hao1.3.1二项式定理概念(第一课时)
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1.3.1 二项式定理 课件(人教A选修2-3)
(2)求展开式中的常数项．
解：(1)x2＋2
1
10
x
的展开式的第
5
项为
T5＝C410·(x2)6·21 x4＝C410·124·x12· 1x4＝1805x10.
(2)设第 k＋1 项为常数项，
则
Tk
＋
1
＝
C
k 10
2．相关概念
(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式． (2)各项的系数 Ckn(k∈{0，1，2，…，n}) 叫做二项式系数． (3)展开式中的 Cknan－kbk 叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1 ， 它表示展开式的第 k＋1 项．
(4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式 (1＋x)n＝ C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn.
()
A．10
B．－10
C．40
D．－40
解析：二项式(2x2－1x)5 展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr5(2x2)5
－r(－1x)r＝Cr5·25－r×(－1)rx10－3r，当 r＝3 时，含有 x，其系数
为 C35·22×(－1)3＝－40. 答案：D
4．已知二项式x2＋21 x10. (1)求展开式中的第 5 项；
＋C44·( 1x)4 ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
法二：(3 x＋ 1x)4＝3x＋ x2 14 ＝x12(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2 ＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
1.3.1二项式定理(1)
2 6
2a 3b
6 2
2
2160a 4b 2
由二项式系数定义知, 展开式的
2 第三项的二项式系数为C6 15,
而展开式的第三项的系数为2160.
小结：1、二项式定理及二项展开式：
( a b) C a C a b C a b
n
0 n n 1 n1 n
r
2 n2 2 n
n
C n a
r
n r
b C n b n
2、二项展开式的通项公式：
(a b) 的展开式通项 T r 1 C n a n r b r的特点：
n r
①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 ②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列； b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
小 结:
3、注意二项式定理中二项展开式的特征；
4、区别二项式系数，项的系数及项； 5、掌握用通项公式求二项式系数，项的系数 及项。
1 9 1 r r 9 r r (2)（x ) 展开式的通项是Tr+1 =C9 x ( ) (1) r C9 x92 r x x 根据题意，得 ： 2r 3 r 3, 9 x3的系数是(1)r C3＝－84. 见书P31例2 9
注：求二项式系数．项的系数或项的另一种方法 是利用二项式的通项公式。
： ( C ) C ： 14 ( C 34) C ：C 2 ( C 2) 4 4 3 1 ( C 4) ：C 4 4 0 ： 4 ( C 4) C
0 4 4 4
二、新课：1. 二项展开式
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
2a 3b
6 2
2
2160a 4b 2
由二项式系数定义知, 展开式的
2 第三项的二项式系数为C6 15,
而展开式的第三项的系数为2160.
小结：1、二项式定理及二项展开式：
( a b) C a C a b C a b
n
0 n n 1 n1 n
r
2 n2 2 n
n
C n a
r
n r
b C n b n
2、二项展开式的通项公式：
(a b) 的展开式通项 T r 1 C n a n r b r的特点：
n r
①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 ②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列； b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
小 结:
3、注意二项式定理中二项展开式的特征；
4、区别二项式系数，项的系数及项； 5、掌握用通项公式求二项式系数，项的系数 及项。
1 9 1 r r 9 r r (2)（x ) 展开式的通项是Tr+1 =C9 x ( ) (1) r C9 x92 r x x 根据题意，得 ： 2r 3 r 3, 9 x3的系数是(1)r C3＝－84. 见书P31例2 9
注：求二项式系数．项的系数或项的另一种方法 是利用二项式的通项公式。
： ( C ) C ： 14 ( C 34) C ：C 2 ( C 2) 4 4 3 1 ( C 4) ：C 4 4 0 ： 4 ( C 4) C
0 4 4 4
二、新课：1. 二项展开式
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
二项式定理(第一课时)优秀教学设计
1.3.1 二项式定理课前预习学案预习目标：通过分析(a+b)2 、（a+b ）3的展开式，猜测归纳得出二项式定理;掌握二项式定理的公式特征。
问题1：利用多项式乘以多项式运算法则，展开下列三个式子：（要求：按a 的次幂从高到低排列各项）（a+b ）2=（a+b ）3 =问题2：观察（a+b ）2，（a+b ）3 三个展开式各自的特点,试写出：（a+b ）n 展开有 项相加，每一项都是 次单项式。
每一项中字母a 的指数由 递 到 。
每一项中字母b 的指数由 递 到 。
那每一项前的系数有什么规律呢？问题3：猜想:（a+b ）n 的展开式中的每一项有哪些？（a+b ）n 展开式中的项有：问题4：在（a+b ）2的展开式中22,,b ab a 是怎么来的？问题5：再次猜想:（a+b ）n 的展开式又是什么呢？（a+b ）n =(利用2-3分钟小组交流上面问题，展示3分钟)课内探究学案一、学习目标：知识：1.掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项。
过程：2.通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力。
情感：3.激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识。
二、学习重难点：教学重点：（1）二项式定理及通项公式的运用（2）展开式中某一项的系数与二项式系数的区别教学难点：二项定理的推导及运用三、学习过程：1.新课讲授：(5分钟)二项式定理证明二项式定理。
归纳小结：二项式定理的公式特征（1）项数：_______;（2）次数：字母a按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b按升幂排列，次数由____递增到______；（3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____；（4）通项:T k+1=__________；指的是第k+1项，该项的二项式系数为______；（5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式。
高二数学 第一章1.3.1 二项式定理
本
解析 依题意 C57a2＋C37a4＝2C74a3.
