微分中值定理及其应用31
3_1 微分中值定理与导数应用
罗尔（Rolle）定理 罗尔（ ） 设函数 f ( x ) 满足条件： 满足条件： (1) f ( x )在闭区间[a , b] 上连续; 上连续; (2) 内可导; f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内可导; (3) 在区间端点的函数值相等，即 f (a ) = f (b ), 在区间端点的函数值相等， 那末在 ( a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使得函数 在该点的导数等于零， f ( x ) 在该点的导数等于零，即
利用泰勒公式证明不等式
上二阶可导， 例1 设函数 y = f ( x ) 在区间 [0,1]0, max f ( x ) = 2, 证明在 证明在(0,1)至少存在一 至少存在一
0 ≤ x ≤1
点 ξ , 使得 f ′′(ξ ) ≤ −16. 证
0 ≤ x ≤1
矛盾, 但 f ′( x ) = 5( x 4 − 1) < 0, ( x ∈ (0,1)) 矛盾,∴ 为唯一实根 .
拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (Lagrange)
如果函数f 满足下列条件 如果函数 (x)满足下列条件 (1) 在闭区间 b]上连续； 在闭区间[a, 上连续 上连续； (2)在开区间(a, b)内可导； )在开区间( )内可导； 那末在(a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使等式 f ( b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ) 成立. 成立.
即
f ′(ξ ) = 2ξ [ f (1) − f ( 0)].
泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor)
微分中值定理的应用
微分中值定理的应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它有着广泛的应用。
本文将讨论微分中值定理在各个领域中的应用，以展示该定理的实际价值。
首先，微分中值定理在物理学领域中被广泛应用。
在运动学中，通过对位移、速度和加速度的关系进行微分运算，并应用微分中值定理，可以得出物体在某一时刻的速度与实际速度之间的关系。
这对于分析物体的运动规律以及建立运动模型具有重要意义。
其次，微分中值定理在经济学领域中的应用也非常显著。
在经济学中，市场需求和价格之间存在着紧密的关系。
通过应用微分中值定理，可以得出在某一时刻市场均衡价格的存在性及其与市场需求的关系。
这对于制定经济政策、分析市场波动以及预测商品价格具有重要影响。
此外，微分中值定理在工程学领域也发挥着重要作用。
在工程设计中，经常需要估计材料的特性以及构件的强度。
通过应用微分中值定理，可以推导出在某一点上材料的变形与材料特性之间的定量关系，进而对构件的强度进行评估和优化。
另外，微分中值定理在计算机科学领域中也具有广泛的应用。
在图像处理中，通过应用微分中值定理，可以实现图像边缘检测和轮廓识别等计算机视觉任务。
此外，在机器学习和数据分析中，微分中值定理可用于优化算法和模型训练，提高模型的收敛速度和预测准确性。
总结来说，微分中值定理在物理学、经济学、工程学和计算机科学等领域中都有着广泛的应用。
这些应用凸显了微分中值定理在理论研究和实际问题解决中的重要性和实用性。
通过对微分中值定理的深入理解和应用，我们可以更好地理解自然规律和现象，并利用它们来推动科学技术的发展和社会进步。
总之，微分中值定理作为微积分中的重要定理，在各个领域中都有着广泛的应用。
通过运用微分中值定理，我们可以推导出各种现象之间的定量关系，从而提高问题的解决效率和准确性。
值得指出的是，微分中值定理只是微积分中的一个基础定理，它的应用远不止于此，它为我们开启了更深层次的数学探索和实践应用的大门。
对于理解微积分的精髓和掌握实际问题解决的方法论，微分中值定理的学习和应用是不可或缺的一部分。
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，也是微分学中的基本定理之一。
该定理通常用于研究函数在某一点的变化情况，可以推导出许多与函数极值、单调性、零点和曲率等相关的性质。
微分中值定理的数学表述如下：若函数f(x)在[a, b]区间内满足以下条件：1、f(x)在[a, b]区间内可导；2、f(a)和f(b)存在；则在[a, b]内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)其中，f'(c)表示在点c处的导数。
这个定理的意义可以用图示表示为以下：此外，微分中值定理也可以用于求函数的 Taylor 展开式和曲率等问题。
下面我们来看一些微分中值定理的应用实例。
例1：证明一次函数f(x) = kx + b的图像线性。
我们知道，要证明一条直线呈现线性图像，需要证明其斜率k是恒定不变的。
因此，我们可以利用微分中值定理进行证明。
由于f(x)是一个一次函数，因此它在[a, b]区间内可导。
我们设该区间的两个端点为a和b，于是由微分中值定理可知，在[a, b]区间内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)根据f(x) = kx + b的定义，我们可以计算出其导数：f'(x) = k因此，有：即k是[b, a]区间上两个点间f(x)的变化率的平均值。
