多边形与平行四边形专题
中考数学题型归类与解析18---多边形与平行四边形(解析版)
中考数学题型归类与解析专题18 多边形与平行四边形一、单选题1．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（）A．五边形的内角和是720︒B．三角形的任意两边之和大于第三边C．内错角相等D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．【解析】A、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B．【小结】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．2．（2021·四川眉山市·中考真题）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（）A．1：3B．1：2C．2：1D．3：1【答案】D【分析】根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．【解析】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1， 故选D ．【小结】本题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360°，是解题的关键． 3．（2021·湖南衡阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）．A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B ．正六边形的每一个内角为120︒C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D ．对角线相等的四边形是矩形【答案】B【分析】根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为360︒∴选项A 不符合题意；正六边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒∴每一个内角为7201206︒=︒，即选项B 正确； 三个角均为60︒的三角形是等边三角形∴选项C 不符合题意；对角线相等的平行四边形是矩形∴选项D 不正确；故选：B ．【小结】本题考查了多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，从而完成求解．4．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，ACD ∠的度数是（ ）A ．72°B ．36°C ．74°D ．88°【答案】A【分析】根据正五边形的性质可得108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，根据等腰三角形的性质可得36BCA BAC ∠=∠=︒，利用角的和差即可求解．【解析】解：∵ABCDE 是正五边形，∴108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，∴36BCA BAC ∠=∠=︒,∴1083672ACD ∠=︒-︒=︒，故选：A ．【小结】本题考查正五边形的性质，求出正五边形内角的度数是解题的关键．5．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若100BCD ∠=︒，则A B D E ∠+∠+∠+∠=（ ）A ．220︒B ．240︒C ．260︒D ．280︒【答案】D【分析】连接BD ，根据三角形内角和求出∠CBD +∠CDB ，再利用四边形内角和减去∠CBD 和∠CDB 的和，即可得到结果．【解析】解：连接BD ，∵∠BCD =100°，∴∠CBD +∠CDB =180°-100°=80°，∴∠A +∠ABC +∠E +∠CDE =360°-∠CBD -∠CDB =360°-80°=280°，故选D ．【小结】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形． 6．（2021·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（ ）A ．每个内角都相等的多边形是正多边形B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D ．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分【答案】B【分析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．【解析】解：A .每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A 的说法错误，不符合题意；B . 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B 符合题意；C . 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C 的说法错误，不符合题意；D . 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D 的说法错误，不符合题意． 故选：B ．【小结】此题主要考查了对正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断以及三角形中线性质的认识，熟练掌握正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断是解答此题的关键．7．（2021·安徽中考真题）在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（ ）A ．2CD ME =B ．//ME ABC ．BD CD =D ．ME MD =【答案】A【分析】设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．由题意易证()CAE FAE SAS ≅，从而证明ME 为CBF 中位线，即//ME AB ，故判断B 正确；又易证()AGD ABD ASA ≅，从而证明D 为BG 中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出CD BD =，故判断C 正确；由90HDM DHM ∠+∠=︒、90HCE CHE ∠+∠=︒和DHM CHE ∠=∠可证明HDM HCE ∠=∠．再由90HEM EHF ∠+∠=︒、EHC EHF ∠=∠和90EHC HCE ∠+∠=︒可推出 HCE HEM ∠=∠，即推出HDM HEM ∠=∠，即MD ME =，故判断D 正确；假设2CD ME =，可推出2CD MD =，即可推出30DCM ∠=︒．由于无法确定DCM ∠的大小，故2CD ME =不一定成立，故可判断A 错误．【解析】如图，设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．∵AD 是BAC ∠的平分线，HF AB ⊥，HC AC ⊥，∴HC =HF ，∴AF =AC ．∴在CAE 和FAE 中，AF AC CAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CAE FAE SAS ≅，∴CE FE =，∠AEC =∠AEF =90°，∴C 、E 、F 三点共线，∴点E 为CF 中点．∵M 为BC 中点，∴ME 为CBF 中位线，∴//ME AB ，故B 正确，不符合题意；∵在AGD △和ABD △中，90GAD BAD AD AD ADG ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴()AGD ABD ASA ≅， ∴12GD BD BG ==，即D 为BG 中点． ∵在BCG 中，90BCG ∠=︒， ∴12CD BG =， ∴CD BD =，故C 正确，不符合题意；∵90HDM DHM ∠+∠=︒，90HCE CHE ∠+∠=︒，DHM CHE ∠=∠，∴HDM HCE ∠=∠．∵HF AB ⊥，//ME AB ，∴HF ME ⊥，∴90HEM EHF ∠+∠=︒．∵AD 是BAC ∠的平分线，∴EHC EHF ∠=∠．∵90EHC HCE ∠+∠=︒，∴HCE HEM ∠=∠，∴HDM HEM ∠=∠，∴MD ME =，故D 正确，不符合题意；∵假设2CD ME =，∴2CD MD =，∴在Rt CDM 中，30DCM ∠=︒．∵无法确定DCM ∠的大小，故原假设不一定成立，故A 错误，符合题意．故选A ．【小结】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含30角的直角三角形的性质等知识，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键． 8．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积是3cm 2，则四边形BDEC 的面积为（ ）A ．12cm 2B ．9cm 2C ．6cm 2D ．3cm 2【答案】B【分析】由三角形的中位线定理可得DE =12BC ，DE ∥BC ，可证△ADE ∽△ABC ，利用相似三角形的性质，即可求解．【解析】 解：∵点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE =12BC ，DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴21()4ADE ABC S DE S BC ∆∆==， ∵S △ADE =3，∴S △ABC =12，∴四边形BDEC 的面积=12-3=9(cm 2)，故选：B ．【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 9．（2021·天津中考真题）如图，ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是()()()2,0,1,2,2,2---，则顶点D 的坐标是（ ）A ．()4,1-B ．()4,2-C ．()4,1D ．()2,1【答案】C【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，点B 的坐标为(-2，-2)，点C 的坐标为(2，-2)，∴点B 到点C 为水平向右移动4个单位长度，∴A 到D 也应向右移动4个单位长度，∵点A 的坐标为(0，1)，则点D 的坐标为(4，1)，故选:C ．【小结】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键． 10．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 且交BC 于点E ，∠D =58°，则∠AEC 的大小是（ ）A ．61°B ．109°C ．119°D ．122°【答案】C【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，得到对边平行，再利用平行的性质求出180122BAD D ∠=︒-∠=︒，根据角平分线的性质得：AE 平分∠BAD 求DAE ∠，再根据平行线的性质得AEC ∠，即可得到答案．解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AB CD ，//AD BC∴180********BAD D ∠=︒-∠=︒-︒=︒∵AE 平分∠BAD ∴111226122DAE BAD ∠=∠=⨯︒=︒ ∵//AD BC∴180********AEC DAE ∠=︒-∠=︒-︒=︒故选C ．【小结】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，能利用平行四边形的性质找到角与角的关系，是解答此题的关键．11．（2021·四川南充市·中考真题）如图，点O 是ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分別交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论成立的是（ ）A ．OE OF =B ．AE BF =C ．DOC OCD ∠=∠D ．CFE DEF ∠=∠【答案】A【分析】首先可根据平行四边形的性质推出△AEO ≌△CFO ，从而进行分析即可．∵点O 是ABCD 对角线的交点，∴OA =OC ，∠EAO =∠CFO ，∵∠AOE =∠COF ，∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴OE =OF ，A 选项成立；∴AE =CF ，但不一定得出BF =CF ，则AE 不一定等于BF ，B 选项不一定成立；若DOC OCD ∠=∠，则DO =DC ，由题意无法明确推出此结论，C 选项不一定成立；由△AEO ≌△CFO 得∠CFE =∠AEF ，但不一定得出∠AEF =∠DEF ，则∠CFE 不一定等于∠DEF ，D 选项不一定成立；故选：A ．【小结】本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键． 12．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的ABCD ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为1S ，另两张直角三角形纸片的面积都为2S ，中间一张矩形纸片EFGH 的面积为3S ，FH 与GE 相交于点O ．当,,,AEO BFO CGO DHO 的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）A ．12S SB ．13S S =C ．AB AD =D ．EH GH =【答案】A【分析】根据△AED 和△BCG 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是平行四边形，四边形HEFG 是矩形可得出AE =DE =BG =CG =a ， HE =GF ，GH =EF ，点O 是矩形HEFG 的中心，设AE =DE =BG =CG =a ， HE =GF = b ，GH =EF = c ，过点O 作OP ⊥EF 于点P ，OQ ⊥GF 于点Q ，可得出OP ，OQ 分别是△FHE 和△EGF 的中位线，从而可表示OP ，OQ 的长，再分别计算出1S ，2S ，3S 进行判断即可【解析】解：由题意得，△AED 和△BCG 是等腰直角三角形，∴45ADE DAE BCG GBC ∠=∠=∠=∠=︒∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，CD =AB ，∠ADC =∠ABC ，∠BAD =∠DCB∴∠HDC =∠FBA ，∠DCH =∠BAF ，∴△AED ≌△CGB ，△CDH ≌ABF∴AE =DE =BG =CG∵四边形HEFG 是矩形∴GH =EF ，HE =GF设AE =DE =BG =CG =a ， HE =GF = b ，GH =EF = c过点O 作OP ⊥EF 于点P ，OQ ⊥GF 于点Q ，∴OP //HE ，OQ //EF∵点O 是矩形HEFG 的对角线交点，即HF 和E G 的中点，∴OP ，OQ 分别是△FHE 和△EGF 的中位线， ∴1122OP HE b ==，1122OQ EF c == ∵1111()()2224BOF S BF OQ a b c a b c ∆==-⨯=- 11112224AOE S AE OP a b ab ∆==⨯= ∵BOF AOE S S ∆∆=∴11()44a b c ab -=，即ac bc ab -= 而211122AED S S AE DE a ∆===， 222211111()()()()22222AFB S S AF BF a c a b a ab ac bc a ab ab a ∆===+-=-+-=-+= 所以，12S S ，故选项A 符合题意，2223=()()S HE EF a b a c a bc ab ac a ab ab a =-+=--+=+-=∴13S S ≠，故选项B 不符合题意，而AB AD =于EH GH =都不一定成立，故,C D 都不符合题意，故选：A【小结】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720 ，则原多边形的边数是__________．【答案】6或7【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．【解析】解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．【小结】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．14．（2021·湖北黄冈市·中考真题）正五边形的一个内角是_____度．【答案】108【分析】根据正多边形的定义、多边形的内角和公式即可得．【解析】解：正五边形的一个内角度数为180(52)1085︒⨯-=︒，故答案为：108．【小结】本题考查了正多边形的内角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．15．（2021·陕西中考真题）正九边形一个内角的度数为______．【答案】140°【分析】正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于180︒减去一个外角，求出外角即可求解．【解析】正多边形的每个外角360=n︒（n为边数），所以正九边形的一个外角360==409︒︒∴正九边形一个内角的度数为18040140︒-︒=︒故答案为：140°．【小结】本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为360︒，正多边形的每个内角相等，通过计算1个外角的度数来求得1个内角度数是解题关键．16．（2021·湖南中考真题）一个多边形的每个外角的度数都是60°，则这个多边形的内角和为______．【答案】720°【分析】多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°，根据公式即可得出多边形的边数，然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和，n边形内角和等于(n-2) ×180°．【解析】解：∵任何多边形的外角和是360°，此正多边形每一个外角都为60°，边数×外角的度数=360°，∴n=360°÷60°=6，∴此正多边形的边数为6，则这个多边形的内角和为(n-2) ×180°，(6-2)×180°=720°，故答案为720°．【小结】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，熟知“任何多边形的外角和是360°，n边形内角和等于(n-2) ×180°”是解题的关键．17．（2021·四川广安市·中考真题）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．【答案】8【解析】解：设边数为n，由题意得，180（n-2）=360 3解得n=8.所以这个多边形的边数是8.18．（2021·浙江中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（,,,,A B C D E 是正五边形的五个顶点），则图中A ∠的度数是_______度．【答案】36【分析】根据题意，得五边形（,,,,F G H J K 是正五边形的五个顶点）为正五边形，且AF AK =；根据多边形内角和性质，得正五边形FGHJK 内角和，从而得4∠；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案．【解析】∵正五角星（,,,,A B C D E 是正五边形的五个顶点）∴五边形（,,,,F G H J K 是正五边形的五个顶点）为正五边形，且AF AK =∴正五边形FGHJK 内角和为：()52180540-⨯︒=︒∴54041085︒∠==︒∴3180472∠=︒-∠=︒∵AF AK=∴2372∠=∠=︒∴11802336∠=︒-∠-∠=︒故答案为：36．【小结】本题考查了正多边形、多边形内角和、补角、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、多边形内角和、等腰三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．19．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABCD中，点E在AD上，且EC平分BED∠，若30EBC∠=︒，10BE=，则ABCD的面积为________．【答案】50【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．