全等三角形辅助线的添加方法(公开课)9
全等三角形中常见辅助线的添加方法
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90 o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,则点D到AB的距离等于 4 .
过点D作DE⊥AB
A
构造全等的 直角三角形
E
B
D
C
三.用角平分线的性质构造全等
典例2:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o,
BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.
B
A
F
过点E作EF⊥BC
E
构造全等的 直角三角形
C
还有其他的方法吗？
D
四、截长与补短
四、截长与补短
典例1、已知在△ ABC中， AD是∠BAC 的角平分线 ，
∠C=2∠B, 求证 :AB=AC+CD
A
E
12
B
D
C
在AB 上取点E使得AE=AC ，连接DE
F
在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
A
D
B
C
1 2 3 *
一题多解
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 °
A
D
1 2
B
34
E
C
在BC上截取BE，使BE=AB ，连结DE。
1 2 3 *
一题多解
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 ° F
四、截长与补短
变题：已知在△ ABC中， AD是∠BAC的角平分线 ，
AB=AC+CD, 求证:∠C=2∠B
A
E
12
全等三角形辅助线添加方法
全等三角形辅助线添加方法全等三角形是指具有相同形状和大小的两个三角形。
要证明两个三角形全等，我们通常使用SAS（两边和夹角），ASA（两角和边），SSS（三边）等条件来进行证明。
为了证明这些条件，我们可以添加一些辅助线来简化问题。
以下是几种常见的全等三角形辅助线添加方法：1.中位线法中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
在证明两个三角形全等时，可以通过连接两个三角形的对应顶点及对边中点来添加中位线。
这样，原来的两个三角形就分解成了两个平行四边形，从而简化了证明过程。
2.高线法高线是从一个顶点垂直于对边的线段。
在证明两个三角形全等时，可以添加一条高线，从而将一个三角形分解成两个直角三角形。
这样，我们可以利用直角三角形的性质来进行证明。
3.角平分线法角平分线是从一个角的顶点分别平分两个相邻边的线段。
在证明两个三角形全等时，可以通过连接两个三角形的对应顶点和相邻边的角平分线来添加辅助线。
这样，原来的两个三角形就分解成了两个高度相等的直角三角形。
4.旁切线法旁切线是从一个角的顶点切线到对边的线段。
在证明两个三角形全等时，可以添加一条旁切线，从而将一个三角形分解成两个全等的直角三角形。
这样，我们可以利用直角三角形的性质来进行证明。
5.等腰三角形法等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。
在证明两个三角形全等时，如果我们发现其中一个三角形是等腰三角形，可以添加一条辅助线，将该等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
这样，我们可以利用直角三角形的性质来进行证明。
通过添加这些辅助线，我们可以改变问题的形式，简化证明过程，并帮助我们找到更多的全等条件。
但是需要注意的是，辅助线的添加要符合几何图形的性质，不能改变原有图形的形状和大小。
总之，在证明两个三角形全等时，辅助线的添加是一个常用的方法，可以帮助我们简化证明过程，找到更多的全等条件，提高证明的效率和准确性。
需要根据具体问题来选择合适的辅助线添加方法，灵活运用几何定理和性质来进行证明。
全等三角形辅助线的添加方法(公开课)9
B M
角平分线上的点到角两边的距离相等
1：如图，AC=BD,BC=AD,求证:∠C=∠D
C
D
独
立
连接AB
思
考
A
B
， 2、已知，如图四边形ABCD，AB=CD，
完 AD=BC，求证：∠B=∠D。 A
成
D
练
连接AC
习
B
C
反思小结1：连接 图形中两个特殊点，构造 三角形全等 。
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，
合 在DA上截取DF，使DF=DC，连接EF
D
C
作 △CDB≌△FDE（SAS）
探
∠C=∠1
F1
2
E
究 ∠C+∠B=180°
∠B=∠2
（ ∠1+∠2=180°
二 ）
△AEF≌△AEB（AAS）
AB=AF
A
截长法
B
AD=AF+DF=AB+CD
如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD和
∠ADC，求证：AD=AB+CD。
合
作
， 展
反思总结3：
B
D
C
示 风
对于线段的和差问题，可以 用 截长补短 的方法构造全
采 等三角形来证明。
知
识 本节课你的收获是什么？
反
馈
1、已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F ,求证：DE=DF
达 证明：连接AD
F
在△ACD和△ABD中
C
标
AC=AB
D
CD=BD
难点：利用辅助线解决相应的全等三角形 几何证明题。
全等三角形添加辅助线的方法