也就是说，k是线性函数在任何两个点间斜率的平均值，从而证明了一次函数的图像呈现线性。
例2：证明一段周期函数的平均值等于零。
假设f(x)是一个具有周期T的函数，即f(x+T) = f(x)，我们需要证明其平均值为0，即：(1/T) * ∫f(x)dx = 0 （其中，积分区间为一个周期）我们首先对函数进行平移（或反演）操作，得到：由于g(x)的平均值为0，那么根据微分中值定理，我们可以得到：∃c∈[x, x+T]，使得g'(c) = g(x+T) - g(x) / T = 0即：由此可得：因此，f(x)的周期平均值为f(c)，而由于函数具有周期性，因此f(c)等于函数的平均值，即证明了我们的论点。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用一、本文概述《微分中值定理及其应用》是一篇深入探讨微分学中值定理及其在实际应用中的作用的学术性文章。
微分中值定理是数学分析领域中的一个核心概念，它建立了函数在特定区间内的变化与其导数之间的紧密联系。
本文旨在通过对微分中值定理的深入剖析，揭示其在理论研究和实际应用中的广泛价值。
文章首先介绍了微分中值定理的基本概念，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
这些定理不仅在数学分析中占有重要地位，而且在实际应用中发挥着重要作用。
接着，文章通过一系列实例展示了微分中值定理在几何、物理、工程等领域的应用，如曲线形状的判定、物体运动的分析、工程设计的优化等。
本文还关注微分中值定理在经济学、生物学等社会科学领域的应用。
通过引入这些领域的实际案例，文章进一步强调了微分中值定理在解决实际问题中的重要作用。
文章对微分中值定理的应用前景进行了展望，探讨了其在未来科学研究和技术发展中的潜在影响。
《微分中值定理及其应用》是一篇系统介绍微分中值定理及其在各个领域应用的综合性文章。
通过本文的阅读，读者可以全面了解微分中值定理的基本知识和应用技巧，为深入研究和实际应用打下坚实基础。
二、微分中值定理概述微分中值定理是微积分理论中的核心内容之一，它揭示了函数在某区间内与导数之间的紧密联系。
这些定理不仅为函数的研究提供了重要的工具，还在解决实际问题中发挥了重要作用。
微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。
罗尔定理是微分中值定理的基础，它指出如果一个函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，并且区间两端点的函数值相等，那么在这个开区间内至少存在一点，使得该点的导数值为零。
拉格朗日定理是罗尔定理的推广，它进一步指出，如果存在满足上述条件的点，那么该点的导数值等于函数在区间两端点值的差与区间长度的商。
柯西定理则是拉格朗日定理的推广，它涉及到两个函数在相同区间上的性质。
这些定理在实际应用中具有广泛的价值。
微分中值定理的应用小结
微分中值定理的应用小结微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它在实际应用中有着广泛的应用。
下面我们将总结一下微分中值定理的应用。
微分中值定理分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理两种形式。
它们都是从微分的角度出发，研究了函数在一定条件下的均匀变化规律，因此在实际应用中具有重要的意义。
下面我们将从几个方面来讨论微分中值定理的应用。
一、曲线的切线微分中值定理最基本的应用之一就是用来求曲线上某点的切线。
当我们需要求曲线在某一点的切线时，可以先求出该点的导数，然后根据微分中值定理，可以得到该点的切线的斜率，从而得到切线的方程。
这在工程计算和物理问题中有广泛的应用，如求曲线上某一点的切线斜率，可以用来分析曲线在该点的变化趋势，从而得出相关的结论。
二、误差估计微分中值定理还可以用来进行误差估计。
在实际测量和计算中，往往难以得到准确的数值，只能得到数值的近似值。
此时，我们可以利用微分中值定理来进行误差估计。
通过对函数进行微分，可以得到函数在某一点附近的变化规律，从而可以利用微分中值定理来估计函数值的误差范围，这在工程测量和科学实验中有着重要的应用。
三、最优化问题微分中值定理还可以用来解决最优化问题。
最优化问题是指在一定条件下寻找函数的极值点的问题，常常出现在工程设计和经济管理中。
通过对函数进行微分，可以得到函数在某一点的变化规律，从而可以利用微分中值定理来寻找函数的极值点，从而得到最优解。
这在工程设计和市场调研中有着广泛的应用。
四、速度和加速度在物理学中，微分中值定理也有着重要的应用。
通过对物体的位置函数进行微分，可以得到物体的速度函数；再对速度函数进行微分，可以得到物体的加速度函数。
从而可以利用微分中值定理来分析物体的运动规律，这在工程设计和交通管理中有着广泛的应用。
微积分31微分中值定理省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
比如,
x2 -1 x 1
f (x)
0 x 1
f (0) 0
0 1X
第6页
例1 证明方程 x5 x 1 0 有且仅有一个正实根 . 证: 1）存在性
设 f ( x) x5 x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 1. 由零点定理
x0 (0,1),使 f ( x0 ) 0. 即为方程正实根.