【解析】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠EBC=30°，BE=10，∴EF=12BE=5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC=∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=10，∴四边形ABCD的面积=BC EF⨯=105⨯=50，故答案为：50．【小结】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．20．（2021·云南中考真题）如图，在ABC中，点D，E分别是,BC AC的中点，AD与BE相交于点F，若6BF=，则BE的长是______．【答案】9根据中位线定理得到DE =12AB ，DE ∥AB ，从而证明△DEF ∽△ABF ，得到12DE EF AB BF ==，求出EF ，可得BE ．【解析】解：∵点D ，E 分别为BC 和AC 中点，∴DE =12AB ，DE ∥AB ， ∴△DEF ∽△ABF ，∴12DE EF AB BF ==， ∵BF =6，∴EF =3，∴BE =6+3=9，故答案为：9．【小结】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性质证明△DEF ∽△ABF ．21．（2021·重庆中考真题）如图，ABC 中，点D 为边BC 的中点，连接AD ，将ADC 沿直线AD 翻折至ABC 所在平面内，得ADC '，连接CC '，分别与边AB 交于点E ，与AD 交于点O ．若AE BE =，2BC '=，则AD 的长为__________．【答案】3利用翻折的性质可得,OC OC '=推出OD 是CC B '的中位线，得出1OD =，再利用OD BC '//得出AO 的长度，即可求出AD 的长度．【解析】由翻折可知,OC OC '=∴O 是CC '的中点，∵点D 为边BC 的中点，O 是CC '的中点，∴OD 是CC B '的中位线， ∴11,2OD BC OD BC ''==// ， ∴AO AE BC BE ='， ∵AE BE =， ∴1AE BE=， ∴1AO BC ='， ∴2AO BC '==，∴213AD AO OD =+=+=．故答案为：3．【小结】本题考查了翻折的性质，三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键．22．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，连接DE 、EF 、DF ，若△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长为_______________．【答案】5 【解析】解：根据三角形的中位线定理可得DE=12AC，EF=12AB，DF=12BC所以△DEF的周长为△ABC的周长的一半，即△DEF的周长为5故答案为：5．【小结】本题考查三角形的中位线定理．23．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O,AB AC⊥，AH BD⊥于点H，若AB=2，23BC=，则AH的长为__________________．23【分析】根据勾股定理求得AC的长，结合平行四边形的性质求得AO的长，然后利用相似三角形的判定和性质求解．【解析】解：∵AB AC ⊥，BC =AB =2∴在Rt △ABC 中，AC =∴在ABCD 中，AO =12AC =在Rt △ABO 中，BO ∵AB AC ⊥，AH BD ⊥∴90AHB OAB ∠=∠=︒又∵ABO HBA ∠=∠∴ABO HBA △∽△ ∴AH ABAO BO ==解得：AH【小结】本题考查相似三角形的判定和性质以及勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．24．（2021·山东临沂市·中考真题）在平面直角坐标系中，ABCD 的对称中心是坐标原点，顶点A 、B 的坐标分别是(1,1)-、(2,1)，将ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，则顶点C 的对应点1C 的坐标是___．【答案】（4，-1）【分析】根据平行四边形的性质得到点C 坐标，再根据平移的性质得到C 1坐标．【解析】解：在平行四边形ABCD 中，∵对称中心是坐标原点，A （-1，1），B （2，1），∴C （1，-1），将平行四边形ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，∴C 1（4，-1），故答案为：（4，-1）．【小结】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．25．（2021·浙江丽水市·中考真题）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中2FM EM ，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即,AB CD 之间的距离是__________．【答案】133【分析】先根据图1求EQ 与CD 之间的距离，再求出BQ ，即可得到,AB CD 之间的距离= EQ 与CD 之间的距离+BQ ．【解析】解：过点E 作EQ ⊥BM ，则//EQ CD根据图1图形EQ 与CD 之间的距离=1114+4=3222⨯⨯⨯ 由勾股定理得：2224EF =，解得：22EF =221242AM ⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得：22AM =∵2FM EM = ∴11==33EM FM AM ∵EQ ⊥BM ，90B ∠=︒∴//EQ AB ∴2242=333BQ BM ==⨯ ∴,AB CD 之间的距离= EQ 与CD 之间的距离+BQ 413=3+=33故答案为133． 【小结】本题考查了平行线间的距离、勾股定理、平行线所分得线段对应成比例相关知识点，能利用数形结合法找到需要的数据是解答此题的关键．26．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是___________．【答案】122244⎛++-⎝⎭【分析】设大正方形的边长为2a2a，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为2a2，小正方形的边长为2a2，平行四边形的长边为a，短边为2a2，用含有a的代数式表示点A的横坐标，表示点F的坐标，确定a值即可.【解析】设大正方形的边长为2a2a，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为2a2，小正方形的边长为2a2，平行四边形的长边为a，短边为2a2，如图，过点F作FG⊥x轴，垂足为G, 点F作FH⊥y轴，垂足为H, 过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q,延长大等腰直角三角形的斜边交x轴于点N，交FH于点M，根据题意，得OC2a22=1a2，CD=a,DQ=1a2，∵点A的横坐标为1,∴1a2+a+1a2=1，∴a=12；根据题意，得FM=PM 2a，MH=1a2，∴FH=(2+1)a2=2+14；∴MT=2a 2a，BT=2a2a,∴TN2a-a，∴MN=MT+TN=2a 2a2a-a(2+2)a2+2，∵点F在第二象限，∴点F的坐标为（-2+14，2+24）故答案为：（2+12+2）．【小结】本题考查了七巧板的意义，合理设出未知数，用未知数表示各个图形的边长，点ＡＡ的横坐标，点Ｆ的坐标是解题的关键．三、解答题27．（2021·四川广安市·中考真题）下图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB 的端点都在格点上.要求以AB 为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上.请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形．【答案】见解析【分析】将点A 沿任意方向平移到另一格点处，然后将点B 也按相同的方法平移，最后连接点A 、B 及其对应点即可．【解析】解：如图，四边形ABCD 是平行四边形．【小结】本题主要考查作图-应用与设计作图，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．28．（2021·重庆中考真题）如图，四边形ABCD 为平行四边形，连接AC ，且2AC AB =．请用尺规完成基本作图：作出BAC ∠的角平分线与BC 交于点E ．连接BD 交AE 于点F ，交AC 于点O ，猜想线段BF 和线段DF 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）【答案】作图见解析，猜想：DF =3BF ，证明见解析．【分析】根据角平分线的作法作出BAC ∠的角平分线即可；由平行四边形的性质可得出AO CO =.BO DO =,由AC =2AB 得出AO =AB ，由等腰三角形的性质得出12BF OF BO ==，从而可得出结论． 【解析】解：如图，AE 即为BAC ∠的角平分线，猜想：DF =3BF证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AO =CO ，BO =DO∴2AC AO =∵AC =2AB∴AO =AB∵AE 是BAC ∠的角平分线∴12BF OF BO ==∴12BF OF DO == ∴23DF BO OF BF BF BF =+=+=．【小结】此题主要考查了基本作图，等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键．29．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在55⨯的方格纸中，线段AB 的端点均在格点上，请按要求画图．（1）如图1，画出一条线段AC ，使,AC AB C =在格点上；（2）如图2，画出一条线段EF ，使,EF AB 互相平分，,E F 均在格点上；（3）如图3，以,A B 为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据“矩形对角线相等”画出图形即可；（2）根据“平行四边形对角线互相平分”，找出以AB 对角线的平行四边形即可画出另一条对角线EF ； （3）画出平行四边形ABPQ 即可．【解析】解：（1）如图1，线段AC即为所作；（2）如图2，线段EF即为所作；（3）四边形ABPQ为所作；【小结】本题考查作图-复杂作图，矩形的性质以及平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．30．（2021·重庆中考真题）如图，在ABCD中，AB>AD．（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的答案；（2）先证明∠ADE=∠CDE，再利用平行线的性质“同旁内角互补”，得出∠CPD=90 即可得出答案．【解析】解：（1）解：如图所示：E，F即为所求；（2）△CDP是直角三角形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴∠CDE=∠AED，∠ADC+∠BCD=180°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED．∴∠CED=∠ADE=12∠ADC．∵CP平分∠BCD，∴∠DCP=12∠BCD，∴∠CDE+∠DCP=90°．∴∠CPD=90°．∴△CDP是直角三角形．【小结】本题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．31．（2021·四川成都市·中考真题）在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，其中点A ，C 的对应点分别为点A '，C '．（1）如图1，当点A '落在AC 的延长线上时，求AA '的长；（2）如图2，当点C '落在AB 的延长线上时，连接CC '，交A B '于点M ，求BM 的长；（3）如图3，连接,AA CC ''，直线CC '交AA '于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8AA '=；（2）511BM =；（3）存在，最小值为1 【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC 长为4．再根据旋转的性质可知AB A B '=，最后由等腰三角形的性质即可求出AA '的长．（2）作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．再由平行线的性质可知CEB A BC ''∠=∠，即可推出CEB ABC ∠=∠，从而间接求出3CE BC BC '===，DE DB =．由三角形面积公式可求出125CD =．再利用勾股定理即可求出185BE =，进而求出335C E '=．最后利用平行线分线段成比例即可求出BM 的长．（3）作//AP A C ''且交C D '延长线于点P ，连接A C '．由题意易证明BCC BC C ''∠=∠， 90ACP BCC '∠=︒-∠，90A C D BC C '''∠=︒-∠，即得出ACP A C D ''∠=∠．再由平行线性质可知APC A C D ''∠=∠，即得出ACP APC ∠=∠，即可证明AP AC A C ''==，由此即易证()APD A C D AAS ''≅，得出AD A D '=，即点D 为AA '中点．从而证明DE 为ACA '的中位线，即12DE A C '=．即要使DE 最小，A C '最小即可．根据三角形三边关系可得当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值即为=A C A B BC ''-，由此即可求出DE 的最小值．【解析】（1）在Rt ABC 中，2222534AC AB BC =-=-=．根据旋转性质可知AB A B '=，即ABA '△为等腰三角形．∵90ACB ∠=︒，即BC AA '⊥，∴4A C AC '==，∴8AA '=．（2）如图，作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．∵//CE A B '，∴CEB A BC ''∠=∠，∴CEB ABC ∠=∠，∴3CE BC BC '===，DE DB =． ∵1122ABC S AB CD AC BC ==，即543CD ⨯=⨯， ∴125CD =． 在Rt BCD 中，95DB ==， ∴185BE =． ∴335C E BE BC ''=+=． ∵//CE A B '， ∴BM BC CE C E '='，即33335BM =， ∴1511BM =． （3）如图，作//AP A C ''且交C D '延长线于点P ，连接A C '．∵BC BC '=，∴BCC BC C ''∠=∠，∵180ACP ACB BCC '∠=︒-∠-∠，即90ACP BCC '∠=︒-∠，又∵90A C D BC C '''∠=︒-∠，∴ACP A C D ''∠=∠．∵//AP A C ''，∴APC A C D ''∠=∠，∴ACP APC ∠=∠，∴AP AC =，∴AP A C ''=．∴在APD △和AC D ''中ADP A DC APD A C D AP A C '''∠=∠⎧⎪∠=∠'''⎨⎪=⎩，∴()APD A C D AAS ''≅，∴AD A D '=，即点D 为AA '中点．∵点E 为AC 中点，∴DE 为ACA '的中位线， ∴12DE A C '=， 即要使DE 最小，A C '最小即可．根据图可知A C A B BC ''≤-，即当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值为==53=2A C A B BC ''--．∴此时1=12DE A C '=，即DE 最小值为2．【小结】本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键．32．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，见解析【分析】≌，则可得到AE＝CF；（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF≌，得到OE= OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行四边（2）连接BF，DE，由AOE COF形，则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，BE∥DF∴∠E＝∠F在△AOE和△COF中。
中考数学《多边形和平行四边形》专题含解析
多边形和平行四边形一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=度，□ABCD的周长为cm．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为cm．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为．二、选择题4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB 6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．多边形和平行四边形参考答案与试题解析一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=50度，□ABCD的周长为24cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行边形性质中对角、对边相等可知，∠B=∠D=50°，平行四边形的周长=2（AB+BC）．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B∵∠B=50°∴∠D=50°②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD∵AB=5cm，BC=7cm∴□ABCD的周长为：2（AB+BC）=24cm．故答案为50、24．【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为8cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）=28，则AB+BC=14cm，而△ABC的周长=AB+BC+AC=22，所以AC=22﹣14=8cm．【解答】解：∵□ABCD的周长是28 cm∴AB+AD=14cm∵△ABC的周长是22cm∴AC=22﹣（AB+AC）=8cm故答案为8．【点评】在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择地使用，避免混淆性质，以致错用性质．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为2．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】作EF∥AB，交AD于F，可证ABEF、CDFE为平行四边形，又AE平分∠BAD，可进一步证明AB=BE，ABEF为菱形，则AF=AB=3，DF=5﹣3=2，则EC=2．【解答】解：过点E作EF∥AB，交AD于F∵在□ABCD，EF∥AB∴AB=EF，AF=BE∵∠FAE=∠BAE∴△AFE≌△ABE∴AB=BE=EF=AF∴ABEF为菱形∴EC=AD﹣AB=2．故答案为：2．【点评】此题综合性较强，考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、角平分线的定义等知识点．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称∴C点坐标为（2，﹣3）．故选D．【点评】主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系．要会根据平行四边形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键．5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB【考点】平行四边形的判定．【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是C【解答】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；B、根据平行四边形的定义即可判定，故正确；C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误．D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确．