圆的有关性质1
园的有关性质
在雕塑中：圆也是一种常见的形状元素，可以用于创造各种不同的纹理和效果。例如 ，古希腊雕塑家普拉克西特列斯的《赫尔墨斯像》中就运用了许多圆形来描绘赫尔墨 斯的头饰和身姿
在建筑中：圆形也是一种常见的形状元素，可以用于创造各种不同的建筑风格和 效果。例如，罗马斗兽场的建筑风格就运用了许多圆形来描绘观众席和表演场地
在日常生活中：圆形物品的制造和设计也十分常见，如餐具（碗、盘子）、家电（电 灯泡、风扇）、工艺品等。此外，圆形在自然界中也很常见，如星球、花朵、昆虫的 复眼等
在物理学中：许多自然现象可以用圆形来描述，例如行星运动轨迹、电磁波传播方向 等。同时，许多物理实验也涉及到圆形的设置和测量，例如测量重力加速度、磁场强 度等
园的有关性质
圆的特性
目录
圆的应用
圆的特性
1
1.1 圆的位置特性
圆是平面内与一个定点（通常为原点） 距离等于定长的所有点的集合：定长称 为半径
圆的位置由圆心决定：圆心是圆上任意 两点的中垂线的交点
圆心到圆上任意一点的距离都相等
1.2 圆的特性
圆是一个连续曲线：没有断裂，因此它 没有拐点
圆是一个封闭图形：没有开口或断裂的 地方
在地理学中：地球的形状是一个类球体，采用椭圆形来描述其形态。此外，河流和海 洋的形态也是采用圆形或类圆形来描述的
THANKS
圆的应用
2
2.1 几何学中的应用
圆是几何学中最基本和最重要的图形之 一
圆的位置和形状可以通过从不同角度截 取线段和图形得到
在解析几何中：圆可以用方程来表示， 从而可以方便地研究它的性质和与其它 图形的交点
圆的概念和性质
圆的概念和性质圆是我们数学中重要的几何概念之一，广泛应用于各个领域。
无论是日常生活中的测量、建筑设计，还是工程技术、科学研究中的模型和计算，都离不开圆的概念和性质。
本文将从圆的定义、常见性质以及应用等方面进行详细的探讨。
一、圆的定义圆可以定义为平面上一组到一个定点的距离都相等的点的集合。
这个定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
以圆心为中心、以半径为半径的线段称为圆的半径。
圆内的任意两点到圆心的距离都小于半径，而圆外的任意一点到圆心的距离都大于半径。
二、圆的性质1. 圆的直径圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段。
直径是圆中最长的线段，并且它的长度等于半径的两倍。
2. 圆的周长圆的周长是圆上一周的长度，也称为圆周。
圆周的长度可以通过圆的直径或者半径与圆周率之间的关系来计算。
根据定义，圆周的长度等于直径乘以π(圆周率)。
3. 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点与圆心之间的连线围成的区域。
圆的面积也是通过圆的半径与圆周率之间的关系来计算。
根据定义，圆的面积等于半径平方乘以π。
4. 圆的切点两个圆相切时，它们有一个共同的切点。
切点是两个圆相切时，位于两个圆的切线上的点。
5. 圆的切线圆的切线是与圆只有一个公共点的直线。
圆的切线与半径垂直，并且切线的斜率等于半径与圆心连线的斜率的相反数。
三、圆的应用1. 圆在日常生活中的应用圆在日常生活中有很多应用，比如钟表中的表盘、轮胎的设计、圆桌的使用等。
同时，圆的性质也可以用来解决一些实际问题，比如判断一个物体是否能通过一个洞的尺寸、计算环形花坛的面积等。
2. 圆在几何图形中的应用圆在几何图形中也有广泛的应用。
例如，圆可以用来构造其他几何图形，比如正多边形、扇形、圆锥等。
同时，圆也可以与其他几何图形相交，形成复杂的图形结构。
3. 圆在科学与工程中的应用圆的概念和性质在科学与工程领域中也有重要的作用。
例如，在物理学中，圆的运动轨迹和碰撞规律可以用来描述天体运动、粒子动力学等现象。
圆的基本性质
圆的基本性质1．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．2．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心： （3）三角形的内心：3. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半． 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【例题精讲】例1． AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ）A ．3cm 2B ．3cm C． D ．9cm 例2、BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．．（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①___ ___，②___ _____ ，③_____ _，④________（不添加其它字母和辅助线） （2）A ∠=30°，CDO ⊙的半径r ．例3、如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 长．P B CEA 例3题图直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°练习、1．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O •的位置关系是____2．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．3、如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是 。
圆的性质与圆的方程
圆的性质与圆的方程圆是几何中常见的图形，具有独特的性质和方程。
本文将探讨圆的性质以及圆的方程。