全等三角形添加辅助线的方法要向一个全等三角形添加辅助线，只需在三角形内或外画直线，以切割或连接三角形的一些部分。
这些辅助线可以帮助我们更好地理解和分析三角形的特性和属性。
接下来，我将介绍几种常见的方法来添加辅助线。
1.三角形中线：连接每个顶点与对边中点的线段。
这条线段将三角形划分为两个全等的三角形。
它们的边长相等，角度相等。
2.三角形的角平分线：从每个顶点作出形成该顶点角的两个邻边的角平分线。
这些角平分线会相交于三角形内部的一点，该点是三角形内角平分线的交点。
3.三角形的高线：从每个顶点作出与对边垂直相交的线段。
这些线段的交点将构成三角形的三条高线，它们的长度相等，且垂直于对边。
4.三角形的中线：从每个顶点作出与对边平行的线段。
这些线段的交点将构成三角形的三条中线，它们的长度相等，且平行于对边。
5.三角形的中心：连接三角形的三个顶点与重心的线段。
重心是三角形内部所有高线的交点。
三角形的重心被定义为三边中点的连线的交点，其坐标为三个顶点的坐标之和的1/3这些辅助线有助于我们更好地理解和分析全等三角形的特性和属性。
它们可以帮助我们推导出一些重要的结论和公式，还可以用于证明和解决三角形的相关问题。
例如，通过添加辅助线可以证明全等三角形的性质：全等三角形的对应边长相等，对应角度相等，对应角内的三角形也全等。
此外，辅助线还可以帮助我们解决一些基于全等三角形的问题。
比如，如果两个三角形的一对对应边长和一对对应角度都相等，我们可以利用辅助线来证明它们是全等三角形。
因此，通过添加辅助线，我们可以更好地理解和分析全等三角形的性质和问题。
在解决相关问题时，辅助线可以作为重要的工具来简化问题和得出正确的答案。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
构造全等三角形添加辅助线的方法
构造全等三角形添加辅助线的方法构造全等三角形是初中数学中的一个重要内容，理解并掌握构造全等三角形的方法对同学们建立良好的几何直观和提高几何证明能力等方面有很大帮助。
添加辅助线是构造全等三角形的重要方法之一。
本文列举了10条关于构造全等三角形添加辅助线的方法，并详细描述了每一种方法的步骤和原理。
一、通过中位线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC和它的一条中位线AD；2、将角BAD和角ACD作为两个角，作一个新的三角形BAD，使它的对边和AC平行；3、证明三角形BAC和三角形BAD全等。
原理：两个平行线截一组平行于它们的直线形成的线段，具有相等的长度。
二、通过角平分线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE；2、将角EAB和角EAC作为两个角，分别连线得到三角形EAB和三角形EAC；3、证明三角形ABC和三角形EAB全等。
原理：在一个三角形中，一边上的角平分线将这条边分成两个相等的线段，同时将对角的两个角平分为两个相等的角。
三、通过三角形内角和不变构造全等三角形步骤：1、作出两个全等三角形ABC和DEF；2、在三角形ABC内部选取一个点M；3、以点M为中心，作一个半径等于EF的圆，在这个圆上分别找到两个点P、Q；4、连接点P、Q和点M，分别得到三角形AMP和BMQ；5、证明三角形AMP和三角形BMQ全等。
原理：三角形中角的和不变，即两个全等三角形中任意两个内角之和相等。
四、通过角平分线和垂线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE，垂直于BC；2、在AE上选取一点G，将角GAB和角GAC作为两个角，分别连线得到三角形GAB和三角形GAC；3、以点B为中心，作一个半径等于CG的圆，在这个圆上分别找到两个点M、N；4、连接MN和点B，分别得到三角形MBC和NBC；5、证明三角形GAB和三角形MBC全等。
原理：在一个三角形中，角平分线和垂线的交点将底边分成相等的线段，在垂线上的任意一点到底边的两个端点距离相等。
全等三角形添加辅助线的方法
全等三角形添加辅助线的方法1.中线法：将两条边的中点相连并延长，然后证明其与其他一条边的边长和角度相等。
具体步骤如下：a.连接三角形两条边的中点，并延长至交于一点O。
b.证明∆ABC与∆ADB全等，其中∠CAB＝∠DAB（两对顶点角），且AB ＝AD各一边。
c.推导出AC＝BD（全等三角形的边）2.垂直平分线法：通过构造两条垂直平分线使其中两个角相等，从而推导出三角形全等。
具体步骤如下：a.根据题意连接一个角的两边，并找出该两边的垂直平分线。
b.证明∆ABC的两个∠BAC和∠BCA各自与∠ACD和∠ACB相等（垂直平分线构成等腰三角形），即∠BAC＝∠ACD，∠BCA＝∠ACB。
c.推导出∆ABC和∆ACD的三个角相等，从而两个三角形全等。
3.夹边法（重心法）：通过构造两个辅助三角形，使两个夹角相等，从而推导出三角形全等。
具体步骤如下：a.过三角形一边的顶点作该边对边的平行线，分别与另两边相交得到两个辅助三角形。
b.证明这两个辅助三角形的两个夹角分别与原三角形的两个对应夹角相等（平行线与三角形两边的交角），即∠BAC＝∠EAB，∠CBA＝∠DBA。
c.推导出∠ABC和∠EDB相等，从而两个三角形全等。
4.等腰三角形法：通过构造两个等腰三角形，使它们的顶点与原三角形的顶点相连，从而推导出三角形全等。
a.根据题意找到一个角的顶点为原三角形的顶点，并构造一个等腰三角形，顶点为该角的顶点。
b.构造另一个等腰三角形，顶点为原三角形的顶点，并使这两个等腰三角形的顶点分别与原三角形的顶点相连。