课
时 由于 a≠0，整理得 5a2－10a＋3＝0，
栏
目 开 关
解得
a＝1±
10 5.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.3.1
4．求2
x－
1 6 x
的展开式．
解 先将原式化简，再展开，得
本
2 x－ 1x6＝2x－x 16＝x13(2x－1)6
开 关
(a＋b)在相乘时都有两种选择：选 a 或选 b，而且每个(a＋b)
中的 a 或 b 都选定后，才能得到展开式的一项．由分步乘法
计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2 展开式共有 2×2＝
22 项，而且 a2－kbk 相当于从 2 个(a＋b)中取 k 个 b 的组合数
Ck2，即 a2－kbk 的系数是 Ck2.
பைடு நூலகம்
当 9－2r＝5 时，解得 r＝2，所以系数为 36.
所以展开式中，不含 x6 项，含有 x5 项，系数为 36.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1
探究点三 综合应用
例3
已知
x－ 2
1 4
x
n
的展开式中，前三项系数的绝对值依次
成等差数列．
本
(1)证明：展开式中没有常数项；
课
时
(2)求展开式中所有的有理项．
栏 目 开 关
(即1)证n2－明9n＋由8题＝意0，得：2Cn1·12＝1＋Cn2·122，
∴n＝8 (n＝1 舍去)．
∴Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·－241
xk＝－12k·Ck8x
8－k 2
·x－4k ＝
1.3.1二项式定理课件-高二数学人教A版选修2-3
2 x
6
的展开式的常数项是
240
2.
1
1 x
10的展开式中含
1 x3 项的系数是
120
五、课堂小结
思想共鸣 经验共享
你
1.二项式定理
学
到
了
a b n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn n N *
什
么
2.二项展开式的通项
Tk1 Cnk ankbk，k 0,1, 2,…, n
C
0 3
a
3
C
1a
3
2b
C 32ab 2
C
3 3
b
3
思想共鸣 经验共享
请同学们类比 (a+b)2 ，(a+b)3的展开式的特
征及方法，你能直接写出 (a+b)4 的展开式
吗？
第 二
（ （ a a+ b ) b4 ） = 2( a + Cb ) 20( a a+ 2 b ) ( Ca + 21ab （ b) a + Cb 2) 2b2
恰有1个括号取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个括号取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+b2
对(a+b)3展开式的分析：
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
项的形式： a 3 a 2b ab2 b3
探
（a b）3= C 4 0 Ca 4 30+ aC 3 4 1 a 3 Cb + 31aC 24 2 ba 2 b 2 C+ 3C 2a4 3 a bb 23 + C C4 4 3b 3b4 3
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理
解答
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数
例2
已知二项式3
x－32x10.
(1)求展开式第4项的二项式系数；
解
3
x－32x10 的展开式的通项是 Tk＋1＝Ck10(3
x)10－k－32xk
103k
x ＝Ck10310－k－23k· 2 (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究 若(1＋ 3)4＝a＋b 3(a，b 为有理数)，则 a＋b＝___4_4__. 解析 ∵(1＋ 3)4＝1＋C14×( 3)1＋C24×( 3)2＋C34×( 3)3＋C44×( 3)4 ＝1＋4 3＋18＋12 3＋9＝28＋16 3， ∴a＝28，b＝16， ∴a＋b＝28＋16＝44.
跟踪训练1 化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋ 1)－1. 解 原式＝C05(2x＋1)5－C15(2x＋1)4＋C25(2x＋1)3－C35(2x＋1)2＋C45(2x＋1)－ C55(2x＋1)0 ＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
展开式的第 4 项(k＝3)的二项式系数为 C310＝120.
解答
(2)求展开式第4项的系数； 解 展开式的第 4 项的系数为 C31037－233＝－77 760. (3)求第4项. 解 展开式的第 4 项为 T4＝T3＋1＝－77 760 x.
解答
反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 Ckn(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展 开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开 式中“项的系数”这两个概念. (2)第 k＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为 Ckn. 例如，在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是 C37＝35，而第四项的系数是 C3723＝280.
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数
例2
已知二项式3
x－32x10.
(1)求展开式第4项的二项式系数；
解
3
x－32x10 的展开式的通项是 Tk＋1＝Ck10(3
x)10－k－32xk
103k
x ＝Ck10310－k－23k· 2 (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究 若(1＋ 3)4＝a＋b 3(a，b 为有理数)，则 a＋b＝___4_4__. 解析 ∵(1＋ 3)4＝1＋C14×( 3)1＋C24×( 3)2＋C34×( 3)3＋C44×( 3)4 ＝1＋4 3＋18＋12 3＋9＝28＋16 3， ∴a＝28，b＝16， ∴a＋b＝28＋16＝44.
