第三讲 进制介绍及转换
进制互相转换规则
进制互相转换规则一、进制的概念进制是数学中用来表示数值大小的一种方法。
常见的进制有十进制、二进制、八进制和十六进制。
不同进制之间的转换规则是数学中一个重要的基础知识点。
二、十进制与二进制的转换规则1. 十进制转二进制：将十进制数不断除以2，直到商为0为止。
将每次的余数从下往上排列，得到的二进制数就是原十进制数的二进制表示。
例如：将十进制数13转换为二进制数，过程如下：13 ÷ 2 = 6 余 16 ÷ 2 = 3 余 03 ÷ 2 = 1 余 11 ÷2 = 0 余 1从下往上排列余数，得到的二进制数为1101。
2. 二进制转十进制：将二进制数从右往左依次乘以2的幂次方，幂次方从0开始递增。
将每次乘积相加，得到的和就是原二进制数对应的十进制数。
例如：将二进制数1101转换为十进制数，过程如下：1 × 2^3 + 1 × 2^2 + 0 × 2^1 + 1 × 2^0 = 13三、十进制与八进制的转换规则1. 十进制转八进制：将十进制数不断除以8，直到商为0为止。
将每次的余数从下往上排列，得到的八进制数就是原十进制数的八进制表示。
例如：将十进制数56转换为八进制数，过程如下：56 ÷ 8 = 7 余 07 ÷ 8 = 0 余 7从下往上排列余数，得到的八进制数为70。
2. 八进制转十进制：将八进制数从右往左依次乘以8的幂次方，幂次方从0开始递增。
将每次乘积相加，得到的和就是原八进制数对应的十进制数。
例如：将八进制数70转换为十进制数，过程如下：7 × 8^1 + 0 × 8^0 = 56四、十进制与十六进制的转换规则1. 十进制转十六进制：将十进制数不断除以16，直到商为0为止。
将每次的余数从下往上排列，得到的十六进制数就是原十进制数的十六进制表示。
其中，10表示为A，11表示为B，以此类推，15表示为F。
计算机基础——进制与进制的转换
计算机基础——进制与进制的转换进制是计量系统中用来表示数字的一种方法，主要包括十进制、二进制、八进制和十六进制。
在计算机科学中，不同进制的转换是基础中的基础，对于理解计算机内部的数据表示方式以及进行编程、网络通信等方面都具有重要作用。
本文将详细介绍不同进制的表示方法和转换方式。
一、进制的定义和表示1. 十进制（Decimal）十进制是我们平时最常用的进制，使用0-9这10个数字来表示数值。
每位的权重是10的n次方，从右到左依次是10的0次方、10的1次方、10的2次方，依此类推。
例如，数值256在十进制中表示为2*10^2+5*10^1+6*10^0=200+50+6=2562. 二进制（Binary）二进制是计算机内部最基本的进制，只使用0和1这两个数字来表示数值。
每位的权重是2的n次方，从右到左依次是2的0次方、2的1次方、2的2次方，依此类推。
例如，数值101在二进制中表示为1*2^2+0*2^1+1*2^0=4+0+1=53. 八进制（Octal）八进制使用0-7这8个数字来表示数值。
每位的权重是8的n次方，从右到左依次是8的0次方、8的1次方、8的2次方，依此类推。
例如，数值73在八进制中表示为7*8^1+3*8^0=56+3=614. 十六进制（Hexadecimal）十六进制使用0-9和A-F这16个数字来表示数值，其中A表示10，B表示11，以此类推。
每位的权重是16的n次方，从右到左依次是16的0次方、16的1次方、16的2次方，依此类推。
例如，数值3F在十六进制中表示为3*16^1+F*16^0=48+15=63二、进制之间的转换十进制到二进制的转换原理是将十进制数不断除以2，直到商为0，然后将每次的余数倒序排列。
例如，将十进制数19转换为二进制：19/2=9余19/2=4余14/2=2余02/2=1余01/2=0余1二进制到十进制的转换原理是将二进制数的每位与对应的权重相乘，然后将乘积相加。
进制之间的转换讲解
进制之间的转换讲解一、十进制转二进制在计算机中，二进制是最基本的进制，因此我们经常需要将十进制数转换为二进制数。
转换的方法是不断地用十进制数除以2，并将余数记录下来，直到商为0为止。
最后将记录的余数反向排列即得到二进制数。
例如，将十进制数23转换为二进制数：23 ÷ 2 = 11 余 111 ÷ 2 = 5 余 15 ÷ 2 = 2 余 12 ÷ 2 = 1 余 01 ÷2 = 0 余 1将余数反向排列得到的二进制数为10111，即23的二进制表示为10111。
二、二进制转十进制二进制转换为十进制的方法是将二进制数从右往左依次乘以2的幂，然后将结果相加。
从右往左的第一位为2^0，第二位为2^1，依次类推。
例如，将二进制数10111转换为十进制数：1 × 2^4 + 0 × 2^3 + 1 × 2^2 + 1 × 2^1 + 1 × 2^0 = 16 +0 + 4 + 2 + 1 = 23三、十进制转八进制八进制是基于8的进制，因此将十进制数转换为八进制数的方法与将十进制数转换为二进制数类似。
不断地用十进制数除以8，并将余数记录下来，直到商为0为止。
最后将记录的余数反向排列即得到八进制数。