一、圆的性质1. 圆的定义：圆是平面上所有到定点距离相等的点的集合。
定点称为圆心，相等的距离称为半径。
任意一点到圆心的距离都等于半径。
2. 圆的直径与半径：直径是连接圆上任意两点且通过圆心的线段，长度为两点间的距离的最大值。
直径的长度是半径长度的两倍。
3. 圆的弦：弦是圆上任意两点之间的线段。
4. 圆的切线：切线是与圆仅有一个交点的直线。
切线与半径垂直，且切点在圆上。
5. 圆的弧：弧是圆上两点之间的一段，由弦确定。
圆的弧可通过圆心角或圆周角进行度量。
6. 圆的面积：圆的面积可以通过半径来计算，公式为：面积= π ×半径²，其中π近似等于3.14159。
二、圆的方程圆的方程是用来描述圆的数学表达式，常用的一种形式是标准方程：(x - h)² + (y - k)² = r²。
其中，(h, k)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。
通过标准方程，可以得到圆的一些重要信息：1. 圆心坐标：方程中的h和k分别为圆心的横坐标和纵坐标。
2. 半径长度：方程中的r表示半径的长度。
3. 圆的位置：通过观察方程中的符号和数值，可以确定圆的位置关系。
当h和k为正值时，圆心位于第一象限；当h为负值、k为正值时，圆心位于第二象限；当h和k为负值时，圆心位于第三象限；当h为正值、k为负值时，圆心位于第四象限。
4. 圆的半径与直径：通过方程中的r可以得到半径的长度，而半径的两倍即为直径的长度。
5. 圆与坐标轴的交点：将x等于0或y等于0代入圆的方程，可以解得圆与x轴和y轴的交点坐标。
值得注意的是，也存在其他形式的圆的方程，如一般方程：x² + y²+ ax + by + c = 0，其中a、b、c为常数。
这种形式的方程可以用于描述圆心不在原点的情况。
综上所述，圆具有独特的性质和方程。
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。
在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。
圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。
半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。
圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。
4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。
直径是最长的弦。
5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。
角度是以度为单位的度量，用符号°表示。
二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。
2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。
3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。
5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。
6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。
三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。
4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。
总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。
通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。
希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。
圆形的性质与应用
圆形的性质与应用圆形是几何学中最基本的形状之一，具有许多独特的性质和广泛的应用。
无论是数学、物理还是工程领域，圆形都扮演着至关重要的角色。
在本文中，我们将介绍圆形的几个性质，并探讨一些实际应用。
一、圆形的性质1. 圆周率（π）圆形的一个重要性质是它的周长与直径之间的关系。
在任何一个圆中，圆周长度都是直径长度的约3.14159倍，这个比例被称为圆周率π。
π是一个无理数，它的小数部分是无限不循环的。
2. 半径（r）和直径（d）圆形也有两个重要的长度特征，即半径和直径。
半径是从圆心到圆周上的任意一点的距离，而直径则是通过圆心的两个相对点之间的距离。
直径是半径的两倍。
3. 圆心和圆周圆形由一个中心点（圆心）和与圆心等距的所有点（圆周）组成。
圆心是圆形的对称中心，对于所有的点来说，到圆心的距离都是相等的。
4. 弧度制在讨论圆形时，经常使用弧度制来度量角度。
一圆周含有360度，但在弧度制中，一个完整的圆周被定义为2π弧度。
因此，一个角度等于π/180弧度。
二、圆形的应用1. 圆形的几何应用圆形在几何学中有广泛的应用。
它是许多数学证明和定理的基础，如圆的面积和周长的计算，切线与弧的关系等等。
圆形还被广泛应用于测量和绘图中，例如绘制圆弧、圆形曲线等。
2. 圆形的物理应用圆形在物理学中也发挥着重要作用。
物体的运动轨迹往往是圆形，如行星绕太阳的轨道、电子绕原子核的轨道等。
圆形的对称性也使得它在电磁学和光学中得到广泛应用，例如光学透镜。
3. 圆形的工程应用圆形在工程领域的应用是多种多样的。
圆形的结构具有坚固和稳定的特性，因此在建筑和桥梁设计中被广泛采用。
汽车零部件如轮胎、刹车盘等也常采用圆形设计，以提供更好的性能和安全性。
4. 圆形的计算机图形学应用在计算机图形学中，圆形是绘制和渲染二维和三维图形的基本形状之一。
