2020年中考专题15多边形与平行四边形(共43题)(解析版)
中考数学《多边形和平行四边形》专题含解析
多边形和平行四边形一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=度，□ABCD的周长为cm．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为cm．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为．二、选择题4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB 6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．多边形和平行四边形参考答案与试题解析一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=50度，□ABCD的周长为24cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行边形性质中对角、对边相等可知，∠B=∠D=50°，平行四边形的周长=2（AB+BC）．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B∵∠B=50°∴∠D=50°②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD∵AB=5cm，BC=7cm∴□ABCD的周长为：2（AB+BC）=24cm．故答案为50、24．【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为8cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）=28，则AB+BC=14cm，而△ABC的周长=AB+BC+AC=22，所以AC=22﹣14=8cm．【解答】解：∵□ABCD的周长是28 cm∴AB+AD=14cm∵△ABC的周长是22cm∴AC=22﹣（AB+AC）=8cm故答案为8．【点评】在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择地使用，避免混淆性质，以致错用性质．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为2．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】作EF∥AB，交AD于F，可证ABEF、CDFE为平行四边形，又AE平分∠BAD，可进一步证明AB=BE，ABEF为菱形，则AF=AB=3，DF=5﹣3=2，则EC=2．【解答】解：过点E作EF∥AB，交AD于F∵在□ABCD，EF∥AB∴AB=EF，AF=BE∵∠FAE=∠BAE∴△AFE≌△ABE∴AB=BE=EF=AF∴ABEF为菱形∴EC=AD﹣AB=2．故答案为：2．【点评】此题综合性较强，考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、角平分线的定义等知识点．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称∴C点坐标为（2，﹣3）．故选D．【点评】主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系．要会根据平行四边形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键．5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB【考点】平行四边形的判定．【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是C【解答】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；B、根据平行四边形的定义即可判定，故正确；C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误．D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确．故选C．【点评】此题主要考查对平行四边形的判定掌握的熟练程度．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对【考点】平行四边形的性质．【专题】应用题；压轴题．【分析】由于在平行四边形中，已给出条件MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此，MN、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，所以红、紫四边形的高相等，由此可证明S1S4=S2S3．【解答】解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，因为DE=AF，EC=FB，故A错误；S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误；S1S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以S1S4=S2S3，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的是平行四变形的性质，平行四边形两组对边分别平行且相等，同时充分利用等量相加减原理解题，否则容易从直观上判断B是正确的．7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质．【解答】解：A、∵AD∥BC∴△AFD∽△EFB∴====4S△EFB；故S△AFDB、由A中的相似比可知，BF=DF，正确．C、由∠AEC=∠DCE可知正确．D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明．故选：A．【点评】解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系．三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四边形AFCE是平行四边形．（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．∴∠ADE=∠CBF=60°．∵AE=AD，CF=CB，∴△AED，△CFB是正三角形．∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．∴∠ADE=∠CBF．∵AE=AD，CF=CB，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．∴∠AED=∠CFB．又∵AD=BC，在△ADE和△CBF中．，∴△ADE≌△CBF（AAS）．∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．又∵∠DAB=∠BCD，∴∠EAF=∠FCE．∴四边形EAFC是平行四边形．【点评】本题考查了等边三角形的性质及平行四边形的判定．多种知识综合运用是解题中经常要遇到的．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）先判定四边形AFGC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等的性质知AC=FG；然后由被平行线所截的线段对应成比例（==）求出PE与PG的数量关系，解答到此，来证明AC=PE+PF的问题就迎刃而解了．（2）推理类同于（1）．【解答】证明：（1）延长FP交DC于点G，∵AB∥CD，AC∥FG，∴四边形AFGC是平行四边形，∴AC=FG（平行四边形的对边相等），∵EG∥AC，∴==（被平行线所截的线段对应成比例）；又∵OA=OC，∴PE=PG，∴AC=FG=PF+PG=PE+PF；（2）若点P在BD延长线上，AC=PF﹣PE．如下图所示若点P在DB延长线上，AC=PE﹣PF．如下图所示．．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；解一元二次方程﹣公式法；勾股定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG 即可；（2）解法1：在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；解法2，通过△AEF∽△ACB，可将线段EF的长求出．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA．∴∠GAH=∠ECF，∴AG∥CE．又∵AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形．（2）解法1：在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，∴AC=5．∵CF=CB=3，∴AF=2．在Rt△AEF中，设EF=x，则AE=4﹣x．根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2，即（4﹣x）2=22+x2．解得x=，即线段EF长为cm．解法2：∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC，∴△AEF∽△ACB，∴．∴，解得，即线段EF长为cm．【点评】本题考查图形的折叠变化，关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．【考点】二次函数综合题；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函数可求出AE和PE，即可求出面积；（2）①此题应分情况讨论，因为两个动点运动速度不同，所以有点P与点Q都在AB 上运动、点P在BC上运动点Q仍在AB上运动、点P和点Q都在BC上运动三种情况，在每种情况下可利用三角函数分别求出我们所需要的值，进而求解．②在①的基础上，首先①求出函数关系式之后，根据t的取值范围不同函数最大值也不同．【解答】解：（1）当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．（2分）=；∴S△APE（2）①当0≤t＜6时，点P与点Q都在AB上运动，如图所示：设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=t，AP=t+2，AG=1+，PG=+t．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t+；②当6≤t＜8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4﹣，QF=t，BP=t﹣6，CP=10﹣t，PG=（10﹣t），而BD=4，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=﹣t2+10t﹣34，③当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20﹣2t，QF=（20﹣2t），CP=10﹣t，PG=（10﹣t）．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．（14分）故S关于t的函数关系式为；②（附加题）当0≤t＜6时，S的最大值为，（1分）当6≤t＜8时，S的最大值为6，（舍去），（2分）当8≤t≤10时，S的最大值为6，（3分）所以当t=8时，S有最大值为6．（如正确作出函数图象并根据图象得出最大值，同样给4分）【点评】此题解答需数形结合，把函数知识和几何知识紧密联系在一起，难易程度适中．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是S1×S3=S2×S4或．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】压轴题；新定义；开放型．【分析】（1）在BD上任选一点E（不与B、D重合），连接AE、CE即可；（2）根据等底等高，可得结论：①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②S1×S3=S2×S4或等．【解答】解：（1）比如：（2）①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②∵分别作△ABD与△BCD的高，h1，h2，则=，=，∴S1×S3=S2×S4或等．【点评】此题主要考查学生的阅读理解能力和对等底等高知识的灵活应用．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分，根据线段垂直平分线的性质，则只需要在其中一条对角线上找到和对角线的交点不重合的点即可；（2）根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则可作对角线BD的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点即为所求作；（3）只需说明PD=PB即可．根据已知的条件可以根据AAS证明△DCF≌△BCE，则∠CDB=∠CBD，进而得到∠PDB=∠PBD，证明结论即可；（4）根据上述确定准等距点的方法：即作其中一条对角线的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点．所以分析讨论的时候，主要是根据两条对角线的位置关系进行分析讨论．【解答】解：（1）如图2，点P即为所画点；（1分）（2）如图3，点P即为所作点（作法不唯一）；（2分）（3）连接DB．在△DCF与△BCE中，∠DCF=∠BCE，∠CDF=∠CBE，CF=CE．∴△DCF≌△BCE（AAS），∴CD=CB，∴∠CDB=∠CBD，∴∠PDB=∠PBD，∴PD=PB，∵PA≠PC，∴点P是四边形ABCD的准等距点．（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．（7分）【点评】关键是熟悉菱形的性质，能够根据线段垂直平分线的性质的逆定理进行分析作图，能够根据找准等距点的方和四边形中两条对角线的位置关系判断准等距点的个数．14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】连接BE，根据边角边可证△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因为BC⊥AC，所以DE也和AC 垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．【解答】解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．（2）如图4，如图5．（3）方法一：如图6，连接BE，∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB．∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵平行四边形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．方法二：如图7，连接BE，PB，AE，∵PM=ME，AM=MB，∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE，PA=BE，余下部分同方法一：方法三：如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，∵平行四边形PADC，∴AN=NC，PN=ND．∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=BC．又∵PN=ND，PM=ME，∴MN∥DE，MN=DE．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及全等的应用，难易程度适中．。
2020中考数学 几何专题：平行四边形(含答案)
【答案】如图过M作 ，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，得NE=AM，ME⊥BC.
∵ME=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC.
∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4.
∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE.
∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°.
例题18.如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积.
【答案】6提示：由△ABC≌△DBF，△ABC≌△EFC得：AC=DF=AE，AB=EF=AD.故四边形AEFD为平行四边形.又∠BAC=90°，则∠DAE=360°－90°－60°－60°=150°，则∠ADF=∠AEF=30°，则F到AD的距离为2，故 .
【答案】
例题8.如图，□ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，若△CDM周长为a，那么□ABCD的周长为________.
【答案】
例题9.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，过C作CF∥AB，连结AF与BC相交于G，若GF＝2AC，则∠BAG的大小是________.
其中，正确的命题有（）
A.①②B.③④C.③D.①②③④
【答案】B
例题4.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝ ，AF平分∠DAB，过点C作CE⊥BD于E，延长AF，EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED.正确的是（）
A.②③B.③④C.①②④D.②③④
情形：①与③；②与④；⑤与⑥；①与②；③与④；①与⑤；①与⑥；③与⑤；③与⑥.
2020年中考数学人教版专题复习：多边形与平行四边形
2020年中考数学人教版专题复习：多边形与平行四边形考点梳理多边形多边形内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；多边形外角和：任意多边形的外角和为360°；正多边形是各边相等，各角也相等的多边形．典例精析典例1 若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】180°×（n–2）=720°，解得n=6．故选B．典例2 如果一个多边形的每一个外角都是60°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】C【解析】多边形外角和为360°，此多边形外角个数为：360°÷60°=6，所以此多边形是六边形.故选C．【名师点睛】计算正多边形的边数，可以用外角和除以每个外角的度数得到.拓展1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是A．17 B．16 C．15 D．16或15或17 2．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形平行四边形的性质平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等，角相等提供了新的理论依据．典例精析典例3 在Y ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是A ．3∶4∶3∶4B ．5∶2∶2∶5C ．2∶3∶4∶5D ．3∶3∶4∶4【答案】A【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C ，∠B =∠D ，∴在Y ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可能是：3∶4∶3∶4．故选A ．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质．熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键． 拓展3．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为 A ．4，4，8，8B ．5，5，7，7C ．5.5，5.5，6.5，6.5D ．3，3，9，9平行四边形的判定平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定．对于平行四边形的判定方法，应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面． 典例精析典例4 如图，已知平行四边形ABCD 的对角线的交点是O ，直线EF 过O 点，且平行于AD ，直线GH 过O 点且平行于AB ，则图中平行四边形共有A ．15个B ．16个C ．17个D ．18个【答案】D【解析】平行四边形有：AEOG ，AEFD ，ABHG ，GOFD ，GHCD ，EBHO ，EBCF ，OHCF ，ABCD ，EHFG ，AEHO ，AOFG ，EODG ，BHFO ，HCOE ，OHFD ，OCFG ，BOGE ． 共18个． 故选D ． 拓展Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y YY Y Y4．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形同步测试1．下面四个图形中，是多边形的是2．一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是A．3 B．4 C．5 D．63．n边形的边数增加一倍,它的内角和增加A．180°B．360°C．(n–2)·180°D．n180°4．平行四边形一定具有的性质是A．四边都相等B．对角相等C．对角线相等D．是轴对称图形5．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交DC于E，若∠DEA=30°，则∠B= A．100°B．120°C．135°D．150°6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG=EF，其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AB =10 cm ，AD =8 cm ，AC ⊥BC ，则OB =_________cm ．8．一个平行四边形两对角之和为116°，则相邻的两内角分别是__________和_________． 9．如图，某人从点A 出发，前进5 m 后向右转60°，再前进5 m 后又向右转60°，这样一直走下去，当他第一次回到出发点A 时，共走了__________m ．10．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，，则的度数为__________．11．如图，在平行四边形ABCD 中，若AB =6，AD =10，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，求DF 的长．Y ABCD BD A A '1248∠=∠=︒A ∠'12．如图，在ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接AE ，F 为CD 边上一点，且满足∠DFA =2∠BAE ．（1）若∠D =105°，∠DAF =35°．求∠FAE 的度数； （2）求证：AF =CD +CF ．13．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，D 为AB 边上一点，连接CD ，E 为CD 的中点，连接BE 并延长至点F ，使得EF =EB ，连接DF 交AC 于点G ，连接CF ． （1）求证：四边形DBCF 是平行四边形； （2）若∠A =30°，BC =4，CF =6，求CD 的长．Y14．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．。
中考数学 真题精选 专题试卷 多边形与平行四边形(含答案解析) (含答案解析)
多边形与平行四边形一．选择题1.（，广东）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A.矩形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形答案：A.分析：平行四边形只是中心对称图形，正五边形、正三角形只是轴对称图形，只有矩形符合。
60，则这个正多边形是2.（，湖北孝感）已知一个正多边形的每个外角等于A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形考点：多边形内角与外角．.分析：多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．解答：设所求正n边形边数为n，则60°•n=360°，解得n=6．故正多边形的边数是6．故选B．点评：本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．3．（•河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤考点：三角形中位线定理；平行线之间的距离．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．解答：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选B．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．4．（•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC 的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．14考点：三角形中位线定理．分析：首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．解答：解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，∴DE∥BC且DE=AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2=12．故选：C．点评：（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．5．（•铁岭）如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形中位线定理逐项分析即可．解答：解：A、∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，∴DE=AC，DF=AB，∵AC≠AB，∴DE≠DF，故该选项错误；B、由A选项的思路可知，B选项错误、C、∵S△ABD=BD•h，S△ACD=CD•h，BD=CD，∴S△ABD=S△ACD，故该选项正确；D、∵BD=CD，AB≠AC，∴AD不平分∠BAC，故选C．点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6．（•安顺）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．解答：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．7．（•衢州）如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12cm，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=8cm，∴CE=BC﹣BE=4cm；故答案为：C．点评：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．8．（•玉林）如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）A．1 B． 2 C． 3 D． 4考点：平行四边形的性质．分析：根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC=MC=2，根据▱ABCD的周长是14，求出CD=5，得到DM的长．解答：解：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD﹣MC=3，故选：C．点评：本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出BC+CD 是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．9．（•绥化）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．分析：由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．10．（•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B． 6 C．8 D．10考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—基本作图．专题：计算题．分析：由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．解答：解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．11．（•本溪）如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，∵▱ABCD的周长为20cm，∴x+x+2=10，解得：x=4，即AB=4cm，故选D．点评：本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中．12．（•福建）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC=BD D．OA=OC考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质推出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC，但是AC和BD不一定相等，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质的应用，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角线互相平分．13．（•营口）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（）A．61° B．63° C．65° D．67°考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA=42°，∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．14．（•巴彦淖尔）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值为（）A．24 B．12 C．6 D．3考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ 面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．解答：解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF=BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12．故选：B．点评：此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．15．（•陕西）在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7 B．4或10 C．5或9 D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：分类讨论．分析：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，在△ABE中，根据勾股定理可得x2+（14﹣x）2=102，解得x1=6，x2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．16．（•常州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．解答：解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．点评：本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．17．（•淄博）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：平行四边形的性质；等边三角形的判定；翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的性质可得∠E=∠B=60°，进而可证明△BEC是等边三角形，再根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，所以可得∠EAF=60°，进而可证明△EFA是等边三角形，由等边三角形的性质可得∠EFA=∠DFC=60°，又因为∠D=∠B=60°，进而可证明△DFC是等边三角形，问题得解．解答：解：∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，∴∠E=∠B=60°，∴△BEC是等边三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D=∠B=60°，∴∠B=∠EAF=60°，∴△EFA是等边三角形，∵∠EFA=∠DFC=60°，∠D=∠B=60°，∴△DFC是等边三角形，∴图中等边三角形共有3个，故选B．点评：本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等边三角形的各种判定方法特别是经常用到的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形．18．（•连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．分析：由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确；由矩形和正方形的判定方法得出C、D不正确．解答：解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选：B．点评：本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．19．（•绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．24考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．解答：解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE===5．∵BE=DE=3，AE=CE=5，∴四边形ABCD是平行四边形．四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24，故选：D．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．二．填空题1. （广东）正五边形的外角和等于（度）.【答案】360.【解析】n边形的外角和都等于360度。
2020-2021学年九年级数学中考复习数学《多边形与平行四边形》专题训练【含答案】
三、解答题
19.
证明：∵∠B＝90°，AC＝2AB， 1
∴sin∠ACB＝2，
∴∠ACB＝30°，(1分)
∴∠CAB＝60°，
∵AD平分∠CAB， 1
∴∠CAD＝2∠CAB＝30°，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴AD＝CD，(3分)
∵AF∥CD，
∴∠DCE＝∠FAE，∠AFE＝∠CDE， 又∵AE＝CE， ∴△AFE≌△CDE(AAS)，(6分)
5
5
2
15 3
②当M在OC上，Q在BC上时， 5 ＜t≤ 3 ．
2
因为 BQ 2t 5 ，所以 PF 11 t (2t 5) 16 3t ．
因此 S 1 PF PM 2t2 32 t ．
2
3
③当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和 t 2t 11 5 ，解得 t 16 ．
3
因此当M、Q都在BC上，相遇前， 3＜t≤ 16 ，PM＝4， MQ 16 t 2t 16 3t ．
17.
如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长 为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部(包括边 界)，则正方形边长a的取值范围是________．
18.
如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直 线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条 直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周 长为______________（用含t的代数式表示）．
3.