c.证明这两个等腰三角形的两个底边与原三角形的两个对应边相等，即AC=DE，BC=DF。
d.推导出∆ABC和∆DEF的三个角相等，从而两个三角形全等。
通过以上几种常见的方法，可以添加辅助线来证明三角形的全等关系。
在实际问题中，根据具体的几何信息和条件，选择合适的辅助线构造方法，可以简化证明过程，并加深对全等三角形的理解。
全等三角形中常见辅助线的添加方法
全等三角形中常见辅助线的添加方法举例一．有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。
例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。
二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。
图3 练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。
四、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。
求证：AB －AC ＞PB －PC 。
五、延长已知边构造三角形： 例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ，求证：AD ＝BC六、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。
求证：BD ＝2CEA B C D E F N 1图12342图A B C D E F M 1234A B C D E A B C D E F 4图A B C D N M P 5图12AB C D E 6图O7七、连接已知点，构造全等三角形。
例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。
八、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图10：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。
DBA110图O10图DC BAMN。
几种证明全等三角形添加辅助线的方法
几种证明全等三角形添加辅助线的方法在几何证明中，证明两个三角形全等是常见的任务之一、为了证明两个三角形全等，可以利用几何性质和辅助线的方法。
以下是几种常见的证明全等三角形添加辅助线的方法。
方法一：辅助线连接两个三角形的顶点和中点。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和中点来添加辅助线。
例如，可以连接点A和B的中点M，以及连接点D和E的中点N。
通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。
由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。
方法二：辅助线连接两个三角形的顶点和底边中点。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和底边的中点来添加辅助线。
例如，可以连接点A和D的中点M，以及连接点B和E 的中点N。
通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。
由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。
方法三：辅助线连接两个三角形的对应角的角平分线。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过连接每个三角形对应角的角平分线来添加辅助线。
通过连接辅助线，我们可以得到一些相似的三角形。
根据相似三角形的性质，我们可以得到一些相等的边和角。
通过观察这些相等的边和角，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。
方法四：辅助线连接两个三角形的中垂线。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过连接每个三角形的边的中点，然后连接这些中点的垂线来添加辅助线。
全等三角形的辅助线的常见添法
全等三角形的辅助线的常见添法一、前言全等三角形是初中数学中一个重要的概念，其性质和应用十分广泛。
在解决全等三角形相关问题时，辅助线的运用是非常常见的方法之一。
本文将介绍几种常见的全等三角形辅助线添法。
二、中线中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
在全等三角形的证明中，经常使用到中线。
1. 作平移假设有两个全等三角形ABC和DEF，需要证明它们完全重合。
可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，连接MN，并作平移使得BC重合于EF，即可证明ABC和DEF完全重合。
2. 作垂线假设有两个全等三角形ABC和DEF，需要证明它们完全重合。
可以在BC上取一点M，在EF上作MN垂直于EF，并延长至交于P，则BP=FP，CP=EP，因此可以通过SAS（边-角-边）准则证明ABC和DEF完全重合。
三、高线高线是从一个顶点向对边所在直线作垂线所得到的线段。
在证明两个直角三角形相似时常用到高线。
1. 作垂心假设有两个直角三角形ABC和DEF，需要证明它们相似。
可以在ABC 中作垂心H，连接AH、BH、CH，并在DEF中作DH垂直于EF，延长至交于K，则AK=DK，因此可以通过AA（角-角）准则证明ABC 和DEF相似。