f ( x) a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n o( x x0 )n
Pn ( x)
Rn ( x)
误差 Rn( x) f ( x) Pn( x)
第18页
2 Pn和 Rn的确定
近似程度越来越好
分析:
1.若在 x0 点相交
y
Pn ( x0 ) f ( x0 )
在(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b) 内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
第13页
几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有
一点C(F (), f ()),在
该点处的切线平行于
A
X F(x)
C
Y
f (x)
M
B
N
D
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
第12页
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x)
微分中值定理及导数的应用
积分因子法
通过引入一个积分因子，将微分方程转化为可解的一 阶线性方程组。
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微分中值定理及导数的应用
目录
• 微分中值定理 • 导数的定义与性质 • 导数在函数中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步研究
01
微分中值定理
微分中值定理的定义
微分中值定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可 导，则存在$c in (a, b)$，使得$f'(c) = frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
导数与积分的关系
牛顿-莱布尼兹公式
用导数和积分相互转化的方式，将定积分转化为求和的 形式，从而简化计算。
微积分基本定理
定积分可以表示为被积函数的一个原函数在积分上下限 的函数值的差，即牛顿-莱布尼兹公式的特殊形式。
导数与微分方程
微分方程
描述一个变量关于另一个变量的导数等于某个给定函 数的方程。
初值问题
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数在数值分析中有着广泛的应用，例如在求解微分方程、 积分方程和线性代数方程时，导数可以帮助我们找到近似 解。
图像处理
在图像处理中，导数可以帮助我们进行边缘检测、图像滤 波和图像增强等操作，从而提高图像的清晰度和质量。
信号处理
在信号处理中，导数可以用来分析信号的变化趋势和频率 特征，例如在音频处理和图像处理中，导数可以帮助我们 提取信号中的重要信息。
详细描述
如果一个函数在某区间的导数大于0， 则该函数在此区间单调递增；如果导 数小于0，则函数单调递减。
最新31微分中值定理汇总
31微分中值定理第一节中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。
教学重点：罗尔定理、拉格朗日定理的应用。
教学过程：一、罗尔定理定理1：若函数f(x) 满足：（i）f(x) 在 [a,b] 上连续；（ii）f(x) 在（a,b）可导，（iii）f(a) =f(b), 则在（a,b）内至少存在一点，使得f«Skip RecordIf...»(«Skip Record If...»)=0.证明：由（i）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此时，又有二种情况：（1）M=m，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)＝M=m，«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝0，因此，可知«Skip Record If...»为（a,b）内任一点，都有f«Skip RecordIf...»(«Skip Record If...»)＝0。
（2）M>m,此时M和m之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M«Skip Record If...»f(a)（对m«Skip Record If...»f(a)同理证明），这时必然在（a,b）内存在一点«Skip Record If...»，使得f(«Skip Record If...»)=M,即f(x)在«Skip Record If...»点得最大值。
下面来证明：f«Skip RecordIf...»(«Skip Record If...»)=0首先由（ii）知f«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)是存在的，由定义知：f«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)=«Skip Record If...»«Skip Record If...»…….(*)因为«Skip Record If...»为最大值，«Skip Record If...»对«Skip Record If...»有 f(x) «Skip Record If...»M«Skip Record If...»f(x)－M«Skip Record If 0当x>«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»0 当x<«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»«Skip Record If 0又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，然而，又有«Skip Record If...»和«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
微分中值定理及其应用
第五章 微分中值定理及其应用§1 微分中值定理引言在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。
一 费马定理定义1（极值） 若函数f 在区间X 上有定义，0x X ∈。
若存在0x 的邻域0(,)O x δ，使得对于任意的0(,)x O x δ∈，有0()()f x f x ≥，则称f 在点0x 取得极大值，称点0x 为极大值点。
若存在0x 的邻域0(,)O x δ，使得对于任意的0()x U x ∈，有0()()f x f x ≤，则称f 在点0x 取得极小值，称点0x 为极小值点。
极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。
极值存在的必要条件――费马定理费马定理 若函数在点0x 的邻域内有定义，且在点0x 可导。
若0x 为f 的极值点，则比有0()0f x '=。
