函数的单调性与极值经典例题复习+训练
函数的单调性与最值练习题(适合高三)
函数的单调性与最值练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每小题4分）1．函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．2 2．已知212()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ）A.(1,)+∞B.(2,)+∞C.(,0)-∞D.(,1)-∞ 3．定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则必有（ ）A.()f x 在R 上是增函数B.()f x 在R 上是减函数C.函数()f x 是先增加后减少D.函数()f x 是先减少后增加4．若在区间(-∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A. [1，2)B. [1，2]C. [1,+∞)D. [2，+∞)5．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．26．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈，有2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -＜x 取值范围是( )A. B. C.7．已知(x)=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x xx ax a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（0，31） C.［71，31） D.［71，1）8．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 9．已知函数()f x 是定义在[0,)+∞的增函数，则满足(21)f x -＜的x 取值范围是（ ）（A ）（∞- （B ） （C ）∞+） （D ） 10．下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A ．2xy = B ．1y x= C ．2y x = D ．tan y x = 11．已知函数(a 为常数)．若在区间[-1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()()1f x f x =-，且当12x ≥时， ()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-的最大值与最小值之差为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 二、填空题（每小题4分）13．已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是14．设函数()f x =⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 ．15．2()24f x x x =-+的单调减区间是 . 16．已知函数)(x f 满足),()(x f x f =-当,(,0]a b ∈-∞时总有，若)2()1(m f m f >+，则实数m 的取值范围是_______________．17．函数2()(1)2f x x =--的递增区间是___________________ . 18．已知函数()[]5,1,4∈+=x xx x f ，则函数()x f 的值域为 ． 19．函数2(),,.f x x ax b a b R =-+∈若()f x 在区间(,1)-∞上单调递减，则a 的取值范围 ．20．已知函数2()48f x x kx =--在区间[]5,10上具有单调性，则实数k 的取值范围是 . 21．已知函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a 的取值范围为_________．22．已知y=f(x)是定义在（－2，2）上的增函数，若f(m-1)<f(1-2m)，则实数m 的取值范围为 .23．若函R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 ．24．已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________． 25．已知函数f(x)(a≠1)．若f(x)在区间(0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．参考答案1．B 【解析】试题分析：画出2()log f x x =在定义域}{0>x x 内的图像，如下图所示，由图像可知2()log f x x =在区间[1,2]上为增函数，所以当1=x 时2()log f x x =取得最小值，即最小值为2(1)log 10f ==。
函数的单调性与最值专题训练
函数的单调性与最值专题训练一、选择题1.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A.－2B.2C.－6D.62. 下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln(x ＋1)D.y ＝2－x3.定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a 2；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，在区间[－2，2]上的最大值等于( ) A.－1B.1C.6D.124.已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝ f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.b <a <c C.b <c <aD.a <b <c5.f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A.(8，＋∞) B.(8，9] C.[8，9]D.(0，8)二、填空题6. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________.7. 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.8.设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.三、解答题9.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0). (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值.10.已知函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0，1](a 为实数). (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值.11. 若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝( ) A.4B.2C.12D.1412. 已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( )A.[0，3]B.(1，3)C.[2－2，2＋2]D.(2－2，2＋2) 解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1，1]， 即－b 2＋4b －3>－1，即b 2－4b ＋2<0， 解得2－2<b <2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2). 答案 D13. 对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________.14.已知函数f (x )＝lg(x ＋ax －2)，其中a 是大于0的常数. (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1，4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围.函数的单调性与最值专题训练答案一、选择题1.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A.－2B.2C.－6D.6解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6. 答案 C3. 下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln(x ＋1)D.y ＝2－x解析 ∵y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在(－1，1)上为增函数，且y ＝cos x 在(－1，1)上不具备单调性.∴A ，B ，C 不满足题意.只有y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1，1)上是减函数. 答案 D3.定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a 2；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，在区间[－2，2]上的最大值等于( ) A.－1B.1C.6D.12解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数. ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案 C4.已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝ f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.b <a <c C.b <c <aD.a <b <c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)，即b <a <c .答案 B5.f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A.(8，＋∞) B.(8，9] C.[8，9]D.(0，8)解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎨⎧x >0，x －8>0，x （x －8）≤9，解得8<x ≤9.答案 B 二、填空题6. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________.解析由题意知g (x )＝⎩⎨⎧x 2 （x >1），0 （x ＝1），－x 2 （x <1），函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g (x )的减区间是[0，1). 答案 [0，1)7.(2017·石家庄调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3. 答案 38. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 三、解答题9.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0). (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值. (1)证明 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0， ∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，易知a ＝25. 10.已知函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0，1](a 为实数). (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x ，任取1≥x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2.∵1≥x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1].(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值， 当x ＝1时取得最大值2－a ； 当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－ax ， 当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ； 当－a 2＜1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a . 14. 若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝( ) A.4B.2C.12D.14解析 当a >1，则y ＝a x 为增函数，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意. 当0<a <1，则y ＝a x 为减函数， 有a －1＝4，a 2＝m ，此时a ＝14，m ＝116.此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数.故a ＝14. 答案 D15. 已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( ) A.[0，3]B.(1，3)C.[2－2，2＋2]D.(2－2，2＋2)解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1， 若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1，1]，即－b 2＋4b －3>－1，即b 2－4b ＋2<0， 解得2－2<b <2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2). 答案 D13.对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________. 解析 依题意，h (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， ∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1. 答案 114.已知函数f (x )＝lg(x ＋ax －2)，其中a 是大于0的常数. (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1，4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围. 解 (1)由x ＋ax －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}，当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }. (2)设g (x )＝x ＋ax －2，当a ∈(1，4)，x ∈[2，＋∞)时，∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0.因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数. 则f (x )min ＝f (2)＝ln a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0.即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立. ∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞).由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2. 故a >2时，恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞).。
