§3.2傅里叶级数
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
f (t )
n
F e
n
jn1t
E T1
n1 jn1t Sa( 2 )e n
20
E f (t ) T1
n1 jn1t Sa( 2 )e n
E n1 Fn Sa( ) T1 2
2 E n1 cn Sa( ) T1 2 E c0 T1 n0
E cos(n t )dt
2 1 2
2E 2E n1 2 sin(n1t ) sin( ) T1n1 n 2 2
E1
n1 2 E n1 Sa( ) Sa( ) 2 T1 2
E 2 E f (t ) T1 T1
n1 Sa( 2 ) cos(n1t ) n 1
f1 t
f1 (t ) 1 f (t )
1
f (t)
练习P 3 7 171
2
－T
T T 0
2
T 2
T
2T
t
T 2
0 －1
T 2
T
2T
t
注意：不可左右移动，否则改变了 原信号的对称性。
11
四、傅里叶有限级数与最小方均误差
f (t ) a0 (an cos n1t bn sin n1t )
32
1 1 2 2 2 2 2 P a0 (an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1 1 2 2 2 c0 (2 Fn 2 F n ) 2 n 1 c0 Fn F n
2 2 2 n 1 n 1 n
2 b2 T1
T1 2 T 1 2
全波整流的傅里叶级数
全波整流的傅里叶级数1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下角度进行阐述：全波整流是一种常用的电子电路，用于将输入信号转换为具有单一方向的输出信号。
它广泛应用于电力电子、通信、控制系统等领域。
全波整流的基本原理是利用二极管的导通特性，将输入信号的负半周进行反向偏置，使其变为正半周，从而得到一个具有相同频率但幅值为正的输出信号。
傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
它是由法国数学家傅里叶提出的，被广泛应用于信号处理、电路分析、物理学等领域。
傅里叶级数的概念是基于周期函数的周期性和任意函数的可展开性来进行构建的。
通过将输入信号分解为多个频率不同的正弦和余弦函数，可以更好地理解和分析信号的特性。
本文将重点介绍全波整流的基本原理和傅里叶级数的概念及其在全波整流中的应用。
首先介绍全波整流的基本原理，包括二极管的导通与截止、输入信号的变换过程等。
然后详细阐述傅里叶级数的定义和构造方法，并探讨在全波整流中如何利用傅里叶级数进行信号分析和处理。
最后，总结全波整流的优势和应用场景，以及傅里叶级数在全波整流中的作用和意义。
通过本文的学习，读者将能够全面了解全波整流的基本原理和傅里叶级数的概念及其应用。
同时，对于电子电路设计和信号处理方面的研究和应用也将有更深入的认识。
接下来，我们将逐一介绍全波整流的基本原理和傅里叶级数的概念及其应用，希望读者能够对相关领域有一定的了解和启发。
1.2文章结构1.2 文章结构本篇文章将分为三个部分来探讨全波整流的傅里叶级数。
第一部分是引言部分。
该部分将概述全波整流和傅里叶级数的基本概念和原理，同时介绍文章的结构和目的。
第二部分是正文部分。
首先，我们将详细介绍全波整流的基本原理，包括其实现方法和工作原理。
然后，我们将介绍傅里叶级数的概念和应用，并分析其在全波整流中的作用和意义。
通过理论分析和实例说明，我们将展示全波整流和傅里叶级数之间的关系与相互影响。
第三部分是结论部分。
傅里叶级数
一、周期信号的傅立叶级数
令
1 F(nω1) = (an − jbn ) 2 1 T 1 T = ∫ f (t) cos(nω1t ) d t − j ∫ f (t) sin (nω1t ) d t T 0 T 0
由欧拉公式
1 T = ∫ f (t)e− jnω1t d t T 0
1 F(−nω1) = (an + jbn ) 2 1 T 1 T = ∫ f (t) cos(nω1t ) d t + j ∫ f (t) sin (nω1t ) d t T 0 T 0
(2)在nω1下基底的幅度值 F (nω1 ) 或cn (3)在nω1下基底的相位值ϕ n