2. 作中线假设有两个三角形ABC和DEF，其中BC=EF，需要证明它们相似。
可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，连接MN，并作垂线PH 垂直于MN且交于O，则PO为MN的中线。
由于BM=FN，BO=EO（因为PH平分MN），因此可以通过SAS准则证明ABC和DEF相似。
四、角平分线角平分线是从一个顶点出发将角分成两个相等的角所得到的线段。
在证明两个三角形相似时常用到角平分线。
1. 作等腰三角形假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠BAC=∠EDF且AC=DF，需要证明它们相似。
可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，并连接AN、BM以及CN与AM的交点为P，则AP=PN（因为AP是∠BAC 的平分线），BP=PM（因为BP是∠ABM的平分线），因此可以通过SAS准则证明ABC和DEF相似。
完整版)全等三角形常用辅助线做法
完整版)全等三角形常用辅助线做法证明三角形全等时，有时需要添加辅助线，对于初学几何证明的学生来说，这往往是一个难点。
下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们研究时参考。
一、截长补短当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法。
具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例如，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。
要证明AC=AE+CD，因为AE、CD不在同一直线上，所以在AC上截取AF=AE，只要证明CF=CD即可。
具体证明过程为：在AC上截取AF=AE，连接OF。
由于AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°，因此∠1+∠2=60°，∠4=∠6=∠1+∠2=60°。
显然，△AEO≌△AFO，因此∠5=∠4=60°，∠7=180°－（∠4+∠5）=60°。
在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC，因此△DOC≌△FOC，CF=CD，所以XXX。
另一个例子是在图甲中，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
要证明CD=AD+BC。
因为结论是CD=AD+BC，可以考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证明DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
具体证明过程为：在CD上截取CF=BC，如图乙，因此△XXX≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1.又因为AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠XXX°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，∴△XXX≌△ADE（ASA），∴DF=DA，因此CD=DF+CF，∴XXX。
全等三角形添加辅助线的方法
全等三角形添加辅助线的方法全等三角形是指具有相等边长和相等内角的两个三角形。
在解决几何问题中，我们经常需要证明或利用全等三角形的性质。
为了更方便地使用全等三角形，我们可以使用辅助线来帮助我们找到全等三角形。
接下来，我将详细介绍几种添加辅助线的方法。
1.中点连线法：在一个三角形中，我们可以通过连接两个边的中点来构造一个平行边。
如果两个三角形的对应边都是平行的，并且两个三角形的第三边相等，那么这两个三角形是全等的。
因此，通过画出中点连线，我们可以找到两个全等的三角形。
例如，在一个三角形ABC中，我们可以通过连接边AB和AC的中点D和E来构造一个平行四边形DCBE。
然后，我们可以继续连接BE和CD，并连接AD和CE，这样就构成了两个全等三角形ADE和CDE。
通过使用这种方法，我们可以更方便地证明或利用全等三角形的性质。
2.高度法：对于一个三角形ABC，我们可以通过作其高来构造两个全等的三角形。
三角形ABC的高是指从顶点到对边的垂直线段。
如果两个三角形的高相等，并且它们的底边相等，那么这两个三角形是全等的。
因此，通过作两个三角形的高，我们可以找到两个全等的三角形。
例如，在一个三角形ABC中，我们可以通过作高AD和高BE来构造两个全等的三角形ABD和ACE。
通过使用这种方法，我们可以更方便地证明或利用全等三角形的性质。
3.角平分线法：对于一个三角形ABC，我们可以通过作角平分线来构造两个全等的三角形。
三角形ABC的角平分线是指从角的顶点到对边的线段，将角分为两个相等的角。
如果两个三角形的相应角相等，并且它们的底边相等，那么这两个三角形是全等的。
因此，通过作两个三角形的角平分线，我们可以找到两个全等的三角形。
例如，在一个三角形ABC中，我们可以通过作角平分线AD和角平分线BE来构造两个全等的三角形ADC和BEC。
通过使用这种方法，我们可以更方便地证明或利用全等三角形的性质。