故选C．【点评】此题主要考查对平行四边形的判定掌握的熟练程度．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对【考点】平行四边形的性质．【专题】应用题；压轴题．【分析】由于在平行四边形中，已给出条件MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此，MN、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，所以红、紫四边形的高相等，由此可证明S1S4=S2S3．【解答】解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，因为DE=AF，EC=FB，故A错误；S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误；S1S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以S1S4=S2S3，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的是平行四变形的性质，平行四边形两组对边分别平行且相等，同时充分利用等量相加减原理解题，否则容易从直观上判断B是正确的．7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质．【解答】解：A、∵AD∥BC∴△AFD∽△EFB∴====4S△EFB；故S△AFDB、由A中的相似比可知，BF=DF，正确．C、由∠AEC=∠DCE可知正确．D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明．故选：A．【点评】解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系．三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四边形AFCE是平行四边形．（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．∴∠ADE=∠CBF=60°．∵AE=AD，CF=CB，∴△AED，△CFB是正三角形．∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．∴∠ADE=∠CBF．∵AE=AD，CF=CB，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．∴∠AED=∠CFB．又∵AD=BC，在△ADE和△CBF中．，∴△ADE≌△CBF（AAS）．∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．又∵∠DAB=∠BCD，∴∠EAF=∠FCE．∴四边形EAFC是平行四边形．【点评】本题考查了等边三角形的性质及平行四边形的判定．多种知识综合运用是解题中经常要遇到的．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）先判定四边形AFGC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等的性质知AC=FG；然后由被平行线所截的线段对应成比例（==）求出PE与PG的数量关系，解答到此，来证明AC=PE+PF的问题就迎刃而解了．（2）推理类同于（1）．【解答】证明：（1）延长FP交DC于点G，∵AB∥CD，AC∥FG，∴四边形AFGC是平行四边形，∴AC=FG（平行四边形的对边相等），∵EG∥AC，∴==（被平行线所截的线段对应成比例）；又∵OA=OC，∴PE=PG，∴AC=FG=PF+PG=PE+PF；（2）若点P在BD延长线上，AC=PF﹣PE．如下图所示若点P在DB延长线上，AC=PE﹣PF．如下图所示．．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；解一元二次方程﹣公式法；勾股定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG 即可；（2）解法1：在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；解法2，通过△AEF∽△ACB，可将线段EF的长求出．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA．∴∠GAH=∠ECF，∴AG∥CE．又∵AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形．（2）解法1：在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，∴AC=5．∵CF=CB=3，∴AF=2．在Rt△AEF中，设EF=x，则AE=4﹣x．根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2，即（4﹣x）2=22+x2．解得x=，即线段EF长为cm．解法2：∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC，∴△AEF∽△ACB，∴．∴，解得，即线段EF长为cm．【点评】本题考查图形的折叠变化，关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．【考点】二次函数综合题；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函数可求出AE和PE，即可求出面积；（2）①此题应分情况讨论，因为两个动点运动速度不同，所以有点P与点Q都在AB 上运动、点P在BC上运动点Q仍在AB上运动、点P和点Q都在BC上运动三种情况，在每种情况下可利用三角函数分别求出我们所需要的值，进而求解．②在①的基础上，首先①求出函数关系式之后，根据t的取值范围不同函数最大值也不同．【解答】解：（1）当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．（2分）=；∴S△APE（2）①当0≤t＜6时，点P与点Q都在AB上运动，如图所示：设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=t，AP=t+2，AG=1+，PG=+t．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t+；②当6≤t＜8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4﹣，QF=t，BP=t﹣6，CP=10﹣t，PG=（10﹣t），而BD=4，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=﹣t2+10t﹣34，③当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20﹣2t，QF=（20﹣2t），CP=10﹣t，PG=（10﹣t）．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．（14分）故S关于t的函数关系式为；②（附加题）当0≤t＜6时，S的最大值为，（1分）当6≤t＜8时，S的最大值为6，（舍去），（2分）当8≤t≤10时，S的最大值为6，（3分）所以当t=8时，S有最大值为6．（如正确作出函数图象并根据图象得出最大值，同样给4分）【点评】此题解答需数形结合，把函数知识和几何知识紧密联系在一起，难易程度适中．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是S1×S3=S2×S4或．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】压轴题；新定义；开放型．【分析】（1）在BD上任选一点E（不与B、D重合），连接AE、CE即可；（2）根据等底等高，可得结论：①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②S1×S3=S2×S4或等．【解答】解：（1）比如：（2）①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②∵分别作△ABD与△BCD的高，h1，h2，则=，=，∴S1×S3=S2×S4或等．【点评】此题主要考查学生的阅读理解能力和对等底等高知识的灵活应用．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分，根据线段垂直平分线的性质，则只需要在其中一条对角线上找到和对角线的交点不重合的点即可；（2）根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则可作对角线BD的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点即为所求作；（3）只需说明PD=PB即可．根据已知的条件可以根据AAS证明△DCF≌△BCE，则∠CDB=∠CBD，进而得到∠PDB=∠PBD，证明结论即可；（4）根据上述确定准等距点的方法：即作其中一条对角线的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点．所以分析讨论的时候，主要是根据两条对角线的位置关系进行分析讨论．【解答】解：（1）如图2，点P即为所画点；（1分）（2）如图3，点P即为所作点（作法不唯一）；（2分）（3）连接DB．在△DCF与△BCE中，∠DCF=∠BCE，∠CDF=∠CBE，CF=CE．∴△DCF≌△BCE（AAS），∴CD=CB，∴∠CDB=∠CBD，∴∠PDB=∠PBD，∴PD=PB，∵PA≠PC，∴点P是四边形ABCD的准等距点．（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．（7分）【点评】关键是熟悉菱形的性质，能够根据线段垂直平分线的性质的逆定理进行分析作图，能够根据找准等距点的方和四边形中两条对角线的位置关系判断准等距点的个数．14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】连接BE，根据边角边可证△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因为BC⊥AC，所以DE也和AC 垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．【解答】解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．（2）如图4，如图5．（3）方法一：如图6，连接BE，∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB．∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵平行四边形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．方法二：如图7，连接BE，PB，AE，∵PM=ME，AM=MB，∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE，PA=BE，余下部分同方法一：方法三：如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，∵平行四边形PADC，∴AN=NC，PN=ND．∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=BC．又∵PN=ND，PM=ME，∴MN∥DE，MN=DE．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及全等的应用，难易程度适中．。
中考复习第24课时多边形与平行四边形课件
称图形，边数为偶数的正多边形也是 中心对称 图形. 3． 平面图形的密铺： (1)密铺的条件：围绕一个点拼在一起的所有角度之和为 360° . (2)常见的密铺图形：等边三角形，正方形，正六边形.
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第24课时┃ 多边形与平行四边形
考点2 平行四边形的性质
1．已知平行四边形 ABCD 中，∠B＝4∠A，则∠C＝( B ) A.18° A.4 B.36° B.12 C.72° C.24 D.144° D.28 2．已知▱ABCD 的周长为 32，AB＝4，则 BC＝( B ) 3．在平行四边形 ABCD 中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线 AC， BD 相交于点 O，则 OA 的取值范围是( C ) A.3 cm＜OA＜5 cm C.1 cm＜OA＜4 cm
中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并 且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任 意锐角或钝角.请问结论DE＝BD＋CE是否成 立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说 明理由.
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第24课时┃ 多边形与平行四边形
(3)拓展与应用：如图③，D，E是D，A， E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互 不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且 △ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD， CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断 △DEF的形状.
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第24课时┃ 多边形与平行四边形
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► 热考 平行四边形的判定与性质
例 [2013· 东营] (1)如图24－1①，已知： 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足 分别为点D、E.证明：DE＝BD＋CE. (2)如图②，将(1)中的条件改为在△ABC
2024成都中考数学第一轮专题复习之第五章 第一节 平行四边形与多边形 知识精练(含答案)
2024成都中考数学第一轮专题复习之第五章第一节平行四边形与多边形知识精练基础题1.(2023衡阳)如图，在四边形ABCD中，已知AD∥B C.添加下列条件不能．．判定四边形ABCD 是平行四边形的是()第1题图A.AD＝BCB.AB∥DCC.AB＝DCD.∠A＝∠C2.(2023兰州)如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝()图①图②第2题图A.45°B.60°C.110°D.135°3.若平行四边形中两个内角的度数比为1∶4，则其中较小的内角是()A.36°B.40°C.45°D.48°4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知△CDO的周长为15，AC＝7，BD＝11，则CD的长为()A.5B.6C.8D.9第4题图5.(2023自贡)第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是()第5题图A.9B.10C.11D.126.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，点E为BC中点，连接AE，ED，则下列结论错误的是()A.AE＝CEB.AE平分∠BADS▱ABCDC.AE⊥EDD.S△AED＝12第6题图7.(2022乐山)如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F.若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为()第7题图D.2A.4B.3C.528.(2023扬州)如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为________．9.(2023株洲)如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB的平分线AE交线段CD于点E，则EC＝________．第9题图10.(2023兰州)如图，在▱ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝________°.第10题图11.(2023凉山州)如图，▱ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(1，2)，则顶点B的坐标是________．第11题图12.(2023枣庄改编)如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝44°，则∠2的度数为________．第12题图13.如图，在△ABC中，中线AF与中位线DE交于点O，连接DF，EF.(1)求证：四边形ADFE是平行四边形；(2)若AB＝8，AC＝6，AF＝5，求BC的长及四边形ADFE的面积．第13题图14.(2023株洲)如图所示，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE 上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点．(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；(2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度．第14题图拔高题15.(2023山西改编)蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形，如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为(－23，3)，(0，－3)，则点M的坐标为________．第15题图16.(2022毕节)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接P A，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为________．第16题图参考答案与解析1.C2.A【解析】∵正八边形的外角和为360°，∴每一个外角为360°÷8＝45°.3.A 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠B ＝∠D ，∠B ＋∠C ＝180°.∵平行四边形中两内角度数比为1∶4，∴∠B ∶∠C ＝1∶4，∴∠C ＝4∠B ，∴∠B ＋4∠B ＝180°，解得∠B ＝36°.第3题解图4.B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，OA ＝OC .∵AC ＝7，BD ＝11，∴OC ＋OD ＝12AC ＋12BD ＝12(AC ＋BD )＝9.又∵△CDO 的周长为15，∴CD ＝15－(OD ＋OC )＝6.5.D 【解析】由题意得，AB ＝BC ，∠ACB ＝15°，∴∠BAC ＝15°，∴这个正多边形的一个外角为∠ACB ＋∠BAC ＝30°，∴这个正多边形的边数为360°30°＝12.6.A 【解析】由题意可知，AD ＝BC ，∵E 为BC 的中点，AD ＝2AB ，∴AB ＝BE ，∴∠BAE ＝∠BEA .∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠BEA ，∴∠BAE ＝∠DAE ，即AE 平分∠BAD ，故B 正确；∵AB ＝BE ＝CE ＝CD ，∴∠CED ＝∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CED ，∴∠ADE ＝∠CDE ，∴DE 平分∠ADC ，∵AB ∥DC ，∴∠BAD ＋∠CDA ＝180°，∴∠EAD ＋∠EDA＝90°，∴AE ⊥ED ，故C 正确；∵△ADE 与平行四边形ABCD 同底等高，∴S △AED ＝12S ▱ABCD ，故D 正确；不能推出AE ＝CE ，∴错误的是A.7.B 【解析】在平行四边形ABCD 中，S △ABC ＝12S 平行四边形ABCD ，∵DE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴12AC ·BF ＝12AB ·DE ，∵AB ＝6，AC ＝8，DE ＝4，∴8BF ＝6×4，解得BF ＝3.8.6【解析】∵多边形的外角和是360°，多边形的每一个外角是60°，∴多边形的边数为360°÷60°＝6.9.2【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，DC ＝AB .