函数的单调性与最值专题复习(附答案)
2函数的单调性与最值准提复习（附答案）一．高考要求：1. 了解函数单调性的概念；2. 掌握判断一些简单函数单调性的方法；3. 了解函数最值的定义，掌握求函数最值的基本方法。
二．双基梳理1.函数的单调性定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间。
如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数)(x f y =，如果在某区间I 上0)(>'x f ，那么)(x f 为区间I 上的增函数；如果在某区间I 上0)(<'x f ，那么)(x f 为区间I 上的减函数；2.判断函数的单调性方法：定义法；图像法；导数法；利用已知函数法；复合函数法：同增异减。
3.函数的最大（小）值：设函数)(x f y =的定义域为A ，如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。
4．函数的最值的求法（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。
（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。
（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。
（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。
函数的单调性与最值常考考点归纳及例题训练
函数的单调性与最值考纲解读 1.以基本初等函数为背景，判断函数的单调性，求单调区间；2.根据函数的单调性求函数最值，求参数范围，解不等式．[基础梳理]1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2.(1)增函数：当x 1＜x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数； (2)减函数：当x 1＜x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数．(增函数) (减函数)2．单调性、单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫作函数y ＝f (x )的单调区间．3．函数的最值[三基自测]1．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m ＞12B ．m ＜12C ．m ＞－12D ．m ＜－12答案：B2．函数y ＝1x －1的单调区间为( )A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)和(1，＋∞) 答案：D3．函数f (x )＝x 2－x 在x ∈[1,2]上的最小值为________，最大值为________． 答案：0 24．函数f (x )＝2xx －1在[2,6]上的最大值和最小值分别是________．答案：4，1255．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)函数f (x )＝ln(2x －8)的递增区间为__________． 答案：(4，＋∞)[考点例题]考点一 判断函数的单调性|方法突破[例1] (1)函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0) B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ (2)函数f (x )＝ln x －x 的递增区间为________． (3)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是__________． (4)求函数y ＝x －1－2x 的单调区间． (5)讨论函数f (x )＝axx 2－1(a ＞0)在x ∈(－1,1)上的单调性．[解析] (1)y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (1－x )(x ≥0)，－x (1－x )(x ＜0)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x ≥0)，x 2－x (x ＜0) ＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x ≥0)，⎝⎛⎭⎫x －122－14(x ＜0).画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝1x －1＝1－x x ＞0，∴0＜x ＜1.(3)设t ＝x 2，∴y ＝lg t .当x ≥0时，t ＝x 2在[0，＋∞)上为增，y ＝lg t 为增， ∴g (x )＝lg x 2在(0，＋∞)上为增；当x <0时，t ＝x 2在(－∞，0)上为减，y ＝lg t 为增． ∴f (x )＝lg x 2在(－∞，0)上为减．(4)∵函数的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，12，且y ＝x ，y ＝－1－2x 在⎝⎛⎦⎤－∞，12均为增函数，故函数y ＝x －1－2x 在⎝⎛⎦⎤－∞，12上为单调函数． 单调增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，12，无单调减区间． (5)设－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1) ＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＋1＞0，(x 21－1)(x 22－1)＞0.又∵a ＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0， ∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数． [答案] (1)B (2)(0,1) (3)(－∞，0) [方法提升]函数单调性的判断方法[母题变式]1．将本例(2)改为函数f (x )＝ln x ＋x ，其递增区间为__________． 解析：法一：定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ln x ＋x ，得f ′(x )＝1x ＋1>0恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，增区间为(0，＋∞)．法二：设y 1＝ln x ，y 2＝x ，在定义域(0，＋∞)上都为增函数，∴f (x )＝y 1＋y 2在(0，＋∞)上为增函数．答案：(0，＋∞)2．本例(1)变为函数y ＝|x |(1－|x |)，其增区间为__________． 解析：作函数y ＝|x |(1－|x |)的图象，如图，其增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫0，12 3．本例(5)改为判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性． 解析：∵g ′(x )＝－2(x －1)＋2x (x －1)2＝2(x －1)2＞0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数．考点二 函数单调性应用|模型突破角度1 由函数单调性定义求参数范围[例2] 已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，a ∈R )，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，16]B ．(－∞，4]C ．[4，＋∞)D ．[16，＋∞)[解析] 对函数求导可得f ′(x )＝2x －ax －2， 因为函数f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝2x －ax －2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 3在[2，＋∞)上恒成立．令g (x )＝2x 3，则函数g (x )在[2，＋∞)上是增函数，所以函数g (x )在[2，＋∞)上的最小值为g (2)＝16，所以a ≤16. 故选A.[答案] A[模型解法]角度2 利用单调性解不等式或比较大小[例3] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， (x ＞1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，(x ≤1)，是R 上的单调递增函数，解不等式f (a＋7)≥f (3a －1)．[解析] 因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a ＜8，根据增函数定义知a ＋7≥3a －1， ∴a ≤4，∴只有a ＝4.f (a ＋7)≥f (3a －1)的解集为{4}． [模型解法][高考类题](2017·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：∵函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且f (1)＝－1， ∴f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x －2)≤1， 得－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3，故选D. 答案：D考点三 函数的值域与最值|模型突破角度1 知函数解析式求函数值域(或最值)[例4] (1)函数f (x )＝2a x －2 016a x ＋1的值域为__________．(2)y ＝2x ＋1－2x 的值域为__________．[解析] (1)f (x )＝2a x －2 016a x ＋1＝2(a x ＋1)－2 018a x ＋1＝2－2 018a x ＋1，因为a x >0，所以a x ＋1>1， 所以0<2 018a x ＋1<2 018，所以－2 016<2－2 018a x ＋1<2，故函数f (x )的值域为(－2 016,2)． (2)(代数换元法)令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54. ∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，∴函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，54. [答案] (1)(－2016,2) (2)⎝⎛⎦⎤－∞，54 [模型解法]角度2 知函数最值求参数范围[例5] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，2＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的最大值为1，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，1 B ．(0,1) C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(1，＋∞)[解析] 当x ≤2时，f (x )＝x －1，所以f (x )max ＝f (2)＝1.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，2＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的最大值为1，所以当x >2时，2＋log a x ≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a x ≤－1，解得a ∈⎣⎡⎭⎫12，1，故选A. [答案] A [模型解法][高考类题]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：易知函数y ＝10lg x 中x >0，排除选项A 、C ；又10lg x 必为正值，排除选项B.故选D.答案：D2．(2017·高考浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋4x －a ＋a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是__________．解析：∵x ∈[1,4]，∴x ＋4x ∈[4,5]，①当a ≤92时，f (x )max ＝|5－a |＋a ＝5－a ＋a ＝5，符合题意；②当a >92时，f (x )max ＝|4－a |＋a ＝2a －4＝5，∴a ＝92(矛盾)，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，92. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，92 [真题感悟]1.[考点一](2016·高考北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析：函数y ＝11－x，y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上都是增函数，函数y ＝cos x 在(－1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－1,1)上是减函数，故选D.答案：D2.[考点二](2015·高考湖北卷)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝－sgn xC ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]解析：因为f (x )是R 上的增函数，又a >1，所以当x >0时，f (x )<f (ax )，即g (x )<0；当x ＝0时，f (x )＝f (ax )，即g (x )＝0；当x <0时，f (x )>f (ax )，即g (x )>0.由符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0知，sgn[g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x >0，0，x ＝0，1，x <0＝－sgn x .答案：B3.[考点二](2014·高考新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是__________．解析：由题可知，当－2<x <2时，f (x )>0.f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到的，若f (x －1)>0，则－1<x <3.答案：(－1,3)4.[考点三](2016·高考北京卷)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为__________．解析：(分离常数法) f (x )＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1， ∵x ≥2，∴x －1≥1,0<1x －1≤1，∴1＋1x －1∈(1,2]，故当x ＝2时，函数f (x )＝xx －1取得最大值2.(反解法) 令y ＝x x －1，∴xy －y ＝x ，∴x ＝yy －1.∵x ≥2，∴y y －1≥2，∴yy －1－2＝2－y y －1≥0，解得1<y ≤2，故函数f (x )的最大值为2.(导数法) ∵f (x )＝xx －1，∴f ′(x )＝x －1－x (x －1)2＝－1(x －1)2<0，∴函数f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故当x ＝2时，函数f (x )＝xx －1取得最大值2. 答案：2。
2020年高考数学复习题：函数的单调性与最值