几何意义：可导极值点的切线平行于x 轴。
由费马定理可知, 可导极值点是稳定点，反之不然。
如3()f x x =,点x=0是稳定点，但不是极值点。
二 中值定理Lagrange 定理 若函数f 满足以下条件：（1）f 在[],a b 上连续；（2）f 在(),a b )内可导。
则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-。
特别地，当()()f a f b =时，有如下Rolle 定理：Rolle 定理 若f 满足如下条件：（1）()f x 在[],a b 上连续；（2）()g x 在(),a b )内可导；（3）()()f a f b =，则存在ξ∈(),a b ，使得()0f ξ'=。
微积分中值定理及其应用
微积分中值定理及其应用
微积分的值定理是一个很重要的定理，它通常被用来求解复杂函数的积
分值。
值定理告诉我们，任何一个定义在实数段上的函数f在范围
（a≤x≤b）上至多只有一个不变点，并且它等于函数f在这个范围上的积
分值c=∫a﹣b f（x）dx。
值定理有多种不同的应用，广泛用于函数积分、函数极限以及定积分的
解决。
用值定理求积分的方法通常称为值定理逼近法。
首先，将一个积分表
达式分解为多个函数的积分，然后利用值定理的思想，将这些函数的积分求出，最后，将这些函数的积分求和，即可得到原积分表达式的积分结果。
值定理也可以用来求解函数极限，即当函数f(x)在x=a处取极值时，将
该函数积分以得到极限。
这实际上是应用积分来求取极限的一种方法，也称
为值定理极限法或积分极限法。
它的原理是，当函数取到极值时，把它积分，就会把该函数的参量控制，也就可以使函数的值趋近极限的值，即求解函数
的极限。
值定理也被广泛应用于定积分的解决中。
定积分是由函数和定义域定义
的定积分问题，要求该函数在这个定义域上积分的结果。
一般来说，将定积
分分解为若干函数的积分，然后运用值定理解决，即将它们的积分和加起来，得到定积分问题的答案。
以上就是关于微积分中值定理及其应用的简单介绍。
它是微积分中一个
重要的定理，在函数积分、极限以及定积分的解决中应用的非常广泛，具有
极大的实际意义。
微分中值定理在中学数学中的应用
微分中值定理在中学数学中的应用微分中值定理主要是对一系列中值定理的概括，对研究函数有至关重要的作用。
与其相关的定理主要有罗尔中值定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理，发挥其在中学数学中的应用将是推动数学进步的重要保证。
一、微分中值定理的相互关系1.微分中值定理微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理。
其中罗尔定理中，当函数y=f（x）能够满足闭区间[a，b]连续；开区间（a，b）可导；f（b）=f（a），至少会存在一点ζ∈（a，b）使f ′（ζ）=0。
拉格朗日中值定理中，当函数满足y=f（x）[a，b]闭区间连续，（a，b）开区间可导，则存在一点ζ∈（a，b），使得f′（ζ）=.柯西中值定理中，当函数y=g（x）与y=f（x）满足闭区间[a，b]连续；开区间（a，b）可导，且f ′（x）和g ′（x）都不为0，g（a）≠g（b），将至少有一点ζ∈（a，b），使得=.由此可见，拉格朗日中值定理与柯西中值定理都会涉及到罗尔定理，而且在前提条件方面都比较接近，因此下文中将会对三者之间的关系进行探析。
2.微分中值定理的相互联系罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理三者之间的关系主要体现在由一般到特殊，再由特殊到一般。
当柯西中值定理条件下g（x）=x，定理将转变为拉格朗日中值定理，如果再使f（a）=f（b），又会转化为罗尔中值定理。
换言之，柯西中值定理的特殊情况是拉格朗日中值定理，而拉格朗日中值定理的特殊情况是罗尔中值定理。
（1）从理论角度，很多情况下，至少有一点ζ能够使此函数在该区间上的导数值与函数值保持一定的等量关系。
而且定理的中值ζ在通常条件下很难发现，但对于定理理论研究与应用价值没有过多的影响。
因此，对中值定理的掌握，必须要将三者在条件、证明方法、结论及几何解释方面正确分析，使三个中值定理的关系在相互联系的情况下可以进行区分。
（2）拉格朗日中值定理与柯西中值定理在证明方法上都需应用罗尔定理，以构造新函数的方法得出结论。
《高等数学课件：微分中值定理及其应用》
总结及展望
微分中值定理的应用 前景
微分中值定理在数学、物理、 工程、生物等领域都有着广泛 的应用，并且仍有很大的拓展 空间。
பைடு நூலகம்微分中值定理在其它 学科的应用
微分中值定理不仅在数学中有 着广泛的应用，还被用于描述 自然界中各种现象，如气体分 布、电场、声波等。
未来研究方向
未来的研究方向包括微分中值 定理的进一步推广、新的微分 中值定理的发现、微分中值定 理的计算机化研究等。
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是微分中 值定理的基本形式之一，它 不仅易于掌握，而且具有广 泛的应用。
多元函数微分中值定理
多元函数微分中值定理是微 积分学中的重要内容之一。 与单变量函数的微分中值定 理不同的是，多元函数微分 中值定理中需要用到偏导数 的概念。
微分中值定理的应用
函数极值问题
微分中值定理在函数极值问题中 有广泛应用，可以用来证明存在 极值，求出极值等。
弧长公式及其应用
泰勒公式及其应用
微分中值定理可以用来证明弧长 的计算公式，进而在计算弧长、 曲率半径等方面有着重要的应用。
泰勒公式是微积分学中的重要内 容之一，其应用涉及到数值计算、 极值、最小二乘拟合、函数逼近 等方面。
微分中值定理的证明
1
利用可导函数的解析表示证明微
2
分中值定理
微分中值定理可以通过用可导函数的解
1 广义中值定理
2 高阶微分中值定理
广义中值定理是微分中值定 理的一般化，它允许函数在 某些点上不必连续或不可导。
高阶微分中值定理是微积分 学中的重要内容之一，它比 基本的微分中值定理更加深 入，适用范围也更广。
3 各类变形微分中值定理
除了基本的微分中值定理、广义中值定理、高阶微分中值定理外，还 有各种各样的变形微分中值定理，如反常中值定理、位相中值定理等。
31 微分中值定理
证 f ( x)在 [a,b] 连续，必存在最大值 M 和最小 值 m.
(1) 若M m, 则 f ( x) M . 故 (a,b), 都有 f ( ) 0.
(2) 若 M m, f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得.
x) x
f ( x0 ) 0.
费马引理
证 不妨设 x U( x0 )时，f ( x) f ( x0 ).
则对 x0 x U( x0 ), 有 f ( x0 x) f ( x0 ),
从而 当 x
0
时， f
( x0
x) x
f
( x0 )
0;
当
x
我们在第二章第一节中已证明过函数 f ( x)在 x 0
处是不可导的, 因此不满足在开区间可导的条件,
虽然 f ( x) 在 [1,1]内是连续的, 且有
f (1) f (1),
但是没有水平切线.