指数表示的基底为e jnω1t 三角表示的基底为 cos(nω1t )
二、周期信号的频谱与功率谱
1.周期信号的频谱 1.周期信号的频谱 为了能既方便又明白地表示一个信号在不同频率下的幅值和相位， 为了能既方便又明白地表示一个信号在不同频率下的幅值和相位， 可以采用称为频谱图的表示方法。 频谱图的表示方法 可以采用称为频谱图的表示方法。 在傅立叶分析中， 在傅立叶分析中，把各个分量的幅度 Fn 或 变化称为信号的幅度谱 幅度谱。 变化称为信号的幅度谱。 而把各个分量的相位 ϕn 随角频率
单边谱
− ϕ1
(d )
双边谱
二、周期信号的频谱与功率谱
周期信号频谱的特点： 周期信号频谱的特点： 特点 (1)离散性——谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱； 离散性 谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱 离散频谱； 谱线所在频率轴上的位置是基本频率的整数倍； (2) 谐波性——谱线所在频率轴上的位置是基本频率的整数倍； (3) 收敛性——谱线幅度随 而衰减到零。 n →∞ 而衰减到零。各频谱的高度
第3章傅里叶级数
同频率
cos(t )
LTI
A cos(t )
LTI系统对正弦信号的响应仍然是同频正弦信号
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复指数信号激励LTI系统的情况。
e
st
LTI
?
s ( t )
y(t ) h(t ) * e h( )e
st
d
e
st
x(t )
a0 1
k 3
a e
k
3
jk 2t
a1 a1 1 / 4
a3 a3 1 / 3
a2 a2 1 / 2
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解：
1 j 2t j 2t x(t ) 1 (e e ) 4 1 j 4t 1 j 6t j 4t j 6t (e e ) (e e ) 2 3
sincossincossincos322傅里叶级数系数的确定正交函数集t的周期函数正交函数集的概念一个以t为周期的周期函数在一段长度为t的区间上的积分与起始位置无关jkdtsincostdttdt正弦波的上波瓣和下波瓣的面积相等对于高次谐波而言无非是在一个周期之内上对于高次谐波而言无非是在一个周期之内上波瓣和下波瓣多了一些但是上波瓣的总面积和波瓣和下波瓣多了一些但是上波瓣的总面积和下波瓣的总面积还是相等的下波瓣的总面积还是相等的sincosjkdt构成了一个正交函数集
周期函数的一个基本性质。
x(t ) x(t T )
T a
a
x(t )dt x(t )dt
a
T
T a
T
x(t )dt
傅里叶变换的证明
1 T nm 2 cos(nw1t ) cos(m w t ) dt 1 0 n m
即有： t
t0 T1
0
t0 T1
t0
1 T nm 2 sin(nw1t ) sin(m w t ) dt 1 0 n m
n
F (nw1)e
jnw1t
n
jnw1t F e n （6）
证明:思路由三角形式→指数形式
f (t ) a0 [an cos(nw1t ) bn sin(nw1t )] （ 7）
n 1
利用欧拉公式:
jnw1t jnw1t 1 cos( nw t ) ( e e ) 1 2 8） jnw1t jnw1t （ 1 e ) sin(nw1t ) 2 j (e
把(10),(11)代入(9)得
f (t ) a0 [ F (nw1 )e jnw1t F (nw1 )e jnw1t ] （ 12 ）
n 1
令a0 F (0)
F ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnw )e
n1 1
jnw1t
n
F (nw )e
1
1
jnw1t
(12)式写为f (t )
an
t0 T1 1 T1 t 0
f (t )dt
信号的平均值、直流分量
是nw1的偶函数 是nw1的奇函数
t0 T1 2 T1 t 0
f (t ) cos(nw1t )dt
2 bn T 1
t0 T1
t0
f (t ) sin(nw1t )dt
《傅里叶级数》课件