例如，将十进制数71转换为八进制数：71 ÷ 8 = 8 余 78 ÷ 8 = 1 余 01 ÷ 8 = 0 余 1将余数反向排列得到的八进制数为107，即71的八进制表示为107。
四、八进制转十进制八进制转换为十进制的方法是将八进制数从右往左依次乘以8的幂，然后将结果相加。
从右往左的第一位为8^0，第二位为8^1，依次类推。
例如，将八进制数107转换为十进制数：1 × 8^2 + 0 × 8^1 + 7 × 8^0 = 64 + 0 + 7 = 71五、十进制转十六进制十六进制是基于16的进制，因此将十进制数转换为十六进制数的方法与将十进制数转换为二进制数类似。
进制的转换——精选推荐
进制的转换进制1.1. 进制的简介进制也就是进位计数制，是⼈为定义的带进位的计数⽅法（有不带进位的计数⽅法，⽐如原始的结绳计数法，唱票时常⽤的“正”字计数法，以及类似的tally mark计数）。
对于任何⼀种进制---X进制，就表⽰每⼀位置上的数运算时都是逢X进⼀位。
⼗进制是逢⼗进⼀，⼗六进制是逢⼗六进⼀，⼆进制就是逢⼆进⼀，以此类推，x进制就是逢x进位。
1.2. 进制的分类在程序中，常⽤的进制可以分为以下⼏种：⼆进制：以数字0-1来表⽰每⼀个⾃然数，逢2进1。
⼋进制：以数字0-7来表⽰每⼀个⾃然数，逢8进1。
⼗进制：以数字0-9来表⽰每⼀个⾃然数，逢10进1。
⼗六进制：以数字0-9，a-f来表⽰每⼀个⾃然数，逢16进1。
1.3. 进制的表⽰同⼀个⾃然数，⽤不同的进制表⽰的话，结果可能是不⼀样的。
例如，数字10，如果是⼆进制，表⽰数字2；如果是⼋进制，表⽰数字8；如果是⼗进制，表⽰数字10；如果是⼗六进制，表⽰数字16。
因此，不同的进制，需要有不同的标识，来区分不同的进制。
⼆进制：以0b作为开头，表⽰⼀个⼆进制的数字，例如：0b10、0b1001...⼋进制：以 0 作为开头，表⽰⼀个⼋进制的数字，例如：010、027...⼗进制：没有以任何其他的内容作为开头，表⽰⼀个⼗进制的数字，例如：123、29...⼗六进制：以0x作为开头，表⽰⼀个⼗六进制的数字，例如：0x1001、0x8F3C..1.4. 进制的转换1.4.1. ⼗进制转其他进制辗转相除法：⽤数字除进制，再⽤商除进制，⼀直到商为零结束，最后将每⼀步得到的余数倒着连接以来，就是这个数字的指定的进制表⽰形式。
18 = 0b10010 = 022 = 0x121.4.2. 其他进制转⼗进制每⼀位的数字乘进制的位数-1次⽅，再将所有的结果累加到⼀起。
0b 10010 =1x2^4 +1x2^1 =16+2= 18022 =2x8^1 +2x8^0 =16+2= 180x12 =1x16^1 +2x16^0 =16+2= 181.4.3. ⼆进制与⼋进制, ⼗六进制的相互转换每⼀个⼋进制位可以等价替换成三个⼆进制位。
进制转换(简介)
预先制作一张十进制到二进制的转换表，根据十进制数在表中查找对应的二进制数。这种方法适用于简单的十进 制数转换，但对于较大的十进制数可能不太方便。
十六进制转十进制
乘权求和法
将十六进制数中的每一位分别乘以对应的权值（16的幂次方），然后求和得到十进 制数。例如，十六进制数A9F转换为十进制数是10×16^2 + 9×16^1 + 15×16^0 = 2889。
05
进制转换的扩展知识
不同进制的比较
二进制（Binary）
只有0和1两种数字，是计算机内部数据存储的基本单位。
八进制（Octal）
有0-7共8种数字，常用于某些编程语言中。
十进制（Decimal）
是我们日常生活中最常用的数字，有0-9共10种数字。
十六进制（Hexadecimal）
有0-9和A-F共16种数字，常用于表示计算机中的地址和内存单元。
03
十六进制转十进制
将十六进制数按权展开求和即可得到十进制 数。
05
02
十进制转二进制
将十进制数不断除以2，记录余数，直到商 为0为止，将所有余数倒序排列即可得到二 进制数。
04
十进制转八进制
将十进制数不断除以8，记录余数， 直到商为0为止，将所有余数倒序排 列即可得到八进制数。06Biblioteka 十进制转十六进制查表法
预先制作一张二进制到十进制的转换表，根据二进制数在表中查找对应的十进 制数。这种方法适用于简单的二进制数转换，但对于较长的二进制数可能不太 方便。
十进制转二进制
除2取余法
将十进制数除以2，取余数作为二进制数的最低位，然后再将商继续除以2，取余数作为二进制数的次低位，以此 类推，直到商为0为止。例如，十进制数23转换为二进制数是10101。
进制转换详解
进制转换详解进制转换是数学中的一项基础操作，它将数字从一种进制表示转换为另一种进制表示。
进制是一种数学概念，用来表示数的基数。
常见的进制有十进制、二进制、八进制和十六进制。
在进制转换中，我们需要了解每种进制的表示方法和权重。
例如，十进制是我们平常使用的数字系统，它包括0到9这10个数字。
二进制是计算机中常用的数字系统，它只包括0和1这两个数字。
八进制是一种较少使用的数字系统，它包括0到7这8个数字。