函数的单调性与最值[基础训练]1．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12 C ．m >－12D ．m <－12答案：B 解析：由2m －1<0⇒m <12. 2．已知函数y ＝1x －1，那么( )A ．函数的单调递减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)B ．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．函数的单调递增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)D ．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)答案：A 解析：在每个区间内都单调递减，但不可用“并集”形式．3．已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案：D 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1<13， 解得12≤x <23.4．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案：D 解析：由x 2－4>0，得x <－2或x >2.又y ＝log 12u为减函数，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)．5．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C 解析：充分性：x >0，当a <0时，则f (x )＝|(ax －1)x |＝－ax 2＋x 为开口向上的二次函数，且对称轴为x ＝12a <0，故f (x )为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x 为增函数．必要性：当a ≠0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0，f (0)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1a <0，即a <0；f (x )＝x 时，为增函数，此时a ＝0，故a ≤0.综上，a ≤0为f (x )在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件． 6．[2019湖北华大新联盟考试]若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]答案：B 解析：易知函数f (x )＝2|x －a |＋3的增区间在为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]．因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a >1. 故选B.7．[2019山东潍坊四县联考]已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 B ．(0，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞答案：C 解析：∵f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1， 解得0<a <23.故选C.8．[2016天津卷]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析：由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，所以f (2|a －1|)>f (2)，所以2|a －1|<212，解得12<a <32.9．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．答案：14 解析：令t ＝x ，则t ≥0，y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．答案：[0,1) 解析：易知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.画出g (x )的图象如图所示，其递减区间是[0,1)．11．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 2>x 1， 则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)解：∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2. 易得a ＝25.[强化训练]1．[2019河南安阳一模]已知函数f (x )满足：①对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；②对定义域内的任意x ，都有f (x )＝f (－x )．则符合上述条件的函数是( )A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1 B ．f (x )＝1x －x C ．f (x )＝ln|x ＋1| D ．f (x )＝cos x答案：A 解析：由题意，得f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上递增．对于A ，f (－x )＝f (x )，是偶函数，且x >0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，f ′(x )＝2x ＋1>0，故f (x )在(0，＋∞)上递增，符合题意；对于B ，函数f (x )是奇函数，不符合题意；对于C ，由x ＋1≠0，解得x ≠－1，定义域不关于原点对称，故函数f (x )不是偶函数，不符合题意；对于D ，函数f (x )在(0，＋∞)上不单调递增，不符合题意．故选A.2.[2019河北石家庄一模]已知奇函数f (x )在x >0时单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为 ( )A ．{x |0<x <1或x >2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0或x >3}D ．{x |x <－1或x >1}答案：A 解析：∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0，则－1<x <0或x >1时，f (x )>0；x <－1或0<x <1时，f (x )<0.∴不等式f (x －1)>0，即－1<x －1<0或x －1>1， 解得0<x <1或x >2.故选A.3．[2019山东济宁二模]已知y ＝f (x )是R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )答案：C 解析：由题意易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 又∵|a |＝ln π>1，b ＝(ln π)2>|a |,0<c ＝ln π2<|a |， ∴f (c )>f (|a |)>f (b )． 又由题意知f (a )＝f (|a |)， ∴f (c )>f (a )>f (b )． 故选C.4．[2019甘肃天水月考]定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)答案：A 解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)． 又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f(x2)－f(x1)x2－x1<0，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．又∵1<2<3，∴f(1)>f(2)＝f(－2)>f(3)，故选A.5．[2019河南郑州一模]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x ＋2e)＝－f(x)(其中e＝2,718 2…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令a＝ln 22，b＝ln 33，c＝ln 55，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系(用不等号连接)为()A．f(b)>f(a)>f(c) B．f(b)>f(c)>f(a)C．f(a)>f(b)>f(c) D．f(a)>f(c)>f(b)答案：A解析：∵f(x)是R上的奇函数，满足f(x＋2e)＝－f(x)，∴f(x＋2e)＝f(－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝e对称，∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数∴f(x)在区间[0，e]上为增函数，又易知0<c<a<b<e，∴f(c)<f(a)<f(b)，故选A.6．[2019安徽蚌埠二模]已知单调函数f(x)，对任意的x∈R 都有f[f(x)－2x]＝6，则f(2)＝( )A．2 B．4 C．6 D．8答案：C解析：设t＝f(x)－2x，则f(t)＝6，且f(x)＝2x＋t，令x＝t，则f(t)＝2t＋t＝6，∵f(x)是单调函数，f(2)＝22＋2＝6，∴t＝2，即f(x)＝2x＋2，则f(2)＝4＋2＝6，故选C.7．[2019河北邯郸月考]已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f (a )≤f (2)，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：∵函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． 又∵y ＝f (x )在(－∞，0]上是增函数，则y ＝f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (a )≤f (2)， ∴|a |≥2，∴a ≤－2或a ≥2. 8．[2019广东深圳模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14解析：由任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，知f (x )在R 上为减函数，则需⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)·0＋4a ，解得0<a ≤14.9．[2019甘肃兰州一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，x ≤0，2ax －1，x >0(a是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数； ③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2. 其中正确命题的序号是________．答案：①③④ 解析：根据题意可得函数图象如图所示．①由图象易得在点x ＝0处函数f (x )有最小值－1，故正确； ②由图象易得函数f (x )在R 上不是单调函数，故错误； ③因为f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，且f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝12时，函数取得最小值，求得a 的取值范围是a >1，故正确；④因为函数在(－∞，0)上的图象是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2，故正确． 故正确的命题为①③④.10．[2019河北石家庄模拟]已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1.若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b >0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明； (2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]， 因为f (x )为奇函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)因为f (x )在[－1,1]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，解得－32≤x <－1.(3)因为f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增， 所以在区间[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0对a ∈[－1,1]恒成立．下面来求m 的取值范围． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0. ①若m ＝0，则g (a )＝0≥0， 对a ∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，所以m≤－2或m≥2.所以m的取值范围是{m|m＝0或m≥2或m≤－2}．。
2024高考数学习题 导数与函数的单调性、极值和最值训练册
考点1 导数与函数的单调性考点2 导数与函数的极(最)值目 录综合基础练综合拔高练1综合拔高练22024高考数学习题 导数与函数的单调性、极值和最值训练册考点1 导数与函数的单调性1.(2014课标Ⅱ文,11,5分,易)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围D是 ( )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)2.(2023新课标Ⅱ,6,5分,中)已知函数f(x)=a e x-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为C ( )A.e2B.eC.e-1D.e-23.(2023新课标Ⅰ,19,12分,中)已知函数f (x )=a (e x +a )-x .(1)讨论f (x )的单调性;(2)证明:当a >0时, f (x )>2ln a + .32解析 (1)由已知得函数f (x )的定义域为R,f '(x )=a e x -1.①当a ≤0时, f '(x )<0, f (x )在R 上单调递减;②当a >0时,令f '(x )=0,则x =ln ,当x <ln 时, f '(x )<0, f (x )单调递减;1a 1a当x >ln 时, f '(x )>0, f (x )单调递增.综上所述,当a ≤0时, f (x )在R 上单调递减;当a >0时, f (x )在 上单调递减,在 上单调递增.1a 1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)证明:由(1)知,当a >0时, f (x )在 上单调递减,在 上单调递增,则f (x )min =f =a -ln =1+a 2+ln a .要证明f (x )>2ln a + ,只需证明1+a 2+ln a >2ln a + ,即证a 2-ln a - >0.1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1a 323212令g (x )=x 2-ln x - (x >0),则g '(x )=2x - = .当0<x < 时,g '(x )<0,g (x )单调递减;当x > 时,g '(x )>0,g (x )单调递增,121x 221x x -2222∴g (x )min =g = -ln - =-ln =ln >0,∴g (x )>0在(0,+∞)上恒成立,即a 2-ln a - >0,∴f (x )>2ln a + .22⎛⎫ ⎪⎝⎭12221222212324.(2023全国甲文,20,12分,中)已知函数f (x )=ax - ,x ∈ .(1)当a =1时,讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )+sin x <0,求a 的取值范围.2sin cos x x 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭解析 (1)当a =1时, f (x )=x - ,x ∈ ,f '(x )=1- = = <0,所以函数f (x )在 上单调递减.