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
傅里叶级数通俗解析
傅里叶级数通俗解析傅里叶级数本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。
1. 完备正交函数集要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。
如果n 个函数φ1 t , φ2 t , …, φn t 构成一个函数集，若这些函数在区间 t1, t2 上满足φi t φj t dt=t1t20 ,i≠j (1)Ki ,i=j如果是复数集，那么正交条件是∗ φi t φjtdt= t1t20 ,i≠j (2)Ki ,i=jφ∗j t 为函数φj t 的共轭复函数。
有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。
比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。
先证明三角函数集：设φn t =cos nωt，φm t =cos mωt, 把φn t ，φm t 代入(1)得t0+Tt0φi t φj t dt=t0+Tcos nωtcos mωt dtt0当n ≠m时=2 t0+T cos n+m ωt+cos n−m ωt dt1t=21sin n+m ωt(n+m)ω+sin n−m ωtt0+T(n−m) ωt0=0 (n,m=1,2,3,…,n ≠m) 当n=m时=2 t0+Tcos2nωt dt1t=2T再证两个都是正弦的情况设φn t =sin nωt，φm t =sin mωt, 把φn t ，φm t 代入(1)得 t0+Tt0φi t φj t dt=t0+Tsin nωtsin mωt dtt0当n ≠m时=2 t0+T cos n+m ωt−cos n−m ωt dt1t=21sin n+m ωt(n+m)ω−sin n−m ωtt0+T(n−m) ωt0=0 (n,m=1,2,3,…,n ≠m) 当n=m时=2 t0+Tcos2nωt dt1t=2最后证明两个是不同名的三角函数的情况设φn t =cos nωt，φm t =sin mωt, 把φn t ，φm t 代入(1)得 t0+TTt0φi t φj t dt=11t0+Tcos nωtsin mωt dtt0t=2 t0+T sin n+m ωt−sin n−m ωt dt=2 −cos n+m ωt(n+m)ω+cos n−m ωtt0+T(n−m) ωt0=0 (n,m为任意整数)因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。
《傅里叶级数》课件
傅里叶系数： a_n和b_n，可 以通过积分计算 得到
傅里叶级数的收 敛性：对于满足 一定条件的函数， 傅里叶级数收敛 于该函数
傅里叶级数的计算步骤
傅里叶级数的计算实例
实例：计算正弦函数的傅里 叶级数
计算步骤：确定周期、确定 频率、确定振幅、确定相位
傅里叶级数的定义：将周期函 数分解为无穷多个正弦和余弦 函数的和
傅里叶级数未来的研究方向与挑战
傅里叶级数的快速算法研究 傅里叶级数的应用领域拓展 傅里叶级数的理论研究与证明 傅里叶级数的计算复杂性与优化
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实例：计算余弦函数的傅里 叶级数
实例：计算三角函数的傅里 叶级数
实例：计算复杂函数的傅里 叶级数
傅里叶级数的应 用实例
信号处理中的应用
滤波器设计：傅里叶级数可以用于设计各种滤波器，如低通滤波器、高通滤波器等。 信号分析：傅里叶级数可以用于分析信号的频率成分，如分析信号的频谱、功率谱 等。
信号处理：傅里叶级数可以用于处理信号，如信号的压缩、增强、去噪等。
傅里叶级数的周期性
傅里叶级数是一种周期函数 周期性是傅里叶级数的基本性质之一 周期性是指函数在一定区间内重复出现 周期性是傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域里叶级数的展开式
傅里叶级数的定 义：将周期函数 分解为无穷多个 正弦函数和余弦 函数的线性组合