∴∠DEA ＝∠EAB .∵∠DAB 的平分线AE 交DC 于点E ，∴∠EAB ＝∠DAE ，∴∠DEA ＝∠DAE ，∴AD＝DE .∵AD ＝3，AB ＝5，∴EC ＝DC －DE ＝AB －AD ＝5－3＝2.10.50【解析】在△DBC 中，∵BD ＝CD ，∠C ＝70°，∴∠DBC ＝∠C ＝70°.又∵在▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ＝70°，∠BAD ＝∠C ＝70°.又∵AE ⊥BD ，∴∠DAE ＝90°－∠ADB ＝90°－70°＝20°，∴∠BAE ＝∠BAD －∠DAE ＝50°.11.(4，2)【解析】∵▱ABCO 中，O (0，0)，A (3，0)，∴BC ＝OA ＝3，∵BC ∥AO ，∴点B 的纵坐标与点C 的纵坐标相等，∵C (1，2)，∴B (4，2).12.16°【解析】如解图，∵正六边形的一个外角的度数为360°6＝60°，∴正六边形的一个内角的度数为180°－60°＝120°，即∠FAB ＝120°，∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，∠1＝44°，∴∠3＝∠1＝44°，∵AB ∥ED ，∴∠AGF ＝∠3＝44°，∴∠2＝180°－∠FAB －∠AGF ＝16°.第12题解图13.(1)证明：∵DE 是△ABC 的中位线，∴点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点．∵AF 是△ABC 的中线，∴点F 是BC 的中点，∴DF 和EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AB ，DF ∥AC ，∴四边形ADFE 是平行四边形；(2)∵点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点，∴AD ＝BD ＝12AB ＝4，AE ＝CE ＝12AC ＝3.∵四边形ADFE 是平行四边形，∴EF ＝AD ＝4.∵AF ＝5，∴AE 2＋EF 2＝AF 2，∴△AEF 是直角三角形，∴EF⊥AC，∴EF是AC的垂直平分线，∴AF＝CF＝5.∵BF＝CF，∴BC＝2CF＝10.∵EF⊥AC，∴S四边形ADFE＝EF·AE＝12.14.(1)证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝12 BC.∵点G，F分别为BH，CH的中点．∴GF∥BC，GF＝12 BC，∴GF∥DE，GF＝DE.∴四边形DEFG为平行四边形；(2)解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝2.∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°.∵BD＝3，∴BG＝BD2－DG2＝32－22＝5.15.(33，－2)【解析】由题意可得，P(－23，3)，Q(0，－3)，如解图，正六边形的顶点在坐标轴上，∴2∠CDO＝120°，即∠CDO＝60°.过点P作x轴，y轴的垂线分别交坐标轴于点A，B，设点C为正六边形落在x轴上的顶点，∴点C为AO的中点，又∵x P＝－23，∴AC＝OC＝3.∵OC＝3，∠CDO＝60°，∴OD＝1.又∵OB＝|y P|＝3，∴OD＝1，BD＝2，即正六边形的边长为2.由解图可得|y M|＝BD，|x M|＝3OC，且点M位于第四象限，∴M(33，－2).第15题解图16.125【解析】∵∠BAC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，∴AC ＝BC 2－AB 2＝52－32＝4.∵四边形APCQ 是平行四边形，∴PO ＝QO ，CO ＝AO ＝2，∵PQ 最短也就是PO 最短，∴过点O 作BC 的垂线OP ′，∵∠ACB ＝∠P ′CO ，∠CP ′O ＝∠CAB ＝90°，∴△CAB ∽△CP ′O ，∴CO BC ＝OP ′AB ，∴25＝OP ′3，∴OP ′＝65，∴PQ 的最小值为2OP ′＝125.第16题解图。
多边形与平行四边形知识点
多边形与平行四边形一、多边形1．多边形的相关概念1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．2．多边形的内角和、外角和1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；2）外角和：任意多边形的外角和为360°. 3．正多边形1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.2）正n边形的每个内角为()2180nn-⋅，每一个外角为360n︒．3）正n边形有n条对称轴.4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．二、平行四边形的性质1．平行四边形的定义：.2．平行四边形的性质1）边：两组对边分别平行且相等．2）角：对角相等，邻角互补．3）对角线：互相平分．4）对称性：中心对称但不是轴对称．3．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．4．平行四边形中的几个解题模型1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE. 4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．三、平行四边形的判定1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．四、三角形的中位线1）定义：三角形两边中点的连线叫中位线。
中考数学历年各地市真题 多边形与平行四边形
中考数学历年各地市真题 部分省市中考数学试题分类汇编多边形与平行四边形一、选择题1. (2010年四川眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】C2.（2010福建龙岩）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形 【答案】C3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是A ．9B ．8C ．6D ．4 【答案】C4. （2010年台湾省） 图(十)为一个平行四边形ABCD ，其中H 、G 两点分别在BC 、 CD 上，AH ⊥BC ，AG ⊥CD ，且AH 、AC 、AG 将∠BAD 分成 ∠1、∠2、∠3、∠4四个角。
若AH =5，AG =6，则下列关系何者正确？ (A) ∠1=∠2 (B) ∠3=∠4 (C) BH =GD (D) HC =CG 【关键词】平行四边形【答案】A二、填空题1.（2010年福建福州）14.如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB 的周长为 . 【答案】212.（2010年福建宁德）如图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2， 则FC 等于_____． 【答案43.(2010年山东滨州)如图,平行四边形ABCD 中, ∠ABC=60°,E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上,AE ∥BD,EF ⊥BC,DF=2,则EF 的长为ABCEF A B CD G H 123 4图(十)FEDC BA【答案】4.（2010年福建宁德）如图，在△ABC 中，点E 、F 分别为AB 、AC 的中点．若EF 的长为2，则BC 的长为___________. 【答案】4三、解答题1. (2010年福建晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个．．恰当．．的关系作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①AD ∥BC ，②CD AB =，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B ．已知：在四边形ABCD 中， ， ； 求证：四边形ABCD 是平行四边形．解：已知：①③，①④，②④，③④均可,其余均不可以. （解法一）已知：在四边形ABCD 中，①AD ∥BC ，③C A ∠=∠.……………………（2分） 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵ AD ∥BC∴︒=∠+∠180B A ，︒=∠+∠180D C ………………………………………（5分） ∵C A ∠=∠，∴D B ∠=∠∴四边形ABCD 是平行四边形…………………………………………………（8分） （解法二）已知：在四边形ABCD 中，①AD ∥BC ，④︒=∠+∠180C B .………………（2分）ABCD第4题图 F A E BCD求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵︒=∠+∠180C B ，∴AB ∥CD ……………………………………………………………………（5分） 又∵AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形．…………………………………………………（8分） （解法三）已知：在四边形ABCD 中，②CD AB =，④︒=∠+∠180C B .………………（2分） 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵︒=∠+∠180C B ，∴AB ∥CD ……………………………………………………………………（5分） 又∵CD AB =∴四边形ABCD 是平行四边形．…………………………………………………（8分） （解法四）已知：在四边形ABCD 中，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B .………………（2分） 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵︒=∠+∠180C B ，∴AB ∥CD ……………………………………………………………………（4分） ∴︒=∠+∠180D A ………………………………………………………………（6分） 又∵C A ∠=∠ ∴D B ∠=∠∴四边形ABCD 是平行四边形．…………………………………………………（8分）2. (2010年浙江衢州)已知：如图，E ，F 分别是ABCD 的边AD ，BC 的中点．求证：AF =CE ．证明：方法1：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，且E ，F 分别是AD ，BC的中点，∴ AE = CF ． ……2分 又 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥BC ，即AE ∥CF ．∴ 四边形AFCE 是平行四边形． ……3分∴ AF =CE ．……1分方法2：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，且E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴ BF =DE ． ……2分 又 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，A D EBC ADEBC(第19题)∴ ∠B =∠D ，AB =CD ． ∴ △ABF ≌△CDE ． (3)分∴ AF =CE ．……1分3．（2010浙江省嘉兴）如图，在□ABCD 中，已知点E 在AB 上，点F 在CD 上且AE＝CF ．（1）求证：DE ＝BF ；（2）连结BD ，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明） 【关键词】平行四边形的判定与性质、全等三角形 【答案】（1）在□ABCD 中，AB //CD ，AB =CD ．∵AE =CF ，∴BE =DF ，且BE //DF ． ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴BF DE ． …5分 （2）连结BD ，如图， 图中有三对全等三角形： △ADE ≌△CBF ， △BDE ≌△DBF ，△ABD ≌△CDB ． …3分4. (2010年山东滨州)如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.(1)请判断四边形EFGH 的形状？并说明为什么.(2)若使四边形EFGH 为正方形，那么四边形ABCD 的对角线应具有怎样的性质？解：(1) 四边形EFGH 为平行四边形，连接AC ∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ∥AC ，EF=21AC. 同理HG ∥AC ，HG=21AC. ∴EF ∥HG, EF=HG.∴四边形EFGH 是平行四边形(2) 四边形ABCD 的对角线垂直且相等.5.（2010年江苏泰州）如图，四边形ABCD 是矩形，∠EDC =∠CAB ，∠DEC =90°．BE（第3题）AB C(1)求证：AC ∥DE ；(2)过点B 作BF ⊥AC 于点F ，连结EF ，试判断四边形BCEF 的形状，并说明理由．【答案】⑴在矩形ABCD 中，AC ∥DE ，∴∠DCA =∠CAB ，∵∠EDC =∠CAB ， ∴∠DCA =∠EDC ，∴AC ∥DE ； ⑵四边形BCEF 是平行四边形．理由：由∠DEC =90°，BF ⊥AC ，可得∠AFB =∠DEC =90°， 又∠EDC =∠CAB ，AB=CD ，∴△DEC ≌△AFB ，∴DE =AF ，由⑴得AC ∥DE ，∴四边形AFED 是平行四边形，∴AD ∥EF 且AD =EF ， ∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC 且AD =BC ， ∴EF ∥BC 且EF =BC ，∴四边形BCEF 是平行四边形．【关键词】矩形的性质 平行四边形的判定 全等三角形的判定6.（2010年福建晋江）如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当．．．．的关系作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①AD ∥BC ，②CD AB =，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B ． 已知：在四边形ABCD 中， ， ； 求证：四边形ABCD 是． 【关键词】平行四边形的判定【答案】已知：①③，①④，②④，③④均可,其余均不可以. （解法一）已知：在四边形ABCD 中，①AD ∥BC ，③C A ∠=∠.……………………（2分） 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵ AD ∥BC∴︒=∠+∠180B A ，︒=∠+∠180D C ∵C A ∠=∠，∴D B ∠=∠ ∴四边形ABCD 是平行四边形 （解法二）已知：在四边形ABCD 中，①AD ∥BC ，④︒=∠+∠180C B .求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵︒=∠+∠180C B ， ∴AB ∥CD 又∵AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形． （解法三）已知：在四边形ABCD 中，②CD AB =，④︒=∠+∠180C B . 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵︒=∠+∠180C B ， ∴AB ∥CD 又 ∵CD AB =∴四边形ABCD 是平行四边形． （解法四）已知：在四边形ABCD 中，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B . 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵︒=∠+∠180C B ， ∴AB ∥CD∴︒=∠+∠180D A 又∵C A ∠=∠ ∴D B ∠=∠∴四边形ABCD 是平行四边形．7.（2010年贵州毕节地区）如图，已知： ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠的平分线BG交CE 于F ，交AD 于G ．求证：AE DG =．【关键词】平行四边形、角平分线【答案】证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形（已知），AD BC ∴∥，AB CD =（平行四边形的对边平行，对边相等）GBC BGA ∴∠=∠，BCE CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）又∵ BG 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠（已知）ABG GBC ∴∠=∠，BCE ECD ∠=∠（角平分线定义）ABG GBA ∴∠=∠，ECD CED ∠=∠．AB AG ∴=，CE DE =（在同一个三角形中，等角对等边）AG DE ∴=AG EG DE EG ∴-=-，即AE DG =． 分7.（2010年重庆市潼南县）如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△ABE ≌△DAF ； A B CEFG（2）若∠AGB=30°，求EF 的长.【关键词】全等三角形 【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AB=AD在△ABE 和△DAF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠3412DA AB ∴△ABE ≌△DAF-----------------------4分（2）∵四边形ABCD 是正方形∴∠1+∠4=900 ∵∠3=∠4∴∠1+∠3=900∴∠AFD=900----------------------------6分 在正方形ABCD 中， AD ∥BC ∴∠1=∠AGB=300在Rt △ADF 中，∠AFD=900 AD=2∴AF=3 DF =1----------------------------------------8分 由(1)得△ABE ≌△ADF ∴AE=DF=1∴EF=AF-AE=13- -----------------------------------------10分8.（2010年江苏宿迁）如图，在□ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．求证：∠EBF =∠FDE ．【关键词】平行四边形 【答案】证明：连接BD 交AC 于O 点 …… 1分∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA=OC ，OB=OD ………………3分 又∵AE=CF ∴OE=OF∴四边形BEDF 是平行四边形 …… 6分 ∴∠EBF=∠EDF …………… 8分9.（2010年浙江宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD ，8=AC ，6=BD . （1）请沿着AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四 边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD 剪开， 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 形的周长。
中考数学总复习《45多边形与平行四边形》试题训练及解析.doc