跟踪训练1 化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋ 1)－1. 解 原式＝C05(2x＋1)5－C15(2x＋1)4＋C25(2x＋1)3－C35(2x＋1)2＋C45(2x＋1)－ C55(2x＋1)0 ＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
展开式的第 4 项(k＝3)的二项式系数为 C310＝120.
解答
(2)求展开式第4项的系数； 解 展开式的第 4 项的系数为 C31037－233＝－77 760. (3)求第4项. 解 展开式的第 4 项为 T4＝T3＋1＝－77 760 x.
解答
反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 Ckn(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展 开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开 式中“项的系数”这两个概念. (2)第 k＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为 Ckn. 例如，在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是 C37＝35，而第四项的系数是 C3723＝280.
二项式定理
1 6 1 5 1 c 2 x c6 2 x ( ) x x x
4 ห้องสมุดไป่ตู้ 2
2
4
5
60 12 1 64 x 192 x 240 x 160 2 3 x x x
3
练习：
求（2x-1) 6的展开式。
课堂达标：
1. (x-2y)10的展开式中共有（B）项. A. 10 B. 11 C. 12 D. 9 （C ） 2. 设S ( x 1)3 3( x 1) 2 3( x 1) 1, 则S等于
A.（x-1）3 B.(x-2)3 C. x3 D. (x+1)3
0 n 1 n 1 k k n n 3. 设n为自然数，则 cn 2 cn 2 (1) cn (1) cn （D ）
2、组合及组合数公式：
一般地，从n个不同元素中取出m（m n） 个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个 元素的一个组合。
c
m n
n! m!( n m )!
n ( n 1)( n 2 )...( n m1) m!
★ (a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2
0 2 2 b2 (a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) 1( a ＋ b )2 ＝c2 a ＋c1 ab ＋ 2 c 2
a2
ab ab b2
项的形式a2-kbk，k=0,1,2
下面我们利用计数原理来分析一下a2-kbk同类项的个数： a2 :
0 0 2 c 每个括号都不取b的情况有一种，即 2 种， 所以a 的系数是 c2
ab: 相当于有一个括号中取b的情况有 b2:
c 种， 所以ab的系数是 c
1.3.1二项式定理ppt课件
变 形 求 1 + 2 x - 3 x 2 5 的 展 开 式 中 x 5的 系 数
变 形 求 x y 2 z 7 的 展 开 式 中 x 2y3z2项 的 系 数
变 形 求 1 x 3 1 x 10 的 展 开 式 中 x 5的 系 数
变 形 求 2 x 2 1 x 5 的 展 开 式 中 x 3的 系 数
( x 3x ) 项的二项式系数比为14：3，求展2 开式中不含x 的项。
2 (2)已知
的展开式n中，第5项的系数与
( x x ) 第3 项的系数比为56：3，2求展开式中的常数项。
变形2x-1xn的展开式中含x12的系数与含x14的系数比
为5，求n？
变形 f x12xm13xn的展开式中x
的系数为13，求x2的系数？
n 36C71 34C73 32C75，求m n
2、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则 (1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________ (3)a0+a2+a4+a6 =_________
赋值法
变形:若已知 (1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
8
( x + 1 ) 6、若
展开式中前n 三项系数成等差
24 x
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x 的有理项；
7、求： ( x 3 ) 9 3x
①展开式中间项 ②展开式中的常数项 ③展开式中的有理项
完整版)二项式定理教案
完整版)二项式定理教案1.3.1 二项式定理（第一课时）一、教学目标1.知识与技能1）理解二项式定理，并能简单应用。
2）能够区分二项式系数与项的系数。
2.过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
3.情感与态度价值观通过探究问题，归纳假设让学生在研究的过程中养成独立思考的好惯，在自主研究中体验成功，在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
二、教学重点难点1.教学重点：二项式定理及二项式定理的应用。
2.教学难点：二项式定理中单项式的系数。
三、教学设计教学过程一、新课讲授引入：让学生回顾多项式乘法法则，利用排列、组合理解，写展开式，设计意图是师生活动展开(a+b)²、(a+b)³。
学生完成：a+b)² = a²+2ab+b²a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³分析(a+b)的展开式：展开式有3项，a、b的指数分别为2、1、0，各项系数分别为1、2、1.教学过程设计意图是师生活动恰有1个因式选b的情况有C₂¹种，所以ab的系数是C₂¹；2个因式选b的情况有C₂²种，所以b的系数是C₂²；每个因式都不选b的情况有C₂⁰种，所以a的系数是C₂⁰。
思考3个问题：1.项数2.每一项a、b的指数和3.各项的系数是什么？a+b) = C₁aCb类比展开(a+b)³：a+b)³ = C₃¹a²b+C₃²ab²+C₃³b³归纳、类比(a+b)的展开式。
二、二项式定理：a+b)ⁿ = C₀aⁿ+C₁aⁿ⁻¹b+。
+Cₙbⁿ学生完成：按照a的降幂排列，解释ab的系数。
1.3.1二项式定理
例1：判断
(1)( x 2)3 x3 C31 x2 2 C32 x 22 C33 23 (2)( x 2)3 C30 x3 C31 x2 2 C32 x 22 C33 23 C30 x3 C31 x2 (2) C32 x (2)2 C33 (2)3
2．思想方法
(1) 从特殊到一般的数学思维方式. (2) 用计数原理分析二项式的展开过程. (3) 类比、等价转换的思想.