如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的 周长是14，则DM等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
多边形与平行四边形(共27题)(解析版)--2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
多边形与平行四边形(27题)一、单选题1(2023·湖南·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A.AB=CDB.AB∥CDC.∠A=∠CD.BC=AD【答案】A【分析】依据平行四边形的判定，依次分析判断即可得出结果．【详解】解：A、当BC∥AD，AB=CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；B、当AB∥CD，BC∥AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；C、当BC∥AD，∠A=∠C时，可推出AB∥DC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、当BC∥AD，BC=AD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要熟记平行四边形的判定方法．2(2023·湖南永州·统考中考真题)下列多边形中，内角和等于360°的是()A. B.C. D.【答案】B【分析】根据n边形内角和公式n-2⋅180°分别求解后，即可得到答案【详解】解：A．三角形内角和是180°，故选项不符合题意；B．四边形内角和为4-2×180°=360°，故选项符合题意；C．五边形内角和为5-2×180°=540°，故选项不符合题意；D．六边形内角和为6-2×180°=720°，故选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了n边形内角和，熟记n边形内角和公式n-2⋅180°是解题的关键．3(2023·湖南·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平形四边形，则下列正确的是()A.AD=BCB.∠ABD=∠BDCC.AB=ADD.∠A=∠C【答案】D【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．【详解】解：A．根据AB∥CD，AD=BC，不能判断四边形ABCD为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；B．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，不能判断四边形ABCD为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；C．根据AB∥CD，AB=AD，不能判断四边形ABCD为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意； D．∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180°，∵∠A=∠C∴∠ABC+∠A=180°，∴AD∥BC∴四边形ABCD为平形四边形，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．4(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时，若△ABE平移到△DCF，a=4，h=3，则△ABE的平移距离为()A.3B.4C.5D.12【答案】B【分析】根据平移的方向可得，△ABE平移到△DCF，则点A与点D重合，故△ABE的平移距离为AD的长．【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时，将△ABE平移到△DCF，故平移后点A与点D重合，则△ABE的平移距离为AD=a=4，故选：B．【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．5(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD=4，CD=6，则EO的长为()A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得AP=AD= 4，进而可得BP=2，再根据三角形的中位线解答即可.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，CD=6，∴AB∥CD，AB=CD=6，DO=BO，∴∠CDP=∠APD，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP=∠CDP，∴∠ADP=∠APD，∴AP=AD=4，∴BP=AB-AP=6-4=2，∵E是PD中点，BP=1；∴OE=12故选：A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键.6(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是()A.AC=BDB.OA=OCC.AC⊥BDD.∠ADC=∠BCD【答案】B【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，A. AC=BD，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；B. OA=OC，故该选项正确，符合题意；C. AC⊥BD，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；D. ∠ADC=∠BCD，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．7(2023·安徽·统考中考真题)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC,OD，则∠BAE-∠COD=()A.60°B.54°C.48°D.36°【答案】D【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．【详解】∵∠BAE=180°-360°5,∠COD=360°5，∴∠BAE-∠COD=180°-360°5-360°5=36°，故选D．【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．二、填空题8(2023·云南·统考中考真题)五边形的内角和是度．【答案】540【分析】根据n边形内角和为n-2×180°求解即可．【详解】五边形的内角和是5-2×180°=540°．故答案为：540．【点睛】本题考查求多边形的内角和．掌握n边形内角和为n-2×180°是解题关键．9(2023·新疆·统考中考真题)若正多边形的一个内角等于144°，则这个正多边形的边数是．【答案】10【分析】本题需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可．【详解】解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：n-2×180°÷n=144°，解得：n=10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关键．10(2023·上海·统考中考真题)如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为．【答案】18【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．【详解】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n，则n=360÷20=18，故这个正多边形的边数为18，故答案为：18．【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．11(2023·江苏扬州·统考中考真题)如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是．【答案】6【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6．故答案为：6.12(2023·山东临沂·统考中考真题)如图，三角形纸片ABC中，AC=6，BC=9，分别沿与BC，AC 平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是．【答案】14【分析】由平行四边形的性质推出DF∥BC，DE∥AC，得到△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，由题意得ADAB=13，四边形DECF是平行四边形，∴DF∥BC，DE∥AC，∴△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，∴DF BC =ADAB=13，DEAC=BDAB=23，∵AC=6，BC=9，∴DF=3，DE=4，∵四边形DECF平行四边形，∴平行四边形DECF纸片的周长是23+4=14，故答案为：14．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13(2023·湖南·统考中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为．【答案】2【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，则∠AEB=∠CBE，再由角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，从而求得∠AEB=∠ABE，则AE=AB，从而求得结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵∠B的平分线BE交AD于点E，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∵AB=3，BC=5，∴DE=AD-AE=BC-AB=5-3=2，故答案为：2．【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键．14(2023·重庆·统考中考真题)如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠BAC的度数为．【答案】36°【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三角形的性质可得∠BAC的度数．【详解】正五边形内角和：(5-2)×180°=3×180°=540°∴∠B=540°5=108°，∴∠BAC=180°-∠B2=180°-108°2=36° .故答案为36°．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式：(n-2)×180°是解答此题的关键．15(2023·湖北黄冈·统考中考真题)若正n边形的一个外角为72°，则n=．【答案】5【分析】正多边形的外角和为360°，每一个外角都相等，由此计算即可．【详解】解：由题意知，n=36072=5，故答案为：5．【点睛】本题考查正多边形的外角问题，解题的关键是掌握正n边形的外角和为360°，每一个外角的度数均为360°n．16(2023·福建·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB,CD 于点E,F．若AE=10，则CF的长为．【答案】10【分析】由平行四边形的性质可得DC∥AB,DC=AB即∠OFD=∠OEB,∠ODF=∠EBO，再结合OD =OB可得△DOF≌△BOE AAS可得DF=EB，最进一步说明FC=AE=10即可解答．【详解】解：∵ABCD中，∴DC∥AB,DC=AB，∴∠OFD=∠OEB,∠ODF=∠EBO，∵OD=OB，∴△DOF≌△BOE AAS，∴DF=EB，∴DC-DF=AB-BE,即FC=AE=10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答本题的关键．17(2023·山东·统考中考真题)已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．【答案】5【详解】设这个多边形是n边形，由题意得，(n-2)×180°=540°，解之得，n=5．18(2023·甘肃兰州·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，BD=CD，AE⊥BD于点E，若∠C=70°，则∠BAE=°．【答案】50【分析】证明∠DBC=∠C=70°，∠BDC=180°-2×70°=40°，由AB∥CD，可得∠ABE=∠BDC=40°，结合AE⊥BD，可得∠BAE=90°-40°=50°．【详解】解：∵BD=CD，∠C=70°，∴∠DBC=∠C=70°，∠BDC=180°-2×70°=40°，∵▱ABCD，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠BDC=40°，∵AE⊥BD，∴∠BAE=90°-40°=50°；故答案为：50【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．19(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B ，折痕为AF，则∠AFB 的大小为度．【答案】45【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为155-2×180°=108°，根据折叠的性质求得∠BAM,∠FAB ,在△AFB 中，根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵正五边形的每一个内角为155-2×180°=108°，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，则∠BAM=12∠BAE=12×108°=54°，∵将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B ，折痕为AF，∴∠FAB =12∠BAM=12×54°=27°，∠AB F=∠B=108°，在△AFB 中，∠AFB =180°-∠B-∠FAB =180°-108°-27°=45°，故答案为：45．【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．20(2023·重庆·统考中考真题)若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为．【答案】800°/800度【分析】根据多边形的内角和公式180°n-2即可得．【详解】解：∵七边形的内角中有一个角为100°，∴其余六个内角之和为180°×7-2-100°=800°，故答案为：800°．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．三、解答题21(2023·四川自贡·统考中考真题)在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD和BC上，且DE =BF．求证：AF=CE．【答案】见解析【分析】平行四边形的性质得到AD=BC,AD∥BC，进而推出AE=CF，得到四边形AECF是平行四边形，即可得到AF=EC．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AD∥BC，∵BE=DF，∴AE=CF，∴AE=CF,AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．22(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．(1)求证：四边形DEFG为平行四边形(2)DG⊥BH，BD=3，EF=2，求线段BG的长度．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)由三角形中位线定理得到DE∥BC,DE=12BC，GF∥BC,GF=12BC，得到GF∥DE,GF=DE，即可证明四边形DEFG为平行四边形；(2)由四边形DEFG为平行四边形得到DG=EF=2，由DG⊥BH得到∠DGB=90°，由勾股定理即可得到线段BG的长度．【详解】(1)解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC,DE=12BC，∵点G、F分别为BH、CH的中点．∴GF∥BC,GF=12BC，∴GF∥DE,GF=DE，∴四边形DEFG为平行四边形；(2)∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF=2，∵DG ⊥BH ，∴∠DGB =90°，∵BD =3，∴BG =BD 2-DG 2=32-22=5．【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形DEFG 为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键．23(2023·浙江杭州·统考中考真题)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ，点E ,F 在对角线BD 上，且BE =EF =FD ，连接AE ,EC ，CF ,FA ．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形．(2)若△ABE 的面积等于2，求△CFO 的面积．【答案】(1)见解析(2)1【分析】(1)根据平行四边形对角线互相平分可得OA =OC ，OB =OD ，结合BE =FD 可得OE =OF ，即可证明四边形AECF 是平行四边形；(2)根据等底等高的三角形面积相等可得S △AEF =S △ABE =2，再根据平行四边形的性质可得S △CFO =12S △CEF =12S △AEF =12×2=1．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，OB =OD ，∵BE =FD ，∴OB -BE =OD -FD ，∴OE =OF ，又∵OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．(2)解：∵S △ABE =2，BE =EF ，∴S △AEF =S △ABE =2，∵四边形AECF 是平行四边形，∴S △CFO =12S △CEF =12S △AEF =12×2=1．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．24(2023·山东·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ；CF 平分∠BCD ，交AD 于点F ．求证：AE =CF ．【答案】证明见解析【分析】由平行四边形的性质得∠B =∠D ，AB =CD ，AD ∥BC ，由平行线的性质和角平分线的性质得出∠BAE =∠DCF ，可证△BAE ≌△DCF ，即可得出AE =CF ．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B =∠D ，AB =CD ，∠BAD =∠DCB ，AD ∥BC ，∵AE 平分∠BAD ，CF 平分∠BCD ，∴∠BAE =∠DAE =∠BCF =∠DCF ，在△BAE 和△DCF 中，∠B =∠DAB =CD∠BAE =∠DCF∴△BAE ≌△DCF ASA ∴AE =CF ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及全等三角形的判定与性质，根据题目已知条件熟练运用平行四边形的性质，平行线的性质是解答本题的关键．25(2023·重庆·统考中考真题)学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC 的垂直平分线交DC 于点E ，交AB 于点F ，垂足为点O ．(只保留作图痕迹)已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，EF 垂直平分AC ，垂足为点O ．求证：OE =OF ．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ．∴∠ECO =①．∵EF 垂直平分AC ，∴②．又∠EOC =_③．∴ΔCOE ≅ΔAOF ASA ．∴OE =OF ．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线④．【答案】作图：见解析；∠FAO；AO=CO；∠FOA；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO=∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴AO=CO．又∠EOC=∠FOA．∴△COE≅△AOF ASA．∴OE=OF．故答案为：∠FAO；AO=CO；∠FOA；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．26(2023·四川南充·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE=∠ADF．求证：(1)AE=CF；(2)BE∥DF．【答案】见解析【分析】(1)根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求证∠ABE=∠CDF，最后证明△ABE≌△CDF ASA即可求出答案．(2)根据三角形全等证明角度相等，再利用邻补角定义推出∠BEF=∠EFD即可证明两直线平行．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠ABC=∠ADC，∴∠BAE=∠FCD．∵∠CBE=∠ADF，∠ABC=∠ADC，∴∠ABE=∠CDF．∴△ABE≌△CDF ASA．∴AE=CF．(2)证明：由(1)得△ABE≌△CDF ASA，∴∠AEB=∠CFD．∵∠AEB+∠BEF=180°，∠CFD+∠EFD=180°，∴∠BEF=∠EFD．∴BE∥DF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，邻补角定义，三角形全等，平行线的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．27(2023·四川广安·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O,BE⊥AC，DF ⊥AC，垂足分别为点E、F，且AF=CE,∠BAC=∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】见详解【分析】先证明△AEB≌△CFD(ASA)，再证明AB=CD,AB∥CD，再由平行四边形的判定即可得出结论．【详解】证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵AF=CE,AE=AF-EF,CF=CE-EF,∴AE=CF,又∵∠BAC=∠DCA，∴△AEB≌△CFD(ASA)，∴AB=CD，∵∠BAC=∠ACD，∴AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．。
中考数学真题《多边形与平行四边形》专项测试卷(附答案)
中考数学真题《多边形与平行四边形》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（27题）一 、单选题1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 BC ∥AD 添加下列条件 不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB ＝CD B ．AB ∥CDC ．∥A ＝∥CD ．BC ＝AD2．（2023·湖南永州·统考中考真题）下列多边形中 内角和等于360︒的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 AB CD ∥ 若添加一个条件 使四边形ABCD 为平形四边形，则下列正确的是（ ）A ．AD BC =B ．ABD BDC ∠=∠ C ．AB AD = D ．A C ∠=∠4．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S ah =时 若ABE 平移到DCF 4a = 3h =，则ABE 的平移距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．125．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，ABCD 的对角线AC BD 相交于点O ADC ∠的平分线与边AB 相交于点P E 是PD 中点 若4=AD 6CD =，则EO 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在ABCD 中 对角线AC 与BD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AC BD =B ．OA OC = C ．AC BD ⊥ D ．ADC BCD ∠=∠7．（2023·安徽·统考中考真题）如图，正五边形ABCDE 内接于O 连接,OC OD ，则BAE COD ∠-∠=（ ）A ．60︒B ．54︒C ．48︒D ．36︒二 填空题8．（2023·云南·统考中考真题）五边形的内角和是________度．9．（2023·新疆·统考中考真题）若正多边形的一个内角等于144︒，则这个正多边形的边数是 ______． 10．（2023·上海·统考中考真题）如果一个正多边形的中心角是20︒ 那么这个正多边形的边数为________． 11．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如果一个正多边形的一个外角是60° 那么这个正多边形的边数是_____． 12．（2023·山东临沂·统考中考真题）如图，三角形纸片ABC 中 69AC BC ==， 分别沿与BC AC ，平行的方向 从靠近A 的AB 边的三等分点剪去两个角 得到的平行四边形纸片的周长是____________．13．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中 3AB = 5BC = B ∠的平分线BE 交AD 于点E ，则DE 的长为_____________．14．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正五边形ABCDE 中 连接AC ，则∥BAC 的度数为_____．15．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）若正n 边形的一个外角为72︒，则n =_____________．16．（2023·福建·统考中考真题）如图，在ABCD 中 O 为BD 的中点 EF 过点O 且分别交,AB CD 于点,E F ．若10AE =，则CF 的长为___________．17．（2023·山东·统考中考真题）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 18．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在ABCD 中 BD CD = AE BD ⊥于点E 若70C ∠=︒，则BAE ∠=______︒．19．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，将正五边形纸片ABCDE 折叠 使点B 与点E 重合 折痕为AM 展开后 再将纸片折叠 使边AB 落在线段AM 上 点B 的对应点为点B ' 折痕为AF ，则AFB '∠的大小为__________度．20．（2023·重庆·统考中考真题）若七边形的内角中有一个角为100︒，则其余六个内角之和为________．三 解答题21．（2023·四川自贡·统考中考真题）在平行四边形ABCD 中 点E F 分别在边AD 和BC 上 且DE BF =． 求证：AF CE =．22．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示 在ABC 中 点D E 分别为AB AC 、的中点 点H 在线段CE 上 连接BH 点G F 分别为BH CH 、的中点．(1)求证：四边形DEFG 为平行四边形(2)32DG BH BD EF ⊥==，， 求线段BG 的长度．23．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O 点,E F 在对角线BD 上 且BE EF FD == 连接,AE EC ,CF FA ．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形．(2)若ABE 的面积等于2 求CFO △的面积．24．（2023·山东·统考中考真题）如图，在ABCD 中 AE 平分BAD ∠ 交BC 于点E CF 平分BCD ∠ 交AD 于点F ．求证：AE CF =．25．（2023·重庆·统考中考真题）学习了平行四边形后 小虹进行了拓展性研究．她发现 如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线 那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规 作AC 的垂直平分线交DC 于点E 交AB 于点F 垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形 AC 是对角线 EF 垂直平分AC 垂足为点O ．求证：OE OF =．证明：∥四边形ABCD 是平行四边形∥DC AB ∥．∥ECO ∠= ∥ ．∥EF 垂直平分AC∥ ∥ ．又EOC ∠=___________∥ ．∥()COE AOF ASA ∆≅∆．∥OE OF =．小虹再进一步研究发现 过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线 ∥ ．