(2)令g (x )= -sin x = = = ,则g '(x )= = ,2sin cos x x 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭324cos 2sin cos cos x x x x +3223cos cos 2sin cos x x x x --323cos cos 2cos x x x+-0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭2sin cos x x 22sin sin cos cos x x x x -22sin sin (1sin )cos x x x x --32sin cos x x 32443cos sin 2sin cos cos x x x x x +22433cos sin 2sin cos x x x x +因为x ∈ ,所以3cos 2x sin 2x +2sin 4x >0,cos 3x >0,则g '(x )>0,所以函数g (x )在 上单调递增,g (0)=0,当x → 时,g (x )→+∞,因为f (x )+sin x <0恒成立,所以 -sin x >ax 在 上恒成立,即直线y =ax 在0<x < 时恒在g (x )的图象下方,如图所示,0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2π⎛⎫⎪⎝⎭2π2sin cos x x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭2π由图及g '(0)=0可得a ≤0,即a 的取值范围为(-∞,0].5.(2015课标Ⅱ文,21,12分,中)已知函数f (x )=ln x +a (1-x ).(1)讨论f (x )的单调性;(2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求a 的取值范围.解析 (1)f (x )的定义域为(0,+∞), f '(x )= -a .若a ≤0,则f '(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增.若a >0,则当x ∈ 时, f '(x )>0;当x ∈ 时,f '(x )<0.所以f (x )在 上单调递增,在 上单调递减.(2)由(1)知,当a ≤0时, f (x )在(0,+∞)上无最大值;当a >0时, f (x )在x = 处取得最大值,最大1x10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1a值为f =ln +a =-ln a +a -1.因此f >2a -2等价于ln a +a -1<0.1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a 11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭令g (a )=ln a +a -1,a >0,则g (a )在(0,+∞)上单调递增,g (1)=0.于是,当0<a <1时,g (a )<0;当a >1时,g (a )>0.因此,a 的取值范围是(0,1).考点2 导数与函数的极(最)值1.(多选)(2023新课标Ⅱ,11,5分,中)若函数f (x )=a ln x + + (a ≠0)既有极大值也有极小值,则 ( )A.bc >0B.ab >0C.b 2+8ac >0D.ac <0b x 2c x BCDAC2.(多选)(2022新高考Ⅰ,10,5分,中)已知函数f(x)=x3-x+1,则 ( )A. f(x)有两个极值点B. f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线3.(2021新高考Ⅰ,15,5分,中)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .答案 14.(2022全国乙理,16,5分,难)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2a x-e x2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是 .答案 1,1e⎛⎫⎪⎝⎭5.(2021北京,19,15分,中)已知函数f (x )= .(1)若a =0,求曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线方程;(2)若f (x )在x =-1处取得极值,求f (x )的单调区间,并求其最大值与最小值.232x x a-+解析 (1)当a =0时, f (x )= ,∴f (1)=1,f '(x )= ,故f '(1)=-4,故曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线方程为y =-4(x -1)+1,即4x +y -5=0.(2)由题意得f '(x )= ,且f '(-1)=0,故8-2a =0,解得a =4,故f (x )= ,x ∈R,则f '(x )= = ,令f '(x )>0,得x >4或x <-1;令f '(x )<0,得-1<x <4,232x x -326x x -222262()x x a x a --+2324x x -+222268(4)x x x --+222(1)(4)(4)x x x +-+故函数f (x )的单调增区间为(-∞,-1)和(4,+∞),单调减区间为(-1,4).所以f (x )的极大值为f (-1)=1, f (x )的极小值为f (4)=- .又当x ∈(-∞,-1)时,3-2x >0,故f (x )>0;当x ∈(4,+∞)时,3-2x <0,故f (x )<0,∴f (x )max =f (-1)=1, f (x )min =f (4)=- .14146.(2019课标Ⅲ文,20,12分,中)已知函数f (x )=2x 3-ax 2+2.(1)讨论f (x )的单调性;(2)当0<a <3时,记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ,最小值为m ,求M -m 的取值范围.解析 (1)第一步:求函数的定义域和导函数,并因式分解求出导函数的零点.由题意知x ∈R, f '(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a ).令f '(x )=0,得x =0或x = .第二步:讨论a 的取值,比较根的大小关系,写出单调区间.①若a >0,则当x ∈(-∞,0)∪ 时, f '(x )>0;当x ∈ 时, f ‘(x )<0.3a ,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭故f (x )在(-∞,0), 单调递增,在 单调递减;②若a =0, f (x )在(-∞,+∞)单调递增;,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭③若a <0,则当x ∈ ∪(0,+∞)时, f '(x )>0;当x ∈ 时, f '(x )<0.故f (x )在 ,(0,+∞)单调递增,在 单调递减.(2)当0<a <3时,由(1)知, f (x )在 单调递减,在 单调递增,所以f (x )在[0,1]的最小值为f =- +2,最大值为f (0)=2或f (1)=4-a .,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭327a当0<a <2时, f (1)>f (0),最大值为f (1)=4-a .所以M -m =2-a + ,0<a <2,327a 对于函数y = -a +2,y '= -1,当0<a <2时,y '<0,从而y = -a +2单调递减,此时 < -a +2<2,即M -m 的取值范围是 .(构造函数,利用函数单调性求值域)当2≤a <3时, f (1)<f (0),最大值为f (0)=2,所以M -m = ,而函数y = 单调递增,所以M -m 的取值范围是 .综上,M -m 的取值范围是 .327a 29a 327a 827327a 8,227⎛⎫ ⎪⎝⎭327a 327a 8,127⎡⎫⎪⎢⎣⎭8,227⎡⎫⎪⎢⎣⎭易错警示 解题时,易犯以下两个错误:①对参数a 未讨论或对a 分类讨论不全面,尤其易忽略a =0的情形而导致失分;②当a >0时, f (x )在(-∞,0), 单调递增,将这两个区间合并表示为f (x )在(-∞,0)∪ 单调递增导致错误,从而失分.,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7.(2023新课标Ⅱ,22,12分,难)(1)证明:当0<x<1时,x-x2<sin x<x;(2)已知函数f(x)=cos ax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.解析 (1)证明:令g(x)=x-x2-sin x,0<x<1,则g'(x)=1-2x-cos x,令G(x)=g'(x),得G'(x)=-2+sin x <0在区间(0,1)上恒成立,所以g'(x)在区间(0,1)上单调递减,因为g'(0)=0,所以g'(x)<0在区间(0,1)上恒成立,所以g(x)在区间(0,1)上单调递减,所以g(x)<g(0)=0,即当0<x<1时,x-x2< sin x.令h(x)=sin x-x,0<x<1,则h'(x)=cos x-1<0在区间(0,1)上恒成立,所以h(x)在区间(0,1)上单调递减,所以h(x)<h(0)=0,即当0<x<1时,sin x<x.综上,当0<x<1时,x-x2<sin x<x.(2)函数f(x)的定义域为(-1,1).当a=0时, f(x)=1-ln(1-x2), f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,x=0不是f(x)的极大值点,所以a ≠0.当a >0时, f '(x )=-a sin ax + ,x ∈(-1,1).(i)当0<a ≤ 时,取m =min ,x ∈(0,m ),则ax ∈(0,1),由(1)可得f '(x )=-a sin ax + >-a 2x + = ,因为a 2x 2>0,2-a 2≥0,1-x 2>0,所以f '(x )>0,所以f (x )在(0,m )上单调递增,不合题意.(ii)当a > 时,取x ∈ ⊆(0,1),则ax ∈(0,1),由(1)可得f '(x )=-a sin ax + <-a (ax -a 2x 2)+ 221x x-21,1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭221x x -221x x-2222(2)1x a x a x +--210,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭221x x -221x x-= (-a 3x 3+a 2x 2+a 3x +2-a 2),设h (x )=-a 3x 3+a 2x 2+a 3x +2-a 2,x ∈ ,则h '(x )=-3a 3x 2+2a 2x +a 3,因为h '(0)=a 3>0,h ' =a 3-a >0,且h '(x )的图象是开口向下的抛物线,所以∀x ∈ ,均有h '(x )>0,所以h (x )在 上单调递增.因为h (0)=2-a 2<0,h =2>0,所以h (x )在 内存在唯一的零点n .当x ∈(0,n )时,h (x )<0,又因为x >0,1-x 2>0.21x x -10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭则f '(x )< (-a 3x 3+a 2x 2+a 3x +2-a 2)<0.即当x ∈(0,n )⊆(0,1)时, f '(x )<0,则f (x )在(0,n )上单调递减.又因为f (x )是偶函数,所以f (x )在(-n ,0)上单调递增,所以x =0是f (x )的极大值点.综合(i)(ii)知a > .当a <0时,由于将f (x )中的a 换为-a 所得解析式不变,所以a <- 符合要求.故a 的取值范围为(-∞,- )∪( ,+∞).21x x22221.(2023山东烟台开学考,3)函数f (x )=-2ln x -x - 的单调递增区间是( )A.(0,+∞) B.(-3,1) C.(1,+∞) D.(0,1)3x D2.(2023吉林长春六中月考,9)函数f (x )=cos x +(x +1)sin x +1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为 ( )A.- , B.- , C.- , +2D.- , +22π2π32π2π2π2π32π2πD3.(2024届江苏无锡期中,5)当x=2时,函数f(x)=x3+bx2-12x取得极值,则f(x)在区间[-4,4]上的最大值为 ( )CA.8B.12C.16D.324.(2024届湖南师大附中第4次月考,6)已知x =0是函数f (x )= x 2e x -2x e x +2e x- x 3的一个极值点,则a 的取值集合为 ( )A.{a |a ≥-1}B.{0}C.{1}D.R3a C5.(2024届河北石家庄二中月考,5)已知函数f(x)=x3-3mx2+9mx+1在(1,+∞)上为单调递增D函数,则实数m的取值范围为 ( )A.(-∞,-1)B.[-1,1]C.[1,3]D.[-1,3]6.(2024届重庆长寿中学期中,7)已知函数f (x )=2x - -a ln x ,则“a >5”是“函数f (x )在(1,2)上单调递减”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2xAABD7.(多选)(2024届福建福州联考,10)设函数f(x)=x3-12x+b,则下列结论错误的是 ( )A.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增B.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减C.若b=-6,则函数f(x)的图象在点(-2, f(-2))处的切线方程为y=10D.若b=0,则函数f(x)的图象与直线y=10只有一个公共点8.(2024届江苏苏州中学模拟,14)已知函数g (x )=2x +ln x - 在区间[1,2]上不单调,则实数a 的取值范围是 .a x答案 (-10,-3)9.(2024届河南省实验中学月考,15)若函数f(x)=x3-12x在区间(a,a+4)上存在最大值,则实数a的取值范围是 .答案 (-6,-2)10.(2024届湖北武汉二中测试,15)已知函数f (x )=ax 4-4ax 3+b ,x ∈[1,4], f (x )的最大值为3,最小值为-6,则a +b 的值是 .答案 或- 10319311.(2023重庆八中入学考,18)已知函数f (x )=ax +b +cos x (a ,b ∈R),若曲线f (x )在点(0, f (0))处的切线方程为y = x +2.(1)求f (x )的解析式;(2)求函数f (x )在[0,2π]上的值域.12解析 (1)因为f (x )=ax +b +cos x (a ,b ∈R),所以f '(x )=a -sin x ,由题意得 即 所以a = ,b =1,则f (x )= x +1+cos x .(2)由(1)得f (x )= x +1+cos x , f '(x )= -sin x ,由f '(x )≥0且x ∈[0,2π]可得0≤x ≤ 或 ≤x ≤2π,函数f (x )在区间 和 上单调递增,由f '(x )<0且x ∈[0,2π]可得 <x < ,函数f (x )在区间 上单调递减.(0)cos02,1 '(0)sin 0,2f b f a =+=⎧⎪⎨=-=⎪⎩12,1,2b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩121212126π56π0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6π56π5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭因此当x = 时,函数取得极大值f = × +1+cos =1+ + ,当x = 时,函数取得极小值f = × +1+cos =1+ - ,又f (0)=2, f (2π)= ×2π+1+cos 2π=1+π+1=2+π,1+ - <2<1+ + <2+π,所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值为2+π,最小值为1+ - ,所以f (x )在[0,2π]上的值域为 .6π6π⎛⎫ ⎪⎝⎭126π6π12π3256π56π⎛⎫ ⎪⎝⎭1256π56π512π3212512π3212π32512π32531,2122ππ⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦1.