4.相似三角形法：对于两个相似的三角形ABC和DEF，如果它们的对应边比例相等，那么它们是全等的。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是咼频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目, 不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：证明:延长BA, CE交于点Xl、倍长中线法遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点•延长AD至点E,使得DE = AD，并连接BE,贝UAADC 也zEDB (SAS)我们来看一个例题:三、遇角平分线作双垂线法在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧!例 3；已知，如SLAC 平分ZBAD, CD=CB, AB>AD, 求证畫ZB+ZADC=18O0・AC证明：作CE丄AB于E,CF丄AD于F. TAC 平分 ZBADr ACE=CF.在 RtACBE 和RtACDF 中,％心RtACBE^RtACDF (HL),二ZB二ZCDF,VZCDF+ZADC=180° , A ZB+ZATC=180°四、作平行线法在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
例4如ffl, A ABC中,是朋上一点,F是AC延长线上一点，连EF交BC于D,若EB=CF.求证當DE=DF.五、截长补短法题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系例6；如图甲.AD/BC.点E 在线段AB 上.ZADE 二ZCDE, ZDCE=ZECB,求证：CRAMBU证明：在CD 上截取CF-BC.如图乙(T - < Ji在厶 FCE^ABCE 中 - netCE CLAAFCE^ABCE(SAS), .\Z2=Z1- 又VAD/7BC,AZADC+ZBCD^180° , :.ZXE+ZCDE=90<>, /- Z2+Z3=90* , •\ ZUZ4=90° . :. Z3=Z14 LH 3)1加十 z5 = Z4A AFDE^AADli (ASA) , ADF-DAr 又 VCD=DF+CF, <\CD=AD+BC O D D{。
全等三角形六种常用辅助线的添加方法和技巧
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三角形中14种辅助线添加方法
三角形中14种辅助线添加方法三角形是几何学中的基本图形之一，是由三条边和三个内角组成的闭合图形。
在解决三角形相关问题时，为了更好地理解和分析三角形的性质，可以通过添加辅助线来辅助我们的思考。
添加辅助线的方法有很多种，下面将介绍三角形中的14种常见的辅助线添加方法。
1.中垂线：通过三角形的三个顶点与对边的中点相连的线段。
中垂线可以相互垂直且交于同一点，称为三角形的垂心。
2.角平分线：从三角形的一个内角的顶点出发，将这个内角平分成两个相等的角的直线。
三角形的三条角平分线交于一点，称为三角形的内心。
3.高线：从三角形的顶点到对边的垂线，与对边垂足构成的线段。
三角形的三条高线交于一点，称为三角形的垂心。
4.中线：三角形两个顶点的中点连线。
三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心。
5.对角线：连接三角形两个不相邻的顶点的线段。
6.垂直平分线：连接三角形一边的中点与该边上的顶点的直线，且与相对边垂直。
7.旁切线：从三角形的一个顶点开始，与对边相切于三角形外接圆的线段。
8.中辅线：连接三角形两个边的中点的直线。
9.内外角平分线：从三角形顶点开始，将相邻内角或外角平分成两个相等的角的直线。
10.黄金分割线：三角形的一条内角平分线与对边上适当位置的点相连接形成的线段，使得线段的两侧比例相等。
11.斜边中线：从三角形两个锐角的顶点开始，与斜边的中点相连的直线。
12.顶点角平分线：连接三角形一个顶点与另外两个相邻顶点的内角平分线。
13.倍长边线：将三角形中两个边的一部分向外延伸，与第三条边相交的直线。
14.平行线：与三角形的其中一边平行的线段。
以上是三角形中的14种常见的辅助线添加方法，通过添加辅助线可以帮助我们更好地理解和分析三角形的性质，解决三角形相关的问题。
在实际运用中，我们可以根据具体情况选择适合的辅助线添加方法，以便更好地解决问题。
完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法
完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法个性化教案：全等三角形复课适用学科：数学适用区域：通用适用年级：初中二年级课时时长：120分钟，涵盖全等三角形的性质和判定方法教学目标：1.熟练掌握全等三角形的性质和判定方法2.学会用应用全等三角形的方法解决几何问题3.学会做辅助线证明三角形全等，掌握常用的几种作辅助线的方法4.通过研究全等三角形，提高学生观察能力和分析能力教学过程：本次课程将重点介绍四种构造全等三角形的方法，并通过具体的例子进行讲解。
一、延长中线构造全等三角形在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。
例如，当AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
我们可以延长AD至E，使AD＝DE，连接CE，从而得到AB＋AC＞2AD的结论。