26．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，在ABCD 中 点E F 在对角线AC 上 CBE ADF ∠=∠．求证：(1)AE CF =(2)BE DF ∥．27．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 AC 与BD 交于点,O BE AC ⊥ DF AC ⊥ 垂足分别为点E F 、 且,AF CE BAC DCA =∠=∠．求证：四边形ABCD 是平行四边形．参考答案一单选题1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中BC∥AD添加下列条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB＝CD B．AB∥CD C．∥A＝∥C D．BC＝AD【答案】A【分析】依据平行四边形的判定依次分析判断即可得出结果．【详解】解：A 当BC∥AD AB＝CD时不能判定四边形ABCD是平行四边形故此选项符合题意B 当AB∥CD BC∥AD时依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形能判定四边形ABCD是平行四边形故此选项不合题意C 当BC∥AD∥A＝∥C时可推出AB∥DC依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形能判定四边形ABCD是平行四边形故此选项不合题意D 当BC∥AD BC＝AD时依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形能判定四边形ABCD是平行四边形故此选项不合题意故选：A．【点睛】此题考查了平行四边形的判定解决问题的关键要熟记平行四边形的判定方法．2．（2023·湖南永州·统考中考真题）下列多边形中内角和等于360︒的是（）A．B．C．D．【答案】Bn-⋅︒分别求解后即可得到答案【分析】根据n边形内角和公式()2180【详解】解：A．三角形内角和是180︒故选项不符合题意B ．四边形内角和为()42180360-⨯︒=︒ 故选项符合题意C ．五边形内角和为()52180540-⨯︒=︒ 故选项不符合题意D ．六边形内角和为()62180720-⨯︒=︒ 故选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查了n 边形内角和 熟记n 边形内角和公式()2180n -⋅︒是解题的关键．3．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 AB CD ∥ 若添加一个条件 使四边形ABCD 为平形四边形，则下列正确的是（ ）A ．AD BC =B ．ABD BDC ∠=∠ C ．AB AD = D ．A C ∠=∠【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．【详解】解：A ．根据AB CD ∥ AD BC = 不能判断四边形ABCD 为平形四边形 故该选项不正确 不符合题意B ． ∥AB CD ∥ ∥ABD BDC ∠=∠ 不能判断四边形ABCD 为平形四边形 故该选项不正确 不符合题意C ．根据AB CD ∥ AB AD = 不能判断四边形ABCD 为平形四边形 故该选项不正确 不符合题意D ．∥AB CD ∥∥180ABC C ∠+∠=︒∥A C ∠=∠∥180ABC A ∠+∠=︒∥AD BC ∥∥四边形ABCD 为平形四边形故该选项正确 符合题意故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理 熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．4．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S ah =时 若ABE 平移到DCF 4a = 3h =，则ABE 的平移距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．12【答案】B 【分析】根据平移的方向可得 ABE 平移到DCF ，则点A 与点D 重合 故ABE 的平移距离为AD 的长．【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式S ah =时 将ABE 平移到DCF 故平移后点A 与点D 重合，则ABE 的平移距离为4AD a ==故选：B ．【点睛】本题考查了平移的性质 熟练掌握平移的性质是解题的关键．5．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，ABCD 的对角线AC BD 相交于点O ADC ∠的平分线与边AB 相交于点P E 是PD 中点 若4=AD 6CD =，则EO 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质 平行线的性质 角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得4AP AD == 进而可得2BP = 再根据三角形的中位线解答即可.【详解】解：∥四边形ABCD 是平行四边形 6CD =∥AB CD 6AB CD == DO BO =∥CDP APD ∠=∠∥PD 平分ADC ∠∥ADP CDP ∠=∠∥ADP APD ∠=∠∥4AP AD ==∥642BP AB AP =-=-=∥E 是PD 中点∥112OE BP == 故选：A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质 平行线的性质 等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识 熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键.6．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在ABCD 中 对角线AC 与BD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AC BD =B ．OA OC = C ．AC BD ⊥ D ．ADC BCD ∠=∠【答案】B【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】∥四边形ABCD 是平行四边形 对角线AC 与BD 相交于点OA. AC BD = 不一定成立 故该选项不正确 不符合题意B. OA OC = 故该选项正确 符合题意C. AC BD ⊥ 不一定成立 故该选项不正确 不符合题意D. ADC BCD ∠=∠ 不一定成立 故该选项不正确 不符合题意故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质 熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．7．（2023·安徽·统考中考真题）如图，正五边形ABCDE 内接于O 连接,OC OD ，则BAE COD ∠-∠=（）A ．60︒B ．54︒C ．48︒D ．36︒【答案】D【分析】先计算正五边形的内角 再计算正五边形的中心角 作差即可．【详解】∥360360180,55BAE COD ︒︒∠=︒-∠=∥3603601803655BAE COD ︒︒∠-∠=︒--=︒ 故选D ． 【点睛】本题考查了正五边形的外角 内角 中心角的计算 熟练掌握计算公式是解题的关键．二 填空题8．（2023·云南·统考中考真题）五边形的内角和是________度．【答案】540【分析】根据n 边形内角和为()2180n -⨯︒求解即可．【详解】五边形的内角和是()52180540-⨯︒=︒．故答案为：540．【点睛】本题考查求多边形的内角和．掌握n 边形内角和为()2180n -⨯︒是解题关键．9．（2023·新疆·统考中考真题）若正多边形的一个内角等于144︒，则这个正多边形的边数是 ______．【答案】10【分析】本题需先根据已知条件设出正多边形的边数 再根据正多边形的计算公式得出结果即可．【详解】解：设这个正多边形是正n 边形 根据题意得：()2180144n n -⨯︒÷=︒解得：10n =．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角 在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关键． 10．（2023·上海·统考中考真题）如果一个正多边形的中心角是20︒ 那么这个正多边形的边数为________．【答案】18【分析】根据正n 边形的中心角的度数为360n ︒÷进行计算即可得到答案．【详解】根据正n 边形的中心角的度数为360n ︒÷则3602018n =÷=故这个正多边形的边数为18故答案为：18．【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识 掌握中心角的计算公式是解题的关键．11．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如果一个正多边形的一个外角是60° 那么这个正多边形的边数是_____．【答案】6【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等 得多边形的边数为360°÷60°=6．故答案为：6.12．（2023·山东临沂·统考中考真题）如图，三角形纸片ABC 中 69AC BC ==， 分别沿与BC AC ，平行的方向 从靠近A 的AB 边的三等分点剪去两个角 得到的平行四边形纸片的周长是____________．【答案】14【分析】由平行四边形的性质推出DF BC ∥ DE AC ∥ 得到∽ADF ABC BDE BAC ∽△△ 利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，由题意得13AD AB = 四边形DECF 是平行四边形∥DF BC ∥ DE AC ∥ ∥∽ADF ABC BDE BAC ∽△△ ∥13DF AD BC AB == 23DE BD AC AB == ∥69AC BC ==，∥3DF = 4DE =∥四边形DECF 平行四边形∥平行四边形DECF 纸片的周长是()23414+=故答案为：14．【点睛】本题考查了平行四边形的性质 相似三角形的判定和性质 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中 3AB = 5BC = B ∠的平分线BE 交AD 于点E ，则DE 的长为_____________．【答案】2【分析】根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，则AEB CBE ∠=∠ 再由角平分线的定义可得ABE CBE ∠=∠ 从而求得AEB ABE ∠=∠，则AE AB = 从而求得结果．【详解】解：∥四边形ABCD 是平行四边形∥AD BC ∥∥AEB CBE ∠=∠∥B ∠的平分线BE 交AD 于点E∥ABE CBE ∠=∠∥AEB ABE ∠=∠∥AE AB =∥3AB = 5BC =∥===53=2DE AD AE BC AB ---故答案为：2．【点睛】本题考查平行四边形的性质 角平分线的定义 等腰三角形的判定 掌握平行四边形的性质是解题的关键．14．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正五边形ABCDE 中 连接AC ，则∥BAC 的度数为_____．【答案】36°【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和 再求得每个内角的度数 利用等腰三角形的性质可得∥BAC 的度数．【详解】正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540° ∥5401085B ︒︒∠==∥180B 1801083622BAC ︒︒︒︒-∠-∠=== . 故答案为36°．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和 熟记多边形的内角和公式：（n -2）×180°是解答此题的关键． 15．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）若正n 边形的一个外角为72︒，则n =_____________．【答案】5【分析】正多边形的外角和为360︒ 每一个外角都相等 由此计算即可．【详解】解：由题意知 360572n == 故答案为：5．【点睛】本题考查正多边形的外角问题 解题的关键是掌握正n 边形的外角和为360︒ 每一个外角的度数均为360n ︒． 16．（2023·福建·统考中考真题）如图，在ABCD 中 O 为BD 的中点 EF 过点O 且分别交,AB CD 于点,E F ．若10AE =，则CF 的长为___________．【答案】10【分析】由平行四边形的性质可得,DC AB DC AB =∥即,OFD OEB ODF EBO ∠=∠∠=∠ 再结合OD OB=可得()AAS DOF BOE ≌△△可得DF EB = 最进一步说明10FC AE ==即可解答． 【详解】解：∥ABCD 中∥,DC AB DC AB =∥∥,OFD OEB ODF EBO ∠=∠∠=∠∥OD OB =∥()AAS DOF BOE ≌△△ ∥DF EB =∥DC DF AB BE -=-,即10FC AE ==．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质 全等三角形的判定与性质等知识点 证明三角形全等是解答本题的关键．17．（2023·山东·统考中考真题）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．【答案】5【详解】设这个多边形是n 边形 由题意得(n -2) ×180°=540° 解之得 n =5．18．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在ABCD 中 BD CD = AE BD ⊥于点E 若70C ∠=︒，则BAE ∠=______︒．【答案】50【分析】证明70DBC C ∠=∠=︒ 18027040BDC ∠=︒-⨯︒=︒ 由AB CD ∥ 可得40ABE BDC ∠=∠=︒ 结合AE BD ⊥ 可得904050BAE ∠=︒-︒=︒．【详解】解：∥BD CD = 70C ∠=︒∥70DBC C ∠=∠=︒ 18027040BDC ∠=︒-⨯︒=︒∥ABCD∥AB CD ∥∥40ABE BDC ∠=∠=︒∥AE BD ⊥∥904050BAE ∠=︒-︒=︒故答案为：50【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质 平行四边形的性质 三角形的内角和定理的应用 熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．19．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，将正五边形纸片ABCDE 折叠 使点B 与点E 重合 折痕为AM 展开后 再将纸片折叠 使边AB 落在线段AM 上 点B 的对应点为点B ' 折痕为AF ，则AFB '∠的大小为__________度．【答案】45【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为()5218101508-⨯︒=︒ 根据折叠的性质求得,,BAM FAB '∠∠在AFB '中 根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∥正五边形的每一个内角为()5218101508-⨯︒=︒ 将正五边形纸片ABCDE 折叠 使点B 与点E 重合 折痕为AM 则111085422BAM BAE ∠=∠=⨯︒=︒ ∥将纸片折叠 使边AB 落在线段AM 上 点B 的对应点为点B ' 折痕为AF ∥11542722FAB BAM '∠=∠=⨯︒=︒ 108AB F B '∠=∠=︒ 在AFB '中 1801801082745AFB B FAB ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为：45．【点睛】本题考查了折叠的性质 正多边形的内角和的应用 熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 20．（2023·重庆·统考中考真题）若七边形的内角中有一个角为100︒，则其余六个内角之和为________．【答案】800︒/800度【分析】根据多边形的内角和公式()1802n ︒-即可得．【详解】解：∥七边形的内角中有一个角为100︒∥其余六个内角之和为()180********︒⨯--︒=︒故答案为：800︒．【点睛】本题考查了多边形的内角和 熟记多边形的内角和公式是解题关键．三 解答题21．（2023·四川自贡·统考中考真题）在平行四边形ABCD 中 点E F 分别在边AD 和BC 上 且DE BF =．求证：AF CE =．【答案】见解析【分析】平行四边形的性质得到,AD BC AD BC = 进而推出AE CF = 得到四边形AECF 是平行四边形 即可得到AF EC =． 【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形∴,AD BC AD BC =BE DF =AE CF ∴=∥,AE CF AE CF =∥∴四边形AECF 是平行四边形AF CE ∴=．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定方法 是解题的关键． 22．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示 在ABC 中 点D E 分别为AB AC 、的中点 点H 在线段CE 上 连接BH 点G F 分别为BH CH 、的中点．(1)求证：四边形DEFG 为平行四边形(2)32DG BH BD EF ⊥==，， 求线段BG 的长度．【答案】(1)见解析 5【分析】（1）由三角形中位线定理得到1,2DE BC DE BC =∥ 1,2GF BC GF BC =∥ 得到,GF DE GF DE =∥ 即可证明四边形DEFG 为平行四边形（2）由四边形DEFG 为平行四边形得到2DG EF == 由DG BH ⊥得到90DGB ∠=︒ 由勾股定理即可得到线段BG 的长度．【详解】（1）解：∥点D E 分别为AB AC 、的中点 ∥1,2DE BC DE BC =∥ ∥点G F 分别为BH CH 的中点． ∥1,2GF BC GF BC =∥ ∥,GF DE GF DE =∥∥四边形DEFG 为平行四边形（2）∥四边形DEFG 为平行四边形∥2DG EF ==∥DG BH ⊥，∥90DGB ∠=︒∥3BD = ∥2222325BG BD DG =--【点睛】此题考查了中位线定理 平行四边形的判定和性质 勾股定理等知识 证明四边形DEFG 为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键．23．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O 点,E F 在对角线BD 上 且BE EF FD == 连接,AE EC ,CF FA ．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形．(2)若ABE 的面积等于2 求CFO △的面积．【答案】(1)见解析(2)1【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA OC = OB OD = 结合BE FD =可得OE OF = 即可证明四边形AECF 是平行四边形（2）根据等底等高的三角形面积相等可得2AEF ABE S S == 再根据平行四边形的性质可得11121222CFO CEF AEF S S S ===⨯=． 【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形∴OA OC = OB OD =BE FD =∴OB BE OD FD -=-∴OE OF =又OA OC =∴四边形AECF 是平行四边形．（2）解：2ABE S = BE EF = ∴2AEF ABE S S ==四边形AECF 是平行四边形∴11121222CFO CEF AEF S S S ===⨯=． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质 解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 24．（2023·山东·统考中考真题）如图，在ABCD 中 AE 平分BAD ∠ 交BC 于点E CF 平分BCD ∠ 交AD 于点F ．求证：AE CF =．【答案】证明见解析【分析】由平行四边形的性质得B D ∠=∠ AB CD = AD BC ∥ 由平行线的性质和角平分线的性质得出BAE DCF ∠=∠ 可证BAE DCF ≌△△ 即可得出AE CF =．【详解】证明：∥四边形ABCD 是平行四边形∥B D ∠=∠ AB CD = BAD DCB ∠=∠ AD BC ∥∥AE 平分BAD ∠ CF 平分BCD ∠∥BAE DAE BCF DCF ∠=∠=∠=∠在BAE 和DCF 中B D AB CDBAE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∥()ASA BAE DCF ≌∥AE CF =．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质 平行线的性质及全等三角形的判定与性质 根据题目已知条件熟练运用平行四边形的性质 平行线的性质是解答本题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）学习了平行四边形后 小虹进行了拓展性研究．她发现 如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线 那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规 作AC 的垂直平分线交DC 于点E 交AB 于点F 垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形 AC 是对角线 EF 垂直平分AC 垂足为点O ．求证：OE OF =．证明：∥四边形ABCD 是平行四边形∥DC AB ∥．∥ECO ∠= ∥ ．∥EF 垂直平分AC∥ ∥ ．又EOC ∠=___________∥ ．∥()COE AOF ASA ∆≅∆．∥OE OF =．小虹再进一步研究发现 过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线 ∥ ．【答案】作图：见解析 FAO ∠ AO CO = FOA ∠ 被平行四边形一组对边所截 截得的线段被对角线中点平分【分析】根据线段垂直平分线的画法作图 再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求证明：∥四边形ABCD 是平行四边形∥DC AB ∥．∥ECO ∠= FAO ∠．∥EF 垂直平分AC∥AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∥()COE AOF ASA ≅．∥OE OF =．故答案为：FAO ∠ AO CO = FOA ∠由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截 截得的线段被对角线中点平分故答案为：被平行四边形一组对边所截 截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质 作线段的垂直平分线 全等三角形的判定和性质 熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．26．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，在ABCD 中 点E F 在对角线AC 上 CBE ADF ∠=∠．求证：(1)AE CF =(2)BE DF ∥．【答案】见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等 再利用已知条件求证ABE CDF ∠=∠ 最后证明()ASA ABE CDF ≌△△即可求出答案．（2）根据三角形全等证明角度相等 再利用邻补角定义推出BEF EFD ∠=∠即可证明两直线平行．【详解】（1）证明：四边形ABCD 为平行四边形AB CD ∴∥ AB CD = ABC ADC ∠=∠BAE FCD ．CBE ADF ∠=∠ ABC ADC ∠=∠ABE CDF ∴∠=∠．()ASA ABE CDF ∴≌．AE CF ∴=．（2）证明：由（1）得()ASA ABE CDF ≌△△ AEB CFD ∴∠=∠．180AEB BEF ∠+∠=︒ 180CFD EFD ∠+∠=︒BEF EFD ∴∠=∠．BE DF ∴∥．【点睛】本题考查了平行四边形的性质 邻补角定义 三角形全等 平行线的判定 解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．27．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 AC 与BD 交于点,O BE AC ⊥ DF AC ⊥ 垂足分别为点E F 、 且,AF CE BAC DCA =∠=∠．求证：四边形ABCD 是平行四边形．【答案】见详解【分析】先证明()≌ASA AEB CFD 再证明 ,AB CD AB CD =∥ 再由平行四边形的判定即可得出结论．【详解】证明：BE AC ⊥ DF AC ⊥90AEB CFD ∴∠=∠=︒,,,AF CE AE AF EF CF CE EF ==-=-,AE CF ∴=又BAC DCA ∠=∠(ASA)∴≌AEB CFD∴=AB CD∠=∠∥BAC ACD∴∥AB CD四边形ABCD是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定全等三角形的判定与性质等知识熟练掌握平行四边形的判定证明三角形全等是解题的关键．。
【精编版】2020年部分省市中考数学试题分类汇编多边形与平行四边形(含详解答案)doc初中数学
【精编版】2020年部分省市中考数学试题分类汇编多边形与平行四边形（含详解答案）doc 初中数学多边形与平行四边形一、选择题1. (2018年四川眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，那么∠ABC 的度数为〔 〕A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】C2.〔2018福建龙岩〕以下图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是〔 〕A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形 【答案】C 3．〔2018年北京顺义〕假设一个正多边形的一个内角是120°，那么那个正多边形的边数是A ．9B ．8C ．6D ．4 【答案】C4. 〔2018年台湾省〕 图(十)为一个平行四边形ABCD ，其中H 、G 两点分不在BC 、 CD 上，AH ⊥BC ，AG ⊥CD ，且AH 、AC 、AG 将∠BAD 分成 ∠1、∠2、∠3、∠4四个角。