傅里叶级数的展 开式：f(x) = a_0 + Σ[a_n * cos(nωx) + b_n * sin(nωx)]
数值分析中的应用
傅里叶级数在信号处理中的应用 傅里叶级数在图像处理中的应用 傅里叶级数在音频处理中的应用 傅里叶级数在金融数据分析中的应用
其他应用领域
傅里叶级数变换
数据压缩
通过傅里叶级数变换，可以实现 数据的压缩和解压缩，节省存储 空间和传输带宽。
在量子计算领域的应用
1 2
量子信号处理
利用傅里叶级数变换处理量子信号，有助于实现 量子通信和量子计算中的信息处理。
量子纠缠态分析
通过傅里叶级数变换，可以对量子纠缠态进行分 析和操作，有助于实现量子纠缠态的操控和应用。
解压缩处理
在解压缩过程中，傅里叶级数变换可以用于将压缩后的频率分量转换回原始像 素值，恢复出原始图像。解压缩过程与压缩过程相反，需要逆向操作以重建完 整图像。
傅里叶级数变换的未来发展
06
与挑战
高效算法的研究
01
快速傅里叶变换 （FFT）
针对傅里叶级数变换的快速算法， 能够显著降低计算复杂度，提高 计算效率。
02
并行计算
利用多核处理器或多计算节点并 行计算，加速傅里叶级数变换的 计算过程。
03
优化算法
研究更高效的算法，减少计算过 程中的冗余和复杂度，提高变换 的精度和速度。
在大数据和人工智能领域的应用
信号处理
在语音识别、图像处理、雷达信 号处理等领域，傅里叶级数变换 是关键技术之一。
机器学习
在深度学习中，傅里叶级数变换 可用于特征提取和降维，提高模 型的泛化能力。
傅里叶级数变换
目录
• 傅里叶级数变换概述 • 傅里叶级数变换的性质 • 傅里叶级数变换的运算 • 傅里叶级数变换在信号处理中的应
用
目录
• 傅里叶级数变换在图像处理中的应 用
• 傅里叶级数变换的未来发展与挑战
01
傅里叶级数变换概述
傅里叶级数变换的定义
傅里叶级数变换是一种数学工具，用于将一个函 数表示为无穷级数，其中每个项都是正弦和余弦 函数的线性组合。
高等数学傅里叶级数展开公式
高等数学傅里叶级数展开公式
（原创版）
目录
1.傅里叶级数的概念与意义
2.傅里叶级数展开公式的形式
3.傅里叶级数展开的例子
4.傅里叶级数与其他正交函数集的关系
5.傅里叶级数在实际应用中的意义
正文
高等数学中的傅里叶级数是一个非常重要的概念，它是一种特殊的三角级数，可以用来表示周期函数在一定区间内的值。
傅里叶级数的展开公式可以写作：f(x) = a0/2 + Σ[an*cos(nx) + bn*sin(nx)]，其中 n 从0 到无穷大，an 和 bn 是傅里叶系数，a0 是常数项。
举个例子，如果我们有一个高斯函数（取整函数），我们可以通过傅里叶级数展开来表示它。
假设我们的高斯函数是 f(x) = e^(-πx^2)，我们可以计算出它的傅里叶系数，然后将它们代入傅里叶级数展开公式中，得到高斯函数的傅里叶级数表示形式。
傅里叶级数与其他正交函数集的关系也很重要。
傅里叶级数选择三角函数集，只是因为三角函数集一类特殊的正交函数集，其实还有很多其他的正交函数集。
我们可以用其他的完备正交函数集来拟合给定区间的给定函数，不过本科只涉及到三角函数。
在实际应用中，傅里叶级数有着广泛的应用，比如在信号处理、图像处理、量子力学等领域都有重要的应用。
通过傅里叶级数，我们可以将复杂的周期函数分解成简单的三角函数，从而更容易地分析和处理。
第1页共1页。
傅里叶级数定理
傅里叶级数定理傅里叶级数定理是数学中的一项重要定理，它是法国数学家傅里叶在18世纪提出的。
傅里叶级数定理的中心思想是任意一个周期函数都可以表示成一系列三角函数的和，这些三角函数的频率是原周期函数的基本频率的整数倍。
这个定理在数学、物理和工程等学科中都有非常广泛的应用。
傅里叶级数定理的表述可以用以下方式来说明：设f(x)是一个周期为T的函数，那么f(x)可以展开成各个频率的三角函数幅度和相位逐渐递减的级数表达式。
这个级数中的三角函数是正弦函数和余弦函数，其频率为基频的整数倍。
傅里叶级数表达式如下：f(x) = A0 + Σ[An*cos(nωt) + Bn*sin(nωt)]在这个公式中，A0是基频分量的直流分量，An和Bn分别是基频分量的余弦和正弦分量。
ω是基频角频率，n是频率的整数倍。
这个定理是非常重要的，因为它告诉我们任意周期函数都可以用无穷多个正弦和余弦函数来逼近。
这个逼近的程度可以通过级数中各个分量的幅度来控制。