通过数学算法和计算机技术，我们可以轻松绘制出精确的圆形，使图形更加逼真和真实。
总结：圆形的性质和应用在数学、物理和工程等领域都起着重要作用。
圆的性质总结
圆的性质总结圆是一种非常重要的几何图形，在数学和物理学中被广泛应用。
它具有许多独特的性质和特点，这些性质可以帮助我们理解和解决各种几何问题。
下面总结一些圆的性质：1. 定义：圆是一个由所有与一个给定点（圆心）距离相等的点组成的平面曲线。
圆心到圆上任何一点的距离称为半径，圆上的所有点到圆心的距离都相等。
2. 直径和半径：圆的直径是通过圆心并两端点都在圆上的线段。
直径的长度是半径的两倍，直径还可以视为圆的最长的线段。
圆的半径是从圆心到圆上的任何一点的线段。
3. 弧和弦：圆上的弧是由圆的一部分组成的连续曲线，它可以是整个圆的一部分或只是一小段。
弦是连接圆上任意两点的线段，它可以通过圆内部或者圆外部。
4. 弧度和角度：圆周被分为360度或2π弧度，其中1弧度对应的是圆心角的弧度。
角度和弧度是测量角的单位，它们之间的关系是1圆周等于360度或2π弧度。
5. 周长和面积：圆的周长是围绕圆的曲线的长度，它可以通过使用圆的半径或直径来计算。
周长的公式是C=2πr或C=πd，其中r是半径，d是直径。
圆的面积是圆内部的空间，它可以通过使用圆的半径或直径来计算。
面积的公式是A=πr^2或A=¼πd^2。
6. 弧长和扇形面积：弧长是圆上一段圆弧的长度，它可以通过弧度和半径来计算。
弧长的公式是S=rθ，其中S是弧长，r是半径，θ是圆心角的弧度。
扇形是由圆周和两个半径之间的区域组成的图形，它的面积可以通过使用弧度和半径来计算。
扇形面积的公式是A=½r^2θ。
7. 切线和切点：切线是与圆相切且垂直于半径的直线。
切线与半径的交点称为切点，切点相对于圆心的位置对于切线的长度和角度至关重要。
8. 弦切角：弦切角是连接两个切点的线段和直过这两个切点的弦之间的角度。
弦切角等于其对应的圆心角的一半。
9. 直径角：直径角是以直径为它的对边的角度。
直径角等于180度。
10. 圆的对称性：圆是一种具有无限对称性的形状。
如果将圆绕着直径线旋转任意角度，它的形状保持不变。
圆的性质与定理
圆的性质与定理圆是一种具有特殊几何性质的几何图形，它由一条曲线组成，这条曲线上的每一点到圆心的距离都相等。
在数学中，关于圆的性质和定理有很多，它们帮助我们深入理解圆的特点和应用。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：圆心是圆上所有点的中心，用字母O表示。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
2. 直径和周长：直径是穿过圆心的两个点之间的距离，等于半径的两倍。
周长是圆的边界长度，等于直径乘以π（圆周率）。
二、圆的重要定理1. 同圆弧定理：如果两条弧所对应的圆心角相等，则这两条弧是同圆弧。
2. 同弦定理：如果两条弦所对应的圆心角相等，则这两条弦是同弦。
3. 弧长定理：圆内任意一段圆弧的长度等于这段圆弧所对应的圆心角的弧度数乘以半径的长度。
即弧长 = 圆心角的弧度数 ×半径。
4. 切线定理：切线与半径垂直。
5. 相切弦定理：从外部一定点引圆的两条切线，这两条切线所夹的弦的长度相等。
6. 弦切角定理：圆内的弦所夹的角等于这条弦所对应的圆心角的一半。
7. 弧切角定理：圆内一条弧与这条弧所对应的切线所夹的角等于这段弧所对应的圆心角的一半。
三、圆的应用1. 圆周率π的计算：π是无理数，它代表了圆的周长与直径的比值。
在计算中常用3.14或22/7作为π的近似值。
2. 圆的面积计算：圆的面积等于半径的平方乘以π。
即面积= π ×半径的平方。
3. 圆的几何画图：在平面几何中，圆的几何画图是重要的基础知识，它包括圆的作图、切线的作图等。
4. 圆与三角形的关系：圆与三角形之间存在着多个重要的性质和定理，如圆内切等著名定理。
综上所述，圆的性质与定理是数学中重要的内容，它们帮助我们更深入地了解圆的特点与应用。
通过学习圆的性质与定理，我们可以解决与圆相关的问题，同时也为进一步学习几何学奠定了坚实基础。
圆的基本性质
圆的基本性质圆是几何学中最基本的图形之一，具有许多独特的性质和特征。
在本文中，我将介绍圆的基本性质，包括圆的定义、圆的半径和直径、圆心和弧、圆的面积和周长等。
通过了解这些基本性质，我们可以更好地理解和运用圆形。
1. 圆的定义圆是由一条与一个固定点距离相等的点构成的集合。
这个固定点被称为圆心，圆心到圆上的任意一点的距离被称为半径。
圆内部的点到圆心的距离都小于半径，而圆外部的点到圆心的距离都大于半径。
2. 圆的半径和直径圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆的直径是通过圆心，并且两个端点都在圆上的线段。
圆的直径是半径的两倍，也是圆的最长线段。
3. 圆心和弧圆心是圆的中心点。
圆上的弧是由圆上的两个点以及它们之间的弧长所确定的。
圆的弧可以被度量为角度，弧度或弧长。
4. 圆的面积圆的面积是圆内部所包围的空间。
圆的面积公式为：面积= π * r²，其中π（pi）是一个无理数，约等于3.14159，r是圆的半径。
这个公式表明，圆的面积正比于半径的平方。
5. 圆的周长圆的周长是圆上所有点之间的距离总和。
圆的周长也被称为圆周长或圆的周长。
圆的周长公式为：周长= 2 * π * r，其中2πr是一个圆的直径。
6. 圆的切线在圆上的每个点上都有一个与切线相切的方向。
切线是与圆只有一个交点的直线，且与圆的切点处于圆上的切线角度为90度。
7. 圆的弦圆上的任意两个点之间的线段被称为弦。
最长的弦是圆的直径。
8. 圆的弧度弧度是一种用于度量圆上弧长的单位。
一个圆的弧长等于半径的弧度数乘以圆心角的弧度。
总结：在几何学中，圆拥有许多独特的性质和特征。
通过了解圆的定义、圆的半径和直径、圆心和弧、圆的面积和周长等基本性质，我们可以更好地理解和应用圆形。
