2.3确定二次函数的表达式

一、设 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 二、代 三、解 已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式 四、还原 用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件 的特点，恰当地选用一种函数表达式。
例题
已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点， 求二次函数的解析式.
寻找规律
已知顶点坐标，如何设二次函数的表达式？
1）顶点（1，-2） 2) 顶点（-1，2） 设y= a(x -1 )2 -2 设y= a(x +1 )2 +2
3）顶点（-1，-2）
4）顶点 （h, k）
设y= a(x +1 )2 -2
设y= a(x - h )2+ k
学以致用
顶点式
y a ( x h) k
达标测试
选择最优解法，求下列二次函数表达式：
1.(必做)已知抛物线的图象经过点(1,1)、(-1,-1)、(0,-2)， 设抛物线解析式为_______ ___. y=ax2+bx+c（a≠0 ） 2.(必做) 已知抛物线的顶点坐标(-2,3) ，且经过点(-1,0) ,设 y=a(x+2)2+3（a≠0） 抛物线解析式为_________ ___. 3.(选做)已知二次函数有最大值6，且经过点(2, 3)，(-4,5)， 2+6（a≠0 设抛物线解析式为___ ____. y=a(x-h)__ ）
顶点式
y a ( x h) k
2
y o
x
例2： 已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为 （0，－5）,求该抛物线的表达式？ 解： ∵抛物线的顶点为（－1，－3）
∴设二次函数表达式为： y=a(x＋1)2-3 又点( 0,-5 )在抛物线上
∴a-3=-5,
解得a= -2
∴所求的抛物线表达式为 y=-2(x＋1)2-3 即：y=-2x2-4x-5
知识盘点
1、 确定二次函数的表达式的一般步骤：
一设、二列、三解、四还原.
2、确定二次函数表达式常用方法：
（1）已知图象上三点或三点的对应值，通常选择 一般式. （2）已知图像的顶点坐标或对称轴和最值，通常 选择顶点式.
求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？ 抛物线解析式 y=2(x-1)(x-3) y=3(x-2)(x+1)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
已知抛物线与x轴的பைடு நூலகம்交点坐标，选择交点式
用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件 的特点，恰当地选用一种函数表达式。
2
已知二次函数的图象顶点是（-1，1），且经过点 （1，-3），求这个二次函数的表达式. 解： ∵抛物线的顶点为（－1，1）
∴设二次函数表达式为： y=a(x＋1)2+1 又点( 1,-3 )在抛物线上 ∴4a+1=-3, 解得a=-1
∴所求的抛物线表达式为 y= - (x＋1)2+1 即，y= -x2-2x
抛物线与x轴交点坐标 (x1,0),( x2,0)
（1，0）（3，0） （2，0）（-1，0） （-4，0）（-6，0） (x1,0),( x2,0)
y=-5(x+4)(x+6)
-x1 )(x____ - x2 ) y=a(x___ （ a ≠0 ）
求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？ 抛物线解析式 y=a(x-1)(x-3)（a≠0） y=a(x-2)(x+1)（a≠0） y=a(x+4)(x+6)（a≠0） -x1 )(x____ - x2 ) y=a(x___ （ a ≠0 ）
∵二次函数图象与y轴交点的纵坐标为1， ∴设 y=ax2+bx+1 （a≠0） 又∵图象过（2,5），（-2，13） ∴
5=4a+2b+1 a=2 13=4a-2b+1 解之得： b=-2
∴y=2x2 - 2x+1
想一想
1、在什么情况下，已知二次函数图象上一点 的坐标就可以确定它的表达式？ 2、在什么情况下，已知二次函数图象上两点 的坐标就可以确定它的表达式？
y=2x2-3x+5
总结归纳
• 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是 求出待定系数a，b，c的值。 • 由已知条件（如二次函数图像上三个点的 坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出 a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
怎样 解答
?