第五节多边形与平行四边形基础训练1.（2017苏州中考）如图,在正五边形ABCDE中,连接BE,贝iJZABE的度数为（B）A.30°B.36°C.54°D.72°“（第1题图）2.（湘西屮考）下列说法错误的是（D）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形2两组对边分别相等的四边形是平行四边形C 一组对边平行冃相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形3・（2015石家屮四十三屮模拟）如图，在口ABCD屮，延长AB到点E,使BE = AB,连接DE交BC于点F,则下列结论不一定成立的是（D）A. ZE=ZCDF B・ EF=DFC. AD = 2BFD. BE=2CF4.（2017 丽水中考）如图，在口ABCD 中，连接AC, ZABC= ZCAD=45° , AB =2,则BC的长是（C）A.y[2B. 2C. 2^2 D・ 45.（荷泽中考）在口ABCD中,AB = 3, BC=4,当口ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（B）①AC = 5；②ZA+ZC=180° ；③AC丄BD；④AC=BD.A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④6・（孝感中考）在口ABCD中，AD = 8, AE平分ZBAD交BC于点E” DF平分ZADC 交BC于点F,且EF=2,则AB的长为（D）儿 3 B. 5C 2或3 〃・3或57.平行四边形ABCD与等边AAEF如图放置，如果ZB = 45° ,那么ZBAE 的大小是（A）A.75°B.70°C.65°D.60°8.（北京中考）如图是由射线AB, BC, CD, DE, EA组成的平面图形，则Z1 + Z2+Z3+Z4+Z5= 360°9・（江西中考）如图所示，在oABCD中，ZC = 40° ,过点D作AD的垂线，交AB于点E,交CB的延长线于点F,则ZBEF的度数为§0。
2024年中考数学一轮复习考点17 多边形与平行四边形(精讲)
考点17.多边形与平行四边形（精讲）【命题趋势】多边形与平行四边形是历年中考考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的可能性比较大。
中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等（相似）、函数、解直角三角形等综合考查的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。
【知识清单】1：多边形的相关概念（☆☆）1）多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形，n边形的对角线条数为()32n n-。
4）多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）。
5）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
6）正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。
7）平面镶嵌（密铺）的条件：在同一顶点内的几个角的和等于360°；所有正多边形中，单独使用其中一种能够进行密铺(镶嵌)的只有正三角形、正方形、正六边形。
如果选用多种，则需要满足：(1)边长相等；(2)选用正多边形若干个内角的和恰好等于360°。
2：平行四边形的性质与判定（☆☆☆）1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2）平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.3）平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。
自学初中数学资料 多边形与平行四边形(资料附答案)
自学资料一、多边形【错题精练】例1．一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其它顶点），内角和为1980°，则原多边形的边数为（）A. 11B. 12C. 13D. 11或12【解答】解：设新多边形为n边形，（n-2）•180°=1980°，解得n=13，n-1=12．故选：B．【答案】B第1页共29页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训例2．一个多边形的内角和为1620°，则这个多边形的边数是______，这个多边形共可连______条对角线．【解答】解：设所求正n边形边数为n，则1620°=（n-2）•180°，解得n=11；=44条．11边形的对角线共有11×（11−3）2故答案为：11；44．【答案】1144【举一反三】1．多边形的内角和与外角和多边形的内角和是______；多边形的外角和是______．（1）若一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形的边数是______．（2）如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______．【解答】解：多边形的内角和是（n-2）•180°；多边形的外角和是360°．（1）1440÷180+2=10．故这个多边形的边数是10．（2）如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（∠A+∠B）+（∠C+∠D）+（∠E+∠F）=∠1+∠2+∠3=360°．故答案为：（n-2）•180°；360°．（1）10；（2）360°．【答案】（n-2）•180°360°第2页共29页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训360°二、平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）【知识探索】年份题量分值考点题型201527平行四边形及多边形性质；选择、填空2016122正方形性质；菱形性质简答2017210正方形性质简答2018319矩形的性质，正方形的性质选择，填空，简答2019214矩形的性质，正方形的性质填空，简答【错题精练】例1．如图，已知M是平行四边形ABCD中AB边的三等分点，BD与CM 交于E，则阴影部分面积与平行四边形面积比为______．【答案】7：24例2．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，求DE：DC的值为（）A. 4：25B. 2：5C. 2：7D. 4：29【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴S△DEF：S△ABF=（DE第3页共29页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训）2=4：25，∴DEAB=DECD=25，故选：B．【答案】B例3．如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC交AB于点E，交CB的延长线于点F，AD=5，CD=12，则BF的长为______．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=5，∴∠F=∠ADE，∵∠ADC平分线为DE，∴∠ADE=∠CDF，∴∠F=∠CDF，∴CF=CD=12，∴BF=CF-BC=12-5=7．故答案为：7．【答案】7第4页共29页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训例4．如图，▱ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°，点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E．设AP=x，当x=______时，△ABP与△EBC相似．【答案】8例5．如图，在平行四边形ABCD中，以对角线AC为直径的圆O分别交BC，CD于点E，F．若AB=13，BC=14，CE=9，则线段EF的长为______．18013例6．如图，E，F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（）A. 6B. 12C. 18D. 24【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠EGF，∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，∴∠GEF=∠DEF=60°，∴∠AEG=60°，∴∠EGF=60°，第5页共29页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训∴△EGF是等边三角形，∵EF=6，∴△GEF的周长=18，故选：C．【答案】C例7．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列4个条件：①AB∥CD；②OB=OD；③AD=BC；④AD∥BC．从中任取两个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的概率是（）A. 12B. 13C. 23D. 56【解答】解：有①与②，①与③，①与④，②与③，②与④，③与④六种情况，①与④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；③与④根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；①与②，②与④通过证明全等得到四边形的对角线互相平分，能推出四边形ABCD为平行四边形；所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有4组，所以能推出四边形ABCD是平行四边形的概率是46=2 3．故选：C．【答案】C例8．如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的动点，已知AB=4，BC=6，∠B=60°，现将△ABE沿AE 折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x．（1）如图1，当点B′恰好落在AD边上时，x=______；（2）如图2，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是______【解答】解：（1）点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，∴EC=BC-BE=6-4=2．（2）作AH⊥DE于H．第6页共29页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训在Rt△AHB′中，∵∠AB′H=60°，AB′=4，AB′=2，AH=√3HB′=2√3，∴HB′=12在Rt△ADH中，DH=√62−（2√3）2=2√6，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=∠AED，∴DA=DE=6，∴EB′=BE=6-（2√6-2）=8-2√6，∴EC=BC-BE=6-（8-2√6）=2√6-2．∴若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是2≤x≤2√6-2．故答案为：2，2≤x≤2√6-2．【答案】22≤x≤2√6-2【举一反三】1．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 不能确定∠AOC，【解答】解：∠D=12∵四边形OABC是平行四边形，∴∠B=∠AOC，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D=180°，3∠D=180°，∴∠D=60°，故选：B．【答案】B第7页共29页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训2．如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为______．【答案】123．如图在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于______【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD=6，BC=AD=8∴∠F=∠ECD，∠DEC=∠ECB∵CE平分∠BCD∴∠ECD=∠BCE∴∠F=∠BCE=∠ECD=∠DEC=∠AEF∴DE=DC=6，AE=AF∴AE=AD-DE=2∴AE+AF=4故答案为：4【答案】44．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组第8页共29页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可知④错误；故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，故选：C．【答案】C5．已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF 与对角线BD相交于点O．求证：O是BD的中点．【答案】证明：连接FB、DE，∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴FD∥BE．又∵AD=BC，AF=CE，∴FD=BE．∴四边形FBED是平行四边形．∴BO=OD．即O是BD的中点．6．如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G．（1）求证：BE⊥CF；（2）若AB=a，CF=b，写出求BE的长的思路．第9页共29页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，∴∠EBC=12∠ABC，∠FCB=12∠BCD，∴∠EBC+∠FCB=90°，∴∠BGC=90°．即BE⊥CF．（2）求解思路如下：a．如图，作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．b．由BE平分∠ABC，可证AB=AE，进而可证四边形ABHE是菱形，可知AH，BE互相垂直平分；c．由BE⊥CF，可证AH∥CF，进而可证四边形AHCF是平行四边形，可求AP=b2；d．在Rt△ABP中，由勾股定理可求BP，进而可求BE的长．7．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，DFFC =3 2．（1）若BD=20，求BG的长；（2）求CMCD的值．【答案】解：（1）∵GF∥BC，∴DFFC =DG BG，第10页共29页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训∵BD=20，DFFC =32∴BG=8．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴DMAB =DG GB，∴DMAB =3 2，∴DMCD =3 2，∴CMCD =1 2．三、三角形、梯形中位线【知识探索】1．联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【说明】三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分为4个全等的三角形．【错题精练】例1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE：EC=1：2，BE交AD于P，则AP：PD等于（）A. 1：1B. 1：2C. 2：3D. 4：3【解答】解：过点D作DF∥BE，交AC于F，∴AD是BC边上的中线，即BD=CD，∴EF=CF，∵AE：EC=1：2，∴AE=EF=FC，∴AE：EF=1：1，∴AP：PD=AE：EF=1：1．故选：A．【答案】A例2．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为18cm2，则S△DGF的值为（）A. 4cm2B. 5cm2C. 6cm2D. 7cm2【解答】解：作GH⊥BC于H交DE于M，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC，∵F是DE的中点，∴DF=14BC，∵DF∥BC，∴△GDF∽△GBC，∴GMGH=DFBC=14，∴GMMH=13，∵DF=FE，∴S△DGF=13×△CEF的面积=6cm2，故选：C．【答案】C例3．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点．BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：①OE•OB=OD•OC；②DEBC =12；③S△DOES△BOC =1 4；④S△DOES△DBE =1 3．其中正确的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【解答】解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点．∴DE=12BC，DE∥BC∴△DEO∽△BCO∴DEBC =EOCO=DOBO=12∴OE•OB=OD•OC，BO=2DO，CO=2EO 故①②正确∵△DEO∽△BCO∴S△DOES△BOC =（DEBC）2=14故③正确∵BO=2DO ∴BD=3OD∴S△DOES△DBE =1 3故④正确故选：A．【答案】A例4．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为10，则GE+FH的最大值为（）A. 5B. 10C. 15D. 20【解答】解：如图1，连接OA、OB，，∵∠ACB=30°，∴∠AOB=2∠ACB=60°，∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∵⊙O的半径为10，∴AB=OA=OB=10，∵点E，F分别是AC、BC的中点，∴EF=12AB=5，要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：10×2=20，∴GE+FH的最大值为：20-5=15．故选：C．【答案】C例5．如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P 在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）A. 线段EF的长逐渐增长B. 线段EF的长逐渐减小C. 线段EF的长始终不变D. 线段EF的长与点P的位置有关【解答】解：连接AR，∵矩形ABCD固定不变，R在CD的位置不变，∴AD和DR不变，∵由勾股定理得：AR=√AD2+DR2，∴AR的长不变，∵E、F分别为AP、RP的中点，∴EF=1AR，2即线段EF的长始终不变，故选：C．【答案】C例6．如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°．求点A到弦BC的距离．【答案】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，̂=BF̂，∴DE∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，BF=3．∴AH=12∴点A到弦BC的距离为：3．例7．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？（提示：分别作BO，CO的中点M，N，连接ED，EM，MN，ND）【答案】解：BO=2OD ，理由如下：分别作BO ，CO 的中点M ，N ，连接ED ，EM ，MN ，ND ，∵点D ，E 分别是边AC ，AB 上的中点，∴DE=12BC ，DE ∥BC ，∵点M ，N 分别是BO ，CO 的中点，∴MN=12BC ，MN ∥BC ，∴DE=MN ，DE ∥MN ，∴四边形EMND 为平行四边形，∴OM=OD ，∵OM=MB ，∴OB=2OD ；BC 边上的中线一定过点O ，理由如下：作BC 边上的中线AG 交BD 于D′，由以上解答过程可知，O′B=2O′D ，∴点O 与点O′重合，∴BC 边上的中线一定过点O ．例8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别在AD ，BC 上，AN 和BM 交于点E ，CM 和DN 交于点F ，连结EF ．（1）当M ，N 分别为AD ，BC 的中点时，试判断四边形MENF 的形状，并说明理由；（2）试探求：①当AM ，BN 满足什么条件时，一定有EF =∥12AD ？并说明理由； ②当AM ，BN 满足什么条件时，一定有四边形MENF 为平行四边形？并说明理由．【答案】（1）解：四边形MENF 是平行四边形．理由如下：在平行四边形ABCD 中，AD=BC ，∵M ，N 分别为AD ，BC 的中点，∴AM=12AD ，CN=12BC ，∴AM=CN ，又∵AD ∥BC ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴AN ∥CM ，同理可得BM ∥DN ，∴四边形MENF 是平行四边形；（2）解：①当AM=BN 时，一定有EF =∥12AD ． 理由如下：∵AM=BN ，∴DM=NC ，在△AEM 和△NEB 中∵{∠MAE =∠ENBAM =BN ∠AME =∠NBE，∴△AEM ≌△NEB （ASA ），∴ME=BE ，同理可得出：DF=NF ，∴EF 是△AND 的中位线，∴EF =∥12AD ；②当AM+BN=AD 时，四边形MENF 为平行四边形．