故选D ．3．【答案】C【解析】∵正多边形的内角和是540°，∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，∵多边形的外角和都是360°，∴多边形的每个外角=360÷5=72°．故选C ．4．【答案】D【解析】多边形内角和公式为︒⨯-180)2(n ，其中n 为多边形的边的条数.∴十二边形内角和为︒=︒⨯-1800180)212(，故选D ．5．【答案】C【解析】黑色正五边形的内角和为：（5–2）×180°=540°，故选C ．6．【答案】B【解析】∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，在Y ABCD 中，AB =2，AD =4，∴EH =12AD =2，HG =1122CD =AB =1，∴EH ≠HG ，故选项A 错误； ∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，∴EH=1122AD BC FG==，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；∵点E、F分别为OA和OB的中点，∴EF=12AB，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴214AEFOABS EFS AB⎛⎫==⎪⎝⎭VV，即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选B．7．【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴△ADE的周长为6×3=18，故选C．8．【答案】B【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=P 12A C．A．根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B．根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C．根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D．根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选B．9．【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴DE∥BC，∠ABD=∠CDB，∵∠ABD=∠DCE，∴∠DCE=∠CDB，∴BD∥CE，∴BCED为平行四边形，故A正确；∵DE∥BC，∴∠DEF=∠CBF，在△DEF与△CBF中，DEF CBFDFE CFB DF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF≌△CBF（AAS），∴EF=BF，∵DF=CF，∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∵∠AEB=∠BCD，∴∠CBF=∠BCD，∴CF=BF，同理，EF=DF，∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；∵AE∥BC，∴∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，∵∠AEC=∠CBD，∴∠BDE=∠BCE，∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，故选C．10．【答案】8【解析】设多边形边数有x条，由题意得：180°（x–2）=1080°，解得x=8，故答案为：8．11．【答案】540【解析】五边形的内角和为（5–2）×180°=540°．故答案为：540．12．【答案】21°【解析】设∠ADE=x，∵AE=EF，∠ADF=90°，∴∠DAE=∠ADE=x，DE=12AF=AE=EF，∵AE=EF=CD，∴DE=CD，∴∠DCE=∠DEC=2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠BCA=x，∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCA=63°﹣x，∴2x =63°﹣x ，解得x =21°，即∠ADE =21°,故答案为：21°．13．【答案】16【解析】∵Y ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴BO =DO =12BD ，BD =2OB ，∴O 为BD 中点， ∵点E 是AB 的中点，∴AB =2BE ，BC =2OE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，∴CD =2BE ． ∵△BEO 的周长为8，∴OB +OE +BE =8，∴BD +BC +CD =2OB +2OE +2BE =2（OB +OE +BE ）=16，∴△BCD 的周长是16，故答案为16．14．【解析】（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，180BAD ABC ∴∠+∠=︒，又AF BE ∥Q ，180BAF ABE ∴∠+∠=︒，BAD ABE EBC FAD BAD ABE ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠， EBC FAD ∴∠=∠，同理可得：ECB FDA ∠=∠，在BCE △和ADF △中，EBC FAD BC AD ECB FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCE ≌△ADF ．（2）连接EF ，∵△BCE ≌△ADF ，,BE AF CE DF ∴==，又,AF BE DF CE Q ∥∥，∴四边形ABEF ，四边形CDFE 为平行四边形，∴,ABE AFE CDE FED S S S S ==V V V V ，∴AFE FED ABE CDE AEDF S S S S T S =+=+=V V V V 四边形， 设点E 到AB 的距离为h 1，到CD 的距离为h 2，线段AB 到CD 的距离为h ， 则h =h 1+h 2，∴()1212111222T AB h CD h AB h h =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+1122AB h S =⋅⋅=，即S T =2.。