假设AH =5，AG =6，那么以下关系何者 正确？ (A) ∠1=∠2 (B) ∠3=∠4 (C) BH =GD (D) HC =CG 【关键词】平行四边形【答案】A二、填空题1.〔2018年福建福州〕14.如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，假设AC=14，BD=8，AB=10，那么△OAB 的周长为 . 【答案】212.〔2018年福建宁德〕如图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2， 那么FC 等于_____． 【答案43.(2018年山东滨州)如图,平行四边形ABCD 中, ∠ABC=60°,E 、F 分不在CD 、BC 的延长线上,AE ∥BD,EF ⊥BC,DF=2,那么EF 的长为ABC EFAB CD G H 123 4图(十)FEDC BA【答案】4.〔2018年福建宁德〕如图，在△ABC 中，点E 、F 分不为AB 、AC 的中点．假设EF 的长为2，那么BC 的长为___________. 【答案】4三、解答题1. (2018年福建晋江)如图，请在以下四个关系中，选出两个恰．．．当．的关系作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明．〔写出一种即可〕关系：①AD ∥BC ，②CD AB =，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B ．：在四边形ABCD 中， ， ； 求证：四边形ABCD 是平行四边形．解：：①③，①④，②④，③④均可,其余均不能够. 〔解法一〕：在四边形ABCD 中，①AD ∥BC ，③C A ∠=∠.……………………〔2分〕 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵ AD ∥BC∴︒=∠+∠180B A ，︒=∠+∠180D C ………………………………………〔5分〕 ∵C A ∠=∠，∴D B ∠=∠∴四边形ABCD 是平行四边形…………………………………………………〔8分〕 〔解法二〕：在四边形ABCD 中，①AD ∥BC ，④︒=∠+∠180C B .………………〔2分〕ABCD第4题图FA E BCD求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵︒=∠+∠180C B ，∴AB ∥CD ……………………………………………………………………〔5分〕 又∵AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形．…………………………………………………〔8分〕 〔解法三〕：在四边形ABCD 中，②CD AB =，④︒=∠+∠180C B .………………〔2分〕 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵︒=∠+∠180C B ，∴AB ∥CD ……………………………………………………………………〔5分〕 又∵CD AB =∴四边形ABCD 是平行四边形．…………………………………………………〔8分〕 〔解法四〕：在四边形ABCD 中，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B .………………〔2分〕 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵︒=∠+∠180C B ，∴AB ∥CD ……………………………………………………………………〔4分〕 ∴︒=∠+∠180D A ………………………………………………………………〔6分〕 又∵C A ∠=∠ ∴D B ∠=∠∴四边形ABCD 是平行四边形．…………………………………………………〔8分〕2. (2018年浙江衢州)：如图，E ，F 分不是ABCD 的边AD ，BC 的中点．求证：AF =CE ．证明：方法1：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，且E ，F 分不是AD ，BC 的中点，∴ AE= CF ． ……2分又 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ，即AE ∥CF ．∴ 四边形AFCE 是平行四边形． ……3分 ∴ AF =CE ．……1分方法2：A D EB CA D EBC (第19题)∵ 四边形ABCD 是平行四边形，且E ，F 分不是AD ，BC 的中点， ∴ BF =DE ． ……2分又 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ∠B =∠D ，AB =CD ． ∴ △ABF ≌△CDE ． ……3分∴ AF =CE ．……1分3．〔2018浙江省嘉兴〕如图，在□ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上且AE ＝CF ．〔1〕求证：DE ＝BF ；〔2〕连结BD ，并写出图中所有的全等三角形．〔不要求证明〕 【关键词】平行四边形的判定与性质、全等三角形 【答案】〔1〕在□ABCD 中，AB //CD ，AB =CD ．∵AE =CF ，∴BE =DF ，且BE //DF ． ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴BF DE ． …5分 〔2〕连结BD ，如图， 图中有三对全等三角形： △ADE ≌△CBF ， △BDE ≌△DBF ，△ABD ≌△CDB ． …3分4. (2018年山东滨州)如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分不是AB 、BC 、CD 、DA 的中点. (1)请判定四边形EFGH 的形状？并讲明什么缘故.(2)假设使四边形EFGH 为正方形，那么四边形ABCD 的对角线应具有如何样的性质？解：(1) 四边形EFGH 为平行四边形，连接AC ∵E 、F 分不是AB 、BC 的中点，EF ∥AC ，EF=21AC. 同理HG ∥AC ，HG=21AC. ∴EF ∥HG, EF=HG.∴四边形EFGH 是平行四边形(2) 四边形ABCD 的对角线垂直且相等.5.〔2018年江苏泰州〕如图，四边形ABCD 是矩形，∠EDC =∠CAB ，∠DEC =90°．BD EF 〔第3题〕AB CD(1)求证：AC ∥DE ；(2)过点B 作BF ⊥AC 于点F ，连结EF ，试判定四边形BCEF 的形状，并讲明理由．【答案】⑴在矩形ABCD 中，AC ∥DE ，∴∠DCA =∠CAB ，∵∠EDC =∠CAB ， ∴∠DCA =∠EDC ，∴AC ∥DE ； ⑵四边形BCEF 是平行四边形．理由：由∠DEC =90°，BF ⊥AC ，可得∠AFB =∠DEC =90°， 又∠EDC =∠CAB ，AB=CD ，∴△DEC ≌△AFB ，∴DE =AF ，由⑴得AC ∥DE ， ∴四边形AFED 是平行四边形，∴AD ∥EF 且AD =EF ， ∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC 且AD =BC ， ∴EF ∥BC 且EF =BC ，∴四边形BCEF 是平行四边形．【关键词】矩形的性质 平行四边形的判定 全等三角形的判定6.〔2018年福建晋江〕如图，请在以下四个关系中，选出两个恰当．．．．的关系作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明．〔写出一种即可〕关系：①AD ∥BC ，②CD AB =，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B ． ：在四边形ABCD 中， ， ； 求证：四边形ABCD 是． 【关键词】平行四边形的判定【答案】：①③，①④，②④，③④均可,其余均不能够. 〔解法一〕：在四边形ABCD 中，①AD ∥BC ，③C A ∠=∠.……………………〔2分〕 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵ AD ∥BC∴︒=∠+∠180B A ，︒=∠+∠180D C ∵C A ∠=∠，∴D B ∠=∠ ∴四边形ABCD 是平行四边形 〔解法二〕：在四边形ABCD 中，①AD ∥BC ，④︒=∠+∠180C B .求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵︒=∠+∠180C B ， ∴AB ∥CD 又∵AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形． 〔解法三〕：在四边形ABCD 中，②CD AB =，④︒=∠+∠180C B . 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵︒=∠+∠180C B ， ∴AB ∥CD 又 ∵CD AB =∴四边形ABCD 是平行四边形． 〔解法四〕：在四边形ABCD 中，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B . 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵︒=∠+∠180C B ， ∴AB ∥CD∴︒=∠+∠180D A 又∵C A ∠=∠ ∴D B ∠=∠∴四边形ABCD 是平行四边形． 7.〔2018年贵州毕节地区〕如图，： ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠的平分线BG 交CE 于F，交AD 于G ．求证：AE DG =．【关键词】平行四边形、角平分线【答案】证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形〔〕，AD BC ∴∥，AB CD =〔平行四边形的对边平行，对边相等〕GBC BGA ∴∠=∠，BCE CED ∠=∠〔两直线平行，内错角相等〕 又∵ BG 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠〔〕ABG GBC ∴∠=∠，BCE ECD ∠=∠〔角平分线定义〕 ABG GBA ∴∠=∠，ECD CED ∠=∠．AB AG ∴=，CE DE =〔在同一个三角形中，等角对等边〕 AG DE ∴=AG EG DE EG ∴-=-，即AE DG =． 分7.〔2018年重庆市潼南县〕如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分不在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. 〔1〕证明：△AB E ≌△DAF ； A B CE FG〔2〕假设∠AGB =30°，求EF 的长.【关键词】全等三角形 【答案】解：〔1〕∵四边形ABCD 是正方形∴AB=AD在△ABE 和△DAF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠3412DA AB ∴△ABE ≌△DAF -----------------------4分〔2〕∵四边形ABCD 是正方形∴∠1+∠4=900∵∠3=∠4∴∠1+∠3=900∴∠AFD=900----------------------------6分 在正方形ABCD 中， AD ∥BC∴∠1=∠AGB=300在Rt △ADF 中，∠AFD=900AD=2∴AF=3 DF =1----------------------------------------8分 由(1)得△ABE ≌△ADF ∴AE=DF=1∴EF=AF-AE=13- -----------------------------------------10分8.〔2018年江苏宿迁〕如图，在□ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．求证：∠EBF =∠FDE ．【关键词】平行四边形 【答案】证明：连接BD 交AC 于O 点 …… 1分∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA=OC ，OB=OD ………………3分 又∵AE=CF ∴OE=OF∴四边形BEDF 是平行四边形 …… 6分 ∴∠EBF=∠EDF …………… 8分9.〔2018年浙江宁波〕如图1，有一张菱形纸片ABCD ，8=AC ，6=BD .〔1〕请沿着AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;假设沿着BD 剪开， 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直截了当写出这两个平行四边 形的周长。
中考数学总复习：多边形与平行四边形--考点例题讲解+练习(基础).doc
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】中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解（基础）【考纲要求】【：多边形与平行四边形考纲要求】1. 多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系．B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形．(2)平行四边形A：会识别平行四边形．B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题．C：会运用平行四边形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n －2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要点诠释】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．【要点诠释】1.平行四边形的面积=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1．（2015•葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．60° B．65° C．55° D．50°【思路点拨】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．【答案】A【解析】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故选：A．【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．举一反三：【变式】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=_________.【答案】40°.2．(2011·十堰)现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝360°，但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.举一反三：【变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】B.类型二：平行四边形及其他知识的综合运用3．（2014春•章丘市校级月考）如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN∥MF．【思路点拨】连接ME，FN，由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线互相平分，利用AAS得到三角形AOE与三角形COF全等，利用全等三角形对应边相等得到OE=OF，同理得到三角形BOM与三角形DON全等，得到OM=ON，进而确定出四边形MEFN为平行四边形，利用平行四边形的对边平行即可得证．【答案与解析】证明：连接ME，FN，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE⊥BD，CF⊥BD，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，同理△BOM≌△DON，得到OM=ON，∴四边形EMFN为平行四边形，∴EN∥MF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．4.如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使，点E、F分别为边BC、AC 的中点.（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于G，求证：AG=DG.【思路点拨】（1）E、F分别为BC、AC中点，则EF为△ABC的中位线，所以EF∥AB，.而.则EF=AD.从而易证△DAF≌△EFC, 则DF=CE=BE.(2) AG与DG在同一个三角形中,只需证∠D=∠DAG即可.【答案与解析】（1）∵点E、F分别为BC、AC的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ EF∥AB，.又∵，∴ EF=AD.∵ EF∥AB，∴∠EFC=∠BAC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=90.又∵ F是AC的中点，∴AF=CF，∴△DAF≌△EFC.∴DF=EC=BE.（2）由(1)知∵△DAF≌△EFC，∴∠D=∠FEC.又∵ EF∥AB，∴∠B=∠FEC.又∵ AG∥BC，∴∠DAG=∠B，∴∠ DAG=∠FEC∴∠D=∠DAG.∴AG=DG.【总结升华】三角形中位线定理的作用：位置关系——可以证明两条直线平行；数量关系——可以证明线段的相等或倍分.此外应注意三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形.举一反三：【变式】如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C.5．如图：六边形ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD ⊥BD．已知FD=4cm，BD=3cm．则六边形ABCDEF的面积是_________cm2．【思路点拨】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．【答案与解析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，∴AE=BD，AC=FD，∵FD⊥BD，∴∠GDH=90°，∴四边形AHDG是矩形，∴AH=DG∵EH=AE-AH，BG=BD-DG∴EH=BG．∴六边形ABCDEF的面积=平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=3×4=12cm2．故答案为：12.【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．6 .（2012•厦门）已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P 作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．（1）如图，若PE=3，EO=1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+32-4，求BC的长．【思路点拨】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=12AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．【答案与解析】（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE=3，EO=1，∴tan∠EPO=33 EOPE=，∴∠EPO=30°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠PFO=90°，在Rt△PEO和Rt△PFO中，PO PO PE PF=⎧⎨=⎩，∴R t△PEO≌Rt△PFO（HL），∴∠FPO=∠EPO=30°，∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴PF∥AO，且PF=12 AO，∵PF⊥BD，∴∠PFD=90°，∴∠AOD=∠PFD=90°，又∵PE⊥AC，∴∠AEP=90°，∴∠AOD=∠AEP，∴PE∥OD，∵点P是AD的中点，∴PE是△AOD的中位线，∴PE=12 OD，∵PE=PF，∴AO=OD，且AO⊥OD，∴平行四边形ABCD是正方形，设BC=x，则BF=22x+12×22x=324x，∵BF=BC+32-4=x+32 -4，∴x+32-4=324x，解得x=4，即BC=4．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形ABCD是正方形是解题的关键．举一反三：【变式】如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，－1），且P（－1，－2）是双曲线上的一点，Q为坐标平面上的一动点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，是否可以使△OBQ与△OAP面积相等？（3）如图2，点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图1 图2【答案】（1）正比例函数解析式为，反比例函数解析式为．（2）当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为，，解得.所以点Q的坐标为和．（3）因为P（，），由勾股定理得OP＝，平行四边形OPCQ周长=．因为点Q在第一象限中的双曲线上，所以可设点Q的坐标为，由勾股定理可得，通过图形分析可得：OQ有最小值2，即当Q为第一象限中的双曲线与直线的交点时，线段OQ的长度最小．所以平行四边形OPCQ周长的最小值：．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
2020年中考数学考点总动员第19讲 平行四边形(含多边形)(含答案解析)
第19讲 平行四边形(含多边形)1．平行四边形 (1)性质：①平行四边形两组对边分别__相等__； ②平行四边形对角相等，邻角__互补__； ③平行四边形对角线互相__平分__； ④平行四边形是__中心__对称图形． (2)判定方法：①定义：两组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ②两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形； ④两组对角 分别相等 的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 2．多边形及其性质 (1)多边形：①内角和定理：n 边形的内角和等于 (n －2)·180° ； ②外角和定理：n 边形的外角和为 360°；③对角线：过n 边形的一个顶点可引n －3条对角线，n 边形共有 n （n －3）2 条对角线．(2)正多边形：①正多边形各边相等，各内角相等，各外角相等；②正n 边形的每一个内角为（n －2）180°n (n≥3)，每一个外角为360°n；③对称性：所有的正多边形都是轴对称图形，正n 边形有_n__条对称轴；当n 是奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形；当n 是偶数时，既是轴对称图形又是中心对称图形.考点1：多边形内角和计算【例题1】在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°.(1)如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数；(2)是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由． 【解析】：(1)设这个外角的度数是x °.由题意，得 (5－2)×180－(180－x)＋x ＝600.解得x ＝120. 故这个外角的度数是120°.(2)存在．设这个多边形的边数为n ，这个外角的度数是x °.由题意，得 (n －2)×180－(180－x)＋x ＝600. 整理，得x ＝570－90n.∵0＜x ＜180，即0＜570－90n ＜180. 解得413<n<613.又∵n 为正整数，∴n ＝5或n ＝6. 当n ＝6时，x ＝30.故这个多边形的边数是6，这个外角的度数为30°.归纳：本题注意隐含条件的挖掘，即邻补角和为180°及凸多边形的一个内角是小于平角的角． 考点2：平行四边形的性质与判定【例题2】(2017·大庆)如图，以BC 为底边的等腰△ABC ，点D ，E ，G 分别在BC ，AB ，AC 上，且EG ∥BC ，DE ∥AC ，延长GE 至点F ，使得BE ＝BF . (1)求证：四边形BDEF 为平行四边形；(2)当∠C ＝45°，BD ＝2时，求D ，F 两点间的距离．【解析】(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形， ∴∠ABC ＝∠C . ∵EG ∥BC ，DE ∥AC ，∴∠AEG ＝∠ABC ＝∠C ，四边形CDEG 是平行四边形， ∴∠DEG ＝∠C ＝∠AEG . ∵BE ＝BF ，∴∠F ＝∠BEF ＝∠AEG ， ∴∠F ＝∠DEG ， ∴BF ∥DE .又∵EG ∥BC ，即FE ∥BD ， ∴四边形BDEF 为平行四边形；(2)解：∵∠C ＝45°，∴∠ABC ＝∠BFE ＝∠BEF ＝45°， ∴△BDE ，△BEF 均是等腰直角三角形， ∴BF ＝BE ＝22BD ＝ 2. 过点F 作FM ⊥BD 交DB 的延长线于点M ，连接DF ，如解图所示．则△BFM 是等腰直角三角形． ∴FM ＝BM ＝22BF ＝1， ∴DM ＝3.在Rt△DFM 中，由勾股定理得DF ＝12＋32＝10. 即D ，F 两点间的距离为10.考点3： 关于平行四边形的综合探究问题【例题3】(2018四川省眉山市15分 ) 如图①，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于点E ，AB=AC=BD ，点M 为BC 中点，N 为线段AM 上的点，且MB=MN.（1）求证：BN 平分∠ABE ；（2）若BD=1，连结DN ，当四边形DNBC 为平行四边形时，求线段BC 的长； （3）如图②，若点F 为AB 的中点，连结FN 、FM ，求证：△MFN ∽△BDC. 【答案】（1）证明：∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, 又∵M 为BC 中点， ∴AM ⊥BC ， 在Rt △ABM 中， ∴∠ABC+∠MAB=90°, ∵AC ⊥BD ，在Rt△CBE中，∴∠ACB+∠EBC=90°,∴∠MAB=∠EBC,又∵MB=MN，AM⊥BC，∴△NBM为等腰直角三角形，∴∠MBN=∠MNB=45°,∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°,∵∠MAB=∠EBC,∴∠NBE=∠ABN,∴BN平分∠ABE.（2）解：∵四边形DNBC为平行四边形，设BM=CM=MN=a，则DN=BC=2a，在△ABN和△DBN中，∵∴△ABN≌△DBN中（SAS），∴AN=DN=2a，在Rt△ABM中，∵BD=1，AB=AC=BD，∴AB=1，∴AM2+BM2=AB2，∴（2a+a）2+a2=1，解得：a= .∴BC=2a= .（3）解证明：∵MB=MN，M为BC中点，∴MN=MB= BC，又∵F是AB的中点，AB=AC=BD，在Rt△ABM中，∴MF=AF=BF= AB= BD，∴∠MAB=∠FMN,由（1）知∠MAB=∠EBC,∴∠FMN=∠EBC,又∵,∴△MFN∽△BDC.一、选择题：1. （2018·浙江宁波·4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解答】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．故选：D．2. 在平行四边形ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（）A．∠D=60° B．∠A=120°C．∠C+∠D=180°D．∠C+∠A=180°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，而∠B=60°，∴∠A=∠C=120°，∠D=60°．所以D是错误的．故选D．3. （2018•宁波）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）A．50° B．40° C．30° D．20°【答案】B【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，∴EO是△DBC的中位线，∴EO∥BC，∴∠1=∠ACB=40°．故选：B．4. （2018·浙江省台州·4分）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA 的延长线于点E，则AE的长是（）A．B．1 C．D．【答案】B【解答】解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠DCE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，∴BE=BC=3，∵AB=2，∴AE=BE﹣AB=1，故选：B．5. （2018•陕西•3分）点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E.F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是（）. A．2S1＝3S2. B．2S1＝S2. C． S1＝3S2. D．3S1＝2S2.【答案】A【详解】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，∴S平行四边形ABCD=AB•2ON， S平行四边形ABCD=BC•2OM，∴AB•ON=BC•OM，∵S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC，∴S1=AB•ON，S2=BC•OM，∴2S1＝3S2，故答案为：2S1＝3S2.故选A.二、填空题：6. （2018·湖南省衡阳·3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是．【答案】16【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=MC．∴△CDM的周长=AD+CD=8，∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16．故答案为16．7. （2018•十堰）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为．【答案】14【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，∴△OCD的周长=5+4+5=14，故答案为14．8. （2018•株洲市•3分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.【答案】6【解析】分析：根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=3，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AP=AM=6．详解：∵BD=CD，AB=CD，∴BD=BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴DN=AM=3，又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，∴∠P=∠PAM，∴△APM是等腰直角三角形，∴AP=AM=6，故答案为：6．9. （2018•无锡）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是．【答案】2≤a+2b≤5．【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH=EP=a，∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．三、解答题：10. 已知n 边形的内角和θ＝(n －2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n ；若不对，说明理由；(2)若n 边形变为(n ＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x. 【解析】：(1)甲对，乙不对．理由：∵θ＝360°，∴(n －2)×180＝360.解得n ＝4. ∵θ＝630°，∴(n －2)×180＝630.解得n ＝112.∵n 为整数，∴θ不能取630°. ∴甲对，乙不对． (2)依题意，得(n －2)×180＋360＝(n ＋x －2)×180. 