十六进制也是一种计算机常用的数字系统，它包括0到9和A到F这16个数字，其中A代表10，B代表11，依此类推。
进制转换的方法主要有两种：逐位转换和除法余数法。
逐位转换是指将数字的每一位按照权重进行转换，然后将结果相加得到最终的转换结果。
例如，将十进制数57转换为二进制数，我们可以逐位转换得到101001。
除法余数法是指将十进制数除以目标进制的基数，并将余数作为转换结果的最低位，再将商继续除以基数，直到商为0为止。
最后将所有余数按照计算顺序从低位到高位排列，得到最终的转换结果。
进制转换在计算机科学、电子工程等领域中起着重要的作用。
例如，在计算机中，二进制被用于表示和存储数据，而八进制和十六进制则常用于调试和显示数据。
进制转换还可以帮助我们理解数字的内在规律，加深对数学概念的理解和应用。
总结起来，进制转换是数学中的一项基础操作，它将数字从一种进制表示转换为另一种进制表示。
我们可以使用逐位转换或除法余数法来进行进制转换。
进制转换在计算机科学、电子工程等领域中起着重要的作用，帮助我们理解数字的内在规律和应用数学概念。
通过学习和应用进制转换，我们可以更好地理解和应用数字。
进制以及进制转换详解通用课件
• 进制基本概念 • 十进制 • 二进制 • 八进制 • 十六进制 • 进制的转换
01
进制基本概念
什么是进制
01
02
03
04
进制的定义
一种计数系统，按照不同的进 位方式采用不同的基数。
十进制的定义
以10为基数，逢十进位的计 数系统。
二进制的定义
以2为基数，逢二进位的计数 系统。
十六进制的定义
以16为基数，逢十六进位的 计数系统。
进制的特点
基数特点
每种进制的基数都是固定的，例如十进制的基数是10，二进制、八进制和十六进制的基 数是2、8和16。
进位方式
每种进制的进位方式都是不同的。例如，十进制采用“逢十进一”的方式，二进制采用“ 逢二进一”的方式。
表示方式
不同进制的数可以用不同的表示方式。例如，十进制数用阿拉伯数字表示，二进制数用二 进制数字表示（0和1），十六进制数用十六进制数字表示（0-9和A-F）。
二进制与十六进制的转换
总结词
二进制和十六进制之间的转换在计算机 科学领域中非常常见，它们之间的转换 方法也与二进制和十进制之间的转换类 似。
VS
详细描述
二进制和十六进制之间的转换同样是通过 乘以或除以相应的基数来实现的。例如， 二进制转十六进制，可以通过将二进制数 按权展开并相加得到十六进制数；而十六 进制转二进制，则可以通过不断除以16 并取余数的方法得到二进制数。
进制的分类
无符号进制
没有负数的进制。例如，二进制 、八进制和十六进制都是无符号 进制。
有符号进制
有正数和负数的进制。例如，十 进制是有符号进制。
02
十进制
十进制的特点
进制转换原理
进制转换原理进制转换是指将一个数值从一种进制表示方式转换为另一种进制表示方式的过程。
常见的进制包括十进制、二进制、八进制及十六进制。
在进行进制转换时，需要了解每种进制的权重计算方式。
以十进制为例，权重是按数字所在位数依次递增的，从右到左依次为1、10、100、1000，以此类推。
而在二进制中，权重是按2的幂次递增的，从右到左依次为1、2、4、8，以此类推。
进制转换的过程是通过对原数值依次进行除法和取余操作，将数值从原进制转换为目标进制。
具体步骤如下：1. 将原数值除以目标进制的基数，并记录商和余数。
2. 将记录的余数作为目标进制下对应位的数值。
3. 将商作为新的被除数，重复步骤1和步骤2，直至商为0为止。
4. 将所有记录的余数按相反顺序排列，得到目标进制下的数值。
举例来说，将十进制数值18转换为二进制数值的过程如下：1. 将18除以2，商为9，余数为0。
2. 用余数0作为二进制的个位数。
3. 将9除以2，商为4，余数为1。
4. 用余数1作为二进制的十位数。
5. 将4除以2，商为2，余数为0。
6. 用余数0作为二进制的百位数。
7. 将2除以2，商为1，余数为0。
8. 用余数0作为二进制的千位数。
9. 将1除以2，商为0，余数为1。
10. 用余数1作为二进制的万位数。
11. 将记录的余数按从高位到低位的顺序排列，得到二进制数值11010。
通过以上步骤，将十进制数值18成功转换为二进制数值11010。
同样的方法也适用于将其他进制转换为十进制，以及不同进制之间的相互转换。
进制的概念及换算
进制的概念及换算
进制的概念
进制是一种数制，用于表示数字的方法。
我们平常所用的十进制是指
数的基数为10，即0~9的数码组成数位的计数方式。
在计算机科学中，通常采用二进制与十六进制表示数据。
其中，二进制使用0和1两个
数码组成数位，十六进制使用0到9和 A~F 十六个数码组成数位。
二进制与十六进制的换算
二进制与十六进制之间的转换十分常见，这里给出简单的几个例子：
1. 将二进制数 11010110101 转换成十六进制数，可以采用按位取数法
得出：
1101 0110 1010 -> D 6 A -> 结果为 D6A
2. 将十六进制数 F3C1 转换成二进制数，可以对每个十六进制数码进行