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn (n N * )
(a
b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)k
C
n n
(b)n
(1
x)n
C?n0
C
1 n
x
C
k n
280x3
（2）求(x 1)9的展开式中x3的系数 x
对应的是第几项呢？ 利用通向公式
Tr1 Cnr a nrbr
解：通项为C9r
x9r
(
1 x
)r
C9r x9r (1)r (x1)r
(1)r C9r x9r xr
令9-2r=3，得r=3 (1)r C9r x92r
(a b)n ?
探究3：请分析 (a b)n的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项： a n a n1b L ankbk L bn
②系数：C
0 n
C
1 n
初中数学：1.3.1二项式定理(一)
(5) 展开式中的第 r + 1 项， 即通项 Tr+1 =__________； (6) 二项式系数为 ______；
项的系数为 二项式系数与数字系数的积
在二项式定理中，令a=1，b=x，则有： 在上式中，令 x = 1，则有：
例1、展开 2、展开
3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。
4、(1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系 数。 (2)求(x－ )9的展开式中x3的系数。
例2(1)求 (2)求
的展开式常数项； 的展开式的中间两项.
练习 1.求（2a+3b）6的展开式的第3项.
2.求（3b+2a）6的展开式的第3项.
3.写出
的展开式的第r+1项.
4.用二项式定理展开：
（1）
；
（2） 5.化简： （1）
. ；
（2）
Thank you！
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
(a+b)n的展开式是：
( a + b ) n=
二项定理
一般地，对于n N*有
定理的证明
复 习：
( a + b )2 = ( a + b )3 =
思考:(a+b)4的展开式是什么?
复 习：
( a + b )2 = ( a + b )3 =
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数:次数+1
Байду номын сангаас
项的系数为 二项式系数与数字系数的积
在二项式定理中，令a=1，b=x，则有： 在上式中，令 x = 1，则有：
例1、展开 2、展开
3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。
4、(1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系 数。 (2)求(x－ )9的展开式中x3的系数。
例2(1)求 (2)求
的展开式常数项； 的展开式的中间两项.
练习 1.求（2a+3b）6的展开式的第3项.
2.求（3b+2a）6的展开式的第3项.
3.写出
的展开式的第r+1项.
4.用二项式定理展开：
（1）
；
（2） 5.化简： （1）
. ；
（2）
Thank you！
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
(a+b)n的展开式是：
( a + b ) n=
二项定理
一般地，对于n N*有
定理的证明
复 习：
( a + b )2 = ( a + b )3 =
思考:(a+b)4的展开式是什么?
复 习：
( a + b )2 = ( a + b )3 =
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数:次数+1
Байду номын сангаас
1.3.1二项式定理(学、教案)
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
1.3 1.3.1 二项式定理课件人教新课标
栏目 导引
第一章 计数原理
求二项展开式中的特定项或其系数
已知
x－2xn展开式中第三项的系数比第二项的系数大
162，求：
(1)n 的值；
(2)展开式中含 x3 的项.
栏目 导引
第一章 计数原理
【解】 (1)因为 T3＝C2n( x)n－2(－2x)2＝4C2nxn－2 6， T2＝C1n( x)n－1(－2x)＝－2C1nxn－2 3， 依题意得 4C2n＋2C1n＝162，所以 2C2n＋C1n＝81， 所以 n2＝81，n＝9. (2)设第 r＋1 项含 x3，则 Tr＋1＝C9r( x)9－r(－2x)r＝(－2)rC9rx9－23r， 所以9－23r＝3，r＝1，所以第二项为含 x3 的项， T2＝－2C19x3＝－18x3.