(2024届湖南长沙长郡中学月考,4)若0<x 1<x 2<1,则 ( )A. - >ln x 2-ln x 1B. - <ln x 2-ln x 1C.x 2 >x 1 D.x 2 <x 1 2e x 1e x 2e x 1e x 1e x 2e x 1e x 2e x C2.(多选)(2024届广东东莞月考,11)已知函数f (x )=ax 2-2x +ln x 存在极值点,则实数a 的值可以是 ( )A.0B.-eC. D. 121e ABD3.(2024届山东泰安月考,15)设a∈R,若函数y=e x+ax,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围是 .答案 (-∞,-1)4.(2024届辽宁辽东教学共同体期中,19)已知函数f (x )=e x ,g (x )= .(1)直接写出曲线y =f (x )与曲线y =g (x )的公共点坐标,并求曲线y =f (x )在公共点处的切线方程;(2)已知直线y =a 分别交曲线y =f (x )和y =g (x )于点A ,B ,当a ∈(0,e)时,设△OAB 的面积为S (a ),其中O 是坐标原点,求S (a )的最大值.e x解析 (1)易得曲线y =f (x )与曲线y =g (x )的公共点坐标为(1,e).因为f '(x )=e x ,所以f '(1)=e,所以曲线y =f (x )在公共点处的切线方程为y -e=e(x -1),即y =e x .(2)因为直线y =a 分别交曲线y =f (x )和y =g (x )于点A ,B ,所以A (ln a ,a ),B .S (a )= a ·|AB |= a ,a ∈(0,e).因为a ∈(0,e)时, >1,ln a <1,所以 >ln a ,所以S (a )= - a ln a ,a ∈(0,e),求导得S '(a )=- (1+ln a ),e ,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1212e ln a a -e a e a e 21212令S '(a )=0,得a = ,所以S '(a ),S (a )的变化情况如表:1ea S'(a)+0-S(a)↗极大值↘10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1e 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭因此,S (a )的极大值也是最大值,为S = + .1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭e 212e5.(2024届湖南长沙南雅中学开学考,21)已知函数f (x )=ax - -(a +1)ln x (a ≠0).(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)若f (x )既有极大值又有极小值,且极大值和极小值的和为g (a ),解不等式g (a )<2a -2.1x解析 (1)函数f (x )的定义域为(0,+∞),对f (x )求导得f '(x )=a + - = = ,令f '(x )=0,则x 1=1,x 2= .当a <0时,ax -1<0,令f '(x )>0,解得0<x <1,令f '(x )<0,解得x >1,所以f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;21x 1a x +22(1)1ax a x x -++2(1)(1)ax x x --1a当a >0时,①当 =1,即a =1时,f '(x )≥0恒成立,1a 所以f (x )在(0,+∞)上单调递增;②当 >1,即0<a <1时,令f '(x )>0,解得0<x <1或x > ,令f '(x )<0,解得1<x < ,所以f (x )在(0,1)上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增;③当 <1,即a >1时,令f '(x )>0,解得0<x < 或x >1,令f '(x )<0,解得 <x <1,1a 1a 1a11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1a 1a 1a所以f (x )在 上单调递增,在 上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述:当a <0时, f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;当0<a <1时, f (x )在(0,1)上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增;当a =1时, f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a >1时, f (x )在 上单调递增,在 上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.(2)由(1)知:a >0且a ≠1,且g (a )=f +f (1)=1-a +(a +1)ln a +a -1=(a +1)ln a .g (a )<2a -2等价于(a +1)ln a <2a -2(a >0且a ≠1),11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭等价于解不等式ln a - <0,2(1)1a a -+令m (a )=ln a - (a >0),(构造函数m (a ),结合函数的单调性以及特殊值m (1)=0,从而解得不等式的解集)m '(a )= - = >0,所以m (a )在(0,+∞)上单调递增,且m (1)=0,所以m (a )<0=m (1),即不等式的解集为{a |0<a <1}.2(1)1a a -+1a 24(1)a +22(1)(1)a a a -+。
函数的单调性与最值(基础+复习+习题)
函数的单调性与最值一.函数单调性和单调区间的定义：①如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。
②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数.3.单调性的定义①的等价形式： 设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在[],a b 是增函数；()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在[],a b 是减函数； ()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数。
4.函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈)；若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈). 5.在公共定义域内，利用函数的运算性质：若()f x 、)(x g 同为增函数，则 ③ ()()f x g x +为增函数；②()1()0()f x f x >为减函数；()()0f x ≥为增函数；④()f x -为减函数.〖针对性练习〗1.函数1y x=-的单调区间是（ ）A ．（-∞，+∞） B.（-∞，0） （1，∞，） C.（-∞，1） 、（1，∞） D. （-∞，1）（1，∞）2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).A ．32y x =-+B ．3y x= C ．245y x x =-+ D ．23810y x x =+-3．函数y =的增区间是（ ）。
高考总复习函数的单调性与最值习题及详解
高考总复习函数的单调性与最值习题及详解一、选择题1．已知f〔x〕＝－x－x3，x∈[a，b]，且f〔a〕·f〔b〕<0，则f〔x〕＝0在[a，b]内〔〕A．至少有一实数根B．至多有一实数根C．没有实数根D．有唯一实数根[答案] D[解析] ∵函数f〔x〕在[a，b]上是单调减函数，又f〔a〕，f〔b〕异号．∴f〔x〕在[a，b]内有且仅有一个零点，故选D.2．〔2010·北京文〕给定函数①y＝x，②y＝log〔x＋1〕，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间〔0 ,1〕上单调递减的函数的序号是〔〕A．①②B．②③C．③④D．①④[答案] B[解析]易知y＝x在〔0,1〕递增，故排除A、D选项；又y＝log〔x＋1〕的图象是由y＝logx的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y＝logx相同为递减的，所以②符合题意，故选B.3．〔2010·济南市模拟〕设y1＝0.4，y2＝0.5，y3＝0.5，则〔〕A．y3<y2<y1 B．y1<y2<y3C．y2<y3<y1 D．y1<y3<y2[答案] B[解析]∵y＝0.5x为减函数，∴0.5<0.5，∵y＝x在第一象限内是增函数，∴0.4<0.5，∴y1<y2<y3，故选B.4．〔2010·广州市〕已知函数，若f〔x〕在〔－∞，＋∞〕上单调递增，则实数a的取值范围为〔〕A．〔1,2〕B．〔2,3〕C．〔2,3] D．〔2，＋∞〕[答案] C[解析] ∵f〔x〕在R上单调增，∴，∴2<a≤3，故选C.5．〔文〕〔2010·山东济宁〕若函数f〔x〕＝x2＋2x＋alnx在〔0,1〕上单调递减，则实数a的取值范围是〔〕A．a≥0 B．a≤0C．a≥－4 D．a≤－4[答案] D[解析]∵函数f〔x〕＝x2＋2x＋alnx在〔0,1〕上单调递减，∴当x∈〔0,1〕时，f ′〔x〕＝2x＋2＋＝≤0，∴g〔x 〕＝2x2＋2x＋a≤0在x∈〔0,1〕时恒成立，∴g〔0〕≤0，g〔1〕≤0，即a≤－4.〔理〕已知函数y＝tanωx在内是减函数，则ω的取值范围是〔〕A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0C．ω≥1 D．ω≤－1[答案] B[解析]∵tanωx在上是减函数，∴ω<0.当－<x<时，有－≤<ωx<－≤，∴，∴－1≤ω<0.6．〔2010·天津文〕设a＝log54，b＝〔log53〕2，c＝log45，则〔〕A．a＜c＜b B．b＜c＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜c[答案] D[解析] ∵1>log54>log53>0，∴log53>〔log53〕2>0，而log45>1，∴c>a>b.7．若f〔x〕＝x3－6ax的单调递减区间是〔－2,2〕，则a的取值范围是〔〕A．〔－∞，0] B．[－2,2]C．{2} D．[2，＋∞〕[答案] C[解析] f ′〔x〕＝3x2－6a，若a≤0，则f ′〔x〕≥0，∴f〔x〕单调增，排除A；若a>0，则由f ′〔x〕＝0得x＝±，当x<－和x>时，f ′〔x〕>0，f〔x〕单调增，当－<x<时，f〔x〕单调减，∴f〔x〕的单调减区间为〔－，〕，从而＝2，∴a＝2.[点评]f〔x〕的单调递减区间是〔－2,2〕和f〔x〕在〔－2，2〕上单调递减是不同的，应加以区分．8．〔文〕定义在R上的偶函数f〔x〕在[0，＋∞〕上是增函数，若f〔〕＝0，则适合不等式f〔logx〕> 0的x的取值范围是〔〕A．〔3，＋∞〕B．〔0，〕C．〔0，＋∞〕D．〔0，〕∪〔3，＋∞〕[答案] D[解析]∵定义在R上的偶函数f〔x〕在[0，＋∞〕上是增函数，且f〔〕＝0，则由f〔logx〕>0，得|logx|>，即logx>或logx<－.选D.〔理〕〔2010·南充市〕已知函数f 〔x 〕图象的两条对称轴x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1,0]上f 〔x 〕单调递增，设a ＝f 〔3〕，b ＝f 〔〕，c ＝f 〔2〕，则a 、b 、c 的大小关系是〔 〕A ．a>b>cB ．a>c>bC ．b>c>aD ．c>b>a [答案] D[解析] ∵f 〔x 〕在[－1,0]上单调增，f 〔x 〕的图象关于直线x ＝0对称，∴f〔x 〕在[0,1]上单调减；又f 〔x 〕的图象关于直线x ＝1对称，∴f〔x 〕在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．由对称性f 〔3〕＝f 〔－1〕＝f 〔1〕<f 〔〕<f 〔2〕，即a<b<c.9．〔2009·天津高考〕已知函数f 〔x 〕＝若f 〔2－a2〕＞f 〔a 〕，则实数a 的取值范围是〔 〕A ．〔－∞，－1〕∪〔2，＋∞〕B ．〔－1,2〕C ．〔－2,1〕D ．〔－∞，－2〕∪〔1，＋∞〕[答案] C[解析]∵x≥0时，f 〔x 〕＝x2＋4x ＝〔x ＋2〕2－4单调递增，且f 〔x 〕≥0；当x<0时，f 〔x 〕＝4x －x2＝－〔x －2〕2＋4单调递增，且f 〔x 〕<0，∴f 〔x 〕在R 上单调递增，由f 〔2－a2〕>f 〔a 〕得2－a2>a ，∴－2<a<1.10．〔2010·泉州模拟〕定义在R 上的函数f 〔x 〕满足f 〔x ＋y 〕＝f 〔x 〕＋f 〔y 〕，当x<0时，f 〔x 〕>0，则函数f 〔x 〕在[a ，b]上有〔 〕A ．最小值f 〔a 〕B ．最大值f 〔b 〕C ．最小值f 〔b 〕D ．最大值f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 [答案] C[解析] 令x ＝y ＝0得，f 〔0〕＝0，令y ＝－x 得，f 〔0〕＝f 〔x 〕＋f 〔－x 〕，∴f〔－x 〕＝－f 〔x 〕．对任意x1，x2∈R 且x1<x2，，f 〔x1〕－f 〔x2〕＝f 〔x1〕＋f 〔－x2〕＝f 〔x1－x2〕>0，∴f 〔x1〕>f 〔x2〕，∴f〔x 〕在R 上是减函数，∴f〔x 〕在[a ，b]上最小值为f 〔b 〕．二、填空题11．〔2010·重庆中学〕已知函数f 〔x 〕＝ax ＋－4〔a ，b 为常数〕，f 〔lg2〕＝0，则f 〔lg 〕＝________.[答案] －8[解析] 令φ〔x 〕＝ax ＋，则φ〔x 〕为奇函数，f 〔x 〕＝φ〔x 〕－4，∵f〔lg2〕＝φ〔lg2〕－4＝0，∴φ〔lg2〕＝4，∴f〔lg 〕＝f 〔－lg2〕＝φ〔－lg2〕－4＝－φ〔lg2〕－4＝－8.12．偶函数f 〔x 〕在〔－∞，0]上单调递减，且f 〔x 〕在[－2，k]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k ＝________.[答案] 3[解析] ∵偶函数f 〔x 〕在〔－∞，0]上单调递减，∴f 〔x 〕在[0，＋∞〕上单调递增．因此，若k≤0，则k －〔－2〕＝k ＋2<3，若k>0，∵f 〔x 〕在[－2,0]上单调减在[0，－k]上单调增，∴最小值为f 〔0〕，又在[－2，k]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k －0＝3，即k ＝3.13．函数f 〔x 〕＝在〔－∞，－3〕上是减函数，则a 的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 [解析] ∵f 〔x 〕＝a －在〔－∞，－3〕上是减函数，∴3a ＋1<0，∴a<－.14．〔2010·江苏无锡市调研〕设a 〔0<a<1〕是给定的常数，f 〔x 〕是R 上的奇函数，且在〔0，＋∞〕上是增函数，若f ＝0，f 〔logat 〕>0，则t 的取值范围是______．[答案] 〔1，〕∪〔0，〕[解析] f 〔logat 〕>0，即f 〔logat 〕>f ，∵f〔x 〕在〔0，＋∞〕上为增函数，∴logat>，∵0<a<1，∴0<t<.又f 〔x 〕为奇函数，∴f ＝－f ＝0，∴f〔logat 〕>0又可化为f 〔logat 〕>f ，∵奇函数f 〔x 〕在〔0，＋∞〕上是增函数，∴f〔x 〕在〔－∞，0〕上为增函数，∴0>logat>－，∵0<a<1，∴1<t<，综上知，0<t<或1<t<.三、解答题15．〔2010·北京市东城区〕已知函数f 〔x 〕＝loga 〔x ＋1〕－loga 〔1－x 〕，a>0且a≠1.〔1〕求f 〔x 〕的定义域；〔2〕判断f 〔x 〕的奇偶性并予以证明；〔3〕当a>1时，求使f 〔x 〕>0的x 的取值集合．