如果级数中的幅度越大，那么逼近的程度就越高，而如果幅度趋近于零，那么函数的表示也就趋近于原函数。
傅里叶级数定理的应用非常广泛。
在数学领域，它可以用于解决各种泛函方程，比如热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程等。
通过傅里叶级数的展开，我们可以将这些复杂的方程转化为简单的三角函数的运算。
在物理学中，傅里叶级数定理是研究振动和波动现象的重要工具。
通过将物理量表示为傅里叶级数，我们可以更好地理解光、声音等波动的性质。
在工程学中，傅里叶级数定理被广泛应用于信号处理和通信系统。
通过将信号进行频域变换，我们可以分析信号的频率成分，进而提取有用的信息。
傅里叶级数定理还有一项重要的推广，即傅里叶变换。
傅里叶变换是将一个非周期函数表示成一系列连续频谱的方法。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，进而分析信号的频率特性。
傅里叶变换在数字信号处理、图像处理和音频处理等领域有着广泛的应用。
总结起来，傅里叶级数定理是数学中的一个重要定理，它告诉我们任意周期函数都可以表示成一系列三角函数的和。
《傅里叶级数 》课件
信号处理：用于 分析信号的频率 成分，如音频、 视频信号等
工程领域：用于 分析机械振动、 电磁场等物理现 象
数学物理：用于 求解偏微分方程、 热传导等问题
计算机科学：用 于图像处理、数 据压缩等领域
03 傅里叶级数的基本原理
三角函数的定义与性质
三角函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割 定义：以直角三角形的边长和角度为基础定义的函数 性质：周期性、奇偶性、对称性、单调性 应用：傅里叶级数、信号处理、工程计算等
傅里叶级数的历史背景
傅里叶级数是 由法国数学家 傅里叶在1807
年提出的
傅里叶级数是 傅里叶分析的 基础，是研究 信号处理、图 像处理等领域
的重要工具
傅里叶级数在 数学、物理、 工程等领域有 着广泛的应用
傅里叶级数在 信号处理、图 像处理等领域 的应用，推动 了这些领域的
发展
傅里叶级数的应用领域
06
傅里叶级数的扩展与展 望
傅里叶变换的推广与应用
傅里叶变换在信号 处理中的应用
傅里叶变换在图像 处理中的应用
傅里叶变换在语音 识别中的应用
傅里叶变换在金融 分析中的应用
傅里叶分析在其他数学领域的应用
信号处理：傅里叶变换在信号处理领域有着广泛的应用，如滤波、频谱分析等。 数值分析：傅里叶级数在数值分析中用于求解微分方程、积分等。 概率论与统计学：傅里叶变换在概率论与统计学中用于分析随机信号、随机过程等。 量子力学：傅里叶变换在量子力学中用于描述量子态的演化和测量。
傅里叶级数的收敛性：傅里叶级数在满足一定条件下是收敛的 收敛条件：傅里叶级数的收敛性取决于其系数的绝对值之和是否收敛 证明方法：可以通过积分法、极限法等方法进行证明 收敛速度：傅里叶级数的收敛速度可以通过其系数的绝对值之和的收敛速度来衡量
傅里叶级数.pdf
f ( x)dx
a0 dx 2
an
n1
cosnxdx bn
sin nxdx
根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：
从而得出
f ( x)dx a0 2 2
1 a0
f ( x)dx
其次求 an ，用 cos nx 乘②式两端，再从
到 逐项积分，可得
f (x) cos nxdx a0 2
0
10
1
f ( x) cos( nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
1
1
f ( x) cos(nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
0
2 f ( x) cosnxdx ( n 0,1,2,3, ).
0
1 bn
f ( x) sin nxdx
10
1
f (x) sin nxdx
x sin nxdx
⑤
2 n1
2
2
记
a0 2
c0 ,
an ib n 2
cn ,
an ib n 2
cn
(n 1,2,3, ),
则⑤式就表示为
a0 2
cn einx
n1
c n e inx ) .