)
A．80
B．－80
C．40
D．－40
答案：C
栏目 导引
第一章 计数原理
(1＋2x)5 的展开式的第三项的系数为________，第三项的二项 式系数为________. 答案：40 10
栏目 导引
第一章 计数原理
二项式定理的正用与逆用 (1)用二项式定理展开1＋1x4； (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
栏目 导引
第一章 计数原理
【解】 (1)法一：1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4 ＝1＋4x＋x62＋x43＋x14. 法二：1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4·(x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1) ＝1＋4x＋x62＋x43＋x14. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1) ＋C55(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
二项式定理第一课时公开课
2 随机变量的分布
二项式定理与随机变量的分布有密切关联，可以帮助我们理解随机事件的概率分布。
3 经典投币实验的应用
二项式定理可以解释经典的投币实验中正面朝上的次数与投掷次数之间的关系。
证明二项式定理
1 小学阶段证明
我们可以通过组合数的计算和简单的数学推理，向小学生展示二项式定理的证明思路。
2 高中阶段证明
3 拆解公式：二项式定理公式如何
解释？
4 二项式系数：如何计算二项式系
数？
该公式表示了二项式 (a+b)^n 的展开结果， 其中 C(n, k) 表示二项式系数。
二项式系数可以通过组合数公式 C(n, k) = n! / (k!*(n-k)!) 计算得出。
二项式定理的应用
1 排列组合问题中的应用
二项式定理可以帮助我们计算在排列组合问题中的各种情况。
二项式定理第一课时公开 课
二项式定理是一个重要的数学概念，本公开课将为您详细介绍二项式定理的 基本概念、应用以及相关证明，带您深入了解这一知识。
引言
1 什么是二项式定理？
二项式定理是数学中的一个公式，用于展开二项式的幂。
2 为什么需要学习二项式定理？
二项式定理在排列组合、随机变量分布、经典投币实验等领域都有广泛应用。
二项式定理的基本概念么？
二项式是指形如 (a+b)^n 的表达式，其中 a 和 b 是任意常数，n 是非负整数。
二项式定理公式为 (a+b)^n = C(n, 0)*a^n + C(n, 1)*a^(n-1)*b + ... + C(n, n)*b^n。
总结
1 重点回顾
2 下一步学习计划
回顾二项式定理的基本概念、公式以及应 用，巩固所学知识。
二项式定理与随机变量的分布有密切关联，可以帮助我们理解随机事件的概率分布。
3 经典投币实验的应用
二项式定理可以解释经典的投币实验中正面朝上的次数与投掷次数之间的关系。
证明二项式定理
1 小学阶段证明
我们可以通过组合数的计算和简单的数学推理，向小学生展示二项式定理的证明思路。
2 高中阶段证明
3 拆解公式：二项式定理公式如何
解释？
4 二项式系数：如何计算二项式系
数？
该公式表示了二项式 (a+b)^n 的展开结果， 其中 C(n, k) 表示二项式系数。
二项式系数可以通过组合数公式 C(n, k) = n! / (k!*(n-k)!) 计算得出。
二项式定理的应用
1 排列组合问题中的应用
二项式定理可以帮助我们计算在排列组合问题中的各种情况。
二项式定理第一课时公开 课
二项式定理是一个重要的数学概念，本公开课将为您详细介绍二项式定理的 基本概念、应用以及相关证明，带您深入了解这一知识。
引言
1 什么是二项式定理？
二项式定理是数学中的一个公式，用于展开二项式的幂。
2 为什么需要学习二项式定理？
二项式定理在排列组合、随机变量分布、经典投币实验等领域都有广泛应用。
二项式定理的基本概念么？
二项式是指形如 (a+b)^n 的表达式，其中 a 和 b 是任意常数，n 是非负整数。
二项式定理公式为 (a+b)^n = C(n, 0)*a^n + C(n, 1)*a^(n-1)*b + ... + C(n, n)*b^n。
总结
1 重点回顾
2 下一步学习计划
回顾二项式定理的基本概念、公式以及应 用，巩固所学知识。
13二项式定理(通用)_2023年学习资料
课堂练习-1求左。-的展开式，及其展开式中X1-的系数和二项式系数
课堂练习-2.求x2-2x+13的展开式-分析：x2-2x+1=x-12-x2-2x+13=X-16-问题 怎样求X-16的展开式？
a+bn=Cnan +C1an-1b +C2an-2b2+...+-Cok an-kbk+„+Cnbnn∈ *-4、a+b的变形-1若改为a-bn,则展开式如何？-=Cnoan-b0+Clam-1-b1+C2an-b2+...+C kan-k -bk-+..+Cm"a-br-=Cnoan-Cnlan-1b+Cn2an 2b2+...+-1kCnkan-kbk-+...+-1n Cnon
课堂小结-二项式定理-a+b”=Ca"b°+Ca”-lb+„+Ca"rb'+Cab-1.项数规律：-展开式 有n+1页-n∈N*-2,次数规律：-各项的次数和均为门；-3.指数规律：a的指数从n逐项递减到0，是降幂 列；-b的指数从0逐项递增到n,-是升幂排列.-4.二项式系数：-5.通项：-即T,=Cab
2二项式系数-我们看到的二项展开式共有n+1项，其中各项-的系数Ckk∈{0,1,2，，n}叫-做二项式系 binomial coefficient.-3通项-式中的Cka-kb“叫做二项展开式的通项，-是通项为展 式的第k+1项，用Tk+1表示：-Tk+1=Ckam-kbk
例-1.求2x+的展开式，-及其展开式中第4须-的系数和二项式系数-注意区别二项式系数与项的系数的概念-二 式系数：Cnk;-项的系数：二项式系数与数字系数的积
二项式定理
4.（04年全国卷） 展开式中 的系数是.
师生补记
§1.3.1二项式定理（1）
【学习目标】
1.能从特殊到一般理解二项式定理；
2.熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；
3.能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念
【重点难点】运用通项公式求二项展开式中指定的项
复习1：积 展开后，共有项.