解得x ＝2.11. (2017·河北模拟)看图回答问题：(1)内角和为2 018°，佳佳为什么说不可能？ (2)音音求的是几边形的内角和？【解析】：(1)∵n 边形的内角和是(n －2)·180°， ∴内角和一定是180°的倍数． ∵2 018÷180＝11……38， ∴内角和为2 018°不可能． (2)设漏加的内角为x °，依题意，得 (n －2)·180＝2 018＋x ， ∴x ＝180n －2 378.∵90＜x ＜180，∴90＜180n －2 378＜180. 解得133245＜n ＜141990，且n 为整数．∴多边形的边数是14.故音音求的是十四边形的内角和．12. 如图，在▱ABCD 中，E ，F 在对角线AC 上．(1)若BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的中线，求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的角平分线，四边形BEDF 还是平行四边形吗？若BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的高线时，四边形BEDF 还是平行四边形吗？【点拨】(1)可从对角线互相平分上证明四边形BEDF 是平行四边形；(2)BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的角平分线和高线时，可得到△BOE ≌△DOF ，仍有OE ＝OF ，则有四边形BEDF 是平行四边形． 【解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的中线， ∴OE ＝OF.∴四边形BEDF 是平行四边形． (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD ，AB ∥CD. ∴∠ABO ＝∠CDO.∵BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的角平分线， ∴∠OBE ＝∠ODF. 又∵∠BOE ＝∠DOF ， ∴△BOE ≌△DOF(ASA)． ∴OE ＝OF.∴四边形BEDF 是平行四边形．同理可证得BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的高线时，仍有四边形BEDF 是平行四边形．13. 正方形ABCD 的边长是5，点M 是直线AD 上一点，连接BM ，将线段BM 绕点M 逆时针旋转90°得到线段ME ，在直线AB 上取点F ，使AF ＝AM ，且点F 与点E 在AD 同侧，连接EF ，DF.(1)如图1，当点M 在DA 延长线上时，求证：△ADF ≌△ABM ；(2)如图2，当点M 在线段AD 上时，求证：四边形DFEM 是平行四边形；(3)在(2)的条件下，线段AM 与线段AD 有什么数量关系时，四边形EFDM 的面积最大？并求出这个面积的最大值．图1图2 【解析】：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAF ＝∠BAM ＝90°，AD ＝AB.在△ADF 和△ABM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ，AD ＝AB ，∴△ADF ≌△ABM(SAS)．(2)证明：延长BM 交DF 于K.∵△ADF ≌△ABM ，∴DF ＝BM ，∠ABM ＝∠ADF.∵EM ＝BM ，∴EM ＝DF.∵∠ABM ＋∠AMB ＝90°，∠AMB ＝∠DMK ，∴∠ADF ＋∠DMK ＝90°.∴∠BKD ＝90°.∵∠EMB ＝90°，∴∠EMB ＝∠BKF ＝90°.∴EM ∥DF.∴四边形EFDM 是平行四边形．(3)设DM ＝x ，则AM ＝AF ＝5－x ，S ▱EFDM ＝DM ·AF ＝x(5－x)＝－(x －52)2＋254.∵－1＜0，∴x ＝52时，▱EFDM 的面积最大，最大面积为254，即当AM ＝12AD 时，▱EFDM 的面积最大，最大面积为254. 14. 正方形ABCD 的边长是5，点M 是直线AD 上一点，连接BM ，将线段BM 绕点M 逆时针旋转90°得到线段ME ，在直线AB 上取点F ，使AF ＝AM ，且点F 与点E 在AD 同侧，连接EF ，DF.(1)如图1，当点M 在DA 延长线上时，求证：△ADF ≌△ABM ；(2)如图2，当点M 在线段AD 上时，求证：四边形DFEM 是平行四边形；(3)在(2)的条件下，线段AM 与线段AD 有什么数量关系时，四边形EFDM 的面积最大？并求出这个面积的最大值．图1图2 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAF ＝∠BAM ＝90°，AD ＝AB.在△ADF 和△ABM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ，AD ＝AB ，∴△ADF ≌△ABM(SAS)．(2)证明：延长BM 交DF 于K.∵△ADF ≌△ABM ，∴DF ＝BM ，∠ABM ＝∠ADF.∵EM ＝BM ，∴EM ＝DF.∵∠ABM ＋∠AMB ＝90°，∠AMB ＝∠DMK ，∴∠ADF ＋∠DMK ＝90°.∴∠BKD ＝90°.∵∠EMB ＝90°，∴∠EMB ＝∠BKF ＝90°.∴EM ∥DF.∴四边形EFDM 是平行四边形．(3)设DM ＝x ，则AM ＝AF ＝5－x ，S ▱EFDM ＝DM ·AF ＝x(5－x)＝－(x －52)2＋254. ∵－1＜0，∴x ＝52时，▱EFDM 的面积最大，最大面积为254， 即当AM ＝12AD 时，▱EFDM 的面积最大，最大面积为254.。
2020-2021学年九年级中考专题复习：多边形与平行四边形(含答案)
2020-2021中考专题复习：多边形与平行四边形一、选择题1. （2020·温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为A．40°B．50°C．60°D．70°2. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是()A. 10B. 14C. 20D. 223. 将一个n边形变成(n＋2)边形，内角和将()A．减少180°B．增加180°C．减少360°D．增加360°4. 对于任意的矩形，下列说法一定正确的是A．对角线垂直且相等B．四边都互相垂直C．四个角都相等D．是轴对称图形，但不是中心对称图形5. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是()A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形6. （2020·海南）如图，在□ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为( )A ．16B ．17C ．24D ．257. 如图，在平行四边ABCD 中，AC 、BD 为对角线，6BC =，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．248. 已知四边形的四条边长分别是a b c d，，，，其中a b ，为对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+ 则这个四边形是（ ）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形二、填空题9. 若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是__________．10. 如图所示，在▱ABCD中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________．11. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF BC GH AB EF ∥，∥，与GH 相交于点O ，图中共有 个平行四边形12. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．13. 如图所示，x 的值为________．(1)DBO HGF EDC BA14. （2020·武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是□ABCD的对角线，点E 在AC 上，AD ＝AE ＝BE ，∠D ＝102°，则∠BAC 的大小是____________．15. 今年暑假，实验中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成三个组，每组派一名教师作为指导老师．为了加强同学间的协作，学校要求各班每两人之间(包括指导教师)每周至少通一次电话，现知该校八年级(5)班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？为了解决这一问题，小明把该班师生人数n 与每周至少通电话次数S 之间的关系用下列模型表示，如图根据小明设计的模型，可知该班师生之间每周至少要通电话的次数为________．16. （2020·扬州）如图，在▱ABCD中，∠B =60° ，AB =10，BC =8，点E为边AB上的一个动点，连接ED 并延长至点F，使得DF=14DE ，以EC 、EF 为邻边构造▱EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值为 .三、解答题 17. （2020·黄冈）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠C ．E 使边BC 上一点，且DE ＝DC ．求证：AD ＝BE ．DAECB18. 已知：AC 是ABCD 的对角线．(1)用直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线，与AD 相交于点E ，连接CE ．(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)的条件下，若35AB BC ==，，求DCE △的周长．19. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ．若PE PF =，且AP AE CP CF +=+．求证：四边形ABCD 是平行四边形．20. 如图，已知平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=3，AC=2√13.(1)求平行四边形ABCD 的面积; (2)求证:BD ⊥BC.APFE DBANMAEDPC FB21. 如图，ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 上任意一点，EF ∥AB ，DF ∥BE ．求证：DF与AE 互相平分．22. 如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．2020-2021中考专题复习：多边形与平行四边形-答案一、选择题 1. 【答案】D【解析】本题考查了等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，由∠A ＝40°，AB ＝AC ，求得∠C ＝70°，又因为四边形BCDE 是平行四边形，所以∠E ＝∠C ＝70°，因此本题选D ．2. 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .由AC ＋BD ＝16可得OA ＋OB ＝8，又∵AB ＝CD ＝6，∴△ABO 的周长为OA ＋OB ＋AB ＝8＋6＝14.3. 【答案】D[解析] (n ＋2)边形的内角和比n 边形的内角和大n·180°－(n －2)·180°＝360°.4. 【答案】C【解析】A ．矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；FEDCB AFEDCB ADPCBAB．矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；C．矩形的四个角都相等，正确；D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．故选C．5. 【答案】A[解析] 剪去一个角的方法有三种：经过两个顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．所以一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或(n＋1)边形或(n－1)边形．6. 【答案】A【解析】在R t△ABG中，AG＝6.∵四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠ADE＝∠AEB，∴AB＝BE，则CE＝BC－BE＝15－10＝5.又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝12，则△ABE的周长为32.∵AB∥DF，∴△ABE∽△CFE，∴△ABE的周长：△CEF的周长＝BE：CE＝2：1，∴△CEF的周长为16.7. 【答案】C8. 【答案】B二、填空题9. 【答案】5【解析】∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，∴多边形的内角和是900﹣360=540°，∴多边形的边数是：540°÷180°+2=3+2=5．故答案为：5．10. 【答案】50°【解析】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠FBA＝∠C＝40°，∵FD⊥AD，∴∠ADF＝90°，∵AD∥BC，∴∠F＝∠ADF＝90°，∴∠BEF＝180°－90°－40°＝50°.11. 【答案】9个12. 【答案】8【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.【一题多解】因为正多边形的每一个外角都是45°，所以这个正多边形的每一个内角都是180°－45°＝135°，设正多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝135°×n，解得n＝8.方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.13. 【答案】55°[解析] 由多边形的外角和等于360°，得360°－105°－60°＋x ＋2x ＝360°，解得x ＝55°.14. 【答案】26°【解析】本题考查了等腰三角形性质，平行四边形性质等，∵□ABCD ，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，DC ∥AB ，又∵AD ＝AE ＝BE ，∴BC ＝AE ＝BE ，∴∠BAC ＝∠EBA ，∠BEC ＝∠BCE ，∵AD ∥BC ，DC ∥AB ，∴∠DCB ＝78°，∠BAC ＝∠DCA ，∵∠BEC ＝∠BAC ＋∠EBA ，∴∠BCE ＝2∠BAC ，∴3∠BAC ＝78°，解得∠BAC ＝26°，因此本题答案为26°．15. 【答案】1378[解析] 将八年级(5)班师生共53人看作五十三边形的53个顶点，由多边形对角线条数公式可得对角线为53×（53－3）2＝1325(条)，1325＋53＝1378(次)．因此该班师生之间每周至少要通1378次电话．[点评] 本题的数学模型实质上是n 个人之间彼此握一次手，求握手总次数的问题，其次数为n ＋12(n －3)·n ＝12n(n －1)．△EHD ∽△GHC ，∴5HC CG HG ===，∵CD=AB=10是定长，故不管动点E 在AB 上如何运动，H 始终是定点，H 又在EG 上，它到AB 的最短距离就是HN ，S ▱ABCD =AM BC HN AB ⨯=⨯，∴810AM BC NH AB ⨯===E 运动到与N 重合（见答图2），EG 最短，此时，HG =54NH =，∴EG 的最小值= HG +NH =．因此本题答案为．（答图1） （答图2）三、解答题17. 【答案】解：∵□ABCD ，∴∠AD ＝∠BC ，∴∠C ＝∠DAO ． ∵点O 为CD 的中点，∴DO ＝∠CO ．又∵∠AOD=∠EOC ，∴△AOD ≌△EOC ．∴AD ＝CE ．18. 【答案】(1)如图，CE 为所作．(2)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴53AD BC CD AB ====，， ∵点E 在线段AC 的垂直平分线上， ∴EA EC =，∴DCE △的周长538CE DE CD EA DE CD AD CD =++=++=+=+=．19. 【答案】延长PA 、PC ，使AM AE =、CF CN =．连结MF 、EN ．∵AP AE CP CF +=+ ∴PM PN =∴四边形MFNE 是平行四边形． ∴ME NF =,M N ∠=∠ ∵AE AM =，CN CF = ∴AME CNF ∆∆≌ ∴AM CN =∴AP CP =,PAD PCB ∠=∠ ∴APD NCPB ∆≌ ∴PD PB =∴四边形ABCD 是平行四边形．20. 【答案】解:(1)作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，如图.设BE=x ，CE=h ， 在Rt △CEB 中:x 2+h 2=9①， 在Rt △CEA 中:(5+x )2+h 2=52②， 联立①②解得:x=95，h=125，∴平行四边形ABCD 的面积=AB ·h=12. (2)证明:作DF ⊥AB ，垂足为F ， ∴∠DF A=∠CEB=90°， ∵平行四边形ABCD ， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∴∠DAF=∠CBE ， 又∵∠DF A=∠CEB=90°， ∴△ADF ≌△BCE (AAS)，∴AF=BE=95，BF=5-95=165，DF=CE=125， 在Rt △DFB 中，BD 2=DF 2+BF 2=1252+1652=16，∴BD=4， ∵BC=3，DC=5， ∴CD 2=DB 2+BC 2， ∴BD ⊥BC.21. 【答案】连结AF 、DE ．∵EF ∥AB ，DF ∥BE ，∴四边形BDFE 是平行四边形 ∴EF BD =∵AD BD =，∴AD EF =∵AD ∥EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形 ∴DF 与AE 互相平分22. 【答案】如图所示，将PAB ∆平移至QDC ∆的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．QDPCBA。
新中考数学真题分项汇编专题15多边形与平行四边形(共43题)(解析版)
专题15多边形与平行四边形（共43题）一．选择题（共15小题）1．（2020•北京）正五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．【解析】任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．2．（2020•德州）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A．80米B．96米C．64米D．48米【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解析】根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，所以一共走了8×8＝64（米）．故选：C．3．（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为（）A．36°B．30°C．144°D．150°【分析】根据多边形的外角和为360°，再由正十边形的每一个外角都相等，进而求出每一个外角的度数．【解析】正十边形的每一个外角都相等，因此每一个外角为：360°÷10＝36°，故选：A．4．（2020•温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．【解析】∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝70°．故选：D．5．（2020•黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解析】360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选：D．6．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．【解析】∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．7．（2020•济宁）一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．【解析】设所求正n边形边数为n，则1080°＝（n﹣2）•180°，解得n＝8．故选：B．8．（2020•怀化）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）＝1080，解得：n＝8．故选：C．9．（2020•淮安）六边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．1080°【分析】利用多边形的内角和＝（n﹣2）•180°即可解决问题．【解析】根据多边形的内角和可得：（6﹣2）×180°＝720°．故选：C．10．（2020•广东）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解．【解析】设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5．故选：B．11．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．故选：B．12．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（）A．S1+S2＞S 2B．S1+S2＜S 2C．S1+S2=S 2D．S1+S2的大小与P点位置有关【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S 和S 1、S 2之间的关系，本题得以解决．【解析】过点P 作EF ⊥AD 交AD 于点E ，交BC 于点F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∴S ＝BC •EF ，S 1=AD⋅PE 2，S 2=BC⋅PF 2， ∵EF ＝PE +PF ，AD ＝BC ，∴S 1+S 2=S 2，故选：C ．13．（2020•陕西）如图，在▱ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8．E 是边BC 的中点，F 是▱ABCD 内一点，且∠BFC＝90°．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若EF ∥AB ，则DG 的长为（ ）A ．52B ．32C ．3D ．2【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF 的长，再根据梯形中位线定理，即可得到CG 的长，进而得出DG 的长．【解析】∵E 是边BC 的中点，且∠BFC ＝90°，∴Rt △BCF 中，EF =12BC ＝4，∵EF ∥AB ，AB ∥CG ，E 是边BC 的中点，∴F 是AG 的中点，∴EF 是梯形ABCG 的中位线，∴CG ＝2EF ﹣AB ＝3，又∵CD ＝AB ＝5，∴DG ＝5﹣3＝2，故选：D ．14．（2020•自贡）如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2，AB =√6，∠B 是锐角，AE ⊥BC 于点E ，F 是AB 的中点，连结DF 、EF ．若∠EFD ＝90°，则AE 长为（ ）A ．2B ．√5C ．3√22D ．3√32【分析】如图，延长EF 交DA 的延长线于Q ，连接DE ，设BE ＝x ．首先证明DQ ＝DE ＝x +2，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】如图，延长EF 交DA 的延长线于Q ，连接DE ，设BE ＝x ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DQ ∥BC ，∴∠Q ＝∠BEF ，∵AF ＝FB ，∠AFQ ＝∠BFE ，∴△QF A ≌△EFB （AAS ），∴AQ ＝BE ＝x ，∵∠EFD ＝90°，∴DF ⊥QE ，∴DQ ＝DE ＝x +2，∵AE ⊥BC ，BC ∥AD ，∴AE ⊥AD ，∴∠AEB ＝∠EAD ＝90°，∵AE 2＝DE 2﹣AD 2＝AB 2﹣BE 2，∴（x +2）2﹣4＝6﹣x 2，整理得：2x 2+4x ﹣6＝0，解得x ＝1或﹣3（舍弃），∴AE=√AB2−BE2=√6−1=√5，故选：B．15．（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC ＝3．下列结论：①DE=12BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2√5．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】证出DE是△ABC的中位线，则DE=12BC；①正确；证出DF＝BC，则四边形DBCF是平行四边形；②正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12AB＝BD，则CF＝CD，得出∠CFE＝∠CDE，证∠CDE＝∠EGF，则∠CFE＝∠EGF，得出EF＝EG，③正确；作EH⊥FG于H，由等腰三角形的性质得出FH＝GH=12FG＝1，证△EFH∽△CEH，则EHCH=FHEH，求出EH＝2，由勾股定理的EF=√5，进而得出BC＝2√5，④正确．【解答】解；∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴AE＝CE，DE=12BC；①正确；∴DF ＝BC ， ∴四边形DBCF 是平行四边形；②正确；∴CF ∥BD ，CF ＝BD ，∵∠ACB ＝90°，CD 为斜边AB 的中线，∴CD =12AB ＝BD ，∴CF ＝CD ，∴∠CFE ＝∠CDE ，∵∠CDE +∠EGC ＝180°，∠EGF +∠EGC ＝180°，∴∠CDE ＝∠EGF ，∴∠CFE ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ，③正确；作EH ⊥FG 于H ，如图所示：则∠EHF ＝∠CHE ＝90°，∠HEF +∠EFH ＝∠HEF +∠CEH ＝90°，FH ＝GH =12FG ＝1，∴∠EFH ＝∠CEH ，CH ＝GC +GH ＝3+1＝4，∴△EFH ∽△CEH ，∴EHCH =FHEH ，∴EH 2＝CH ×FH ＝4×1＝4，∴EH ＝2，∴EF =√FH 2+EH 2=√12+22=√5，∴BC ＝2DE ＝2EF ＝2√5，④正确；故选：D ．二．填空题（共15小题）16．（2020•湘西州）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是 6 ．【分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解析】设该多边形的边数为n ，根据题意，得，（n ﹣2）•180°＝720°，解得：n ＝6．故这个多边形的边数为6．故答案为：617．（2020•福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC ＝ 30 度．【分析】由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC 的度数．【解析】正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6=120°，所以∠ABC ＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30．18．（2020•陕西）如图，在正五边形ABCDE 中，DM 是边CD 的延长线，连接BD ，则∠BDM 的度数是 144° ．【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．【解析】因为五边形ABCDE 是正五边形，所以∠C =(5−2)⋅180°5=108°，BC ＝DC ， 所以∠BDC =180°−108°2=36°， 所以∠BDM ＝180°﹣36°＝144°，故答案为：144°．19．（2020•烟台）已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为 1260° ．【分析】利用任意多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．【解析】正n 边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得360°n =40°，解得n ＝9．（9﹣2）×180°＝1260°，即这个正多边形的内角和为1260°．故答案为：1260°．20．（2020•河北）正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的4倍，则n ＝ 12 ．【分析】根据多边形的内角和公式求出正六边形的一个内角等于120°，再根据多边形的外角和是360°即可解答．【解析】正六边形的一个内角为：(6−2)×180°6=120°，∵正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的4倍，∴正n 边形一个外角为：120°÷4＝30°，∴n ＝360°÷30°＝12．故答案为：12．21．（2020•衡阳）已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于 12 ．【分析】根据多边形的外角和等于360°列式计算即可．【解析】∵一个n 边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，∴n ＝360°÷30°＝12．故答案为：12．22．