(cneinx ) n 0
cn einx c ne inx ) .
n1
cneinx
⑥
n
⑥式即为傅里叶级数的复数形式。
系数 cn 的计算
（1）证 设 f (x) 为奇函数，即 f ( x) f ( x) 。按傅里叶系数公式有：
1 an
f (x) cosnxdx
10
1
傅里叶级数理论
傅里叶级数理论
傅里叶级数理论是19世纪法国数学家Joseph Fourier提出的一种函数分析理论，它提出了任何一个连续的波形都可以用无穷高次的正弦函数和余弦函数的和来表示。
该理论可以用来表示图像、声音、热力学及其他科学领域的函数。
例如，单个的正弦波可以用 sin (x/T) 来表示，而余弦波可以用 cos (x/T) 来表示，其中T是一个实数，表示一个全周期内实际上重复的次数。
傅里叶级数理论描述了一般函数可以用正弦函数和余弦函数来表示，这是由傅里叶级数定理可以得出的结果，它证明了函数将正弦函数和余弦函数的无穷级数作为参数，可以以这种形式来描述关于函数的基本性质。
此外，它还提出了一种特殊类型的级数，称为傅里叶数列或傅里叶分析，它可以用来表示任何一个连续的或可计算的函数，而不仅限于正弦和余弦波。
傅里叶级数理论在许多科学领域中都有广泛的应用，它可以用来模拟常见的热力学行为，也可以用来准确地表示时间和频率特性，以及物体直线动态和三维行为的形状及其物理性质的变化。
比如传统的自然现象，如正弦曲线、矩形曲线、平坦曲线、抛物线、菱形曲线和锥形曲线，它们都可以通过傅里叶级数理论模拟出来。
它的应用涉及到各种类型的函数，例如电磁学、信号处理、调制解调、系统分析、电子技术、计算机图形学等等。
此外，傅里叶级数理论也可以用来解释熵的变化、地震学、色谱分析、电机调节、声像学以及许多其他复杂问题。
在总结傅里叶级数理论时，可以说它是利用正弦函数和余弦函数来表示任何一个连续或可计算的函数的一种函数分析理论，它的应用渗透到了多个领域，并且在这些领域中有着广泛而重要的应用，甚至影响了很多现象解释的结果。
傅里叶级数
2 an f (t )cos n1t d t T 4 2 f (t )cos n1t d t T 0
1 1 1 1 1 1
15
an jbn jn t an jbn jn t f (t ) a0 ( e e ) n 1 2 2
1 1
令
又
(an jbn ) F (n1 ) (n 1,2,) 2
a n 是n的偶函数，b n 是n的奇函数
an jbn 所以 F ( n1 ) 2
7
3、狄利克雷（Dirichlet）条件
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。 条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个。 条件3:在一周期内，信号绝对可积。
t 0 T1
t0
f (t ) d t
一般的周期信号都满足狄氏条件.
8
例3-2-1
A f (t ) t T1
1
O
0.15 π
2 1
26
2 1 1
O
1
0.25 π
三．函数的对称性与傅里叶级数的关系
主要内容：
偶函数
奇函数 奇谐函数
偶谐函数
27
1．偶函数
T 2 T 2 T
信号波形相对于纵轴对称
1 T 2 a0 T f (t )d t T 2
f (t ) f ( t )
n
F
n
e
j n1t
F n1 F (n1 ) e
相频频谱图
j n
幅频频谱图
1 2 1 2 F ( n 1 ) a n bn c n 2 2 bn n arctan a n
傅里叶级数
k
2 (k 0)
1
k 0
1、傅里叶正弦级数
若周期函数f(x)为奇函数， f ( )cos
k l
为奇函数
l
l
f ( )cos
k d 0 l
a0、ak系数为0
函数可以展开为
k x f ( x) bk sin l k 1
2 l k bk f ( )sin d l 0 l
傅里叶级数
任何周期函数 都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示
若函数以2l为周期
可取三角函数族
f ( x 2l ) f ( x)
2 x k x ,,cos , l l l x 2 x k x sin ,sin ,,sin , l l l ,cos
1,cos
x
作为基本函数族，将f(x)展开为级数
傅里叶正弦级数
其展开系数为
2、傅里叶余弦级数
若周期函数f(x)为偶函数， 同理可得bk=0 函数可以展开为 f ( x) a0 ak cos k x l k 1
傅里叶余弦级数
其展开系数为
2 l k ak 0 f ( )cos l d kl
k x k x f ( x) a0 (ak cos bk sin ) l l k 1
周期函数的傅里叶展开式
利用三角函数族Βιβλιοθήκη 正交性，可以求出上式中的展开系数ak
k l l
1
l
k f ( ) cos d , l
傅里叶展开系数
1 l k bk f ( )sin d l l l
mathfuns傅里叶级数
mathfuns傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期函数分解为谐波的数学工具。
它由法国数学家傅里叶于19世纪初提出，被广泛应用于信号处理、图像处理、物理学等领域。