圆在许多领域中都有广泛的应用，如工程、建筑、数学等。
掌握圆的基本性质对于解决与圆相关的问题非常重要。
通过学习和应用这些性质，我们可以更好地理解圆，并在实际生活和学习中运用它们。
初三数学 圆的性质定理
初三数学圆的性质定理1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4、垂径定理的应用：①用直尺和圆规平分一条弧.作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理；②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段.例1、如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AD交小圆于B、C.(1)求证：AB=CD(2)如果AD=6cm，BC=4cm，求圆环的面积.1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等.②半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4．圆的内接四边形：①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.例2、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D.若BC=8，ED=2，求⊙O的半径.1、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O的半径是（）2、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm3、如下图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．平分D．随点C的移动而移动4、如上中图，BD是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则下列结论不成立的是（）A．∠ABD=∠ACD B．C．∠BAE=∠BDC D．∠ABD=∠BDC5、如上右图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°6、如下图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=40°，则∠ABO等于__________度．7、如上左二图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、A 、B不重合），则∠OAB=__________，∠OPB=__________．9、如右上图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．10、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC=__________．11、如图，⊙O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距离为．求⊙O的半径及O到CD的距离．12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．13、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长到C，使BD＝DC，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．一、确定圆的条件(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径，圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．过不在同一条直线上的三点确定一个圆2、经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．3、利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法作法图示1．连结AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆例1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？（1）（2）（3）例3、如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．1、下列关于外心的说法正确的是（）A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点2、下列条件中不能确定一个圆的是（）A．圆心和半径B．直径 C．三角形的三个顶点D．平面上的三个已知点3、三角形的外心具有的性质是（）A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等 C．外心在三角形外D．外心在三角形内4、等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（）A．重心B．垂心 C．外心D．无法确定5、如图所示，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M6、如图，是△ABC的外接圆，∠BAC=30°，BC=2 cm ，则△OBC的面积是_______.7、直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_______．8、如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观，为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎么样找到圆心和半径？。