（2020•重庆）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 6 ．【分析】n 边形的内角和可以表示成（n ﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．【解析】设这个多边形的边数为n ，依题意，得：（n ﹣2）•180°＝2×360°，解得n ＝6．故答案为：6．23．（2020•遂宁）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 36 度．【分析】首先设此多边形为n 边形，根据题意得：180（n ﹣2）＝1440，即可求得n ＝10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【解析】设此多边形为n 边形，根据题意得：180（n ﹣2）＝1440，解得：n ＝10，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．故答案为：36．24．（2020•扬州）如图，在▱ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝10，BC ＝8，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED 并延长至点F ，使得DF =14DE ，以EC 、EF 为邻边构造▱EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值为 9√3 ．【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD 和EF 的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG 的最小值，本题得以解决．【解析】作CH ⊥AB 于点H ，∵在▱ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝8，∴CH ＝4√3，∵四边形ECGF 是平行四边形，∴EF ∥CG ，∴△EOD ∽△GOC ，∴EOGO =DOOC =EDGC ，∵DF =14DE ，∴DE EF =45， ∴ED GC =45， ∴EOGO =45，∴当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值，当EO ⊥CD 时，EO 取得最小值，∴CH＝EO，∴EO＝4√3，∴GO＝5√3，∴EG的最小值是9√3，故答案为：9√3．25．（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是26°．【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB ＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，∴∠BAC＝26°，故答案为：26°．26．（2020•天津）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为32．【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF 和BE 的长，然后可以证明△DCG 和△EHG 全等，然后即可得到CG 的长．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，CD ＝AB ，DC ∥AB ，∵AD ＝3，AB ＝CF ＝2，∴CD ＝2，BC ＝3，∴BF ＝BC +CF ＝5，∵△BEF 是等边三角形，G 为DE 的中点，∴BF ＝BE ＝5，DG ＝EG ，延长CG 交BE 于点H ，∵DC ∥AB ，∴∠CDG ＝∠HEG ，在△DCG 和△EHG 中，{∠CDG =∠HEGDG =EG ∠DGC =∠EGH，∴△DCG ≌△EHG （ASA ），∴DC ＝EH ，CG ＝HG ，∵CD ＝2，BE ＝5，∴HE ＝2，BH ＝3，∵∠CBH ＝60°，BC ＝BH ＝3，∴△CBH 是等边三角形， ∴CH ＝BC ＝3，∴CG =12CH =32，故答案为：32．27．（2020•凉山州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于16．【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，证OE是△ABD的中位线，则AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝4，则AB+AD＝2AE+2OE＝8，即可得出答案．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB＝2OE，AD＝2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE＝5，∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×8＝16；故答案为：16．28．（2020•甘孜州）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE的度数为50°．【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠EAD＝40°，由角的互余关系得出∠BCE＝90°﹣∠B＝50°即可．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝40°，∵CE⊥AB，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝50°；故答案为：50°．29．（2020•黔东南州）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为（2，﹣1）．【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．【解析】∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），∴点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．30．（2020•金华）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是30°．【分析】根据平行四边形的性质解答即可．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D +∠C ＝180°，∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，故答案为：30．三．解答题（共13小题）31．（2020•黄冈）已知：如图，在▱ABCD 中，点O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ，求证：AD ＝CE ．【分析】只要证明△AOD ≌△EOC （ASA ）即可解决问题；【解答】证明：∵O 是CD 的中点，∴OD ＝CO ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠D ＝∠OCE ，在△ADO 和△ECO 中，{∠D =∠OCEOD =OC ∠AOD =∠EOC，∴△AOD ≌△EOC （ASA ），∴AD ＝CE ．32．（2020•孝感）如图，在▱ABCD 中，点E 在AB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，满足BE ＝DF ．连接EF ，分别与BC ，AD 交于点G ，H ．求证：EG ＝FH ．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∠ABC ＝∠FDH ，在△BEG 与△DFH 中，{∠E =∠FBE =DF ∠EBG =∠FDH，∴△BEG ≌△DFH （ASA ），∴EG ＝FH ．33．（2020•鄂州）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别为OA 、OC的中点，延长BM 至点E ，使EM ＝BM ，连接DE ．（1）求证：△AMB ≌△CND ；（2）若BD ＝2AB ，且AB ＝5，DN ＝4，求四边形DEMN 的面积．【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB ≌△CND ；（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN 是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN 是直角，进而得到四边形DEMN 是矩形，即可得出四边形DEMN 的面积．【解析】（1）∵平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AO ＝CO ，又∵点M ，N 分别为OA 、OC 的中点，∴AM ＝CN ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠BAM ＝∠DCN ，∴△AMB≌△CND（SAS）；（2）∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，又∵BM＝EM，∴DN＝EM，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∴∠MBO＝∠NDO，∴ME∥DN∴四边形DEMN是平行四边形，∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB，又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO，∴∠EMN＝90°，∴四边形DEMN是矩形，∵AB＝5，DN＝BM＝4，∴AM＝3＝MO，∴MN＝6，∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．34．（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，进而得出EF的长；（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=3 2，∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．35．（2020•广元）已知▱ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面积为2，求▱ABCD的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，得出∠EAO ＝∠FCO ，由ASA 即可得出结论；（2）由于AE ：AD ＝1：2，O 为对角线AC 的中点，得出△AEO ∽△ADC ，根据△AOE 的面积为2，可得△ADC 的面积，进而得到平行四边形ABCD 的面积．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∵O 是AC 的中点，∴OA ＝OC ，在△AOE 和△COF 中，{∠EAO =∠FCOOA =OC ∠AOE =∠COF，∴△AOE ≌△COF （ASA ）；（2）∵AE ：AD ＝1：2，O 为对角线AC 的中点，∴AO ：AC ＝1：2，∵∠EAO ＝∠DAC ，∴△AEO ∽△ADC ，∵△AOE 的面积为2，∴△ADC 的面积为8，∴平行四边形ABCD 的面积为16．36．（2020•青岛）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE ＝BF ，连接AE ，CF ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）连接AF ，CE ．当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可以得到AD ＝CB ，∠ADC ＝∠CBA ，从而可以得到∠ADE ＝∠CBF ，然后根据SAS 即可证明结论成立；（2）根据BD 平分∠ABC 和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD 是菱形，从而可以得到AC ⊥BD ，然后即可得到AC ⊥EF ，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE 是平行四边形，然后根据AC ⊥EF ，即可得到四边形AFCE 是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，∠ADC ＝∠CBA ，∴∠ADE ＝∠CBF ，在△ADE 和△CBF 中，{AD =CB∠ADE =∠CBF DE =BF，∴△ADE ≌△CBF （SAS ）；（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形，理由：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD ，∴平行四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴AC ⊥EF ，∵DE ＝BF ，∴OE ＝OF ，又∵OA ＝OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵AC ⊥EF ，∴四边形AFCE 是菱形．37．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；（2）求证：AE＝CF．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的性质解决问题即可．（2）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论．【解答】（1）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝40°，（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．38．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE＝DF．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线的定义得到∠BCD＝2∠BCF，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE＝∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF，∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，∴∠BAE＝∠DCE，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF．39．（2020•绍兴）如图，点E 是▱ABCD 的边CD 的中点，连结AE 并延长，交BC 的延长线于点F ．（1）若AD 的长为2，求CF 的长．（2）若∠BAF ＝90°，试添加一个条件，并写出∠F 的度数．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥CF ，则∠DAE ＝∠CFE ，∠ADE ＝∠FCE ，由点E 是CD 的中点，得出DE ＝CE ，由AAS 证得△ADE ≌△FCE ，即可得出结果；（2）添加一个条件当∠B ＝60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CF ，∴∠DAE ＝∠CFE ，∠ADE ＝∠FCE ，∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，在△ADE 和△FCE 中，{∠DAE =∠CFE∠ADE =∠FCE DE =CE，∴△ADE ≌△FCE （AAS ），∴CF ＝AD ＝2；（2）∵∠BAF ＝90°，添加一个条件：当∠B ＝60°时，∠F ＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．40．（2020•新疆）如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE ∥BF ，且分别交对角线AC 于点E ，F ，连接BE ，DF ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）若BE ＝DE ，求证：四边形EBFD 为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD ＝CB ，AD ∥CB ，从而可以得到∠DAE ＝∠BCF ，再根据DE ∥BF 和等角的补角相等，从而可以得到∠AED ＝∠CFB ，然后即可证明△ADE 和△CBF 全等，从而可以得到AE ＝CF ；（2）根据（1）中的△ADE 和△CBF 全等，可以得到DE ＝BF ，再根据DE ∥BF ，即可得到四边形EBFD 是平行四边形，再根据BE ＝DE ，即可得到四边形EBFD 为菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE ＝∠BCF ，∵DE ∥BF ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠AED ＝∠CFB ，在△ADE 和△CBF 中，{∠DAE =∠BCF∠AED =∠CFB AD =CB，∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）证明：由（1）知△ADE ≌△CBF ，则DE ＝BF ，又∵DE ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BE ＝DE ，∴四边形EBFD 为菱形．41．（2020•岳阳）如图，点E ，F 在▱ABCD 的边BC ，AD 上，BE =13BC ，FD =13AD ，连接BF ，DE ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．【分析】根据平行四边形的性质得出AD ＝BC ，AD ∥BC ，进而得出DF ＝BE ，利用平行四边形的判定解答即可．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵BE =13BC ，FD =13AD ，∴BE ＝DF ，∵DF ∥BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形．42．（2020•淮安）如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AC 与EF 相交于点O ，且AO ＝CO ．（1）求证：△AOF ≌△COE ；（2）连接AE 、CF ，则四边形AECF 是 （填“是”或“不是”）平行四边形．【分析】（1）由ASA 证明△AOF ≌△COE 即可；（2）由全等三角形的性质得出FO ＝EO ，再由AO ＝CO ，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠OAF ＝∠OCE ，在△AOF 和△COE 中，{∠OAF =∠OCEAO =CO ∠AOF =∠COE，∴△AOF ≌△COE （ASA ）（2）解：四边形AECF 是平行四边形，理由如下：由（1）得：△AOF ≌△COE ，∴FO ＝EO ，又∵AO ＝CO ，∴四边形AECF 是平行四边形；故答案为：是．43．（2020•陕西）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠C ．E 是边BC 上一点，且DE ＝DC ．求证：AD ＝BE ．【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC ＝∠C ，在由∠B ＝∠C 得∠DEC ＝∠B ，所以AB ∥DE ，得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出结论．【解答】证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD＝BE．。
2020年中考数学第一轮复习 第二十一讲 多边形与平行四边形 知识点+真题(后含答案)
2020年中考数学第一轮复习第五章四边形第二十一讲多边形与平行四边形【基础知识回顾】一、多边形：1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段相连组成的图形叫做多边形，各边相等、也相等的多边形叫做正多边形2、多边形的内外角和：n(n≥3)的内角和是外角和是正n边形的每个外角的度数是，每个内角的度数是。
3、多边形的对角线：多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有条对角线，将多边形分成个三角形，一个n边形共有条对边线【注意：1、三角形是边数最少的多边形2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形共有条对称轴，边数为数的正多边形也是中心对称图形】二、平面图形的密铺：1、定义：用、完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间、地铺成一起，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的。
2、密铺的方法：⑴用同一种正多边形密铺，可以用、或⑵用两种正多边形密铺，组合方式有：和、和、和等几种【注意：能密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于并使相等的边互相平合】三、平行四边形1、定义：两组对边分别的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可表示为2、平行四边形的特质：⑴平行四边形的两组对边分别⑵平行四边形的两组对角分别⑶平行四边形的对角线【注意：1、平行四边形是对称图形，对称中心是过对角线交点的任一直线被一组对边截得的线段该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】3、平行四边形的判定：⑴用定义判定⑵两组对边分别的四边形是平行四边形⑶一组对边的四边形是平行四边形⑷两组对角分别的四边形是平行四边形⑸对角线的四边形是平行四边形【注意：特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形都不能保证是平行四边形】4、平行四边形的面积：计算公式 ×同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积【注意：夹在两平行线间的平行线段 两平行线之间的距离处处 】 【中考真题考点例析】考点一：多边形内角和、外角和公式例1.（2019年济南）一个n 边形的内角和是720°，则n ＝_____．对应练习1－1( 2019山东济宁12)如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 ．对应练习1－2（2019年莱芜）若一个正n 边形的每个内角为156°，则这个正n 边形的边数是（ ） A ． 13 B ． 14 C ． 15 D ． 16 考点二：平面图形的密铺例2（漳州）用下列一种多边形不能铺满地面的是（ ） A ．正方形 B ．正十边形 C ．正六边形 D ．等边三角形 对应练习2－1（呼和浩特）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（ ） A ．正十边形 B ．正八边形 C ．正六边形 D ．正五边形 考点三：平行四边形的性质例3（2019年济南）如图，在ABCD Y 中，,E F 分别是AD 和BC 上的点，DAF BCE ∠=∠．求证：BFDE =．对应练习3－1（益阳）如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠BAD=∠BCDC ．AB=CD D ．AC ⊥BD对应练习3－2（黔西南州）已知▱ABCD 中，∠A+∠C=200°，则∠B 的度数是（ ） A ．100° B ．160° C ．80° D ．60° 考点四：平行四边形的判定例4 （2019年威海）如图，E 是□ABCD 边AD 延长线上一点，连接BE ，CE ，BD ，BE交CD 于点F 。
2020年九年级中考数学考点难点突破： 平行四边形与多边形(含答案)
2020年九年级中考数学考点难点突破：平行四边形与多边形1.下列说法错误．．的是()A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2. 如图，平行四边ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E 是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为()第2题图A. 3 cmB. 4 cmC. 5 cmD. 8 cm3.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为()A. 66°B. 104°C. 114°D. 124°第3题图第4题图4.已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OCC . ∠BOE ＝∠OBAD . ∠OBE ＝∠OCE5.由多边形的一个顶点出发的所有对角线把多边形分成8个三角形，那么这个多边形的边数是( )A . 8B . 9C . 10D . 116.如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．7.如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．第6题图第7题图8.如图，在▱ABCD中，∠B＝80°，∠ADC的角平分线DE与BC交于点E，若BE＝CE，则∠DAE＝________度.9.如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝____________．第8题图第9题图10.如图，在▱ABCD中，AB＝213 cm，AD＝4 cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长________cm.第10题图第12题图11.如果一个正多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的内角和为________.12.如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7、A7A10，则∠A3A7A10＝________°.13.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与BC，AD分别交于点E，F.试猜想线段AE，CF的关系，并说明理由．第13题图14.如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.(1)求证：AB＝BC；(2)若AB＝2，AC＝23，求▱ABCD的面积．第14题图15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．第15题图1. D2. B3. C4. D5. C6. AD∥BC(答案不唯一)7. 110°8. 509. 55°10. 411. 1800°12. 7513. 解：AE＝CF且AE∥CF.理由如下：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与BC，AD分别交于点E、F，∴∠AOF＝∠COE，OA＝OC，∵AF∥CE，∴∠AFO＝∠CEO，∴△AOF≌△COE，∴OF＝OE，又∵OA＝OC，∴四边形AECF两条对角线互相平分，∴四边形AECF是平行四边形，故AE ＝CF 且AE ∥CF .14. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠BCA ＝∠DAC ，又∠BAC ＝∠DAC . ∴∠BCA ＝∠BAC ， ∴AB ＝BC ；第14题解图(2)∵AB ＝BC ， ∴▱ABCD 是菱形，如解图，连接BD 交AC 于点O ，则∠AOB ＝90°，∴AO ＝12AC ＝3，在Rt △AOB 中，BO ＝22－（3）2＝1，∴BD ＝2，∴S ▱ABCD ＝12AC ·BD ＝12×23×2＝2 3.15. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ， ∴AE ∥CD ，∠AOB ＝90°，又∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5，又∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.。
中考数学专题训练：多边形与平行四边形 (含答案)
7. 将一个 n 边形变成(n＋2)边形，内角和将( )
A．减少 180°
B．增加 180°
C．减少 360°
D．增加 360°
8. 如图， ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E， F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，则下列说法正确的是
2
5. 【答案】C 【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°， 又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6， 由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°， ∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形， ∴△ADE 的周长为 6×3=18， 故选 C．
6. 【答案】B 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD. 由 AC＋BD＝16 可得 OA＋OB＝8，又∵AB＝CD＝6，∴△ABO 的周长为 OA＋ OB＋AB＝8＋6＝14.