理由如下：在平行四边形ABCD 中，AD=BC ，∵AM+BN=AD ，BN+CN=BC ，∴AM=CN ，又∵AD ∥BC ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴AN ∥CM ，同理可得BM ∥DN ，∴四边形MENF 是平行四边形．【举一反三】1．如图，已知AB 为圆的直径，C 为半圆上一点，D 为半圆的中点，AH ⊥CD ，垂足为H ，HM 平分∠AHC ，HM 交AB 于M ．若AC=3，BC=1，则MH 长为（ ）A. 1B. 1.5C. 0.5D. 0.7【解答】解：延长HM 交AC 于K ．∵AB 是直径，∴∠ACB=90°∵AD̂=BD ̂， ∴∠ACD=∠BCD=45°，∵AH ⊥CD ，∴∠AHC=90°，∴∠HAC=∠HCA=45°，∴HA=HC ，∵HM 平分∠AHC ，∴HK⊥AC，AK=KC ∴点M就是圆心，∵AK=KC，AM=MB，∴KM=12BC=12，在RT△ACH中，∵AC=3，AK=KC，∠AHC=90°，∴HK=12AC=32，∴HM=HK-KM=32-12=1．故选：A．【答案】A2．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FG，AĈ,BĈ的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长为（）A. 9√2B. 907C. 13D. 16【解答】解：连接OP，OQ，∵DE，FG，AĈ,BĈ的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI=12（AC+BC）=9，∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，∴PH+QI=18-14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13，故选：C．3．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC=______．【解答】解：∵AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，∴N、M分别为AC、AB的中点，即MN为△ABC的中位线，∵MN=2.5，∴BC=2MN=5．故答案为5．【答案】54．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=______，△ADE与△ABC的周长之比为______，△CFG与△BFD 的面积之比为______．【解答】解：∵D、E分别是AB和AC的中点∴DE∥BC，DE=12BC∴△ADE∽△ABC，△GED≌△GCF∴CF=12BC，∴△ADE与△ABC的周长之比为DE：BC=1：2；∵△ADE与△ABC的面积之比为1：4；∴△ADE与四边形DECB的面积之比为1：3；∵△ADE与△DEG的面积之比为2：1；∴△CFG与△BFD的面积之比为1：6．【答案】21：21：65．如图所示，在三角形ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DE交于点O．若△ADE的面积为2，则四边形BOGC的面积为______．【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC （DEBC）2=14，∵△ADE的面积为S，∴S△ABC=4S，∵DE∥BC，∴△ODE∽△OFB，∠EDG=∠F，∠DEG=∠GCF，∴DEBF =OE OB，又EG=CG，∴△DEG≌△FCG（AAS），∴DE=CF，∴BF=3DE，∵DE∥BC，∴△ODE∽△OFB，∴OEOB =DEBF=13，∵AD=BD，∴S△BDE=S△ADE=S，∵AE=CE=2EG，∴S△DEG=12S△ADE=12×2=1，∵OEOB ═1 3，∴S△ODE=14S△BDE=14×2=12，∴S△OEG=S△DEG-S△ODE=14×2=12，∵S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=6，∴S四边形OBCG=S四边形DBCE-S△BDE-S△OEG=6-2-12=7 2，故答案为：72．【答案】726．已知，在四边形ABCD中，AB=CD，E是BC的中点，G是AD的中点，EG交AC于点F，∠ACD=30°，∠CAB=70°，则∠AFG的度数是______．【解答】解：取AC的中点M，连接GM、EM，∵G是AD的中点，E是BC 的中点，∴GM是△ADC的中位线，EM是△ABC的中位线，∴GM=12DC，EM=12AB，GM∥CD，EM∥AB，∵AB=CD，∴GM=EM，∴∠GEM=∠EGM，∵EM∥AB，∴∠EMC=∠BAC=70°，∴∠AME=180°-70°=110°，∵GM∥CD，∴∠AMG=∠ACD=30°，∴∠EMG=110°+30°=140°，∴∠EGM=180°−140°2=20°，∴∠AFG=∠EGM+∠AMG=20°+30°=50°，故答案为50°．【答案】50°7．如图，在△ABC中，E、F、G分别是AB、BC、AC边的中点，连接GE、GF，BD是AC边上的高，连接DE、DF．（1）试判断四边形BFGE是怎样的特殊四边形？证明你的结论；（2）求证：∠EDF=∠EGF．【答案】解：（1）四边形BFGE是平行四边形，∵E、F、G分别是AB、BC、AC边的中点，∴EG、GF是△ABC的中位线，∴EG∥BC、GF∥AB，∴四边形BFGE是平行四边形；（2）∵四边形BFGE是平行四边形，∴∠ABC=∠EGF（6分）∵BD是AC边上的高，∴∠ADB=∠BDC=90°又∵E、F分别是AB、BC边的中点，∴DE=BE=12AB，DF=BF=12BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴∠EDB=∠EBD，∠DBF=∠BDF（8分）∴∠EDB+∠BDF=∠EBD+∠DBF，∴∠EDF=∠ABC，∴∠EDF=∠EGF（10分）．8．在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，E是AB的中点，作EF⊥BC于F，延长BC至G，使CG=BF，连接CE、DE、DG．（1）如图1，求证：四边形CEDG是平行四边形；（2）如图2，连接EG交AC于点H，若EG⊥AB，请直接写出图2中所有长度等于√2GH的线段．【答案】（1）证明：如图1中，∵∠ACB=90°，AE=EB，∴EC=EA=EB，∵EF⊥BC，∴CF=FB，∵AD=DC，AE=EB，∴DE∥BC，DE=12BC=BF，∵CG=BF，∴DE=CG，DE∥CG，∴四边形四边形CEDG是平行四边形；（2）解：如图2中，∵四边形四边形CEDG是平行四边形，∴DH=CH，GH=HE，设DH=CH=a，则AD=CD=2a，∵∠A=∠A，∠AEH=∠ADE=90°，∴△ADE∽△AEH，∴AE2=AD•AH=2a•3a=6a2，∴AE=√6a，在Rt△AEH中，HE=√AH2−AE2=√（3a）2−（√6a）2=√3a，∴AE=√2HE，∵GH=HE，AE=EB=CE=GD，∴线段AE、EB、EC、GD都是线段GH的√2倍．1．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=4，AF=6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（）A. 24B. 36C. 40D. 48【解答】解：∵▱ABCD的周长=2（BC+CD）=40，∴BC+CD=20①，∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，∴S▱ABCD=4BC=6CD，CD②，整理得，BC=32联立①②解得，CD=8，∴▱ABCD的面积=AF•CD=6CD=6×8=48．故选：D．【答案】D2．如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE的长为（）A. 2cmB. 3cmC. 6cmD. 8cm【解答】解：根据平行四边形的性质得AD∥BC，∴∠EDA=∠DEC，又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠ADE，∴∠EDC=∠DEC，∴CD=CE=AB=6，即BE=BC-EC=8-6=2cm．故选：A．【答案】A3．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为（）A. 10B. 12C. 14D. 16【解答】解：如图，∵∠AFC=90°，AE=CE，∴EF=1AC=5，2∴DE=1+5=6；∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴BC=2DE=12，故选：B．【答案】B4．已知，如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作EF⊥AC于点M，交AD于点F，求证：AF=DF．【答案】证明：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又∵EF⊥AC，∴EF∥BD．又∵点E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴点F是AD的中点，∴AF=DF．。
第一轮复习—21多边形与平行四边形
多边形与平行四边形一、四边形1. 四边形有关知识⑴ n 边形的内角和为 ．外角和为 ．⑵ 如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，外角和增加 ．⑶ n 边形过每一个顶点的对角线有 条，n 边形的对角线有 条．2. 平面图形的镶嵌⑴ 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个_________时，就拼成一个平面图形. ⑵ 只用一种正多边形铺满地面，请你写出这样的一种正多边形____________．3．易错知识辨析多边形的内角和随边数的增加而增加,但多边形的外角和随边数的增加没有变化，外角和恒为360 º．二、平行四边形1．平行四边形的性质（1）平行四边形对边______，对角______；角平分线______；邻角______.（2）平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______．（填“平行”或“垂直”）（3）平行四边形的面积公式____________________.2．平行四边形的判定（1）定义法：两组对边 的四边形是平行四边形.（2）边：两组对边 的四边形是平行四边形；一组对边 的四边形是平行四边形．（3）角：两组对角 的四边形是平行四边形．（4）对角线：对角线 的四边形是平行四边形．练习题一、选择题 3.如图，ABCD中，AB =10，BC =6，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，若EF =7，则四边形EACF 的周长是（ ） A ．20 B ．22 C ．29 D ．316.如图，平行四边形ABCD 中，AB 3=，5BC =，AC 的垂直平分线交AD 于E ，则CDE △的周长是（ ）A ．6B ．8C ．9D ．10二、填空题2.如图，在ABCD 中，已知AB =9㎝，AD =6㎝，BE 平分∠ABC 交DC 边于点E ，则DE 等于 ㎝.3.如图，E 、F 分别是 ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD 15=2cm ，S △BQC 25=2cm ，则阴影部分的面积为BE A B D C EF_________2cm 。
中考数学备考专题复习 多边形与平行四边形(含解析)
多边形与平行四边形一、单选题（共12题；共24分）1、下列说法正确的是（）A、同位角相等B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行C、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D、只用一种图形进行镶嵌，三角形、四边形、六边形都可以镶嵌2、下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A、正方形B、正五边形C、正六边形D、正八边形3、下列图形中,不能镶嵌成平面图案的是 ( )A、正三角形B、正四边形C、正五边形D、正六边形4、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2，∠B=60°，则下底BC的长是( )A 、B 、C 、D 、5、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=70°∠C=40°，DE//AB交BC于点E．若AD=3，BC=10，则CD的长是()A、7B、10C、13D、14 6、如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC为∠BAD的平分线，图中与∠AOE相等（不含∠AOE）的角有（）A、2个B、3个C、4个D、5个7、正六边形的边心距为，这个正六边形的面积为（）A、2B、4C、6D、128、把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（）A、90°B、84°C、72°D、88°9、（2015•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A、4B、61C、8D、1010、（2015•德阳）如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A、150°B、160°C、130°D、60°11、（2016•义乌）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A、①，②B、①，④C、③，④D、②，③12、如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（）A、（3，-1）B、（-1，-1）C、（1，1）D、（-2，-1）二、填空题（共5题；共5分）13、（2015•烟台）正多边形的一个外角是72°，则这个多边形的内角和的度数是________．14、现有一个正六边形的纸片，该纸片的边长为20cm，张萌想用一张圆形纸片将该正六边形纸片完全覆盖住，则圆形纸片的直径不能小于________ cm．15、如图，已知四边形ABCD中，∠C=72°，∠D=81°．沿EF折叠四边形，使点A、B分别落在四边形内部的点A′、B′处，则∠1+∠2=________°．16、如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=________17、如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有________个三、综合题（共5题；共63分）18、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．(1)试说明AC=EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.19、（2016•滨州）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(1)求点A，B，C的坐标；(2)点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20、（2016•安徽）如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．(1)求证：△PCE≌△EDQ；(2)延长PC，QD交于点R．①如图1，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．21、（2016•丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．(1)当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；(2)当BE=2EC时，求的值；(3)设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．22、（2016•江西）如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．【探究证明】(1)请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；(2)如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．(3)图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为________，________；(4)图n中，“叠弦三角形”________等边三角形（填“是”或“不是”）3(5)图n中，“叠弦角”的度数为________（用含n的式子表示）答案解析部分一、单选题【答案】C【考点】垂线，同位角、内错角、同旁内角，平面镶嵌（密铺）【解析】【分析】A、只有一条直线截2条平行线得到的同位角才相等，故错误，不符合题意；B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不符合题意；C、过直线上或直线外一点均有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意；D、只用一种图形进行镶嵌，三角形、四边形都可以镶嵌，六边形不一定能组成镶嵌，故错误，不符合题意；故选C．【答案】B【考点】正多边形的定义【解析】【解答】解：A、正方形的最小旋转角度为90°，故本选项错误；B、正五边形的最小旋转角度为=72°，故本选项正确；C、正六边形的最小旋转角度为=60°，故本选项错误；D、正八边形的最小旋转角度为=45°，故本选项错误；故选B．【分析】求出各个选项图形的最小旋转角度，即可做出判断．【答案】C【考点】平面镶嵌（密铺）【解析】【解答】∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，∴只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形．故选C．【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．考查了平面镶嵌（密铺)，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．【答案】B【考点】等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定【解析】【分析】画出草图分析，作AE∥CD于E点，则AECD是平行四边形，△ABE是等边三角形，据此易求BC的长．【解答】如图所示：作AE∥CD于E点，∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE=CD=2，EC=AD=2又AB=CD，∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，BE=2，∴BC=4．故选B．【点评】此题考查了梯形中常作的辅助线：平移腰，把梯形转化为平行四边形和三角形求解，体现了数学的化归思想．【答案】A【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，梯形【解析】【解答】∵DE//AB，∠B=70°，∴∠DEC=∠B=70°．又∵∠C=40°，∴∠CDE=70°．∴CD=CE．∵AD//BC，DE//AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴BE=AD=3．∴CD=CE=BC-BE=BC-AD=10-3=7．故选A．【分析】根据平行线的性质，得∠DEC=∠B=70°，根据三角形的内角和定理，得∠CDE=70°，再根据等角对等边，得CD=CE．根据两组对边分别平行，知四边形ABED是平行四边形，则BE=AD=3，从而求解．【答案】D【考点】角平分线的定义，对顶角、邻补角，平行线的性质，平行四边形的性质，平行四边形的判定【解析】【解答】由AB∥CD∥EF，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，可得：∠AOE=∠OAB=∠ACD，又由AC平分∠BAD与BC∥AD，可得：∠DAC=∠ACB，又由对顶角相等，可得5与∠AOE（∠AOE除外)相等的角有5个。
中考中的多边形与平行四边形(共45张PPT)
＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD
成为平行四边形的选法种数共有( A．6种 B．5种 C．4种 )
D．3种
【点拨】正确理解题意，明确已知和未知及所考查的知识点是关键．
【解答】(1)C 由(n－2)·180°＝720°，得n－2＝4，所以n＝6.因 此这个多边形的边数为6.故选C.