学以致用
交点坐标 是什么？
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1， 且经过点（2,5）和（-2,13），求这个二次函数 的表达式。 解:
4.(选做)已知抛物线的对称轴是直线x=-2，且经过点(1,3)， (5,6)，设抛物线解析式为_____ ___. y=a(x+2)2+k（a≠0 ）
收获！
一般式 顶点式 交点式
小结
y=ax2+bx+c (a≠0) y=a(x-h)2+k (a≠0)
疑惑？
已知三个点坐标三对对应值，选择一般式 已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式
∴ 函数的解析式为： 2 2 y= -1(x-1) +4= -x +2x+3
提示: 灵活应用二次函数的三种 形式, 以便在用待定系数 法求解二次函数解析式时 减少未知数的个数, 简化 运算过程，提高做题效率。
例1（1）二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与y轴的交点坐标
（0，c） 是 ；已知二次函数y=x2+2x+c 的图象过（0，-3），则 c= -3 ，所以表达式为 y=- x2 + 2x-3 。 （2）已知二次函数y=ax2+c 的图象过点（2, 3）和（0，-5）， 求这个二次函数的表达式。
抛物线与x轴交点坐标 (x1,0),( x2,0)
（1，0）（3，0） （2，0）（-1，0） （-4，0）（-6，0） (x1,0),( x2,0)
交点式
二次函数常用的三种解析式
一般式 顶点式 y=ax2+bx+c (a≠0) y=a(x-h)2+k (a≠0)
已知三个点坐标，选择一般式 已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式
（3）已知二次函数的图象过点（0，-3） （1, 0）和 （-1，- 4），求这个二次函数的表达式。
解:(3)∵二次函数图象过（0，-3），
∴设 y=ax2+bx-3 （a≠0） 又∵图象过（1,0），（-1，-4）
0=a+b-3 ∴ -4=a-b-3 ∴y=-x2+2x-3
a=1 解之得： b=2
解法1：（一般式） 2 设二次函数解析式为y=ax +bx+c ∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0) ∴ a+b+c=4 ① a-b+c=0 ② 9a+3b+c=0 ③ ①-②得： 2b=4 ∴ b=2 代入②、③得：a+c=2 ④ 9a+c=-6 ⑤ ⑤-④ 得：8a=-8 , ∴ a= -1 代入④ 得：c=3 2 ∴ 函数的解析式为：y= -x +2x+3
第二章 二次函数
y
o
x
学习目标
1、会用待定系数法确定二次函数表 达式. 2、能根据抛物线上两个或三个点的 坐标，选择恰当的表达式确定二次函 数的表达式。
驶向胜利 的彼岸
• 确立二次函数的表达式需要几个条 件？你怎样认为？
知识链接
1、y=kx (k≠0)
找一 个点
系数 k 需待定 k y （k 0） x
什么是待定系数法？ 如何用待定系数法求一次函数解析式？
• 已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求 这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12）， 所以 k+b=3
-2k+b=-12 解得 k=3，b=-6 一次函数的解析式为y=3x-6.
确定 一 个方程
解一元一次方程
找 两个点
2、y=kx+b (k≠0)
两系数 k,b 需待定
两 个方程
解二元一次方程组
3、y=ax2+bx+c （a≠0）
三 个系数需待 定
找三 个点
三 个方程
解三元一次方程组
待定系数法
先设待求的函数关系式(其中含有未知的系数)，再 根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从 而具体写出关系式的方法,叫做待定系数法。
一般式：y=ax2+bx+c
用待定系数法求二次函数的解析式
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式. 解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c 由已知得：
a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
解方程得：a=2, b=-3, c=5 因此：所求二次函数是：
解法2:（交点式） 由题意可设二次函数解析式 为 y=a(x+1)(x-3) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a(1+1)(1-3) 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为： y= -1(x+1)(x-3) = -x2+2x+3
解法3:（顶点式） ∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， ∴ 对称轴为x=1 ∴ 点(1,4)为抛物线的顶点 2 由题意设二次函数解析式为 y=a(x-1) +4 ∵抛物线过点(-1, 0) 2 ∴ 0=a(-1-1) +4 得 a= -1