[解析] 〔1〕要使f 〔x 〕＝loga 〔x ＋1〕－loga 〔1－x 〕有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>01－x>0，解得－1<x<1.故所求定义域为{x|－1<x<1}．〔2〕由〔1〕知f 〔x 〕的定义域为{x|－1<x<1}，且f 〔－x 〕＝loga 〔－x ＋1〕－loga 〔1＋x 〕＝－[loga 〔x ＋1〕－loga 〔1－x 〕]＝－f 〔x 〕，故f 〔x 〕为奇函数．〔3〕因为当a>1时，f 〔x 〕在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，所以f 〔x 〕>0⇔>1.解得0<x<1.所以使f 〔x 〕>0的x 的取值集合是{x|0<x<1}．16．〔2010·北京东城区〕已知函数f 〔x 〕＝loga 是奇函数〔a>0，a≠1〕．〔1〕求m 的值；〔2〕求函数f 〔x 〕的单调区间；〔3〕若当x ∈〔1，a －2〕时，f 〔x 〕的值域为〔1，＋∞〕，求实数a 的值．[解析] 〔1〕依题意，f 〔－x 〕＝－f 〔x 〕，即f 〔x 〕＋f 〔－x 〕＝0，即loga ＋loga ＝0， ∴·＝1，∴〔1－m2〕x2＝0恒成立，∴1－m2＝0，∴m＝－1或m ＝1〔不合题意，舍去〕当m ＝－1时，由>0得，x ∈〔－∞，－1〕∪〔1，＋∞〕，此即函数f 〔x 〕的定义域，又有f 〔－x 〕＝－f 〔x 〕，∴m ＝－1是符合题意的解．〔2〕∵f 〔x 〕＝loga ，∴f ′〔x 〕＝′logae＝·logae ＝2logae 1－x2①若a>1，则logae>0当x ∈〔1，＋∞〕时，1－x2<0，∴f ′〔x 〕<0，f 〔x 〕在〔1，＋∞〕上单调递减，即〔1，＋∞〕是f 〔x 〕的单调递减区间；由奇函数的性质知，〔－∞，－1〕是f 〔x 〕的单调递减区间．②若0<a<1，则logae<0当x ∈〔1，＋∞〕时，1－x2<0，∴f ′〔x 〕>0，∴〔1，＋∞〕是f 〔x 〕的单调递增区间；由奇函数的性质知，〔－∞，－1〕是f 〔x 〕的单调递增区间．〔3〕令t ＝＝1＋，则t 为x 的减函数∵x∈〔1，a －2〕，∴t∈且a>3，要使f 〔x 〕的值域为〔1，＋∞〕，需loga ＝1，解得a ＝2＋.17．〔2010·山东文〕已知函数f 〔x 〕＝lnx －ax ＋－1〔a ∈R 〕．〔1〕当a＝－1时，求曲线y＝f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线方程；〔2〕当a≤时，讨论f〔x〕的单调性．[解析] 〔1〕a＝－1时，f〔x〕＝lnx＋x＋－1，x∈〔0，＋∞〕．f ′〔x〕＝，x∈〔0，＋∞〕，因此f ′〔2〕＝1，即曲线y＝f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线斜率为1.又f〔2〕＝ln2＋2，所以y＝f〔x〕在〔2，f〔2〕〕处的切线方程为y－〔ln2＋2〕＝x－2，即x－y＋ln2＝0.〔2〕因为f〔x〕＝lnx－ax＋－1，所以f ′〔x〕＝－a＋＝－x∈〔0，＋∞〕．令g〔x〕＝ax2－x＋1－a，①当a＝0时，g〔x〕＝1－x，x∈〔0，＋∞〕，当x∈〔0,1〕时，g〔x〕>0，f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减；当x∈〔1，＋∞〕时，g〔x〕<0，此时f ′〔x〕>0，f〔x〕单调递增；②当a≠0时，f ′〔x〕＝a〔x－1〕[x－〔－1〕]，〔ⅰ〕当a＝时，g〔x〕≥0恒成立，f ′〔x〕≤0，f〔x〕在〔0，＋∞〕上单调递减；〔ⅱ〕当0<a<时，－1>1>0，x∈〔0,1〕时，g〔x〕>0，此时f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减；x∈〔1，－1〕时，g〔x〕<0，此时f ′〔x〕>0，f〔x〕单调递增；x∈〔－1，＋∞〕时，g〔x〕>0，此时f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减；③当a<0时，－1<0，x∈〔0,1〕时，g〔x〕>0，有f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减x∈〔1，＋∞〕时，g〔x〕<0，有f ′〔x〕>0，f〔x〕单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f〔x〕在〔0,1〕上单调递减，〔1，＋∞〕上单调递增；当a＝时，f〔x〕在〔0，＋∞〕上单调递减；当0<a<时，f〔x〕在〔0,1〕上单调递减，在〔1，－1〕上单调递增，在〔－1，＋∞〕上单调递减．注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚．。
高中 函数的单调性与最值知识点+例题+练习 含答案
教学内容函数的单调性与最值教学目标掌握求函数的单调性与最值的方法重点单调性与最值难点单调性与最值教学准备教学过程第2讲函数的单调性与最值知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为y max＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为y min＝f(x0)．教学效果分析教学过程【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用教学效果分析课堂巩固一、填空题1．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．3．(2013·南通月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是________．4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．5．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.6．函数f (x )＝2x －18－3x 的最大值是________．7．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.8．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为______．。
高考数学复习专题训练—利用导数研究函数的单调性、极值与最值(含解析)
高考数学真题演练—利用导数研究函数的单调性、极值与最值一、单项选择题1.(2021·浙江丽水联考)若函数f(x)=(x-a)3-3x+b的极大值是M,极小值是m,则M-m的值()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,且与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,且与b有关2.(2021·山东青岛期末)若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.[3,e2+1]D.[-e2+1,3]3.(2021·陕西西安月考)已知函数f(x)=3xe x,则下列关于函数f(x)的说法正确的是()A.在区间(-∞,+∞)上单调递增B.在区间(-∞,1)上单调递减C.有极大值3e,无极小值D.有极小值3e,无极大值4.(2021·湖南岳阳期中)已知直线y=kx(k>0)和曲线f(x)=x-a ln x(a≠0)相切,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)∪(0,e)B.(0,e)C.(0,1)∪(1,e)D.(-∞,0)∪(1,e)5.(2021·湖北十堰二模)已知函数f(x)=2x3+3mx2+2nx+m2在x=1处有极小值,且极小值为6,则m=() A.5 B.3C.-2D.-2或56.(2021·四川成都二模)已知P是曲线y=-sin x(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为()A.π4B.π2C.2π3D.5π67.(2021·湖北荆门期末)已知曲线y=sinxe x+1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为() A.y=x-1 B.y=xC.y=x+1D.y=x+2二、多项选择题8.(2021·广东湛江一模)已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则()A.f (x )的极大值为0B.曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线为x 轴C.f (x )的最小值为0D.f (x )在定义域内单调9.(2021·山东淄博二模)已知e 是自然对数的底数,则下列不等关系中错误的是( ) A.ln 2>2e B.ln 3<3e C.ln π>πeD.ln3ln π<3π10.(2021·辽宁沈阳二模)已知函数f (x )={2x +2,-2≤x ≤1,lnx -1,1<x ≤e ,若关于x 的方程f (x )=m 恰有两个不同的根x 1,x 2(x 1<x 2),则(x 2-x 1)f (x 2)的取值可能是( ) A.-3B.-1C.0D.2三、填空题11.(2021·福建三明二模)已知曲线y=ln x+ax 与直线y=2x-1相切,则a= . 12.(2021·江苏无锡月考)试写出实数a 的一个取值范围 ,使函数f (x )=sinx -ae x有极值.13.(2021·四川成都月考)设函数f (x )=e x -2x ,直线y=ax+b 是曲线y=f (x )的切线,则2a+b 的最大值是 .四、解答题14.(2021·山东潍坊二模)已知函数f (x )=ax 2+bx+c e x 的单调递增区间是[0,1],极大值是3e. (1)求曲线y=f (x )在点(-1,f (-1))处的切线方程;(2)若存在非零实数x 0,使得f (x 0)=1,求f (x )在区间(-∞,m ](m>0)上的最小值.15.(2021·河北唐山期末)已知函数f (x )=a e x -x-1(a ∈R ),g (x )=x 2. (1)讨论函数f (x )的单调性;(2)当a>0时,若曲线C 1:y 1=f (x )+x+1与曲线C 2:y 2=g (x )存在唯一的公切线,求实数a 的值.16.(2021·浙江嘉兴月考)已知f (x )=a 2ln x-12ax 2-(a 2-a )x (a ≠0). (1)当a=1时,求f (x )的单调区间;(2)若函数f (x )在x=1处取得极大值,求实数a 的取值范围.答案与解析1.C 解析 因为f (x )=(x-a )3-3x+b ,所以f'(x )=3(x-a )2-3,令f'(x )=3(x-a )2-3=0,得x=a-1或x=a+1,判断可得函数的极大值M=f (a-1)=-1-3(a-1)+b=2-3a+b ,极小值m=f (a+1)=1-3(a+1)+b=-2-3a+b ,因此M-m=4.故选C .2.B 解析 依题意f'(x )=2x-a+1x ≥0在区间(1,e)上恒成立,即a ≤2x+1x 在区间(1,e)上恒成立,令g (x )=2x+1x (1<x<e),则g'(x )=2-1x 2=2x 2-1x 2=(√2x+1)(√2x -1)x 2>0,所以g (x )在区间(1,e)上单调递增,而g (1)=3,所以a ≤3,即实数a 的取值范围是(-∞,3].故选B .3.C 解析 由题意得函数f (x )的定义域为R ,f'(x )=3(1-x )e x .令f'(x )=0,得x=1,当x<1时,f'(x )>0,f (x )单调递增;当x>1时,f'(x )<0,f (x )单调递减,故f (1)是函数f (x )的极大值,也是最大值,且f (1)=3e ,函数f (x )无极小值.故选C .4.A 解析 设直线y=kx (k>0)与曲线f (x )=x-a ln x (a ≠0)相切于点P (x 0,x 0-a ln x 0)(x 0>0).由题意得,f'(x )=1-ax ,则以P 为切点的切线方程为y-x 0+a ln x 0=1-ax 0(x-x 0),因为该切线过原点,所以-x 0+a ln x 0=1-ax 0(-x 0),因此ln x 0=1,即x 0=e,所以k=1-ae >0,得a<e,又a ≠0,故实数a 的取值范围是(-∞,0)∪(0,e).故选A .5.A 解析 f'(x )=6x 2+6mx+2n.因为f (x )在x=1处有极小值,且极小值为6,所以{f '(1)=0,f (1)=6,即{6+6m +2n =0,2+3m +2n +m 2=6,解得{m =5,n =-18或{m =-2,n =3.当m=5,n=-18时,f'(x )=6x 2+30x-36=6(x+6)(x-1),则f (x )在区间(-∞,-6)上单调递增,在区间(-6,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以f (x )在x=1处取得极小值,且极小值为f (1)=6.当m=-2,n=3时,f'(x )=6x 2-12x+6=6(x-1)2≥0,则f (x )在R 上单调递增,f (x )无极值. 综上可得,m=5,n=-18. 6.C 解析 如图所示,要使|PQ|取得最小值,则曲线y=-sin x (x ∈[0,π])在点P 处的切线与直线x-2y-6=0平行,对函数y=-sin x 求导得y'=-cos x ,令y'=12,可得cos x=-12,由于0≤x ≤π,所以x=2π3.故选C . 7.C 解析 由题得y'=cosx ·e x -sinx ·e x(e x )2=cosx -sinxe x. 设切点为(x 0,y 0)(x 0≥0),则y'|x=x 0=cos x 0-sin x 0e x 0,由y'|x=x 0=1,得e x 0=cos x 0-sin x 0.令f (x )=e x -cos x+sin x (x ≥0),则f'(x )=e x +sin x+cos x=e x +√2sin x+π4,当0≤x<1时,f'(x )>0,当x ≥1时,e x ≥e,√2sin (x +π4)≥-√2,f'(x )>0,所以∀x ≥0,f'(x )>0,所以f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则f (x )≥f (0)=0,所以方程e x 0=cos x 0-sin x 0只有一个实根x 0=0,所以y 0=sin0e 0+1=1,故切点为(0,1),切线斜率为1,所以切线方程为y=x+1. 8.BC 解析 函数f (x )=x 3-3ln x-1的定义域为(0,+∞),f'(x )=3x 2-3x =3x (x 3-1).令f'(x )=3x (x 3-1)=0,得x=1,列表得:所以f (x )的极小值,也是最小值为f (1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C 正确,A,D 错误;对于B,由f (1)=0及f'(1)=0,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B 正确,故选BC .9.ACD 解析 令f (x )=ln x-xe ,x>0,则f'(x )=1x −1e ,令f'(x )=0,得x=e,当0<x<e 时,f'(x )>0,当x>e 时,f'(x )<0,所以f (x )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,故f (x )max =f (e)=ln e -ee =0,则f (2)=ln 2-2e <0得ln 2<2e ,故A 错误;f (3)=ln 3-3e <0得ln 3<3e ,故B 正确;f (π)=ln π-πe <0得ln π<πe ,故C 错误;对于D 项,令g (x )=lnxx ,x>0,则g'(x )=1-lnxx 2,当0<x<e 时,g'(x )>0,当x>e 时,g'(x )<0,所以g (x )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,则g (3)>g (π),得ln33>ln ππ,即ln3ln π>3π,故D 错误.故选ACD . 10.BC 解析 画出函数f (x )的图象,如图,因为f (x )=m 的两根为x 1,x 2(x 1<x 2),所以x 1=m -22,x 2=e m+1,m ∈(-1,0],从而(x 2-x 1)·f (x 2)=em+1-m -22m=m em+1-m 22+m.令g (x )=x e x+1-12x 2+x ,x ∈(-1,0],则g'(x )=(x+1)e x+1-x+1. 