罗尔定理的条件与结论
罗尔定理的三个条件是十分重要的, 如果有一个不 满足, 定理的结论就可能不成立. 下面分别举例说 明之:
罗尔定理的三个条件是十分重要的, 如果有一个不 满足, 定理的结论就可能不成立. 下面分别举例说 明之:
1.
f
(
x)
|
x
|
1, x,
x0 0 x1
易见函数 f ( x)在闭区间 [0,1] 的左端点 x 0 处间
断,不满足闭区间连续的条件, 尽管f ( x)在开区间
(0,1) 内存在, 且 f (0) f (1) 1, 但显然没有水平
微分中值定理教案
§3. 1 中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理首先，观察图1. 设曲线弧 是函数[]) ,)((b a x x f y ∈=的图形. 这是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两 个端点的纵坐标相等，即)()(b f a f =．可以发现曲线的最高点或最低 点C 处, 曲线有水平的切线. 如果记C 点的横坐标为ξ，那么就有0)(='ξf现在用分析语言把这个几何现象描述出来，就是下面的罗尔定理. 为了应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理.费马（Fermat ）引理 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的)(0x U x ∈，有 )()(0x f x f ≤ （或)()(0x f x f ≥）， 那么0)(0='x f .证明 不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤ （如果)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）.于是，对于)(00x U x x ∈∆+,有 )()(00x f x x f ≤∆+， 从而当0>∆x 时，0)()(00≤∆-∆+xx f x x f ；当0<∆x 时，0)()(00≥∆-∆+xx f x x f .根据函数)(x f 在0x 可导的条件及极限的保号性，便得到0)()(lim )()(0000≤∆-∆+='='+→∆+x x f x x f x f x f x ， .0)()(lim )()(0000- 0≥∆-∆+='='-→∆xx f x x f x f x f x所以，0)(0='x f .证毕. （通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点））罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.证明 由于)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，)(x f 在闭区间[]b a ,上必定取得它的最大值M 和最小值m ．这样,只有两种可能情形：(1)M ＝m ．这时)(x f 在区间[]b a ,上必然取相同的数值M ：)(x f ＝M ．由此，),(b a x ∈∀,有0)(='x f .因此，任取),(b a ∈ξ，有0)(='ξf ．(2)M ＞m ．因为)()(b f a f =，，所以M 和m 这两个数中至少有—个不等于)(x f 在区间[]b a ,的端点处的函数值．为确定起见，不妨设M )(a f ≠(如果设m )(a f ≠，证达完全类似)．那末必定在开区间(b a ,) 内有一点ξ使=)(ξf M ．因此，[]b a x ,∈∀ ，有)()(ξf x f ≤，从而由费马引理可知0)(='ξf .定理证毕. 注 证明方程有根，一是用零点定理，二是用罗尔定理.图1⌒AB例1 设)(x f 在[]1,0上连续，)1,0(内可导，且1)21(,0)1()0(===f f f ，试证：至少存在一个)1,0(∈ξ，使1)(='ξf . 证明： 令x x f x F -=)()(，则0)0(=F ，21)21(=F ，1)1(-=F .由闭区间上连续函数的零点定理可知，存在)1,21(∈η，使0)(=ηF .再由罗尔定理得，至少存在一个)1,0(),0(⊂∈ηξ，使0)(='ξF ，即1)(='ξf .二、拉格朗日中值定理罗尔定理中)()(b f a f =这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制．如果把)()(b f a f =这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那末就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理．拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a ,<b ), 使得等式 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ) 成立.在证明之前，先看一下定理的几何意义.如果把（1）式改写成)()()(ξf a b a f b f '=--，由图2可看出，ab a f b f --)()(为弦AB 的斜率，而)(ξf '为曲线在点C 处的切线的斜率．因此拉格朗日中值定理的几何意义是；如果 连续曲线)(x f y =的弦AB 上除端点外处处具有不垂直于x 那末这弧上至少有一点C ，使曲线在C 点处的切线平行于弦AB ．从罗尔定理的几何意义中(图1)看出，由于)()(b f a f =，弦AB 是平行于x 轴的，因此点C 处的切线实际上也平行于弦AB ．由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理．但在拉格朗日中值定理中，函数)(x f 不一定具备)()(b f a f =这个条件，为此我们设想构造一个与)(x f 有密切联系的函数)(x φ(称为辅助函数)，使)(x φ满足条件)()(b a φφ=．然后对)(x φ应用罗尔定理，再把对)(x φ所得的结论转化到)(x f 上，证得所要的结果．我们从拉格朗日中值定理的几何解释中来寻找辅助函数，从图3—2中看到，有向线段NM 的值是x 的函数，把它表示为)(x φ,它与)(x f 有密切的联系，当a x =及b x =时，点M 与点N 重合，即有0)()(==b a φφ．为求得函数)(x φ的表达式，设直线AB 的方程为)(x L y =，则)()()()()(a x ab a f b f a f x L ---+=,由于点M 、N 的纵坐标依次为)(x f 及)(x L ，故表示有向线段NM 的值的函数)()()()()()()()(a x ab a f b f a f x f x L x f x -----=-=φ.下面就利用这个辅助函数来证明拉格朗日中值定理．定理的证明: 引进辅函数 令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-ab a f b f --)()((x -a ).容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-ab a f b f --)()(.根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即 f '(ξ)-ab a f b f --)()(=0.图2由此得ab a f b f --)()(= f '(ξ) , 即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立. 拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而 f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下推论:推论1 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数. 例2. 证明当x >0时,x x xx <+<+)1ln(1. 证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。