如下转换：
F -> 1111
3 -> 0011
C -> 1100
1 -> 0001
_______
结果为 1111 0011 1100 0001
进制的换算
除了二进制与十六进制之间的转换，各个进制之间的转换同样常见。
下面列举了一些进制之间的互相换算：
1. 二进制与八进制之间的转换，可以考虑将二进制数按照每三个二进制位分组，并将其转换为对应的八进制数码。
2. 十进制与十六进制之间的转换，可以类比于二进制与十六进制之间的转换，将十进制数分成四位一组，按照对应的十六进制数码表示。
3. 八进制与十进制之间的转换，可以采用幂级数法，将各个八进制位上的数码乘以对应的8的幂值，再相加得出十进制数。
进制的换算在计算机科学中非常重要，掌握进制的换算可以帮助我们更好地理解计算机底层的运算原理，并在编写程序时更加规范、高效地处理数据。
计算机中进制及进制转换
计算机中进制及进制转换计算机中的进制是指用来表示数字的基数，常见的进制有二进制（base-2）、八进制（base-8）、十进制（base-10）和十六进制（base-16）等。
进制转换是将一个数从一种进制表示转换为另一种进制表示的过程。
本文将介绍计算机中常见的进制及其转换方法。
一、二进制：二进制是最基本的进制，在计算机中广泛使用。
二进制中只包含0和1两个数字，称为位（bit），是计算机中数据的最小单位。
二进制中每一位的权重是2的幂，从右往左递增，分别为2^0、2^1、2^2、2^3...。
例如，二进制数1010表示10，计算方式是1乘以2的3次方加上0乘以2的2次方再加上1乘以2的1次方加上0乘以2的0次方。
二、八进制：八进制是一种用8个数字来表示数值的进制。
八进制中的每一位的权重是8的幂，从右往左递增，分别为8^0、8^1、8^2、8^3...。
例如，八进制数75表示61，计算方式是7乘以8的1次方加上5乘以8的0次方。
三、十进制：十进制是我们日常生活中常用的进制，也是最容易理解的进制。
十进制中的每一位的权重是10的幂，从右往左递增，分别为10^0、10^1、10^2、10^3...。
例如，十进制数123表示123，计算方式是1乘以10的2次方加上2乘以10的1次方再加上3乘以10的0次方。
四、十六进制：十六进制是一种用16个数字（0-9以及A-F）来表示数值的进制。
十六进制中的每一位的权重是16的幂，从右往左递增，分别为16^0、16^1、16^2、16^3...。
为了区分十六进制和十进制，在十六进制数的末尾通常会添加"h"或"0x"作为标识。
例如，十六进制数1A7表示423，计算方式是1乘以16的2次方加上10（表示A）乘以16的1次方再加上7乘以16的0次方。
进制转换：在计算机中，经常需要进行不同进制的转换，下面将介绍一些常见的进制转换方法。
1.二进制转八进制和十六进制：2.八进制和十六进制转二进制：3.十进制转二进制、八进制和十六进制：十进制转换为二进制的方法是不断除以2，将每一步的余数作为二进制数的一位，直到商为0为止。
进制以及进制转换课件
所以， (215.675)10=（ 11010111.1011）2
进制以及进制转换
10
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
进制以及进制转换
11
0.3750×2=0.75 整数部分=0
0.75×2=1.5 整数部分=1
0.50×2=1
整数部分=1 （低位）
所以，（0.6875）10=（0.1011）2
进制以及进制转换
9
说明：对一个既有整数又有小数部分的十进制数，只要分 别把整数部分和小数部分转换成二进制即可
练习：将(215.675)10转换成二进制数
例(2AB.C)16 =(2×162+10×161+11×160+12×16-1)10 =(683.75)10
练习：将十六进制数A7D.E转换成十进制数
答案：
(A7D.E)16=(10×162+7×161+13×160+14×16-1 )10
=(2685.875)10
进制以及进制转换
6
说明：其他进制转换成十进制可类似进 行。如七进制、十二进制、二十四进制 等，只须改变基数即可。
进制及进制转换
伊嘉儿数学
进制以及进制转换
1
数值数据在计算机中表示
数值型数据在计算机中如何表示？
二进制
进制以及进制转换
2
进制及表示形式
1、 二进制：它只使用“0”和“1”两个不同的数字符号，采用的是“逢二 进一”。例如，二进制数(110.01)2。 2、 八进制：它使用0~7数字符号，采用的是“逢八进一”。例如，二进 制数(307.76) 。 8 3、 十进制：它使用0~9数字符号，采用的是“逢十进一”。例如，二进 制数(198.76) 。 4、 十六进制：使1用0 0~9A/B/C/D/E/F数字符号，采用的是“逢十六进一” 例如，十六进制数(2AB.C)16 。
进制间的相互换算
一：简述：进位计数制：是人们利用符号来计数的方法。
一种进位计数制包含一组数码符号和两个基本因素。
（1）数码：用不同的数字符号来表示一种数制的数值，这些数字符号称为”数码”。