5. 如图，在 ABCD 中，将△ADC 沿 AC 折叠后，点 D 恰好落在 DC 的延长线 上的点 E 处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE 的周长为
A．12
B．15
C．18
D．21
6. 如图，▱ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC＋BD＝16，CD＝6， 则△ABO 的周长是( ) A. 10 B. 14 C. 20 D. 22
2 1325＋53＝1378(次)．
因此该班师生之间每周至少要通 1378 次电话．
[点评] 本题的数学模型实质上是 n 个人之间彼此握一次手，求握手总次数的问
题，其次数为 n＋1(n－3)·n＝1n(n－1)．
2
2
三、解答题
16. 【答案】
2020年中考试题专题多边形的内角和以及平行四边形试题及答案
2020年中考试题专题多边形的内角和以及平行四边形试题及答案1. 、选押題东营］如在口ABCD中，AD= 8 cm, AB二6 cm, DE平分/ ADC 交BC边于点图，E,）那么BE 等J* （ C.6cm D.8cm【关键词】平行四边形【答案】A2. （2018年桂林市、百色市）如图，E1ABCD中，AC.BD为对角线, BC边上的高为4,那么阴影部分的面积为（BC=6, ）•A. 3B. 6C. 12D. 24【关键词】平行四边形有关的运算【答案】C3. （2018年常德市）以下命题屮错误的选项是〔A •两组对边分不相等的四边形是平行四边形B •对角线相等的平行四边形是矩形C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形D •一组对边平行的四边形是梯形【关键词】平行四边形【答案】D4. （2018年黄冈市）5.—个多边形的内角和是外角和的2倍，那么那个多边形的边数为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【关键词】多边形的内角和【答案】A提示：/ BAOy BCO2 ABO+Z CBOM ABC=70,因此/ BOA+Z BOC=360 — 140 0=220° , 因此/ AOC=140。
5. （2018威海〕如图，在四边形ABCDK E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，ABBF •添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形•你认为下面四个条件中可选择的是（A. AD BC B • CD C. A C D . F【关键词】平行四边形的判定 【答案】D 6.（ 2018年湖南长沙）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O, AOB 60°AB 2,那么矩形的对角线AC 的长是1）【答案】B【解析】此题考查了矩形的性质和等边三角形的判定。
依照矩形的性质知：矩形的对角线相 等且平分，因此AO=BOo 在直角三角形AOB 中，又有AOB 60° ,因此三角形AOB 为等边三角 形，因此 AO=AB=2・，，因此 AC=2AO=4o7. （2018襄樊市〕如图5,在.ABCD 屮，AE BC 于E, AE EB EC a,且a 是一元二次方程x 2 2x3 0的根，那么jABCD 的周长为（）解析：此题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，T*是一兀二次方程x 2 2x 3 0的根，••• a 1,二 AE=EB=EC=1 ,••• AB 二丘，BC=2 , gABCD 的周长 为° 学应选A 。
备战中考数学分点透练真题平行四边形与多边形(解析版)
第十八讲平行四边形与多边形命题点1 平行四边形的判定1．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【答案】C【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．2．（2021•河北）如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是【答案】A【解答】解：方案甲中，连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；方案乙中：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥BD，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；方案丙中：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，∴∠BAN＝∠DCM，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（ASA），∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确；故选：A．3．（2021•岳阳）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是；（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．【答案】（1）AE＝CF（2）略【解答】解：（1）添加条件为：AE＝CF，故答案为：AE＝CF；（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形．4．（2021•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cos B＝，求BF和AD的长．【答案】（1）略（2）AD＝EC＝3【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥CE，∵AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形；（2）解：∵EF⊥AB，∴∠BFE＝90°，∵cos B＝＝，BE＝5，∴BF＝BE＝×5＝4，∴EF＝＝＝3，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，∴EC＝EF＝3，由（1）得：四边形AECD是平行四边形，∴AD＝EC＝3．5．（2021•聊城）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．【答案】（1）略（2）24【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△COD（ASA），∴OD＝OE，又∵AO＝CO，∴四边形AECD是平行四边形；（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，∴OB⊥AC，∴平行四边形AECD是菱形，∵AC＝8，∴CO＝AC＝4，在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，∴DE＝2OD＝6，∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．命题点2 平行四边形性质的相关证明与计算6．（2021•株洲）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（）A．38°B．48°C．58°D．66°【答案】B【解答】解：∵∠DCE＝132°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣132°＝48°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠DCB＝48°，故选：B．7．（2021•宜宾）下列说法正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形B．平行四边形的邻边相等C．平行四边形的对角线互相垂直D．平行四边形的对角线互相平分【答案】D【解答】解：A、平行四边形不是轴对称图形而是中心对称图形，故原命题错误，不符合题意；B、平行四边形的邻边不等，对边相等，故原命题错误，不符合题意；C、平行四边形对角线互相平分，错误，故本选项不符合题意；D、平行四边形对角线互相平分，正确，故本选项符合题意．故选：D．8．（2021•荆门）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（）A．55°B．65°C．75°D．85°【答案】C【解答】解：延长EH交AB于N，∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2+∠HNB＝180°，∴∠2＝75°，故选：C．9．（2020•益阳）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（）A．10B．8C．7D．6【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，∴AB的长可能为6．故选：D．10．（2021•南充）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（）A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF 【答案】A【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，又∵∠DOC＝∠BOA，∴选项A成立，选项B、C、D不一定成立，故选：A．11．（2021•天津）如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（）A．（﹣4，1）B．（4，﹣2）C．（4，1）D．（2，1）【答案】C【解答】解：∵B，C的坐标分别是（﹣2，﹣2），（2，﹣2），∴BC＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4，∵点A的坐标为（0，1），∴点D的坐标为（4，1），故选：C．12．（2020•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（）A．B．C．3D．2【答案】D【解答】解：如图，延长BF交CD的延长线于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，AB∥CD，∴∠H＝∠ABF，∵EF∥AB，∴EF∥CD，∵E是边BC的中点，∴EF是△BCH的中位线，∴BF＝FH，∵∠BFC＝90°，∴CF⊥BF，∴CF是BH的中垂线，∴BC＝CH＝8，∴DH＝CH﹣CD＝3，在△ABF和△GHF中，，∴△ABF≌△GFH（ASA），∴AB＝GH＝5，∴DG＝GH﹣DH＝2，故选：D．13．（2021•贵阳）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（）A．1B．2C．2.5D．3【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴∠DFC＝∠FCB，又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC＝3，同理可证：AE＝AB＝3，∴AF＝DE∵AD＝4，∴AF＝4﹣3＝1，∴EF＝4﹣1﹣1＝2．故选：B．14．如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AM＝CN；②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，在△MDE和△NBE中，，∴△MDE≌△NBE（ASA），∴DM＝BN，∴AM＝CN，故①正确；②若MD＝AM，∠A＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠A＝90°，在△BAM和△CDM中，，∴△BAM≌△CDM（SAS），∴BM＝CM，故②正确；③过点M作MG⊥BC，交BC于G，过点E作EH⊥BC，交BC于H，由①易得四边形MBND是平行四边形，E为BD中点，∴MG＝2EH，又∵MD＝2AM，BN＝MD，AM＝NC，∴S△MNC＝NC•MG＝•BN•2EH＝BN•EH＝S△BNE，故③正确；④∵AB＝MN，AB＝DC，∴MN＝DC，又∵AD∥BC，∴四边形MNCD是等腰梯形或平行四边形，如果四边形MNCD是等腰梯形，∴∠MNC＝∠DCN，在△MNC和△DCN中，，∴△MNC≌△DCN（SAS），∴∠NMC＝∠CDN，在△MFN和△DFC中，，∴△MFN≌△DFC（AAS），如果是平行四边形，由平行四边形的性质可以得到△MFN≌△DFC，故④正确．∴正确的个数是4个，故选：D．15．（2021•湘潭）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝．【答案】5【解答】解：在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴点O是AC的中点，∵点E是边AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝BC＝5．故答案为：5．16．（2021•扬州）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则▱ABCD的面积为．【答案】50【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠EBC＝30°，BE＝10，∴EF＝BE＝5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，∴∠BCE＝∠BEC，∴BE＝BC＝10，∴平行四边形ABCD的面积＝BC×EF＝10×5＝50，故答案为：50．17．（2021•嘉兴）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为．【答案】【解答】解：如图，∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，∴AC＝＝2，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OC＝，在Rt△OAB中，OB＝＝，又AH⊥BD，∴OB•AH＝OA•AB，即＝，解得AH＝．故答案为：．18．（2021•青海）如图，在▱ABCD中，对角线BD＝8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3cm，BC＝4cm，则AD与BC之间的距离为．【答案】6cm【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，在△ABD和△BCD中∴△ABD≌△CDB（SSS），∵AE⊥BD，AE＝3cm，BD＝8cm，∴S△ABD＝BD•AE＝×8×3＝12（cm2），∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝24cm2，设AD与BC之间的距离为h，∵BC＝4cm，∴S四边形ABCD＝BC•h＝4h，∴4h＝24，解得h＝6cm，故答案为：6cm．19．（2020•陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．【证明】略【解答】证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD＝BE．20．（2021•桂林）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．（1）求证：∠1＝∠2；（2）求证：△DOF≌△BOE．【答案】（1）略（2）略【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠2；（2）∵点O是BD的中点，∴OD＝OB，在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE（AAS）．21．（2021•宿迁）在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC 上，（填写序号）．求证：BE＝DF．【证明】略【解答】解：选②，如图，连接BF，DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴BE＝DF．故选择：②（答案不唯一）．22．（2021•怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）ED∥BF．【证明】（1）证明（2）证明【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DA＝BC，DA∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，∴∠EAD＝∠FCB，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）由（1）知，△ADE≌△CBF，∴∠E＝∠F，∴ED∥BF．命题点3 多边形及其性质类型一多边形的计算23．（2021•云南）一个十边形的内角和等于（）A．1800°B．1660°C．1440°D．1200°【答案】C【解答】解：根据多边形内角和公式得，十边形的内角和等于：（10﹣2）×180°＝8×180°＝1440°，故选：C．24．（2021•北京）下列多边形中，内角和最大的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A．三角形的内角和为180°；B．四边形的内角和为360°；C．五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°；D．六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°；故选：D．25．（2021•扬州）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（）A．220°B．240°C．260°D．280°【答案】D【解答】解：连接BD，∵∠BCD＝100°，∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣100°＝80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE＝360°﹣∠CBD﹣∠CDB＝360°﹣80°＝280°，故选：D．类型二正多边形的性质及计算26．（2020•百色）四边形的外角和等于（）A．180°B．360°C．400°D．540°【答案】B【解答】解：∵多边形外角和等于360°，∴四边形的外角和等于360°．故选：B．27．（2018•铜仁市）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．11【答案】A【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n﹣2）＝3×360°解得n＝8．故选：A．28．（2021•连云港）正五边形的内角和是（）A．360°B．540°C．720°D．900°【答案】B【解答】解：正五边形的内角和是：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°，故选：B．29．（2021•眉山）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（）A．1：3B．1：2C．2：1D．3：1【答案】D【解答】解：这个八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°；这个八边形的每个内角的度数为：1080°÷8＝135°；这个八边形的每个外角的度数为：360°÷8＝45°；∴这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：135：45＝3：1．故选：D．30．（2021•营口）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝19°，则∠2的度数为（）A．41°B．51°C．42°D．49°【答案】A【解答】解：方法一，如图，过点C作MC∥AB，则MC∥PH，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠D＝∠DEF＝＝120°，∵∠1＝19°，∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠B＝41°，∵MC∥AB，∴∠BCM＝∠3＝41°，∴∠MCD＝∠BCD﹣∠BCM＝79°，∵MC∥PH，∴∠PHD＝∠MCD＝79°，四边形PHDE的内角和是360°，∴∠2＝360°﹣∠PHD﹣∠D﹣∠DEF＝41°，方法二，如图，延长BA交GE于点H，∴∠GAH＝∠1＝19°，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴其每个外角都相等，∴∠AFH＝∠F AH＝60°，∴∠AHF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠2＝∠G＝∠AHF﹣∠GAH＝41°，故选：A．31．（2021•福建）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC 等于（）A．108°B．120°C．126°D．132°【答案】C【解答】解：∵△ABF是等边三角形，∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝108°，∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，∴∠BFC＝＝66°，∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，故选：C．32．（2021•株洲）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠F AI＝（）A．10°B．12°C．14°D．15°【答案】B【解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠F AB＝120°，∠IAB＝108°，∴∠F AI＝∠F AB﹣∠IAB＝120°﹣108°＝12°，故选：B．33．（2021•河北）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8，S△CDO ＝2，则S正六边形ABCDEF的值是（）A．20B．30C．40D．随点O位置而变化【答案】B【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为x，过E作FD的垂线，垂足为M，连接AC，∵∠FED＝120°，FE＝ED，∴∠EFD＝∠FDE，∴∠EDF＝（180°﹣∠FED）＝30°，∵正六边形ABCDEF的每个角为120°．∴∠CDF＝120°﹣∠EDF＝90°．同理∠AFD＝∠F AC＝∠ACD＝90°，∴四边形AFDC为矩形，∵S△AFO＝FO×AF，S△CDO＝OD×CD，在正六边形ABCDEF中，AF＝CD，∴S△AFO+S△CDO＝FO×AF+OD×CD ＝（FO+OD）×AF＝FD×AF＝10，∴FD×AF＝20，DM＝cos30°DE＝x，DF＝2DM＝x，EM＝sin30°DE＝，∴S正六边形ABCDEF＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC ＝AF×FD+2S△EFD＝x•x+2×x•x＝x2+x2＝x2＝（AF×FD）＝30，故选：B．34．（2021•丽水）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是．【答案】6或7【解答】解：设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝720，解得：n＝6．∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1，∴原多边形的边数为6或7，故答案为：6或7．35．（2021•衢州）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则∠AFB的度数为．【答案】72°【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝∠ABC＝＝108°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，同理∠CBD＝36°，∴∠AFB＝∠BCA+∠CBD＝72°，故答案为：72°．36．（2021•湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是度．【答案】36【解答】解：如图，∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，∴∠GFN＝∠FNM＝＝108°，∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝180°﹣108°＝72°，∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故答案为：36．37．（2021•上海）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积．【答案】【解答】解：如图，∵△ABG≌△BCH，∴AG＝BH，∵∠ABG＝30°，∴BG＝2AG，即BH+HG＝2AG，∴HG＝AG＝1，∴中间正六边形的面积＝6××12＝，故答案为：．类型三平面镶嵌38．（2021•铜仁市）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（）A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】C【解答】解：A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；C选项，正五边形的内角为108°，360÷108°＝3，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；故选：C．。