圆的性质和定理
圆的性质和定理圆是几何中的重要概念之一，它具有许多独特的性质和定理。
在本文中，我们将探讨圆的基本性质以及一些与圆相关的重要定理。
一、圆的性质1. 定义：圆是由平面上与一定点的距离相等的所有点组成的集合。
圆心是圆上所有点的中心，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆周率：圆的周长与直径的比值被定义为圆周率π（pi），它是一个无理数，约等于3.14159。
根据这个定义，圆的周长C可以表示为C = 2πr，其中r是圆的半径。
3. 直径和半径的关系：直径是一条通过圆心的线段，它的长度等于半径的两倍。
换句话说，d = 2r，其中d代表直径，r代表半径。
4. 弧和弦：在圆上，弧是圆上的一段弯曲的部分，而弦则是连接圆上两个点的线段。
任何一条弦对应的弧都是唯一确定的，且弦总是小于或等于圆的直径。
5. 弦的性质：如果两条弦互相垂直，则它们所对应的弧互补。
二、圆的定理1. 弧度制和角度制：在计量角度时，常见的有两种制度，一种是弧度制，另一种是角度制。
弧度制是以圆的半径为单位，角度制是以度为单位。
两者之间的转换关系是2π弧度等于360度。
2. 弧度与圆周角的关系：一条弧所对应的圆周角的弧度数等于这条弧所对应的圆心角的弧度数。
这个定理揭示了圆弧度的重要性，为许多相关问题的解决提供了便利。
3. 切线定理：与圆相切的直线（切线）与半径的相交点处的角是一个直角。
4. 弧长和扇形面积：弧长是弧上的一部分的长度，可以由弧度数乘以半径得到。
扇形面积是由相邻两条半径和其所夹的弧组成的图形的面积，它可以通过半径和所夹的圆心角的弧度数计算得出。
5. 割线定理：在与圆相交的直线上，两个相交点分割的弦的乘积等于这条直线外部线段与这条直线在圆上的切点分割的弦的乘积。
总结：圆具有许多独特的性质和定理，对于几何学的研究和应用有着重要的意义。
掌握了圆的性质和定理，我们可以更好地理解和解决与圆相关的问题。
在实际应用中，圆的性质和定理也被广泛应用于建筑、机械、地理等领域，为问题的解决提供了有效的方法和准确的计算依据。
高中-圆的有关概念和性质
高中数学-圆第一节圆的有关概念和性质一【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．3.正多边形和圆（1）通过等分圆画正多边形。
（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法）（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距；（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等于正n边形内角的一半，∠BOP=nn1802360 ，BP等于正多边形的边长的一半。
圆的性质与定理
圆的性质与定理在数学中，圆是一种基本的几何形状。
它具有一些独特的性质和定理，这些性质和定理对于我们理解和应用圆形至关重要。
本文将介绍圆的性质和一些与圆相关的重要定理。
一、圆的性质1. 定义：圆是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点构成的集合。
圆心由大写字母O表示，半径由小写字母r表示。
2. 圆的直径：任意通过圆心并且两端点在圆上的线段称为圆的直径。
直径的长度等于半径的2倍。
3. 圆的弦：圆上任意两点连线段称为圆的弦。
4. 圆的弧：圆上的两点之间的部分称为圆的弧。
5. 圆的切线：与圆仅有一个交点且与切点垂直的直线称为圆的切线。
二、圆的定理1. 圆心角与弧度：圆心角是以圆心为顶点的角，弧度是以半径为半径的圆弧包含的圆心角所对的弧长所对应的角度。
圆心角的大小等于其对应的圆弧的弧度。
2. 弧长公式：已知圆的半径r和圆心角θ的弧长L计算公式为L = r * θ。
3. 正弦定理：在圆上的两条弦所夹的圆心角θ和这两条弦的长度a、b之间存在如下关系：a/sin(θ/2) = b/sin(θ/2) = c/sin(θ/2)，其中c为弦的长度。
4. 余弦定理：在圆上的两条弦之间的夹角θ和这两条弦的长度a、b之间存在如下关系：c² = a² + b² - 2ab*cos(θ/2)。
5. 切线定理：圆上与切点相连的两条切线的交点与圆心的连线垂直。
6. 切割线定理：若直线与圆相交，割线与切线的乘积等于割线与割线的乘积。
7. 相切定理：两个圆相切于一点，切点到圆心的连线垂直于两个切线。
8. 切圆定理：过圆外一点可以作两条切线，两条切线夹角等于切点到该点的连线与圆的半径的夹角的一半。
9. 切割圆定理：若两个相交的圆互为切割，则切点到圆心的连线垂直于相应切线。
三、应用举例1. 圆的计算：对于已知半径r的圆，可以根据公式计算圆的周长和面积。
圆的周长C为2πr，圆的面积S为πr²。
2. 弧长和扇形面积：已知圆心角θ和半径r，可以通过公式计算弧长L和扇形面积A。
圆相关的知识点总结
圆相关的知识点总结
一、圆的定义
圆是一个平面上所有点到圆心的距离相等的图形，这个距离被称为圆的半径。
圆的边界称为圆周，圆内部的部分称为圆的内部，圆外部的部分称为圆的外部。
在数学中，圆通常用一个大写字母表示，例如“O”。
二、圆的性质
1. 圆的所有直径相等，且都等于圆的直径的两倍。
2. 圆的所有弧相等，且都等于圆的周长的一半。
3. 圆的所有半径相等。
4. 圆的直径是圆周的两倍，即圆周长等于直径乘以π。
5. 圆的内角和为360度。
三、圆的公式
1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π是一个数学常数，约等于3.14159。
2. 圆的面积公式：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径，π是一个数学常数，约等于