（2）基：数制所使用的数码个数称为”基”。
（3）权：某数制每一位所具有的值称为”权”。
二：进制转换的理论1、二进制数、十六进制数转换为十进制数：用按权展开法把一个任意R进制数an an-1 ...a1a0 . a-1 a-2...a-m转换成十进制数，其十进制数值为每一位数字与其位权之积的和。
an×R n + an-1×R n-1 +…+ a1×R 1 + a0×R 0 + a-1 ×R-1+ a-2×R-2+ …+ a-m×R-m2：十进制转化成R进制十进制数轮换成R进制数要分两个部分：整数部分：除R取余数，直到商为0，得到的余数即为二进数各位的数码，余数从右到左排列(反序排列)。
小数部分：乘R取整数，得到的整数即为二进数各位的数码，整数从左到右排列(顺序排列)。
3：十六进制转化成二进制每一位十六进制数对应二进制的四位，逐位展开。
4：二进制转化成十六进制将二进制数从小数点开始分别向左（对二进制整数）或向右（对二进制小数）每四位组成一组，不足四位补零。
三：具体实现1：二进制转换成十进制任何一个二进制数的值都用它的按位权展开式表示。
例如：将二进制数(10101.11)2转换成十进制数。
（10101.11）2＝1*24＋0*23＋1*22＋0*21＋1*20＋1*2-1＋1*2-2 ＝24＋22＋20＋2-1+2-2＝(21.75)102：十进制整理转换成二进制将十进制整数转换成二进制整数采用“除2取倒余法”。
即将十进制整数除以2，得到一个商和一个余数；再将商除以2，又得到一个商和一个余数；以此类推，直到商等于零为止。
每次得到的余数的倒排列，就是对应二进制数的各位数。
(优选)第三讲进制介绍及转换
计算机基础系
杨成群
3 进制的转换
十进制
整数部分：除基取余（倒排） 小数部分：乘基取整
非十进制
例1：将 27.75D 转换为二进制数
27.75D = 11011.11B
计算机基础系
杨成群
3 进制的转换
例2：将 1725.6875D 转换为八进制数
(12.46)=1×101+2×100 +4×10-1+6×10-2
二进制 (Binary) 0,1
逢2进1， 借1当2
(1101.01)=1×23+1×22+0×21+1 ×20+0×2-1+1×2-2
八进制 (Octal) 0,1,2,3,4,5,6,7
逢8进1， 借1当8
(25.67)=2×81+5×80+6 ×8-1+7×8-2
计算机基础系
杨成群
3 进制的转换
三位
二进制
二进制数转换成八进制数规则： 以小数点为中心，分别向左、 向右每三位为一组，首尾组不 足三位时，首尾用“0”补足，再 将每组二进制数转换成一位八 进制数码，此方法平常也被称 为三位分组法。
一位
八进制
例1：将 1101.01101B 转换为八进制数
001 101 . 011 010 1 5.3 2
十六进制 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 逢16进1， (2C.A1)=2×161+C×160
(Hex) ,A,B,C,D,E,F
借1当16
+A×16-1+1×16-2
计算机基础系
进制的概念以及进制转换
进制的概念以及进制转换什么是进制进制也就是进位制，是利⽤固定的数字符号和统⼀的规则来计数的⽅法，是⼈们规定的⼀种进位⽅法。
对于任何⼀种进制---X进制，就表⽰某⼀位置上的数运算时是逢X进⼀位。
⼗进制是逢⼗进⼀，⼗六进制是逢⼗六进⼀，⼆进制就是逢⼆进⼀，以此类推，x进制就是逢x进位。
我们平时使⽤的数字都是由 0~9 共⼗个数字组成的，例如 1、9、10、297、952 等，⼀个数字最多能表⽰九，如果要表⽰⼗、⼗⼀、⼆⼗九、⼀百等，就需要多个数字组合起来。
例如表⽰ 5+8 的结果，⼀个数字不够，只能”进位“，⽤ 13 来表⽰；这时”进⼀位“相当于⼗，”进两位“相当于⼆⼗。
因为逢⼗进⼀（满⼗进⼀），也因为只有 0~9 共⼗个数字，所以叫做⼗进制（Decimalism）。
⼗进制是在⼈类社会发展过程中⾃然形成的，它符合⼈们的思维习惯，例如⼈类有⼗根⼿指，也有⼗根脚趾。
进制也就是进位制。
进⾏加法运算时逢X进⼀（满X进⼀），进⾏减法运算时借⼀当X，这就是X进制，这种进制也就包含X个数字，基数为X。
⼗进制有 0~9 共10个数字，基数为10，在加减法运算中，逢⼗进⼀，借⼀当⼗。
⼆进制我们不妨将思维拓展⼀下，既然可以⽤ 0~9 共⼗个数字来表⽰数值，那么也可以⽤0、1两个数字来表⽰数值，这就是⼆进制（Binary）。
例如，数字 0、1、10、111、100、1000001 都是有效的⼆进制。
在计算机内部，数据都是以⼆进制的形式存储的，⼆进制是学习编程必须掌握的基础。
本节我们先讲解⼆进制的概念，下节讲解数据在内存中的存储，让⼤家学以致⽤。
⼆进制加减法和⼗进制加减法的思想是类似的：对于⼗进制，进⾏加法运算时逢⼗进⼀，进⾏减法运算时借⼀当⼗；对于⼆进制，进⾏加法运算时逢⼆进⼀，进⾏减法运算时借⼀当⼆。
下⾯两张⽰意图详细演⽰了⼆进制加减法的运算过程。