二、沿角平分线翻折构造全等三角形在△ABC中，若∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C，我们需要证明AB＋BD＝AC。
此时，我们可以将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，然后连接ED，得到BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C，EC＝ED＝BD，从而得到AB＋BD＝AC的结论。
三、作平行线构造全等三角形在△ABC中，若AB＝AC，E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F，我们需要证明EF＝FD。
此时，过E作EM∥AC交BC于M，根据角度的对应关系，可以得到EF＝FD的结论。
四、作垂线构造全等三角形在△ABC中，若∠BAC＝90°，AB＝AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，我们需要证明∠AMB＝∠XXX。
此时，作CF⊥AC交AD的延长线于F，根据角度的性质，可以得到∠AMB＝∠DMC的结论。
通过研究以上四种构造全等三角形的方法，学生可以掌握全等三角形的性质和判定方法，并学会用应用。
同时，通过解决具体的几何问题，可以提高学生的观察能力和分析能力。
1、已知AD=AE,AB=AC。
全等三角形中辅助线的添加
全等三角形中辅助线的添加标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。
二．知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述（1）作线段：连接……；（2）作平行线：过点……作……∥……；（3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……；（4）作中线：取……中点……，连接……；（5）延长并截取线段：延长……使……等于……；（6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；（7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；（8）作一个角等于已知角：作角……等于……。
2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：（1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。
（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。
①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。
（3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。
（4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。
（5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。
（6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。
三、基本模型：（1）△ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BE方式3：延长MD到N，使DN=MD，连接CD（2）由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD（3）角分线，分两边，对称全等要记全角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）D CB A （4） ①旋转：方法：延长其中一个补角的线段（延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF ）结论：①MN=BM+DN ②AB C CMN 2=∆ ③AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM②翻折：思路:分别将△ABM 和△ADN 以AM 和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M 、P 、N 三点共线.（∠B+∠D =0180且AB=AD ）（5）手拉手模型①△ABE 和△ACF 均为等边三角形结论：（1）△ABF ≌△AEC ；（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）；（3）OA 平分∠EOF 拓展：条件：△ABC 和△CDE 均为等边三角形结论：（1）、AD=BE （2）、∠ACB=∠AOB （3）、△PCQ 为等边三角形 （4）、PQ ∥AE （5）、AP=BQ （6）、CO 平分∠AOE （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （（7），（8）需构造等边三角形证明） ②△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形 结论：（1）、BE =CD （2）BE ⊥CD ③ABEF 和ACHD 均为正方形结论：（1）、BD ⊥CF （2）、BD =CF变形一：ABEF 和ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ， 求证：①T 为FD 的中点. ②.ADF ABC S S ∆∆=方法一： 方法二： 方法三：变形二：ABEF 和ACHD 均为正方形，M 为FD 的中点，求证：AN ⊥BC④当以AB 、AC 为边构造正多边形时，总有：∠1=∠2=n360180-. 