复习2：在n=1,2,3时，写出 的展开式.
试试：写出 ，
⑴展开式共有项，
⑵展开式的通项公式是；
⑶展开式中第4项的二项式系数是，第四项系数是.
反思： 的展开式中，二项式系数与项系数相同吗？
※典型例题
例1用二项式定理展开下列各式：
⑴ ；⑵
变式：写出 的展开式.
例2⑴求 展开式的第4项，并求第4项系数和它的二项式系数；
⑵求 展开式中 的系数.
变式：求 展开式中的常数项和中间项.
=,
=,
=，
① 展开式中项数为，每项的次数为；
② 展开式中项数为，每项的次数为，
的次数规律是， 的次数规律是.
③ 展开式中项数为，每项的次数为，
的次数规律是， 的次数规律是.
【学习过程】
任务一：二项式定理
问题1：猜测 展开式中共有多少项？分别有哪些项？各项系数分别是什么？
新知：
（ ）
上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 的展开式，其中 （r＝0，1，2，…，n）叫做，叫做二项展开式的通项，用符号表示，即通项为展开式的第项.
师生补记
当堂检测
1. 的展开式中第3项的二项式系数为
第3项系数为；
2. 展开式的第6项系数是（）
(A) (B) (C) (D)
师生补记
§1.3.1二项式定理（1）
【学习目标】
1.能从特殊到一般理解二项式定理；
2.熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；
3.能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念
【重点难点】运用通项公式求二项展开式中指定的项
复习1：积 展开后，共有项.
复习2：在n=1,2,3时，写出 的展开式.
试试：写出 ，
⑴展开式共有项，
⑵展开式的通项公式是；
⑶展开式中第4项的二项式系数是，第四项系数是.
反思： 的展开式中，二项式系数与项系数相同吗？
※典型例题
例1用二项式定理展开下列各式：
⑴ ；⑵
变式：写出 的展开式.
例2⑴求 展开式的第4项，并求第4项系数和它的二项式系数；
⑵求 展开式中 的系数.
变式：求 展开式中的常数项和中间项.
=,
=,
=，
① 展开式中项数为，每项的次数为；
② 展开式中项数为，每项的次数为，
的次数规律是， 的次数规律是.
③ 展开式中项数为，每项的次数为，
的次数规律是， 的次数规律是.
【学习过程】
任务一：二项式定理
问题1：猜测 展开式中共有多少项？分别有哪些项？各项系数分别是什么？
新知：
（ ）
上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 的展开式，其中 （r＝0，1，2，…，n）叫做，叫做二项展开式的通项，用符号表示，即通项为展开式的第项.
师生补记
当堂检测
1. 的展开式中第3项的二项式系数为
第3项系数为；
2. 展开式的第6项系数是（）
(A) (B) (C) (D)
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第一章 计数原理
探究发现
清除 问题:①(a+b)4的展开式中会有哪几种形式的项？ ②(a+b)4的展开式中各项的系数是多少？
(a b) (a b)(a b)(a b)(a b)
4
1
2
3
4
清除
a 4a b 6a b 4ab b
4 3 2 2 3
4
4个 a， 0个b，a 4 3个 a， 1个b，a 3 b 2个 a， 2个 b， a 2b2
an-kbk是从n个(a+b)中取k个b,
有C
n
n-k个a 相乘得到的,
k 该项的系数为 第一章 计数原理 n .
?
k 种情况可以得到 n-k k , 因此, n
a b
C
二项式定理
0 n 1 n1 k n k k n n (a b)n Cn a Cn a b Cn a b Cn b (n N * )
b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
C 、 C 、 C 、 、 C ③二项式系数规律：
0 n 1 n 2 n
n n
计数原理
第一章
课本31页练习1、 2、3
第一章
计数原理
k n
n k
b
k
(1 x ) ?
第一章 计数原理
实战演练
1 6 例1、求(2 x ) 的展开式. x
解: (2 x
3 6
第三项的二项式系数
1
1 1 2 1 5 2 4 )6 C60 (2 x )6 C6 (2 x ) ( ) C6 (2 x ) ( ) x x x
第一章 计数原理
1 3 (2)：求 x 的展开式中x 的系数。 x 解：展开式的通项是
9
Tr 1 C x
r 9
3
9 r
r 1 r 9 2 r 1 . C9 x x
r
根据题意，得 9 – 2r = 3
3
r=3
3 因此，x 的系数是 1 C9 84
2 2 ( a b )( a b ) (a b) a 2ab b
2
a2 ab ba b2
恰有0个取b的情况有 C20种，则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+ b2
右边的多项式叫做 (a b) 的展开式，其中的系 数 C k k 0,1,2,, n 叫做二项式系数。
n
n
式中的 C n a
k
n k
b 叫做二项式通项， 用
k
即通项为展开式的第
k 1 项。
k n n k
表示， Tk 1
通项公式 Tk 1 C a
b
k
第一章 计数原理
定理 (a b) C a C a b C a b C b
注意：展开式中第 r + 1 项的二项式 系数 与第 r + 1项的系数不同。
第一章 计数原理
课堂检测：
1. ( x 1) 的展开式的第6项的系数（
10
A.