1. ⼆进制加法：1+0=1、1+1=10、11+10=101、111+111=1110图1：⼆进制加法⽰意图2. ⼆进制减法：1-0=1、10-1=1、101-11=10、1100-111=101⼋进制除了⼆进制，C语⾔还会使⽤到⼋进制。
经典：3-进制转换及编码
进位记数制的要素：
①基数：指各种进位记数制中允许选用基本数码 的个数。例如十进制的数码有：
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9→基数是10 ②位权：每个数码所表示的数值等于该数码乘以 一个与数码所在位置相关的常数，这个常数叫做权 值。例如：
123.4＝1×102+2×101+3×100 +4×10-1
八进制数或十六进制数。
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（2）十进位制数转换为任意J进位制数 • 整数部分的转换：用J除后取余，逆序排列。 • 小数部分的转换：用J乘后取整，顺序排列。
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【例6】：将（19.25）10转换为二进位制数。
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【例7】：将（96.35）10转换为八进位制数。
（96.35）10＝（140.263）8
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（4） 二进位数与十六进数之间的转换
因为24＝16，即四位二进位制数恰好对应一位十 六进位制数。 • 二进位制数转换为十六进位制数 从二进位制数的小数点开始向两个方向以四位二 进位制数字分组，不足以零补足，用它的十六进 制等值代替这样的组。
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(5) 任意两种进位制之间的转换
对于一般的进位制，可先将已知进位制的数 转换成十进位制的数，再由该十进位制的数转换 成待求进位制的数。对于以2为基数进位制之间的 转换，可参考八—十六进位制之间的转换方法。 即先将已知进位制的数转换成二进位制的数，再 由该二进位制的数转换成待求进位制的数。
日常生活中的一个数按一定的计数方式（制）写出来也叫 编码，如写成十进制，就是按十进制编码；如果写成二进 制，就是按二进制编码。一旦编码的规则定义后，由此派 生的问题都应遵循编码的规定。例如十进制编码规定，十 进制的一位数是按十个符号0、1、2……9来表示十种不同 的代码，若超过9的数，则用多位数表示，且低位和高位 关系是“逢十进一”。在二进制中，每个数位（即二进制 的1位）只能取两种不同的数码即“0”和“1”，其特点 是：“逢二进一”，即当本位是1，又要再加1时，本位便 成0，同时向高位进1，例如1＋1=10。
进制互相转换
进制互相转换在我们日常生活和计算机科学中，进制转换是一个十分重要的概念。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们在不同的数字表示系统之间自由穿梭，理解和处理各种数字信息。
首先，咱们来聊聊什么是进制。
简单来说，进制就是一种计数的方式。
我们最熟悉的是十进制，就是逢十进一。
比如，当我们数到 9 之后，再数一个就变成了 10 。
但除了十进制，还有二进制、八进制、十六进制等等。
二进制是计算机世界里的“宠儿”，它只有 0 和 1 两个数字，逢二进一。
为什么计算机喜欢二进制呢？这是因为计算机的内部结构很适合处理这种只有两种状态的数字。
想象一下，一个开关只有开和关两种状态，对应着 0 和 1 ，这样就很容易用电子元件来表示和处理信息。
那怎么在不同进制之间进行转换呢？咱们先从十进制转换为二进制说起。
有一种方法叫做“除 2 取余法”。
比如说，要把十进制的 13 转换成二进制，就用 13 除以 2 ，得到商是 6 ，余数是 1 ；再用 6 除以 2 ，商是 3 ，余数是 0 ；接着 3 除以 2 ，商是 1 ，余数是 1 ；最后 1 除以2 ，商是 0 ，余数是 1 。
然后从下往上把余数排列起来，得到 1101 ，这就是十进制 13 的二进制表示。
从二进制转换回十进制也有办法。
比如二进制的1010 ，从右往左，用每个数字乘以 2 的相应幂次，然后把结果相加。
最右边的 0 乘以 2的 0 次幂，就是 0 ；接着 1 乘以 2 的 1 次幂，是 2 ；然后 0 乘以 2 的 2 次幂，还是 0 ；最后 1 乘以 2 的 3 次幂，是 8 。
把这些结果相加，0 ＋2 ＋ 0 ＋ 8 ＝ 10 ，所以二进制 1010 就是十进制的 10 。
再来说说八进制和十六进制。
八进制是逢八进一，使用数字 0 到 7 。
十六进制就更丰富了，它逢十六进一，除了 0 到 9 ，还使用 A 到 F 来表示 10 到 15 。
十进制转八进制可以先转成二进制，然后从右往左每三位一组，转换为对应的八进制数字。