因为x ∈(-1,0],所以x+1>0,e x+1>e 0=1,-x+1>0, 所以g'(x )>0,从而g (x )在区间(-1,0]上单调递增.又g (0)=0,g (-1)=-52,所以g (x )∈-52,0,即(x 2-x 1)·f (x 2)的取值范围是-52,0,故选BC . 11.1 解析 由题意得函数y=ln x+ax 的定义域为x>0,y'=1x +a.设曲线y=ln x+ax 与直线y=2x-1相切于点P (x 0,y 0),可得1x 0+a=2,即ax 0=2x 0-1①,y 0=ln x 0+ax 0,y 0=2x 0-1,所以ln x 0+ax 0=2x 0-1②,联立①②,可得x 0=1,a=1. 12.(-√2,√2)(答案不唯一) 解析 f (x )=sinx -ae x 的定义域为R ,f'(x )=cosx -sinx+ae x,由于函数f (x )=sinx -ae x 有极值,所以f'(x )=cosx -sinx+ae x有变号零点,因此由cos x-sin x+a=0,即a=sin x-cos x=√2sin x-π4,可得a ∈(-√2,√2),答案只要为(-√2,√2)的子集都可以. 13.e 2-4 解析 f'(x )=e x -2.设切点为(t ,f (t )),则f (t )=e t -2t ,f'(t )=e t -2,所以切线方程为y-(e t -2t )=(e t -2)(x-t ),即y=(e t -2)x+e t (1-t ),所以a=e t -2,b=e t (1-t ),则2a+b=-4+3e t -t e t .令g (t )=-4+3e t -t e t ,则g'(t )=(2-t )e t .当t>2时,g'(t )<0,g (t )在区间(2,+∞)上单调递减; 当t<2时,g'(t )>0,g (t )在区间(-∞,2)上单调递增,所以当t=2时,g (t )取最大值g (2)=-4+3e 2-2e 2=-4+e 2,即2a+b 的最大值为e 2-4. 14.解 (1)因为f (x )=ax 2+bx+ce x,所以f'(x )=-ax 2+(2a -b )x+b -ce x.因为e x >0,所以f'(x )≥0的解集与-ax 2+(2a-b )x+b-c ≥0的解集相同,且同为[0,1]. 所以有{ a >0,2a -ba =1,b -c-a =0,解得a=b=c.所以f(x)=a(x2+x+1)e x(a>0),f'(x)=-ax2+axe x(a>0).因为a>0,所以当x<0或x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当0≤x≤1时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,且f'(1)=0,所以f(x)在x=1处取得极大值,又由题知,极大值为3 e ,所以f(1)=3ae=3e,解得a=1,所以a=b=c=1.所以f(x)=x2+x+1e x,f'(x)=-x2+xe x.所以f(-1)=1e-1=e,f'(-1)=-2e-1=-2e.所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-e=-2e(x+1),即y=-2e x-e.(2)由(1)知函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增,且f(0)=1e0=1, 所以满足f(x0)=1(x0≠0)的x0∈(1,+∞).所以当0<m≤x0时,由函数f(x)的单调性易知,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(0)=1;当m>x0时,f(m)<f(x0)=f(0)=1,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(m)=m 2+m+1 e m.综上所述,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为{1,0<m≤x0,m2+m+1e m,m>x0.15.解(1)f'(x)=a e x-1.当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,得x=-ln a.当x<-ln a时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>-ln a时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在区间(-∞,-ln a)上单调递减,在区间(-ln a,+∞)上单调递增.(2)因为曲线C1:y1=a e x与曲线C2:y2=x2存在唯一的公切线,设该公切线与曲线C1,C2分别切于点(x1,a e x1),(x2,x22),显然x1≠x2.由于y1'=a e x,y2'=2x,所以a e x1=2x2=ae x1-x22 x1-x2,因此2x2x1-2x22=a e x1−x22=2x2-x22,所以2x1x2-x22=2x2,即x2=2x1-2.由于a>0,故x2>0,从而x2=2x1-2>0,因此x1>1.此时a=2x2e x1=4(x1-1)e x1(x1>1).设F(x)=4(x-1)e x(x>1),则问题等价于当x>1时,直线y=a与曲线y=F(x)有且只有一个公共点.又F'(x)=4(2-x)e x,令F'(x)=0,解得x=2,所以F(x)在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减.而F(2)=4e2,F(1)=0,当x→+∞时,F(x)→0,所以F(x)的值域为0,4e2,故a=4e2.16.解(1)由题意得,当a=1时,函数f(x)=ln x-12x2,其定义域为(0,+∞),因此f'(x)=1x-x=1-x2x.令f'(x)>0,即1-x2>0,得0<x<1,所以f(x)在区间(0,1)上单调递增; 令f'(x)<0,即1-x2<0,得x>1,所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)由题意,函数f(x)=a2ln x-12ax2-(a2-a)x(a≠0)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=a2x-ax-(a2-a)=-a(x+a)(x-1)x.当a<0时,-a>0,①若-1<a<0,令f'(x)>0,即(x+a)(x-1)>0,得x>1或0<x<-a;令f'(x)<0,即(x+a)(x-1)<0,得-a<x<1,所以函数f(x)在区间(1,+∞),(0,-a)上单调递增,在区间(-a,1)上单调递减.所以当x=1时,函数f(x)取得极小值,不符合题意.②若a=-1,可得f'(x)=(x-1)2x≥0,此时函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值,不符合题意.③若a<-1,令f'(x)>0,即(x+a)(x-1)>0,得x>-a或0<x<1,令f'(x)<0,即(x+a)(x-1)<0,得1<x<-a,所以函数f(x)在区间(1,-a)上单调递减,在区间(0,1),(-a,+∞)上单调递增,所以当x=1时,函数f(x)取得极大值,符合题意.当a>0时,-a<0.令f'(x)>0,即(x+a)(x-1)<0,得0<x<1;令f'(x)<0,即(x+a)(x-1)>0,得x>1,所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,函数f(x)取得极大值,符合题意.综上可得,实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞).。
函数的极值与单调性练习题
函数的极值与单调性练习题一、选择题1、函数\（f(x) ＝ x^3 3x\）的单调递减区间是（）A ＼（（－1,1)＼）B ＼（（＼infty, －1)＼）C ＼（（1, ＋＼infty)＼）D ＼（（＼infty, －1)＼cup （1, ＋＼infty)＼）2、函数\（f(x) ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＼ln x\）的极值点为（）A ＼（x ＝ 1\）B ＼（x ＝－1\）C ＼（x ＝ 2\）D ＼（x ＝－2\）3、已知函数\（f(x) ＝ x^3 ＋ ax^2 ＋ bx ＋ c\），当\（x ＝－1\）时，取得极大值 7；当\（x ＝ 3\）时，取得极小值。
则（）A ＼（a ＝－3\），＼（b ＝－9\）B ＼（a ＝ 3\），＼（b ＝ 9\）C ＼（a ＝－3\），＼（b ＝ 9\）D ＼（a ＝ 3\），＼（b ＝－9\）4、函数\（f(x) ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）的单调递增区间是（）A ＼（（＼infty, －1)＼）和\（（1, ＋＼infty)＼）B ＼（（－1, 0)＼）和\（（0, 1)＼）C ＼（（＼infty, －1)＼）D ＼（（1, ＋＼infty)＼）5、函数\（f(x) ＝ x^4 2x^2 ＋ 5\）在区间\（－2, 2\）上的最大值与最小值分别是（）A ＼（13\），＼（4\）B ＼（13\），＼（5\）C ＼（8\），＼（4\） D ＼（8\），＼（5\）二、填空题1、函数\（f(x) ＝ x^3 12x\）的极大值为_____，极小值为_____。
2、函数\（f(x) ＝ x ＼ln x\）的单调递增区间是_____，单调递减区间是_____。
3、若函数\（f(x) ＝ 2x^3 6x^2 ＋ m\）在\（－2, 2\）上有最大值 3，则\（m ＝＼）＿____。
4、函数\（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 7\）的极值点为_____。
高考数学复习-函数的单调性与最值小题训练
A． 4, 22, 4
B． (, 4) (4, )
C． (4, 4)
D． (2, 2)
11．已知
a＞0，且
a≠1，函数
（f x）
3a 1 x
a
x，x＞0
2a
5，x
0
，满足对任意实数
x1≠x2，都有
f
x2
x2
f x1
x1
＞
0
成立，则 a 的取值范围是（
）
A．（0，1）
B．（1，+∞）
C．（ 1 ，3] 3
06.函数的单调性与最值小题训练
一、单选题
1．函数
y
1 x
的单调减区间为（
）
A． ( , )
B． (,0) (0, )
C． (, 0) (0, )
D． (, 0), (0, )
2．下列函数在区间 (0, ) 上单调递减的是（ ）
A． y x 1
B． y 2 x
C． y 2x
D． y lnx
12．已知 a sin1,b 2sin1,c lnsin1 ，则（ ）
D．（1，3]
A． a c b
B． c a b
C． b c a
D． c b a
13．已知函数 f x lnx 1 ax 2 2x 存在单调递减区间，则实数 a 的取值范围是（ ）
2
A． , 1
B． 1,
C．1,
D． 1,
答案第 1页，共 3页
14．函数 f x
x
1 3 的最小值为（ x 3
）
A．2
B． 10 3
C．3
D．以上都不对
15．若存在负实数使得方程 2x
高考数学复习函数的单调性与最值专题训练(含答案)
16年高考数学复习函数的单调性与最值专题训练（含答案）函数的单调性也可以叫做函数的增减性，下面是函数的单调性与最值专题训练，请考生及时练习。
一、选择题1.下列函数中，既是偶函数又在(0，+)内单调递减的函数是().A.y=x2B.y=|x|+1C.y=-lg|x|D.y=2|x|解析对于C中函数，当x0时，y=-lg x，故为(0，+)上的减函数，且y=-lg |x|为偶函数.答案C.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)(0,1)D.(-，-1)(1，+)解析f(x)在R上为减函数且f(|x|)|x|1，解得x1或x-1.答案D.若函数y=ax与y=-在(0，+)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增解析y=ax与y=-在(0，+)上都是减函数，a0，b0，y=ax2+bx的对称轴方程x=-0，y=ax2+bx在(0，+)上为减函数.答案B4.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1)，则函数g(x)的递减区间是().A.(-，0]B.[0,1)C.[1，+)D.[-1,0]解析g(x)=如图所示，其递减区间是[0,1).故选B.答案B.函数y=-x2+2x-3(x0)的单调增区间是()A.(0，+)B.(-，1]C.(-，0)D.(-，-1]解析二次函数的对称轴为x=1，又因为二次项系数为负数，，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(-，0).答案C.设函数y=f(x)在(-，+)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)=取函数f(x)=2-|x|，当K=时，函数fK(x)的单调递增区间为().A.(-，0)B.(0，+)C.(-，-1)D.(1，+)解析f(x)=f(x)=f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(-，-1).答案C二、填空题.设函数y=x2-2x，x[-2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)=________.解析函数y=x2-2x=(x-1)2-1，对称轴为直线x=1.当-21时，函数在[-2，a]上单调递减，则当x=a时，ymin=a2-2a;当a1时，函数在[-2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x=1时，ymin=-1.综上，g(a)=答案.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是_______.解析y=-(x-3)|x|作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.答案.已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-，3)上是减函数，则a的取值范围是________.解析当a=0时，f(x)=-12x+5在(-，3)上为减函数;当a0时，要使f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-，3)上是减函数，则对称轴x=必在x=3的右边，即3，故0答案10.已知函数f(x)=(a是常数且a0).对于下列命题：函数f(x)的最小值是-1;函数f(x)在R上是单调函数;若f(x)0在上恒成立，则a的取值范围是a对任意的x10，x20且x1x2，恒有f.其中正确命题的序号是____________.解析根据题意可画出草图，由图象可知，显然正确;函数f(x)在R上不是单调函数，故错误;若f(x)0在上恒成立，则2a-10，a1，故正确;由图象可知在(-，0)上对任意的x10，x20且x1x2，恒有f成立，故正确.答案三、解答题.求函数y=a1-x2(a0且a1)的单调区间.当a1时，函数y=a1-x2在区间[0，+)上是减函数，在区间(-，0]上是增函数;当0x12，则f(x1)-f(x2)=x+-x-=[x1x2(x1+x2)-a]，由x22，得x1x2(x1+x2)16，x1-x20，x1x20.要使f(x)在区间[2，+)上是增函数，只需f(x1)-f(x2)0，即x1x2(x1+x2)-a0恒成立，则a16..已知函数f(x)=a2x+b3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性;(2)若ab0，求f(x+1)f(x)时的x的取值范围.解(1)当a0，b0时，因为a2x，b3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增;当a0，b0时，因为a2x，b3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减.(2)f(x+1)-f(x)=a2x+2b3x0.(i)当a0，b0时，x-，解得x(ii)当a0，b0时，x-，解得x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3.(1)证明设x1，x2R，且x10，f(x2-x1)1.f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10.f(x2)f(x1).即f(x)是R上的增函数.(2) f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，f(2)=3，要练说，得练看。