3.14159。
四、与圆相关的定理和定律
1. 弧长定理：在同一个圆上，夹在同一个弧上的两个圆周角相等。
2. 圆心角定理：在同一个圆上，夹在同一个圆心角上的两个弧相等。
3. 正切定理：过圆外一点，有且只有一条直线与圆相切。
4. 弦的性质：在同一个圆上，垂直于弦的直径将这个弦分成两段，相互成比例。
5. 等腰三角形定理：在同一个圆内，以直径为底的三角形是等腰三角形。
以上是关于圆的定义、性质、公式以及一些相关的定理和定律的总结。
圆是数学中一个重要的概念，在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
希望这篇文章能帮助读者更好地理解和掌握圆的相关知识。
圆的有关性质
圆的有关性质（一）一、内容综述：1.圆的有关概念：(1).圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
圆还有旋转不变性。
(2).点和圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则:点在圆内d<r点在圆上d=r点在圆外d>r2.有关性质：（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（2）同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
（3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径。
（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
3.难点讲解：垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示)．如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个，就可得到九个逆命题，并能证明它们都是真命题．教科书把较重要的作为推论l，而其余的作为练习题。
总之，一条直线，如果它五个性质中的任何两个成立，那么它也一定具有其余三个性质．推论1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧，推论1的实质是：一条直线(如图)(1)若满足：i)经过圆心，ii)平分弦，则可推出:iii)垂直于弦，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．(2)若满足：i)垂直于弦，ii)平分弦。
则可推出：iii)经过圆心，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．(3)若满足；i)经过圆心，ii)平分弦所对的一条弧，则可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所对的另一条弧．推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等．如图中，若AB∥CD，则注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是初等几何学中的基本图形之一，它具有独特的几何性质和重要的应用价值。
本文将介绍圆的概念和性质，并探讨它在现实生活中的应用。
一、圆的概念圆是由平面上的一点到另一点距离不变的点集合。
其中，确定圆的两个点是圆心和圆上的任意一点，圆心到圆上任意一点的距离称为圆的半径。
用数学符号表示，圆可以写为O(A,r)，其中O表示圆心，A 表示圆上的一点，r表示圆的半径。
二、圆的性质1. 圆周与圆心之间的关系：圆周上的点与圆心的距离都相等，即圆周上的任意两点到圆心的距离相等。
2. 圆的直径和半径：圆的直径是通过圆心，并且两端点同时在圆周上的线段，直径的长度是半径的两倍。
即d = 2r。
3. 圆的周长和面积：圆的周长是指圆周的长度，记为C，可以通过公式C = 2πr计算得到。
其中，π是一个常数，约等于3.14159，它代表圆周率。
圆的面积是指圆内部的所有点的集合，记为S，可以通过公式S = πr²计算得到。
4. 弧、弦和扇形：圆周上的弧是由两个点确定的圆上的一段弧线，弧的长度与圆的周长成比例。
圆上两点间的线段称为弦，弦的长度小于或等于直径。
圆周上通过圆心的两条弦将圆分成了两个部分，每个部分叫做扇形。
扇形的面积由圆心角的大小决定。
5. 切线和切点：圆周上的一条直线称为圆的切线，切线与半径的夹角为90度，也就是说切线垂直于半径。
切点是切线与圆的交点，一个圆可能有多个切点。
三、圆的应用圆作为一种基本的几何形状，在现实生活中有许多应用，以下介绍几个常见的例子：1. 圆形建筑和雕塑：圆形的建筑和雕塑在城市的景观中非常常见，如圆形剧场、罗马竞技场等。
圆形的外形能够给人以稳定和和谐的感觉。
2. 车轮和飞盘：车轮和飞盘都是圆形的，这是因为圆形对于旋转和滚动更加稳定和效果好。
车轮的直径也决定了车辆的速度和行驶稳定性。
3. 钟表和指南针：许多钟表面和指南针刻度都是圆形的，便于阅读时间和方向。
钟表的指针也是围绕圆盘转动。
第24章圆章节知识点及习题及答案
第24章圆章节知识点及习题及答案第⼆⼗四章圆章节知识点思维导图：⼀、圆的有关性质（⼀）与圆有关的概念1、定义：在⼀个平⾯内线段OA绕它固定的⼀个端点O旋转⼀周，另⼀个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆⼼，线段OA叫做半径。
2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆⼼的弦，叫做直径。
3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。