计算机进制之间相互转换
计算机进制之间的相互转换一、进位计数制所谓进位计数制是指按照进位的方法进行计数的数制，简称进位制。
在计算机中主要采用的数制是二进制,同时在计算机中还存在八进制、十进制、十六进制的数据表示法。
下面先来介绍一下进制中的基本概念:1、基数数制是以表示数值所用符号的个数来命名的,表明计数制允许选用的基本数码的个数称为基数,用R表示。
例如：二进制数，每个数位上允许选用0和1，它的基数R＝2；十六进制数，每个数位上允许选用1，2，3，…，9,A，…,F共16个不同数码，它的基数R＝16。
2、权在进位计数制中，一个数码处在数的不同位置时，它所代表的数值是不同的.每一个数位赋予的数值称为位权，简称权。
权的大小是以基数R为底，数位的序号i为指数的整数次幂，用i表示数位的序号，用Ri表示数位的权。
例如，543．21各数位的权分别为102、101、100、10-1和10-2.3、进位计数制的按权展开式在进位计数制中,每个数位的数值等于该位数码与该位的权之乘积，用Ki表示第i位的系数，则该位的数值为KiRi。
任意进位制的数都可以写成按权展开的多项式和的形式。
二、计算机中的常用的几种进制。
在计算机中常用的几种进制是：二进制、八进制、十进制和十六进制。
二进制数的区分符用字母B表示,八进制数的区分符用字母O表示，十进制数的区分符用字母D表示或不用区分符，十六进制数的区分符用字母H表示。
1、二进制（Binary System）二进制数中，是按“逢二进一”的原则进行计数的。
其使用的数码为0，1，二进制数的基为“2”，权是以2为底的幂。
2、八进制（Octave System)八进制数中，是按“逢八进一”的原则进行计数的。
其使用的数码为0，1,2，3，4，5，6，7，八进制数的基为“8",权是以8为底的幂。
3、十进制（Decimal System）十进制数中，是按“逢十进一”的原则进行计数的。
其使用的数码为1，2，3，4,5,6，7，8，9,0,十进制数的基为“10”，权是以10为底的幂。
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多项式形式
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2 进制的特点
进制 计数符号
常用进制特点
计数规则 逢10进1， 借1当10 逢2进1， 借1当2 逢8进1， 借1当8 逢16进1， 借1当16 多项式形式
(12.46)=1×101+2×100 +4×10-1+6×10-2 (1101.01)=1×23+1×22+0×21+1 ×20+0×2-1+1×2-2 (25.67)=2×81+5×80+6 ×8-1+7×8-2 (2C.A1)=2×161+C×160 +A×16-1+1×16-2
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1 进制概念
进位计数制是一种数的表示方法，它按进位的方法 来计数， 简称为进制 十进制 （D）
八进制 （O）
二进制 （B）
常用进制
十六进制 （H）
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2 进制的特点
有N个计数符号 计数符号
逢N进1,借1当N
计数规则
以N为基数，按权值展开
非十进制
十进制
例1：将 1011.01B 转换为十进制数 1011.01B = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20 + 0×2-1 + 1×2-2 = 8 + 2 + 1 + 0.25 = 11.25D
例2：将 B7.FH 转换为十进制数 B7.FH = 11×161 + 7×160 + 15×16-1 = 176 + 7 + 0.975 = 183.9375D 例3：将 372.6O 转换为十进制数 372.6O = 3×82 + 7×81 + 2×80 + 6×8-1 = 192 + 56 + 2 + 0.75 = 250.75D
11010101.11101001B = D5.E9H
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3 进制的转换
四位 一位
二进制
十六进制
例2：将 D3.E7H转换为二进制数
十六进制数转换成二进制数规则：
将每位十六进制数用四位二进 制数表示即可。 D3.E7H = 11010011.11100111H
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3 进制的转换
三位 一位
二进制
二进制数转换成八进制数规则： 以小数点为中心，分别向左、 向右每三位为一组，首尾组不 足三位时，首尾用“0”补足，再 将每组二进制数转换成一位八 进制数码，此方法平常也被称 为三位分组法。
八进制
例1：将 1101.01101B 转换为八进制数
例3：将 175.685D 转换为十六进制数