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7．(2011·安徽)如图所示，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD ＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH
的周长是(
)
A．7
C．10
B．9
D．11
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考
点
训
练
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【解析】 由勾股定理易得 BC＝5， 由三角形中位线定理得 ∥1BC，HG ∥1BC，∴EF∥HG，同理 EH ∥ GF.∴四 EF ＝ ＝2 ＝ 2 边形 EFGH 是平行四边形．又∵AD＝6，BC＝5，∴EH＝3， 5 5 EF＝ .∴四边形 EFGH 的周长为 2(3＋ )＝11. 2 2
【解析】符合条件的正多边形是①正三角形，②正方形和④正六 边形．
【答案】B
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4．(2010中考变式题)如图，已知在▱ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则▱ABCD的周长等于( )
A．10 cm
B．6 cm
C．5 cm
D．4 cm
【解析】在▱ABCD中，BC＝AD＝3 cm，CD＝AB＝2 cm，∴C▱ABCD＝
在平面直角坐标系中，以任意两点 P(x1，
人教版初中数学中考复习一轮复习-多边形和平行四边形(知识点+中考真题)
（1） 平行四边形的对边平行且相等． （2） 平行四边形的邻角互补，对角相．等．
推论：夹在两条平行线间的 平行线段 相等． （3） 平行四边形的对角线互相平分 ．
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点， 则： 则二等这分条此直平线行被四一边组形对的边面截积下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直．线
是 中心 对称图形．②正n边形有 n 条对称轴 ．
3.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全 覆盖 ，叫做用多边形
覆盖平面（或平面镶嵌）．平面镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内
角和为 360° 时，可以平面镶嵌．
知识点梳理——平行四边形
1.平行四边形的概念： 两组对边分别平行的四边形叫做平行．四边形
【解答】证明：∵DE=DC，∴∠DEC=∠C． ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠DEC， ∴ AB∥BE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD=BE．
14.（10分）（2021•怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、 A、C、F在同一直线上，AE＝CF． 求证：（1）△ADE≌△CBF；
C ∠D＝58°，则∠AEC的大小是（ ）
A．61° B．109° C．119° D．122°
典型例题
7.（2021•恩施州）如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，
AC⊥BC，则▱ABCD的面积为（ B ）
A．30 B．60
C．65 D．
典型例题
8.(2021·安顺、贵阳) 如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，
形的边数是
．
2.（2020•陕西12/25）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD ，则∠BDM的度数是 ．
初中数学多边形与平行四边形
多边形与平行四边形一．选择题（共15小题）1．（2020•北京）正五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．【解析】任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．2．（2020•德州）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A．80米B．96米C．64米D．48米【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解析】根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，所以一共走了8×8＝64（米）．故选：C．3．（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为（）A．36°B．30°C．144°D．150°【分析】根据多边形的外角和为360°，再由正十边形的每一个外角都相等，进而求出每一个外角的度数．【解析】正十边形的每一个外角都相等，因此每一个外角为：360°÷10＝36°，故选：A．4．（2020•温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．【解析】∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝70°．故选：D．5．（2020•黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解析】360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选：D．6．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD 是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．【解析】∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．7．（2020•济宁）一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．【解析】设所求正n边形边数为n，则1080°＝（n﹣2）•180°，解得n＝8．故选：B．8．（2020•怀化）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）＝1080，解得：n＝8．故选：C．9．（2020•淮安）六边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．1080°【分析】利用多边形的内角和＝（n﹣2）•180°即可解决问题．【解析】根据多边形的内角和可得：（6﹣2）×180°＝720°．故选：C．10．（2020•广东）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解．【解析】设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5．故选：B．11．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．故选：B．12．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（）A．S1+S2＞S 2B．S1+S2＜S 2C．S1+S2=S 2D．S1+S2的大小与P点位置有关【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．【解析】过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴S＝BC•EF，S1=AD⋅PE2，S2=BC⋅PF2，∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2=S 2，故选：C．13．（2020•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD 内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（）A．52B．32C．3 D．2【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据梯形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．【解析】∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，∴Rt△BCF中，EF=12BC＝4，∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，∴F是AG的中点，∴EF是梯形ABCG的中位线，∴CG＝2EF﹣AB＝3，又∵CD＝AB＝5，∴DG＝5﹣3＝2，故选：D．14．（2020•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB=√6，∠B是锐角，AE ⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（）A．2 B．√5C．3√22D．3√32【分析】如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x+2，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF，∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，∴△QF A≌△EFB（AAS），∴AQ＝BE＝x，∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE，∴DQ＝DE＝x+2，∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，整理得：2x2+4x﹣6＝0，解得x＝1或﹣3（舍弃），∴BE＝1，∴AE=√AB2−BE2=√6−1=√5，故选：B．15．（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE=12BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2√5．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】证出DE是△ABC的中位线，则DE=12BC；①正确；证出DF＝BC，则四边形DBCF是平行四边形；②正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=1 2AB＝BD ，则CF ＝CD ，得出∠CFE ＝∠CDE ，证∠CDE ＝∠EGF ，则∠CFE ＝∠EGF ，得出EF ＝EG ，③正确；作EH ⊥FG 于H ，由等腰三角形的性质得出FH ＝GH =12FG ＝1，证△EFH ∽△CEH ，则EH CH =FH EH，求出EH ＝2，由勾股定理的EF =√5，进而得出BC ＝2√5，④正确．【解答】解；∵CD 为斜边AB 的中线，∴AD ＝BD ，∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，∵DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴AE ＝CE ，DE =12BC ；①正确； ∵EF ＝DE ，∴DF ＝BC ，∴四边形DBCF 是平行四边形；②正确；∴CF ∥BD ，CF ＝BD ，∵∠ACB ＝90°，CD 为斜边AB 的中线，∴CD =12AB ＝BD ， ∴CF ＝CD ，∴∠CFE ＝∠CDE ，∵∠CDE +∠EGC ＝180°，∠EGF +∠EGC ＝180°，∴∠CDE ＝∠EGF ，∴∠CFE ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ，③正确；作EH ⊥FG 于H ，如图所示：则∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，FH＝GH=12FG＝1，∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，∴△EFH∽△CEH，∴EHCH=FHEH，∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，∴EH＝2，∴EF=√FH2+EH2=√12+22=√5，∴BC＝2DE＝2EF＝2√5，④正确；故选：D．二．填空题（共15小题）16．（2020•湘西州）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是6．【分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n 边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解析】设该多边形的边数为n，根据题意，得，（n﹣2）•180°＝720°，解得：n＝6．故这个多边形的边数为6．故答案为：617．（2020•福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC ＝30度．【分析】由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC 的度数．【解析】正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6=120°， 所以∠ABC ＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30．18．（2020•陕西）如图，在正五边形ABCDE 中，DM 是边CD 的延长线，连接BD ，则∠BDM 的度数是 144° ．【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．【解析】因为五边形ABCDE 是正五边形，所以∠C =(5−2)⋅180°5=108°，BC ＝DC ， 所以∠BDC =180°−108°2=36°， 所以∠BDM ＝180°﹣36°＝144°，故答案为：144°．19．（2020•烟台）已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为 1260° ．【分析】利用任意多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．【解析】正n 边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得360°n=40°， 解得n ＝9．（9﹣2）×180°＝1260°，即这个正多边形的内角和为1260°．故答案为：1260°．20．（2020•河北）正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的4倍，则n ＝ 12 ．【分析】根据多边形的内角和公式求出正六边形的一个内角等于120°，再根据多边形的外角和是360°即可解答．【解析】正六边形的一个内角为：(6−2)×180°6=120°， ∵正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的4倍，∴正n 边形一个外角为：120°÷4＝30°，∴n ＝360°÷30°＝12．故答案为：12．21．（2020•衡阳）已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于 12 ．【分析】根据多边形的外角和等于360°列式计算即可．【解析】∵一个n 边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°， ∴n ＝360°÷30°＝12．故答案为：12．22．（2020•重庆）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 6 ．【分析】n 边形的内角和可以表示成（n ﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．【解析】设这个多边形的边数为n ，依题意，得：（n ﹣2）•180°＝2×360°，解得n ＝6．故答案为：6．23．（2020•遂宁）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 36 度．【分析】首先设此多边形为n 边形，根据题意得：180（n ﹣2）＝1440，即可求得n＝10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【解析】设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1440，解得：n＝10，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．故答案为：36．24．（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为9√3．【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．【解析】作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，∴CH＝4√3，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF∥CG，∴△EOD∽△GOC，∴EOGO=DOOC=EDGC，∵DF=14DE，∴DEEF=45，∴EDGC=45，∴EOGO=45，∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH＝EO，∴EO＝4√3，∴GO＝5√3，∴EG的最小值是9√3，故答案为：9√3．25．（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是26°．【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB ＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，故答案为：26°．26．（2020•天津）如图，▱ABCD 的顶点C 在等边△BEF 的边BF 上，点E 在AB 的延长线上，G 为DE 的中点，连接CG ．若AD ＝3，AB ＝CF ＝2，则CG 的长为 32．【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF 和BE 的长，然后可以证明△DCG 和△EHG 全等，然后即可得到CG 的长．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，CD ＝AB ，DC ∥AB ，∵AD ＝3，AB ＝CF ＝2，∴CD ＝2，BC ＝3，∴BF ＝BC +CF ＝5，∵△BEF 是等边三角形，G 为DE 的中点，∴BF ＝BE ＝5，DG ＝EG ，延长CG 交BE 于点H ，∵DC ∥AB ，∴∠CDG ＝∠HEG ，在△DCG 和△EHG 中，{∠CDG =∠HEGDG =EG ∠DGC =∠EGH， ∴△DCG ≌△EHG （ASA ），∴DC ＝EH ，CG ＝HG ，∵CD ＝2，BE ＝5，∴HE ＝2，BH ＝3，∵∠CBH ＝60°，BC ＝BH ＝3，∴△CBH 是等边三角形，∴CG =12CH =32， 故答案为：32．27．（2020•凉山州）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ，若OA ＝1，△AOE 的周长等于5，则▱ABCD 的周长等于 16 ．【分析】由平行四边形的性质得AB ＝CD ，AD ＝BC ，OB ＝OD ，证OE 是△ABD 的中位线，则AB ＝2OE ，AD ＝2AE ，求出AE +OE ＝4，则AB +AD ＝2AE +2OE ＝8，即可得出答案．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，OB ＝OD ，∵OE ∥AB ，∴OE 是△ABD 的中位线，∴AB ＝2OE ，AD ＝2AE ，∵△AOE 的周长等于5，∴OA +AE +OE ＝5，∴AE +OE ＝5﹣OA ＝5﹣1＝4，∴AB +AD ＝2AE +2OE ＝8，∴▱ABCD 的周长＝2×（AB +AD ）＝2×8＝16；故答案为：16．28．（2020•甘孜州）如图，在▱ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，若∠EAD ＝40°，则∠BCE的度数为50°．【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠EAD＝40°，由角的互余关系得出∠BCE ＝90°﹣∠B＝50°即可．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝40°，∵CE⊥AB，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝50°；故答案为：50°．29．（2020•黔东南州）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为（2，﹣1）．【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．【解析】∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），∴点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．30．（2020•金华）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是30°．【分析】根据平行四边形的性质解答即可．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D +∠C ＝180°，∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，故答案为：30．三．解答题（共13小题）31．（2020•黄冈）已知：如图，在▱ABCD 中，点O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ，求证：AD ＝CE ．【分析】只要证明△AOD ≌△EOC （ASA ）即可解决问题；【解答】证明：∵O 是CD 的中点，∴OD ＝CO ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠D ＝∠OCE ，在△ADO 和△ECO 中，{∠D =∠OCEOD =OC ∠AOD =∠EOC， ∴△AOD ≌△EOC （ASA ），32．（2020•孝感）如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．求证：EG＝FH．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠FDH，在△BEG与△DFH中，{∠E=∠FBE=DF∠EBG=∠FDH，∴△BEG≌△DFH（ASA），∴EG＝FH．33．（2020•鄂州）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．（1）求证：△AMB≌△CND；（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB≌△CND；（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．【解析】（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，又∵点M，N分别为OA、OC的中点，∴AM＝CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAM＝∠DCN，∴△AMB≌△CND（SAS）；（2）∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，又∵BM＝EM，∴DN＝EM，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∴∠MBO＝∠NDO，∴ME∥DN∴四边形DEMN是平行四边形，∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB，又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO，∴∠EMN＝90°，∴四边形DEMN是矩形，∵AB＝5，DN＝BM＝4，∴AM＝3＝MO，∴MN＝6，∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．34．（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，进而得出EF的长；（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF 是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=3 2，∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．35．（2020•广元）已知▱ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面积为2，求▱ABCD的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由ASA即可得出结论；（2）由于AE：AD＝1：2，O为对角线AC的中点，得出△AEO∽△ADC，根据△AOE的面积为2，可得△ADC的面积，进而得到平行四边形ABCD的面积．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，{∠EAO=∠FCO OA=OC∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）∵AE：AD＝1：2，O为对角线AC的中点，∴AO：AC＝1：2，∵∠EAO＝∠DAC，∴△AEO∽△ADC，∵△AOE 的面积为2，∴△ADC 的面积为8，∴平行四边形ABCD 的面积为16．36．（2020•青岛）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE ＝BF ，连接AE ，CF ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）连接AF ，CE ．当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可以得到AD ＝CB ，∠ADC ＝∠CBA ，从而可以得到∠ADE ＝∠CBF ，然后根据SAS 即可证明结论成立；（2）根据BD 平分∠ABC 和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD 是菱形，从而可以得到AC ⊥BD ，然后即可得到AC ⊥EF ，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE 是平行四边形，然后根据AC ⊥EF ，即可得到四边形AFCE 是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，∠ADC ＝∠CBA ，∴∠ADE ＝∠CBF ，在△ADE 和△CBF 中，{AD =CB ∠ADE =∠CBF DE =BF，∴△ADE ≌△CBF （SAS ）；（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形，理由：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．