四、典型例题：考点一：倍长中线（或类中线）法：核心母题 已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.练习：1、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.2、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.3、如图，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB=∠ABC ，求证：CD=2CE 。
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合 作 探 究 （ 一 ）
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD， CE⊥AB于E，CD=CB，求证：∠ADC+∠B=180º 证明： F 过点C作CF⊥AD，交 D C AD的延长线于点F ∵ AC平分∠BAD，CE⊥AB， CF⊥AD ∴ CE=CF，∠CFD=∠CED=90° A B E 在Rt△CEB和Rt△CFD中 ∴∠B=∠CDF CF=CE ∵∠ADC+∠CDF=180° CD=CB ∴∠ADC+∠B=180° ∴ Rt△CEB≌Rt△CFD（HL）
G
F C D
E
B
A
达 标 测 评
2、已知AB∥CD,O为∠A，∠C的角平分线的交点， OE⊥AC于E，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距 离等于 4 。 G
0G=OE=2
0H=OE=2
OG+OH=4
H
达 标 测 评
3、如图，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证： ∠C+∠A=180°
F
E H
延长AB、DE相交于点G
∠1=∠G ∠1=∠2
D C
2
1
E
∠2=∠G
△ADE≌△AGE (AAS) AD=AG DE=EG △DCE≌△GBE
A
B
G
(1)AD=AG
(2)CD=BG
AD=AG=AB+BG=AB+CD
CD=BG
小 组 合 作 B ， 反思总结3： 展 示 对于线段的和差问题，可以 风 用 截长补短 的方法构造全 采 等三角形来证明。
利用辅助线构造三角形全等的常用方法 (一 )
主讲人：沈余霞
学校：城关中学
【学习目标】
熟练应用三角形全等判定定理，解决相应 的几何证明题； 了解几种比较常用的全等三角形辅助线的 添加方法，并能够简单运用； 通过学习合作和探讨辅助线构造三角形全 等的几种常用方法，培养学生处理和分析问题的 能力。
【学习重难点】
P O B
M
角平分线上的点到角两边的距离相等
1：如图，AC=BD,BC=AD,求证:∠C=∠D
C D
独 连接AB 立 思 考 A ， 2、已知，如图四边形ABCD，AB=CD， 完 AD=BC，求证：∠B=∠D。 A 成 连接AC 练 B 习 C
B
D
反思小结1：连接 图形中两个特殊点 ，构造 三角形全等 。
合 作 探 究 （ 二 ）
在DA上截取DF，使DF=DC，连接EF △CDB≌△FDE（SAS） ∠C=∠1 ∠C+∠B=180° ∠1+∠2=180°
D
C
F 1 2
E
∠B=∠2
A B
△AEF≌△AEB（AAS）
AB=AF AD=AF+DF=AB+CD
截长法
合 作 探 究 （ 二 ）
如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD和 ∠ADC，求证：AD=AB+CD。 补短法
重点：了解几种较为常用的全等三角形辅 助线的添加方法，比如截长补短法。 难点：利用辅助线解决相应的全等三角形 几何证明题。
1、证明两个三角形中角相等、线段相等的常用方
复 习 思 考
法是 证明三角形全等 。 2、三角形全等的判定定理有 SSS 、 SAS 、 AAS 、 ASA 、 HL 。 3、如图，已知OP平分∠AOB，PM⊥OB且PM=2，则 点P到OA的距离为 2 。 A
如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分 ∠BAC。求证：AC=AB+BD。 A
D
C
知 识 反 馈 本节课你的收获是什么？
1、已知，如图所示，AB=AC，BD=CD， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F ,求证：DE=DF
达 标 测 评
证明：连接AD 在△ACD和△ABD中 AC=AB CD=BD AD=AD ∴△ACD≌△ABD（SSS） ∴∠CAD=∠BAD ∴AD平分∠CAB 又∵DE⊥AE，DF⊥AF ∴ DE=DF
小 组 合 作 ， 展 示 风 采
如图，四边形ABCD，∠C=∠B=90°，点E为BC 的中点，且ED平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD。
D C
反思小结2： 利用角平分线的性 质，通过作 垂线AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD和 ∠ADE，求证：AD=AB+CD。