立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练

1、如图，已知P A⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；

(1)求证：MN//平面PAD

(2)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD

2（本小题满分12分）

如图，在三棱锥P ABC

-中，,E F分别为,

AC BC的中点．

（1）求证：//

EF平面PAB；

（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA PC

=，90

ABC

∠=︒，

求证：平面PEF⊥平面PBC．

P

A

C

E

F

（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点，

//EF AB ∴. ……………………2分

又⊄EF 平面PAB ，⊆AB 平面PAB ，

∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC =，E 为AC 的中点，

PE AC ∴⊥ ……………………6分 又平面PAC ⊥平面ABC

PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点，

//EF AB ∴

090,BC EF ABC ⊥∠=∴……………………10分

EF PE E =

BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ⊂面PBC

∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分

3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ；

（2）求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B 。

4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点．

(1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ；

(3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．

5．（本小题满分12分）

如图，PC AB N M ABCD PA 、分别是、所在的平面，

矩形⊥的中点． （1）求证：PAD MN 平面//；（2）求证：CD MN ⊥；

6.如图，正方形ABCD 所在的平面与三角形ＡD Ｅ所在平面互相垂直，△ＡＥＢ是等腰直角三角形，且ＡＥ＝ＥD 设线段BC 、AE 的中点分别为F 、M ，求证：（1）FM ∥ECD 平面；

（2）求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切值．

（1）证明：取AD 的中点N,连结FN,MN,则MN ∥ED ，FN ∥CD

∴平面FMN ∥平面ECD. ∵ MF 在平面FMN 内,

∴ FM ∥平面ECD ......5分 （2）连接EN, ∵AE=ED ，N 为AD 的中点， ∴ EN ⊥AD.

又∵面ADE ⊥面ABCD ，∴EN ⊥面ABCD. 作NP ⊥BD,连接EP ,则EP ⊥BD ，

∴∠EPN 即二面角E-BD-A 的平面角，

设AD=a,∵ABCD 为正方形，⊿ADE 为等腰三角形，∴EN=

1

2

a,NP=24 a.

∴tan ∠EPN=2 . ......10分

N

M

P

D

C

B

A

7.如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为

x cm的内接圆柱.

(1)试用

x表示圆柱的侧面积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大.

19.（1）解：设所求的圆柱的底面半径为r

则有

6

6

2

x

r-

=,即

3

2

x

r-

=.

∴2

3

2

4

)

3

2(

2

2x

x

x

x

rx

S

π

π

π

π-

=

-

=

=

圆柱侧

.......5分

（2）由（1）知当3

)

3

2

(2

4

=

-

-

=

π

π

x时，这个二次函数有最大值为π6

所以当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为

2

6cm

π......10分

8．（10分）

如图，在三棱锥P ABC

-中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º.

（1）证明：AB⊥PC；

（2）若4

PC=，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P ABC

-体积.

解：

（1）因为PAB

∆是等边三角形，90

PAC PBC

∠=∠=︒,

所以Rt PBC Rt PAC

∆≅∆,可得AC BC

=。

如图，取AB中点D，连结PD,CD,

则PD AB

⊥,CD AB

⊥,

所以AB⊥平面PDC,

所以AB PC

⊥ ......5分

（2）作BE PC

⊥，垂足为E，连结AE．