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2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题15多边形与平行四边形（共43题）一．选择题（共15小题）1．（2020•北京）正五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．【解析】任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．2．（2020•德州）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A．80米B．96米C．64米D．48米【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解析】根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，所以一共走了8×8＝64（米）．故选：C．3．（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为（）A．36°B．30°C．144°D．150°【分析】根据多边形的外角和为360°，再由正十边形的每一个外角都相等，进而求出每一个外角的度数．【解析】正十边形的每一个外角都相等，因此每一个外角为：360°÷10＝36°，故选：A．4．（2020•温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．【解析】∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝70°．故选：D．5．（2020•黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（）A．7B．8C．9D．10【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解析】360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选：D．6．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．【解析】∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．7．（2020•济宁）一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（）A．9B．8C．7D．6【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．【解析】设所求正n边形边数为n，则1080°＝（n﹣2）•180°，解得n＝8．故选：B．8．（2020•怀化）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．9【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）＝1080，解得：n＝8．故选：C．9．（2020•淮安）六边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．1080°【分析】利用多边形的内角和＝（n﹣2）•180°即可解决问题．【解析】根据多边形的内角和可得：（6﹣2）×180°＝720°．故选：C．10．（2020•广东）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解．【解析】设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5．故选：B．11．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．故选：B．12．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（）A．S1+S2＞S 2B．S1+S2＜S 2C．S1+S2=S 2D．S1+S2的大小与P点位置有关【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S 和S 1、S 2之间的关系，本题得以解决．【解析】过点P 作EF ⊥AD 交AD 于点E ，交BC 于点F ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ， ∴S ＝BC •EF ，S 1=AD⋅PE 2，S 2=BC⋅PF2， ∵EF ＝PE +PF ，AD ＝BC ， ∴S 1+S 2=S2， 故选：C ．13．（2020•陕西）如图，在▱ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8．E 是边BC 的中点，F 是▱ABCD 内一点，且∠BFC ＝90°．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若EF ∥AB ，则DG 的长为（ ）A ．52B ．32C ．3D ．2【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF 的长，再根据梯形中位线定理，即可得到CG 的长，进而得出DG 的长．【解析】∵E 是边BC 的中点，且∠BFC ＝90°， ∴Rt △BCF 中，EF =12BC ＝4，∵EF ∥AB ，AB ∥CG ，E 是边BC 的中点， ∴F 是AG 的中点，∴EF 是梯形ABCG 的中位线， ∴CG ＝2EF ﹣AB ＝3， 又∵CD ＝AB ＝5， ∴DG ＝5﹣3＝2， 故选：D ．14．（2020•自贡）如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2，AB =√6，∠B 是锐角，AE ⊥BC 于点E ，F 是AB 的中点，连结DF 、EF ．若∠EFD ＝90°，则AE 长为（ ）A ．2B ．√5C ．3√22D ．3√32【分析】如图，延长EF 交DA 的延长线于Q ，连接DE ，设BE ＝x ．首先证明DQ ＝DE ＝x +2，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】如图，延长EF 交DA 的延长线于Q ，连接DE ，设BE ＝x ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DQ ∥BC ， ∴∠Q ＝∠BEF ，∵AF ＝FB ，∠AFQ ＝∠BFE ， ∴△QF A ≌△EFB （AAS ）， ∴AQ ＝BE ＝x ， ∵∠EFD ＝90°， ∴DF ⊥QE ， ∴DQ ＝DE ＝x +2， ∵AE ⊥BC ，BC ∥AD ， ∴AE ⊥AD ，∴∠AEB ＝∠EAD ＝90°， ∵AE 2＝DE 2﹣AD 2＝AB 2﹣BE 2， ∴（x +2）2﹣4＝6﹣x 2， 整理得：2x 2+4x ﹣6＝0， 解得x ＝1或﹣3（舍弃）， ∴BE ＝1，∴AE =√AB 2−BE 2=√6−1=√5，故选：B．15．（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC ＝3．下列结论：①DE=12BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2√5．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】证出DE是△ABC的中位线，则DE=12BC；①正确；证出DF＝BC，则四边形DBCF是平行四边形；②正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12AB＝BD，则CF＝CD，得出∠CFE＝∠CDE，证∠CDE＝∠EGF，则∠CFE＝∠EGF，得出EF＝EG，③正确；作EH⊥FG于H，由等腰三角形的性质得出FH＝GH=12FG＝1，证△EFH∽△CEH，则EHCH=FHEH，求出EH＝2，由勾股定理的EF=√5，进而得出BC＝2√5，④正确．【解答】解；∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴AE＝CE，DE=12BC；①正确；∵EF＝DE，∴DF＝BC，∴四边形DBCF 是平行四边形；②正确； ∴CF ∥BD ，CF ＝BD ，∵∠ACB ＝90°，CD 为斜边AB 的中线， ∴CD =12AB ＝BD ， ∴CF ＝CD ， ∴∠CFE ＝∠CDE ，∵∠CDE +∠EGC ＝180°，∠EGF +∠EGC ＝180°， ∴∠CDE ＝∠EGF ， ∴∠CFE ＝∠EGF ， ∴EF ＝EG ，③正确； 作EH ⊥FG 于H ，如图所示：则∠EHF ＝∠CHE ＝90°，∠HEF +∠EFH ＝∠HEF +∠CEH ＝90°，FH ＝GH =12FG ＝1， ∴∠EFH ＝∠CEH ，CH ＝GC +GH ＝3+1＝4， ∴△EFH ∽△CEH ， ∴EH CH=FH EH，∴EH 2＝CH ×FH ＝4×1＝4， ∴EH ＝2，∴EF =√FH 2+EH 2=√12+22=√5， ∴BC ＝2DE ＝2EF ＝2√5，④正确； 故选：D ．二．填空题（共15小题）16．（2020•湘西州）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是 6 ．【分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解析】设该多边形的边数为n ，根据题意，得，（n ﹣2）•180°＝720°， 解得：n ＝6．故这个多边形的边数为6． 故答案为：617．（2020•福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC ＝ 30 度．【分析】由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC 的度数． 【解析】正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6=120°，所以∠ABC ＝120°﹣90°＝30°， 故答案为：30．18．（2020•陕西）如图，在正五边形ABCDE 中，DM 是边CD 的延长线，连接BD ，则∠BDM 的度数是 144° ．【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．【解析】因为五边形ABCDE 是正五边形， 所以∠C =(5−2)⋅180°5=108°，BC ＝DC ， 所以∠BDC =180°−108°2=36°， 所以∠BDM ＝180°﹣36°＝144°， 故答案为：144°．19．（2020•烟台）已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为 1260° ． 【分析】利用任意多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．【解析】正n 边形的每个外角相等，且其和为360°， 据此可得360°n=40°，解得n ＝9．（9﹣2）×180°＝1260°， 即这个正多边形的内角和为1260°． 故答案为：1260°．20．（2020•河北）正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的4倍，则n ＝ 12 ．【分析】根据多边形的内角和公式求出正六边形的一个内角等于120°，再根据多边形的外角和是360°即可解答．【解析】正六边形的一个内角为：(6−2)×180°6=120°，∵正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的4倍， ∴正n 边形一个外角为：120°÷4＝30°， ∴n ＝360°÷30°＝12． 故答案为：12．21．（2020•衡阳）已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于 12 ． 【分析】根据多边形的外角和等于360°列式计算即可．【解析】∵一个n 边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°， ∴n ＝360°÷30°＝12． 故答案为：12．22．（2020•重庆）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 6 ． 【分析】n 边形的内角和可以表示成（n ﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解． 【解析】设这个多边形的边数为n ，依题意，得： （n ﹣2）•180°＝2×360°， 解得n ＝6． 故答案为：6．23．（2020•遂宁）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 36 度．【分析】首先设此多边形为n 边形，根据题意得：180（n ﹣2）＝1440，即可求得n ＝10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案． 【解析】设此多边形为n 边形， 根据题意得：180（n ﹣2）＝1440，解得：n ＝10，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°． 故答案为：36．24．（2020•扬州）如图，在▱ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝10，BC ＝8，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED 并延长至点F ，使得DF =14DE ，以EC 、EF 为邻边构造▱EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值为 9√3 ．【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD 和EF 的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG 的最小值，本题得以解决． 【解析】作CH ⊥AB 于点H ， ∵在▱ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝8， ∴CH ＝4√3，∵四边形ECGF 是平行四边形， ∴EF ∥CG ， ∴△EOD ∽△GOC ， ∴EO GO=DO OC=ED GC，∵DF =14DE ， ∴DE EF =45，∴ED GC =45，∴EO GO=45，∴当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值， 当EO ⊥CD 时，EO 取得最小值， ∴CH ＝EO ， ∴EO ＝4√3， ∴GO ＝5√3，故答案为：9√3．25．（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是26°．【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB ＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，∴∠BAC＝26°，故答案为：26°．26．（2020•天津）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为32．【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF 和BE 的长，然后可以证明△DCG 和△EHG 全等，然后即可得到CG 的长． 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，CD ＝AB ，DC ∥AB ， ∵AD ＝3，AB ＝CF ＝2， ∴CD ＝2，BC ＝3， ∴BF ＝BC +CF ＝5，∵△BEF 是等边三角形，G 为DE 的中点， ∴BF ＝BE ＝5，DG ＝EG ， 延长CG 交BE 于点H ， ∵DC ∥AB ， ∴∠CDG ＝∠HEG ， 在△DCG 和△EHG 中， {∠CDG =∠HEGDG =EG ∠DGC =∠EGH， ∴△DCG ≌△EHG （ASA ）， ∴DC ＝EH ，CG ＝HG ， ∵CD ＝2，BE ＝5， ∴HE ＝2，BH ＝3，∵∠CBH ＝60°，BC ＝BH ＝3， ∴△CBH 是等边三角形， ∴CH ＝BC ＝3， ∴CG =12CH =32， 故答案为：32．AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于16．【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，证OE是△ABD的中位线，则AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝4，则AB+AD＝2AE+2OE＝8，即可得出答案．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB＝2OE，AD＝2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE＝5，∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×8＝16；故答案为：16．28．（2020•甘孜州）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE的度数为50°．【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠EAD＝40°，由角的互余关系得出∠BCE＝90°﹣∠B＝50°即可．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝40°，∵CE⊥AB，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝50°；故答案为：50°．29．（2020•黔东南州）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为（2，﹣1）．【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．【解析】∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），∴点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．30．（2020•金华）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是30°．【分析】根据平行四边形的性质解答即可．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D+∠C＝180°，∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，故答案为：30．三．解答题（共13小题）31．（2020•黄冈）已知：如图，在▱ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点【分析】只要证明△AOD ≌△EOC （ASA ）即可解决问题； 【解答】证明：∵O 是CD 的中点， ∴OD ＝CO ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠D ＝∠OCE ， 在△ADO 和△ECO 中， {∠D =∠OCEOD =OC ∠AOD =∠EOC， ∴△AOD ≌△EOC （ASA ）， ∴AD ＝CE ．32．（2020•孝感）如图，在▱ABCD 中，点E 在AB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，满足BE ＝DF ．连接EF ，分别与BC ，AD 交于点G ，H ． 求证：EG ＝FH ．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，∠ABC ＝∠FDH ，在△BEG 与△DFH 中，{∠E =∠FBE =DF ∠EBG =∠FDH ，∴△BEG ≌△DFH （ASA ）， ∴EG ＝FH ．的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．（1）求证：△AMB≌△CND；（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB≌△CND；（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．【解析】（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝CO，又∵点M，N分别为OA、OC的中点，∴AM＝CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAM＝∠DCN，∴△AMB≌△CND（SAS）；（2）∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，又∵BM＝EM，∴DN＝EM，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∴∠MBO＝∠NDO，∴ME∥DN∴四边形DEMN是平行四边形，∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB，∴BM⊥AO，∴∠EMN＝90°，∴四边形DEMN是矩形，∵AB＝5，DN＝BM＝4，∴AM＝3＝MO，∴MN＝6，∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．34．（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，进而得出EF的长；（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=3 2，（2）四边形AECF 是菱形， 理由：∵△AOE ≌△COF ， ∴AE ＝CF ， 又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形， 又∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．35．（2020•广元）已知▱ABCD ，O 为对角线AC 的中点，过O 的一条直线交AD 于点E ，交BC 于点F ． （1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）若AE ：AD ＝1：2，△AOE 的面积为2，求▱ABCD 的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，得出∠EAO ＝∠FCO ，由ASA 即可得出结论； （2）由于AE ：AD ＝1：2，O 为对角线AC 的中点，得出△AEO ∽△ADC ，根据△AOE 的面积为2，可得△ADC 的面积，进而得到平行四边形ABCD 的面积． 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠EAO ＝∠FCO ， ∵O 是AC 的中点， ∴OA ＝OC ，在△AOE 和△COF 中，{∠EAO =∠FCOOA =OC ∠AOE =∠COF ，∴△AOE ≌△COF （ASA ）；（2）∵AE ：AD ＝1：2，O 为对角线AC 的中点，∵∠EAO ＝∠DAC ， ∴△AEO ∽△ADC ， ∵△AOE 的面积为2， ∴△ADC 的面积为8，∴平行四边形ABCD 的面积为16．36．（2020•青岛）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE ＝BF ，连接AE ，CF ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）连接AF ，CE ．当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可以得到AD ＝CB ，∠ADC ＝∠CBA ，从而可以得到∠ADE ＝∠CBF ，然后根据SAS 即可证明结论成立；（2）根据BD 平分∠ABC 和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD 是菱形，从而可以得到AC ⊥BD ，然后即可得到AC ⊥EF ，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE 是平行四边形，然后根据AC ⊥EF ，即可得到四边形AFCE 是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝CB ，∠ADC ＝∠CBA ， ∴∠ADE ＝∠CBF ， 在△ADE 和△CBF 中， {AD =CB∠ADE =∠CBF DE =BF， ∴△ADE ≌△CBF （SAS ）；（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形， 理由：∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ∥BC ，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．37．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；（2）求证：AE＝CF．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的性质解决问题即可．（2）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论．【解答】（1）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝40°，（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．38．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE＝DF．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线的定义得到∠BCD＝2∠BCF，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE＝∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF，∴∠BCD ＝120°，∴∠ABC ＝180°﹣120°＝60°；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠DCB ，∴∠ABE ＝∠CDF ，∵AE ，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB ，∴∠BAE =12∠BAD ，∠DCF =12∠BCD ，∴∠BAE ＝∠DCE ，∴△ABE ≌△CDF （ASA ），∴BE ＝CF ．39．（2020•绍兴）如图，点E 是▱ABCD 的边CD 的中点，连结AE 并延长，交BC 的延长线于点F ．（1）若AD 的长为2，求CF 的长．（2）若∠BAF ＝90°，试添加一个条件，并写出∠F 的度数．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥CF ，则∠DAE ＝∠CFE ，∠ADE ＝∠FCE ，由点E 是CD 的中点，得出DE ＝CE ，由AAS 证得△ADE ≌△FCE ，即可得出结果；（2）添加一个条件当∠B ＝60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CF ，∴∠DAE ＝∠CFE ，∠ADE ＝∠FCE ，∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，在△ADE 和△FCE 中，{∠DAE =∠CFE∠ADE =∠FCE DE =CE，∴△ADE ≌△FCE （AAS ），∴CF ＝AD ＝2；（2）∵∠BAF ＝90°，添加一个条件：当∠B ＝60°时，∠F ＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．40．（2020•新疆）如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE ∥BF ，且分别交对角线AC 于点E ，F ，连接BE ，DF ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）若BE ＝DE ，求证：四边形EBFD 为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD ＝CB ，AD ∥CB ，从而可以得到∠DAE ＝∠BCF ，再根据DE ∥BF 和等角的补角相等，从而可以得到∠AED ＝∠CFB ，然后即可证明△ADE 和△CBF 全等，从而可以得到AE ＝CF ；（2）根据（1）中的△ADE 和△CBF 全等，可以得到DE ＝BF ，再根据DE ∥BF ，即可得到四边形EBFD 是平行四边形，再根据BE ＝DE ，即可得到四边形EBFD 为菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE ＝∠BCF ，∵DE ∥BF ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠AED ＝∠CFB ，在△ADE 和△CBF 中，{∠DAE =∠BCF∠AED =∠CFB AD =CB，∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）证明：由（1）知△ADE ≌△CBF ，则DE ＝BF ，又∵DE ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BE ＝DE ，∴四边形EBFD 为菱形．41．（2020•岳阳）如图，点E ，F 在▱ABCD 的边BC ，AD 上，BE =13BC ，FD =13AD ，连接BF ，DE ． 求证：四边形BEDF 是平行四边形．【分析】根据平行四边形的性质得出AD ＝BC ，AD ∥BC ，进而得出DF ＝BE ，利用平行四边形的判定解答即可．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵BE =13BC ，FD =13AD ，∴BE ＝DF ，∵DF ∥BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形．42．（2020•淮安）如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AC 与EF 相交于点O ，且AO ＝CO ．（1）求证：△AOF ≌△COE ；（2）连接AE 、CF ，则四边形AECF 是 （填“是”或“不是”）平行四边形．【分析】（1）由ASA 证明△AOF ≌△COE 即可；（2）由全等三角形的性质得出FO ＝EO ，再由AO ＝CO ，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠OAF ＝∠OCE ，在△AOF 和△COE 中，{∠OAF =∠OCEAO =CO ∠AOF =∠COE，∴△AOF ≌△COE （ASA ）（2）解：四边形AECF 是平行四边形，理由如下：由（1）得：△AOF≌△COE，∴FO＝EO，又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形；故答案为：是．43．（2020•陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC＝∠C，在由∠B＝∠C得∠DEC＝∠B，所以AB∥DE，得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出结论．【解答】证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD＝BE．。