能够互相重合的弧叫等弧。
圆的任意⼀条直径的两个端点把圆分成两条弧，每⼀条弧都叫做半圆，⼤于半圆的弧叫优弧；⼩于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫⼸形。
4、圆⼼⾓：我们把顶点在圆⼼的⾓叫做圆⼼⾓。
5、圆周⾓：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的⾓叫做圆周⾓。
注意：在圆中，同⼀条弦所对的圆周⾓有⽆数个。
6、弦⼼距：从圆⼼到弦的距离叫弦⼼距。
7、同⼼圆、等圆：圆⼼相同，半径不相等的两个圆叫同⼼圆；能够重合的两个圆叫等圆。
8、点的轨迹：1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼，定长为半径的圆；2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）⾓的平分线：到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线；4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5）到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是：平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。
（⼆）圆的性质1、对称性：圆是轴对称图形，任何⼀条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对称中⼼的中⼼对称图形。
2、性质：①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理及推论1 可理解为⼀个圆和⼀条直线具备下⾯五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆⼼；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2：圆两条平⾏弦所夹的弧相等。
圆的特点和性质
圆的特点和性质1 概念：圆是一种有向的平面图案，它是由焦点轴组成的，它主要由半径组成，半径决定了圆的大小，而圆上所有点到圆心的距离是相等的。
2 性质：1. 圆周角定理：任何一个三角形的内部角加起来等于180度；2. 圆心角定理：围绕一个圆心的圆上任意两点之间的圆心角一定相等；3. 同切圆定理：两个圆之间及任意一点到另一圆上任意一点的距离相等；4. 内切圆定理：以一个圆的外接正多边形的逆时针方向的内角的一条边所经过的点，这条边的经过的所有点的距离都是和圆心的距离一致的；5. 外共线圆定理：两个外共线圆的外接正多边形一定是相等的；6. 四等腰圆定理：四等腰圆的四个角夹角的个数就是其他圆的个数；7. 最大圆定理：在一个给定的空间中，其半径最大的圆必定和该空间的边界有关。
3 特点：1. 圆是任何多边形中节点数最少的图形，圆的不变性将被多边形结构的几何形式约束；2. 圆是所有空间与表面形状中最平滑、最美的图形，它的精美的外观让它常用于装饰元素；3. 圆有两个明显的性质：选定一个圆心点后，圆上任意一点到圆心的距离都一致；每个夹角都是相等的，而且角度都是180度；4. 这两个特点使得圆具有平等性与和谐性，它代表着统一、完善、无缝连接；5. 圆形几乎没有任何空隙，几乎是自身位置确定，虽然它没有多余的条纹和特殊的物体，但却具有恒久不变的美；6. 圆也极大的实用性，它是最鼓舞人心的形状，几乎所有的设计布局都采用了圆形，无论是圆柱、圆锥等，圆都深受 ' 音乐、舞蹈、行事历等各类图形的喜爱。
4 应用：圆的特点使它可以用于各种尺寸的雕塑、绘画、金属雕刻、建筑、设计布局等，极大的丰富了设计空间。
由于圆周率等数学知识的发现，可以使得圆更精确，因而在机械精密制造方面它也有很强的实际功能。
它在既实用又美观的设计方面发挥着重要作用，具有重要意义。
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是几何学中的重要概念之一，具有独特的性质和广泛的应用。
本文将从圆的定义、性质以及相关应用三个方面，对圆进行深入探讨。
一、圆的定义圆是由平面上的一点到另一点距离恒定的所有点的集合。
其中，距离恒定的两个点称为圆的中心和半径。
以此为基础，我们可以得出圆的一些重要定义和性质。
二、圆的性质1. 半径与直径的关系：直径是连接圆上两个点，并通过圆心的线段。
圆的直径是半径的两倍，即直径等于2倍半径。
2. 弧与弦的关系：弧是圆上的一段曲线，而弦是连接圆上两个点的线段。
对于相同的弧，弦越长，对应的圆心角就越大。
3. 弧度制：弧度制是一种用弧长来度量角度的单位制。
一圆周的弧度为2π，通常用符号“rad”表示。
4. 圆的面积：圆的面积由半径决定，可以通过公式A = πr²计算得到。
其中，π是一个常数，约等于3.14159。
5. 圆的周长：圆的周长也称为圆周，可以通过公式C = 2πr计算得到。
三、圆的应用圆作为几何学中的基础概念，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、工程等。
1. 数学应用：圆被广泛运用于解决几何问题，比如测量与计算圆的面积和周长，利用弧与弦的关系求解圆心角，以及在三角函数中的应用。
2. 物理应用：在物理学中，圆常用于描述物体的运动轨迹，如行星、卫星绕星球的轨道就是圆形或近似圆的。
此外，光的传播也符合圆的特性，如光的折射和反射。
3. 工程应用：圆形结构在工程设计中经常出现，比如建筑设计中的圆形柱、圆形桥梁等。
此外，在制造业中，如汽车制造和工业加工中，也需要利用圆的特性来完成各类工艺和设计。
总结：圆作为一个基本的几何概念，具有独特的定义和性质。
了解圆的概念和性质，有助于我们进一步理解几何学的其他相关知识，并将其应用于实际问题的解决。