175.685D = 9303.ACH
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3 进制的转换
例4 ：将十进制小数0.6D转换成二进制数。 0.6D = 1001B
提示：除到二进制小数点后在转换为非十进制数的时候,用“乘基取整法” 无法得到精确值。
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3 进制的转换
四位 一位
二进制
二进制数转换成十六进制数规则： 以小数点为中心，分别向左、 向右每四位为一组，首尾组不 足四位时，首尾用“0”补足， 再将每组二进制数转换成一位 十六进制数码，此方法也被称 为四位分组法。
十六进制
例1：将 11010101.11101001B 转换为十六进制数
001 101 . 011 010 1 5 . 3 2
1101.01101B = 15.32O
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3 进制的转换
三位 一位
二进制
八进制数转换成二进制数规则：
八进制
例2：将 34.27O 转换为二进制数
将每位八进制数用三位二进制 数表示即可
34.27O = 11100.010111B
16 0
23
8 8 45
22
4 4
21
2 0
20
1 1
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4 8421码的应用
8421码举例
例1：把十进制129化为二进制。
先把129写成128+1，128为27，1为20，这样我们就直接得出 129的二进制为10000001。 例2：把二进制127化为二进制。 先把127写成64+32+16+8+4+2+1，这样我们就可直接得出它 的二进制为1111111。 例3：把二进制1010101化为十进制。 从二进制上可直接看出它的十进制为64+16+4+1=85。
第三讲 进制简介及转换
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第三讲 进制简介及转换
1 2 3 4 5
计算机基础系
进制的概念
进制特点
进制之间的转换 8421码介绍及应用 总结
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学习目标
1
了解什么进制及进 制的特点
2
熟悉每种进制的计 数符号、计数规则、 多项式的表示形式
3
熟练的掌握每种进 制之间的相互转换
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3 进制的转换
整数部分：除基取余（倒排） 小数部分：乘基取整
十进制
例1：将 27.75D 转换为二进制数
非十进制
27.75D = 11011.11B
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3 进制的转换
例2：将 1725.6875D 转换为八进制数 1725.6875D = 3275.54O
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3 进制的转换
三位分组 四位分组
八进制
二进制
十六进制
53.61O = 2B.C4H
例1：将 53.61O转换为十六进制数
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4 8421码的应用
原理：在二进制转换十进制进可得出8421码的特征 二进制数 位的权 1 23 0 22 1 21 1 20
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总结
常用进制转换
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十进制 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (Decimal) 二进制 (Binary) 八进制 (Octal)
0,1
0,1,2,3,4,5,6,7
十六进制 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (Hex) ,A,B,C,D,E,F
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3 进制的转换
按权展开求和
位权构成等比数例
各位表示的值 各位值求和
8
8
4
0
2
2
1
1 11
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4 8421码的应用
8421码的推广：以（0101101）2二进制化为十进制来谈 二进制数 0 1 0 1 1 0 1
位的权
位权构成等比数例 各位表示的值 各位值求和
26
64 0
25
32 32
24