37．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；（2）求证：AE＝CF．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的性质解决问题即可．（2）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论．【解答】（1）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝40°，（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．38．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE＝DF．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线的定义得到∠BCD＝2∠BCF，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE ＝∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF，∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，∴∠BAE＝∠DCE，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF．39．（2020•绍兴）如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F．（1）若AD的长为2，求CF的长．（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥CF，则∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，由点E是CD的中点，得出DE＝CE，由AAS证得△ADE≌△FCE，即可得出结果；（2）添加一个条件当∠B＝60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE 和△FCE 中，{∠DAE =∠CFE∠ADE =∠FCE DE =CE，∴△ADE ≌△FCE （AAS ），∴CF ＝AD ＝2；（2）∵∠BAF ＝90°，添加一个条件：当∠B ＝60°时，∠F ＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．40．（2020•新疆）如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE ∥BF ，且分别交对角线AC 于点E ，F ，连接BE ，DF ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）若BE ＝DE ，求证：四边形EBFD 为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD ＝CB ，AD ∥CB ，从而可以得到∠DAE ＝∠BCF ，再根据DE ∥BF 和等角的补角相等，从而可以得到∠AED ＝∠CFB ，然后即可证明△ADE 和△CBF 全等，从而可以得到AE ＝CF ；（2）根据（1）中的△ADE 和△CBF 全等，可以得到DE ＝BF ，再根据DE ∥BF ，即可得到四边形EBFD 是平行四边形，再根据BE ＝DE ，即可得到四边形EBFD 为菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE ＝∠BCF ，∵DE ∥BF ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠AED ＝∠CFB ，在△ADE 和△CBF 中，{∠DAE =∠BCF∠AED =∠CFB AD =CB，∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）证明：由（1）知△ADE ≌△CBF ，则DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．41．（2020•岳阳）如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BE=13BC，FD=13AD，连接BF，DE．求证：四边形BEDF是平行四边形．【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而得出DF＝BE，利用平行四边形的判定解答即可．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE=13BC，FD=13AD，∴BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形．42．（2020•淮安）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．（1）求证：△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF是（填“是”或“不是”）平行四边形．【分析】（1）由ASA证明△AOF≌△COE即可；（2）由全等三角形的性质得出FO＝EO，再由AO＝CO，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，{∠OAF=∠OCE AO=CO∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA）（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：由（1）得：△AOF≌△COE，∴FO＝EO，又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形；故答案为：是．43．（2020•陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC＝∠C，在由∠B＝∠C得∠DEC＝∠B，所以AB∥DE，得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出结论．【解答】证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD＝BE．。
正多边形和平行四边形 练习题
正多边形和平行四边形练习题题目一一个正多边形的内角和为180度，请问这个正多边形有多少个内角？题目二一个平行四边形的两个内角分别是120度和60度，请问这个平行四边形的另外两个内角分别是多少度？题目三一个正五边形的每个内角都是多少度？题目四一个平行四边形的两对边分别平行，请问这个平行四边形的两对边的长度分别是多少？题目五一个正六边形的每个外角都是多少度？题目六一个七边形的每个内角都是多少度？题目七一个正多边形的每个外角都是120度，请问这个多边形有多少个内角？题目八一个平行四边形的对角线相等，请问这个平行四边形的两对边的长度分别是多少？题目九一个正多边形的外角和为360度，请问这个多边形有多少个外角？题目十一个正多边形的内角和为1080度，请问这个多边形有多少个内角？题目十一一个长方形的对角线相等，请问这个长方形的两对边的长度分别是多少？题目十二一个正多边形的每个内角都是135度，请问这个多边形有多少个内角？题目十三一个直角梯形的两个内角分别是90度和120度，请问这个直角梯形的另外两个内角分别是多少度？题目十四一个正多边形的每个外角都是72度，请问这个多边形有多少个外角？题目十五一个平行四边形的一个内角是120度，请问这个平行四边形的另外一个内角是多少度？题目十六一个直角梯形的一个内角是90度，请问这个直角梯形的另外一个内角是多少度？题目十七一个正八边形的每个内角都是多少度？题目十八一个正多边形的每个内角都是150度，请问这个多边形有多少个内角？题目十九一个正五边形的外角和为360度，请问这个正五边形有多少个外角？题目二十一个正六边形的外角和为360度，请问这个正六边形有多少个外角？---以上为正多边形和平行四边形的练习题，欢迎同学们积极参与练习！祝你们取得好成绩！。
沪科版九年级数学中考：4.5 多边形与平行四边形专题 习题(含答案) (1)
4.5 多边形与平行四边形一、历年安徽中考题：1.平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A.BE=DFB.AE=CFC.AF∥CED.∠BAE=∠DCF2.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠B=∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE。
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；（2）连接CO，求证：CO平分∠BCE。
二、历年全国中考题：1.已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（）A.九边形B.八边形C.七边形D.六边形2.若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A.360°B.540°C.720°D.900°3.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A.6B.12C.16D.184.内角和为540°的多边形是（）5.已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A.1B.3C.2D.236.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美。
图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度。
7.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC ，若AC=6，则四边形ABCD 的面积为 。
8.已知n 边形的内角和θ=（n-2）×180°（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°。
甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n ；若不对，说明理由；（2）若n 边形变为（n+x ）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.9.顺次连接平面上A 、B 、C 、D 四个点得到一个四边形，从①AB ∥CD ；②BC=AD ；③∠A=∠C ；④∠B=∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有 （ ）A.5种B.4种C.3种D.1种10.如图，已知平行四边形AOBC 的顶点O （0,0），A （-1,2），点B 在x 轴正半轴上，按一下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA ，OB 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于21DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点F ；③作射线OF ，交边AC 于点G 。
2023年中考数学复习第一部分考点梳理第五章四边形第1节多边形与平行四边形
边形AECF一定为平行四边形.
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5.1 多边形与平行四边形
3.(2013·安徽第13题)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,
F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2.
所以S1＋S2＝8.
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5.1 多边形与平行四边形
4.(2019·安徽第20题)如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.
(1)求证:△BCE≌△ADF;
(2)[一题多解]设▱ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求
的值.
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5.1 多边形与平行四边形
(2)解法1:如图1,连接EF.
由(1)知△BCE≌△ADF,∴AF＝BE.
又∵AF∥BE,∴四边形ABEF为平行四边形,
∴S△AEF＝S△AEB.
同理S△DEF＝S△DEC,
∴T＝S△AEB＋S△DEC.
另一方面,T＝S△AED＋S△ADF＝S△AED＋S△BCE,
∴△CDE≌△BAF(AAS),∴CE＝BF,DE＝AF.
∵AC∥DE,
∴四边形ADEF是平行四边形,∴AD＝EF.
∵AD＝BC,∴EF＝BC.
∵CE＝BF,∴四边形BCEF是平行四边形.
(3) 的值为2.
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多边形与平行四边形-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第五单元 四边形专题5.1 多边形与平行四边形知识点多边形01平行四边形02拓展训练03【例1-1】如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则∠ABC=____º.AC B30 1.n边形的内角和___________,外角和_____.2.n边形的对角线__________.考点聚焦(n-2)·180º360ºn(n-3)/2知识点一典例精讲多边形1.将一个矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和不可能是( ) A.360º B.540º C.720º D.900º2.若正多边形的一个外角是60º,则该正多边形的内角和为______.3.一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形的边数为____,有____条对角线.4.用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图(1),然后轻轻拉紧,压平就可以得到如图(2)的正五边形ABCDE,其中∠BAC=____度D 720º 6 9 365.如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE，∠E=115º,则∠BAE的度数为______.6.如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300º,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P的度数是______.7.如图,∠A+∠B+∠C+∠D=_____º.8.如图,A,B,C,D,为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=18º,则这个正多边形的边数为____.125º60º 26810知识点多边形01平行四边形02拓展训练03【例2-1】如图,在□ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO.(1)求证：△AOF≌△COE；(2)连接AE,CF,判断四边形AECF的形状,并说明理由.A DCBOEF考点聚焦证明四边形ABCD是平行四边形的方法(五种)边：①两组对边分别平行 ②两组对边分别相等 ③一组对边平行且相等角：④两组对角分别相等；对角线：⑤对角线互相平分.【例2-2】如图,□ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为( ) A.15 B.18C.21D.24A ADCB1E O 考点聚焦平行四边形的性质(1)边：对边相等，对边平行；(2)角：对角相等；(3)对角线：对角线互相平分。
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多边形与平行四边形一.选择题1.若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为A．4 B．5 C．6 D．7【解析】（n-2）×180°=540°，解得n=5．2.已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选：D．3.正十边形的每一个外角的度数为()A．36°B．30°C．144°D．150°解：正十边形的每一个外角都相等，因此每一个外角为：360°÷10＝36°，故选A．4如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D，…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为()A．100米B．80米C．60米D．40米解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80(m)．故选B．5.如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A.D两点，则k的值是（）A．2B．4 C．3D．6解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD∥y轴，∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD＝，∵S△ABD＝＝2，BD＝，∴AE＝2，∵∠ADB＝135°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2，∴D的纵坐标为3，设A（m，），则D（m﹣2，3），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A.D两点，∴k＝m＝（m﹣2）×3，解得m＝3，∴k＝m＝6．故选：D．6若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）＝1080，解得：n＝8故选：C．7如图，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点()3,2D 在对角线OB 上，反比例函数()0,0k yk x x =>>的图像经过C 、D 两点．已知平行四边形OABC 的面积是152，则点B 的坐标为（ ）A. 84,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 9,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 105,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2416,55⎛⎫ ⎪⎝⎭7解：如图，分别过点D.B 作DE ⊥x 轴于点E ，DF ⊥x 轴于点F ，延长BC 交y 轴于点H∵四边形OABC 是平行四边形∴易得CH=AF∵点()3,2D 在对角线OB 上，反比例函数()0,0k y k x x =>>的图像经过C 、D 两点 ∴236k =⨯= 即反比例函数解析式为6y x = ∴设点C 坐标为6,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∵DE BF ∴ODE OBF △△∴DE OE BF OF = ∴236OF a=∴6392a OF a ⨯== ∴9OA OF AF OF HC a a =-=-=-，点B 坐标为96,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵平行四边形OABC 的面积是152∴96152a a a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭解得122,2a a ==-（舍去）∴点B 坐标为9,32⎛⎫ ⎪⎝⎭8正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的4倍，则n ＝ 12 ．【分析】根据多边形的内角和公式求出正六边形的一个内角等于120°，再根据多边形的外角和是360°即可解答．8解：正六边形的一个内角为：，∵正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的4倍，∴正n 边形一个外角为：120°÷4＝30°，∴n ＝360°÷30°＝12．故答案为：12．二.填空题1如图，点A 的坐标为()1,3，点B 在x 轴上，把OAB ∆沿x 轴向右平移到ECD ∆，若四边形ABDC 的面积为9，则点C 的坐标为_______．1【详解】过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，∵A （1，3），∴AH=3，由平移得AB ∥CD ，AB=CD ，∴四边形ABDC 是平行四边形，∴AC=BD ，∵9BD AH ⋅=，∴BD=3，∴AC=3，∴C(4，3)故答案为：(4，3).2如图，正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6内部有一个正五边形B 1B 2B 3B 4B 5，且A 3A 4∥B 3B 4，直线l 经过B 2.B 3，则直线l 与A 1A 2的夹角α＝ 48 °．2.解：延长A 1A 2交A 4A 3的延长线于C ，设l 交A 1A 2于E.交A 4A 3于D ，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝＝120°，∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°﹣120°＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B2B3B4＝＝108°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，∴∠EDC＝180°﹣108°＝72°，∴α＝∠CED＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣72°＝48°，故答案为：48．3如图，已知MON∠是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD ON，交射线OC于点D，过点D作DE OC⊥，交ON于点E．设10OA=，12DE=，则sin MON∠=________．3连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，∴OH⊥AB，AH=BH，∵DE OC⊥，∴DE∥AB，∵AD ON，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE=12，∴AH=6，∴OH=22221068AO AH-=-=，∵OB∙AG=AB∙OH，∴AG=AB OHOB⋅=12810⨯=485，∴sin MON∠=AGOA=2425．故答案是：24 25．4如图所示，点D.E分别是△ABC的边AB.AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为．4解：∵D.E分别是△ABC的边AB.AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，，∵CF∥BE，∴四边形BCFE为平行四边形，∴BC＝EF＝3，∴．故答案为：．5如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D.E分别是AB.AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG 互相垂直，则BG的长为4或2．解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH＝＝＝，∴＝，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．6探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是26°．6解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，∴∠BAC＝26°，故答案为：26°．7在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是26°．7解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，∴∠BAC＝26°，8如图，在□ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED 并延长至点F，使得DF＝DE，以EC.EF为邻边构造□EFGC，连接EG，则EG的最小值为9．解：作CH⊥AB于点H，∵在□ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，∴CH＝4，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF∥CG，∴△EOD∽△GOC，∴＝，∵DF＝DE，∴，∴，∴，∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH＝EO，∴EO＝4，∴GO＝5，∴EG的最小值是，故答案为9．三.解答题1如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．【解答】（1）证明：∵∠四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+EF，即BC＝EF，∴AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）解：连接DE，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABE中，AE＝＝2，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD，∵∠B＝∠AED＝90°，∴△ABE∽△DEA，∴AE：AD＝BE：AE，∴AD＝＝10，∴四边形AEFD的面积＝AB×AD＝2×10＝20．2如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．2【解答】（1）证明：∵∠四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+EF，即BC＝EF，∴AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）解：连接DE，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABE中，AE＝＝2，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD，∵∠B＝∠AED＝90°，∴△ABE∽△DEA，∴AE：AD＝BE：AE，∴AD＝＝10，∴四边形AEFD的面积＝AB×AD＝2×10＝20．3如图，在▱ABCD中，点E.F分别在BC.AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．（1）求证：△AOF≌△COE；AECF是（填“是”或“不是”）平行四边形．（2）连接AE.CF，则四边形∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA）（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：由（1）得：△AOF≌△COE，∴FO＝EO，又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形；故答案为：是．11。