微分中值定理的应用小结
微分中值定理的应用小结微分中值定理是微积分中的重要定理，它描述了函数在某一区间内的平均速率与瞬时速率之间的关系。
利用微分中值定理，我们可以解决一些与平均速率、瞬时速率和变化率有关的实际问题，比如求解曲线在某一点的斜率、判断函数在某一区间内的增减性等等。
在这篇文章中，我们将介绍微分中值定理的应用，并通过实际例子来说明如何利用微分中值定理解决实际问题。
一、微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理，它描述了函数在某一区间内的平均速率与瞬时速率之间的关系。
微分中值定理有两种形式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
在这里我们主要讨论拉格朗日中值定理，它的表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = (f(b) - f(a)) / (b - a)其中f'(ξ)表示函数f(x)在点ξ处的导数。
二、求解曲线在某一点的斜率利用微分中值定理，我们可以求解曲线在某一点的斜率。
我们要求解函数y = x^2在点x = 2的斜率。
首先我们需要计算函数在区间[1, 3]上的平均速率：然后根据微分中值定理，存在一个ξ∈(1, 3)，使得f'(ξ) = 4。
函数y = x^2在点x = 2的斜率为4。
三、判断函数在某一区间内的增减性f'(x) = 3x^2然后根据微分中值定理，存在一个ξ∈(0, 2)，使得f'(ξ) = (f(2) - f(0)) / (2 - 0) = 2ξ^2。
由此可知，当ξ>0时，f'(ξ)>0；当ξ<0时，f'(ξ)<0。
函数y = x^3在区间[0, 2]上是递增的。
四、其他应用除了上述两个例子外，微分中值定理还可以应用于其它实际问题的求解。
利用微分中值定理可以证明罗尔定理和拉格朗日中值定理等，也可以用于解决曲线的凹凸性问题、优化问题等。
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微分中值定理及其应用陈锋（吉首大学数学与统计学院，湖南吉首 416000）摘要：微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理, 它是沟通函数与其导数的桥梁.本文以例题形式综合、总结了微分中值定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等几个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解.关键词：微分中值定理；拉格朗日中值定理；泰勒公式.The Differential Mean-value Theorem and It ApplicationChen Feng(College of Mathematics and Statistical Institute, Jishou University,Jishou Hunan,416000) Abstract：The mid-value theorems is very important in mathematics analysis,it is the basic theorem communication function of the relationship between itsderivative bridges. This paper introduced the case form mid-value theorem in themathematical analysis, this paper discusses the application of mid-value theoremin the limit, proof inequality; and determine the existence of root from severalaspects such as the application to deepen the understanding of differentialmid-value theorem.Key Words: Differential mean value theorem in ；Lagrange；Taylor formula.1 引言导数是刻画函数在某一点变化率的数学模型，它所反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何种关系，微分中值定理正式对这一问题的理论诠释.微分中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系.微分中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型，是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具.其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广.本文以例题形综合、总结了微分中值定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等几个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解.其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性问题，是微分中值定理的重要应用，也是本文探讨的重点.充分理解并掌握微分中值定理的相关知识，能够利用微分中值定理解决实际应用问题.2 预备知识由于微分中值定理与连续函数紧密相关，因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理.定理2.1[1](有界性定理) 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 有界.即∃常数0M >,使得[],x a b ∀∈有|()|f x M <.定理2.2[1] (最大值、最小值定理) 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上有最大值与最小值. 定理2.3[1](介值定理) 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠若μ为介于()f a 与()f b 之间的任意实数(()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<)，则至少存在一点0(,)x a b ∈使得0()f x μ=.3 相关的几个重要定理定理3.1[2](费马定理) 设()f x 在0x 的某领域内有定义,且在点0x 可导，若0x 为()f x 的极值点，则必有 '0()0f x =定理3.2[2](罗尔定理) 若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[],a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 '()0f ξ=定理3.3[2](拉格朗日中值定理) 若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[],a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()()()f b f a f b a ξ-=- 定理3.4[2](柯西中值定理)设函数()f x 和()g x 满足：（1）()f x 在闭区间[],a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）'()f x 和'()g x 不同时为零；（4）()()g a g b ≠,则存在(,)a b ξ∈，使得''()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ-=- 定理 3.5[2](泰勒公式) 若()f x 在[],a b 上有直到n 阶连续导数，在区间(,)a b 存在1n +阶导数，则[]0,,x x a b ∀∈,有()(),)()!1()()(!)