无论是数学领域的计算，物理领域的运动描述，还是工程领域的设计应用，圆都扮演着重要的角色，为我们解决问题提供了有力的工具。
同时，深入理解圆的概念与性质，有助于我们更好地掌握几何学的基础知识，为未来的学习与应用打下坚实的基础。
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圆的有关性质
知识要点
1、 圆是平面上到 的距离等于 的点的集合。
2、 的三点确定一个圆；任何一个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫
做三角形的 心，它是三角形的 的交点。
3、 圆是以为 轴的轴对称图形，又是以 为中心的中心对称图形。
4、 垂径定理的条件是 ，结论是 。
5、 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中，有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量都 。
典型考题
例1、如图1，在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝120°，弦AB
＝，则⊙O 的半径是 。
例2、如图2，已知AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥CD ，垂足为M ，CD ＝8，AM ＝2，则OM ＝ 。
图1
图2
例3、⊙O 的半径是5，P 是圆内一点，且OP ＝3，则过点P 的最长弦是 ，最短弦是 。
例4、如图3，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB ＝10㎝，CD ＝8㎝，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为（ ）㎝。
A 、12
B 、10
C 、8
D 、6
例5、如图4，在Rt △ABC 中，∠C ＝
90°，AC BC ＝1，若以C 为圆心、CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP ＝ 。
图3
图4
A
同步训练
1、在直径为20㎝的圆中，弦心距是6㎝的弦长是 ㎝。
2、如图6，DE 是⊙O 的直径，弦AB ⊥DE ，垂足为C ，若AB ＝6，CE ＝1，则CD ＝ ，OC ＝ 。
图5
C
D
E
图6
3、圆的弦与直径相交成30°角，并且分直径为8㎝和2㎝两部分，则弦心距等于 ㎝。
4、AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于P （P 在
OB 上），CD ＝OP ＝2，则AC 的长是（
）
A 、
B 、
C 、
D 、5、若⊙O 中，弦AB 与直径CD 垂直，垂足为
E ，且AE ＝4，CE ＝2，那么⊙O 的半径等
于（ ）
A 、5
B 、
C 、
D 、6、如图7，如果AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为
E ，那么下列结论中，错误的是（ ） A 、CE ＝DE B 、BC BD C 、∠BAC ＝∠BAD D 、AC ＞AD 7、如图5，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是AB 上的两点，且AC ＝BD ， 求证：△OCD 是等腰三角形。
图7
A
一.填空题：（本题共60分，每空4分）
1.___________确定一个圆．
为_________
3.6cm长的一条弦所对的圆周角为90°，则此圆的直径为__________．
4.圆被弦所分成的两条弧长之比为2∶7，这条弦所对的圆周角的度数为__________．
5.在⊙O中，AB是直径，CD是弦，若AB⊥CD于E，且AE=2，EB=8，则CD=__________．
6.在圆内接四边形ABCD中，若AB=BC=CD，AC是对角线，∠ACD=30°，则∠CAD=__．
ＯＰ=3，则AP=___________．BP=___________．
8.在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶1，则∠D=_____________．
9.已知：△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，AB=13cm，以B为圆心，
以12cm长为半径作⊙B，则C点在⊙B_____________．
10.到O点的距离等于4cm的点的轨迹是__________．
11.若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是__________．
12.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于E点，
13.已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠BOD=_____
14.如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，若AE=8cm，EB=4cm，
则OG=___________cm．
二. 选择题：（本题共20，每小题5分）
1.圆的直径增加一倍后，新圆的周长与新圆的直径的比为［］
A.π
B.π+1
C.2π
D.4π
2.⊙O的半径为R，一点P到圆心O的距离d≥R，则P点［］
A.在⊙O内或圆周上
B.在⊙O外
C.在圆周上
D.在⊙O外或圆周上
3.⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是［］
A.110°
B.70°
C.55°
D.125°
A.30°
B.120°
C.150°
D.60°。