C
6 10
B.
C
6 10
C.
C
5 10
D）
C
D.
5 10
x 5 2. (1 ) 的展开式中 2
x
2
的系数为（
5 2
C）
A. 10 中
第三项的系数
第一章 计数原理
例1：(1)求(1-2x)7的展开式中 , 第四项的 二项式系数和第四项的系数。 解: 在(1-2x)7的展开式中 , 第四项为
T4=C73(-2x)3=-280x3,
第四项的二项式系数是C73=35；
第四项的系数是C73(-2)3=-280 . 注意某项的二项式系数和项的系数的区别。
n 0 n n
1 n
1 n1 n
r n r r n
n n n
剖 析
n
1.二项式系数规律：
0 n 2 n
C 、C 、C 、 、C
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项展开式中a的次数由n降到0， b的次数由0升到n. 3.项数规律： 二项展开式共有n+1个项 4.
n n
通项公式 Tk 1 C a
二项式定理
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
学习目标
1：知道二项式定理推导过程。 2：会写出二项式定理展开式。 3：会写出二项展开式的某一项。
第一章
计数原理
情景引入
1664年冬，牛顿研读沃利斯博士的《无穷算术》。牛顿思考？
(a b) ? a 2ab b
2
2
2
(a b) ? (a b) (a b) a 3a b 3ab 知 ( x x ) 的展开式中常数项为1120，其
a 是常数，则 a =
_______ 2
第一章
计数原理
这节课我们学到了哪些知识点？
二项展开式、二项式定理及相关概念
使用了什么数学思想方法？
从特殊到一般，归纳猜想的数学思想
类比
第一章 计数原理
1）区别二项式系数，项的系数 2）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
n
?
第一章
计数原理
探究发现
(binomial theorem)
n n C (a b) C a C a b C a b C a b nb
n
0 n n
1 n 1 n
2 n 2 2 n
k n k k n
证明思路：
(n∈N*)
①为什么每一项都是an-kbk的形式？ 展开式中的每一项都是从 (a+b)n是n个(a+b)相乘， 这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的， 故每一项都是an-kbk的形式，k=0, 1, …, n; ②为什么含an-kbk的项的系数是 C k ？
1 x ) C (2 x ) (
3 4 6 2
C (2 x ) (
3
1 x
) C (2 x ) (
4 5 6
1 x
) C (
5 6 6
1 x
)6
60 12 1 64 x 192 x 240 x 160 2 3 x x x
3 2
第三项
3 2 3 2 2
3
( a b) ?
n
思考：快速展开(a b) 要解决哪些问题？
n
（1）展开后有多少项
（2）各个单项式的形式
（3）各个单项式的系数
第一章 计数原理
体验感知
2 的展开式并思考： ■请你观察 (a+b)3 ①这四种形式的项是如何得到的 ? ①含a2、ab、b2这三种形式的项是如何得到的 ? ②各项的系数是如何确定的？
0 n 1 n1 2 n 2 2 (a b) C n a C na b C n a b
n
①项数：共n+1项
(a b) 的展开式通项T k 1 C a
n
C a
k nk n
b C b
k
n n n
k nk n
bk的特点：
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；
2 3
0 2
2
(a b) C a C a b C ab C b
0 3
3
1 2 3
2 3
2
3 3 3
(a b) C a C a b C a b C ab C b
4
0 4
4
1 3 4
2 2 2 4
3 4
3
4 4
4
问题4:你能猜想(a+b)n的展开式吗？
(a b)
baaa abaa aaba aaab
1个 a， 3个 b， ab 3
0个 a， 4个b，b 4
第一章 计数原理
探究发现
3 2 的展开式写成类似的形式吗？ 问题3:你能将(a+b)1
(a b) C a C b
1
0 1
1 1
1 2 2 C C ab (a b) C a 2 2b
探究发现
清除 问题:①(a+b)4的展开式中会有哪几种形式的项？ ②(a+b)4的展开式中各项的系数是多少？
(a b) (a b)(a b)(a b)(a b)
4
1
2
3
4
清除
a 4a b 6a b 4ab b
4 3 2 2 3
4
4个 a， 0个b，a 4 3个 a， 1个b，a 3 b 2个 a， 2个 b， a 2b2
an-kbk是从n个(a+b)中取k个b,
有C
n
n-k个a 相乘得到的,
k 该项的系数为 第一章 计数原理 n .
?
k 种情况可以得到 n-k k , 因此, n
a b
C
二项式定理
0 n 1 n1 k n k k n n (a b)n Cn a Cn a b Cn a b Cn b (n N * )
b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
C 、 C 、 C 、 、 C ③二项式系数规律：
0 n 1 n 2 n
n n
计数原理
第一章
课本31页练习1、 2、3
第一章
计数原理
k n
n k
b
k
(1 x ) ?