傅里叶级数的应用广泛，不仅可以用于分析周期信号的频谱特性，还可以用于合成信号。
傅里叶级数的基本思想是将一个周期为T的函数表示为一系列正弦函数或余弦函数的和。
这些正弦函数或余弦函数的频率为基频的整数倍，称为谐波。
傅里叶级数的表达式如下：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中，a0是直流分量，an和bn为傅里叶系数，ω为基频的角频率。
傅里叶级数的求解过程可以使用复数形式的欧拉公式来简化。
欧拉公式将正弦函数和余弦函数表示为复指数函数，使得傅里叶级数的求解更加方便。
傅里叶级数在信号处理领域有着重要的应用。
信号可以看作是时间的函数，而傅里叶级数可以将信号从时域转换到频域。
通过分析信号在频域中的频谱特性，我们可以了解信号的频率分布情况，从而更好地理解信号的特性。
在图像处理领域，傅里叶级数也有着广泛的应用。
图像可以看作是二维的函数，通过对图像进行傅里叶变换，我们可以得到图像在频域中的频谱图。
频谱图可以帮助我们分析图像的纹理特征、边缘信息等，进而实现图像压缩、去噪、增强等处理操作。
傅里叶级数还在物理学中有着重要的应用。
在量子力学中，波函数可以通过傅里叶级数展开，从而描述物质粒子的行为。
在热传导方程中，傅里叶级数可以用于分析材料的热传导性质。
在振动学中，傅里叶级数可以用于分析物体的振动模态。
傅里叶级数的应用不仅仅局限于以上领域，还可以涉及到音乐、通信、电力系统等众多领域。
无论是频谱分析、信号合成还是频域滤波，傅里叶级数都发挥着重要的作用。
傅里叶级数作为一种将周期函数分解为谐波的数学工具，在许多领域中都有着广泛的应用。
它不仅可以用于信号处理、图像处理等领域的分析和合成，还可以用于物理学中的波动现象的研究。
傅里叶级数的出现为我们理解和处理周期性现象提供了一种强大的数学工具，对于推动科学的发展具有重要的意义。
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信号与系统
例 1: 求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数。
解： f (t) A t T t T
T 2
2
bn
a0
1 T
2 T
T
2 T
2
T
2 T
2
A tdt 0 T
an
2 T
T
2 T
2
A t co（s nt）dt 0 T
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信号与系统
§3.2 周期信号的傅里叶级数
3、三角形式到指数形式付氏级数推导
f
(t)
A0 2
n1
An
cos(nt
n )
cos 1 (e j e j )
2
f (t) A0 An [e j(ntn ) e ] j(ntn )
2 n1 2
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
n1
Ane jn e jnt
第三项的n用–n代换，An An ,n n
则
f
(t)
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jn
t
1 2
Ane
n1
jn
e
jn
f
(t)
a0 2
an
n1
cos(nt)
bn
n1
sin( nt)
演示
直流
基波分量
谐波分量
分量
n =1
n>1
f
(t )
A0 2
n1
An
cos(nt
n )
2
T
• A1cos(t+1)称为基波或一次谐波, • A2cos(2t+2)称为二次谐波， • Ancos(nt+n)称为n次谐波。
第 13 页
信号与系统例 3: 求下图所示信号的傅里叶级数。
解：
a0
1 T
T
2 T
2
f (t)dt 0
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt)dt 0
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(nt)dt 2 [ T
0
T sin(nt)dt 2
0
an 是n的偶函数，
系数an , bn称为傅里叶系数
bn是n的奇函数。
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信号与系统
(3) 纯余弦形式的傅里叶级数
f
(t)
a0 2
n1
an
cos(nt)
n1
bn
sin(
nt)
cos( ) cos cos sin sin
周期信号f(t)展开应满足一个周期内：
(1) 绝对可积，即满足 T /2 f (t) dt T / 2
(2) 只有有限个不连续点；
(3) 只有有限个极大值和极小值。
注：条件(1)为充分条件但不是必要条件； 条件(2) 、(3)是必要条件但不是充分条件。
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信号与系统 条件1: 在一周期内，信号绝对可积。
例1：信号f (t) 1,0 t 1 周期为1
t
| t0T f (t) | dt 不为有限值
t0
不满足狄里赫利条件1。
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第 3页