()(!2)()(!1)(10)1(00)(00000++-++-+⋅⋅⋅+-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ4 微分中值定理的应用4.1证明等式例 1 设函数()f x 在[]b a ,(0a >)上连续，在()b a ,上可导，证明：存在(,)a b ξ∈使得'()()()ln b f b f a f aξξ-=.证明：设()ln g x x =，显然它在[]b a ,上与()x f 都满足柯西中值定理条件，故存(,)a b ξ∈使'()()()1ln ln f b f a f b a ξξ-=- 整理得'()()()lnb f b f a f a ξξ-= 例2[3] 设()f x 在[]0,1上有三阶导数，且(0)(1)0f f ==，设3()()F x x f x =，试证在(0,1)内至少存在ξ，使得'''()0F ξ=证明：由题设可知()F x , ''''''(),(),()F x F x F ξ在[]0,1上存在，又(0)(1)F F =,由罗尔中值定理，1(0,1)ξ∃∈使得'1()=0,F ξ又'23'0(0)[3()()]|0x F x f x x f x ==+=，可知'()F x 在1[0,]ξ满足罗尔中值定理,于是21[0,]ξξ∃∈，使得''2()0F ξ=又''2'3''0(0)[6()6()()]|0x F xf x x f x x f x ==++=对''()F x 存在1(0,)(0,1)ξξ⊂⊂使'''()0F ξ=4.2证明不等式不等式是数学中的重要内容和工具.在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用.主要体现在两个方面：(1)已知函数导数利用拉格朗日定理证明涉及函数（值）的不等式.(2)已知函数的高阶导数利用泰勒公式，证明涉及函数（值）或低阶导函数（值）的不等式.例 3 证明不等式 )0(,arctan 12><<+h h h h h 证明：令()arctan f x h =,则()f x 在[0,]h 上满足Lagrang 中值定理的条件,所以至少存在一点(0,)h ξ∈，使得'2arctan arctan arctan 0()(0)1h h h f h ξξ=-=-=+ .arctan 1,02h h h h h <<+<<所以有因为ξ 例 4 证明当e a b >>时，有a b b a >.分析：要证a b b a >成立，只要证a b b a ln ln > 成立，只要证bb a a ln ln > 成立， 证明：在[,]a b 上定义函数()xx x f ln =，由()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导,且()0ln 1ln 122'<-=-=xx x x x xx f ,于是()()()()0ln ln '<-=-=-a b f a f b f b b a a ξ， 即 bb a a ln ln >成立.知b a a b ln ln >成立，即 a b b a ln ln >成立，所以a b b a >成立.小结：利用拉格朗日中值定理证明不等式其步骤为：第一步：根据特征不等式构造一个合适的函数()f x ，使不等式的一边是函数在区间[,]a b 上的增量()()f b f a -；第二步：验证()f x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，并应用定理使得等式的另一边转化为'()()f b a ξ-；第三步：把'()f ξ适当放大或缩小.4.3求极限对于某些求极限的问题,当使用洛必达法则求极限计算量较大时,微分中值定理则为求这样一些较难的极限提供了一种简单有效的方法.选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理并结合其导数的特点及极限的迫敛性求得最终结果.例 5 求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→1112lim n n n a a n ,其中0>a . 解：对()x a x f =(0,1)a a >≠应用拉格朗日中值定理,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→1112lim n n n a a n =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯=∞→111lim ;2n n a n x xn ξ =()1ln lim 2+∞→n n a a n n ξ =a ln 其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈n n 1,11ξ.显然当1a =时，结论也对. 4.4 证明方程根的存在性例 6[4]设i a R ∈(0,1,2,,)i n = 且满足1200231n a a a a n ++++=+ ,证明方程 20120n n a a x a x a x ++++= 在(0,1)内至少有一个实根.证明： 引进辅助函数231120()231n n a a a F x a x x x x n +=+++++ ， 显然(0)(1)0F F ==，()F x 又是多项式函数，在[0,1]上连续，在(0,1)可导，()F x 满足罗尔中值定理的条件，故存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=而'2012()n n F x a a x a x a x =++++故方程20120n n a a x a x a x ++++=在(0,1)内至少有一个实根ξ.4.5函数的单调例 7[5] 证明：若函数()f x 在(0,)a 内可导，'()f x 单调递增，且(0)0f =，则函数()f x x在(0,)a 也单调递增. 证明 : 对任意的12,(0,)x x a ∈，且12x x <，则()f x 在1[0,]x 和12[,]x x 均满足拉格朗日中值定理的条件，于是分别存在11[0,]c x ∈和212[,]c x x ∈，使'111()(0)()0f x f f c x -=-， '21221()()()f x f x f c x x -=-， 由于'()f x 单调递增，且(0)0f =，所以121121()()()f x f x f x x x x -≤-， 从而1212()()f x f x x x ≤， 即函数()f x x在(0,)a 也单调递增. 证明函数为单调函数一般有两种方法：(1)利用函数单调的定义证明；(2)利用导函数'()f x 来证明，若在该区间上恒有'()0f x ≥则()f x 为单调增函数；若在该区间上恒有'()0f x ≤则有()f x 为单调减函数.4.6 中值点存在性问题4.6.1 一个中值点的情形4.6.1.1 原函数法例 8 设函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明:在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()()ξξξf f a b a af b bf +=--'.