函数的单调性与最值训练题
函数的单调性与最值训练题一、题点全面练1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析：选D 函数y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－1,1)上为减函数．2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1D ．1解析：选B 因为f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.故选B. 4．函数f (x )＝x1－x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：选C 因为f (x )＝－－x ＋11－x ＝－1＋11－x，所以f (x )的图象是由y ＝－1x的图象沿x 轴向右平移1个单位，然后沿y 轴向下平移一个单位得到，而y ＝－1x的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．故选C. 5．(2019·赣州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]解析：选B 由题知，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，可得函数g (x )的单调递减区间为[0,1)．6．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3B ．[－6，－4] C.[]－3，－22D.[]－4，－3解析：选B 由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－a2∈[2,3]，即a ∈[－6，－4]．7．函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2)解析：选D 函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，且在x ∈(－1，＋∞)时单调递减，在x ＝2时，y ＝0； 根据题意x ∈(m ，n ]时y 的最小值为0， 所以－1≤m ＜2.8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D 由题意知a ＜1，又函数g (x )＝x ＋a x－2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D.9．(2019·湖南四校联考)若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x ＜2.又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2≤2，a 2≤0，∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]． 答案：[－4,0]10．已知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f x的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f x ≤12.令t ＝1－2f x ， 则f (x )＝12(1－t 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78 二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．函数y ＝log 13(－x 2＋2x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(－1,1]B ．(－∞，1)C ．[1,3)D ．(1，＋∞)解析：选C 令t ＝－x 2＋2x ＋3，由－x 2＋2x ＋3>0，得－1＜x ＜3. 函数t ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴方程为x ＝1，则函数t ＝－x 2＋2x ＋3在[1,3)上为减函数， 而函数y ＝log 13t 为定义域内的减函数，所以函数y ＝log 13(－x 2＋2x ＋3)的单调递增区间是[1,3)．2．(2019·西安模拟)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，则二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，0＜a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12.4．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞) (二)技法专练——活用快得分5．[构造法]已知减函数f (x )的定义域是实数集R ，m ，n 都是实数．如果不等式f (m )－f (n )>f (－m )－f (－n )成立，那么下列不等式成立的是( )A ．m －n ＜0B ．m －n >0C ．m ＋n ＜0D ．m ＋n >0解析：选A 设F (x )＝f (x )－f (－x )， 由于f (x )是R 上的减函数，∴f (－x )是R 上的增函数，－f (－x )是R 上的减函数， ∴F (x )是R 上的减函数， ∴当m ＜n 时，有F (m )>F (n )， 即f (m )－f (－m )>f (n )－f (－n )成立．因此，当f (m )－f (n )>f (－m )－f (－n )成立时，不等式m －n ＜0一定成立，故选A. 6．[三角换元法]函数y ＝x ＋－x 2＋10x －23的最小值为________． 解析：原函数可化为：y ＝x ＋2－x －2.由2－(x －5)2≥0⇒|x －5|≤2， 令x －5＝2cos α，那么|2cos α|≤2⇒|cos α|≤1⇒0≤α≤π， 于是y ＝2cos α＋5＋2sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋5. 因为α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以函数的最小值为5－ 2. 答案：5－ 27．[数形结合法]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化． 而f (x )的值域为[－1，＋∞)，f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，因为g (x )是二次函数， 所以g (x )的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)(三)素养专练——学会更学通8．[数学抽象]已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．9．[数学运算]已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，解得a ＝25.10．[数学运算]已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋ax>0，当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)； 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0恒成立，所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋ax －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋a x－2>1对任意x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2.即a 的取值范围为(2，＋∞)．。
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函数的单调性与极值练习
一、选择题
1．函数3
()3f x x x =-（||1x <） （ ）。
Ａ．有最大值，但无最小值 Ｂ．有最大值，也有最小值 Ｃ．无最大值，也无最小值 Ｄ．无最大值，但有最小值
2．函数3() f x x a x b =++在区间（－1，1）上为减函数，在（1，＋∞）上为增函数， 则（ ）。
Ａ．1a =，1b =Ｂ．1a =，R b ∈Ｃ．3a =-，3b =Ｄ．3a =-，R b ∈ 3．函数2
1ln 2
y x x =
-的单调减区间为 （ ）。
Ａ．（0，1）Ｂ．（0，1）∪（－∞，－1）Ｃ．（0，1）∪（1，＋∞）Ｄ．（0，＋∞） 4．函数232
x
y x x =
-+的单调增区间为 （ ）。
Ａ．
） Ｂ．（－2，1）∪（1，2） Ｃ．
，1）∪（1
） Ｄ．
，1），（1
） 5．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '= 的图象如右图所示，则()y f x =的图象有 可能的是 （ ）。
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 二、填空题
6．已知0a >，函数3
() f x x a x =-+在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值 为＿＿＿。
7．设()(1)(2)(3)f x x x x =---，则方程()0f x '=的实数根的个数是＿＿＿。
三、解答题
8．求函数1
()f x x x
=+
的极值。
)
函数的单调性与极值
类型一导数与函数的单调性 一、选择题
1．函数3
y x x =-的单调增区间是＿＿＿。
2．若三次函数3
y a x x =-在区间（－∞，＋∞）内是减函数，则a 的取值范围＿＿＿。
3．函数ln y x x =在区间（0，1）上的增减性是＿＿＿。
二、填空题
4．若函数32
()f x x bx cx d =+++的单调递减区间为[－1，2]，则b =＿＿，c =＿＿。
5．若函数3
() f x a x x =+恰有三个单调区间，则a 的取值范围是＿＿＿。
6．设2
()f x x x
=+
（0x <），则()f x 的单调增区间为＿＿＿。
7．求函数2
2
ln y x x =-的单调区间。
类型二、函数的极值
一、选择题 1．函数1()()2
x x
f x e e -=
+的极小值点是＿＿＿。
2．函数sin()2
y x π
π=+
+在区间[－π，π]上的极大值点为＿＿＿。
3．函数3
13y x x =+-的极大与极小值＿＿＿。
二、填空题
4．函数3
2
1y x x x =+-+在区间[－2，1]上的最小值为＿＿＿。
5．若函数3
() f x x a x =+在Ｒ上有两个极值点，则实数a 的取值范围是＿＿＿。
6．函数()sin cos f x x x =+在[－
2π，2
π
]上的最大值为＿＿＿，最小值为＿＿＿。
7．已知函数3
2
() 32f x a x b x x =+-+在1x =±处取得极值，讨论( 1 )f 和( 1 )f -是函数()f x 的极大值还是极小值。
函数的单调性与极值专题
1. 利用导数判断函数的单调性
（1）函数单调性与其导函数的正、负关系
在区间（a ，b ）内，若0)x ('f >，则函数y=f （x ）在区间（a ，b ）内单调递增.若0)x ('f <，则函数y=f （x ）在区间（a ，b ）内单调递减，若()0x 'f =，则函数y=f （x ）是常函数，在区间（a ，b ）内不具有单调性. （2）导数与函数图像的关系
若函数在某一区间（a ，b ）内的导数绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数图像比较“陡峭”（向上或向下），反之，函数图像就“平缓”一些. 2. 求可导函数单调区间的一般步骤与方法
（1）确定函数y=f （x ）的定义域
（2）求0)(),(''=x f x f 令，解此方程，求其在定义域内的一切实根.
（3）把函数y=f （x ）的间断点的横坐标及上面求出的各实根按由小到大的顺序排列，然后用这些点把函数f （x ）的定义区间分成若干个小区间.
（4）确定)x ('f 在各个小区间的符号，判定函数y=f （x ）在每个相应小开区间的单调性.
3. 函数极值的概念
已知函数y=f （x ），设0x 是定义域内任意一点，若对0x 附近所有的点x ，都有
)()(0x f x f <，则称函数y=f （x ）在0x 处取极大值，即)(0x f y =极大，0x 称为函数的一
个极大值点.反之若)()(0x f x f >，则函数)x (f y =在0x 处取得极小值，即)(0x f y =极小，
0x 称为函数的一个极小值点.
注意：（1）函数极值是局部性概念，极值点是定义域内的点，而定义域的端点绝不是极值点.
（2）若函数y=f （x ）在[a ，b]内有极值，则函数)x (f y =在区间[a ，b]内一定不是单调函数，即给定区间上的单调函数无极值.
（3）当函数)x (f y =在区间[a ，b]内连续且有有限个极值点时，函数)x (f y =在区间[a ，b]内的极大值点与极小值点是交替出现的. 4. 求函数y=f （x ）极值的方法
（1）求导数()x 'f .
（2）求方程()x 'f =0的所有实数根.
（3）考察0x 附近的每一个根（从左到右），导函数)('
x f 的符号变化，若)('
x f 的符号由正变负，则)(0x f 是极大值，若)('
x f 的符号由负变正，则)(0x f 是极小值.
注意：①可导点不一定是极值点，如3
)(x x f =，0)0('
=f ，则x=0不是极值点.故导数为零的点是该点为极值点的必要条件.
②不可导点可能是极值点，如||)(x x f =，在x=0处不可导，但x=0是函数的极小
值点.
【典型例题】
考点一：判断函数在给定区间上的单调性 例1、已知函数)0x (,x
a
x )x (f ≠+
=， （1）当0≤a 时，函数在区间（),0()0,+∞∞-及上的单调性如何？ （2）当a>0时，判断函数在区间)0,(),0(a a -及上的单调性.
例2、已知函数)(3
1)(23
R a ax x x x f ∈++=，讨论函数的的单调性。
考点二：求函数的单调区间
例3、求函数x x x f ln 23)(2
-=的单调区间
考点三：求函数的极值及其综合应用. 例4、求函数x e
x x f -=2
)(的极值
x )0,(-∞
0 （0， 2）
2 （2，+)∞
)('x f
－
+
0 －
)(x f
极小值0
极大值2
4-e
例5、 已知函数f (x )＝x 3＋bx 2
＋cx ＋2在x ＝－2和x ＝23
处取得极值．
(1) 确定函数f (x )的解析式(2) 求函数f (x )的单调区间；（3）作出函数()f x 的大致图像.
例6、 已知函数,1)1(2
33)(2
3+++-=
x a x x a x f 其中a 为实数， （1）已知函数f （x ）在x=1处取得极值，求a 的值
（2）已知不等式1)(2
'
+-->a x x x f 对任意的a ),0(+∞∈都成立，求x 的取值范围.
考点四：求函数的最值
例7、求函数]1,3
2[,322
3∈++-=x x x x y 的值域。
例8、证明：1x
e x ≥+
同步练习：
1、设x=1，x=2是函数1)(3
5
+++=bx ax x x f 的两个极值点
（1）求a ，b 的值.（2）求f （x ）的单调区间.
的单调性与极值。
讨论函数)()2(ln )(.22R a x a x x a x f ∈-+-=
3、设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间． 变式1.求函数()f x 的极值.
变式2.作出函数()f x 的草图.
变式3.设函数()sin cos f x x x x a =-++，[]0,2x π∈有且仅有两个零点，求实数a 的值.
变式4.设方程sin cos x x x a -+=有三个不同的实根，求实数a 的取值范围.
4. 设a 为实数，函数32
()f x x x x a =--+. （1）求()f x 的极值；
（2）作出函数32
()g x x x x =--的图像；
（3）当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？
5. 设a 为实数，函数f (x )＝e x
－2x ＋2a ，x ∈R .求f (x )的单调区间与极值；。