信号与系统
条件2：一周期内间断点数目应是有限个。
例2： 下图所示信号周期为8，其组成为：后一 个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。在 一个周期内其面积不超过8，但不连续点的数 目是无穷多个。
3
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信号与系统
吉布斯现象（Gibbs phenomenon ）
f
(t)
4
sin
t
1 3
sin
3t
1 sin nt n
n=7
n=51
n=101
具有不连续点的周期信号（如矩形脉冲）进行傅立叶 级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多， 所合成的波形中出现的起伏振荡尖峰越靠近原信号的不连 续点。当选取的项数很大时，该尖峰值仍存在，且趋于一 个常数，大约等于总跳变值的9%，该现象即吉布斯现象。
只含奇次谐波 的余弦分量
奇谐函数 f(t) = -f(t±T/2) 只含奇次谐波分量
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
例5： 解：
bn
2 T
T
2 T
2
f (t) sin( nt) d t
f (t) f (t) 只含直流和余弦分量 偶谐函数 f(t) = f(t±T/2)
t
令 A0 A0e j0 e j0t ,0 0
f
(t)
1 2
Ane
n
e jn
jnt
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信号与系统
f
(t)
1 2
Ane
n
e jn
jnt
令
Fn
Fn
e jn
1 2
Ane jn
f (t) Fne jnt n
二、波形对称性与谐波特性
1、f(t)为偶函数——纵坐标对称
f (t) f (t)
an
2 T
T /2 f (t) cos(nt)dt 4
T / 2
T
T /2
f (t) cos(nt)dt
0
b n
2 T
T /2
f (t)sin(nt)dt 0
T / 2
周期性偶信号的傅里叶级数只含直流项与
A t sin（nt）dt A (1)n1
T
nπ
n 1,2,3 2π T
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
f (t) 0 A sin t A sin 2t
π
2π
直流
基波
二次谐 波
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信号与系统
§3.2 周期信号的傅里叶级数
2．§3傅.2里周叶期信级号数的三傅里角叶形级式数
(1) 三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1，2，…}
在一个周期内是一个完备的正交函数集。
由积分可知：
T
0
cos(nt) sin(mt)dt
0
0
(m n)
T 0
cos(nt)
cos(mt)dt
T
2
)
2
T
sa( n
2
)
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(nt)dt 0
f (t) 2 sa( ) cos(t) 2 sa( ) cos(2t)
TT 2
T
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信号与系统 2. f(t)为奇函数——对称于原点
余弦项。
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信号与系统
例 2: 求下图所示信号的傅里叶级数。
解：a0
1 T
T
2 T
2
f (t)dt
T
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt)dt 2 T
2 2
cos(nt)dt
an
4 nT
sin( n
(n=1,3,….)
2T
an T 0 f (t) cos(nt)dt 0
2T
bn T 0 f (t) sin( nt)dt 0
(n=0,2,4,….)
奇谐周期信号只含奇次谐波分量，而无
偶次谐波分量(直流分量)。
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信号与系统
4．f(t)为偶谐函数— f(t) = f(t±T/2)
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信号与系统
3. f(t)为奇谐函数—f(t) = –f(t±T/2)
波形移动T/2后，与原波形横轴对称。
f(t)
f(t)
0 T/2
Tt
0 T/2
Tt
an
2 T
T
f (t) cosntdt 0
0
b n
2 T
T 0
f (t)sin ntdt 0
只含正弦分量
奇谐函数 f(t) = –f (t±T/2) 只含和奇次谐波分量
所以该信号只含奇次谐波的正弦分量
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信号与系统
三、指数形式的傅里叶级数