证明：令()()x xf x F =，显然()x F 在[]b a ,上满足拉格朗日中值定理条件. 于是知：在()b a ,内至少存在一点ξ，使 得()()()F b F a F b aξ-'=-，而()[()()]x F xf x f x ξξ=''=+()()f f ξξξ'=+，即得结论 ()()()()bf b af a f f b aξξξ-'=+-. 例 9 设函数()f x ,()g x 在[,]a b 上连续在(,)a b 内可导，()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使()()()0f f g ξξξ''+=.分析：结论即要证明函数()()()f x f x g x ''+在(0,1)内有零点，因结论中含有函数导数，故考虑利用罗尔定理，将()()()0f f g ξξξ''+=变形为 ()()0()f g f ξξξ''+=，即要证函数()()()f x g x f x ''+在(0,1)内有零点，()[()]d ()f xg x x f x ''+⎰()ln[()e ]g x f x c =+，显然()ln[()e ]g x f x 与()()e g x f x 的导数有相同的零点，于是可取原函数()()e g x f x .证明：令()()()e g x F x f x =,显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0F a F b ==，于是由罗尔定理知至少存在一点(0,1)ξ∈，使()0F ξ'=，而()()[()()()]e g x F x f x f x g x '''=+，故()[()()()]e 0g f f g ξξξξ''+=，又()e 0g ξ≠，于是()()()0f f g ξξξ''+=.4.6.1.2泰勒公式法例 10[6]设函数()f x 在闭区间[1,1]-上具有三阶连续导数，且(1)0f -=，(1)1f =，(0)0f '=.试证：在开区间(1,1)-内至少存在一点ξ，使()3f '''=ξ. 证明：由(0)0f '=，得()f x 在0x =处的二阶泰勒公式为23(0)()()(0)2!3!f f f x f x x '''''=++η （η介于0与x 之间，[1,1]x ∈-）. 由题设知1()(0)(1)(0)026f f f f η'''''-=+-= 1(10)η-<<， 2()(0)(1)(0)126f f f f η'''''=++= 2(01)η<<， 两式相减，可得12()()6f f ''''''+=ηη.又()f x '''在区间[1,1]-连续，从而在12[,]ηη上也连续， 故()f x '''在区间12[,]ηη上有最大值M 和最小值m . 从而有121[()()]32m f f M ''''''≤+=≤ηη， 由介值定理知，至少存在一点ξ12[,][1,1]ηη∈⊂-，使得()3f '''=ξ.小结：当题设中出现高阶导数（三阶或三阶以上的导数），可考虑使用泰勒公式证明中值点的存在性.4. 6. 2 两个中值点的情形例 11 函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 可导，0a b <<，试证:存在,(,)a b ∈ξη，使得()()2a b f f +''=ξηη. 证明:令2()g x x =,易知()f x 与()g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 可导且()0g x '≠.由柯西中值定理知,存在(,)a b ∈η，使得()()()()()()f b f a fg b g a g '-='-ηη 即 22()()()2f b f a f b a '-=-ηη， 22()()()()2f f b f a b a '-=-ηη. 而由拉格朗日中值定理知，存在(,)a b ∈ξ，使得()()f b f a -()()b a f '=-ξ .由以上两式得:存在()b a ,,∈ηξ，使22()()()(),2f b a f b a ηξη''-=- 即()()2a b f f +''=ξηη. 4. 6. 3含中值点的积分等式的证明 例12 设函数()f x 在[0,π]上连续，且π0()d 0f x x =⎰，π0()cos d 0f x x x =⎰.证明：在(0,π)内至少存在两个不同的点12,ξξ，使12()()0f f ==ξξ.分析：直接证明函数()f x 在(0,π)内至少存在两个不同的零点比较困难，若令0()()d xF x f t t =⎰，而()()F x f x '=，故可证()F x '在(0,π)内至少存在两个不同的零点.证明：设0()()d xF x f t t =⎰，则()()F x f x '=，(0)(π)0F F ==.又 ππ00()cos d cos d ()f x x x x F x =⎰⎰ππ00()cos |()sin d F x x F x x x =+⎰π0()sin d 0F x x x ==⎰， 由积分中值定理知存在(0,π)c ∈，使得π0()sin d ()sin 0F x x x F c c ==⎰.而(0,π)c ∈时，sin 0c ≠，故()0F c =.在区间[0,][,π]c c 和上分别使用罗尔定理，则存在12(0,),(,π)c c ξξ∈∈，使得1()0F ξ'=，2()0F '=ξ.即12()()0f f ==ξξ.例 13 设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0([,])g x x a b ≠∈，试证：至少存在一点(,)a b ξ∈，使()d ()()()d b a b a f x x f g g x x =⎰⎰ξξ. 分析：将结论变形为()d ()d ()()()d ()d b a aa ba a a f x x f x x f g g x x g x x -=-⎰⎰⎰⎰ξξ,容易看出对函数()()d x a F x f x x =⎰，()()d xa G x g x x =⎰在[,]ab 上使用柯西中值定理即可. 证明：设()()d x a F x f x x =⎰，()()d xa G x g x x =⎰，显然()F x ，()G x 在[,]ab 上满足柯西中值定理的条件，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()()()F b F a FG b G a G ξξ'-='- 即()d ()()()d b a b a f x x f g g x x =⎰⎰ξξ. 5 总结 本文讨论了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明方程根的存在性、不等式、等式、中值点存在性的应用等几个方面的应用. 微分中值定理是微分学中的基本定理，也是微分学的理论核心，有着广泛的应用.参考文献：[1]华东师范数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.[2]欧阳光中编.数学分析[M].复旦大学出版社,2005年1月.[3]钱吉林.数学分析题解精粹第二版[M].武汉:湖北长江长版集团,2009.[4]陈平尚,薛宗慈,曾昭著主编.数学分析习作讲义[M].北京师范大学出版:2005年1月[5]贾田田,刘伟伟,霍丽元.微分中值定理的应用及其在特定条件下问题的思路分析[J].工程科技Engineering Technolofy,2009,2下：182.[6]刘章辉,微分中值定理及应用[J].山西大同大学学报(自然科学版),2007,2(27):9~10.。