第一章 计数原理
实战演练
1 6 例1、求(2 x ) 的展开式. x
解: (2 x
3 6
第三项的二项式系数
1
1 1 2 1 5 2 4 )6 C60 (2 x )6 C6 (2 x ) ( ) C6 (2 x ) ( ) x x x
第一章 计数原理
1 3 (2)：求 x 的展开式中x 的系数。 x 解：展开式的通项是
9
Tr 1 C x
r 9
3
9 r
r 1 r 9 2 r 1 . C9 x x
r
根据题意，得 9 – 2r = 3
3
r=3
3 因此，x 的系数是 1 C9 84
2 2 ( a b )( a b ) (a b) a 2ab b
2
a2 ab ba b2
恰有0个取b的情况有 C20种，则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+ b2
右边的多项式叫做 (a b) 的展开式，其中的系 数 C k k 0,1,2,, n 叫做二项式系数。
n
n
式中的 C n a
k
n k
b 叫做二项式通项， 用
k
即通项为展开式的第
k 1 项。
k n n k
表示， Tk 1
通项公式 Tk 1 C a
b
k
第一章 计数原理
定理 (a b) C a C a b C a b C b
注意：展开式中第 r + 1 项的二项式 系数 与第 r + 1项的系数不同。
第一章 计数原理
课堂检测：
1. ( x 1) 的展开式的第6项的系数（
10
A.
C
6 10
B.
C
6 10
C.
C
5 10
D）
C
D.
5 10
x 5 2. (1 ) 的展开式中 2
x
2
的系数为（
5 2
C）
A. 10 中
第三项的系数
第一章 计数原理
例1：(1)求(1-2x)7的展开式中 , 第四项的 二项式系数和第四项的系数。 解: 在(1-2x)7的展开式中 , 第四项为
T4=C73(-2x)3=-280x3,
第四项的二项式系数是C73=35；
第四项的系数是C73(-2)3=-280 . 注意某项的二项式系数和项的系数的区别。
n 0 n n
1 n
1 n1 n
r n r r n
n n n
剖 析
n
1.二项式系数规律：
0 n 2 n
C 、C 、C 、 、C
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项展开式中a的次数由n降到0， b的次数由0升到n. 3.项数规律： 二项展开式共有n+1个项 4.
n n
通项公式 Tk 1 C a
二项式定理
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
学习目标
1：知道二项式定理推导过程。 2：会写出二项式定理展开式。 3：会写出二项展开式的某一项。
第一章
计数原理
情景引入
1664年冬，牛顿研读沃利斯博士的《无穷算术》。牛顿思考？
(a b) ? a 2ab b
2
2
2
(a b) ? (a b) (a b) a 3a b 3ab 知 ( x x ) 的展开式中常数项为1120，其
a 是常数，则 a =
_______ 2
第一章
计数原理
这节课我们学到了哪些知识点？
二项展开式、二项式定理及相关概念
使用了什么数学思想方法？
从特殊到一般，归纳猜想的数学思想
类比
第一章 计数原理
1）区别二项式系数，项的系数 2）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
n
?
第一章
计数原理
探究发现
(binomial theorem)
n n C (a b) C a C a b C a b C a b nb
n
0 n n
1 n 1 n
2 n 2 2 n
k n k k n
证明思路：
(n∈N*)
①为什么每一项都是an-kbk的形式？ 展开式中的每一项都是从 (a+b)n是n个(a+b)相乘， 这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的， 故每一项都是an-kbk的形式，k=0, 1, …, n; ②为什么含an-kbk的项的系数是 C k ？
1 x ) C (2 x ) (
3 4 6 2
C (2 x ) (
3
1 x
) C (2 x ) (
4 5 6
1 x
) C (
5 6 6
1 x
)6
60 12 1 64 x 192 x 240 x 160 2 3 x x x
3 2
第三项
3 2 3 2 2
3
( a b) ?
n
思考：快速展开(a b) 要解决哪些问题？
n
（1）展开后有多少项
（2）各个单项式的形式
（3）各个单项式的系数
第一章 计数原理
体验感知
2 的展开式并思考： ■请你观察 (a+b)3 ①这四种形式的项是如何得到的 ? ①含a2、ab、b2这三种形式的项是如何得到的 ? ②各项的系数是如何确定的？
0 n 1 n1 2 n 2 2 (a b) C n a C na b C n a b
n
①项数：共n+1项
(a b) 的展开式通项T k 1 C a
n
C a
k nk n
b C b
k
n n n
k nk n
bk的特点：
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；
2 3
0 2
2
(a b) C a C a b C ab C b
0 3
3
1 2 3
2 3
2
3 3 3
(a b) C a C a b C a b C ab C b
4
0 4
4
1 3 4
2 2 2 4
3 4
3
4 4
4
问题4:你能猜想(a+b)n的展开式吗？
(a b)
baaa abaa aaba aaab
1个 a， 3个 b， ab 3
0个 a， 4个b，b 4
第一章 计数原理
探究发现
3 2 的展开式写成类似的形式吗？ 问题3:你能将(a+b)1
(a b) C a C b
1
0 1
1 1
1 2 2 C C ab (a b) C a 2 2b